Eğer sistem ile ortam arasında sürtünme varsa bir süre sonra titreşim hareketi sonlanır

(1)

1

BÖLÜM 3: ZORLA SALINIMLAR

Daha önceki bölümlerde titreşen sistem ile ortam arasındaki sürtünme ihmal edildi. Eğer sistem ile ortam arasında sürtünme varsa bir süre sonra titreşim hareketi sonlanır. Bu harekete sönümlü salnım (titreşim) denir. Titreşim hareketinin devam etmesi için dışarıdan kuvvet uygulanması gerekir. Eğer sistem bir dış etki ile salınım yapıyorsa bu salınıma zorla salınım denir. Bu bölümde sönümlü harmonik hareket ve zorla salınımlar ele alınacak.

3.1 Bir Boyutlu Sönümlü Harmonik Salınıcı

Serbest salınım: Dışarıdan bir etki olmadan gerçekleşen salınım hareketine serbest salınım denir.

𝑘: yay sabiti

𝑥(𝑡): kütlenin denge konumundan olan uzaklığı (yerdeğiştirme) 𝐹 = −𝑘𝑥: yay kuvveti (geri çağırıcı kuvvet)

Newton’un 2. yasası bu sisteme uygulandığında:

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 𝑑²𝑥(𝑡)

𝑑𝑡² + 𝜔₀² 𝑥(𝑡) = 0

Burada, 𝜔₀² =_𝑚^𝑘 serbest salınım frekansı olarak tanımlanır. Bu denklemin çözümü

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝜔₀𝑡 + 𝜑)

şeklindedir. 𝐴 ve 𝜑 sabitleri, başlangıç koşulları (𝑡 = 0’da; 𝑥(0) = 𝑥₀, 𝑥̇ (0) = 𝑣₀) cinsinden belirlenir.

(2)

2

Sönümlü salınım: Eğer sistem ve ortam arasında sürtünme varsa sistem sönümlü salınım hareketi yapar. Yani bir süre sonra salınım hareketi sonlanır.

𝐹_𝑠 = −𝑀Γ𝑥 : sürtünme kuvveti Γ: birim kütle başına sönüm sabiti

Sönümlü hareket için hareket denklemi aşağıdaki gibidir:

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑀Γ𝑥 𝑑²𝑥(𝑡)

𝑑𝑡² + Γ𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 + 𝜔₀² 𝑥(𝑡) = 0 Bu denklemin çözümü,

𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑒⁻^Γ²^𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝜔₁𝑡 + 𝜑) olarak elde edilir. Burada,

𝜔₁² = 𝜔₀²−Γ² 4 sönümlü salınıcının frekansıdır.

Γ² − 4𝜔₀² ‘nin aldığı değere göre sistemin yaptığı salınım hareketinin karekteri değişir:

i) Γ² > 4𝜔₀² aşırı sönüm ii) Γ² = 4𝜔₀² kritik sönüm iii) Γ² < 4𝜔₀² zayıf sönüm

(3)

3

3.2 Bir Serbestlik Dereceli Sistemlerde Zorla Salınım

Sistemin periyodik bir dış kuvvet etkisi altında yaptığı salınım hareketi zorla salınımdır. Zorla salınım, sönümlü ya da sönümsüz olabilir. Bu kesimde, ilk olarak bir tek harmonik bileşenli bir dış kuvvetin etkisi altındaki sürtünmeli (sönümlü) kütle-yay sistemini ele alalım.

𝐹(𝑡) = F₀ cos 𝜔𝑡 : dış kuvvet 𝜔 : dış kuvvetin frekansı

Bu sistem için hareket denklemi

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑀Γ𝑥 + 𝐹(𝑡)

𝑑²𝑥(𝑡)

𝑑𝑡² + Γ^{𝑑𝑥(𝑡)}

𝑑𝑡 + 𝜔₀² 𝑥(𝑡) = ^F⁰

𝑚 cos 𝜔𝑡

olarak verilir. Kararlı durum, 𝐹(𝑡) kuvveti 𝑡 sönüm süresine göre uzun bir süre uygulandıktan sonra sistemin yaptığı harekettir. Kararlı durumda sistem dış kuvvetin 𝜔 frekansına eşit frekanslı salınım hareketi yapar:

𝑥_𝑠(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝐵 cos 𝜔𝑡

Burada, 𝐴 ve 𝐵 katsayıları 𝑥_𝑠(𝑡) çözümü hareket denkleminde yerine konularak bulunur:

𝐴 =𝐹₀

𝑚 Γ𝜔

(𝜔₀²− 𝜔²)²+ Γ²𝜔² = 𝐴_{𝑠𝑜𝑔𝑢𝑟𝑚𝑎} 𝐵 =𝐹₀

𝑚 (𝜔₀²− 𝜔²)

(𝜔₀²− 𝜔²)²+ Γ²𝜔² = 𝐴_{𝑒𝑠𝑛𝑒𝑘𝑙𝑖𝑘}

(4)

4

𝐴 ve 𝐵 katsayıları 𝜔 ile değişmektedir. Yani hareketin genliği, frekans ile ayarlanabilir.

Bu grafikte, 𝜔₀ = 4 olarak alınmıştır. 𝜔 = 𝜔₀ rezonans frekansı olarak adlandırılır. Grafikten de görüldüğü gibi, 𝜔 = 𝜔₀ olduğunda 𝐵 katsayısı sıfır olmaktadır. Böylece, rezonans yakınında çözüm 𝑥_𝑠(𝑡) ≈ 𝐴 sin 𝜔𝑡 ve rezonanstan uzak bölgelerde ise 𝑥_𝑠(𝑡) ≈ 𝐵 cos 𝜔𝑡 şeklindedir.

Bu sistemde sürtünme kuvvetinin birim zamanda harcadığı enerji (güç) 𝑃_𝑠ü𝑟(𝑡) = 𝐹_𝑠ü𝑟(𝑡) 𝑣_𝑠 , dış kuvvetin birim zamanda sisteme sağladığı enerjiye 𝑃(𝑡) = 𝐹(𝑡) 𝑣_𝑠 eşittir:

〈𝑃_𝑠ü𝑟(𝑡)〉 = ¹

2 𝜔 𝐹₀𝐴 = 〈𝑃(𝑡)〉 (bir periyot üzerinden ortalama güç) Böylece sistemin salınım hareketinin devamlılığı sağlanır. Eğer dış kuvvet uygulanmazsa harmonik hareket söner.

Prof. Dr. Şengül Kuru, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

2 4 6 8 10 12

0.02 0.02 0.04 0.06 0.08

A, B