˙Iki B¨uy¨uk Daire Yayının Kesi¸simi: Vekt¨orel C ¸ ¨ oz¨ um
˙Ibrahim ¨ Oztu˘ g B˙ILD˙IR˙IC˙I
Konya Teknik ¨ Universitesi M¨ uhendislik ve Do˘ ga Bilimleri Fak¨ ultesi iobildirici@ktun.edu.tr
2019
Ozet¨
˙Iki b¨uy¨uk daire yayı birbirine paralel olamaz, mutlaka kesi¸sir. K¨ureyi d¨ort par¸caya ayırır. Problemin k¨uresel trigonometri yardımıyla ¸c¨oz¨um¨u m¨umk¨und¨ur. Ancak trigonometrik fonksiyonların ¨ozel durumları pek
¸
cok ¨ozel durumun irdelenmesini gerektirir. Vekt¨orlerden yararlanarak problemin iki d¨uzlemin arakesit do˘grusu ¨uzerinden ¸c¨oz¨um¨u daha kolay bir ¸c¨oz¨umd¨ur. Burada bu yakla¸sım ele alınacaktır.
1 Giri¸ s
˙Iki b¨uy¨uk daire yayının kesi¸simi problemi genel olarak k¨uresel trigonometri ve kartografya kaynaklarında ele alınan bir problem de˘gildir. K¨uresel trigonometri g¨oz¨u ile bir k¨uresel ¨u¸cgen ¸c¨oz¨um¨u problemidir. D¨ort nokta ile tanımlı iki b¨uy¨uk daire yayının kesi¸simi d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde, noktaların birbirlerine g¨ore konumları, kesi¸simin arada ya da uzantıda olması, sin¨us ve kosin¨us fonksiyonlarının
¨
ozellikleri nedenleriyle ¨ozel durumlar ortaya ¸cıkar. Konunun vekt¨orlerle ele alınması daha genel bir ¸c¨oz¨um yoludur. Bu ¸calı¸smada problemin ¸c¨oz¨um¨u sayısal uygulama e¸sli˘ginde verilecektir. C¸ ¨oz¨um, ¸cevrim i¸ci harita uygulaması olarak da kodlanmı¸s ve yayınlanmı¸stır.
2 Materyal ve Metot
˙Iki b¨uy¨uk daire yayı (BDY) k¨urenin merkezinden ge¸cen iki d¨uzlem olu¸stururlar.
Bu iki d¨uzlemin arakesit do˘grusunun k¨ureyi deldi˘gi noktalar kesi¸sim noktalarıdır. ˙Iki b¨uy¨uk daire birbirine paralel olamaz. K¨ureyi d¨ort par¸caya ayırır. ˙Iki noktada kesi¸sir (S¸ekil 1). Bu problemde k¨ure yarı¸capının bir etkisi olmadı˘gından ¸c¨oz¨um birim k¨ure varsayımı ile ele alınabilir. K¨ure geometrisi ve temel k¨uresel trigonometri ba˘gıntıları i¸cin Bildirici (2019), U¸car vd. (2011), Ayres (1954) v.b. kaynaklardan yararlanılabilir.
Birinci BDY 1,2, ikinci BDY 3,4 noktalarından ge¸ciyor olsun. K¨urenin parametrik g¨osteriminden yararlanarak bu noktaların vekt¨orlerini (k¨ure mer- kezinden ilgili noktaya) yazabiliriz.
x
y z
S¸ekil 1: ˙Iki BDY kesi¸simi
x1= cos ϕ1cos λ1e1+ cos ϕ1sin λ1e2+ sin ϕ1e3
x2= cos ϕ2cos λ2e1+ cos ϕ2sin λ2e2+ sin ϕ2e3 x3= cos ϕ3cos λ3e1+ cos ϕ3sin λ3e2+ sin ϕ3e3
x4= cos ϕ4cos λ4e1+ cos ϕ4sin λ4e2+ sin ϕ4e3
(1)
Burada 1, 2 ve k¨ure merkezi birinci BDY d¨uzlemini, 3, 4 ve k¨ure merkezi ikinci BDY d¨uzlemini olu¸sturmaktadır. ˙Iki BDY d¨uzlemine dik vekt¨orleri bulalım.
n1= x1× x2
n2= x3× x4
(2) n1 ile n2 vekt¨orel ¸carpımı ile arakesit do˘grusuna paralel vekt¨or elde edilir.
Bu vekt¨or¨u normuna b¨olerek k¨ure merkezinden ba¸slayan ve arakesit do˘grusu ile
¸
cakı¸sık olan bir vekt¨or elde edilir.
n0= n1× n2
kn1× n2k (3)
n0 ve n00 = −n0 aranan iki kesi¸sim noktasının (P0 ya da P00) yer vekt¨orleridir.
Bunlardan co˘grafi koordinatlara ge¸cilerek aranan kesi¸sim noktaları bulunur.
tan λ0=n0y
n0x tan ϕ0= n0z
qn20
x+ n20
y
(4)
Noktaların birbirine yakınlı˘gına ve sıralanı¸sına g¨ore bazen P0bazen de P00 1,2,3 ve 4 noktalarına yakındır.
S
¸ekil 2’de yukarıdaki vekt¨orler g¨osterilmi¸stir.
3 Ara¸ stırma ve Tartı¸ sma
x
y z
x1
x2
x3 x4
n1
n2
n0
S¸ekil 2: K¨ure merkezli koordinat sisteminde vekt¨orler
ortalaması alınarak kesi¸sim noktasının vekt¨orleri (n0, n00) ile arasındaki a¸cıya bakılabilir. A¸cısı π/2’den k¨u¸c¨uk olan vekt¨or b¨olgeye di˘gerine g¨ore daha yakındır.
3.1 Sayısal Uygulama
Tablo 1’de co˘grafi koordinatları verilen d¨ort nokta ile tanımlı iki BDY’nin kesi¸sim noktasını bulalım.
Tablo 1: Sayısal uygulama nokta koordinatları Nokta ϕ◦ λ◦
1 35 24
2 42 41
3 31 42
4 37 35
Noktaların vekt¨orleri (birim k¨urede):
x1= (0.7483, 0.3332, 0.5736) x2= (0.5609, 0.4875, 0.6691) x3= (0.6370, 0.5736, 0.5150) x4= (0.6542, 0.4581, 0.6018) Ortalama vekt¨or
x0= (0.6501, 0.4631, 0.5899)
Normal vekt¨orler ve kesi¸sim noktası vekt¨orleri:
n1= x1× x2= (−0.0567, −0.1790, 0.1780) n2= x3× x4= (0.1092, −0.0464, −0.0834) n0= n1× n2= (−0.6569, −0.4166, −0.6284) n00= −n00= (0.6569, 0.4166, 0.6284)
x0 ile n0 arasındaki a¸cı1,
cos θ = x0· n0→ θ = 3.4660◦< 90◦
oldu˘gundan n0 yakındaki kesi¸sim noktasını i¸saret eden vekt¨ord¨ur. Vekt¨orlerin k¨urede g¨osterdikleri noktaların co˘grafi koordinatları:
ϕ λ
P0 38.932398◦ 32.384924◦ P00 -38.932398◦ -147.615076◦
3.2 C ¸ evrim ˙I¸ ci Harita Uygulaması
Yukarıda ¨onerilen yakla¸sım JavaScript dili ve Leaflet API kullanılarak kodlanmı¸s ve ¸cok sayıda noktada denenmi¸stir. Vekt¨or i¸slemleri i¸cin vektorlib.js2 adlı bir dı¸s kod dosyası olu¸sturulmu¸stur. Burada vekt¨orlerin skaler ve vekt¨orel
¸
carpımları, co˘grafi koordinatlardan vekt¨orlerin olu¸sturulması ve tersi, vb.
i¸slemleri ger¸cekle¸stiren fonksiyonlar kodlanmı¸stır.
Kesi¸sim hesabını ger¸cekle¸stiren ve ilgili noktaların konumlarını g¨osteren web sayfası3 eri¸sime a¸cıktır. S¸ekil 3’de sayfa ekran g¨or¨unt¨us¨u yukarıdaki sayısal uygulamadaki noktalar ile g¨or¨ulmektedir.
S¸ekil 3: C¸ evrim ˙I¸ci harita uygulaması ekran g¨or¨unt¨us¨u
4 Sonu¸ c ve ¨ Oneriler
Bu ¸calı¸smada vekt¨orel olarak iki BDY kesi¸sim problemi ele alınmı¸stır. ¨Onerilen
¸c¨oz¨um k¨uresel trigonometriye iyi bir alternatif olu¸sturmaktadır.
Kaynaklar
Ayres, F. (1954). Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry Schaum’s Outline Series. Mc-Graw-Hill Book Company.
Bildirici, ˙I. ¨O. (2019). Kartografya: Harita Tasarımı ve Kullanımı i¸cin Gerekli Bilim, Sanat ve Teknik. Atlas Akademi Yayınevi, Konya, 2. baskı.
U¸car, D., ˙Ipb¨uker, C., ve Bildirici, ˙I. ¨O. (2011). Matematiksel Kartografya. Atlas Yayın Da˘gıtım, Ankara.