SÜREKLİ VE AYRIK ZAMANLI KONTROL SİSTEMLERİNDE KULLANILAN TEMEL MATEMATİKSEL OPERASYONLAR VE KARAKTERİSTİKLERİ

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 1

SÜREKLİ VE AYRIK ZAMANLI KONTROL SİSTEMLERİNDE KULLANILAN TEMEL MATEMATİKSEL OPERASYONLAR VE KARAKTERİSTİKLERİ

1.Amaç:

Sürekli ve ayrık zamanlı kontrol sistemlerinde kullanılan temel matematiksel operasyonların çalışma prensipleri, karakteristiklerinin elde edilmesi ve incelenmesi.

2. Kontrol Sistemlerinde kullanılan matematiksel operasyonlar:

Kontrol sistemlerinde işaretlerin toplanması ve farklarının alınması en çok karşılaşılan işlemlerdir. Bu işlemlerin blok diyagramlarda genellikle şekil 1.1 (a) ve (b) deki gibi gösterilirler.

Şekil 1.1: Sistem değişkenlerinin a) Toplanması b) Farklarının alınması

Şekil 1.1 (b) deki fark alıcı bilinen komparatör işleminden karakteristik olarak farklıdır.

Karşılaştırıcının giriş-çıkış karakteristiği şekil 1.2 de histerisizli ve histerisizsiz durumları için verilmiştir.

Şekil 1.2: Komparatör karakteristiği a) İdeal b) Histerisizli

Kontrolör tasarımında ve sistemlerin yapısında sıkça karşılaşılan işlemlerden biride integratör işlemidir. İntegratör devresinin çıkışı, devre girişinin integratörün 1/zaman sabitesi ile çarpımına eşittir. İntegratör zamanla giriş işaretini toplar ve belli bir değere kadar toplama işlemi devam eder ve bu değerde sabit kalır. Buna integral (Wind-up) saturasyonu denilir. İntegratörde kullanılan op-amp’ ın besleme gerilimi Wind-up ile doğrudan ilişkilidir. Bir integrator matematiksel modeli şekil 1.3 de verilmiştir. İntegral işlemi sona erdikten sonra integratör devresi resetleme tuşu ile başlangıç şartı sıfıra indirgenmelidir ki devre tekrar integral işlemi yapabilsin. Bir integral devresinin zaman sabiti genellikle sürekli duruma eriştiği sürenin 1/4 veya 1/5 i kadardır.

Şekil 1.3: Integratör devresi blok diyagramı M

-M

Vg Vç Vg Vç

(a) (b)

Wind-up

Vç

Vg

1/s

Integratör D=A+B+C A

B

C

(a) (b)

yr e = yr -y

y

Kontrol sistemlerinde integrator işleminin tersi türev işlemidir. Türev devresinin çıkışı girişin değişim oranı ile orantılıdır. Şekil 1.4 de bir türev devresinin kare dalga girişe karşı çıkış karakteristiği verilmiştir.

Şekil 1.4: Türev devresinin kare giriş işaretine cevabı

Kontrol sistemlerinde türev devresi kontrolör tasarımında ve sınırlı olarak ölçülmesi olanaksız veya sorunlu olan ara değişkenlerin tahmin etmesinde kullanılmaktadır. Bununla birlikte türev devresinin girişine kare dalga uygulayarak çıkışında seri pulslardan oluşmuş puls jenaratörü elde edilmesinde de kullanıla bilinir.

Yukarda özet olarak verilen işlemler sayısal kontrol sistemlerinde ayrık zaman prensibine göre çalışan eşdeğerleride vardır. Sürekli zamanlı işaretler minimum örnekleme şartını sağlayacak şekilde örneklenerek ayrık eşdeğerleri elde edilir ve bu işlemi yapan birime A/D çeviriciler denilir. Ayrık zamanlı işaretleri sürekli zamanlı işaretlere çevrilirken tutma (hold) devreleri kullanılır. Tutma devreler belli örnekleme aralıklarında D/A çeviricinin çıkışındaki işaretin anlık değerini tutarak sistemi süren birime aktarır. Örnekleme periyodu T olmak üzere Bir sıfırıncı dereceden tutucunun giriş-çıkış karakteristiği şekil 1.5 te verilmiştir. Şekil 1.5’te sıfırıncı derece tutucu devrenin girişine sürekli zamanlı bir işaret uygulanmış ve tutucu devrenin çıkışı elde edilmiştir. Sekil 1.5 te de görüldüğü gibi sıfır dereceden tutucu devre işaretin anlık değerini tutuktan sonra bir sonraki periyoda kadar bu değerde kalmaktadır ve işaretin değişimine bağlı olarak belli bir hata ile giriş işareti tutmaktadır. Giriş çıkış arasında yapılan hata daha yüksek dereceden tutucu devre kullanılarak giderilir.

Şekil 1.5: Sıfırıncı mertebeden tutma devresinin giriş-çıkış karakteristiği.

Ancak işaret tutma devreleri geri beslemeli kontrol sistemlerinde ek bir dinamik getirdiklerinden dolayı genellikle sıfırıncı dereceden tutma (zero order hold ) kullanılır. Birinci, ikinci

0 5 10 15 20 t (sn) 0 5 10 15 20 t (sn)

Vç Vg

T

Vc çıkış

0 1 2 3 4 5 6 t (sn) Vg giriş

3. Deneyin yapılışı

3.1 Toplama devresi karakteristiği:

Şekil 1.6 da bağlantısı verilen deneyi DIGIAG 1750 setinde bağlantısını yapınız. Voltmetre ile A,B,C değerlerini ölçünüz ve toplama devresinin çıkışı ile karşılaştırınız.

Şekil 1.6: İşaretlerin toplanması

Toplama devresinin girişine uygulanan gerilimlerin toplamı ve farkı  10 V aralığında olduğunu not ediniz ve toplama devresinin çıkışı

D = A + B + C

Eşitliğine göre çalıştığını gözlemlediniz mi? Farklı girişler için deneyi tekrarlayınız.

A+B+C ‘nin  10 V’tan büyük değerlerde D, çıkışı sağlamadığını ve bu durumda toplama işleminin doğrusallık özelliğinin kaybolduğunu gözlemlediniz mi?

3.2. Fark alıcı devre ve karşılaştırıcı devre karakteristikleri

Şekil 1.7 deki devreyi kurunuz. B deki girişi +2 V olarak ayarlayınız. A daki girişe çeşitli değerler vererek C = A – B değerini not ederek gözleyiniz.

Şekil 1.7 deki differansiyel amp. çıkarınız ve yerine şekil 1.8’deki comparator (karşılaştırıcı)’ü bağlayınız. A daki girişin beslemesine 12 V giriş uygulayacak şekilde değiştiriniz ve Histerisiz opsiyonu off konumuna getiriniz. B girişine 3V uygulayınız. A daki girişi 0.5 V adımlarla artırınız.

Sonuçları kaydediniz. A girişindeki değeri adım adım azaltarak not ediniz. Aynı işlemi B ve A nın zıt işaretlileri için tekrarlayınız. Histerisiz on konumuna getirerek aynı işlemleri tekrarlayınız. Sonuçları histerisiz off durumuyla karşılaştırınız.

Şekil 1.7: Fark alıcı devre dizaynı A

B C

+ + +

+5

+5

-5

+5

-5 -5

+

- D=A+B+C

+12

A C +5 B

-12 -5

+

- Differantial

Amp.

Power Amp

Solenoid

Şekil 1.8: Karşılaştırıcı devresi

Histeresiz on ve off durumuna ilişkin karşılaştırıcı devresinin karakteristiğini elde ediniz ve sonuçları grubunuz ile tartışınız? Yapısında karşılaştırıcı elemanı bulunan sistemlerin doğrusal sistemler için geliştirilen metotlarla analizi yapıla bilinir mi?

3.3 İntegral ve Türev devresi karakteristikleri

İntegratör devresi karakteristiğinin elde edilmesi için Şekil 1.9 deki devreyi kurunuz? Giriş gerilimini 1 V getiriniz ve integratör zaman sabitesi konumunu 1s konumuna getiriniz. Reset tuşuna basarak V çıkışın yaklaşık 12 V eriştiği süreyi not ediniz. İntegratör zaman sabitesini 10s ve 100s konumuna alarak reset tuşuyla integratörün çıkışını sıfırlayarak durumu gözlemleyiniz. Her bir durum için sonucu not ediniz. Belli sürelerle integratör devresi çıkışını not ederek çıkış-zaman grafiğini çiziniz ve zaman sabitesini hesaplayınız. Hesapladığınız değerle setin üzerindeki değeri karşılaştırınız?

Gerekirse bir hafızalı osiloskop bağlıyarak durumu not ediniz? Reset tuşuna basmadan girişi değiştiriniz. Çıkışta herhangi bir değişiklik gözlemlediniz mi?

Şekil 1.9: İntegral devresi

İntegratörün girişine 1V ve 0.5 V uygulayarak 100 s kademesindeki integratör çıkış değişimini gözlemleyiniz. Her iki durumda integratör çıkışının 12 V değerine erişme anlarının niçin farklı olduğunu belirtiniz. İntegratör zaman sabitesini 10s kademesini seçiniz ve integratörün girişine 0.5 V uygulayınız integratör çıkışı 3 V olunca integratör girişini kesiniz integratör çıkışını belli bir süre gözlemleyiniz? İntegratör çıkışında bir değişiklik oldu mu? Nedenini açıklayınız?

Türev devresi karakteristiği için şekil 1.10 daki devreyi kurunuz. İntegratör ve türev devresinin zaman sabitlerini 1s olarak ayarlayınız. İntegratörün resetine basarak türevin çıkışındaki voltmetreden durumu gözleyiniz. İntegratörün girişine 1V uygulayınız, reset tuşuna basarak türevin çıkışını gözlemleyiniz. İntegratör çıkışı maksimum değere ulaştığı anda türev devresinin çıkışının belli bir değerden sıfıra düştüğünü gözlemlediniz mi? Bunu nedenini raporda ayrıntılı olarak açıklayınız.

Farklı integratör ve türev zaman sabiteleri için durumu tekrarlayınız. Sonuçları grup elemanları ile tartışarak not ediniz?

- C +

on off

histerisiz

B A

Vçıkış

-5

+5

+

-

Vgiriş integratör

1s 10s 100s reset

Şekil 1.10: Türev devresi deneyi

3.4 Tutma devresi karakteristiği:

a) DC giriş karakteristiği

Devrenin bağlantı şeması şekil 1.11’ de verilmiştir. Şekil 1.11 de verilen buffer#1 giriş gerilimini dc 0.5 V getiriniz. Sample tuşuna basınız ve Zero Order Hold- ZOH çıkışını gözlemleyiniz sample tuşundan elinizi çekiniz ve buffer#1 giriş gerilimini değiştirdiğinizde ZOH çıkışı değişti mi?

Tekrar sample tuşuna basınız ve buffer#1 giriş gerilim değerinin ZOH çıkışında aynen görüldüğünü not ettiniz mi?

b) AC giriş karakteristiği

Devrenin bağlantı şeması şekil 1.11’daki ± 5V luk dc kısım çıkarılarak, yerine sinyal generatörünü buffer#1 ‘e bağlanır. Sinyal generatörün frekansını 1Hz getiriniz. Bir hafızalı osiloskobun kademelerini dc kademeye getiriniz. Osiloskobun birinci kanalını (Channel-1) Buffer#1

‘in girişine ve ikinci kanalını (Channel-2) ZOH’un çıkışına bağlayınız. Devreye enerji veriniz ve sample tuşuna farklı aralıklarla basılarak ac’de ZOH devresinin nasıl örnekleme ve tutma yaptığını gözlemleyiniz.

Eğer periyodu 10s ve genliği 10 V olan bir sinüzoidal işaret T = 5s aralıklarla örneklenirse ZOH çıkışının nasıl olacağını şekil çizerek tartışınız. T = 3, 2, 1 ve 0.5 s seçerek aynı problem için ZOH çıkışını her bir durum için ayrı ayrı çiziniz. Hangi durumda giriş işaretinin iyi örneklendiğini belirtiniz? Yukarda verilen işareti uygun örneklemek için T nin sağlaması gereken şartı araştırarak bulunuz ve sonucu deneyde elde edilen sonuçlarla karşılaştırınız.

Şekil 1.11: Sıfırıncı mertebeden tutucu devresi Zero order hold

-5

+5

+

-

Vgiriş Sample

and hold sample

Buffer#1 -5

+5

I/P

Vg Integratör

1s 10s 100s reset

Diff.

100s 10s 1s

Vç

0V

4. Sonuç ve Tartışma:

1. Her bir deneyde sorulan soruları yanıtlayınız?

2. Yukarda deneyi yapılan matematiksel operasyonların karakteristiklerini ve kullanım biçimini (doğrusal-doğrusal olmayan) açısından sınıflandırınız?

3. Matlab/SIMULINK kullanılarak yapılan kontrol sistemlerin modellemesinin deneyde elde edilen karakteristikler ile ne derece örtüştüğünü araştırarak açıklayınız?

4. Transfer fonksiyonu ve pulse transfer fonksiyonu nedir deneysel olarak nasıl elde edilir açıklayınız?

5. ZOH devresinin transfer fonksiyonunu ve pulse transfer fonksiyonunu araştırınız ve elde ediniz?

5. Deneyin yapılması için gerekli olan elemanlar 1. DIGIAG 1750 seti

2. Ölçü aleti 3. Osilaskop 4. Sinyal jeneratörü