Süreksiz galerkin yönteminin adi diferansiyel denklemlere uygulamaları

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

SÜREKSİZ GALERKİN YÖNTEMİNİN ADİ DİFERANSİYEL

DENKLEMLERE UYGULAMALARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FATMA AYLA ÖZVURGUN

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

SÜREKSİZ GALERKİN YÖNTEMİNİN ADİ DİFERANSİYEL

DENKLEMLERE UYGULAMALARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FATMA AYLA ÖZVURGUN

1

ÖZET

SÜREKSİZ GALERKİN YÖNTEMİNİN ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERE UYGULAMALARI

YÜKSEK LİSANS TEZİ FATMA AYLA ÖZVURGUN

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI:PROF. DR. UĞUR YÜCEL) DENİZLİ, EYLÜL - 2018

Bu tezde, ikinci mertebeden bir boyutlu eliptik problemlerin çözümü için süreksiz Galerkin (SG) yönteminin temel anlayışını pekiştiriyoruz. Bu yöntem, hesaplama bölgesinin bir bölüntüsü üzerinde tanımlı süreksiz parçalı polinomları içeren sonlu eleman uzaylarına dayanmaktadır. Bu nedenle, bir boyutlu eliptik problemler için temel fikirlerini ve uygulamalarını verdiğimiz sonlu elemanlar yöntemine (SEY) kısa ve öz bir giriş yaparak başlıyoruz. Daha sonra da SG yönteminin hem teorik hem de hesaplamalı durumunu tartışmayı deniyoruz ve sayısal uygulamayla tamamlıyoruz.

ANAHTAR KELİMELER: Süreksiz Galerkin yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi, adi diferansiyel denklemler, sınır değer problemleri

2

ABSTRACT

APPLICATIONS OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD TO ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

MSC THESIS

FATMA AYLA ÖZVURGUN

PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR: PROF. DR. UĞUR YÜCEL) DENİZLİ, SEPTEMBER 2018

In this thesis, we establish a basic understanding of discontinuous Galerkin (DG) method for solving second order elliptic problems in one dimension. This method is based on finite element spaces that consist of discontinuous piecewise polynomials defined on a partition of the computational domain. For this reason, we begin with a brief introduction to the finite element method (FEM), where the basic ideas and implementations for one dimensional elliptic problem are presented. Then, we try to discuss both theoretical and computational aspects of the DG methods, followed by the numerical implementation.

KEYWORDS: Discontinuous Galerkin method, finite element method, ordinary differential equations, boundary value problems

3

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET... 1 ABSTRACT ... 2 İÇİNDEKİLER ... 3 ŞEKİL LİSTESİ... 4 1. GİRİŞ ... 5 2. TEMEL TANIMLAR ... 9 2.1 Cisim ... 9 2.2 Vektör Uzayı ... 10 2.3 Alt ve Üst Sınırlar ... 13

2.4 Metrik veya Uzaklık Fonksiyonu ... 13

2.5 Norm ... 15

2.6 Nokta (İç veya Skaler) Çarpım ... 16

3. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ ... 20

3.1 Bir Model Problem İçin Sonlu Elemanlar Yöntemi ... 22

3.1.1 Varyasyonel Formülasyon ... 22

3.1.2 Sonlu Elemanlar Yaklaşımı ... 23

3.1.3 Lineer Denklem Sisteminin Derivasyonu ... 24

3.1.4 Hata Tahminleri ... 26

3.2 Değişken Katsayılı Bir Model Problem ... 28

3.3 Sayısal Örnekler ... 32

4. SÜREKSİZ GALERKİN YÖNTEMİ ... 39

4.1 Süreksiz Galerkin Çözümünün Varlığı ve Tekliği ... 43

4.2 Lineer Sistemin Elde Edilmesi ... 44

4.3 A Matrisinin Hesaplanması ... 45

4.4 Sağ Taraf Vektörünün ( b ) Hesaplanması ... 50

4.5 Sayısal Örnek ... 51

4.6 Süreksiz Galerkin Yönteminin Yakınsaklığı... 53

5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 55

6. KAYNAKLAR ... 56

4

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa Şekil 3.1: Bir boyutlu sonlu eleman ağı ... 20 Şekil 3.2: Tipik bir şapka fonksiyonu ... 24 Şekil 3.3: Problem 1, analitik ve sonlu eleman çözümlerinin karşılaştırılması,

0.5

h  ... 33 Şekil 3.4: Problem 1, analitik ve sonlu eleman çözümlerinin karşılaştırılması,

0.2

h  ... 34 Şekil 3.5: Şapka fonksiyonları _i1,_i ve bunların destekleri ... 36 Şekil 3.6: Problem 2, analitik ve sonlu eleman çözümlerinin karşılaştırılması,

0.1

h  ... 38 Şekil 4.7: Problem (4.12)-(4.13) ün SGY çözümü ... 52 Şekil 4.8: Problem (4.12)-(4.13) ün analitik çözümüyle SGY çözümünün

karşılaştırılması... 53 Şekil 4.9: Değişen h değerine karşı hatanın L normu ... 542

5

1. GİRİŞ

Bilim insanlarının, özellikle mühendislerin, yaptığı en önemli işlerden biri fiziksel olayları modellemedir. Doğadaki hemen hemen her olay (uzay-havacılık, fiziksel, biyolojik, kimyasal, jeolojik veya mekanik) fiziksel veya diğer alanların yasaları yardımıyla merak edilen (aranan) çeşitli niceliklerle ilişkili cebirsel,

diferansiyel ve/veya integral denklemler olarak ifade edilebilir. Mekanik, termal

ve/veya aerodinamik yük altında bir basınçlı kapta stres dağılımını tanımlama, atmosferde, göllerde veya denizlerdeki kirleticilerin yoğunluğunu bulma, hava simülasyonu yaparak bir fırtınanın veya hortumum oluşumunu anlama ve ilerlemesini tahmin etme gibi örnekler bilim insanlarının uğraştığı birçok önemli pratik problemden birkaçıdır.

Fiziksel olay ve süreçlerin analitik tasviri matematiksel modeller olarak adlandırılır. Bir sürecin matematiksel modeli, sürecin nasıl işlediği ile ilgili kabuller ve uygun aksiyom veya korunum yasaları (örneğin: kütlenin korunumu, lineer momentumun korunumu, enerjinin korunumu gibi) kullanılarak geliştirilir. Bu modeller genelde geometrik olarak oldukça karmaşık bölgeler üzerine konulmuş ve yine oldukça karmaşık diferansiyel ve/veya integral denklemlerle karakterize edilirler. Dolayısıyla, elde edilen modeller, elektronik hesaplama ortaya çıkana kadar, analitik olarak çözülebilmek için oldukça basitleştirilirdi. Ancak, özellikle son 40 yılda hızla gelişen bilgisayar teknolojisi ve buna bağlı olarak matematiksel modeller için geliştirilen uygun sayısal metotlar çoğu pratik mühendislik problemini çözmeye olanak sağlamıştır. Bir sayısal metot ve bir bilgisayar kullanarak bir sürecin matematiksel modelini değerlendirmek ve karakteristiğini tahmin etmek nümerik

(sayısal) simülasyon olarak adlandırılır (Reddy 2006).

Bilim insanlarının nümerik metotları çalışmalarının çeşitli nedenleri vardır. Bunlardan birkaçı şöyle sıralanabilir:

 Ele alınan problemin çok karmaşık bir bölge üzerinde tanımlanmış olması ve lineer olmaması ve bu nedenle genelde analitik çözümünün mümkün olmaması.

6

 Bir nümerik metot, analiz edilen sürecin/sistemin daha iyi anlaşılmasını sağlamak için sistemin çeşitli parametrelerinin (geometri, malzeme parametreleri, uygulanan yük) tepkisine etkilerini incelemede kullanılabilir. Dolayısıyla, aynı kazanımları elde etmek için çok sayıda fiziksel deney yapıp hem sarf malzemesi israfı hem de zaman kaybetmeyle kıyaslandığında tercih sebebi olması.

 Nümerik metotların ve elektronik hesaplamanın gücünden dolayı, analitik olarak çözülebilir olup olmamasına bakılmaksızın bir fiziksel sürecin ilgili tüm özelliklerinin matematiksel modelinde göz önüne alınmasının mümkün olması.

Günümüzde diferansiyel denklemleri sayısal olarak çözmek için geliştirilmiş birçok metot mevcuttur. Yaygın olarak kullanılanları, 1950 li yıllarda geliştirilen "Sonlu Farklar Metodu", 1960 lı yıllarda geliştirilen "Sonlu Elemanlar Metodu" ve 1970 li yıllarda geliştirilen “Sonlu Hacimler Metodu” dur. Bu metotların kullanım yerlerine göre birbirlerine göre avantajlarının ve dezavantajlarının olduğu durumlar söz konusudur. Sonlu Elemanlar Metodunun “eşlenik” veya “neredeyse kendi-eşlenik” eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerine sayısal yaklaşımda oldukça kullanışlı olduğu ispatlanmıştır. Bunun başlıca nedenleri arasında, oldukça karmaşık geometriye sahip problemlere uygulanabilirliği ve titiz hata analizi için gerekli araçların mevcut olması sayılabilir. Fakat klasik Sonlu Elemanlar Metodu’nun hiperbolik problemler ve diğer kendi-eşlenik olmayan kısmi diferansiyel denklem problemlerinin sayısal çözümlerinde kullanılması tatmin edici sonuçlar vermemektedir. Bu şekildeki problemlerin çözümünde 1970 lerin ve 1980 lerin tamamı ve 1990 ların büyük kısmında Sonlu Elemanlar Metodu’nun kullanılması sadece akademik ilgiyle sınırlı kalmıştır. Bunun yerine Sonlu Hacimler Metodu hiperbolik sistemlerin sayısal çözümleri için geliştirilen endüstriyel yazılım paketlerinde, özellikle “Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği” alanında, ağırlıklı olarak kullanılmıştır.

Süreksiz Galerkin Yöntemi (SGY), kismi diferansiyel denklemleri sayısal olarak çözmek için 1970 lerin başında ortaya atılmıştır. Sonlu Elemanlar ve Sonlu Hacimler yöntemlerinin esaslarını birlikte kullanarak çok çeşitli uygulamalarda karşımıza çıkan hiperbolik, eliptik, parabolik ve karışık tipteki problemlere başarılı

7

bir şekilde uygulanmıştır. Genelde parçalı polinomlar olarak seçilen tamamıyla süreksiz baz fonksiyonları kullanan bir çeşit Sonlu Elemanlar Yöntemi olarak ta düşünülebilir. İlk olarak Reed ve Hill (1973) tarafından hiperbolik nötron taşınım denklemini çözmek için ortaya atılmıştır. LeSaint and Raviart (1974) ve Johnson and Pitkaranta (1986) bu yöntemin hata tahminini gerçekleştirmiştir. Hiperbolik problemler için literatürde mevcut diğer önemli çalışmalar; Cockburn ve Shu (1989), Cockburn ve diğ. (1989), Cockburn ve diğ. (1990) ve 24-26 Mayıs 1999 yılında ilki düzenlenen ve Süreksiz Galerkin Yöntemi’nin teorisi ve nümerik uygulamalarının eşit olarak önemsendiği uluslararası sempozyumda sunulan makalelerin toplandığı bildiri kitapçığı, Cockburn ve diğ. (1999), olarak sıralanabilir. Eliptik problemler alanında ise Baker (1977) ilk olarak modern Süreksiz Galerkin Yöntemi’ni ortaya attı. Bunu, daha sonra Wheeler (1978), Arnold (1982) ve diğerleri (Hesthaven ve Warburton (2008), Riviere (2008)) takip etti.

Süreksiz Galerkin Yöntemi, daha önce de belirtildiği gibi, sonlu elemanlar yöntemi ve sonlu hacimler yöntemi arasında bir yerde olup her ikisinin de avantajlı birçok özelliğini barındırmaktadır. Yapısal olmayan ızgaraları kullanarak yüksek mertebeden yaklaşık yöntemlerin geliştirilmesi için pratik bir çerçeve sunmaktadır. Yüksek hassasiyet gerektiren büyük ölçekli zamana bağlı hesaplamalara tam olarak uyan bir yöntemdir. Süreksiz Galerkin Yöntemi ve Sonlu Elemanlar Yöntemi arasındaki önemli farklardan biri SGY de sonuçta oluşan denklemler üretici elemanlara yereldir. Her bir eleman içindeki çözüm komşu elemanlara bakarak yeniden kurulmaz. Yöntemin kompakt formülleştirmesi özel bir uygulamaya gerek olmaksızın sınır civarlarında uygulanabilir. Bu da herhangi bir tipteki sınır koşulu uygulamasının dayanıklılığını ve hassasiyetini arttırmaktadır.

Yukarıda verilen bilgilerden de anlaşılacağı gibi SGY genelde kısmi diferansiyel denklemleri ve kısmi diferansiyel denklem sistemlerini nümerik çözmede kullanılmaktadır. Dolayısıyla, bu yöntemin bazı adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri için kullanılmasının literatüre katkı açısından önemli olacağı düşünülmüştür. Bu amaçla İkinci Bölüm’de bu tezde kullanılan temel tanım ve teoremler verildikten sonra Üçüncü Bölüm’de adi diferansiyel denklemler için (sınır-değer problemleri) klasik Sonlu Elemanlar Yöntemi kısaca gözden

8

geçirilmiştir. Dördüncü Bölüm’de bir boyutlu iki nokta sınır-değer problemini çözmek için SGY ele alınmış ve bazı örnekler verilmiştir.

9

2. TEMEL TANIMLAR

Bu bölümde ilerideki bölümlerde gerekli olabileceği kadarıyla bazı konu ve kavramların bilindiği varsayılarak kısaca bazı matematiksel yapılar (cisim ve vektör uzayı gibi) tanımlanacak, kullanılan uzaylar, teoremler ve eşitsizlikler gözden geçirilecektir.

2.1 Cisim

Boş olmayan bir F kümesi üzerinde i. x y, F için x yF ii. x y, F için x y F

şeklinde  (toplama) ve  (çarpma) işlemleri tanımlanmış olsun. Eğer bu işlemler

, ,

x y z F

  için aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa F kümesine bir cisimdir denir. a) xy yx

b) x



yz

 

 xy



 z

c) x0x ve 0xx olacak şekilde bir tek 0F vardır.

ç) x ( x)0 ve (x)x0 olacak şekilde bir tek  x F vardır. d) x y   y x

e) x



y z

 

 x y



 z

f) x 1 x ve 1 x x olacak şekilde bir tek 1 F vardır. g) x x( 1) 1 ve ( x1)  olacak şekilde bir tek x 1 1

x F

 vardır. h) x



yz

 

 x y

 

 x z



Tipik cisim örnekleri olarak  ,  ve  kümelerini verilebiliriz. Biz bu çalışmada genelde F yi  veya  olarak kullanacağız. Cismin elemanlarına skaler de denir.

10 2.2 Vektör Uzayı

V boş olmayan bir küme ve F bir cisim olmak üzere, V üzerinde

i. u v, V için u v V 

ii. F ve u V için  u V

şeklinde +(toplama) ve  (skalerle çarpma) işlemleri tanımlanmış olsun. Eğer bu işlemler u v w V, ,  ve , F için aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa V kümesine

F cismi üzerinde bir vektör uzayı (veya lineer uzay) denir.

a) uv vu

b) u



v w

 

 u v



w

c) u 0 u ve 0 u u olacak şekilde 0 V vardır.

ç) Her bir uV için u ( v)0 ve (v)u0 olacak şekilde  v V

vardır.

d) u 1 u ve 1 u u olacak şekilde bir tek 1 F vardır. e) 



u v

 

 u

 

 v



f)







 u



u

 

 u



g)  



u

 

  



 u

Vektör uzayı örnekleri olarak aşağıdakileri verebiliriz:

  , reel sayılar, kümesi kendi üzerinde



F   bir vektör uzayıdır.



 _n

, elemanları reel sayılar olan sıralı n -li ler, kümesi  üzerinde bir vektör uzayıdır.

 C  , reel sayı doğrusu üzerinde tanımlı tüm sürekli fonksiyonlar kümesi,

 

 üzerinde bir vektör uzayıdır.

 C a b ,



,





a b,



aralığında tanımlı tüm sürekli fonksiyonların kümesi,  üzerinde bir vektör uzayıdır.

 , reel katsayılı tüm polinomların kümesi,  üzerinde bir vektör uzayıdır.   , derecesi n_n  olan reel katsayılı tüm polinomların kümesi,  üzerinde bir

vektör uzayıdır.

 _{m n} , elemanları reel sayı olan tüm m n boyutlu matrisler kümesi,  üzerinde bir vektör uzayıdır.

11  a b  , olmak üzere 2 2 0 d f df a bf

dx  dx  denklemini sağlayan ve iki defa diferansiyellenebilir tüm f fonksiyonlarının kümesi  üzerinde bir vektör uzayıdır.

Tanım (Alt uzay): V bir vektör uzayı ve W onun bir alt kümesi olsun. Eğer W , V

deki işlemlere göre bir vektör uzayı oluyorsa V nin bir alt uzayı olarak adlandırılır.

Tanım (Lineer bağımsızlık): Bir V vektör uzayındaki v v1, ,2 ,vk vektörlerinin

kümesi S 



v v₁, ,₂ ,v_k



olsun. Eğer

1 1 2 2 k k 0

c v c v c v 

eşitliği ancak c₁c₂ c_k 0 için sağlanıyorsa v v₁, ,₂ ,v_k vektörlerine lineer bağımsız vektörler, S kümesine de lineer bağımsız küme denir.

Tanım (Baz): V bir vektör uzayı ve BV olsun. Aşağıdaki şartların sağlanması durumunda B ye V nin bir bazıdır denir.

i. B lineer bağımsızdır.

ii. V deki her bir vektör B deki vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılır.

Tanım (Bir vektör uzayının boyutu): V bir vektör uzayı olsun. V nin sonlu sayıda

elemana sahip bir bazı varsa V sonlu boyutlu aksi halde sonsuz boyutludur. Eğer bir V vektör uzayının n elemanlı bir bazı varsa V nin boyutu n dir ve boy V

 

 n

olarak yazılır. (Not: Eğer bir vektör uzayının n elemanlı bir bazı varsa V nin tüm

bazları n elemanlıdır.)

Tanım (Lineer dönüşüm): V ve W bir F cismi üzerinde vektör uzayları olsunlar.

:

T V W dönüşümü v w V,  ve , F için





 

 

T vw T v T w

özelliğini sağlıyorsa T ye bir lineer dönüşüm (veya lineer operatör) denir. Örneğin,  D C: 1



a, b



C



a, b



olmak üzere D f

 

 f  ile tanımlanan türev

12









:

n n

D C a, b C a, b , n

 

( )n

D f  f ile tanımlanan türev dönüşümü,



a, b aralığında n kez sürekli türevlenebilir fonksiyonlar uzayını,



_

a, b

_

aralığında sürekli fonksiyonlar uzayı içine götüren bir lineer dönüşümdür.  T C a b:





,





  olmak üzere

_{ }

( )

b a

T f 

_

f t dt ile tanımlanan integral dönüşümü bir lineer dönüşümdür.

Tanım (Bilineer form): V , F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. :b V V F

fonksiyonu v w V,  ve F için

i. b v



₁v w₂,



b v w



₁,



b v w



₂,



ii. b



v w,



b v w



,



iii. b v w



, ₁w₂



b v w



, ₁



b v w



, ₂



özelliklerini sağlarsa V üzerinde bir bilineer form olarak adlandırılır.

Eğer v w V,  için b , b v w



,



b w v



,



koşulunu sağlarsa simetrik ve



,





,



b v w  b w v koşulunu sağlarsa ters (aykırı) simetrik olarak adlandırılır. Bir vektör uzayı belirlenmiş bir bilineer form ile donatıldığında bilineer uzay olur. Burada dikkat edilecek olursa b v w hem v hem de w de lineerdir. Örneğin,



,



 V   alalım. Bu durumda b:   , b x y



,



xy şeklinde tanımlı fonksiyon  üzerinde bir bilineer formdur (_n

de nokta çarpım simetrik bilineer formdur). Burada lineer ve bilineer arasındaki farka dikkat edersek:



,



b x y   lineer, x y b x y



,



xy bilineerdir.  AM_n

 

 olmak üzere _n

üzerinde f v w



,



 v Aw fonksiyonu bir bilineer formdur.

 C

 

0,1 üzerinde

_

_

_{ }

1

0

, ( )

b f g 

_

f x g x dx fonksiyonu simetrik bilineer formdur.

Bilineer form nokta çarpımın bir genellemesi olduğundan b v w 



,



0 dikliğin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

13 2.3 Alt ve Üst Sınırlar

A   olsun. Eğer x A için xM oluyorsa M  ye A kümesinin bir

üst sınırı denir. Benzer şekilde, eğer  x A için mx oluyorsa m   ye A

kümesinin bir alt sınırı denir. A kümesi, bir üst sınırı varsa üsten sınırlı, bir alt sınırı varsa alttan sınırlı ve hem bir alt hem de bir üst sınırı varsa sınırlıdır.

Eğer A kümesinin bir M üst sınırı varsa, M M  koşulunu sağlayan herhangi bir M  sayısı A nın bir üst sınırıdır.

A   olsun. Eğer M , A nın bir üst sınırı ve A nın M  şeklindeki tüm üst

sınırları için M M  oluyorsa M ye A nın en küçük üst sınırı veya supremumu denir ve sup A ile gösterilir. Benzer şekilde, eğer m , A nın bir alt sınırı ve A nın

m şeklindeki tüm alt sınırları için mm oluyorsa m ye A nın en büyük alt sınırı veya infimumu denir ve inf A ile gösterilir.

Bir A kümesinin supremumu A ya ait olmak zorunda değildir. Eğer aitse bu durumda sup A ya A nın maksimumu denir ve max A ile gösterilir. Benzer şekilde eğer infimumu A ya aitse bu durumda inf A ya A nın minimumu denir ve min A ile gösterilir.

Bir f :X Y fonksiyonunun görüntü kümesi olan f X sınırlı ise bu

 

fonksiyona sınırlıdır denir. Örneğin, f :X   şeklinde reel değerli bir f fonksiyonu için

x X

  için f x( ) M

olacak şekilde sonlu bir M sayısı varsa bu fonksiyon sınırlıdır. Eğer  x X için

( )

f x M olacak şekilde bir M  varsa f :X   fonksiyonuna üstten sınırlı, eğer  x X için f x( )m olacak şekilde bir m   varsa alttan sınırlıdır denir.

2.4 Metrik veya Uzaklık Fonksiyonu

X boş olmayan bir küme olsun. :d X X   fonksiyonu x y z, , X için i. d x y  ve



,



0 d x y



,



 0 xy (Pozitiflik)

14

iii. d x z



,



d x y



,



d y z



,



(Üçgen eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde bir metrik veya uzaklık fonksiyonu adını alır. Boş olmayan bir X kümesi ve bu küme üzerinde d metriğinin tanımlı

olduğu uzay metrik uzay adını alır ve



X d ile gösterilir. Eğer kullanılan metrik ,



belirli ise



X d metrik uzayı yerine kısaca X metrik uzayı kullanılır. Örneğin, ,



 d x y



,



 xy ,  üzerinde bir metriktir.



, d



bir metrik uzaydır.  d



x y,



 x y ,  _n

üzerinde bir metriktir.



n,d



bir metrik uzaydır.  Fonksiyonlar arasındaki uzaklığı ölçmenin çeşitli yolları vardır ve bu örnekte

bunlardan birkaç tanesini (her biri yerine göre farklı amaçlar için kullanılan) vereceğiz: X , f :



a b   şeklindeki tüm sürekli fonksiyonların kümesi, ,



yani X C



a, b , olsun. Bu durumda















1 , sup ( ) ( ) : ,

d f g  f x g x x a b

X üzerinde bir metriktir. Bu metrik iki fonksiyon arasındaki uzaklığı,

grafikler arasında en fazla ayrılığın olduğu x değerindeki uzaklığı ölçerek, tanımlamaktadır. Bunun yerine





2 , ( ) ( )

b a

d f g 

_

f x g x dx

şeklinde tanımlı bir metrik tüm noktalarda f x( ) ve g x( ) fonksiyonları arasındaki uzaklığı toplamaktadır. Popüler olan diğer bir metrik ise





1 2 2 3 , ( ) ( ) b a d f g _ f x g x dx_ 



 . Bu son metrik _n de













1 2 2 2 1 1 , n n i i i i i i d x y x y       _  _  





x y

şeklinde tanımlı Euclid (Öklit) metriğinin bir genellemesidir.

a ,



X d metrik uzayında bir nokta olsun ve ,



r nin de pozitif reel bir sayı olduğunu kabul edelim. a merkezli ve r yarıçaplı açık ve kapalı küre, sırasıyla,



;





:



,





B a r  xX d x a r , B a r



;







xX d x a:



,



r



15

Tanım (Yakınsaklık):



X d bir metrik uzay, ,



 

x_n X te bir dizi ve aX olsun. Eğer   0 ve  n N için d x a



_n,



 olacak şekilde bir N   varsa

 

x_n

dizisi a noktasına yakınsıyor denir ve bu durum lim n

nx a veya xn a ile gösterilir.

Tanım (Cauchy dizisi ve tam uzay):

 

x , _n

_

X d metrik uzayında bir dizi olsun. ,

_

Eğer her bir   için 0 n m, N olduğunda d x x



_n, _m



 olacak şekilde bir N    varsa

 

x dizisine bir Cauchy dizisi denir. _n

Her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir fakat bunun tersi her zaman doğru olmayabilir. Her Cauchy dizisi yakınsak olan bir metrik uzaya tam uzay denir.

2.5 Norm

Norm kavramı _n

de bir vektörün uzunluğu kavramını genelleştirmektedir.

V bir vektör uzayı (lineer uzay) olsun.  :V   fonksiyonu x y, V ve   için

i. x  ve 0 x  0 x 0 (Pozitiflik)

ii. x  x (Homojenlik)

iii. xy  x  y (Üçgen eşitsizliği)

koşullarını sağlıyorsa V üzerinde bir norm olarak adlandırılır. Üzerinde bir norm

tanımlanmış vektör uzayına da normlu vektör uzayı veya lineer normlu uzay denir. Örneğin,

 V  n, x



x x₁, ₂,,x_n



 olmak üzere n

 x  max



x1 , x2 ,, xn



(Maksimum veya -Norm)







1 1 2 , 1 p p p p n p  x  x   x p x  (p-Norm)  V C



a, b ,



f :

_

a b  ,

_

olmak üzere  max ( ) a x b f _ f x   

16  1 ( ) , 1 b p p p a f _ f x dx_ p 





Normun, normlu vektör uzayında d x y



,



 xy şeklinde bir uzaklık fonksiyonu (metrik) tanımladığı kolayca görülebilir. Dolayısı ile bir metrik uzayında var olan kavramlar (açık kümeler, küreler, kapalı kümeler, dizilerin yakınsaması, kompakt kümeler, bağlantılı kümeler ve tam metrik uzaylar) artık kullanıma uygundur.

Bu durumda bir

 

x_n dizisi için n   iken d x x



, _n



 oluyorsa bu dizi 0

x vektörüne yakınsar denir. O halde d x x küçük ise x vektörü



, 0



x vektörünün iyi 0

bir yaklaşımıdır deriz.

Tanım (Banach uzayı): X bir lineer normlu uzay olsun. Eğer bu uzay tam ise

Banach uzayı olarak adlandırılır. Örneğin,

 _n

, sonlu boyutlu lineer uzay, toplam (veya 1-Norm ), maksimum ve Öklit normlarına göre Banach uzayıdır.

2.6 Nokta (İç veya Skaler) Çarpım

İç çarpım kavramı n de vektörlerin nokta çarpımı kavramını genelleştirmektedir.

V ,  üzerinde bir vektör uzayı olsun. :V V   , 



x y,

 

 x y,



, fonksiyonu pozitif, simetrik ve bilineer ise V de bir iç çarpım olarak adlandırılır.

Yani, verilen fonksiyon x y z, , V ve   için

i.



x x  ve ,



0

_

x x,

_

0x 0 (Pozitiflik) ii.



x y,

 

 y x,



(Simetriklik) iii.



x y,







x y,



(Homojenlik) iv.



xy z,

 

 x z,

 

 y z,



(Dağılma özelliği)

koşullarını sağlıyorsa bu fonksiyona bir iç çarpım denir. Bir iç çarpımla donatılmış vektör uzayına da iç çarpım uzayı denir. V üzerinde tanımlanan iç çarpım

17



,



x  x x biçiminde bir norm ve d x y



,



 xy 



xy x, y



biçiminde bir metrik tanımlar. Örneğin,

i. n V   , x



x x₁, ₂,,x_n



,y



y y₁, ₂,,y_n



 olmak üzere n





1 1 2 2 1 , n i i n n i x y x y x y x y  

_

    x y 

ii. V C



a, b olmak üzere





,



( ) ( )

b a

f g 

_

f x g x dx

Bir AX kümesinin kapanışı A, A yı içeren en küçük kapalı kümedir. Bir X metrik uzayının bir A altkümesi için A X ise A ya yoğun denir. Sayılabilir yoğun bir alt kümesi olan uzaya ayrılabilir uzay denir.

Tanım (Hilbert Uzayı): X bir iç çarpım uzayı olsun. X uzayı tam ve ayrılabilir bir uzay ise bu uzaya Hilbert uzayı denir. İç çarpım uzayı bir normlu uzaydır. Hilbert uzayı ise Banach uzayıdır.

n

   de sınırlı bir bölge olsun. p 1 olan bir gerçel sayı olmak üzere,  üzerinde gerçel değerli

( )p ,

f x dx x



   



koşulunu sağlayan ölçülebilir fonksiyonlar sınıfına L  uzayı denir. Bu uzay bir p

 

lineer uzaydır ve 1 p  ise üzerindeki norm 1 ( ) p p p f f x dx       





biçiminde tanımlanır. L  uzayları içerisinde sadece p

 

L  uzayı Hilbert 2

_{ }

uzayıdır.

p

L -normlarını p   durumuna genişletmek mümkündür.

Tanım (L-Normu): Sınırlı bir  bölgesinde hemen hemen sınırlı fonksiyonlar uzayına L

 

 uzayı denir. Bu uzay Banach uzayıdır ve üzerindeki norm

18









min 0, : hemen hemen her yerde

f _  M  f M şeklindedir. Eğer f   oluyorsa f ye L  fonksiyonudur denir. L normu f

 bazen f nin esas (essential) supremumu olarak adlandırılır ve L

fonksiyonları da esasen (essentially) sınırlı veya hemen hemen her yerde sınırlı olarak adlandırılırlar. Bu nedenle L

normu sup ( ) x f ess f x    biçiminde de tanımlanır.

Tanım (Sobolev Uzayları): Bu tanımı vermeden önce ihtiyaç duyulacak kısmi türevler için çoklu indis gösterimi kavramını verelim:

n    ,  



 ₁, ₂,,_n



 çoklu indis ve n 1 n i i    

_

olmak üzere 1 2 1 2 ( ) ( ) n n u x D u x x x x           , şeklindedir. n

   , m negatif olmayan bir tamsayı ve 1 p  olsun.

 

_

 

 

_

,

: ,

m p p p

W   uL  D u L   m

biçiminde tanımlanan uzaya Sobolev uzayı denir. Sobolev uzayları Banach uzayıdır.

2

p  ise m,2

W uzayı bir Hilbert uzayıdır ve Hm

 

 ile gösterilir. m 0 özel durumunda W0, p

 

 Lp

 

 ve H0

_{ }

 L2

_{ }

 olduğundan m  için gösterim 0 çok nadir kullanılmaktadır. Sobolev uzayı üzerindeki norm:

    , 1 1 için m p p p p W L m p u D u           _ _ 



 ,     , için _Wm max L m p u D u   _  _     ,

biçiminde tanımlanır. Özel olarak p 2 için

  2  1 2 2 m H L m u D u        _ _ 





dir ve Hm

 

 üzerindeki iç çarpım



,



_Hm_{ } ( ) ( ) m u v D u x D v x dx      

_

_

,

19 ve bu uzay üzerindeki norm

 





1 2 2 1 m m i H i u _ D u dx        





 .

20

3. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY), çeşitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklaşımla çözüm arayan bir sayısal çözüm yöntemidir. Ele alınan mühendislik probleminin çözüm bölgesi alt bölgelere ayrıklaştırılır ve her alt bölgede aranan fonksiyonun ifadesi polinom olacak şekilde seçilir. Belirli işlemler dahilinde her alt bölgede polinom olarak kabul edilen çözümün katsayıları belirlenmeye çalışılır. SEY işlem adımlarını aşağıdaki şekilde sıralayabiliriz:

a) İlk olarak, fiziksel problemin matematiksel modeli kurulur veya hazır alınır. b) Kurulan veya hazır alınan diferansiyel denklem integral denklem olarak

yazılır ve kısmi integral kullanılarak türev mertebesi indirgenir. Buna denklemin “varyasyonel” veya “zayıf” formu adı verilir. Çözümün mevcut olduğu fonksiyon uzayı belirlenir.

c) Çözüm bölgesi sonlu eleman adı verilen alt bölgelere ayrıklaştırılır. Bu işleme ayrıklaştırma veya sonlu eleman ağı (mesh) adı verilir. Örneğin, bir boyutlu problemler için bu işlem Şekil 3.1 de gösterilmiştir.

d) Her sonlu elemanda aranan fonksiyonun ifadesi polinom olarak kabul edilir. Bu fonksiyonlar (b) de verilen varyasyonel ifadede yerine yazılarak, her sonlu eleman için verilen temel denklemler cebirsel denklemlere dönüştürülür. Örneğin e. sonlu eleman için bu cebirsel denklemler, K u( )e ( )e F( )e şeklindedir. Burada K( )e katsayılar (rijitlik) matrisini, u( )e bilinmeyenleri içeren vektörü ve ( )e

F sağ taraf (yük) vektörünü göstermektedir. 1 2 3 4

1 2 3 Sonlu El. No Nod No Şekil 3.1: Bir boyutlu sonlu eleman ağı

21

e) Her sonlu eleman için ayrı ayrı bulunan yukarıdaki denklemler uygun şekilde birleştirilerek bütün sisteme ait cebirsel denklem sistemi elde edilir.

 Ku F

Bu sisteme sınır koşulları uygun satır/sütun işlemleriyle dahil edilerek,

indirgenmiş sistem bulunur.

f) Bir önceki aşamada elde edilen indirgenmiş sistemin çözülmesiyle her bir nodda (düğüm noktasında) aranan büyüklükler bulunur.

g) Son olarak elde edilen çözüm, grafik, tablo veya fotoğraf (hazır paket programlar için geçerli) şeklinde kullanıcıya sunulur.

Sonlu Elemanlar Yönteminin avantajları:

 Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) geometrisi karmaşık şekillerin incelenmesine olanak sağlar. Çözüm bölgesi alt bölgelere ayrılabilir ve değişik sonlu elemanlar kullanılabilir. Gerektiğinde bazı alt bölgelerde daha hassas hesaplamalar yapılabilir,

 SEY değişik ve karmaşık malzeme özellikleri olan sistemlerde kolaylıkla uygulanabilir. Örneğin, anizotropi, nonlineer, zamana bağlı malzeme özellikleri gibi malzeme özellikleri dikkate alınabilir,

 Sınır koşulları, sistemin temel denklemleri kurulduktan sonra, oldukça basit satır sütun işlemleriyle denklem sistemine dahil edilebilir,

 SEY matematiksel olarak genelleştirilebilir ve çok sayıda problemi çözmek için aynı model kullanılabilir,

 Yöntemin hem fiziksel anlamı hem de matematiksel temeli mevcuttur

Sonlu Elemanlar Yönteminin dezavantajları:

 Bazı problemlere uygulanmasında bazı zorluklar vardır,  Elde edilen sonucun doğruluğu verilerin doğruluğuna bağlıdır,  Bir bilgisayara ihtiyaç duyar,

 Kabul edilebilir doğru sonucun elde edilmesi için bölgenin ayrıklaştırılması deneyim gerektirir,

22

 Diğer yaklaşık yöntemlerde olduğu gibi, SEY ile elde edilen sonucun doğruluğu üzerinde de dikkat edilmeli ve fiziksel problem iyi incelenmelidir. Çıkabilecek sonuç önceden kestirilmeli ve sonuç ona göre test edilmelidir.

3.1 Bir Model Problem İçin Sonlu Elemanlar Yöntemi

Bu bölümde adi diferansiyel denklemler için bir iki-nokta sınır-değer problemine SEY in uygulamasını vereceğiz (Larson ve Bengzon 2013). Şimdi

( ), [0, L]

u f x x I

    (3.1)

(0) ( ) 0

u u L  (3.2) şeklindeki problemi göz önüne alalım. Bazı durumlarda bu problemi analitik olarak çözmek kolaydır. Örneğin f x ( ) 1 için sadece iki kez integral alarak ve sınır koşullarını kullanarak u x( )x L( x) / 2 analitik çözümü elde edilir. Ancak her f

fonksiyonu için, analitik çözüm yöntemleriyle

u

yu bulmak çok zor ya da imkansız olabilir. Dolayısıyla çok basit bir problemin bile analitik olarak çözülmesinin güç olabileceğini görüyoruz. Böyle durumlarda diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal çözüm yöntemlerine başvurulur. Bunlardan en yaygın kullanılanlarından biri de sonlu elemanlar yöntemidir.

3.1.1 Varyasyonel Formülasyon

Bu aşamada ilk olarak (3.1) denkleminin her iki yanı, uç noktalarda sıfır değerini alan, v x( ) gibi bir test fonksiyonu ile çarpılıp daha sonra da I aralığında integrallenirse, 0 0 ( ) ( ) ( ) L L f x v x dx  u v x dx





, (3.3) elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafına kısmi integral uygulanıp, v(0)v L( )0 kullanılırsa,

23 0 0 0 ( ) ( ) (0) (0) L L L f v dx u v dx u L v L    u v  u v dx 







, (3.4)

bulunur. Bu hesaplamada hem

v

hem de vnün I üzerinde kare integrallenebilir ve aynı zamanda da uç noktalarda sıfır olması gereklidir. Bu özellikleri sağlayan en geniş fonksiyon uzayı



2 2



0 : _{L I( )} , _{L I( )} , (0) ( ) 0

V  v v   v   v v L  , (3.5)

şeklinde tanımlayabilir. Bu uzayda sonsuz sayıda fonksiyon vardır. Bunlardan herhangi biri test fonksiyonu olarak kullanılabilir.

u

iki defa türevlenebilir olduğundan ve u(0)u L( )0 sınır koşullarını sağladığından zaten V₀ uzayının elemanıdır. Bu nedenle aşağıdaki varyasyonel formüllendirme işlemi yazılabilir:





0 için ? 0

I I

v V u v dx  f vdx u u V

 

_



_

   . (3.6)

3.1.2 Sonlu Elemanlar Yaklaşımı

Bu aşamada,

u

ya parçalı sürekli lineer bir fonksiyonla yaklaşacağız. Bu amaçla I aralığını n tane alt aralığa bölerek bir sonlu eleman ağı (bkz. Şekil 3.1) oluşturacağız. Şimdi aşağıdaki şekilde tüm parçalı sürekli fonksiyonlar uzayı V_h i tanımlayalım:

 

 



0



1 : , i h _I i V  v v C I v P I . (3.7)

Burada P I₁

 

_i , I_iaralığındaki lineer fonksiyonlar uzayını göstermektedir. Ele alınan problemde bilinmeyen fonksiyon uç noktalarında sıfır değerini aldığından, bu noktalarda sınır koşullarını sağlayan V_h in V_h,0 alt uzayını da tanımlayalım:





,0 : (0) ( ) 0

h h

V  v V v v L  . (3.8)

Denklem (3.6) ile verilen varyasyonel formülasyondaki geniş V₀ uzayı yerine çok daha küçük alt uzayı V_h,0V₀ kullanırsak aşağıdaki sonlu elemanlar yöntemini elde ederiz:

24





,0 için ? ,0 h h h h h I I v V u v dx  f v dx u u V  

_



_

   . (3.9)

Bu şekilde, benzer deneme ve test fonksiyonlarının uzaylarına sahip sonlu elemanlar yöntemine ünlü Rus matematikçi ve mühendis Galerkin’in adını taşıyan Galerkin metodu da denilmektedir.

3.1.3 Lineer Denklem Sisteminin Derivasyonu



0,



I  L aralığını n 1 düğüm noktası kullanarak I_i 



x_i1,x_i



, i1, 2,..., ,n

şeklinde n tane alt aralığa bölelim. Burada her bir alt aralığın uzunluğu h_i x_ix_i1

olacaktır. Kolayca anlaşılabileceği gibi V_h deki herhangi bir v fonksiyonu düğüm noktalarındaki değerleriyle





 





0

n i _i

v x

 tek şekilde tanımlanırlar. Bu gözlem

doğrultusunda düğüm noktalarıyla ilişkili V_h in bir bazını



 



0 n j _j



 aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz:

 

1, , , 0,1, 2, , 0, j i i j x i j n i j  _      .

Bu baz fonksiyonu Şekil 3.2 de gösterilmektedir. _i ler biçiminden dolayı çoğunlukla şapka fonksiyonu olarak adlandırılır. Her bir şapka fonksiyonu sürekli, parçalı lineer ve kendi nodu olan x_i lerde birim değeri diğer bütün nodlarda sıfır değerini alır.

25

h

V teki herhangi bir v fonksiyonunu şapka fonksiyonlarının lineer birleşimleri olarak 0 ( ) ( ) n i i i v x   x  

_

,

şeklinde yazabiliriz. Burada katsayılar i0,1, 2,,n olmak üzere _i v x( )_i şeklindedir. Dolayısıyla şapka fonksiyonu _i ler

1 1 1 1 ( ) / , eğer ( ) / , eğer 0, diğer durumlarda i i i i i i i x x h x I x x h x I          _     (3.10)

şeklinde açık olarak yazılabilir.

Bu şapka fonksiyonları _i lerin V_h,0uzayını ürettiği göz önüne alınarak, sonlu elemanlar yaklaşımı u_hi hesaplamak için (3.9) a denk olan

, 1, 2,..., 1

h i i

I I

u dx fdx i n





(3.11)

denklemini yazabiliriz. Denklem (3.11) tüm şapka fonksiyonları, { }_j n_j1₁

 , için

sağlanıyorsa bunların lineer birleşimleri için de sağlanır. O halde u_h , V_h,0 da olduğundan 1 1 n h j j j u     



(3.12)

şeklinde yazılabiliriz. Burada _i ler tanımlamamız gereken katsayılardır. Bu ifadeyi (3.11) denkleminde yerine yazdığımızda

1 1 1 1 1, 2,..., 1 n i j j i j I I n j j i j I f dx dx dx i n                         







 

(3.13)

eşitliği elde edilir. Burada,

, 1, 2,..., 1 ij j i I A 

_

  dx i j n (3.14) 1, 2,..., 1 i i I b 

_

fdx i n (3.15)

26

şeklinde tanımlama yaparsak

1 1 1, 2,..., 1 n i ij j j b A i n   



  (3.16)

elde edilir ki bu (n1) ( n1) tipinde n 1 bilinmeyen _iler için bir lineer denklem sistemidir. Matris formu ise

A b (3.17) şeklindedir. Burada A, (n1) ( n1) tipinde bir matris ve b, (n 1) 1 tipinde bir vektördür.

Sonlu elamanlar çözümünün hesaplanması için temel adımları aşağıdaki şekilde sıralayabiliriz:

 I aralığında

n

elemanlı bir örgü oluştururuz ve parçalı sürekli lineer fonksiyonların uzayını tanımlarız.

 (n1) ( n1) tipindeki A matrisini ve (n 1) 1 tipindeki b vektörünü aşağıdaki ifadeleri kullanarak hesaplarız.

,

ij j i i i

I I

A 

_

  dx b 

_

fdx

 Aşağıdaki lineer sistem çözülür.

A b  Sonuç olarak çözüm 1 1 n h j j j u     

_

şeklinde elde edilir.

3.1.4 Hata Tahminleri

h

u ,

u

için sadece bir yaklaşım olduğundan bunun kullanılabilirliğini yargılamak için hata tahmininin (e u u_h) yapılması gereklidir. İki tür hata tahmini vardır. Bunlar “a priyori” ve “a posteriyori” hata tahminleridir. Bu iki tip arasındaki fark, “a priyori” hata tahminleri hatayı tam, bilinmeyen, çözüm

u

cinsinden ifade ederken, “a posteriyori” hata tahminleri hatayı hesaplanabilir sonlu eleman yaklaşımı

27

h

u cinsinden ifade eder. Her iki tahmin türünde de h düğüm aralıkları mevcuttur. _i

Bu durum sayısal yöntemlerin yakınsaklığını göstermek açısından önemlidir. Bu amaçla ilk olarak aşağıdaki temel teoremi verelim (Larson ve Bengzon 2013).

Teorem (Galerkin ortogonalliği): Denklem (3.10) ile verilen sonlu elemanlar yaklaşımı ,0 için ( ) 0 h h I v V u u  v dx  

_

 

şeklindeki ortogonalliği sağlar. İspat: Varyasyonel formülasyondan

0 için

I I

v V u v dx  f v dx

 

_



_

dir. Ayrıca sonlu elemanlar yönteminden ,0 için

h h

I I

v V u v dx  f v dx

 

_



_

dir. Son iki eşitliği birbirinden çıkarırsak ve V_h,0V₀ olduğunu da kullanırsak ispat tamamlanır.

Aşağıdaki teorem en iyi yaklaşım için bir sonuç vermektedir (Larson ve Bengzon 2013).

Teorem (En iyi yaklaşım için bir sonuç): Denklem (3.11) ile tanımlanan u sonlu _h

eleman çözümü aşağıdaki en iyi yaklaşım sonucunu sağlar.

2 2

,0 için ( ) ( ) ( ) ( )_i

h h L I L I

v V u u  u v 

    

İspat: Herhangi bir v V _h,0 için u u _h    u v v u_h yazarsak

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i h L I h h I h h h I I h I h _{L I L I} u u u u u v v u dx u u u v dx u u v u dx u u u v dx u u u v                             









28

bulunur. Yukarıda, v u _hV_h olduğundan Galerkin ortogonalliği kullanılarak

( _h) ( _h) 0

I

u u  v u dx



sadeleştirmesi yapılmıştır. Son olarak yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafını (u u  h) L I2_{( )} ile bölersek ispat tamamlanır.

Bir sonraki teoremde temel bir “a priyori” hata tahmini ispatsız olarak verilmektedir (Larson ve Bengzon 2013).

Teorem (A priyori hata tahmini): C bir sabit olmak üzere (3.11) denklemi ile

verilen sonlu eleman çözümü u_h aşağıdaki tahmini sağlar:

2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) i n h _{L I} i _{L I} i u u C h u     

_

.

3.2 Değişken Katsayılı Bir Model Problem

Verilen f ve a  fonksiyonları için aşağıdaki model problemi ele alalım. 0 



a x u x( ) ( )



 f x( ) , x I [0, ]L (3.18) 0 0 (0) ( (0) ) au   u g (3.19) ( ) _L( ( ) g )_L au L u L     (3.20) Burada   , ₀ 0   , _L 0 g ve ₀ g verilen parametrelerdir. a , _L  ve₀ _L nin pozitiflik

varsayımları problemin çözümün varlığı ve tekliği için gereklidir.

Bu model problem fiziksel olarak, x ekseni üzerinde I [0, ]L aralığında uzanan veL uzunluğundaki ince bir metal çubuktaki kararlı durum sıcaklığı (veya

enine deplasmanı) bulma problemini temsil etmektedir. Burada f yerine göre ısı

kaynağını (veya eksenel yükü) göstermektedir.

Şimdi, bu problemi daha önce verilen SEY işlem adımlarını takip ederek çözmeye çalışacağız.

29

İlk olarak problemin varyasyonel formülasyonunu elde etmeliyiz. Bunun için

(3.18) denkleminin her iki yanı

v

test fonksiyonu ile çarpılıp integral alınırsa

0 0 ( ) L L f v dx  au v dx 





elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafına kısmi integral uygulanırsa

0 0 ( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) L L f v dx au v dx  a L u L v L a u v





olur. Verilen sınır koşullarını kullanırsak ((3.19) ve (3.20) denklemleri)





0



0



0 0 ( ) ( ) (0) (0) L L L L f v dx au v dx    u L g v L   u g v





(3.21)

buluruz. x 0 ve xL de

v

ve

u

nun spesifik değerleri hakkında herhangi bir varsayım yapmadığımız için uygun bir deneme uzayı



2 2



( ) ( )

: ,

L I L I

V  v v   v  

şeklinde olur. Denklem (3.21) de bilinen terimleri bir tarafa bilinmeyen terimlere diğer tarafa toplarsak, problem (3.18)-(3.20) un varyasyonel formülasyonunu elde ederiz:  v V için





0 0 0 ( ) ( ) (0) (0) ? ( ) (0) L I L L I au v dx u L v L u v u u V f v dx g v L g v              





. (3.22)

İkinci olarak problemin sonlu elemanlar yaklaşımını bulmaya çalışacağız. Denklem (3.22) ile verilen varyasyonel formülasyonda sürekli V uzayını, sürekli

parçalı lineer V lerin ayrık uzayıyla değiştirerek aşağıdaki sonlu elemanlar _h

yöntemini elde ederiz: v V_h için





0 0 0 ( ) ( ) (0) (0) ? ( ) (0) h L h h I h h h L L I au v dx u L v L u v u u V fvdx g v L g v              





. (3.23)

30

Şimdi de bu sonlu eleman yönteminin bilgisayar uygulaması için gerekli olan rijitlik (stiffness) matrisinin ve yük (load) vektörünün hesaplanmasını göz önüne alalım. V_h için bir baz n 1 adet şapka fonksiyonundan oluşan

_{ }

_i n_i0 kümesidir. Bu kümede aralığın uç noktaları x 0 ve xL deki ₀ ve _n yarım şapkaları da dahil olmak üzere tüm şapkaların bulunduğunu unutmayalım. Şimdi, sonlu eleman metodu (3.23) denkleminde u_h yerine 0 n h j j j u    



(3.24)

kullanırsak ve v_i, i0,1,...,n, seçersek aşağıdaki lineer sistemi elde ederiz

(AR)  b r. (3.25) Burada (n1) ( n1) tipindeki A ve R matrisleri ve



n 1



 tipindeki b ve 1 r vektörleri sırasıyla 0 0 0 , ( ) ( ) (0) (0) , ( ) (0) ij j i ij L j i j i I i i i L L i i I A a dx R L L b f dx r g L g                     





(3.26)

elemanlarından oluşmaktadır. Burada A matrisini ve b vektörünü hesaplayabilmek

için denklem (3.10) ile açık olarak verilen _i şapka fonksiyonunu kullanabiliriz. Bu fonksiyonun türevi 1 1 1/ , eğer 1 / , eğer 0, diğer durumlarda i i i i i h x I h x I  _{ }      _   

olarak bulunur. Denklem (3.10) kullanılarak A matrisinin elemanlarını kolaylıkla hesaplayabiliriz. i j  için 1 A  dır (bu durumda _ij 0 _ive _j in ortak destekleri olmadığından). Bu nedenle sadece A , _ii A_ii1 ve A_i1i i hesaplamamız yeterlidir. Bu hesaplama için orta-nokta kareleme yöntemini kullanalım. I elemanının orta _i

31

alalım. Bu durumda i j için köşegen elemanlar A aşağıdaki şekilde _ii

bulunabilirler. 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) , 1, 2,..., 1 i i i i x x ii i i i I x x i i i i i i i i i i A a dx a dx a dx a h a h h h a a i n h h                       







0

 ve _n yarım şapka olduklarından ilk ve son köşegen elemanlar a h ve _{1 1} a h _{n n}

dir. Benzer şekilde j i 1 olduğunda köşegen altı (ve üstü) elemanlar aşağıdaki şekilde hesaplanabilirler. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 , 0,1,..., i i x ii i i i i i i I x i i i i i i A A a dx a dx a h h h a i n h                            





Denklem (3.26) daki R elemanlarının tümü _ij i j0 veya i jn (ki bu durumlarda R₀₀ ₀ ve R_nn _L) dışında sıfırdır. Bu durumda rijitlik matrisi A R

1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 n n n n n n n n n n L n n a a h h a a a a h h h h a a a a h h h h A R a a a a h h h h a a h h                                             _{ }              _{  }             _             (3.27)

32

formunda yazılabilir. Şimdi de Denklem (3.26) daki b ve _i r elemanlarını _i

hesaplayarak yük vektörü b yi oluşturalım. Trapez kuralını kullanarak r









1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 i i i i i i x x x i i i i i I x x x i i i i i i i i i i i i i i b f dx f dx f dx f dx h f x x f x x h f x x f x x                         

















1 ( )



1



0 ( ) ( ) 0 2 2 2 i i i i i i i f x h h h h f x f x        

şeklinde elde edilir. Bu durumda da yük vektörü b r

0 1 0 0 1 1 2 2 2 3 1 1 ( ) / 2 ( )( ) / 2 ( )( ) / 2 ( )( ) / 2 ( ) / 2 n n n n n L L f x h g f x h h f x h h b r f x h h f x h g          _              _{ }_{ }      _            _{ }    (3.28) formunda yazılabilir.

Sonuç olarak (3.25) denklemiyle verilen lineer sistemin bilinen katsayılar (rijitlik) matrisi ve sağ taraf (yük) vektörü elde edilmiş oldu. Bu sistem bilinmeyenler vektörü  için çözülerek (3.18)-(3.20) denklemleriyle verilen problemin sonlu elemanlar çözümüne kolayca ulaşılabilir.

3.3 Sayısal Örnekler

Önceki bölümde verilen bilgiler ışığında ele aldığımız genel iki-nokta sınır değer problemi için sonlu elemanlar çözümü yazmak oldukça kolay olacaktır. Bu doğrultuda aşağıdaki problemleri sayısal örnekler olarak vereceğiz.

Problem 1. (Larson ve Bengzon 2013) Uzunluğu L6m ve arakesit alanı 2

0.1

A m olan ince bir metal çubuktaki T sıcaklığını hesaplama problemini ele alalım. Bu metal çubuğun termal iletkenlik katsayısı k  5 0.6 [ /x J

_

Ksm

_

], iç ısı

33

kaynağı f 0.03(x6) [J/4 sm], x 2 de T  1 [ ]K sabit sıcaklıkta ve x 8 de termal olarak yalıtılmış olsun. (3.18)-(3.20) denklemleriyle verilen problem göz önüne alındığında ve a Akolduğu da düşünülerek çözmek istediğimiz problemin matematiksel modeli



(0.5 0.06 ) x T



0.03



x6 ,



4 2x8, T(2) 1, T (8)0 (3.29) şeklinde olur. Burada T(2) 1 Dirichlet tipinde sınır koşuluna yaklaşım yapmak için ₀ 106 ve g   alınarak (3.19) denklemi ile verilen Robin şartını ₀ 1 kullanabiliriz. Benzer şekilde T (8)0 Neumann sınır koşulu için (3.20) denkleminde _L 0 alabiliriz (burada g nin değerinin bir önemi yok)_L .

Bu problemin analitik çözümü 5 4 3 2 13 323 3589 15251 ( ) 3.716 ln 3 25 107.126 50 24 54 108 162 x x x x x T x       x  şeklindedir.

Şekil 3.3 te ele aldığımız problemin analitik ve sonlu eleman çözümlerinin grafikleri verilerek karşılaştırılmaları sağlanmıştır.

Şekil 3.3: Problem 1, analitik ve sonlu eleman çözümlerinin karşılaştırılması, h 0.5

2 3 4 5 6 7 8 -5 0 5 10 15 20 x T (x) Analitik çözüm Sonlu elemanlar çözümü, h=0.5

34

Bu şekilde 13 düğüm noktası kullanılmış ve düğüm aralıkları eşit alınmıştır



h 0.5



. Benzer olarak Şekil 3.4 te h 0.2 kullanılarak düğüm nokta sayısı artırılmıştır.

Şekil 3.4: Problem 1, analitik ve sonlu eleman çözümlerinin karşılaştırılması, h 0.2

Her iki şekilden de anlaşılacağı gibi sonlu elemanlar metodu kullanılarak elde edilen sonuçlar düğüm aralıkları küçültüldüğünde iyileşmektedir.

Problem 2. İkinci olarak aşağıdaki sınır-değer problemini göz önüne alalım. u u f

   , x I [0,1] (3.30)

(0) (1) 0

u u  (3.31)

Bu problem ne 3.1 ne de 3.2 alt bölümlerinde ele alınan problemlere benzemektedir. Bu nedenle oralarda yaptığımız gibi ilk olarak problemin varyasyonel formülasyonunu elde etmeliyiz. Bu doğrultuda, öncelikle verilen denklemin her iki yanını v x test fonksiyonu ile çarpalım ve sonrada verilen I ( ) aralığında integralleyelim. Bunları sırasıyla yaptığımızda

2 3 4 5 6 7 8 -5 0 5 10 15 20 x T (x) Analitik çözüm Sonlu elemanlar çözümü, h=0.2