serisi hipergeometrik seri ad¬verilir. Burada ; ve reel ya da kompleks sabitlerdir.

Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar

1 + x + ( + 1) ( + 1)

1:2: ( + 1) x

+ :::

serisi hipergeometrik seri ad¬verilir. Burada ; ve reel ya da kompleks sabitlerdir.

reel ya da kompleks bir say¬, r s¬f¬r ya da pozitif bir tamsay¬olmak üzere

( )

= ( + 1)( + 2):::( + r 1)

¸ seklinde tan¬mlanan ( )

ifadesine Pochhammer sembolü denir.

Bu sembol a¸ sa¼ g¬daki özelliklere sahiptir.

1) ( )

= ( + r) ( ) 2) ( )

= ( + 1)

Pochhammer sembolü gözönüne al¬narak hipergeometrik serisi

2

F

( ; ; ; x) = X

( )

( )

( )

r! x

¸ seklinde yaz¬labilir.

Hipergeometrik seri a¸ sa¼ g¬daki ko¸ sullar¬sa¼ glamaktad¬r.

1) F ( ; ; ; x) = F ( ; ; ; x)

2) d

dx F ( ; ; ; x) = F ( + 1; + 1; + 1; x) 3) F ( ; ; ; 0) = 1

4) F

( ; ; ; 0) =

1

Gauss Diferensiyel Denklemi

x(1 x)y

+ [ ( + + 1)x] y

y = 0

Gauss diferensiyel denkleminin x = 0 düzgün ayk¬r¬noktas¬kom¸ sulu¼ gundaki çözümü

y = AF ( ; ; ; x) + Bx

F ( + 1; + 1; 2 ; x) ; jxj < 1

¸ seklindedir.

(Ax

+ Bx + C)y

+ (Dx + E)y

+ F y = 0

denkleminde e¼ ger B

4AC > 0 ise y

nün katsay¬s¬ birbirinden farkl¬ iki reel köke sahip olacakt¬r. Bu kökler x

ve x

olsun.

(x x

)(x x

)y

+ (mx + n)y

+ y = 0

denkleminde u = x x

x

x

dönü¸ sümü yap¬l¬rsa x = x

noktas¬ kom¸ sulu¼ gunda bir çözüm elde edilir. u = x x

x

x

dönü¸ sümü yap¬l¬rsa x = x

noktas¬kom¸ sulu¼ gunda bir çözümü elde edilir ve diferensiyel denklemimiz ise

u(1 u) d

y

du

+ [ ( + + 1)u] dy

du y = 0

¸ sekline dönü¸ sür.

Kummer Denklemi ve Kon‡uent Hipergeometrik Fonksiyonlar¬:

xy

+ ( x)y

y = 0

diferensiyel denklemine Kummer Denklemi ya da Kon‡uent Hipergeometrik Denklemi ad¬ver- ilmektedir. Burada ; reel ya da kompleks parametrelerdir. Kummer denkleminin genel çözümü

y = AF

( ; ; x) + Bx

F

( + 1; 2 ; x)

¸ seklindedir. Burada A ve B key… sabitlerdir.

2

Örnek 1. herhangi bir say¬, n ler bir do¼ gal say¬ olmak üzere a¸ sa¼ g¬dakilerin do¼ grulu¼ gunu gösteriniz.

a) ( )

= ( 1)

0

@ n

1 A n!

b) ( + k)

= ( + k)( + k + 1)

Çözüm: a)

( )

= ( )( + 1):::( + n 1)

= ( 1)

( )( 1):::( n + 1) ( n)!

( n)!

n!

n!

= ( 1)

! n

!( n)! n!

= ( 1)

0

@ n

1 A n!

elde edilir.

b)

( + k)

= ( + k)( + k + 1):::( + k + n)

= ( + k) [( + k + 1)( + k + 1 + 1):::( + k + 1 + n 1)]

= ( + k)( + k + 1)

bulunur.

3