Kütle Hesaplar¬

Kütle Hesaplar¬

Cismin M kütlesi;

Cisim do¼ grusal ise:

M = Z

a

(x) dx

Cisim düzlemsel ise:

M = ZZ

D

(x; y) dydx

Cisim uzaysal ise:

M = ZZZ

W

(x; y; z) dzdydx

Cisim e¼ grisel ise:

M = Z

(P ) ds ; P 2

formülleriyle bulunur.

Not: Üç boyutlu uzayda bir e¼ grisi x = x(t); y = y(t); z = z(t); a t b olarak verilsin.

dS = s

dx dt

2

+ dy dt

2

+ dz dt

2

dt

olmak üzere,

M =

Z

(x; y; z) ds

M =

Z

a

(x(t); y(t); z(t)) 0

@ s

dx dt

2

+ dy dt

2

+ dz dt

2

1 A dt

¸ seklindedir.

1

Üç Boyutlu Uzayda Bölge Dönü¸ sümleri

xyz koordinatlar¬n¬x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w) bölgesine dönü¸ stürelim.

ZZZ

W

(x; y; z)dxdydz = ZZZ

R

(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w)) jJj dudvdw

d¬r. Burada dönü¸ sümün Jakobiyeni

jJj =

x

x

x

y

y

y

z

z

z

ile verilir.

Silindirik Koordinatlar 8 >

> >

<

> >

> :

x = r cos y = r sin z = z

olmak üzere jJj = r dir.

Küresel Koordinatlar 8 >

> >

<

> >

> :

x = r sin cos y = r sin sin

z = r cos

olmak üzere jJj = r

sin dir.

Örnek 1.

0 x

4 olmak üzere denklemleri y = sin x ve y = cos x olan e¼ griler ile Oy ekseni aras¬ndaki düzlemsel cismin yo¼ gunlu¼ gu (x; y) = ky

oldu¼ guna göre cismin kütlesini bulunuz.

Çözüm:

xy uzay¬ndaki bu düzlemsel cisime D denirse,

D = n

(x; y) : sin x y cos x ; 0 x 4

o

yaz¬labilir.

2

P 2 D noktas¬nda;

Yo¼ gunluk: (x; y) = k y

Hacim eleman¬: dv = dxdy Kütle eleman¬: dm = k y

dxdy olup, D cisminin M kütlesi;

M =

Z

D

dm=

Z

0 cos x

Z

sin x

k y

dydx

= k 3

5 p 2 4

6

!

birim-kütle

olarak bulunur.

3