ÜN‹TE III

 ^{ÜN‹TE III}

I. ÜÇGENLER VE P‹SAGOR BA⁄INTISI a) Üçgenler

b) Üçgenin Kenarlar› Aras›ndaki Ba¤›nt›lar c) Üçgenin Elemanlar›

ç) Pisagor Ba¤›nt›s›

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST III-I

II. CEB‹RSEL ‹FADELER Say› Örüntüleri

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST III-II

a) Özdefllikler

b) Çarpanlara Ay›rma c) Rasyonel ‹fadeler ALIfiTIRMALAR

ÖZET TEST III-III

Bu bölümü kavrayabilmek için;

* Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz

* Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s›n›f matematik ders kitaplar›ndan çözülmüfl örnekleri anlamaya çal›fl›n›z.

* Uyar›lar› dikkate al›n›z.

* Konularla ilgili de¤iflik kaynaklardan sorular çözünüz.

Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;

* Atatürk’ün matematik alan›nda yapt›¤› çal›flmalar›n önemini aç›klayabilecek,

* Yeterli say›da eleman›n›n ölçüleri verilen bir üçgen çizebilecek,

* Üçgenin iki kenar uzunlu¤unun toplam› veya fark› ile üçüncü kenar›n›n uzunlu¤u aras›ndaki iliflkiyi belirleyebilecek,

* Üçgenin kenar uzunluklar› ile bu kenarlar›n karfl›s›ndaki aç›lar›n ölçüleri aras›ndaki iliflkiyi belirleyebilecek,

* Üçgende kenarortay, kenar orta dikme, aç›ortay ve yüksekli¤i infla edebilecek,

* Pythagoras (Pisagor) ba¤›nt›s›n› oluflturabilecek,

* Pythagoras (Pisagor) ba¤›nt›s›n› problemlerde uygulayabilecek,

* Özel say› örüntülerinde say›lar aras›ndaki iliflkileri aç›klayabilecek,

* Özdefllikleri modellerle aç›klayabilecek,

* Rasyonel cebirsel ifadelerle ifllem yapabilecek ve ifadeleri sadelefltirebileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

ÜN‹TE III

ATATÜRK’ÜN MATEMAT‹K ALANINDA YAPTI⁄I ÇALIfiMALAR Cumhuriyet’in ilan›ndan önce okullarda okutulmufl matematik kitaplar›nda Arap harfleriyle yaz›lm›fl formüller, müselles, murabba veya hatt›-› mubas gibi günümüz matemati¤inde bir anlam ifade etmeyen bir çok terim bulunmaktayd›.

Atatürk 1936-1937 y›llar›n›n k›fl aylar›nda “Geometri” adl› bir kitap yazm›flt›r.

Kitap 1937 y›l›nda Kültür Bakanl›¤›nca yay›nlanm›flt›r. 44 sayfadan oluflan bu kitapta- ki terimler Atatürk taraf›ndan türetilmifltir. Atatürk bu yap›t ile dil ve matematikteki üstün yetene¤ini ortaya koymufltur.

13 Kas›m 1937’de Sivas’a giderek, 1919 y›l›nda Sivas Kongresi’nin yap›ld›¤›

lisede bir geometri dersine giren Atatürk, “Bu anlafl›lmaz terimlerle bilgi verilemez.

Dersler Türkçe terimlerle anlat›lmal›d›r.” diyerek dersi kendi türetti¤i Türkçe terimlerle anlatm›flt›r.

Birlefltirilen noktalar üçgenin köfleleridir. Köfleleri birlefltirilen do¤ru parçalar›

üçgenin kenarlar›d›r.

Bir üçgeni çizebilmek için bu üçgene ait baz› elemanlar›n ölçülerini bilmemiz gerekir.

Üç kenar uzunlu¤u, iki kenar uzunlu¤u ile bu kenarlar aras›ndaki aç›n›n ölçüsü veya bir kenar›n›n uzunlu¤u ile iki aç›s›n›n ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, aç› ölçer ve pergel kullan›larak çizilebilir.

ÖRNEK

B noktas›n› merkez alarak aç› ölçerle ölçüsü 80° olan ÜÇGENLER VE P‹SAGOR BA⁄INTISI Üçgenler

Do¤rusal olmayan A, B ve C noktalar›n›n ikifler ikifler birlefltirilmesiyle elde edilen kapal› flekle üçgen denir.

➠

BC = 6 cm, AB = 5 cm ve s ABC = 80° olan bir ABC üçgenini çizelim.

Önce BC n› çizelim.

ABC 'n› çizelim.

❂

Uzunlu¤u 5 cm olan [AB]’n› çizelim.

A ve C noktalar›n› bir do¤ru parças›yla birlefltirelim ve ABC üçgenini elde edelim.

R noktas›n› merkez alarak aç› ölçerle ölçüsü 50° olan

S noktas›n› merkez alarak aç› ölçerle ölçüsü 70° olan

Aç›lar›n ortak olmayan kenarlar›n› kesiflecek flekilde uzatal›m. Kesiflim P n o k t a s › d › r.

Böylece PRS üçgeni çizilmifl olur.

PRS'n› çizelim.

PSR'n› çizelim.

ÖRNEK

Afla¤›da uzunluklar› verilen do¤ru parçalar›ndan bir üçgen oluflturulup oluflturula- ma yaca¤›n› belirleyelim.

‹ncelemeyi üç ad›mda yapal›m.

1. ad›m

[AB]’n› ele alal›m.

|AB| = 7 cm

|EF| - |CD| = 6 - 5 = 1 cm 1 < 7 < 11 oldu¤undan

|EF| + |CD| = 6 + 5 = 11 cm |EF| - |CD| < |AB| < |EF| + |CD|

2. ad›m

[CD]’n› ele alal›m.

|CD| = 5 cm

|AB| - |EF| = 7 - 6 = 1 cm 1 < 5 < 13 oldu¤undan

|AB| + |EF| = 7 + 6 = 13 cm |AB| - |EF| < |CD| < |AB| + |EF|

3. ad›m

[EF]’n› ele alal›m.

|EF| = 6 cm

Yukar›daki ABC üçgeninde |AB| = 3 cm ve |AC| = 8 cm oldu¤una göre x’in Afla¤›da verilen ABC’nin a, b ve c kenar› için üçgen eflitsizli¤i

|b - c | < a < b + c

|c - a| < b < c + a

|b - a| < c < b + a fleklindedir.

ÖRNEK

Δ

ÖRNEK

Yukar›daki MNL üçgeninin aç› ölçüleriyle kenar uzunluklar› aras›ndaki iliflkiyi belirleyelim.

MNL üçgeninin kenarlar›n› uzunluklar›na göre s›ralayal›m.

|NL| > |ML| > |MN|

MNLüçgenini iç aç›lar›n›n ölçülerine göre s›ralayal›m.

MNL üçgeninde; [NL] en uzun kenar, ise en büyük aç›d›r.

Bir üçgende büyük aç› karfl›s›nda büyük kenar, küçük aç› karfl›s›nda küçük kenar bulunur. Di¤er bir ifadeyle bir üçgende büyük kenar karfl›s›ndaki aç›, küçük kenar karfl›s›ndaki aç›dan daha büyüktür.

s M >s N > s L

M

➠

ÖRNEK

Afla¤›daki DEF üçgeninde D, E ve F aç›lar›n›n ölçüleri aras›ndaki s›ralama nedir?

ÖRNEK

Afla¤›da kenar uzunluklar› verilen üçgenlerin aç›lar›n›n ölçülerini küçükten büyü¤e do¤ru s›ralayal›m.

|DF| = 6 cm, |DE| = 4 cm ve |EF| = 3 cm oldu¤undan;

DF > DE > EF oldu¤undan s E > s F > s D ' d›r.

ÖRNEK

Afla¤›daki ABC dik ügenin kenar uzunluklar›n› inceleyelim. ABC dik üçgeninde [AB] ve [BC] dik kenarlard›r. karfl›s›nda bulunan ve en uzun kenar olan [AC]

ise hipotenüstür.

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunlu¤u dik kenar uzunluklar›ndan büyüktür.

ÖRNEK

Afla¤›da aç› ölçüleri verilen üçgenlerin kenar uzunluklar› aras›ndaki iliflkiyi yazal›m.

B n›n

A CB^Δ nin aç›lar›n›n ölçülerine göre s›ralamas›; s B >s C > s A d›r.

Büyük aç› karfl›s›nda büyük kenar bulundu¤undan, AC > AB > BC ya da b > c > a d›r.

➠

ÜÇGEN‹N ELEMANLARI Kenarortay

Bir üçgenin köflesini karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças›na o kenara ait “kenarortay” denir.

Kenar orta dikme

Kenar orta dikme, bir üçgenin bir kenar›n› dik olarak iki efl parçaya böler.

Aç›ortay

❂

Yükseklik

Üçgende yükseklik bir köflenin karfl›s›ndaki kenara uzakl›¤› veya köfleden bu kenara veya uzant›s›na indirilen dikmedir.

Üçgen dar aç›l› ise yükseklikler üçgenin içinde noktadafl (ayn› bir noktadan geçen) t›r.

Üçgen dik aç›l› ise yükseklikler üçgenin dik köflesinde, üçgen genifl aç›l› ise yükseklik ler üçgenin d›fl›nda kesiflirler.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

a) [CD], C aç›s›n›n aç›ortay›d›r.

b) ABC üçgeni genifl aç›l› üçgen oldu¤unda AH yüksekli¤i üçgenin d›fl bölgesindedir.

c) [AE], BC kenar›na ait, [BF] AC kenar›na ait kenarortayd›r.

|BE| = |EC| = 2 cm

|AF| = |FC| = 3 cm’dir.

d do¤rusu AC kenar›na ait, k do¤rusu BC kenar›na ait kenar orta dikmedir.

s BCD = s ACD = 60°

ALIfiTIRMALAR

1. Aç› ölçer ve cetvel kullanarak afla¤›da ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz.

2. Uzunluklar› 12 cm, 6 cm ve 5 cm olan üç do¤ru parças› ile bir üçgen çizilebilir mi?

Neden, aç›klay›n›z?

3. Üç aç›s›n›n ölçüsü eflit olan bir üçgenin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndaki ba¤›nt›y›

inceleyeniz.

4. Afla¤›da uzunluklar› verilen çubuklar ile oluflturulabilecek üçgenleri çiziniz.

5. Afla¤›da verilen çubuklar›n birlefltirilmesiyle oluflabilecek üçgenlerin çevre uzunluk- lar›n› bulunuz.

a) BC = 10 cm, s ABC = 60° ve s ACB = 70°

b) DE = 7 cm , EF = 8 cm ve s DEF = 80°

6.

fiekildeki NRS üçgeninde, |NR| = 6 cm ve |NS| = 9 cm’dir.

a) |RS|’nin alabilece¤i en küçük tam say› de¤erini bulunuz.

b) |RS|’nin alabilece¤i en büyük tam say› de¤erini bulunuz.

7. Afla¤›da ölçüleri verilen üçgenlerin kenar uzunluklar›n› büyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

8. Afla¤›da kenar uzunluklar› verilen üçgenlerin iç aç›lar›n› büyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

9. Afla¤›da verilen üçgenlerin her bir kenar›na ait yüksekli¤ini çiziniz.

10. Afla¤›da verilen üçgenlerin her bir kenar›n›n kenarortay›n› çiziniz.

11. Afla¤›da verilen üçgenlerin aç›ortaylar›n› çiziniz.

Pisagor Ba¤›nt›s›

Yunanl› Matematikçi Pisagor (Pythagoras), yaklafl›k olarak M.Ö 580-M.Ö 500 tarihleri aras›nda yaflam›flt›r. “Say›lar›n babas›” olarak bilinir. En iyi bilinen teoremi, ad›yla an›lan Pisagor Teoremidir. Güney ‹talya’da ve ard›ndan Yunanistan’da büyük etki uyand›ran bir okulun kurucusudur.

Pisagor Ba¤›nt›s›

Santimetrekarelik ka¤›da dik kenar uzunluklar› 3 cm ve 4 cm olan bir üçgen çizelim.

Üçgenin hipetenüs uzunlu¤unu cetvelle ölçtü¤ümüzde 5 cm olarak bulunur.

Bu dik üçgenin kenarlar› üzerine, kenar› bu kenarlara eflit kareler çizelim.

a kenar› üzerine çizilen karenin alan› 9 cm²dir. b kenar› üzerine çizilen karenin alan›

16 cm² dir. Bu iki karenin alanlar›n›n toplam› 16 + 9 = 25 cm² dir. c kenar› üzerine çizilen karenin alan› 25 cm²dir. Buradan, a²+ b²= c²oldu¤u görülür.

Bir dik üçgende, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n karelerinin toplam› hipotenüsün karesine eflittir. Afla¤›daki üçgen için pisagor ba¤›nt›s› a²+ b²= c² fleklindedir.

ÖRNEK

Afla¤›daki ABC dik üçgeninde, |AB| = 5 cm ve |AC| = 12 cm oldu¤una göre |AC|

kaç santimetredir?

➠

ÖRNEK

Afla¤›daki ABC üçgeninde |AB| kaç santi metredir?

ÇÖZÜM

|AB| bulabilmek için öncelikle |AH| bulmam›z gerekiyor. AHC dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygulayal›m.

fiimdi AHB üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygulayal›m.

AC² = AH² + HC² 13² = AH² + 5² 169 - 25 = AH² 144 = AH² AH = 12 cm'dir.

AB² = AH² + BH² AB² = 12²+ 16² AB² = 144+ 256

ÖRNEK

Hipotenüsünün uzunlu¤u 10 cm, dik kenarlar›ndan birisinin uzunlu¤u 6 cm olan dik üçgenin üçüncü kenar uzunlu¤unu bulal›m.

ÇÖZÜM

Üçüncü kenar›n uzunlu¤u 8 cm’dir.

ÖRNEK

ABC üçgeninde a²+ b²+ c²= 200 cm² oldu¤una göre a kaç santimetredir?

x² + 6² = 10² x² + 36 = 100 x² = 100 - 36

x² = 64 x = 8 cm

ÇÖZÜM

ABC üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygulayal›m.

a²= c²+ b²dir.

a²+ b²+ c²= 200 cm² olarak verilmifltir.

Eflitlikte c²+ b²yerine a²yazal›m.

a²+ a²= 200 2a²= 200

a²= 100 Her iki taraf›n karekökünü alal›m.

a = 10 cm olarak bulunur.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki dik üçgenlerde bilinmeyen kenar uzunluklar›n› bulunuz.

2. Afla¤›da baz› üçgenlerin kenar uzunluklar› verilmifltir. Bu üçgenlerin dik üçgen olup olmad›¤›n› belirleyiniz.

a) 5 cm, 12 cm, 13 cm b) 7 cm, 25 cm, 24 cm

c) 6 cm, 8 cm, 13 cm d) 6 cm, 15 cm, 17 cm

3. Onur, Gülcan ve Özlem afla¤›daki dik üçgende verilmeyen kenar› bulmak için birer ba¤›nt› yazm›fllard›r. Hangisinin yazd›¤› do¤rudur? Aç›klay›n›z.



Üç kenar uzunlu¤u, iki kenar uzunlu¤u ile bu kenarlar aras›ndaki aç›n›n ölçüsü veya bir kenar›n›n uzunlu¤u ile iki aç›s›n›n ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, aç› ölçer ve pergel kullan›larak çizilebilir.

Bir üçgende iki kenar›n uzunluklar› toplam›, üçüncü kenar uzunlu¤undan büyük ve iki kenar›n uzunluklar› fark›n›n mutlak de¤eri üçüncü kenar uzunlu¤undan küçüktür. Bu ba¤›nt› üçgen eflitsizli¤i olarak isimlendirilir.

Yukar›da verilen ABC’nin a kenar› için üçgen eflitsizli¤i, |b- c | < a < b+ c dir.

Bir üçgende büyük aç› karfl›s›nda büyük kenar, küçük aç› karfl›s›nda küçük kenar bulunur.

Δ

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunlu¤u dik kenar uzunluklar›ndan büyüktür.

Üçgende kenarortay, bir köfleyi karfl› kenar›n ortas›na birlefltiren do¤ru parças›d›r.

Kenar orta dikme, bir kenar› dik olarak iki efl parçaya böler. Aç›ortay bir köfledeki aç›y›

iki efl parçaya ay›ran do¤ru parças›d›r. Yükseklik, bir köflenin karfl›s›ndaki kenara uzakl›¤› veya köfleden bu kenara indirilen dikmedir.

Bir dik üçgende, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n karelerinin toplam› hipotenüsün karesine eflittir.

Yukar›daki üçgen için pisagor ba¤›nt›s› a²+ b²= c²fleklindedir.

TEST III-I 1.

fiekildeki ABC üçgeninde [ BC]’n›n uzunlu¤u afla¤›dakilerden hangisi olamaz?

A) 6 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 14 cm 2.

Verilen ABC üçgeninde, kenar uzunluklar›n›n küçükten büyü¤e do¤ru s›ralan›fl›

afla¤›dakilerden hangisidir?

✎

3.

Yu k a r › d a k i flekilde, [BD]’n›n alabilece¤i en büyük ve en küçük tam say›

de¤erlerinin toplam› kaçt›r?

A) 19 B) 21 C) 22 D) 24 5.

6.

Yukar›da verilen PRS üçgeninde,

A) 105 B) 75 C) 45 D) 30 7.

oldu¤una göre s PRS kaç derecedir?

s RPS = 75° ve s PST = 30°

8. Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 6 cm olan küpün cisim köflegenin uzunlu¤u kaç santi metredir?

9. Bir kenar uzunlu¤u 5 cm olan karenin köflegen uzunlu¤u kaç santimetredir?

10. fiekilde verilenlere göre, x uzunlu¤u kaç santimetredir?

A) 6 2 B) 6 3 C) 12 2 D) 12 3

A) 5 2 B) 10 C) 10 2 D) 15

11. fiekilde verilenlere göre, |AD| kaç santimetredir?

A) 9 B) 16 C) 20 D) 25

12.

13.

A) I ve II B) I ve III C) I ve IV D) II ve IV

fiekilde OBC, OCD, ODE ve OEF birer dik üçgendir.

a, b, c, d ve e kenar uzunluklar›n› gösterdi¤ine göre afla¤›dakilerden hangileri do¤rudur?

I. a + b < b + c II. c + d < b + c III. c + d < c + e IV. b + e < a + e

Δ ^Δ Δ _Δ

14.

fiekilde verilen ABC dik üçgeninde |AB| = 17 cm ve |AC| = 8 cm’dir. BCDE dikdörtgenin çevresi 40 cm oldu¤una göre, alan› kaç santimetrekaredir?

A) 50 B) 75 C) 100 D) 150 15.

16.

Yukar›daki flekilde üç kare KLM dik üçgeni oluflacak flekilde birlefltiriliyor. Kare lerin toplam alan› 450 cm²oldu¤una göre, en büyük kenar uzunlu¤u kaç santimetredir?

A) 9 B) 2 C) 15 D) 18 17.

18.

Yalç›n, 5 m uzunlu¤undaki merdiveni duvardan 3 m uza¤a gelecek flekilde yasl›yor. Bu merdivenin yerden yüksekli¤i kaç metredir?

A) 4 B) 7 C) 8 D) 9 19.

SAYI ÖRÜNTÜLER‹

Fibonacci Say› Dizisi

13. yüzy›lda yaflam›fl ‹talyan Matematikçi Leonardo Fibonacci,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... fleklinde giden bir say› dizisi bulmufltur. Bu say› dizisine Fibonacci say› dizisi denir. Bu say› dizisinde her say› ken- disinden önce gelen iki say›n›n toplam›d›r.

ÖRNEK

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Yukar›da Fibonacci say› dizisinin ilk 14 ad›m› verilmifltir. Buna göre 15. ve 16.

ad›mlar›n› bulal›m.

15. ad›mdaki say› : 233 + 377 = 610 16. ad›mdaki say› : 377 + 610 = 987 olur.

K a resel Say›lar

Karekökleri tamsay› olan do¤al say›lar karesel say›lar olarak adland›r›l›r.

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

Üçgensel Say›lar

1’den n’ye kadar olan n do¤al say›n›n toplam› biçiminde yaz›labilen say›lara üçgensel say› ad› verilir.

ÖRNEK

❂

Pascal üçgeninin köfleleri üzerindeki say›lar toplan›rsa Fibonacci say›lar› elde edilir.

Aritmetik Diziler

Bir say›ya, belirlenen baflka bir say›n›n art arda eklenmesi veya ç›kar›lmas› ile elde edilen say›lar›n oluflturdu¤u örüntü aritmetik dizi olarak adland›r›l›r. Aritmetik dizide ard›fl›k iki terimin fark› eklenen veya ç›kar›lan say›d›r ve bu say›ya dizinin ortak fark›

denir.

ÖRNEK

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

1.terim 2.terim 3.terim 4. terim 5.terim 6.terim 7.terim 8. terim

Yukar›daki say› örüntüsünde 1’e 3 say›s›n›n ard›fl›k bir flekilde eklenmesi ile elde edilen örüntü aritmetik bir dizidir.

‹lk terim a₁, n . terim (genel terim) a_n olarak al›nd›¤›nda dizinin kural›

Geometrik Diziler

Bir say› ile belirlenen baflka bir say›n›n art arda çarp›lmas› veya bölünmesi sonunucu elde edilen say›lar›n oluflturdu¤u örüntü geometrik dizi olarak adland›r›l›r.

Geometrik dizide ard›fl›k iki terimin oran›, ard›fl›k çarp›lan veya bölünen say›d›r ve bu say›ya “dizinin ortak çarpan›” denir.

ÖRNEK

64 16 4 1

1.terim 2.terim 3.terim 4.terim 5.terim 6. terim

64 say›s›n›, 4 say›s›na ard›fl›k bir flekilde bölerek veya say›s›yla çarparak elde edilen örüntü geometrik bir dizidir.

‹lk terim a₁, n . terim (genel terim) a_nolarak al›nd›¤›nda dizinin kural›, an = a1. olarak ifade edilir.

1 4

(14)n-1

Ö RNEK

İlk terimi 729, ortak çarpanı 2/3 olan bir geometrik dizinin 6. teriminin kaç olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM

Yukarıda verilen geometrik dizinin kuralı an = a1. olarak ifade edilir.

Buna göre, bu geometrik dizinin 6. terimi,

1

4 1

8 ...

(23)n-1

a6 = 729. (2 3)6-1

a6 = 729. 32

243 a6 = 96 olur.

3

1

ALIfiTIRMALAR 1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ..., ..., ..., ...

Yukar›daki F‹bonacci dizisinde noktal› yere gelmesi gereken say›lar› bulunuz.

2.

4.

Yu k a r › d a k i pascal ücgeninde bofl b›rak›lan kutulara gelmesi gereken say›lar› bulunuz.

3. Afla¤›daki say› dizilerinin kurallar›n› bulunuz. Her dizide takip eden üç terimi yaz›n›z.

a) 1, 6, 11, 16, 21, 26, ...

b) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...

c) d)

49, 7, 1, 1 7 , 1

49, ...

2, 12, 1 4, 1

8, 1 16, 1

32, ...



1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... fleklinde devam eden say› dizisine Fibonacci say› dizisi denir.

Karekökleri tamsay› olan do¤al say›lar karesel say›lar olarak adland›r›l›r.

1’den n’ye kadar olan n do¤al say›n›n toplam› biçiminde yaz›labilen say›lara üçgensel say› ad› verilir.

Yukar›daki say› üçgeni “Pascal Üçgeni” olarak bilinmektedir. Pascal üçgenindeki say›lar kendi üstündeki say›lar›n toplanarak yaz›lmas›yla elde edilir.

Bu arada her sat›r›n bafl›na ve sonuna 1 yaz›l›r.

Pascal üçgeninin köfleleri üzerindeki say›lar toplan›rsa Fibonacci say›lar› elde edilir.

Bir say›ya belirlenen baflka bir say›n›n art arda eklenmesi veya ç›kar›lmas› ile elde edilen say›lar›n oluflturdu¤u örüntü aritmetik dizi olarak adland›r›l›r. Aritmetik dizide ard›fl›k iki terimin fark›, eklenen veya ç›kar›lan say›d›r ve say›ya dizinin ortak fark›

denir.

Bir say› ile belirlenen baflka bir say›n›n art arda çarp›lmas› veya bölünmesi sonucu elde edilen say›lar›n oluflturdu¤u örüntü geometrik dizi olarak adland›r›l›r. Geometrik

✎

A) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

B) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

C) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

D) 2, 4, 6, 10, 16, 26, 36, ...

2. 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... say› örüntüsü devam ettirildi¤inde 7. ve 8. terimlerin toplam›

kaç olur?

A) 38 B) 39 C) 40 D) 41

3. 1, π , 2, 3, 5, ★ , 13, 21, ■ , ● ,

Yukar›da verilen Fibonacci say› dizisine göre, π, ★, ■, ve ● yerine gelmesi gereken say›lar afla¤›dakilerden hangisidir?

π ★ ■ ●

A) 1 10 28 38

B) 1 8 34 55

C) 2 8 27 33

D) 2 10 34 44

Yukar›da verilen Pascal üçgeninde a, b ve c ye-rine gelmesi gereken say›lar afla¤›da kilerden hangisidir?

a b c

A) 1 4 8

B) 1 2 3

C) 2 4 5

D) 3 4 6

5. Genel terimi a_n= 8n -3 olan aritmetik dizinin 4. terimi kaçt›r?

A) 12 B) 29 C) 32 D) 37

6. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...

Yukar›da verilen aritmetik dizinin ortak fark› kaçt›r?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 4.

8. 81, 27, 9, 3, 1, ...

Yukar›da verilen geometrik dizinin ortak çarpan› kaçt›r?

A) 9 B) 3 C) D)

9. ‹lk terim 4, ortak fark› 3 olan aritmetik dizinin genel terimi afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 4n - 1 B) 4n + 1 C) 3n - 1 D) 3n + 1

10. ‹lk terimi 4, ortak çarpan› 3 olan bir geometrik dizinin 5. terimi kaçt›r?

A) 243 B) 320 C) 324 D) 405

1 3 1 9

➠

ÖZDEfiL‹KLER ÖRNEK

x (x + 3) = x²+ 3x eflitli¤i x’in hangi de¤erleri için do¤rudur inceleyelim.

x = 1 için , 1 (1 + 3) = 1²+ 3. 1 x = 2 için , 2(2 + 3) = 2²+ 3 . 2

1. 4 = 1 + 3 2. 5 = 4 + 6

4 = 4 10 = 10

x = -1 için, -1 (-1 + 3) = (-1 )²+ 3. (-1) - 1. 2 = 1 + (-3)

-2 = -2

x = -4 için, (- 4) (-4 + 3) = (-4)²+ 3 (-4) ( -4) . (-1) = 16 + (-12)

4 = 4

x (x + 3) = x²+ 3x eflitli¤in sol taraf› düzlendi¤inde eflitli¤in sa¤ taraf›ndaki x²+ 3x = x²+ 3x ifade elde edilir. Bu nedenle eflitlik, x de¤iflkenine verilecek

bütün gerçek say›lar için sa¤lan›r.

‹çinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin alaca¤› her gerçek say› de¤eri için do¤rulu¤u sa¤layan eflitliklere özdefllik denir.

‹çinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin özel de¤erleri için sa¤lanan eflitlik- lere denklem denir.

ÖRNEK

3x - 4 = 2x + 4 eflitli¤inin özdefllik mi, denklem mi oldu¤unu inceleyelim.

x’in hangi de¤erleri için do¤ru oldu¤unu bulal›m.

x = 1 için, 3x - 4 = 2x + 4 x = 8 için, 3.8 - 4 = 2. 8 + 4 3 .1 - 4 = 2.1+ 4 24 - 4 = 16 + 4

-1 = 6 yanl›flt›r. 20 = 20 do¤rudur.

ÖRNEK

x²- y²= (x - y) (x + y) özdeflli¤ini model kullanarak elde edelim.

Kenar uzunlu¤u “x” olan bir karenin bir köflesine kenar uzunlu¤u “y” olan baflka bir kare çizelim ve keselim.

Kalan parça, flekilde görüldü¤ü gibi köflesinden kesilir. Kalan parçalar afla¤›daki gibi birlefltirilip bir dikdörtgen elde ederiz. oluflan bu dikdörtgenin alan› (x - y) (x + y)’dir.

Ayn› alan›, alan› x² olan büyük karenin alan›ndan, alan› y² olan küçük karenin alan›n› ç›kararak bulabiliriz.

x²- y²= (x - y) (x + y)’dir.

ÖRNEK

x²- y²= (x - y) (x + y) özdeflli¤inden yararlanarak 9x²- 16y²ye eflit olan ifadeyi bulal›m.

9x²- 16y²= (3x)²- (4y)²

ÖRNEK

(x + y)²= x²+ 2xy + y² özdeflli¤ini model kullanarak elde edelim.

Kenar uzunlu¤u “x + y” olan bir kareyi flekildeki gibi keselim.

Parçalar›n alanlar› toplam› x²+ 2xy + y²dir.

Dolay›s›yla bafltaki karenin alan› (x + y)²= x²+ 2xy + y² dir.

ÖRNEK

x + y² = x² + 2xy +y² özdeflli¤inden yararlanarak 2a + 5² ye eflit olan ifadeyi bulal›m.

ÖRNEK

(x - y)² = x² - 2xy + y²özdeflli¤inden yararlanarak (3a - 4)² ye eflit olan ifadeyi bulal›m.

x = 3a , y = 4 al›nd›¤›nda;

(3a - 4)²= (3a)²- 2 (3a. 4) + 4²

= 9a²- 24a + 16 ifadesi elde edilir.

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›da verilen ifadelere özdefl olan ifadeleri bulunuz.

a) 64x²- 1 b)

c) (3 - x) (3 + x) ç) (x + 5)² d) (3x+y)²

2. Afla¤›da verilen özdeflliklerde “■” yerine gelmesi gereken say›lar› bulunuz.

a) x²- ■ y²= (x - 2y) (x + 2y) b) 5a .(a + ■) = 5a²+ 20 c) (3 + n)²= 9 + ■n + n²

ç) (3a - ■ b) (3a + ■ b) = 9a²- 16b² 4x² - 1

25

ÇARPANLARA AYIRMA Harfli ‹fadelerin Çarpanlar›

ÖRNEK

2x + 4 ifadesinin çarpanlar›n› iki farkl› yöntemle bulal›m.

1. yöntem

2x + 4 ifadeesine karfl›l›k gelen parçalar

fleklindedir.

Bu parçalar› kullanarak dikdörtgensel bölge olufltural›m.

2. yöntem

2x + 4 ifadesini çarpanlar›na ay›ral›m.

2x + 4 = 2 . x + 2. 2

Bütün terimlerdeki ortak olan çarpan› belirleyerek parentezin önüne yazal›m.

2x + 4 = 2. x + 2. 2 2x + 4 = 2 (x + 2)

ÖRNEK

6x²+ 2x ifadesinin çarpanlar›n› iki farkl› yöntemle bulal›m.

1. yöntem

6x²+ 2x ifadesine karfl›l›k gelen parçalarla dikdörtgensel bölge olufltural›m.

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklar› 6x²+ 2x ifadesinin çarpanlar›d›r.

6x²+ 2x = 2x .(3x + 1) 2. yöntem

ÖRNEK

x²+ 5x + 6 ifadesini çarpanlar›na ay›ral›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK

x²- x - 12 ifadesini çarpanlar›na ay›ral›m.

ÇÖZÜM

Bafltaki ve sondaki terimlerin çarpanlar›n›, çapraz çarp›mlar›n toplam› ortadaki terimi verecek flekilde altlar›na

yazal›m.

Son terimin iflareti (- ) oldu¤u için, çarpanlar›n›n iflareti

farkl› olmak zorundad›r.

Ortadaki terimin ( - ) iflareti oldu¤undan, çarpanlar›ndan

ÖRNEK

x²- 6x + 5 ifadesini çarpanlar›na ay›ral›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK

3x²+ 11x + 6 ifadesini çarpanlar›na ay›ral›m.

ÇÖZÜM

ÖRNEK

Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›ral›m.

a) x²+ 2xy + y²= (x + y) (x + y) = (x + y) ²

b) x²- 2xy + y²= (x - y) (x - y) = (x - y)²

c) 4x²+ 4xy + y²= (2x + y)²

d) 4x²- 12xy + 9y²= (2x - 3y)²

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki ifadelerde verilmeyen çarpanlar› bulunuz.

a) 4a = †a b) 3.† = 9b c) 3x . π = 12x² ç) 3a ★ = 3a²b

2. Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.

a) 4a + 16 b) 25 - 5x c) ab - bc ç) 14 - 21y

3. Afla¤›daki cebirsel ifadelerin çarpanlar›n› bulunuz.

a) 25x²- 4y² b) 9x²+ 6x+1 c) 81 - 4y² ç) 25 - 10a + a²

RASYONEL ‹ FADELER ÖRNEK

Bunun için önce pay ve payday› çarpanlar›na ay›ral›m ve ayn› olan çarpanlar›

sadelefltirelim.

ÖRNEK

Pay ve payday› çarpanlar›na ay›ral›m ve ayn› olan çarpanlar› sadelefltirelim.

ÖRNEK 27a³b

3a²b ifadesini sadelefltirelim.

27a³b

3a²b = 9. 3. a. a. a. b 3. a. a . b = 9a

1 = 9a

x² - 3x

x² + x - 12 ifadesini sadelefltirelim.

x² - 3x

x² + x - 12 = x x - 3

x - 3 x + 4 = x x + 4

4x + 6

12x . 6x² - 9x

4x² - 9 ifadesini en sade biçimde yazal›m.

Pay ve payday› çarpanlar›na ay›ral›m.

ÖRNEK

Ç›karma ifllemini yapabilmek için önce paydalar› eflitleyelim.

Bunun için payda daki ifadelerin çarpanlar›n› bulal›m ve paydalar›n› eflitliyelim.

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki ifadelerin en sade biçimini yaz›n›z.

2.

x - 2 2

x² + x iflleminin sonucunu bulal›m.

2x x + 1

- 2 x x + 1

2 x + 1

x x + 1 - 2

x x + 1 = 2x + 2 - 2

x x + 1 = 2x

x x + 1 = 2 x + 1

a) x² + 5xy + 6y²

x² - 9y² b) x² + 2x + 1

x² - 1 c) x² + x - 6

x² - 3x - 10 d) 3x²y - xy 6x - 2

y - x² - y + x²

8xy ifadesini en sade biçimde yaz›n›z.



‹çinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyinin alaca¤› her gerçek say› de¤eri için do¤rulu¤u sa¤layan eflitliklere özdefllik denir.

‹çinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin özel de¤erleri için sa¤lanan eflitliklere denklem denir.

Özdefllikleri bütün reel say›lar sa¤lar ve çözüm kümesi Ç = R’ dir. Denklemleri ise baz› reel say›lar ve çözüm kümesi bir veya birkaç elemanla s›n›rl›d›r. Hatta baz›

denklemleri hiçbir reel say› sa¤lamaz. Bu tür denklemlerin çözüm kümesi ise bofl kümedir.

Baz› özdefllikler;

a²- b²= (a - b) (a + b) “iki kare fark›”

(a + b)²= a²+ 2ab + b² “iki terimin toplam›n›n karesi”

(a - b)²= a²- 2ab + b² “iki terimin fark›n›n karesi”

“‹ki terimin toplam›n›n veya fark›n›n” karesi özdeflliklerinden flu sonuçlar› ç›ka rabiliriz.

a²+ b²= (a + b)²- 2ab a²+ b²= (a - b)²+ 2ab

Tam kare olan ifadeler, 1.terimin karekökü ile 3. terimin karekökünün toplam›n›n yada fark›n›n karesine eflittir.

Harfli ifadelerin çarpanlar› afla¤›daki yöntemlerden uygun olan kullan›larak bulunur.

- Ortak çarpan parantezine alma,

✎

A) a²- 4 = (a - 4) (a + 4) B) (2a + b)²= 4a²+ 4ab + b² C) 3a (a + 4) = 3a²+ 12 D) 2(2x + 3) = 4x + 6

2. Afla¤›dakilerden hangisi 36a²b ifadesinin bir özdeflidir?

A) 18a². b . 2 B) 18a²b + 18a³b C) 9a²b . 4a²b D) 12a²b + 24a²b

3.

4. (1 - 5a) ( 1 + 5a) ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 1 - 5a² B) 1 + 5a² C) 1 - 25a² D) 1 + 25a²

5. (7,75)²- (2,25)²iflleminin sonucu kaçt›r?

x² - 4

25 y² ifadesinin efliti afla¤›dakilerden hangisidir?

A) x - 2

5y x + 2

5 y B) y - 2

5x y + 2 5 x C) x - 4

25 y y + 4

25 y D) x - 4 25 y ²

6.

7. ‹ki say›n›n toplam› 7, farklar› ise 2’ dir. Bu say›lar›n kareleri fark› kaçt›r?

A) 14 B) 28 C) 45 D) 47

8. 4x²+ 12x + Δ ifadesinin, iki terim toplam›n›n karesi olmas› için “ Δ ” yerine hangi say› gelmelidir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 9

9. Afla¤›daki ifadelerden hangisi sadeleflti¤inde kesri elde edilir?

10.

x = 7 - 2 ise x² + 4x + 4 ifadesinin de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 7 _{B) 7}

C) 7 + 2 7 _{D) 14}

3 5 A) 3x

5 - x B) 12x²y

20x²y C) 7x - 4xy

5xy D) 3x + y 5xy x² - ax + 35

x - 7 ifadesi sadelefltirildi¤inde x - 5 ifadesi elde ediliyorsa "a" kaçt›r?

12. Afla¤›dakilerden hangisi 9x³- x ifadesinin çarpanlar›ndan biri de¤ildir?

A) x B) 9x - 1 C) 3x - 1 D) 3x + 1

13.

A) - 1 B) 1 C) a - 2b D) 2a + b

14. Afla¤›dakilerden hangisi x²+ y²- 9x + 9y - 2xy ifadesinin çarpanlar›ndan biridir?

A) x + y + 3 B) x - y - 3 C) x + y - 9 D) x - y - 9

15.

A) 2 B) x C) 2x D)

a + b - a - b a + b

2

b - a a + b

2 - a + b

iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

x 2 - x 4x - 2x²

2 - x ifadesinin sadeleflmifl biçimi afla¤›dakilerden hangisidir?