Genel Bilgiler. Giriş Titreşimlerin Sebepleri Titreşimlerin Sonuçları Sistemlerin Titreşim Analizi Titreşim ve İnsan

Kaynaklar:

{

“Makina Dinamiği” Yıldız Teknik Üniversitesi Yayını, Prof.Necati Tahralı Prof.Dr.Faris Kaya

Y.Doç.Dr.İsmail Yüksek Y.Doç.Dr.Rahmi Güçlü.

{

“Mekanik Titreşimler” Ders Notları, Prof.Dr.Özgür Turhan.

{

“Mekanik Titreşimler” Birsen Kitabevi Yayınları, Prof.Dr.Tuncer Toprak.

{

“Vibration Engineering” West Publishing Co., Andrew D. Dimarogonas.

{

“Theory Of Vibration With Application” Chapman

&Hall, William T. Thomson.

Genel Bilgiler

{

Giriş

{

Titreşimlerin Sebepleri

{

Titreşimlerin Sonuçları

{

Sistemlerin Titreşim Analizi

{

Titreşim ve İnsan

Titreşimle İlgili Terimler

{

Titreşim nedir?

Bir sistemin denge konumu civarında yapmış olduğu salınım hareketine titreşim denir.

Eğer yapılan salınım hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa böyle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adını alır.

x(t)=x(t+nT)

x=Yerdeğiştirme m, rad t=Zaman s

T=Peryod s

Titreşim Sistemlerinin Elemanları

{

Kütle

{

Yay

{

Sönüm

x

Serbestlik Derecesi

{ Hareket halindeki bir sistemin elemanlarının durum ve konumlarını belirleyen parametrelere koordinat denir.

{ Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamanda konumlarının tamamen belirli olması için gerekli birbirinden bağımsız minimum koordinat sayısına serbestlik derecesi denir.

Tek Serbestlik Dereceli Sistemler

x x

θ

İki Serbestlik Dereceli Sistemler

x₁

x₂

θ1

θ2

θ1 θ₂

θ

x

Ayrık ve Sürekli Sistemler

{ Sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistem denir.

{ Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistem denir.

SI Birim Sistemi

İsim Birim Sembol

Uzunluk Metre m

Kütle Kilogram kg Zaman Saniye s

Kuvvet Newton N (kg.m/s

) Gerilme Pascal Pa (N/m

)

İş Joule J (N.m)

Güç Watt W (J/s) Frekans Hertz Hz (1/s) Moment M N.m

Kütlesel Atalet Momenti J kg.m

Kesit Atalet Momenti I m

Harmonik Hareket

x=A sin 2π t T

x=Yerdeğiştirme (m,rad) A=Genlik (m,rad)

t=Zaman (s) T=Peryot (s)

t x

A

Daire Üzerinde Hareketli Bir Noktanın Harmonik Gösterimi

ω= 2 π =2 π f T

x=A sin ωt

x=ω A cos ωt=ω A sin(ωt-π/2)

O

A P A

x

2π

ω t t sin

A ω

Harmonik Harekette Yerdeğiştirme Hız ve İvme Vektörlerinin Gösterimi

Aω

t

x

x x

x

ω t

90 180

Euler Denklemi Yardımı ile Döner Bir Vektörün Gösterimi

e =cosθ +i sin θ

Euler Denklemi

A

i ω t

z=A e

i ω t i θ

z=A e =A e

z=A cos ωt + i A sin ωt z=x + iy

2 2

-1

A= x +y θ=tan y

x

θ

θ=ω t

m 1 2

ω =ω -ω

1 2

ω= ω +ω

2

m

1 2

T = 2π

ω -ω

1 2

T= 4π

ω +ω

Vuru Titreşim Parametreleri

clear

t=0:0.01:30;

x1=100*exp(i*2*pi*t);

x2=50*exp(i*2.2*pi*t);

x=x1+x2;

plot(t,x)

i 2π t 1

i 2.2π t 2

x (t)=100 e x (t)=50 e x(t)=?

t x

X 1+X 2X 1+X 2 |X 1-X 2||X 1-X 2|

T_m

T

X ~ ( t )

) t ( x

Vuru Olayı

Yay Elemanları

Helisel Yaylar

Yaprak Yaylar

Yay Karakteristikleri

F (N)

X (m)

F (N)

X (m)

α

Yay Katsayısı

k=tan α= (N/m) F x

Kuvvet

Yerdeğiştirme

Yay Katsayısı Tablosu

k= E I L k= E A

L

G d

k=

G I

k= L

L/2

3

48 E I k= L

L/2

3

192 E I k= L

3

768 E I

k= 7 L

a b

x

y 2 2 x

(

)

3 E I L P b x

k= y = L -x -b a b 6 E I L

δ

EI L

12E I

k=

( )

k= 3E I

L+a a

L a

( )

2

24E I k= a 3L+8 a

L a

Yayların Paralel Bağlanması

k₁ ^m k₂ ^x

≡

n

eş 1 2 3 n n

k =k +k +k +...+k = ∑ k

Yayların Seri Bağlanması

m x

k_eş

m x

≡

k₁ k₂

n

eş 1 2 3 n i=1 i

1 1 1 1 1 1

= + + +...+ =

k k k k k ∑ k

ÖDEV 6:

k₁ k₂

k₃ k₄

m x

Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.

ÖDEV 7:

k₁

k₂ k_ç1

k_ç2

m x

Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.

Sönüm Elemanları

{

Viskoz sönüm

{

Coulumb (kuru sürtünme) sönümü

{

Malzeme (histeresiz) sönüm

{

Sıkıştırılmış yağ (squeeze-film) damperi

{

Elekro-manyetik damper

{

Elektro-viskoz damper

Sönümsüz Serbest Titreşim

Düşey konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:

Statik denge konumu

x

x

t L₀

δ

k k

k

k δ

G=m.g

Serbest cisim diyagramı

Statik denge konumu:

ΣF =0

2 n st

G=m.g=k.δ

k g

= =ω

m δ

Newton’un 2. kanunu uygularsak,

(

)

F m.a m x -k δ x G

Σ = ⇒ = + +

G=m.g=k.δ

m x+k x=0

x

k( δ +

x)

G=m.g

x

m

Yatay konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:

Newton’un 2. kanunu uygularsak,

ΣF=m.a

x

k m

x

x m x

k

Sönümsüz Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması

m x k x + = 0

Bu diferansiyel denklemin çözümünün

x = A e

biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek,

s t 2 s t

x s A e x s A e

=

=

Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine

( ^{m s}

^{+ k A e} )

^{= 0}

Burada,

A , e

≠ 0

m s

+ = k 0

Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir.

Karakteristik denklemin kökleri,

k

Bu durumda, hareket denklemi:

1 2 n n

s t s t i t i t

1 2 1 2

x(t) = A e + A e = A e

+ A e

A₁ ve A₂ başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.

e

= cos .t i.sin .t θ ∓ θ

( ) ( )

( ) ( )

1 n n 2 n n

1 2 n 1 2 n

x(t) A cos t i sin t A cos t i sin t x(t) A A cos t i A A sin t

ω ω ω ω

ω ω

= − + +

= + − −

( )

B = A + A ^{B =} ( ^{A − A} )

1 n 2 n

x(t)=B cos ω t+B sin ω t

Başlangıç şartları

0

0

x(0) x t 0

x(0) x

⎧ =

⎪⎪ ⎪⎪

= ⇒ ⎨

⎪⎪ =

⎪⎪⎩

olsun.

Bu durumda,

B =x ,

n

B = x

ω

Problem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız. Tabii frekansını ve periyodunu hesaplayınız.

L uzunluğunda ağırlıksız bir ipin ucuna m kütlesi asılmıştır.

Çözüm:

ϕ L J ϕ

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

M J ϕ

Σ =

J ϕ = -m g.L sin ϕ

J = m L 2 ϕ << 0 ⇒ sin ϕ ≅ ϕ

2

g

m L ϕ + m g L ϕ = 0 ⇒ ϕ + ϕ = 0

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız.

m,L

M

k

Çözüm:

Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve oluşan kuvvetleri gösterelim.

x . k

ϕ

g

.

m

J ϕ

M J ϕ

Σ =

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

m M

J J m g. sin -M g.L sin -k x.L cos L

ϕ + ϕ = − 2 ϕ ϕ ϕ

0 sin cos 1

ϕ << ⇒ ϕ ≅ ϕ ϕ ≅

Yaydaki sıkışma miktarı

x = L.sin ϕ = L ϕ

2 2 2

1 1

m L M L ϕ m g.L M g.L k L ϕ 0

⎛ ⎞ ⎟ ⎛ ⎞ ⎟

⎜ + ⎟ + ⎜ + + ⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

m M

J 1 m L , J M L

= 3 =

sadeleştirme yapılırsa,

1 1

m M L m g M g k L 0

3 ϕ 2 ϕ

⎛ ⎞ ⎟ ⎛ ⎞ ⎟

⎜ + ⎟ + ⎜ + + ⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 m g M g k L

k 2

ω + +

= =

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız

k

M x

m,r

Çözüm:

ϕ

x k

M x

J ϕ

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

M J ϕ

Σ =

J

ϕ + M x.r = -k x.r

x r.sin r x r

x r

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= =

=

=

0 sin cos 1 ϕ << ⇒ ϕ ≅ ϕ ϕ ≅

yazılabilir.

2 m

J 1 m r

= 2

düzenleme yapılırsa,

1

m r M x.r -k x.r

2 ϕ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ + =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

2 2 2

1 m r M r k r 0 2

1 m M k 0 2

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎛ ⎞⎟

⎜ + ⎟ + =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟

⎜ + ⎟ + =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

Lineerleştirme

{ Yapısal nonlineerlik (Malzeme nonlineerliği)

{ Geometrik nonlineerlik - Ağırlık kuvveti

- Merkezkaç kuvveti - Sürtünme kuvveti

Tek serbestlik dereceli bir sistemin diferansiyel denklemi aşağıdaki gibidir.

( )

m x f x + = 0

Burada yay fonksiyonudur.

^{f x} ( )

lineer olmayan bir formda ortaya çıkmış olsun.

( )

f x

Koordinat başlangıcını, denge konumunda seçelim,

x = 0

olsun bu durumda fonksiyonunu

yani;

^{f 0} ( ) ^{= 0 f x} ( ) x = 0

Elde edilen lineerleştirilmiş yay fonksiyonu dif. denklemde yerine konulursa, lineerleştirilmiş dif. denklem elde

( )

f x ≅ k x m x k x + = 0

1

( )

k df 0

= dx 0

f(x)

x

2 3

x << ⇒ x , x …

( ) ^{df 0} ( )

f x x

≅ dx

( )

k df 0

= dx

( )

f x ≅ k x

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız

x y

m₁

m₂ L₁

L₂

k

Çözüm:

ϕ ϕ

g m

L cosϕ

L sinϕ

L sinϕ

J ϕ

J ϕ

x y

k L sinϕ

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

M J α

Σ =

( ) ( )

1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 1 2 2 2 1 1

J J m g L sin -k L sin L cos

m L m L k L cos m g L sin 0

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ =

+ + − =

Burada, dir.

f(x) fonksiyonunu lineerleştirmek amacıyla seriye açarsak

( ) (

)

f ϕ = k L cos ϕ − m g L sin ϕ

Küçük titreşimler için lineerleştirilmiş diferansiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir.

(

) (

)

2

2 1 1

n 2 2

1 1 2 2

m L m L k L m g L 0

k k L m g L

m m L m L

ϕ ϕ

ω

+ + − =

= = −

+

Sönümlü Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması

Bu diferansiyel denklemin çözümünün

x = A e

biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek,

s t 2 s t

x s A e x s A e

=

=

m x c x k x + + = 0

( ^{m s}

^{+ c s + k A e} )

^{= 0}

Burada,

A , e

≠ 0

m s

+ c s k + = 0

Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir.

Karakteristik denklemin kökleri, 2 2

1,2

c c 4mk c c k

s 2m 2m 2m m

⎛ ⎞

− ± − ⎜ ⎟

= = − ± ⎜ ⎜⎝ ⎟ ⎟ ⎠ −

Sistemin birbirinden bağımsız iki gerçek kökü vardır. Bu durumda, hareket denklemi:

1 2

s t s t

1 2

x(t) = A e + A e

A₁ ve A₂ başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.

Kritik Sönüm Katsayısı ve Sönüm Oranı

Kritik sönüm katsayısı c_kr aşağıdaki gibi tanımlanır.

2

c

k 2m m 0

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ − =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

kr n

c 2m k 2 k m 2m

m ω

= = =

Sönüm oranı ise,

c

ξ = c

Eğer karakteristik denklem,

m s

+ c s k + = 0

ξ

ω

n n2

2 2 2

n n

2

c k

s s 0 s 2 s 0

m m

ξ ω ω

ξω ω

+ + = ⇒ + + =

denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur.

1.Durum: Zayıf Sönümlü Sistem

Kritik altı sönümlü sistemlerde negatif olur. Bu durumda,

( ^{ξ −}

¹ )

( )

( )

2

1 n

2

2 n

s i 1

s i 1

ξ ξ ω

ξ ξ ω

= − + −

= − − −

olur. Sistemin bir çift eşlenik kompleks kökü olduğundan,

m k 2m

c , c c

,

1

> <

<

ξ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

n n

2 2

n n

n

i 1 t i 1 t

1 2

i 1 t i 1 t

t

x t A e A e

x t e A e A e

ξ ξ ω ξ ξ ω

ξ ω ξ ω

ξ ω

− + − − − −

− − −

−

= +

= +

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n

n

1 2

n

t 2 2

1 n n

2 2

2 n n

t 2 2

1 2 n 1 2 n

B B

- t 2

n

x t e A cos 1 t i sin 1- t A cos 1 t i sin 1- t

x t e A A cos 1- t i A A sin 1- t

x t X e sin 1 t

ξ ω

ξ ω

ξ ω

ξ ω ξ ω

ξ ω ξ ω

ξ ω ξ ω

ξ ω φ

−

−

= ⎡ ⎢⎣ − + +

− − ⎤ ⎥⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ + + − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − +

2 2

1 2

1 2 1

X B B

tan B φ

B

= + ⎫⎪ ⎪⎪⎪

= ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎭

olarak yazılabilir.

Başlangıç şartları, ^{t 0 0}

t 0 0

x x

x x

=

=

⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨⎪ =

⎪⎪⎩

ise,

1 0

0 n 0

2 2

B x

x x

B 1

ξ ω

ω ξ

=

= +

−

^{x t} ( )

( )

( )

^x

^x

( )

x t e

x cos t ξ ω sin t

ω ω

−

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎫ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎪ + ⎬ ⎪

( )

(

)

(

)

n

x x

x t e x cos 1 t sin 1 t

1

ξ ω

ξ ω

ξ ω ξ ω

ω ξ

−

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎫ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − + − − ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

2

d

1

ω = − ξ ω

( )

x t

t X

d d

T 2π

= ω

nt

X e

nt

X e

−

( )

sin ω t + φ

φ

x

1

tan x0

α = ⁻

2.Durum: Kritik Sönümlü Sistem

m k 2m

c , c c

,

1

= =

= ξ

Katlı kök olduğundan, _{1 2}

c

s s

2m ω

= = − = −

m x c x k x + + = 0

( ) (

)

x t = A + A t e

Başlangıç şartları, ^{t 0 0}

t 0 0

x x

x x

=

=

⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨⎪ =

⎪⎪⎩

ise,

( )

(

)

x t = ⎡ ⎣ x + x + ω x ⎤ ⎦ e

bulunur. Dikkat edilirse,

t → ∞ ⇒ e

→ 0

t

( )

x t

x

> 0 x

= 0

x

< 0

3.Durum: Aşırı Sönümlü Sistem

kr

c k

1 , c c ,

2m m

ξ > > >

m x c x k x + + = 0

Diferansiyel denkleminin karakteristik denklemi,

m s

+ + = cs k 0

(

)

1,2 n

s = − ± ξ ξ − 1 ω

eğer, olur.

ξ > 1 ⇒ ξ

− > 1 0

Başlangıç şartları, ^{t 0 0}

t 0 0

x x

x x

=

=

⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨⎪ =

⎪⎪⎩

ise,

( )

( )

2

0 n 0

1 2

n

2

0 n 0

2 2

x 1 x

A 2 1

x 1 x

A 2 1

ω ξ ξ ω ξ

ω ξ ξ ω ξ

+ − +

= −

− − − −

= −

(

)

A e

(

)

A e

( )

x t

t

A

Logaritmik Azalma

( )

x t ∞

t x

x

Problem: Aşağıda denge konumundaki sistemin verilen değer ve başlangıç şartlarına bağlı olarak 5 s için hareketini inceleyiniz.

k M,L c

Çözüm:

ϕ

x

y

kx

y

c

x L x L x L

L L L

y y y

2 2 2

J 1 ML 3

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= = =

= = =

= J ϕ

J ϕ

Mg

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

m M

2

2 2 2

M J

J J cy L kx L mg x Mg y 2

1 L L

mL ML c kL mgL Mg 0

3 4 2

12 5 12000 0 ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

∑ =

+ = − − − −

⎛ ⎞ ⎟ ⎛ ⎞ ⎟

⎜ + ⎟ + + ⎜ + + ⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + =

m 10 kg M = = 6 kg L 1 m c = = 5 Ns/m k 12 10 N/m =

0 0

0 0

x 10 rad

t 0 180

x 5 rad / s

180 ϕ π

ϕ π

⎧⎪⎪ = =

= ⎪⎪⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎩ = =

kr

n

2 2

d n

c c 5

0.0065 c 2 km 2 12000 12

k 12000

10.065 rad/s

m 12

1 10.065 1 0.0065 10.065 ξ

ω π

ω ω ξ π π

= = = =

= = =

= − = − ≅

( )

( )

( )

t e cos t

sin t

1

ξ ω

ϕ ξ ω ϕ

ϕ ϕ ω ω

ω ξ

−

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎫ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎪ + − ⎬ ⎪

Sönümsüz Zorlanmış Titreşim

Zorlayıcı kuvvet tipleri:

{ Zorlayıcı dış kuvvetler.

{ Dengelenmemiş kütlelerin oluşturduğu kuvvetler.

{ Zeminden gelen kuvvetler.

Eğer, zorlayıcı kuvvet harmonik ise;

Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması:

Newton’un 2. kanununa göre,

m x

k

0

( )

F = F cos t ω

m

x m

x k

0

( )

F = F cos t ω

Sönümsüz Zorlanmış Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması

En genel halde harmonik bir dış kuvvet olsun.

^{F = F cos t}

( ) ^ω

Hareketin diferansiyel denklemi:

0

( )

mx kx + = F cos t ω

Hareket denkleminin genel çözümü:

( )

( )

( )

( )

x t = x t = x t + x t

Homojen çözüm:

( ) ( ) ( )

h 1 n 2 n

x t = A cos ω t + A sin ω t

1

2

3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ö ö

2 ö

x t X cos t x t X sin t

x t X cos t

ω

ω ω

ω ω

=

= −

= −

5

5 1’in içine konulursa;

6

( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

2

0

2 0

0 2

m X cos t k cos t F cos t k m X cos t F cos t X F

k-m

ω ω ω ω

ω ω ω

ω

− + =

− = ⇒ =

Genel çözüm:

( ) ( ) ( ) ^F

( )

x t = A cos ω t + A sin ω t + cos ω t

Başlangıç şartları, ^{t 0 0}

t 0 0

x x

x x

=

=

⎧ =

⎪⎪⎪ ⎨⎪ =

⎪⎪⎩

ise,

olarak bulunur ve genel çözüm:

0

1 0 2

2 0

n

A x F

k m A x

ω ω

= −

−

=

n

X ω

‘ in ile değişimi ω

n2

0 0 0

0

2 2 2

2 2 0

n n

F F F

F k k k X k 1

X X

k m 1- m k 1 k 1 F 1

m

ω

ω

ω ω ω ω

ω ω

= ⇒ = = = ⇒ =

− − − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Genlik oranı veya büyütme faktörü.

0

R X k

= F

1.Durum: ise;

n

0 ω 1

< ω <

( )

( )

F t =F cos tω

ω t

ω t

( ) ( )

x t =Xcos ωtö

( )

( )

F t =F cos tω

ω t

ω t

( ) ( )

x tö =Xcos tω

2.Durum: ise;

n

ω 1

ω >

( )

( )

F t =F cos tω

t

t ( )

x t

3.Durum: ise;

n

ω 1

ω =

Problem: Aşağıda denge konumundaki sistemin verilen değer ve başlangıç şartlarına bağlı olarak 2 s için hareketini inceleyiniz.

L , m

m,e,ω

x

k

M

Çözüm:

ϕ Jϕ

kx

x ^{M x}

0

2 F

F = me ω cos t ω

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

2 2 2 2

cubuk

M J

J Mx L kx L F L

1 m L ML kL me L cos t 3

ϕ ϕ

ϕ ϕ ω ω

∑ =

+ = − +

⎛ ⎞⎟

⎜ + ⎟ + =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

cubuk

3

0 0

0 0

m 30 kg M 300 kg m 0.5 kg

e 1 m n 2000 d/d L 2 m k 50 10 N/m x 5

t 0 180

x 8

180 ϕ π

ϕ π

= = =

= = = =

⎧⎪⎪ = =

= ⎪⎪⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎩ = =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

M0

n

0 0 0

0 2 n n 2

n

-

n 2000

66.66 rad/s

30 30

1240 200000 43856cos 66.66 t

k 200000

4.042 rad/s

m 1240

M M

t cos t sin t cos t

k m k m

t 0.0881cos 4.042 t 0.011sin 4.042 t 8.0943 10

π π

ω π

ϕ ϕ π

ω π

ϕ ϕ ω ϕ ω ω

ω ω ω

ϕ π π

= = =

+ =

= = =

⎛ ⎞⎟

= ⎜ ⎜ ⎜⎝ − − ⎟ ⎟ ⎠ + + −

= + −

cos 66.66 t ( π )

Problem: Aşağıdaki sistemin titreşim hareketini 4 s için çiziniz.

m

k

x

F

= 1200cos 20 t π

F

= 2500sin 20 t π

Çözüm:

F

= 2500sin 20 t π

m

kx

x

x m

F

= 1200cos 20 t π

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

1 2

1 2

1

F ma

mx kx F F

mx kx F F

120x 25000x 1200cos 20 t 2500sin 20 t tan 2500 64.35

1200

π π

φ

φ

∑ =

= − + +

+ = +

+ = +

= ⇒ =

0 0

m 120 kg k 25000 N/m x 0.01 m

t 0

x 0.2 m/s

= =

⎧ = ⎪⎪

= ⎨⎪ = ⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n

0 0 0

0 2 n n 2

n

k 25000

4.59 rad/s 20

m 120

F x F

x t x cos t sin t cos t

k m k m

x t 0.0162cos 4.59 t 0.0139sin 4.59 t 0.0062cos 20 t 64.35

ω π ω π

ω ω ω φ

ω ω ω

π π π

= = = =

⎛ ⎞⎟

= ⎜ ⎜ ⎜⎝ − − ⎟ ⎟ ⎠ + + − −

= + − −

Sönümlü Zorlanmış Titreşim

Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması:

m x

k c

0

( )

F = F cos t ω

m

x m

x

k c x

0

( )

F = F cos t ω

Sönümlü Zorlanmış Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması

En genel halde harmonik bir dış kuvvet olsun.

^{F = F cos t}

( ) ^ω

Hareketin diferansiyel denklemi:

Hareket denkleminin genel çözümü:

( )

( )

( )

( )

x t = x t = x t + x t

Homojen çözüm:

( ) ( ) ( )

h 1 n 2 n

x t = A cos ω t + A sin ω t

Uyarıcı kuvvet harmonik olduğu için özel çözüm ‘de harmonik ve aynı

^{F t} ( )

x t

( )

ω

1

2

3

0

( )

mx cx + + kx = F cos ω t

5

5 1’in içine konulursa;

6

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ö ö

2 ö

x t X cos t x t X sin t

x t X cos t

ω φ

ω ω φ

ω ω φ

= −

= − −

= − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( ) ( )}

2

0 2

0

m X cos t c Xsin t k cos t F cos t k m cos t c sin t X F cos t

ω ω φ ω ω φ ω φ ω

ω ω φ ω ω φ ω

− − − − + − =

⎡ − − − − ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

7 nolu eşitlik 6 denklemine konulursa;

(

) ^{( ) ( )}

X k m ⎡ ⎢ ⎣ − ω cos t cos ω φ + sin t sin ω φ − c sin t cos ω ω φ − cos t sin ω φ ⎤ ⎥ ⎦ = F cos t ω

( )

( )

2

0 2

X k m cos c sin F

X k m sin c cos 0

ω φ ω φ

ω φ ω φ

⎡ − + ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ − − ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

ve ‘nin katsayılarını eşitlersek;

sin t

t

cos ω ω

9 Bu iki denklemin karelerini alalım:

( ) ^{( )} ( )

( ) ^{( )} ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

0

2 2

2 2 2 2 2

X k m cos c sin 2 k m c cos sin F

X k m sin c cos 2 k m c cos sin 0

ω φ ω φ ω ω φ φ

ω φ ω φ ω ω φ φ

⎡ − + + − ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ − − − − ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

10

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

2 2

2 2 2 0

0 2 2 2

X k m c F X F

k m c

ω ω

ω ω

⎡ − + ⎤ = ⇒ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦ − +

9 nolu denklemden;

(

)

0

X k m sin c cos 0 tan c

k m

ω φ ω φ φ ω

ω

=

⎛ ⎞

⎡ − − ⎤ = ⇒ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎣ ⎦ ⎝ − ⎠

Genel çözüm:

13