DOĞRUSAL ZAMANLA DEĞİŞMEZ SİSTEMLERDE DİFERANSİYEL DENKLEMLER

DOĞRUSAL ZAMANLA DEĞİŞMEZ SİSTEMLERDE

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

 0 aN

Giriş – çıkış ilişkisi,

) ( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0}

)

( t a y t a y t a y t

y

a_N ^N  _N ^N     

) ( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0}

)

( t b x t b x t b x t

x

b_M ^M  _M ^M   

 _ ^  

M

N b b b

a a

a₀, ₁,, ; ₀, ₁,, katsayılarının hepsi zamana göre sabitse, sistem N. mertebeden doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemdir.

olmak üzere

) ( ,

), ( ),

(t₀ y t₀ y^{( 1)} t₀

y   ^N

Çözümdeki N adet sabit,

başlangıç şartlarına bağlıdır.













 













 



) ( )

( )

( )

( )

(t b x^{( )} t b ₁x^{( 1)} t b₁x t b₀x t

f  _M ^M  _M ^M     

Çözüm Adımları

diyelim.

1) f (t) yerine sıfır, y yerine y_h yazılarak homojen çözüm bulunur.

y_h(t) , henüz belirlenmemiş N adet sabite bağlı olarak yazılır.

2) Denklemdeki f (t) dikkate alınarak, fakat hiçbir homojen çözüm bileşeni içermeyen özel çözüm y_ö(t) bulunur. Bu çözümdeki bütün sabitler bu aşamada belirlenir.

3) y(t)  y_h(t)  y_ö(t) N adet sabit, başlangıç şartlarına göre belirlenir.

Eğer f (t) parçalı tanımlıysa, her tanım aralığı için:

y_h(t) sabitler için farklı semboller kullanılarak aynı biçimli olarak yazılır.

f (t)’nin yalnızca değişen bileşenlerine karşılık gelen özel çözüm bileşenleri yeniden bulunur.

Verilen şartlar sadece geçerli olduğu zaman aralığında kullanılarak bulunan çözümden, komşu aralığın başlangıç (veya son) değerlerine geçiş yapılır ve bunlar o aralıkta kullanılır.

f (t) geçiş anında etkiyen bir darbe içermiyorsa

sıçrama yapmaz.

geçiş anında y(t), y(t),, y^(N1)(t) Homojen çözüm

0 )

( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0}

)

( t  a _ y ^ t   a y t  a y t 

y

a_{N h}^N _{N h}^N  _{h h}

Çözümün,

e

Bu çözümü homojen denklemde yerine yazalım.

0 0

1 1

1    

 _ ^{ t t t}

t e e e

e a a a

a_N^{N } _N ^{N } _  ^{ }

0 0

1 1

1    

 a _ ^ a a

a_N^N _N ^N _ 

Buradan da

diferansiyel denklemin ya da sistemin karakteristik denklemi bulunur.

N



₁, ₂,,

0 0

1 1

1    

 a _ ^ a a

a_N^N _N ^N _ 

Denklemin

diferansiyel denklemin ya da sistemin özdeğeri (eigenvalue), köklerinin her birine ise

ya da karakteristik kökü denir.

Her özdeğer için çeşitli katsayılarla birer homojen çözüm bileşeni bulunması mümkündür. Buna göre:

Çakışık özdeğer yoksa (tüm özdeğerler birbirinden farklıysa)

t

t _N

e

e

h t A A

y ( )  1 ^1  ^

çakışık özdeğer varsa, meselâ λ_k , m-katlı bir özdeğer

(λ_k = λ_k+1 = … = λ_k+m-1) ise bunlara karşılık gelen homojen çözüm kısmı

t t

t _{k k}

k

e e

e

k A t A t

A ^  _1 ^  _{ 1} ^{1 } 



 ^e

İstenirse bu bileşenlerdeki t’lerin hepsinin yerine meselâ (t-2) gibi kaymalı bir ifade de yazılabilir.

Böyle kaymalı ifadeler bazen hesap ve yorum kolaylığı sağlayabilir.

Sabitler buna göre bulunur.

Örnek:

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

0 )

( 128 )

( 160

) ( 72

) ( 14

)

( ^{(5) (4) (3)}

) 6

( t  y t  y t  y t  y t 

y_{h h h h} _h

Çözüm: ⁶ 14⁵  72⁴ 160³ 128²  0  ₁  ₂  ^{0 ,} ,

3  2

 ₄  ₅  ₆  4

t t

t t

t

t

e e e e e

e

A t

y_h( )  ₁ ^0  ₂ ^0  ₃ ^2  ₄ ^4  ₅ ^4  ₆ ^{2 4}





^e



 ^e



   





 Not:

Eğer λ_k,k+1 = σ ± jω gibi eşlenik çiftler halinde karmaşık özdeğerler varsa, bunlara karşılık gelen homojen çözüm bileşenleri,

çakışık özdeğer değilseler

t C

t

B

e

e

Ayrıca bu özdeğerlerin çakışması da varsa yine bunun da t ’nin uygun kuvvetleriyle çarpılmış biçimleri de gelir.

Örnek:

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

Çözüm: 

0 )

( 5 )

( 7

) ( 3 )

)(

3

( t  y t  y t  y t 

y_h _h _{h h}

0 5

7 3 ²

3      

 ₁  1 , _2,3  1 j2

Çakışık kök olmadığı için:

t A

t A

A t

y_h^{( ) } ₁

e

e

e

Örnek: y_h⁽⁴⁾(t) 18y_h(t)  81y_h(t)  0

homojen denkleminin çözüm ifadesini bulunuz.

Çözüm: ⁴ 18²  81  0 _ _{1 } _{2  j3 ,} ₃  ₄   j3 Eşlenik köklerin her biri 2 katlı olduğu için:

t t

A t

t A t

A t

A t

y_h( )  ₁ cos3  ₂ sin3  ₃ cos3  ₄ sin3





t a

a ) cos3 sin3

( ₁  _{2 1}  ₂



Özel çözüm

Diferansiyel denklemin sağ tarafı f (t) bileşenlerine ayrılır.

Her bileşen için ayrı ayrı özel çözüm bileşenleri bulunur

ve hepsinin toplamı özel çözüm olur.

Özel çözüm, homojen çözüm tarafından kapsanan herhangi bir bileşen içermemelidir.

t

e

r₁ ¹ gibi bir bileşen için özel çözüm bileşeni:

} ,

, { ₁

1 N

p   _  ise y_ö1(t)  c₁

e

p₁  k gibi m-katlı bir özdeğere eşitse

(bu özdeğer çakışık değilse m = 1 demektir)

kt

e

m

ö t c t

y ₁( )  ₁ ^

f (t) içindeki sabit terimler için p₁ = 0 olduğu unutulmamalıdır.

Özel çözüm bileşenlerinin katsayıları, başlangıç şartları kullanılmadan belirlenmelidir.

yerine y_ö1 , ve f (t) yerine yalnızca ilgili bileşeni

Bunun için, c₁ katsayısı, diferansiyel denklemde y

t

e

r₁ ¹ yazılarak bulunur.

} ,

, { ₁

1 N

p   _  ise bu yol,

0 1

1 1

1 1 1

1

1 a p a p a p a

c _N r

N N

N    

 _

 

biçiminde karakteristik denklemde λ yerine p₁ kullanılan kısa bir

hale gelir. p¹’in bir özdeğere eşit olması halinde bu kısa yol geçersizdir.

Tüm bileşenler için özel çözüm bileşenleri bulunduktan sonra





 ( ) ( )

)

(t y ₁ t y ₂ t

y_{ö ö ö}

çözüm bileşenlerinde de istenirse t yerine meselâ (t-2) gibi kaymalı bir ifade de yazılabilir; bu sadece katsayıların farklı olmasını gerektirir, ki henüz belirlenmemiş katsayıların buna göre belirlenmesi sorun teşkil etmez. Böyle kaymalı ifadeler bazen hesap ve yorum kolaylığı

sağlayabilir.

Örnek: y(t)  5y(t)  6y(t)  x(t) x(t)  4

e

0 )

0 ( 

y y(0)  0

sisteminin çıkışını,

girişi ve başlangıç şartları için bulunuz.

Çözüm: ²  5  6  0  ₁  2 , ₂  3

 0

t için f (t)  tx( )  0 olduğundan

t

t

e

e

A t

y t

y

t  0  ( )  _h( )  ₁ ^2  ₂ ^3

Denklemin sağ tarafında darbe olmadığı için

2

0 1

) 0 ( )

0

( y A A

y ^    

2

1 3

2 0

) 0 ( )

0

( y A A

y ^        A1  A2  ⁰ Yani t  0  y(t)  0 .

t

t

e

e

B t

y

t  0  _h( )  ₁ ^2  ₂ ^3

} 3 ,

2 {

1  

t 

e

t x t

f ( )  ( )  4 ^ ve  y_ö(t)  c

e

6 2 )

1 ( 5 )

1 (

4

2 









 

c  y_ö(t)  2

e

t t

t

e e

e

B t

y

t  0  ( )  ₁ ^2  ₂ ^3  2 ^ 2

0 )

0

(   B₁  B₂  y

2 3

2 0

) 0

(    B₁  B₂ 

y  B₁  4 , B₂  2

Sonuçta tüm zamanların çözümü:











 _{  } 



ise 0

) 0

( _{2 3}

4

t t

y _{t t t}

e e

e

ya da kısaca ^{y(t) }

 ^{ 4 e}

^e

^e



Not:

Eğer t < t₀ için f (t) = 0 ise yani f (t) = (…)∙u(t-t₀) biçiminde yazılabiliyor ve t = t₀’daki

) ( ,

), ( ),

(t₀ y t₀ y^{( 1)} t₀

y   ^N

başlangıç değerlerinin hepsi sıfır ise t < t₀ için y(t) = 0 olacağı zaten bellidir. Bu yüzden böyle bir durumda yalnız t ≥ t₀ için u(t-t₀) = 1 koyarak bulunan çözümü u(t-t₀) ile çarparak tüm zamanların çözümü elde edilir.

Örnek: y(t)  y(t)  x(t)

) 2 (

5 )

2 (

4 )

(t  ^{( 2)}u t   u t 

x

e

, 0 )

2 ( 

y y(2)  0 sisteminin çıkışını

için bulunuz.

Çözüm: ² 1  0 _1,2 ^ _ ^j

 2

t y_h(t)  Acos(t  2)  Bsin(t  2)

 2

t ^f (^t)  ^x(^t)  4

e

, {

1 ₁ ₂

 0 {₁, ₂}



için homojen çözüm:

için denklemin sağ tarafı

olup hem hem de

) 2

4

e

e

) 1 (

4

1 2 



  c

) 2 (

5 0

5 

e

e

0 5

2 2 

  c için

için 5 2

)

(t 

e

5 2

) 2 sin(

) 2 cos(

)

(^t  ^{A t}   ^{B t}  

e

0 5

2 )

2

(  A    y

0 2

) 2

(  B  

y  A  7 , B  2 Tüm zamanlar için ise:





)

(t   t   t   ^{( 2)}  u t 

y

e

Örnek: sisteminin çıkışını

için bulunuz.

) ( 3 )

( 2 )

( 3 )

(t y t y t x t

y    

, ) 3 (

) ( 2 )

(t  u t  ^{2( 3)}u t 

x

e

Çözüm: ²  3  2  0 _{1  1,} ₂  2. 0

) (

0  

 x t

t  y(t)  y_h(t)  A₁

e

e



Denklemin sağ tarafında darbe olmadığı için

2

0 1

) 0 ( )

0

( y A A

y ^    

2

1 2

1 )

0 ( )

0

( y A A

y ^        A₁ 1, A₂  1

t

t

e

e

t y

t  0  ( )  ^  ^2

t

t

e

e

B t

y

t 3 _h ( ) _{1 2} ²

0     ^  ^ f (t)  3 2  6  6

e

} ,

{

0 ₁ ₂  y_ö1(t)  c₁  y_ö1  0 , y_ö1  0

Bunlar diferansiyel denklemde yalnız ilgili bileşen için yerine konursa:

6 2

0 3

0    c₁   c₁  3  y_ö1(t)  y(t)  B₁

e

e

0 )

0

(   B₁  B₂  y

2

1 2

1 )

0

( B B

y      B₁  5 , B₂  2

) 3 ( 2 )

3 (

2

) 1

(

3   ^{ }  ^{ }

 y t K

e

e

t _h

Sağ taraftaki 6 terimi değişmediği için y_ö1 = 3 de aynıdır.

) 3 (

3 ^2 ^



e

e

) 3 ( 2 )

3 (

2 2 ( 3)

)

( _{2 2}

2







  

 c

e

e

t y_ö

 ₂(t)  4c₂

e





) ( 2

) ( 3

)

( _{2 2 2 2}

2







   









 y t y t c c

e

e

t

y_ö _{ö ö} 





c₂3  y_ö2(t)  3(t 3)

e

) ( )

( )

( )

(t y t y ₁ t y ₂ t

y  _h  _ö  _ö

) 3 ( 2 )

3 ( 2 )

3

( 3 3( 3)

)

(^t  ^K₁

e

e

e

y

K₁, K₂ sabitlerini bulmak için bu zaman bölgesinde iki şarta ihtiyaç vardır. Diferansiyel denklemin sağ tarafında geçiş (t = 3) anında

etkiyen bir darbe olmadığı için bir önceki zaman aralığı çözümünün son değerlerini bu bölgenin başlangıç şartları olarak kullanabiliriz:

3 )

3 ( )

3

( ^  y  B₁

e

e

6

3 4

5 )

3 ( )

3

( ^  y 

e

e

y 

3 2

5 ³  ⁶ 





e

e

2 ₂

1  



 K K

3 2 ⁶

2 

e

K 3

5 ³

1  

e

Genel çözümü yazarsak:

Not:

f (t) trigonometrik veya üstel çarpanlı trigonometrik bir bileşen içeriyorsa bunun üstel sinyaller biçimindeki ifadesinin üs katsayıları



 j p_1,2  





































 



 

















3 )

3 (

3 3 3

0 3

2

0 )

(

) 3 ( 2 )

3 ( 6 2

) 3 3 (

2 2

) 2

3 ( )

5 3

( 5

t t

t t

t y

t t

t t t

t t

e e

e e

e e e

e e

gibi eşlenik çiftlere karşılık gelir.

t r

t

r₁

e

e

, ,

{ _{1 N}

j  

 _  _ c₁

e

e

Dolayısıyla, f (t) içindeki için özel çözüm

ise

Eğer α ± jβ , m-katlı bir özdeğer çiftine eşitse, yukarıdaki ifadenin t^m ile çarpılmışı yazılır. α = 0 için bu, zorlanmış rezonans olduğu anlamına gelir.

Örnek: y(t)  3y(t)  x(t) , x(t)  6  4

e

e

6 bileşeni için, 0    y_ö1  c₁ 2 ( ) 3

0 6

1

1 y t

c   _ö

 



t t

e

4 ^3 için  3  j2    y_ö2  c₂

e

e

( 3

)

( ₂

2 t y t

y_ö  _ö ^



 e



 e

t t

e

4 ^3

 , 4 2 ₃ 

 c  c2 ₂  0  c₂  0 , c₃  2

Genel çözüm: y(t)  A

e

e











 2 2 0

) 0

( A A

y y(t)  2

e

e

) ( 5 )

( 4 )

(t y t x t

y   x(t)  u(t)sin 2t

, 0 )

0 ( 

y y(0)  0

sisteminin çıkışını, girişi ve başlangıç şartları için hesaplayınız.

Çözüm:

0

2  4 

  _1,2   j2

 0

t için y_h(t)  Acos2t  Bsin 2t Sağdaki 5sin 2t için, p1,2  j 2  1,2

t t

c t

t c t

y_ö( )  ₁ cos2  ₂ sin 2

t t

c t

c t

t c t

c t

y_ö( )  ₁ cos2  2 ₁ sin 2  ₂ sin 2  2 ₂ cos2

     

 t  c  c t   c  c t  t  y_ö( ) 2 ₂ 2 ₂ cos2 2 ₁ 2 ₁ sin 2

 

t t c

t c

t y t

y_ö( )  4 _ö( )  4 ₂ cos2  4 ₁ sin 2     5sin 2

(Son türevde ve özel çözümün yerine yazıldığı diferansiyel denklemde çarpanlı kısmın katsayı bulunmasına faydası olmadığı için … diyerek geçilmiştir.)

0

4c₂   c4 ₁  5 c₁   5 4 c₂  0 t

t t

B t

A t

y cos2

4 2 5

sin 2

cos )

(   

ve  ve

Toplam çözüm ise:

A y(0)  0 

4 2 5

0 )

0

(   B 

y 8

, 5

0 



 A B

) ( 2

4 cos 2 5

8 sin ) 5

(t t t t u t

y 



 



 



( t ≥ 0 çözümünü u(t) ile çarpmak için gereken şartlar sağlandığı için)

bulunur. Buradaki t çarpanlı bileşen, salınım genliğinin gittikçe artmasına neden olarak pratikte sistemin modelinin geçerli olduğu sınırları zorlayarak bozulmaya neden olur. Köprü ve cam eşyalarda yıkıma neden olduğu söylenen rezonans, normal rezonans değil, bu örnekteki gibi zorlanmış rezonanstır. Salıncak, sarkaç gibi aslında doğrusal olmayıp, küçük salınım sınırlarında yaklaşık doğrusal olan sistemlerde de, salınım genliğinin bir yere kadar kolayca artırılabilmesi için, sallama kuvvetinin, sistemin doğal salınım frekansında olması

gerekir. Meselâ salıncağı bir taraftan itekledikten doğal salınım periyodu kadar sonra salıncak aynı tarafa gelecek, o anda tekrar iteklenince salınım genliği kolayca artacaktır. İki taraftan iteklenen salıncakta da bir taraftan uygulanan kuvvet artı, diğer taraftan

uygulanan kuvvet eksi olduğu için kuvvetin periyodu yine aynıdır.

Ancak sistemi doğrusal varsayılabilecek sınırların dışına çıkartan

salınım genliklerine ulaşınca bu genlik sınırlı hale gelecektir. Salıncağı, doğal salınım frekansından başka bir frekansta kuvvetle sallamak

denenirse, genlik artışının ne kadar zor olduğu görülür.

Diferansiyel Denklemin Sağ Tarafında Darbe Varsa Çözüm

) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0 0}

)

( t a y t a y t a y t f t g t r t t

y

a_N ^N  _N ^N  _  _      

Burada a_N  0 ve g(t) , t₀ anında etkiyen bir darbe içermeyen sonlu bir fonksiyon olsun. r sabit olmasa bile t₀ ’daki değeri önemli olduğu için sabit olarak ele alınır.

t < t₀ ve t > t₀ bölgeleri için ayrı ayrı çözüm yapılır. Tabii bu bölgelerde olduğundan bu darbe dikkate alınmaz.

0 )

(t  t₀ 



t0

t  y(t₀^) , y(t₀^) ,, y^(N1)(t₀^ )

Ancak bölgesine ait son değerler ile

t0

t  bölgesine ait y(t₀^) , y(t₀^) ,, y^(N1)(t₀^ ) başlangıç değerleri arasındaki geçiş şöyle yapılır:

N N

N

a t r

y t

y^{( 1)}( ₀^)  ^{( 1)}( ₀^ ) 























) ( )

(

) ( )

(

0 0

0 ) 2 ( 0

) 2 (

t y t

y

t y

t

y ^{N N}

 N  2

N = 1 ise yalnızca en üstteki uygulanır.

Yani

aN

t r y t

y( ₀^ )  ( ₀^) 

Diferansiyel denklemin

 

İspat:































 _ ^{ 0}

0 0

0 0

0 0

0

) ( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0}

) (

t

t t

t t

t

N N

t

t

N

N y t dt a y t dt a y t dt a y t dt

a  

















 ⁰

0 0

0

) (

)

( ₀

t

t t

t

dt t

t r

dt t

g 

Sol tarafta ilki hariç tüm integraller, sağ taraftaki ilk integral, sonlu büyüklüklerin sonsuz küçük zaman aralığında integralleri olduğu için sıfırdır. Bu zaman aralığında yalnızca sağdaki darbe ve onun doğrudan etkilediği y^(N)(t) sonsuz olup bunların integralleri eşitlenerek:









a_N ^(N1)( ) ^t_t^0 _N ^(N1)( ₀^)  ^(N1)( ₀^) 

0

N N

N

a t r

y t

y^{( 1)}( ₀^)  ^{( 1)}( ₀^)  Varsa (N ≥ 2 ise) daha düşük mertebeli türevlerde ise sıçrama olmaz.

Sağ tarafta darbenin de türevleri olsaydı daha düşük mertebeli türevlerde de sıçrama yaptırabilirdi;

ancak bu konuyu burada ele almayacağız. Sıradaki konu bu konunun uygulaması niteliğindedir.

dolayısıyla

Sistemin Diferansiyel Denkleminden Birim Darbe Tepkisinin Bulunması

Normalde x yerine δ , ve y yerine h yazarak diferansiyel denklemi çözüp birim darbe tepkisini bulabiliriz.

Ancak az önceki konuda anlatılan kuralı, a_N  0 olmak üzere, )

( )

( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0 0}

)

( t a y t a y t a y t b x t

y

a_N ^N  _N ^N      

ile verilen nedensel bir sisteme uygularsak birim darbe tepkisini

bulma yöntemi oldukça basitleşir. Çünkü nedensel DZD sistemlerde 0

0 )

(t  t  h

olduğu için t < 0 bölgesinde h(t) ’nin bütün türevleri de sıfır olacaktır.

Sonsuz küçük zaman farkını göz ardı ederek başlangıç anını 0⁺ yerine 0 alırsak yöntem şu şekilde özetlenebilir:

Böylece t > 0 bölgesine ait başlangıç şartları (0⁺ anı için) kolayca belirlenebilecektir.

y yerine h , sağ tarafa da sıfır yazarak t > 0 bölgesi için 0 )

( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0}

)

( t  a _ h ^ t   a h t  a h t 

h

a_N ^N _N ^N  

N N

a h^{( 1)}(0)  b⁰









 

0 )

0 (

0 )

0

)(

2 (

h h ^N



diferansiyel denklemi şu başlangıç şartları için çözülür:

Bu kısım N ≥ 2 için uygulanır.

N = 1 ise yalnızca en üstteki, yani

aN

h(0)  b⁰ uygulanır.

Bulunan çözüm u(t) ile çarpılarak birim darbe tepkisinin tüm zamanlar için ifadesi elde edilir.

Denklem ve dolayısıyla çözümü homojendir.

Örnek:

Şekildeki devrenin birim

darbe tepkisini bulunuz. x(t) R L

) (t y

Çözüm:

) ( )

( )

(t y t x t R y

L  

 

Direncin akımı + endüktansın akımı = x(t) 0

) ( )

(

0   

 h t h t

R

t L 

L R R

h  L1  )

0 denklemini (

başlangıç şartı için çözmeliyiz.

L R R

L  1  0    

Lt

e

A t

h  ^

 ( )

L A R

h  

 (0)

) ( )

( u t

L t R

h ^Lt

e

 Tüm zamanlar için ifadesi ise:

) (t h

t L

R

Örnek:

) ( 2 )

( 6 )

( 11 )

( 6 )

(t y t y t y t x t

y      

 ile tanımlı nedensel sistemin

birim darbe tepkisini bulunuz.

Çözüm:

0 )

( 6 )

( 11 )

( 6 )

(

0     

 h t h t h t h t

t     ³  6² 11  6  0

3 ,

2 ,

1 _{2 3}

1      

   

t t

t

e e

e

A t

h( )  ₁ ^  ₂ ^2  ₃ ^3



3 2

0 1

) 0

( A A A

h    

3 2

1 2 3

0 )

0

( A A A

h     

3 2

1 4 9

2 1

2 )

0

( A A A

h     

1 ,

2 ,

1 _{2 3}

1    

 A A A





)

(t ^{2 3} u t

h 

e

e

e

Sonuç:

Bazen diferansiyel denklemin yalnız sağ tarafı, Not:

) (

) ( )

( )

( )

( ₁ ^{( 1)} _{1 0 0}

)

( t a y t a y t a y t bx t t

y

a_N ^N  _N ^N       

sonra h(t) ifadesi u(t) yerine u(t-t₀) ile çarpılarak tüm zamanlar için geçerli ifade yazılır.

gibi zamanda ötelenmiş biçimli olabilir. Bu durumda daha önce anlatılan başlangıç şartları 0 yerine t₀ anı için yazılır ve katsayılar bulunduktan

Bu çözümü (t-t₀) ’a göre düzenlemek, hem katsayıların kolay bulunmasını, hem de çizim ve yorum kolaylığı sağlar.

t > t₀ bölgesi için a_Nh^(N)(t)  a_N1h^(N1)(t)    a₁h(t)  a₀h(t)  0 diferansiyel denklemi şu başlangıç şartları için çözülür:

N N

a t b

h^{( 1)}( ₀) 









 

0 )

(

0 )

(

0 0 ) 2 (

t h

t h ^N

 Bu kısım N ≥ 2 için uygulanır.

Sonra da bu çözüm u(t-t₀) ile

çarpılarak tüm zamanlar için geçerli ifade elde edilir.

Örnek: 2y(t)  50y(t)  4x(t  3)

ile verilen nedensel sistemin birim darbe tepkisini bulunuz.

0 )

( 50 )

( 2

3   

 h t h t

t   2²  50  0

2 5

,

1   j

  _{ h(t)  Acos5(t  3)  Bsin5(t  3)} A

h(3)  0 

B h(3)  4 2  2  5

5 2 ,

0 



 A B





5 sin ) 2

(t  t  u t  h