KÖKLÜ SAYILARKÖKLÜ SAYILARn birden büyük bir doğal sayı ve a bir reel sayı olmak üzere a

KÖKLÜ SAYILAR

KÖKLÜ SAYILAR

n birden büyük bir doğal sayı ve a bir reel sayı olmak üzere aⁿ = b ifadesinde a ya b nin n. kuvvetten kökü denir. Yani

aⁿ=b⇒ a=√^nbveya özel olarak

a²=b⇒ a=√^b a, b nin kareköküne eşittir.

(2.kuvvetten kökü)

a³=b⇒³

√

b a, b nin küp köküne eşittir.

(3.kuvvetten kökü)

a⁴=b⇒

√

⁴b a ya, b nin 4.kuvvetten kökü denir.

UYARI:

UYARI:

Her köklü ifade reel sayı belirtmez; kök derecesi çiftken kök içi negatif olursa ifade reel sayı değildir. Yani

4√^{−3∉ℝ ama 13}

√

^−3∈ℝ

Örnek...1 :

Örnek...1 :

4

√

^x−3 ifadesinin reel sayı belirtmesi için x kaç olmalıdır?

Örnek...2 :

Örnek...2 :

12

√

^8−x+

√

^4x−2−177

√

^x−5 ifadesinin reel sayı belirtmesi için x kaç olmalıdır?

Örnek...3 :

Örnek...3 :

102

√

¹²−∣8−2x∣ ifadesinin reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır?

KÖKLÜ İŞLEMLERİN ÖZELLİKLERİ

KÖKLÜ İŞLEMLERİN ÖZELLİKLERİ

ÖZELLİK 1

ÖZELLİK 1

2n

√

^{a2n=∣a∣,n∈ℤ+ 2n+1}

√

^{a2n+1=a, n∈ℤ+}

Örnek...4 :

Örnek...4 :

5

√

^{(−2)5+ 4}

√

^{(−2)4− 3}

√

^{(−27) =?}

Örnek...5 :

Örnek...5 :

√

25+

√

49+

√

121−

√

^(−8)2=?

Örnek...6 :

Örnek...6 :

3

√

⁽

^√

²⁻¹⁾³⁺

√

⁽¹⁻

^√

^2)2=?

Örnek...7 :

Örnek...7 :

√

^{641+251−201 = ?}

Örnek...8 :

Örnek...8 :

4

√

⁽

^√

^2−5)4−6

√

⁽⁵⁻

^√

^2)6=?

www.matbaz.com

Örnek...9 :

Örnek...9 :

x> y> 0> z ise

40

√

^(z−x)40−

√

^{5(z−y)5+2z−y}

ifadesinin eşitini bulunuz?

Örnek...10 :

Örnek...10 :

√

^{967.969+1 =?}

ÖZELLİK 2

ÖZELLİK 2

m, 1 den büyük bir tamsayı ve a0 ise

n

√

^am=a

m n

Örnek...11 :

Örnek...11 :

Rasyonel kuvvet olarak yazınız.

√

⁵

3

√

⁸

7

√

⁶

Örnek...12 :

Örnek...12 :

√

x^{32•85•163}=256 eşitliğine göre, x kaçtır?

Örnek...13 :

Örnek...13 :

3

√

^(2)x+2=5

√

^(4)7−2x ise x kaçtır?

ÖZELLİK 3

ÖZELLİK 3

a> 0 ve k> 0 olmak üzere,

n

√

^am=n.k

√

^{am .k=}

n k

√

^{a( mk )}

Yani kök dereceleri uygun koşullarda sadeleştirilebilir ve ya genişletilebilir

Örnek...14 :

Örnek...14 :

x=

√

^{5, y=3}

√

120 sayılarını sıralayınız

ÖZELLİK 4

ÖZELLİK 4

x.ⁿ

√

^a=n

√

^a.xn

Örnek...15 :

Örnek...15 :

a=3

√

^5,b=5

√

2 sayılarını sıralayınız.

ÖZELLİK 5 (TOPLAMA VE ÇIKARMA)

ÖZELLİK 5 (TOPLAMA VE ÇIKARMA)

x.ⁿ

√

^a+y.n

√

^a−z.

√

^na=(x+y−z)

√

^na

Örnek...16 :

Örnek...16 :

3

√

²⁺⁵

√

¹²⁸⁻²

√

^{32 =?}

Örnek...17 :

Örnek...17 :

√

²⁸⁻³

√

⁶³⁻⁶

√

^{112 =?}

www.matbaz.com

Örnek...18 :

Örnek...18 :

3√⁸⁰⁻⁶√²⁰⁺²√^{45= ?}

ÖZELLİK 6 (ÇARPMA)

ÖZELLİK 6 (ÇARPMA)

(m.ⁿ

√

^a).(p.n

√

^b).

√

^nc=m.p

√

^nabc

Örnek...19 :

Örnek...19 :

√

^2.

√

^3.

√

^{6 =?}

Örnek...20 :

Örnek...20 :

3

√

^{2. 2}

√

^3.

√

^{6 =?}

Örnek...21 :

Örnek...21 :

(

√

^6−1).(

√

^{6+1) =?}

Örnek...22 :

Örnek...22 :

(

√

^{6−2)2= ?}

ÖZELLİK 7 (BÖLME )

ÖZELLİK 7 (BÖLME )

√

n^a

√

n^b=

√

n^ab

Örnek...23 :

Örnek...23 :

√³²

√^{2 =?}

Örnek...24 :

Örnek...24 :

√^0,63

√^{0,07 = ?}

Örnek...25 :

Örnek...25 :

√

4¹²⁸ 4

√

^{2 =?}

Örnek...26 :

Örnek...26 :

4

√

^2.3

√

⁴

6

√

^{2 = ?}

Örnek...27 :

Örnek...27 :

(

√

^4,4+

√

^9,9)

√

^{0,1 = ?}

Örnek...28 :

Örnek...28 :

(

√

^1,47+

√

^0,75)

√

^{75 =?}

www.matbaz.com

Örnek...29 :

Örnek...29 :

√

²⁺

√

³⁺

√

¹⁰⁺

√

¹⁵

√

⁸⁺

√

^{12 =?}

Örnek...30 :

Örnek...30 :

a=

√

^{3−1, b=}

√

^{3+1 ise a}_b+b a = ?

ÖZELLİK 8 (İÇ İÇE KÖK DURUMU)

ÖZELLİK 8 (İÇ İÇE KÖK DURUMU)

m

√

ⁿ

√

^p

^{√ x=}

^{m. n.p}

^{√ x}

m

√

^{x .n}

√

^{a=m .n}

√

^{a . xn}

Örnek...31 :

Örnek...31 :

√ ^√

^51024=?

Örnek...32 :

Örnek...32 :

3

√ ^√

⁴

^√

^8=x

^√

y ise x+ y toplamı en az kaçtır?

(x ve y sayma sayılarıdır)

Örnek...33 :

Örnek...33 :

3

√

⁴⁵

^√

^32=?

Örnek...34 :

Örnek...34 :

3

√

⁴⁵√^x=3√^4.6√² ise x kaçtır?

Örnek...35 :

Örnek...35 :

0< x< 2 olduğuna göre

√

^x2+x+3−

√

^x2−4x+4

ifadesinin eşiti nedir?

ÖZELLİK 9

ÖZELLİK 9

(x> y)

Örnek...36 :

Örnek...36 :

√

⁸⁺²

√

⁷⁻

√

⁸⁻²

√

^{7 = ?}

Örnek...37 :

Örnek...37 :

√

¹²⁺⁴√⁵=?

Örnek...38 :

Örnek...38 :

√ ^{2+ √ 3}

^=?

www.matbaz.com

Örnek...39 :

Örnek...39 :

√

⁵⁺

√

²¹⁻

√

⁵⁻

√

^{21 = ?}

Örnek...40 :

Örnek...40 :

4

√ ^{17 +12} √ ²

^=?

ÖZELLİK 10 (

ÖZELLİK 10 (

PAYDANIN RASYONEL YAPILMASI)PAYDANIN RASYONEL YAPILMASI) i) K

√

^a=

√

^Ka

(

√

^a)

=K(

√

^a) a

Örnek...41 :

Örnek...41 :

8

√^{2 = ?}

Örnek...42 :

Örnek...42 :

12

√^{3 + 521}√³

ii) K

√

^a+

√

^b=

√

^aK+

√

^b

(

√

^a−

√

^b)

=K(

√

^a−

√

^b)

a−b

Örnek...43 :

Örnek...43 :

24

√⁵⁻√^{3= ?}

Örnek...44 :

Örnek...44 :

24

√³⁻√^{3−112 = ?}

Örnek...45 :

Örnek...45 :

1

√

²⁺

√

³⁻

1

√

²⁻

√

^{3 =?}

Örnek...46 :

Örnek...46 :

a=

√

⁷¹⁻

√

^{70 , b=}

√

⁶⁷⁻

√

⁶⁶

sayılarını sıralayınız.

www.matbaz.com

DEĞERLENDİRME

DEĞERLENDİRME

1) ¹²

√

^14−2x+4

√

x−7−3x+5 reel sayısının değeri kaçtır?

2) x<0<y<z veriliyor.

³

√

^{(x−y−z)3+}

√

^{4(x− y−z)4+}

√

^(x−y)2

ifadesinin eşitini bulunuz?

3) √¹⁶⁹⁻

√

^8(−2)8+3√^{−64= ?}

4) ³

√

^(2)x+2=

√

^{5(4)7−2 x} ise x kaçtır?

5)

√

²⁸⁻³

√

⁶³⁻⁶

√

^{112 =?}

6) (

√

⁶⁻²⁾²⁺

√

⁴¹²⁸

4

√

^{2 = ?}

7) ⁴

√

¹⁷⁺⁴

√

^{18 =?}

8) 20

√

⁵⁻

12

√

^{5−1= ?}

9) a_1,a_2,...a_n gibi n tane sayının aritmetik ortalaması a₁+a₂+...+a_n

n

geometrik ortalaması G=ⁿ

√

^{a1.a2. ..an olarak}

tanımlanmıştır.

a) Buna göre 1,2 ve 4 sayılarının aritmetik oralaması geometrik ortalamasının kaç katıdır?

b) x ve y negatif olmayan iki sayı olsun. x ve y nin aritmetik ortalaması A.O. ve geometrik ortalaması G.O ise G.O≤A .O olduğunu ispatlayınız

www.matbaz.com