• Sonuç bulunamadı

Konya Teknik Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi 2019

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Konya Teknik Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi 2019"

Copied!
5
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

˙Iki B¨uy¨uk Daire Yayının Kesi¸simi: Vekt¨orel C ¸ ¨ oz¨ um

˙Ibrahim ¨ Oztu˘ g B˙ILD˙IR˙IC˙I

Konya Teknik ¨ Universitesi M¨ uhendislik ve Do˘ ga Bilimleri Fak¨ ultesi iobildirici@ktun.edu.tr

2019

Ozet¨

˙Iki b¨uy¨uk daire yayı birbirine paralel olamaz, mutlaka kesi¸sir. K¨ureyi d¨ort par¸caya ayırır. Problemin k¨uresel trigonometri yardımıyla ¸c¨oz¨um¨u m¨umk¨und¨ur. Ancak trigonometrik fonksiyonların ¨ozel durumları pek

¸

cok ¨ozel durumun irdelenmesini gerektirir. Vekt¨orlerden yararlanarak problemin iki d¨uzlemin arakesit do˘grusu ¨uzerinden ¸c¨oz¨um¨u daha kolay bir ¸c¨oz¨umd¨ur. Burada bu yakla¸sım ele alınacaktır.

1 Giri¸ s

˙Iki b¨uy¨uk daire yayının kesi¸simi problemi genel olarak k¨uresel trigonometri ve kartografya kaynaklarında ele alınan bir problem de˘gildir. K¨uresel trigonometri g¨oz¨u ile bir k¨uresel ¨u¸cgen ¸c¨oz¨um¨u problemidir. D¨ort nokta ile tanımlı iki b¨uy¨uk daire yayının kesi¸simi d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde, noktaların birbirlerine g¨ore konumları, kesi¸simin arada ya da uzantıda olması, sin¨us ve kosin¨us fonksiyonlarının

¨

ozellikleri nedenleriyle ¨ozel durumlar ortaya ¸cıkar. Konunun vekt¨orlerle ele alınması daha genel bir ¸c¨oz¨um yoludur. Bu ¸calı¸smada problemin ¸c¨oz¨um¨u sayısal uygulama e¸sli˘ginde verilecektir. C¸ ¨oz¨um, ¸cevrim i¸ci harita uygulaması olarak da kodlanmı¸s ve yayınlanmı¸stır.

2 Materyal ve Metot

˙Iki b¨uy¨uk daire yayı (BDY) k¨urenin merkezinden ge¸cen iki d¨uzlem olu¸stururlar.

Bu iki d¨uzlemin arakesit do˘grusunun k¨ureyi deldi˘gi noktalar kesi¸sim noktalarıdır. ˙Iki b¨uy¨uk daire birbirine paralel olamaz. K¨ureyi d¨ort par¸caya ayırır. ˙Iki noktada kesi¸sir (S¸ekil 1). Bu problemde k¨ure yarı¸capının bir etkisi olmadı˘gından ¸c¨oz¨um birim k¨ure varsayımı ile ele alınabilir. K¨ure geometrisi ve temel k¨uresel trigonometri ba˘gıntıları i¸cin Bildirici (2019), U¸car vd. (2011), Ayres (1954) v.b. kaynaklardan yararlanılabilir.

Birinci BDY 1,2, ikinci BDY 3,4 noktalarından ge¸ciyor olsun. K¨urenin parametrik g¨osteriminden yararlanarak bu noktaların vekt¨orlerini (k¨ure mer- kezinden ilgili noktaya) yazabiliriz.

(2)

x

y z

S¸ekil 1: ˙Iki BDY kesi¸simi

x1= cos ϕ1cos λ1e1+ cos ϕ1sin λ1e2+ sin ϕ1e3

x2= cos ϕ2cos λ2e1+ cos ϕ2sin λ2e2+ sin ϕ2e3 x3= cos ϕ3cos λ3e1+ cos ϕ3sin λ3e2+ sin ϕ3e3

x4= cos ϕ4cos λ4e1+ cos ϕ4sin λ4e2+ sin ϕ4e3

(1)

Burada 1, 2 ve k¨ure merkezi birinci BDY d¨uzlemini, 3, 4 ve k¨ure merkezi ikinci BDY d¨uzlemini olu¸sturmaktadır. ˙Iki BDY d¨uzlemine dik vekt¨orleri bulalım.

n1= x1× x2

n2= x3× x4

(2) n1 ile n2 vekt¨orel ¸carpımı ile arakesit do˘grusuna paralel vekt¨or elde edilir.

Bu vekt¨or¨u normuna b¨olerek k¨ure merkezinden ba¸slayan ve arakesit do˘grusu ile

¸

cakı¸sık olan bir vekt¨or elde edilir.

n0= n1× n2

kn1× n2k (3)

n0 ve n00 = −n0 aranan iki kesi¸sim noktasının (P0 ya da P00) yer vekt¨orleridir.

Bunlardan co˘grafi koordinatlara ge¸cilerek aranan kesi¸sim noktaları bulunur.

tan λ0=n0y

n0x tan ϕ0= n0z

qn20

x+ n20

y

(4)

Noktaların birbirine yakınlı˘gına ve sıralanı¸sına g¨ore bazen P0bazen de P00 1,2,3 ve 4 noktalarına yakındır.

S

¸ekil 2’de yukarıdaki vekt¨orler g¨osterilmi¸stir.

3 Ara¸ stırma ve Tartı¸ sma

(3)

x

y z

x1

x2

x3 x4

n1

n2

n0

S¸ekil 2: K¨ure merkezli koordinat sisteminde vekt¨orler

ortalaması alınarak kesi¸sim noktasının vekt¨orleri (n0, n00) ile arasındaki a¸cıya bakılabilir. A¸cısı π/2’den k¨u¸c¨uk olan vekt¨or b¨olgeye di˘gerine g¨ore daha yakındır.

3.1 Sayısal Uygulama

Tablo 1’de co˘grafi koordinatları verilen d¨ort nokta ile tanımlı iki BDY’nin kesi¸sim noktasını bulalım.

Tablo 1: Sayısal uygulama nokta koordinatları Nokta ϕ λ

1 35 24

2 42 41

3 31 42

4 37 35

Noktaların vekt¨orleri (birim k¨urede):

x1= (0.7483, 0.3332, 0.5736) x2= (0.5609, 0.4875, 0.6691) x3= (0.6370, 0.5736, 0.5150) x4= (0.6542, 0.4581, 0.6018) Ortalama vekt¨or

x0= (0.6501, 0.4631, 0.5899)

(4)

Normal vekt¨orler ve kesi¸sim noktası vekt¨orleri:

n1= x1× x2= (−0.0567, −0.1790, 0.1780) n2= x3× x4= (0.1092, −0.0464, −0.0834) n0= n1× n2= (−0.6569, −0.4166, −0.6284) n00= −n00= (0.6569, 0.4166, 0.6284)

x0 ile n0 arasındaki a¸cı1,

cos θ = x0· n0→ θ = 3.4660< 90

oldu˘gundan n0 yakındaki kesi¸sim noktasını i¸saret eden vekt¨ord¨ur. Vekt¨orlerin k¨urede g¨osterdikleri noktaların co˘grafi koordinatları:

ϕ λ

P0 38.932398 32.384924 P00 -38.932398 -147.615076

3.2 C ¸ evrim ˙I¸ ci Harita Uygulaması

Yukarıda ¨onerilen yakla¸sım JavaScript dili ve Leaflet API kullanılarak kodlanmı¸s ve ¸cok sayıda noktada denenmi¸stir. Vekt¨or i¸slemleri i¸cin vektorlib.js2 adlı bir dı¸s kod dosyası olu¸sturulmu¸stur. Burada vekt¨orlerin skaler ve vekt¨orel

¸

carpımları, co˘grafi koordinatlardan vekt¨orlerin olu¸sturulması ve tersi, vb.

i¸slemleri ger¸cekle¸stiren fonksiyonlar kodlanmı¸stır.

Kesi¸sim hesabını ger¸cekle¸stiren ve ilgili noktaların konumlarını g¨osteren web sayfası3 eri¸sime a¸cıktır. S¸ekil 3’de sayfa ekran g¨or¨unt¨us¨u yukarıdaki sayısal uygulamadaki noktalar ile g¨or¨ulmektedir.

S¸ekil 3: C¸ evrim ˙I¸ci harita uygulaması ekran g¨or¨unt¨us¨u

4 Sonu¸ c ve ¨ Oneriler

Bu ¸calı¸smada vekt¨orel olarak iki BDY kesi¸sim problemi ele alınmı¸stır. ¨Onerilen

¸c¨oz¨um k¨uresel trigonometriye iyi bir alternatif olu¸sturmaktadır.

(5)

Kaynaklar

Ayres, F. (1954). Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry Schaum’s Outline Series. Mc-Graw-Hill Book Company.

Bildirici, ˙I. ¨O. (2019). Kartografya: Harita Tasarımı ve Kullanımı i¸cin Gerekli Bilim, Sanat ve Teknik. Atlas Akademi Yayınevi, Konya, 2. baskı.

U¸car, D., ˙Ipb¨uker, C., ve Bildirici, ˙I. ¨O. (2011). Matematiksel Kartografya. Atlas Yayın Da˘gıtım, Ankara.

Referanslar

Benzer Belgeler

Yurt dışında staj yapan öğrenciler staj sonunda staj sicil fişi ve staj defterine ilave olarak staj yapılan yerden alınacak stajın konusunu ve süresini gösterir onaylı

Bu tip etkilerin oluştuğu uygulamalara en iyi örnek, içten yanmalı motorların bağlantı rotlarıdır (biyeller). Ancak burada eksenel gerilme yanında eğme kuvvetleri

- Staj Komisyonu Başkanlığı tarafından, staj dönemi sonunda stajlarını tamamlayan öğrencilerin, stajların daha etkin olarak değerlendirilebilmesi için, dosyaların

Bünyesinde faal 6 Bölüm bulunduran Biruni Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi şeffaf bir yönetim anlayışıyla öğrencilerimize çağdaş

Eğitim kapsamında verilen derslere incelendiğinde ise Makine (Statik, Termodinamik, Isı Transferi, Mekanik Titreşimler, Dinamik), Metalurji ve Malzeme (Malzeme Biliminin

10 •Staj bittikten sonra Pratik Sicil Fişi firma staj sorumlusu tarafından doldurulup imzalanacak ve kapalı zarf içinde staj defteri ile birlikte bölüme teslim edilmelidir..

Kurumda kalite güvencesi, eğitim ve öğretim, araştırma ve geliştirme, toplumsal katkı, yönetim sistemi ve uluslararasılaşma süreçlerinin PUKÖ katmanlarına

a) Öğrenci proje tabanlı bir müfredata bağlı ise İnşaat Mühendisliği Bölümü hariç Lisans Diploması alabilmesi için en az 80 iş günlük stajını en az iki