IST3002 Deney Tasarımı ˙Ikili ve C¸ oklu Kar¸sıla¸stırmalar

IST3002 Deney Tasarımı

˙Ikili ve C¸ oklu Kar¸sıla¸stırmalar

Fatih Kızılaslan

Marmara ¨Universitesi

2019-2020 Bahar V-VI. Hafta

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 1 / 14

Giris

Bir faktor ve a faktor d¨uzeyinden olu¸san

y_ij = µ + τ_i + _ij, i = 1, ..., a, j = 1, ..., n

bi¸ciminde verilen ANOVA modelinde fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamalarının e¸sitlikleri i¸cin

H0: µ₁ = µ₂ = ... = µ_a = µ

bi¸ciminde verilen H0 sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda, fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamaları arasındaki farklılı˘gın hangi d¨uzey veya d¨uzeylerden kaynaklandı˘gını belirlemek i¸cin bir¸cok ikili ve ¸coklu kar¸sıla¸stırma y¨ontemleri mevcuttur. Burada, literat¨urde en sık kullanılan y¨ontemleri ele alaca˘gız.

1.Do˘ grusal (Lineer) Ba˘ gıntılar Metodu (Linear Contrasts)

Lineer ba˘gıntılar fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamaları µ_i, i = 1, ..., a lerin lineer kombinasyonu olarak

Γ =

a

X

i =1

c_iµ_i, c_i ∈ R

bi¸ciminde tanımlanır. Burada, bu ifadenin µ_i g¨ore lineer olması i¸cin Pa

i =1c_i = 0 olması gereklidir.

Lineer ba˘gıntıları kullanarak sıfır ve alternatif hipotezlerini H₀: Γ = 0 ⇔

a

X

i =1

c_iµ_i = 0 ve H₁: Γ 6= 0 ⇔

a

X

i =1

c_iµ_i 6= 0 bi¸ciminde ifade ederiz.

Orne˘¨ gin, a = 5 olmak ¨uzere H₀ : µ₁+ µ₂+ µ₄ = 3µ₅ hipotezini c1= c2= c4 = 1, c3 = 0 ve c5 = −3 alarak lineer ba˘gıntılar ile

H0 :

5

X

i =1

ciµ_i = 0 ⇔ µ₁+ µ₂+ µ₄− 3µ₅= 0 bi¸ciminde ifade ederiz.

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 3 / 14

H₀ : Γ = 0 hipotezini test etmek i¸cin t₀ =

Pa i =1c_iy_{i .} qMSE

n

Pa i =1c_i² veya SS_C = (^Pai =1ciy_{i .})²

1 n

Pa

i =1c_i² lineer ba˘gıntılar i¸cin kareler toplamı (contrast sum of square) olmak ¨uzere

F0 = t₀² = SSC/1

SS_E/(N − a) = MSC

MS_E test istatistikleri kullanılabilir.

H0 : Γ = 0 hipotezi do˘gru oldu˘gunda t0 ∼ t_N−a ve F0∼ F_1,N−a olur (N = n a).

E˘ger g¨ozlemlerden hesaplanan t0 veya F0 de˘gerleri t_hesap veya F_hesap i¸cin thesap> t_N−a,α/2 veya thesap < −t_N−a,α/2

veya

F_hesap> F_1,N−a,α olur ise H0 : Γ = 0 hipotezi reddedilir.

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 5 / 14

2.Dik Do˘ grusal Ba˘ gıntılar Metodu (Orthogonal Contrasts)

Lineer ba˘gıntıların ¨ozel bir durumudur. Γ₁=Pa

i =1c_iµ_i, c_i ∈ R ve Γ2 =Pa

i =1diµ_i, di ∈ R bi¸cimindeki iki farklı lineer ba˘gıntı i¸cin katsayılar

a

X

i =1

cidi = 0

e¸sitli˘gini sa˘glıyor ise Γ1 ve Γ2 ba˘gıntılarına dik lineer ba˘gıntı denir.

a tane fakt¨or d¨uzeyinin oldu˘gu bir deneyde en fazla a − 1 tane dik lineer ba˘gıntı olu¸sturulabilir.

Her bir lineer ba˘gıntının serbestlik derecesi 1 dir.

Deney yapılmadan ¨once hangi fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamalarının kar¸sıla¸stırılaca˘gına karar verilmi¸sse Do˘grusal Ba˘gıntılar ve Dik Do˘grusal Ba˘gıntılar y¨ontemleri kullanı¸slıdır.

3. Scheffe Metodu

Onceden planlanmı¸s az sayıdaki ba˘¨ gıntıyı de˘gil fakt¨or¨un d¨uzeyleri i¸cin t¨um m¨umk¨un ba˘gıntıları test etmek i¸cin kullanılan bir y¨ontemdir.

m tane ba˘gıntının oldu˘gu bir durumda bu ba˘gıntıları Γ_u=

a

X

i =1

c_iuµ_i, u = 1, ..., m, c_i ∈ R, bi¸ciminde yazabiliriz.

H0 : Γu= 0 ve H0: Γu 6= 0, u = 1, ..., m hipotezlerini test etmek i¸cin C_u=

a

X

i =1

c_iu y_{i .}

istatisti˘gi kullanılır. Normallik varsayımı altında y_{i .}∼ N(µ_i,^σ_n²

i), i = 1, ..., a oldu˘gundan

E (C_u) = Γ_u veVar (C_u) = σ²

a

X

i =1

c_iu² n_i olur. (ni : her bir d¨uzeydeki g¨ozlem sayısı)

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 7 / 14

σ² varyansı bilinmedi˘gi i¸cin yansız tahmin edicisi yanibσ²= MS_E kullanılır.

B¨oylece, C_u’nun standart hatası

S_Cu = v u u tMS_E

a

X

i =1

c_iu²

n_i , u = 1, ..., m olur.

H0 : Γu= 0, u = 1, ..., m hipotezini sınamak i¸cin S_α,u = S_Cu

q

(a − 1)F_{a−1,N−a,α}

olmak ¨uzere veriden hesaplanan C_u de˘geri ile S_α,u kar¸sıla¸stırılır.

E˘ger |Cu| > S_α,u olur ise H0 hipotezi reddedilir.

Orne˘¨ gin, s¨ur¨uc¨u kursu verisindeki H0 : Γ1= µ₁+ µ₂− µ₃− µ₄ = 0 ve H0 : Γ2= µ₁− µ₄ = 0 hipotezlerini Scheffe y¨ontemi ile test edebiliriz. Bu durumda sabitleri Γ₁ i¸cin c₁₁= c₂₁= 1, c₃₁= c₄₁= −1 ve Γ₂ i¸cin c₁₂= 1, c₂₂= c₃₂= 0, c₄₂= 1 olur.

Scheffe y¨ontemi ikili kar¸sıla¸stırmalar i¸cin de kullanılabilir. Ancak, ikili kar¸sıla¸stırmalar i¸cin daha g¨u¸cl¨u olan Fisher LSD ve Tukey testleri tercih edilir.

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 9 / 14

3. Fisher’in En K¨ u¸c¨ uk Anlamlı Fark Testi (Fisher’s Least Significant Difference (LSD) Method)

Fisher LSD testi ile H₀: µ₁ = µ₂ = ... = µ_a = µ hipotezinin reddilmesi durumunda fakt¨or d¨uzeylerinin ortalamaları arasındaki t¨um m¨unk¨un ikili kar¸sıla¸stırmaları yapmak amacıyla kullanılır.

H₀ : µ_i = µ_j, ∀i 6= j hipotezini test etmek i¸cin t−testi yaparız.

Normallik varsayımı altında y_{i .}∼ N(µ_i, σ²/n_i) ve y_{j .}∼ N(µ_j, σ²/n_j) dir. (y_{i .}= _n¹

i

Pni

j =1y_ij)

B¨oylece, E (y_{i .}− y_{j .}) = µ_i − µ_j ve Var (y_{i .}− y_{j .}) = σ²

1 ni +_n¹

j

 oldu˘gundan

y_{i .}− y_{j .}− (µ_i− µ_j) r

σ²

1 ni +_n¹

j



∼ N(0, 1)

elde edilir.

H₀ : µ_i = µ_j hipotezi do˘gru oldu˘gunda t0= y_{i .}− y_{j .}

r MS_E

1 ni +_n¹

j



∼ t_N−a

olmak ¨uzere t₀ test istatisti˘gini kullanırız.

ni 6= n_j oldu˘gunda e˘ger

y_{i .}− y_{j .}

> t_N−a,_α/2 r

MS_E

1 ni +_n¹

j

 olur ise H0: µ_i = µ_j hipotezi reddedilir.

ni = nj = n oldu˘gunda e˘ger 

y_{i .}− y_{j .}

> t_N−a,_α/2

q2MSE

n olur ise H0: µ_i = µ_j hipotezi reddedilir.

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 11 / 14

Tukey Testi

T¨um m¨umk¨un ikili kar¸sıla¸stırmala i¸cin kullanılabilecek ba¸ska bir test Tukey testidir. Tukey testi

q = max(y_{i .}) − min(y_{i .}) pMS_E/n

bi¸ciminde tanımlanan Studentla¸stırılmı¸s aralık istatisti˘gine dayanır. a : fakt¨or d¨uzeyi sayısı ve f : MS_E nin serbestlik derecesi olmak ¨uzere qα(a, f ) bu istatisti˘gin tablo de˘geridir (bakınız:Tablo V).

n_i 6= n_j oldu˘gunda T_α = q_α(a, f ) qMS_E

n olmak ¨uzere e˘ger y_{i .}− y_{j .}

> Tα olur ise H0 : µ_i = µ_j hipotezi reddedilir.

n_i = n_j = n oldu˘gunda T_α= q_α(a, f ) r

MSE

2

1 ni + _n¹

j



olmak ¨uzere e˘ger 

y_{i .}− y_{j .}

> Tα olur ise H0 : µ_i = µ_j hipotezi reddedilir.

Ayrıca, Tukey testi ile µ_i− µ_j i¸cin %100(1 − α) g¨uven aralı˘gı y_{i .}− y_{j .}
− T_α ≤ µ_i − µ_j ≤ y_{i .}− y_{j .}
+ T_α bi¸ciminde bulunur.

E˘ger µ_i − µ_j i¸cin olu¸sturulan g¨uven aralı˘gı 0 de˘gerini i¸ceriyor ise H0 : µ_i− µ_j = 0 hipotezi kabul edilir.

Not: ANOVA’da H0: µ₁ = µ₂ = ... = µ_a = µ hipotezi reddildi˘ginde ikili kar¸sıla¸stırmaların hi¸cbirinin reddedilmedi˘gi veya bazılarının reddedildi˘gi durumlar olabilir.

Kızılaslan (Marmara ¨Universitesi) Deney Tasarımı 2019-2020 Bahar V-VI. Hafta 13 / 14

6. Dunnet Testi

a tane fakt¨or d¨uzeyi olan bir deneyde bu d¨uzeylerden bir tanesi kontrol grubu olarak se¸cilip di˘ger t¨um d¨uzeyler bu kontrol d¨uzeyi ile

kar¸sıla¸stırılmak isteniyor ise Dunnet testi kullanılır.

Bu durumda a − 1 tane ikili kar¸sıla¸stırma yapılır. E˘ger kontrol grubu olarak µ_a se¸cilirse ve hipotezlerimiz H₀: µ_a = µ_i ve H₁ : µ_a6= µ_i, i = 1, ..., a bi¸ciminde olur.

E˘ger |y_{i .}− y_a.| > d_α(a − 1, f ) r

MSE

2

1 ni +_n¹

j



olur ise H0: µ_i = µ_j hipotezi reddedilir.

(Burada, dα(a − 1, f ): Dunnet testinin tablo de˘geridir (bakınız: Tablo VI).) Parametrik Olmayan Y¨ontem: E˘ger normallik ve homojen varyanslılık varsayımlarından bir tanesi sa˘glanmıyorsa F testini kullanmak do˘gru olmaz. Bu gibi durumlarda parametrik olmayan (nonparametrik) y¨ontemler kullanılır. Varyans analizinin parametrik olmayan alternatiflerinden biri