GETİRİ EĞRİSİ TAHMİN YÖNTEMLERİNİN TÜRKİYE PİYASASI İÇİN PERFORMANSLARININ KIYASLANMASI

GETİRİ EĞRİSİ TAHMİN YÖNTEMLERİNİN TÜRKİYE PİYASASI İÇİN PERFORMANSLARININ KIYASLANMASI

Coşkun Tarkoçin* Hüseyin Taştan**

Özet

Bu çalışmada getiri eğrisi teorileri çerçevesinde Türk iskontolu bono piyasası için farklı yöntemler kullanılarak getiri eğirisi tahmini yapılması amaçlanmıştır. Dünyadaki birçok merkez bankasında yaygın olarak kullanılan tahmin yöntemleri arasında Türk piyasası için en iyi sonuçları veren yöntem araştırılmıştır. Çalışmanın uygulama kısmında 3 Ocak 2006 ve 23 Ekim 2009 tarihleri arasında iskontolu bono piyasası için, Nelson-Siegel, Svensson, Kübik spline, Kübik düzleştirici spline yöntemleri kullanılarak getiri eğrisi tahmini yapılmıştır. Diğer çalışmalardan farklı olarak ilk defa, Kübik düzleştirici spline yöntemi Türkiye piyasası için uygulanmış ve Uygulanan yöntemlerin örneklem-içi ve örneklem-dışı performansı öngörü hatalarından elde edilen çeşitli ölçütler çerçevesinde kıyaslanmıştır.

Bulgular ışığında, Svensson ve Kübik düzleştirici spline yöntemlerinin Türk iskontolu bono piyasası için daha iyi sonuçlar verdiği bulunmuştur.

Anahtar Kelimeler: Getiri Eğrisi Tahmini, İskontolu Bono, Nelson-Siegel, Svensson, Kübik Spline, Kübik Düzleştirici Spline, Getiri Eğrisi Teorileri, Faiz Oranı Vade Yapısı JEL Sınıflaması: G1, E4, C6

COMPARING YIELD CURVE ESTIMATION METHODS PERFORMANCE FOR TURKISH MARKET

Abstract

This study aims at estimating yield curve for the Turkish bond market using several estimation methods within the framework of yield curve theories. This study also attempts to determine the best performing estimation method among a variety of methods used widely by central banks in the world. In the empirical part we used four different types of yield curve estimation methods, namely, Nelson-Siegel, Svensson, Cubic Spline and Smoothing Cubic Spline Method, to estimate zero-coupon bond yield curve using daily data covering the period from January 3rd, 2006 to March 31st, 2009. We compare in-sample and out-of-sample forecasting performance of estimation methods using several criteria based on forecast errors.

Our results indicate that Svensson and Cubic smoothing spline methods are better suited for the Turkish discounted bond market.

Keywords: Yield Curve Estimation, Zero Coupon Bond, Nelson-Siegel, Svensson, Cubic Spline, Cubic Smoothing Spline, Yield Curve Theories, Term Structure of Interest Rate JEL Classification: G1, E4, C6

* Yönetmen, HSBC Bank A.Ş. Risk Yönetimi Bölümü, Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Doktora Öğrencisi

** Doç. Dr., İktisadi İdari Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü, Yıldız Teknik Üniversitesi Çalışmada ifade edilen görüşler yazarlara aittir, bağlı bulundukları kurumları bağlamaz.

GİRİŞ

Bu çalışmada Türk Bono Piyasası için farklı vadelere ait faiz oranlarının tahmin edilmesi diğer bir ifadeyle getiri eğrisi tahmini yapılması amaçlanmıştır. Bu doğrultuda kübik düzleştirilmiş spline yöntemi Türkiye verilerine ilk defa uygulanancaktır. Bununla birlikte getiri eğrisi tahmininde birçok gelişmiş ülkenin merkez bankaları tarafından yaygın olarak kullanılan tahmin yöntemleri arasında Türk Bono Piyasası için örneklem içi ve örneklem dışı tahmin performansı en iyi olanın belirlenmesi çalışmanın bir diğer amacıdır. Getiri eğrisi ya da faiz oranlarının vade yapısı, faiz oranları ile vade arasındaki ilişkiyi gösterir. Ekonomi ve finans analizlerinde çok çeşitli kullanım alanlarına sahiptir. Farklı vadelere sahip varlıkları fiyatlama ve vadedeki değeri bilinen bir varlığın bugünkü değerini doğru hesaplayabilme olanağı sağladığından faiz oranlarının vade yapısı piyasa katılımcıları için büyük bir öneme sahiptir. Politika yapıcılar açısından önemi ise piyasa katılımcılarının faiz beklentilerini göstermesidir. Merkez Bankaları kısa vadeli faiz oranlarına müdahale edebilmektedir ancak daha uzun vadeler piyasa tarafından belirlenmektedir.

Bu çalışmada getiri eğrisi tahmin yöntemleri Türk Bono Piyasası verileri kullanılarak 3.Ocak.2006-23 Ekim 2009 dönemini kapsayan 953 gün için uygulanmıştır. Kullanılan veri seti İstanbul Menkul Kıymetler Borsası günlük tahvil ve bono bültenlerinden, iskontolu bonoların uygun bir veri seti oluşturacak şekilde filtrelenmesi ile elde edilmiştir. Getiri eğrisi tahmininde en iyi tahmin performansına sahip yöntemin belirlenmesi amacıyla, bu çalışmada Nelson-Siegel, Svensson, Kübik spline ve Kübik düzleştirilmiş spline yöntemleri ele alınmış ve örneklem-içi ve örneklem-dışı öngörü kıyaslamaları yapılmıştır.

1 GETİRİ EĞRİSİ TEORİLERİ VE GETİRİ EĞRİSİNİN KULLANIMI

Getiri eğrisi aynı kredi değerliliğine sahip finansal aktiflerin getirileri ve vadeleri arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. Diğer bir ifade ile faiz oranlarında kredi değerliliği nedeniyle oluşabilecek farklılık ayrıştırılmakta ve sadece faiz oranlarının vadeye göre izleyeceği şekil gösterilmektedir (Altıntaş, 2000, 140). Merkez Bankacılığının temel taşlarından birini oluşturan getiri eğrisi tahmini basitçe vade-getiri uzayında noktaları birleştirme işi olarak tanımlanabilir (Gürkaynak, Sack ve Wright, 2006). Yatırımcılar farklı vade ve kuponlara sahip bonoların getirilerini yıllık bazda hesaplayarak aralarında kıyaslama yaparlar (Place, 2000, 11).

1.1 Getiri Eğrisi Teorileri

Getiri eğrisinin şeklini açıklayan çok sayıda teori bulunmaktadır. Bunlardan en popüler üç tanesi, Beklentiler Teorisi, Likidite Tercihi Teorisi, Piyasa Ayrışması Teorisidir (Faerber, 2001, 159). Bunlara Tercih Edilmiş Habitat Teorisi de eklenebilir. Beklentiler Teorisi ilk defa yaklaşık bir yüzyıl önce Fisher (1896) tarafından öne sürülmüştür ve o zamandan bu yana birçok versiyonu ortaya çıkmıştır. Literatürde en azından dört farklı versiyonu vardır.

Sapmasız Beklentiler Hipotezi, Vadeye Kadar Getiri Beklentiler Hipotezi, Yerel Beklentiler Hipotezi örnek gösterilebilir (Nawalkha, 2005, 54).

Likidite Tercihi Teorisi gelecekteki faiz oranları beklentilerine risk unsurunu katmaktadır. Genel olarak yatırımcılar kısa dönem vadeleri tercih ederler. Sadece uzun dönem faiz oranları, gelecekteki faiz oranı dalgalanma riskini tazmin edecek şekilde yüksek olursa bu menkul kıymetleri tercih edeceklerdir ( Faerber, 2001, 160 ).

Piyasa Ayrışması hipotezine göre farklı piyasa katılımcıları farklı vade yapılarında bono tercihlerine sahiptir. Farklı vadeler için arz ve talep ayrı oluşacağından görece olarak bağımsız piyasalar oluşmaktadır (Nawalkha, 2005, 54). Bu teori kurumsal yatırımcıların belirli vadeler için farklı tercihlere sahip olduğunu söyler. Örneğin hayat sigortası şirketleri daha çok uzun vadeli bonolara yatırım yaparken, bankalar kısa ve uzun dönem kağıtlara yatırım yapmayı tercih eder ( Faerber, 2001, 160 ).

Tercih Edilmiş Habitat Hipotezi Modigliani ve Sutch (1966) tarafından öne sürülmüştür. Yatırımcıların farklı bir vadeye geçişleri tazmin edildiği takdirde tercihlerini bu yönde kullanabileceğini söyler (Fabozzi, 2005, 155).

1.2 Getiri Eğrisi Şekilleri ve Belirleyici Unsurlar

Kredi kullanıcılarının piyasa faiz oranı devamlı değiştiği için getiri eğrisinin şekli de buna bağlı olarak sürekli olarak değişir. Eğer alıcılar enflasyonda ve faiz oranlarında artış beklerse kısa dönem bonolarda güvende olmak isterler. Bunun sonucu olarak da getiriler düşer. Diğer taraftan eğer düşük ekonomik büyüme, resesyon ihtimali veya düşük faiz oranları beklentisine sahiplerse, yüksek getirileri satın almak isterler ve bunun sonucunda uzun dönem faiz oranları düşer (Thau, 2000, 86). Getiri eğrisinin şeklini etkileyen ana unsurlar, piyasa beklentileri, bono risk primi, konveksite sapması olarak özetlenebilir.

Getiri eğrisi dört şekle sahip olabilir: normal getiri eğrisi, dik getiri eğrisi, düz getiri eğrisi ve ters getiri eğrisi. Normal getiri eğrisi durağan ve sağlıklı ekonominin bir işareti olarak görülebilir. Dik getiri eğrisi genelde resesyon sonrasında ekonomi genişlemeye başladığında

karşılaşılır. Düz getiri eğrisi resesyon sonrası normalleşme öncesi oluşabileceği gibi, gelecekte ters getiri eğrisi oluşabileceğinin uyarısı da olabilir (Sheimo, 1999, 21). Ters getiri eğrisi daralma işareti olabilir. Getiri eğrisinin ters olmasının nedenleri, likidite problemleri, enflasyon, sıkı para politikası olabilir (Nawalkha, 2005, 52).

1.3 Getiri Eğrisinin Kullanımı

Getiri eğrileri en yaygın olarak yatırımcılar tarafından kullanılır. Yatırımcılar getiri eğrisini farklı vadeler arasında yatırım tercihleri yaparken ve varsa arbitraj olanaklarından yararlanmak amacıyla kullanırlar (Thau, 2000, 87-102). Hazine bonolarının getiri eğrileri para politikasının sıkılığı, ülkeler arası farklılıklar, yeni ürünlerin fiyatlanması, bonolar arası görece değer hesaplanması, gerçekleşen forward oranların türetilmesi ve yatırımcıların riski anlaması gibi birçok alanda işe yararlar (Place, 2000, 12).

Finansal teorinin test edilmesi ve gelişiminde önemli bir araç faiz oranlarının vade yapısıdır. Getiri ve vadeye kalan gün arasındaki bu ilişki politika yapıcılar ve piyasa uygulayıcıları için kritik önemde olmaktadır (Ioannides, 2003, 1). Merkez bankaları kısa vadeli (gecelik) faiz oranları üzerinde belirleyicidir, buna karşın daha uzun vadedeki faizler, piyasa katılımcılarının faizlerin ileride izleyeceği seyre ilişkin beklentileri ve risk algılamaları tarafından belirlenmektedir. Parasal aktarım mekanizmasının kısa vadeli faizlerdeki değişim ile daha uzun vadeli faizlerdeki değişimin yönü ve büyüklüğü arasındaki ilişkinin oluşturduğu dikkate alınırsa, getiri eğrilerinin merkez bankaları tarafından politika oluşturma sürecinde takip ettiği söylenebilir (Akıncı ve Diğ. , 2006, 1).

2 GETİRİ EĞRİSİ TAHMİN YÖNTEMLERİ

Yaygın olarak kullanılan getiri eğrisi tahmin yöntemleri; bootstrapping yöntemi, McCulloch (1971, 1975) polinom ve üssel spline metotları, Chamber, Carleton ve Waldman (1984) üssel polinom yöntemi, Vasicek ve Fong (1982) ve Nelson-Siegel (1987), Svensson (1994) üssel fonksiyonel formlarıdır. Daha sonra bunları Steeley (1991) B-spline metodu gibi hata ağırlıklandırma modelleri, Fisher, Nychka, ve Zervos (1995) ve Jarrow, Ruppert ve Yu (2004)’in Penalized Spline metodu takip etmektedir. (Nawalkha, 2005, 55).

Uluslararası Ödemeler Bankasının çalışmasında çeşitli Merkez Bankalarının kullandığı yöntemler tablo 1’de gösterilmiştir. Bu çalışmamızda İngiltere ve Kanada dışında diğer çoğu önemli merkez bankasının kullandığı yöntem uygulanmış olacaktır (BIS, 2005).

Tablo 1 Merkez Bankaları ve Kullandıkları Getiri Eğrisi Tahmin Yöntemi

Merkez Bankası Kullandığı Yöntemler

Belçika Svensson veya Nelson-Siegel Kanada Merrill Lynch Exponential Spline Finlandiya Nelson- Siegel

Fransa Svensson veya Nelson-Siegel

Almanya Svensson

İtalya Nelson- Siegel Japonya Smoothing Splines

Norveç Svensson

İspanya Svensson, Nelson-Siegel (1995 öncesi)

İsviçre Svensson

İngiltere VRP

ABD Smoothing Splines

Burada uygulamasını gerçekleştireceğimiz getiri eğrisi tahmin yöntemlerini iki grupta toplayabiliriz: parametrik yöntemler ve parametrik olmayan spline bazlı yöntemler. Türkiye Cumhuriyeti Merkez Bankası da Aralık 2006’da Svensson ve Nelson-Siegel yöntemlerini kullanan bir çalışma yayınlamıştır (Akıncı ve diğ., 2006).

Getiri eğrisi oluştururken temel iki sorunla karşılaşırız. Birinci sorun vade yapısında boşluklar olmasıdır ve boşluklar vade yapısını doğru tahmin edebilecek bir fonksiyon formu seçimi sonrası enterpolasyon tekniği ile doldurulur. İkinci sorun veri setinin homojenliğidir.

Tahmin yapılırken kullanılacak kağıtların nakit akımı, likidite, vergisel farklılıkları homojen set belirlenmesi önündeki engellerdir (Jordan ve Mansi, 2003, 2). Bununla birlikte getiri eğrisi tahmini yaparken tahminimizde ne kadar esnekliğe izin verileceği sorusu da önemlidir.

Yeterince esnekliğe izin verilerek tüm terimlere iyi uyması sağlanabilir veya aksine daha fazla düzleştirme uygulanarak eğrinin uyumundan feda edilebilir. (Gürkaynak, Sack ve Wright, 2006, 11)

Ampirik tahmin yöntemlerinde iki amaç vardır; piyasa verilerinin iyi uydurulması ve doğru düzleştirilmesi. Bu iki amaç arasında bir alış veriş söz konusudur. İktisadi olarak anlamlı bir eğri elde etmek için düzleştirme amacı daha önemli olmaktadır. Fakat eğri düzleştirilirken uydurulmasından feda edilecektir bu da bazı vadeler açısından fiyatlama sapmalarına neden olabilmektedir (Fabozzi, 2005, 954-955).

Spline bazlı metotlar oldukça esnek bir yaklaşım sunsa da çok sayıda tahmin parametresi içerirler. Bunun yanında parametre konusunda daha tutumlu, eğriyi daha az değişken ile daha düzgün bir yapıda tahmin etmeyi sağlayan parametrik metotlar vardır. Bir piyasa oyuncusu daha esnek bir eğri isterken, makro bakmak isteyen bir ekonomist daha düz

bir eğri ile ilgilenebilir. Piyasanın makroekonomik koşulları, para politikası beklentileri, alınan riskler, yatırımcının risk tercihleri gibi temel öğelerini anlamak istiyorsak parametrik daha düzgün bir getiri eğrisi tahmin etmek gerekmektedir.

2.1 Parametrik Yöntemler

Parametrik yöntemler tüm vade boyunca tek parça fonksiyon kullanır. Bu yaklaşım teorik fiyatlar ve gözlenen fiyatlar arasındaki sapmanın karelerinin minimizasyonuna dayanır.

Pratikte en yaygın olarak kullanılan parametrik yöntemlerin başında Nelson- Siegel ve onun genişletilmiş hali olan Svensson (Genişletilmiş Nelson- Siegel) yöntemi gelmektedir.

Nelson – Siegel Yöntemi

Bu yöntem Nelson ve Siegel ( 1987) tarafından geliştirilmiştir. Nelson- Siegel anlık ileri oranları bulmak için aşağıdaki fonksiyon formunu kullanarak belli bir gün için bononun vadeye kalan günleri ile arasındaki direkt ilişkiyi bulmaya çalışır.

Nelson ve Siegel’in yaklaşımı n yıl sonraki anlık forward faiz oranlarını sürekli bir fonksiyon olarak dört parametre ile ifade etmiştir.

( , ) exp( / ) ( / ) exp( / )2

f nt β β β n τ β n τ n τ

0 1 1 2 1

= + − + − − , (3.1.1)

0

( ) 1/ ( )

n

y n = n f x dx

∫

Burada y(n) enstrümanın vadeye kadar getirisi, f(x) ise ileri (forward) oranları veren fonksiyonu ifade etmektedir. Nelson ve Siegel (1987) bu ileri faiz oranı fonksiyonunun iki τ parametresinin fazla parametre sorunu oluşturduğunu ifade etmiştir. Bunun yerine iki eşit τ parametresi kullanmayı önermiştir.

İskontolu bono veya spot faiz oranı eğrisi yukarıdaki ileri faiz oranı eğrisinden integral yardımı ile aşağıdaki şekilde türetilebilir.

0 1 2

1 exp( ) 1 exp( )

( ) *

[ ]

[

]

t

n n

y n n

n n

τ τ

β β β

τ

τ τ

− − − −

= + + − − , (3.1.3)

Bu fonksiyon ile anlık faiz oranları sıfır noktasında β β

0+ 1 yani _{0 1}

lim ( )0

t y n β β

→ = + ve

sonunda asimptot değeri lim ( ) ₀

t y n β

→∞ = olarak β₀’a yakınsar. Buradanβ₀ ve β β

0+ 1’in sıfırdan büyük olması gerektiği anlaşılır. Aradaki noktalarda ise forward oranı büyüklüğü ve

işareti β₂ katsayısı ile belirlenen “tümsek” (hump) ve U şekli yapabilir. Bu parametre, τ ile birlikte, konjonktür dalgalanmasına bağlı olarak beklenen faiz patikasını getiri eğrisine dahil eder. Bu tümseğin yeri τ katsayısı ile belirlenir. Ayrıca -β₁ uzun dönem ve kısa dönem arasındaki farkı bize vereceğinden vade primi olarak düşünülebilir (Alper, Akdemir ve Kazimov, 2001, 11). Nawalkha (2005) τ katsayısının uzun dönem orana yakınsayabilmesi için sıfırdan büyük olması gerektiğini bildirmiştir. Ayrıca, τ değeri vade uzarken açıklayıcı değişkenlerin sıfıra yakınsama hızını belirlemektedir.

Forward oranları gelecekte beklenen kısa dönem faiz oranları ve vade primi olarak iki unsur ile açıklanabilir. Nelson ve Siegel fonksiyonel formunda, forward oranlar para politikası ile belirlenen mevcut kısa dönem faiz oranları ile başlar. Sonrasında orta vadede konjonktür, enflasyon, para politikası kararları (tümsek) ile belirlenir ve sonunda asimptot değeri durağan durum seviyesinde bitirir (Gurkaynak, Sack ve Wright,2006, 16).

Nelson-Siegel formunda katsayıların tahmini kısıtlı doğrusal olmayan en küçük kareler yöntemi ile yapılabilmektedir. φ_t ={ , ,β β β τ_{0 1 2}, ) katsayıları hata kareleri toplamı minimize edecek aşağıdaki form ile tahmin edilir. Bunun dışında hata terimlerinin dağılımı biliniyorsa Maksimum Olabilirlik Yöntemiyle de katsayıların tahmini gerçekleştirilebilir.

^ 2

1

arg min ^t

N

t t it

i

φ φ ε

=

=

∑

Nelson- Siegel gösteriminde, vadeye kalan gün sonsuza giderken getirilerin limit değerine eşit olan β₀ parametresi, devlet iç borçlanma senetleri piyasası katılımcılarının ekonominin durağan düzeyindeki (steady state) faiz beklentisini (bir vade primi ile birlikte) verir (Akıncı ve Diğ, 2006, 11).

Svensson ( Genişletilmiş Nelson- Siegel) Yöntemi

Svensson yaklaşımı Nelson-Siegel (1987)’nin fonksiyonel formunun daha esnek olacak şekilde genişletilmiş halidir. Genişletilmiş Nelson-Siegel olarak da adlandırılan bu yöntem Svensson (1994) çalışmasını takip etmektedir. Yukarıda Nelson ve Siegel Yöntemi için belirttiğimiz hususlar Svensson yöntemi içinde geçerliliğini korumaktadır. Özellikle ortak parametrelerin yorumu benzer şekilde olmaktadır.

Svensson metodu ile daha uzun vadeli enstrümanların olduğu piyasalar için tahmin yapmak daha yararlıdır çünkü konveksite nedeniyle daha uzun vadede bulunan menkul kıymet getirileri eğriyi bu yöne doğru itmektedirler. Bu gösterim ikinci bir tümseğe izin veren

iki yeni terimi fonksiyona dahil ederek forward oranları altı parametre ile açıklamaktadır. Bu fonksiyonel formdaβ₃ sıfır yapıldığında Nelson-Siegel’a formu elde edilmektedir:

3 2 2

( , 0) exp( / ) ( / ) exp( / ) ( / ) exp( / )

f nt β β n τ β n τ n τ β n τ n τ

0 1 1 2 1 1

= + − + − − + − − , (3.1.6)

Bu forward oranların integrali bize denk gelen iskontolu bono getirilerini verir. Bu fonksiyonel form aşağıdaki şekilde yazılabilir.

1 1 2

0 1 2 3

1 2

1 1 2

1 exp( ) 1 exp( ) 1 exp( )

( ) *

[ ]

[

] [

]

t

n n n

n n

y n n n n

τ τ τ

β β β β

τ τ

τ τ τ

− − − − − −

= + + − − + − −

, (3.1.7)

Svensson yöntemi veri setindeki bazı senetlerde gerçekleşebilecek aşırı dalgalanmalardan fazla etkilenmemekte, böylece faiz hadlerinin genel seyri hakkında sağlıklı bilgi vermektedir (Akıncı ve diğ, 2006). Çoğu tahminde Nelson ve Siegel orijinal fonksiyonel formunu kullanmak tatmin edici sonuçlar vermektedir. Fakat vade yapısının daha karmaşık olduğu durumlarda bu model yetersiz kalabileceğinden iki yeni değişken eklenerek genişletilmiş form öne sürülmüştür (Svensson, 1994).

2.2 Parametrik Olmayan Spline Temelli Yöntemler

Bu yöntemlerden en popüler olanı McCulloch (1971) çalışmasına dayanmaktadır. Bu yöntem polinom splinelar kullanarak iskonto fonksiyonunu uydurmakta ve böylece sıradan en küçük kareler yönteminin kullanılabileceği sürekli bir fonksiyon üretmektedir. Daha sonraki çalışmalarda Langetieg ve Smoot (1988) McCulloch yönteminin genişletilmiş halini, iskonto fonksiyonu yerine iskonto oranlarını lineer olmayan tahmin yöntemlerini kullanarak tahmin etmiştir (Fabozzi, 2005, 955).

İskonto fonksiyonu için basit bir fonksiyonel form kübik polinomdur. Bu yaklaşım kübik fonksiyon kullanarak iskonto faktörleri seti tahmin etmeyi gerektirir. Vadeyi t, iskonto fonksiyonunu d(t) olarak ifade edersek, kübik fonksiyon kullanarak iskonto faktörleri setini şu ifade ile tahmin edebiliriz (Fabozzi, 2005, 959)

2 3

0 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )

d t =a +a t +a t +a t , (3.2.1)

İskonto faktörü t = 0 için, şu an için 1 olarak düşünülebilir, bu durumda a0 =1 ve eşitlik şu şekilde tekrar yazılabilir.

2 3

1 2 3

( ) 1 ( ) ( ) ( )

d t − =a t +a t +a t , (3.2.2)

Pratikte kübik polinom tekniği yaklaşımı çok sınırlıdır. Her bir bono için farklı bir eşitlik gerekir ve piyasa verilerini iyi uyumlaştıracak esnekliğe sahip değildir. Sonuç olarak elde edilen eğri, bir eğriden ziyade bağımsız iskonto faktörleri setidir. Buna ek olarak kısa vadede veride olabilecek küçük değişiklikler, uzun vadelerde önemli sapmalara neden olabilmektedir.

Kübik Spline Yöntemi

Spline lineer enterpolasyonun bir formu ve istatistiksel bir tekniktir. Birden fazla uygulanma yöntemi mevcuttur. n. derece spline, parçalı n-derece polinom yakınsaması ve n-1 derece türev alınabileceği anlamına gelmektedir. Parçalı demek, çeşitli düğüm noktaları arasındaki farklı polinomlar demektir. Kübik spline üçüncü derece ve tüm noktalar boyunca iki defa türevlenebilirdir.

Kübik spline her bir vade aralığında getiri eğrisini tahmin eden bir kübik polinom olduğunu varsaymaktadır. Spline, belli bir sayıda ayrık d = f X( )polinomu olarak düşünülebilir. Eşitlik 3.2.1'de kübik polinom d t( )=a₀+a t₁( )+a t₂( )²+a t₃( )³, fonksiyonel formu ile ifade edildi. Kübik polinomun katsayıları n+1 veri nokta arasındaki n aralık için hesaplanarak 4n sayıda katsayı hesaplanır. Bu eşitlikler gözlemlenen veriye uydurulur.

Kısıtlar, eğrinin başlangıç ve bitiş noktasında '' 0d = yani eğrinin düz olmasıdır.

Kübik spline için genel formülasyon eşitlik 3.2.3'deki gibi yazılabilir.

3 1

3

0 1

( ) 1 ( )

3!

n i

i p p

i p

sτ aτ b τ X

−

= =

=

∑

∑

Yukarıdaki eşitlikte τ nakit akımlarının alındığı zamanı, Xp bitişik polinomların birleştiği noktaları, diğer bir ifadeyle düğüm noktalarını ifade etmektedir. Bu eşitlikte {

0,..., _n

X X }, Xp < Xp+1 , p = 0….n-1 şeklinde olacaktır. Pratikte spline, baz fonksiyonların bir seti olarak yazılabilir. Bunu yapmanın bir yolu B-splinelardır, { X₀,...,X_n } belirli düğüm noktaları için şöyle ifade edilebilir.

4 4

3 ,

( ) ^p

(

)

p p

j p i p i p i j

B τ X X τ X

+ +

= = ≠

=

∑ ∏

p( )

B τ , { X₀,...,X_n } ‘ da tanımlanmış kübik splinelar, aşağıdaki fonksiyon ile tahmin

edilebilir. _{3 1} ¹

3

( ) ( ,..., ) ( )

n

n p p

p

δ τ δ τ λ₋ λ₋ ⁻ λ B τ

=−

= =

∑

1,..., _n

τ τ vade periyotları B-splinelar, böylece B={B_p( )}τ_{j p=−3,...,n−3,j=1,...,m} ve [ ( ),..., ( )1 _m

δ = δ τ δ τ olur. Buradan; δ =B'λ ve regresyon eşitliği şöyle olacaktır

* arg min{ ' P D }

λ = ε ε ε= − λ , (3.2.5)

'. '

D=CB ε ε minimum hataları verir. Yukarıdaki eşitlik sıradan en küçük kareler yöntemi ile hesaplanabilir (Fabozzi, 2005).

Kübik Düzleştirici Spline Yöntemi

Fisher, Nychka, ve Zervos (1995) çalışması, spline'ın düzleştirme faktörü ile iskontolu bono oranları ve forward oranların çıkartılabileceğini göstermiştir. Anlık forward oran eğrisi kübik B-splineların lineer bir kombinasyonu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),..., _K( )) ( , ,..., _K) ' ( )

f t ≡ φ t φ t φ t β β β ≡φ t β , (3.2.6)

Burada ( ( ), ( ),...,φ₁ t φ₂ t φ_K( ))t kübik spline bazlar, ( ,β β_{1 2},...,β_K) ' katsayıların sütun vektörü ve K düğüm noktalarının iki fazlasıdır. Tanıma göre iskonto faktörü aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu denklemde T, tüm i ve j'ler içinde en büyük tij'yi ifade etmektedir..

0

( , ) exp

(

S t s ds

δ β = −

∫

⁾

( )β

Π , yukarıdaki forward oranların enterpolasyonuna dayalı menkul kıymet fiyat vektörüdür.

1 2

( ) ( ( ),β π β π β( ),...,π β_m( ))

Π ≡ , (3.2.8)

Burada Π_i( )β ≡c_i' ( , )δ t_i β ve δ_s( , ) ( ( , ), ( , ),..., ( , )) 't_i β ≡ δ_s t_1i β δ_s t_2i β δ_s t_mi β olmaktadır. Bu durumda smoothing spline verilen λparametresi ile β'ya göre aşağıdaki problemi minimize eder.

2 0

min (

[

]

β − Π β − Π β +λ

∫

Bu ifadenin ilk terimi hata kareleri toplamıdır, ikinci terim ise düzleştirmek için ceza terimidir. λbir sabit ve düzleştirme ağırlığıdır. λ'nın daha büyük olması, ileri oran eğrisinin daha smooth olması demektir. Smoothing splinelarda, efektif düğüm sayısı, otomatik olarak düzleştirme ve uyumun iyiliğine göre belirlenebilir.

3 TÜRK BONO PİYASASI İÇİN GETİRİ EĞRİSİ TAHMİNİ

Türk bono piyasası için getiri eğrisi tahmini daha önce çeşitli açılardan çalışılmış bir konu olmasına rağmen, bu çalışmada farklı olarak birçok gelişmiş merkez bankası tarafından kabul görmüş daha çok sayıda tahmin yöntemi bir arada tahmin edilmiş ve örneklem-içi ve örneklem-dışı tahmin performansları karşılaştırılmıştır. Özellikle kübik düzleştirici spline yöntemi Türkiye piyasası için ilk defa uygulanmış ve başarılı sonuçlar elde edilmiştir.

Yoldaş (2002) Ocak 1994- Mayıs 2002 aylık bono verileri için, McCulloch kübik spline, Nelson-Siegel ve Chamber-Carleton-Waldman (CCW) üssel polinom yöntemlerini kullanmıştır. Ortalama hata , ortalama mutlak hata, hata karelerinin ortalamasının karekökü, ortalama mutlak hata terimleri kullanılarak tahmin yöntemlerinin örneklem-içi tahmin performansları kıyaslanmıştır. İlgili dönemde veri sayısı olmadığından örneklem dışı kıyaslama gerçekleştirilemediği bildirilmiş ve örneklem-içi kıyaslama sonuçlarına göre ise CCW üssel polinom yöntemi daha başarılı bulunmuştur.

Alper, Akdemir, Kazimov (2004) çalışmasında 1992-2004 tarihleri arasında aylık veri için McCulloch kübik spline ve Nelson-Siegel yöntemlerini uygulamışlardır. Aylık veriler ay sonu verisi olarak değil, aylık hacim ağırlıklı vade ve fiyatlar elde edilerek yapılmıştır.

Çalışmada örneklem-içi ve örneklem-dışı tahmin performansları kıyaslanmış ve örneklem-içi tahminde McCulloch kübik spline, örneklem-dışı tahminde ise Nelson-Siegel yöntemi daha iyi olarak nitelendirilmiştir.

Eren (2004) çalışmasında Ocak 2001- Aralık 2003 dönemini kapsayacak şekilde Nelson-Siegel yöntemiyle getiri eğrisi tahmini yapmıştır. Çalışma'da Türkiye piyasası için veri sayısı kısıtılı olmasına rağmen yöntemin uygun sonuçlar ürettiği belirtilmiştir.

Teker (2004) çalışmasında Kasım 2001- Mart 2004 dönemleri arasında 2-3-4-5-6.

derece polinom, Svensson, Diament yöntemlerini kullanarak getiri eğrisi tahmini gerçekleştirmiş ve belirli sabit vade aralıkları için hata karelerinin ortalamasının karekökü parametreleri ile kıyaslama yapmıştır. 4 ve 6. derece polinom tahmin yöntemleri daha başarılı sonuçlar vermesine karşın bazı günlerde kabul edilemeyecek çok yüksek sapma oranlarına ulaştığı bildirilmiştir. Uzun vadede Svensson ve Diament modellerinin daha sağlıklı sonuçlar verdiği çıkarımı yapılmıştır.

Baki (2006) çalışmasında, Ocak-Haziran 2005 tarihleri arasındaki günler için McCulloch kübik spline ve ve Nelson-Siegel yöntemini uygulamıştır. Çalışmada ortalama mutlak hata ve hata kareleri ortalamasının karekökü parametreleri örneklem-içi tahmin

performansı kıyaslaması için kullanılmış ve McCulloch kübik spline yöntemi daha başarılı bulunmuştur.

Akıncı ve Diğ.( 2006) çalışmasında Nelson-Siegel ve Svensson olarak da ifade edilen Genişletilmiş Nelson-Siegel yöntemiyle sabit kuponlu bonolarda dahil edilerek Ocak 2005- Ekim 2006 tarihleri dönemleri arasında getiri eğrisi tahmin edilmiştir. Getiri eğrisinin kullanımı anlatılmış ve eğrilerin para politikasına, stopaj oranlarının değişmesine ve açıklanan enflasyon verilerine tepkilerine tepkileri örnekler ile analiz edilmiştir.

3.1 Veri Seti ve Tahmin Sorunları

Tahmin için kullanılacak verinin filtrelenmesi önemli bir husustur. Bonolar aynı risk sınıfından seçilerek aralarında sadece vade farklılığı olacak şekilde seçilmelidir. Eğer çok sayıda bono mevcut ise likiditesi düşük ve normal olmayan alış-satış spreadine sahip olanlar ihmal edilebilir. Ayrıca vergilendirme homojen olmalı, farklı vergi yapılarına sahip bonolar veri setinde bir arada analize dahil edilmemelidir (Nawalkha, 2005, 72).

Veri setinin hazırlanması esnasında şöyle bir yöntem uygulanmıştır. Gösterge kağıdın iskontolu bono olması ve Türk Bono ve Tahvil Piyasasında iskontolu bono piyasasının likiditenin önemli bir kısmını oluşturması nedeniyle sadece iskontolu bonolar hesaba katılmıştır. 2006 sonrasında gelen stopaj uygulaması nedeniyle, bonoların daha homojen yapıya sahip olması adına stopajsız kağıtlar veri setinden çıkarılmıştır. İşlem hacimlerine göre

% 5 alt dilimde bulunan ve vadesine 30 günden daha az süre kalan bonolar veri setini bozabileceği düşüncesi ile çıkarılmıştır. Alper, Akdemir ve Kazimov (2004) çalışmalarında 10 günden daha az süre kalanları hariç tutmuştur. Böylece düşük likiditeye sahip bononun spesifik etkisiyle oluşacak tahmin sapması önlenmiş olacaktır.

3.2 Model Uygulamaları ve Hesaplama Detayları Parametrik Yöntemler

Uygulamaları gerçekleştirebilmek için fonksiyon parametrelerinin doğrusal olmayan en küçük kareler optimizasyonu ile bulunması gerekmektedir. Çalışmada yer alan tüm optimizasyon problemlerinin çözümüde Matlab programı kullanılmıştır. Lineer olmayan eğri uydurma problemlerinin çözümünde genel form şöyledir:

2 1

1 1

min ( , ) ( ( , ) )

2 2

m

i i

x i

F x xdata ydata F x xdata ydata

=

− =

∑

Nelson-Siegel ve Svensson yönteminde β₀ başlangıç değerleri uygulama deneyimleri ve parametrelerin iktisadi anlamlarına göre belirlenmiştir. Ayrıca parametrelerin alt limit (lb) ve üst limit (ub) değerleri de benzer şekilde belirlenerek sonuçların hem eğriyi iyi bir şekilde uydurması ve iktisadi olarak mantıklı sonuçlar vermesi amaçlanmıştır.

953 gün için tahmin gerçekleştirilirken öncelikle başlangıç değerleri önceki tecrübeler ve iktisadi anlamlarına göre β₀=[0.18 -0.35 0.19 60] olarak belirlenmiştir. Ayrıca alt ve üst limitler lb=[0 -0.09 -25 45 ] , ub=[0.30 0.03 25 450 ] olarak belirlenmiştir. Buradaki kısıtlar yukarıda teorik altyapıda özetlenen iktisadi kaygılar göz önüne alınarak belirlenmiştir.

Yukarıda Nelson ve Siegel yöntemi ile yaptığımız tahmini iki yeni parametre ekleyerek Svensson yöntemi için yaparak sonuçlarını tartışacağız. Böylece β₀=[0.17 -0.35 4.2 -4.2 136 135] vektörü başlangıç değerleri olarak belirlenmiştir. Nelson –Siegel için yaptığımız tahmindeki benzer bir mantıkla ilk değerler belirlenmiştir. Alt ve üst limitler ise yukarıda anlatıldığı üzere metodoloji ve uygulama tecrübelerine göre lb=[0 -0.09 -25 -25 45 45 ] ve ub=[0.30 0.03 25 25 450 450 ] olarak belirlenmiştir. ¹

Parametrik Olmayan Spline Temelli Yöntemler

Kübik Spline Yöntemini (KSY) ve Kübik Düzleştirici Spline Yöntemini (KDSY) uygulamak için Matlab’ın Spline Toolbox’ından yararlandık.² .

( ) (:, ) ( ( ) )2 j

w j y j − f x j

∑

Kullandığımız kod eşitlik 4.2.1’de gösterilen toplam ağırlıklı hata karelerini minimize etmeye çalışmaktadır. Kübik spline bir çeşit enterpolasyon yöntemi olduğundan örneklem- dışı tahminlerde bazen kabul edilemeyecek sonuçlar elde edilebilmektedir. Biz tek parçalı

1 "options= optimset('Display','iter','MaxFunEvals',10000,'MaxIter',200,'TolFun',1e-8);"

"beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqcurvefit('Svensson',beta0,xdata,ydata,lb,ub,options);" Bu kod'da beta0,lb, ub yukarıda metinde anlatılan vektörleridir. xdata (1xN) tahmin edilecek gün için vadeye kalan gün satır vektörü ve ydata(1xn) getiri vektörüdür ve bu matris veya vektörlein ilgili çalışma alanında oluşturulması gerekmektedir. 'ens' optimizasyon için çağrılan fonksiyondur ve aşağıdaki gibi kodlanmıştır.

"function f =Svensson (beta,xdata)

f=beta(1) + beta(2).*((1-exp(-xdata/beta(5)))/(xdata/beta(5))) + beta(3).*((1-exp(-xdata/beta(5)))/(xdata/beta(5))- exp(-xdata/beta(5)))+ beta(4).*((1-exp(-xdata/beta(6)))/(xdata/beta(6))- exp(-xdata/beta(6)))"

Nelson-Siegel yöntemi parametreleri de tırnak içinde yazılan uygulama kodları ile benzer mantıkla optimize edilerek tahmin edilmiştir.

2Kübik düzleştirici spline uygulaması için "spcs=csaps(xdata,ydata,0.000001);" buradan elde edilen fonksiyon parametreleri ile xdata (1xN) vade vektörü için tahmin değerleri "fdata0=fnval(spcs,xdata);" kalıntılar ise

"residual = fdata0 -ydata;" ile bulunmuştur. Belirli vadeler için xdata yerine ilgili gün sayılarını içeren vektör adı yazılarak tahmin yapılabilir. 0.000001 düzleştirme katsayısıdır ve bu rakam 0 ile 1 aralığında seçilebilir. İki uç değer olarak, 0 seçilirse en küçük kareler optimizasyonu ile lineer bir uydurma yapılır, 1 seçilirse doğal kübik spline ile eğri uydurulur.

kübik spline tahminini parametrelerin en küçük kareler optimizasyonu ile yapacağız. Ağırlık olarak vadelerin tersini kullanan bir uygulama yaptık fakat daha başarılı sonuçlar elde etmediğimiz için vazgeçtik. Kübik Düzleştirici Spline yöntemine isteğe bağlı olarak ağırlıklar dahil edilerek tahmin yapılabilir ve düzleştirme terimi değiştirilerek farklı sonuçlar elde edilmesi mümkündür..

3.3 Tahmin Sonuçları

Tahmin sonuçları incelenirken öncelikle tüm modellerin 953 günlük veri seti için tahmin sonuçları incelenecektir. Çalışmanın kapsadığı dönem boyunca getiri eğrilerinin 3 boyutlu yüzey grafiği Şekil 1’de sağdan sola doğru gösterilmiştir. Burada getiri eğrilerinin nasıl bir davranış izlediği kolaylıkla görülebilir. 2006 yılı Mayıs-Haziran finanssal çalkantısıyla getiri eğrisi ciddi oranda yukarı kayma göstermiştir. Daha sonra piyasalardaki toparlanma ve olumlu beklentiler ile getiri eğrileri aşağı doğru kayma göstermiştir. ABD kaynaklı finansal krizin etkisi şekil 2’nin sağ tarafında eğrilerin ilk önce yukarı doğru çok ciddi bir çıkış yaptığı ve sonrasında resesyon beklentileriyle TCMB'nin de faiz oranlarına ciddi oranda müdahalesiyle çok aşağı seviyelere çok kısa sürede geldiği görülmektedir.

Şekil 1 Svensson Yöntemi ile Tahmin Edilen Getiri Eğrilerinin Tarihsel Gösterimi

Şekil 5 14 Ocak- 22 Ocak 2009 Svensson Yöntemi Getiri Egrileri- Gozlemlenen Getiriler

Şekil 5'de 14 Ocak 2009 sonrası altı gün için tahmin ettiğimiz getiri eğrileri ve gözlemlenen veriler bir arada görülmektedir. Bu haftanın seçilmesinin nedeni TCMB’nin gecelik faiz oranlarına müdahale ettiği haftalardan biri olmasıdır.

Kısaca özetlemek gerekirse Türk İskontolu bono piyasası için parametrik yöntemlerimiz olan Nelson- Siegel Yöntemi ve Svensson (Extented Nelson-Siegel) Yöntemi ile yapılan tahmin sonuçlarının oldukça başarılı olduğu söylenebilir. Elde edilen kalıntı karelerin düşük olması, uydurulan eğrilerin uyumu ve düzlüğünün başarısı, katsayıların iktisadi olarak anlamlı çıkmış olması ve bize finansal piyasalar hakkında bilgi vererek analiz yapma olanağı vermesi açısından kullanılabilir iki yöntemdir. Bu avantajları nedeniyle birçok merkez bankası tarafından bu yöntemler kabul görmüş durumdadır.

Kübik Spline Yöntemi oldukça başarılı gözükmesine rağmen bazen önemli sapmalara neden olabilmektedir. Özellikle örneklem dışı tahminlerde hatalar çok yüksek olabilmektedir.

Kübik Düzleştirici Spline yöntemi ise örneklem-içi ve örneklem-dışı tahminlerde kabul edilebilir hata terimleri üretmiştir.

3.4 Tahmin Yöntemlerinin Kıyaslanması

Yukarıda uyguladığımız dört farklı getiri eğrisi tahmin yöntemi de birbiriyle tutarlı sonuçlar vermiştir. Fakat acaba hangi getiri eğrisinin tahmin performansı daha iyi gibi bir soru gündeme gelebilmektedir. Buna karar verebilmek örneklem - içi tahmin ve örneklem - dışı tahmin ayrı ayrı yapılmalıdır. Örneklem - içi tahmin yaparken belirli vade aralıkları için hata

terimlerinden elde edilen kıyaslama parametreleri farklı olabilmektedir. Veri setimizdeki her gün için tahmin performanslarını kıyaslamak için aşağıdaki formülasyonlar kullanılmıştır.

2 1

1 ^N

i i

HKOK N ε

=

=

∑

Eşitlik 5.3.1'de HKOK, Hata Kareleri Ortalamalarının Karekökü (Root Mean Square Error), N tahmindeki veri sayısı, ε_i i. tahmin hatasıdır.

1

1 | |

N i i

OMH N ε

=

=

∑

Eşitlik 5.3.2'de OMH, Ortalama Mutlak Hata (Mean Absolute Error), N tahmindeki veri sayısı, ε_i i. tahmin hatasıdır.

1

1 | |

N

i i

i

AOMH w

N ε

=

=

∑

Eşitlik 5.3.3'de AOMH, Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata (Weighted Mean Absolute Error), wi

ağırlıklar, N tahmindeki veri sayısı, ε_i i. tahmin hatasıdır. Uygulamada ağırlık olarak durasyonun tersi kullanılacaktır. İskontolu bonolar için durasyon vadeye eşit olmaktadır.

Örneklem - İçi Tahmin Kıyaslaması

Örneklem-İçi tahmin kıyaslaması yaparken yukarıda formülasyonlarını yazdığımız ve literatürde sıklıkla kullanılan; Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü, Ortalama Mutlak Hata, Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata terimlerini kullanacağız. Tablo 3’de tüm yöntemler için hesaplanan kıyaslama parametresini veri setindeki 953 gün içinde minimum değeri üreten gün sayısı gösterilmiştir. Dikkat edilecek olursa Spline yöntemler örneklem - içi tahminde açıkça daha başarılı olmaktadır. Kübik spline yöntemi sırasıyla 558-580-383 gün ile en fazla günde daha başarılı tahmin yapmıştır. İkinci olarak Kübik Düzleştirici Spline 234-247-227 günde daha başarılı olmuştur. Kısacası örneklem - içi tahminde diğer bir deyişle enterpolasyon yaparken spline temelli yöntemler daha başarılı sonuçlar üretmektedir. Fakat parametrik yöntemlerimiz olan Nelson-Siegel ve Svensson’un katsayılarının iktisadi anlamları olması ve analiz imkanı tanıması göz ardı edilmemelidir.

Tablo 3 Örneklem - İçi Tahmin’de Yöntemlerin Kıyaslaması- En Başarılı Gün Sayıları

Nelson-Siegel Svensson Kübik Spline Kübik Düzleştirici Spline

Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü 50 111 558 234

Ortalama Mutlak Hata 47 79 580 247

Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata 117 226 383 227

Tablo 4'de gösterilen sonuçlara göre, Hata Kareleri Ortalamasının Karekökleri hesaplandığında, Kübik spline açıklama istatistikleri bakımından daha başarılı gözükmektedir.

Tüm yöntemlerin kullanılabilir derecede başarılı olduğunu söyleyebiliriz. Ortalama mutlak hata terimine bakıldığında benzer şekilde spline temelli yöntemler açıkça daha iyi sonuçlar üretmiştir. Parametrik olmayan iki yöntem arasında ise Kübik spline yöntemi daha düşük hata değerleri üretmesine rağmen çok önemli bir fark olduğunu söylemek zordur. Parametrik yöntemlerimiz içerisinde ise Svensson (Genişletilmiş Nelson- Siegel) daha başarılı bulunmuştur.

Tablo 4 Örneklem - İçi Tahmin’de Yöntemlerin Kıyaslaması

Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 0.00243 0.00032 0.01145 0.00176

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 0.00226 0.00034 0.01124 0.00162

Kübik Spline 0.00193 0.00022 0.01053 0.00164

Kübik Düzleştirici Spline 0.00205 0.00033 0.01040 0.00169

Ortalama Mutlak Hata Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 0.00199 0.00024 0.00951 0.00147

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 0.00185 0.00027 0.00920 0.00135

Kübik Spline 0.00152 0.00016 0.00798 0.00126

Kübik Düzleştirici Spline 0.00162 0.00027 0.00817 0.00131

Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 1.68E-05 1.19E-06 9.73E-05 1.51E-05

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 1.47E-05 1.77E-06 9.12E-05 1.34E-05

Kübik Spline 1.39E-05 9.81E-07 8.91E-05 1.43E-05

Kübik Düzleştirici Spline 1.50E-05 1.16E-06 8.41E-05 1.47E-05

Tablo 4'de Ağırlıklı ortalama mutlak hata teriminin açıklayıcı istatistiklerine bakıldığında, ortalama ve minimum-maksimum aralığı bakımından Kübik spline yönteminin daha düşük hata terimleri ürettiği gözlemlenmiştir. Parametrik yöntemlerden ise Svensson yöntemi daha düşük terimler üretmiştir.

Tüm yöntemler için hesaplanan HKOK,OMH,AOMH değerlerinin ortalamalarının birbirlerinden istatistiksel olarak anlamlı bir şekilde farklı olup olmadıkları t-testi ile sınanmıştır. T-testi sonuçlarına göre Kübik spline ve Kübik düzleştirici spline için hesaplanan terimlerin ortalamalarının istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık oluşturmadığı görülmüştür.

Ayrıca AOMH terimi ortalamaları t-testi sonuçlarına göre, Svensson yönteminin Kübik spline ve Kübik düzleştirici spline yönteminden istatistiksel olarak anlamlı bir farklılığa sahip olmadığı görülmüştür. Özetle, örneklem - içi tahminde uygulaması gerçekleştirilen dört yönteminde başarılı sonuçlar ürettiği, fakat görece olarak spline bazlı yöntemlerden Kübik spline'ın daha fazla günde en başarılı yöntem olduğu görülmüştür.

Örneklem - Dışı Tahmin Kıyaslaması

Örneklem-dışı tahmin yapabilmek için çeşitli yöntemler uygulanabilir. Biz burada veri setimiz çok geniş olmadığı için şöyle bir yöntem kullanacağız. Veri setimiz içerisindeki her gün için maksimum vadeye kalan günü 120 gün daha kısa olacak şekilde verimizi süzeceğiz.

Bu ayıklama sırasında süzdüğümüz gerçek vadeye kalan gün ve getirileri iz kaydı yaratarak saklayacağız, böylece daha sonra tahmin edilen ve gerçek getiri arasındaki farkı bulacağız.

Yukarıda kullandığımız tahmin yöntemlerini yeni veri setinin tümü için yeniden uygulayacağız.

Tablo 5’de örneklem - dışı tahminler için elde edilen hata terimlerinden elde edilen değerlerin en başarılı gün sayısı bazında kıyaslaması gösterilmektedir. Tablodan da görüleceği üzere Svensson her üç kıyaslama terimi için sırasıyla 290-301-289 günde daha başarılı olmuştur. İkinci olarak Kübik Düzleştirici Spline metodu 271-275-283 günde daha başarılı olmuştur. Kübik Düzleştirici Spline ve Svensson yöntemi kendi aralarında kıyaslanırsa Kübik Düzleştirici Spline tüm hata ölçüm formülasyonlarında daha fazla gün için daha iyi performans göstermiştir. Kübik Spline birçok günde kabul edilemez hata düzeylerine ulaştığından örneklem-dışı tahmininde başarısız olabildiği tespit edilmiştir. Bunun nedeni Kübik Spline Yönteminde iki veri noktası arasında büyük bir dalga gösterebilmesidir. En son veriden sonra dalganın yönü uzun döneme en yakın eğilime göre belirlenir ve bu tahminde sapmaya neden olmaktadır.

Tablo 5 Örneklem-dışı Tahminde Yöntemlerin Kıyaslaması: En Başarılı Gün Sayıları

Nelson-Siegel Svensson Kübik Spline Kübik Düzleştirici Spline

Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü 237 290 155 271

Ortalama Mutlak Hata 223 301 154 275

Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata 227 289 154 283

Tablo 6'da hesaplanan hata terimlerinin açıklayıcı istatistikleri özetlenmiştir.

Örneklem-dışı tahminde HKOK terimine parametrik yöntemlerden Svensson, parametrik olmayan yöntemlerden Kübik düzleştirici spline yöntemi daha düşük ortalama terimi elde etmiştir. OMH terimine göre de benzer sonuçlar elde edilmiştir.

Tüm yöntemler için hesaplanan HKOK,OMH,AOMH değerlerinin ortalamalarının birbirlerinden istatistiksel olarak anlamlı bir şekilde farklı olup olmadıkları t-testi ile sınanmıştır. T-testi sonuçlarına göre Nelson-Siegel ve Svensson için hesaplanan terimlerin ortalamalarının istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık oluşturmadığı görülmüştür. Ayrıca AOMH terimi ortalamaları t-testi sonuçlarına göre, Kübik düzleştirici spline yönteminin

Nelson-Siegel ve Svensson yönteminden istatistiksel olarak anlamlı bir farklılığa sahip olmadığı görülmüştür.

Tablo 6 Örneklem - Dışı Tahmin’de Yöntemlerin Kıyaslaması

Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 0.00498 0.00004 0.01792 0.00290

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 0.00496 0.00024 0.02613 0.00346

Kübik Spline 0.07276 0.00014 4.41691 0.33398

Kübik Düzleştirici Spline 0.00590 0.00021 0.04164 0.00667

Ortalama Mutlak Hata Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 0.00475 0.00004 0.01578 0.00288

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 0.00472 0.00019 0.02608 0.00345

Kübik Spline 0.06140 0.00014 4.41691 0.32275

Kübik Düzleştirici Spline 0.00524 0.00021 0.03865 0.00609

Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata Ortalama Minimum Maksimum Standart Sapma

Nelson-Siegel 9.70E-06 7.40E-08 4.61E-05 7.30E-06

Svensson (Genişletilmiş Nelson-Siegel) 9.79E-06 3.46E-07 4.65E-05 8.54E-06

Kübik Spline 1.64E-04 2.31E-07 1.19E-02 8.85E-04

Kübik Düzleştirici Spline 9.45E-06 4.74E-07 6.13E-05 1.02E-05

Genel olarak özetlemek gerekirse Kübik Düzleştirici Spline ve Svensson yöntemi örneklem- dışı tahmin kıyaslamasında en başarılı iki yöntem olmuştur. Bu iki yöntem HKOK, OMH ve AOMH istatistiklerine göre kendi aralarında kıyaslandığında Kübik Düzleştirici Spline yöntemi sırasıyla 488-496- 505 gün için daha düşük kıyaslama terimleri üretmiştir.

4 SONUÇ

Bu çalışmada ekonomi ve finans analizlerinde önemli bir yere sahip olan getiri eğrisi dört farklı yöntem kullanılarak 3 Ocak 2006 – 23 Ekim 2009 tarihleri arasındaki 953 gün için tahmin edilmiştir. Tahmin edilen getiri eğrileri piyasa koşullarına uygun olarak piyasa katılımcılarının tepkilerini doğru yansıtmıştır.

Çalışmamızda ortaya çıkan hata terimlerine göre değerlendirirsek uyguladığımız getiri eğrisi tahmin yöntemleri genel olarak başarılı olmuştur. Kübik Spline Yöntemi yapısı gereği iktisadi mantığa sahip bir yöntem olmaktan ziyade veri seti içindeki noktaları en iyi şekilde uydurmayı amaçlayan teknik bir yöntem olduğundan örneklem-dışı tahminde bazı günlere yüksek hata terimleri üretmiştir.

Nelson-Siegel, Svensson ve Kübik düzleştirici spline birçok gelişmiş ülke Merkez Bankası tarafından kullanılmaktadır. Nelson-Siegel ve Svensson yöntemlerindeki tahmin edilen parametrelerin iktisadi anlamlarının bulunması ve bize piyasaların algısı hakkında doğru bilgiler vermesi bu yöntemlerin bir üstünlüğüdür. Bu çalışmada ilk defa Türkiye piyasası için uyguladığımız Kübik düzleştirici spline yöntemi, düzleştirme parametresi kullanarak eğrinin daha düz olmasını sağlayarak özellikle örneklem-dışı tahminde daha başarılı tahminler yapmıştır.

Tahmin edilen dört yöntemin örneklem - içi ve örneklem - dışı tahmin performanslarının ölçülebilmesi için, Hata Kareleri Ortalamasının Karekökü, Ortalama Mutlak Hata ve Ağırlıklı Ortalama Mutlak Hata kullanılmıştır. Örneklem- İçi tahminde Kübik Spline yöntemi daha başarılı sonuçlar üretmiştir. Örneklem- Dışı tahminde Kübik Düzleştirici Spline Yöntemi daha başarılı yöntem olmuş fakat örneklem - içi tahminin aksine Kübik Spline Yöntemi görece olarak başarısız olmuştur. Parametrik yöntemler hem örneklem - içi hem de örneklem - dışı tahminde başarılı sonuçlar üretmiştir. Sonuç olarak örneklem-içi tahminde tüm yöntemler iyi sonuçlar üretmiş olmasına karşın örneklem-dışı tahmin daha zor ve önemli olabileceği düşünüldüğünde Kübik düzleştirici spline ve Svensson yöntemleri daha başarılı bulunmuştur.

KAYNAKÇA

Akıncı, Özge, Burcu Gürcihan, Refet Gürkaynak, Özgür Özel. Aralık 2006. Devlet İç Borçlanma Senetleri için Getiri Eğrisi Tahmini. TCMB Araştırma ve Para Politikası Genel Müdürlüğü Çalışma Tebliği No: 06/08.

Alper, C.Emre, Aras Akdemir, Kazim Kazimov. 2004, Estimating The Term Structure of Government Securities in Turkey. Working Paper.

Altıntaş, M. Ayhan. 2006. Bankacılıkta Risk Yönetimi ve Sermaye Yeterliliği. Turhan Kitapevi.

Baki, İsa, 2006. Yield Curve Estimation by Spline Based Models, Master Thesis, Graduate School of Applied Mathematics. METU

Beyazıt, Derviş. 2004. Yield Curve Estimation and Prediction With Vasicek Model.

Master Thesis. The Graduate School of Applied Mathematics. METU

BIS Papers. 2005. Zero-Coupon Yield Curves: Technical Documentation. Monetary and Economic Department, Bank for International Settlement.

Brennan M. And E.Schwartz, A. , 1979 Continuous-Time Approach to the Pricing of Bonds,.

Journal of Banking and Finance 3. p 133-155

Chambers, D.R., W. T. Carleton and D. M. Waldman. 1984. Estimation of the Term Structure of Interest Rates Using Simple Polynomial, Journal of Financial and Quantitative Analysis, p. 233- 252

Eren, Kıvanç A. 2004, Üssel Polinom Yöntemiyle Getiri Eğrilerinin Modellenmesi, ACTIVE Bankacılık ve Finans Dergisi

Fabozzi, Frank, J. 2005 Handbook of Fixed Income Securities. McGraw-Hill Companies.

Faerber, Esme. 2001. Fundamentals of the Bond Market. McGraw-Hill Professional Publishing.

Fisher, I. 1896. Appreciation and Interest. Publications of American Economic Association XI.

Fisher, M. Nychka D. and Zervos D. 1995. Fitting The Term Structure of Interest Rates with Smoothing Splines, Finance and Economic Discussion Series, 95-1, Federal Reserve Board

Gurkaynak, Refet S. , Brian Sack, Jonathan H. Wright 2000. The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present. Finance and Economics Discussion Series. Division of Research& Statistics and Monetary Affairs. Federal Reserve Board, Washington, D.C.

Ioannides, Michalis. 2003. A Comparison of Yield Curve Estimation Techniques using UK Data. Journal of Banking & Finance

Jarrow, R., Ruppert, D., and Yu, Yan. (2004). Estimating the Term Structure of Corporate Debt with a Semiparametric Penalized Spline Model. JASA. 99. p. 57-66.

Jordan, James V., Sattar A. Mansi. 2003. Term Structure Estimation From On-The-Run Treasuries. The Journal of Banking and Finance.

Langetieg T. C., Smoot, J. S. 1988. Estimation of the Term Structure of Interest Rates, Research in Financial Services: Private and Public Policy. Vol. 1.

McCulloch J. Huston. 1971. Measuring the Term Structure of Interest Rates. The Journal of Business. Vol. 44. No. 1. p 19-31

McCulloch J. Huston. 1975. The Tax Adjusted Yield Curve. The Journal of Finance. 30 p.

811-830

Modigliani, F. and R.Sutch. 1966. Innovations in Interest Rate Policy. American Economic Review.

Nawalkha, Sanjay K. 2005 Interes Rate Risk Modeling : The Fixed Income Valuation Course. John Wiley & Sons.

Nelson, Charles R. Andrew F. Siegel. Parsimonious Modeling of Yield Curves, The Journal of Business, Vol. 60, No. 4. (Oct., 1987), p. 473-489.

Place ,Joanna. 2000. Basic Bond Analysis No: 20. Handbooks in Central Bank. Bank of England.

Sheimo, Michael D. 1999. Bond Market Rules : 50 Investing Axioms to Master Bonds for Income or Trading. McGraw-Hill Professional Book Group.

Steeley J. M. 1991. Estimating the Gilt-edged Term Structure Basis Splines and Condence Intervals. Journal of Business Finance and Accounting. 18 p. 513- 529

Svensson, Lars E.O. 1994. Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992- 1994. National Bureau of Economic Research. Working Paper No. 4871

Teker, Suat, Levent Gümüşsoy. 2004. Faiz Oranı Eğrisi Tahmini: T.C. Hazine Bonosu ve Eurobonds Üzerine Uygulama. 8. Ulusal Finans Sempozyumu.

Thau, Annette. 2000. Bond Book. McGraw-Hill Professional Book Group.

Vasicek, Oldrich A., 1977. An Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates.

Journal of Financial Economics 5. p 177-188

Vasicek, Oldrich A., H. Gifford Fong. 1982 .Term Structure Modeling Using Exponential Splines, The Journal of Finance, Vol.37. No.2.

http://www.imkb.gov.tr/bultenler.htm [31.03.2009]. İstanbul Menkul Kıymetler Borsası Günlük Tahvil ve Bono Bültenleri

http://www.tcmb.gov.tr/, [10.04.2009]. TCMB Basın Duyuruları