Bölme İşlemi Çözümlü Sorular no: 1

KAVRAMLAR

YGS

TEMEL MATEMATİK

04

Bölünen Bölen Bölüm Kalan Bölünebilme • Bölme • Temel Bölünebilme Kuralları • Türetilmiş Kurallar

BÖLME VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Bölme

A, B, C ve K doğal sayılar, 0

≤

K

<

B olsun. A sayısının B ile bölümünde bölüm C, kalan K olmak üzere, bölme işlemi, Bölünen Kalan Bölen A B C K Bölüm şeklinde gösterilir. Bu bölme işleminde;

•

A = B . C + K

•

0

≤

K

<

B (Kalan bölenden daima küçüktür.)

•

K

<

C ise, B ile C yer değiştirebilir.

•

K = 0 ise; A, B ye tam bölünür denir.

Örnek 1

69 sayısı x + 2 ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan x — 1’dir.

Buna göre, x kaçtır?

Çözüm:

Örnek 2

A B – 2 3 B C – 4 2

olduğuna göre, A + B toplamının C türünden değerini bulunuz.

Çözüm:

Örnek 3

A 23 x x2

Yandaki bölme işleminde x

∈

N oldu-ğuna göre, A sayısının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

69 x + 2 – 5 x — 1 69 = 5(x + 2) + x – 1 69 = 5x + 10 + x – 1 60 = 6x x = 10’dur. A = 2B + 3 B = 4C + 2 + A + B = 2B + 4C + 5 A + B = 2(4C + 2) + 4C + 5 ↓ = 8C + 4 + 4C + 5 (4C + 2) = 12C + 9

A = 23 . x + x2 sayısının en büyük değeri için x’i mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.

x2 < 23 olması gerektiği için x en fazla 4 olabilir. Buna göre, A’nın en büyük değeri;

Bir x doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, 2x2 + 4x + 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

A sayısının x ile bölümünden kalan a B sayısının x ile bölümünden kalan b olmak üzere,

• A

±

B’nin x ile bölümünden kalan a

±

b • A.B’nin x ile bölümünden kalan a.b • k.A’nın x ile bölümünden kalan k.a • Aknın x ile bölümünden kalan akdır.

Bu şekilde elde edilen kalanlar x’ten büyük olursa, bu sayılar tekrar x’e bölünerek kalan bulunur.

Temel Bölünebilme Kuralları

•

2 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya

2’nin katı olmalıdır.

•

4 ile bölünebilme: Sayının son iki basamağı 00 veya 4’ün katı olmalıdır.

•

8 ile bölünebilme: Sayının son üç basamağı 000 veya 8’in katı olmalıdır.

•

16 ile bölünebilme: Sayının son dört basamağı 0000

veya 16’nın katı olmalıdır.

2 ve 2’nin kuvvetleri ile bölme yaparken 2’nin kuvvet-leriyle son basamaklar arasındaki ilişkiye dikkat ediniz.

•

5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5

olmalıdır.

•

25 ile bölünebilme: Sayının son iki basamağı 00

veya 25’in katı olmalıdır.

•

125 ile bölünebilme: Sayının son üç basamağı 000

veya 125’in katı olmalıdır.

5 veya 5’in kuvvetleri ile bölme yaparken 5’in kuvvet-leriyle son basamaklar arasındaki ilişkiye dikkat ediniz.

3’ün katı olmalıdır.

•

9 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 veya

9’un katı olmalıdır.

•

7 ile bölünebilme: ABCDEFGK şeklindeki bir sayıda,

rakamlar

A B C D E F G K

—2 —3 —1

3 1 2 3 1

sayıları ile çarpılır.

3A + B — 2C — 3D — E + 2F + 3G + K toplamı 0 veya 7’nin katı olmalıdır.

•

11 ile bölünebilme: ABCD şeklindeki bir sayıda,

rakamlar

A B C D

—1 —1

+1 +1

sayıları ile çarpılır —A + B — C + D işleminin sonucu 0 veya 11’in katı olmalıdır. (Birler basamağından +1 ile başlanmalıdır).

• 3, 9, 7 ve 11 ile bölünebilme kuralları, sayının tamamını ilgilendiren kurallardır.

• 8, 16, 125 ile bölünebilme kuralları, bölünebilme kuralları arasındaki ilişkiyi göstermek amacı ile verilmiştir. • 7 ve 11 ile bölünebilme kuralları 11. sınıf konusu olup LYS

müfredatında yer almaktadır.

Örnek 5

Rakamları aynı 34 basamaklı 555...55 sayısının 25 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Örnek 6

Üç basamaklı 4a3 sayısı 3 ile kalansız bölündüğüne göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

x sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, 2x2 + 4x + 4 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için x yerine 3 yazabiliriz. Buna göre,

2 . 32 + 4.3 + 4 = 18 + 12 + 4 = 34 olur.

34 > 5 olduğuna göre, 2x2 + 4x + 4 sayısının 5 ile bölü-münden kalan 34’ün 5 ile bölübölü-münden kalana eşittir. Dolayısıyla kalan 4’tür.

Sayının son iki rakamının oluşturduğu 55 sayısının 25 ile bölümünden kalan 5 olduğundan verilen sayının 25 ile bölümünden kalan 5’tir.

4a3 sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için bu sayı-nın rakamlarısayı-nın toplamı 3’ün katı olmalıdır. O halde, 4 + a + 3 = 3 . k

⇒

7 + a = 3k olmalıdır. (k

∈

N) 7 + a = 3k ise, a rakamı 2, 5 ya da 8 olabilir. O halde, a’nın alabileceği değerler toplamı

Örnek 7

x = (5762) . (348) + 311

olduğuna göre, x sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm:

Örnek 8

Üç basamaklı 6ab sayısı 5 ile tam bölünebilmekte, 4 ile bölündüğünde ise kalan 1 olmaktadır.

Buna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

Örnek 9

Dört basamaklı 3a3b sayısı 4 ve 9 ile tam bölünebil-diğine göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 10

Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 41A3B sayısı-nın 9 ile bölümünden kalan 5, aynı sayısayısı-nın 5 ile bölümün-den kalan 4’tür.

Buna göre, A rakamı kaçtır?

Çözüm:

Önce, x sayısını oluşturan her sayının 9 ile bölümün-den kalanları hesaplayalım.

5762’nin 9 ile bölümünden kalan : 5 + 7 + 6 + 2 = 20

→

2 + 0 = 2‘dir. 348’in 9 ile bölümünden kalan : 3 + 4 + 8 = 15

→

1 + 5 = 6‘dır. 311’in 9 ile bölümünden kalan : 3 + 1 + 1 = 5‘tir.

Şimdi x’in 9 ile bölümünden kalanı bulalım : x = (5762) . (348) + 311 olduğundan

2 . 6 + 5 = 12 + 5 = 17

→

1 + 7 = 8’dir.

6ab sayısı 5 ile tam bölündüğüne göre, b rakamı 0 ya da 5 olmalıdır. Yine bu sayı 4 ile bölündüğünde kalan 1 oluyorsa bu bir tek sayıdır. O halde, b rakamı 0 olamaz. Yani b = 5 olmalıdır.

6a5 sayısı 4 ile bölündüğünde kalan 1 ise 6a5 — 1 = 6a4 sayısı 4 ile tam bölünür.

6a4 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için a yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri gelmelidir.

a + b toplamının en az olması için a = 0 olmalıdır. a = 0 ve b = 5 ise a + b toplamının en küçük değeri 0 + 5 = 5’tir.

Sayının son iki basamağındaki 3b sayısı 32 veya 36 olduğunda sayı 4 ile tam bölünür. Buna göre,

b = 2 veya b = 6 olmalıdır.

b = 2 olsun. Bu durumda, 3a32 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

3 + a + 3 + 2 = 9k 8 + a = 9k a = 1 olur.

b = 6 olsun. Bu durumda, 3a36 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

3 + a + 3 + 2 = 9k 12 + a = 9k a = 6 olur.

a’nın alabileceği değerler toplamı 1 + 6 = 7 olur.

41A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, sayının birler basamağındaki B rakamı 4 ya da 9 olmalıdır.

Sayının rakamları farklı olduğundan B, 4 olamaz, B = 9 olur. 41A39 sayısı 9 ile bölündüğünde kalan 5 oluyorsa

4 + 1 + A + 3 + 9 = 9k + 5 eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, A + 17 = 9k + 5

Dört basamaklı 5abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 6’dır.

Bu sayı 9 ile tam bölündüğüne göre, a + b toplamının alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm:

Aralarında asal iki sayıya ayrı ayrı tam bölünebilen bir sayı bu sayıların çarpımı ile de tam bölünür.

Türetilmiş Kurallar

2 ve 3 ile tam bölünebilen bir sayı 6 ile de tam bölünebi-lir. Aynı şekilde 3 ve 4 ile tam bölünebilen bir sayı 12 ile de tam bölünebilir. Bu mantığı geliştirelim.

Temel kurallar Türetilmiş kurallar 2 ve 3 ile bölünebilir. 6 ile bölünebilir. 3 ve 4 ile bölünebilir. 12 ile bölünebilir. 3 ve 5 ile bölünebilir. 15 ile bölünebilir. 2 ve 9 ile bölünebilir. 18 ile bölünebilir. 3 ve 11 ile bölünebilir. 33 ile bölünebilir. 5 ve 7 ile bölünebilir. 35 ile bölünebilir. 4 ve 9 ile bölünebilir. 36 ile bölünebilir. 5 ve 9 ile bölünebilir. 45 ile bölünebilir. 5 ve 11 ile bölünebilir. 55 ile bölünebilir. 3 ve 25 ile bölünebilir. 75 ile bölünebilir. 9 ve 10 ile bölünebilir. 90 ile bölünebilir.

. .

. .

. .

Beş basamaklı 2a56b sayısı 90 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?

Çözüm:

Örnek 13

Dört basamaklı 2A5B sayısı 12 ile kalansız bölünebilmek-tedir.

Buna göre, A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm:

2A5B sayısı 12 ile kalansız bölünebiliyorsa, 4 ve 3 ile de kalansız bölünebilir. Bu sayının 4 ile tam bölünebilmesi için, sayının son iki rakamıyla oluşan 5B sayısı, 4 ile tam bölünmelidir. 0 halde, B rakam 2 veya 6 olmalıdır.

B = 2 alındığında 2A52 sayısının 3 ile tam bölünebil-mesi için,

2 + A + 5 + 2 = 3k (k ∈ N) olmalıdır.

9 + A = 3k eşitliğinin sağlanması için, A rakamı 0, 3, 6, 9 rakamlarından biri olabilir.

B = 6 alındığında, 2A56 sayısının 3 ile tam bölünebil-mesi için,

2 + A + 5 + 6 = 3k (k ∈ N) olmalıdır.

13 + A = 3k eşitliğinin sağlanması için, A rakamı 2, 5 ya da 8 olabilir.

O halde, A’nın alabileceği 7 farklı değer vardır. 2a56b sayısının 90 ile tam bölünebilmesi için, bu sayının 10 ve 9 ile tam bölünmesi gerekir.

Sayının 10 ile tam bölünebilmesi için b = 0 olmalıdır. 2a560 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için, rakam-larının toplamı 9‘un katı olmalıdır.

Buna göre,

2 + a + 5 + 6 + 0 = 9k

⇒

13 + a = 9k olmalıdır. O halde, a = 5 olur.

• 5abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 ise birler basamağındaki rakam 6’dır. O halde c = 6 olur. • 5ab6 sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre,

5 + a + b + 6 = 11 + a + b toplamı 9’un katı olmalıdır. Buna göre, a + b toplamı 7 ve 16 olabilir.

Örnek 14

Dört basamaklı 2A3B sayısının 15 ile bölümünden kalan 1’dir.

Buna göre, A’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm:

Örnek 15

Dört basamaklı A51B sayısının 45 ile bölümünden kalan 12’dir.

Buna göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 16

ABC24 beş basamaklı bir sayı olmak üzere,

ABC24 36 . . MN

olduğuna göre, iki basamaklı MN sayısının kaç farklı değeri vardır?

Çözüm:

Örnek 17

7A1B 15 3

olduğuna göre, A rakamının alabileceği değerlerin top-lamı kaçtır?

Çözüm:

A51B sayısının 45 ile bölümünden kalan 12 ise A51B sayısının 9 ile bölümünden kalan, 12’nin 9 ile bölümün-den kalana eşittir, yani 3’tür. Aynı şekilde A51B sayı-sının 5 ile bölümünden kalan, 12’nin 5 ile bölümünden kalana eşittir, yani 2’dir.

Sayının 5 ile bölümünden kalan 2 ise B = 2 veya B = 7’dir.

B = 2 için A512 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise A + 5 + 1 + 2 = 9k + 3

A + 8 = 9k + 3

⇒

A = 4 olur.

B = 7 için A517 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 ise A + 5 + 1 + 7 = 9k + 3

A + 13 = 9K + 3

⇒

A = 8 olur.

O halde, A’nın alabileceği değerler toplamı 4 + 8 = 12 dir.

15 = 3 . 5 olduğundan, bir sayının 15 ile bölümünden kalan 1 ise, 3 ve 5 ile bölümünden kalan da 1’dir. Sayının 5 ile bölümünden kalan 1 ise B = 1 veya B = 6 olur.

B = 1 için 2A31 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, 2 + A + 3 + 1 = 3k + 1

A + 6 = 3k + 1

⇒

A

∈

{1, 4, 7} olur. B = 6 için 2A36 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise,

2 + A + 3 + 6 = 3k + 1

A + 11 = 3k + 1

⇒

A

∈

{2, 5, 8} olur. Demek ki, A’nın alabileceği 6 farklı değer vardır.

Bölünen ve bölen 4’ün katları olduğu için kalan MN sayısı da 4’ün katı olmalıdır.

MN iki basamaklı ve MN _{< 36 olduğundan} MN ∈ #12, 16, 20, 24, 28, 32- olabilir. 6 farklı değer vardır.

7A1B sayısı 15 ile bölündüğünde 3 kalmıştır. Bu sayı, 5 ile bölündüğünde de 3 kalacaktır.

Bu sayı, 3 ile bölündüğünde ise 3 kalamaz, sıfır kala-caktır.

5 ile bölünüp 3 kalabilmesi için B = 3 veya B = 8 olma-lıdır.

7A13 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için 7 + A + 1 + 3 = 3k (k∈N) olmalıdır.

11 + A = 3k A = _{#1, 4 ,}

7-7A18 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için 7 + A + 1 + 8 = 3k (k∈N) olmalıdır.

16 + A = 3k

A = _{$2, 5 ,8. olmalıdır.} 1 + 4 + 7 + 2 + 5 + 8 = 27

SINIF İÇİ UYGULAMA :

BÖLME VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1.

a > b > c olmak üzere, a, b ve c ardışık doğal sayı-lardır.

x a

b c –

Yukarıdaki bölme işlemine göre, x’in alabileceği iki basamaklı en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

Çözüm:

2.

Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı a13b sayısının 45 ile bölümünden kalan 12 olduğuna göre, a kaçtır?

Çözüm:

3.

a3b üç basamaklı bir doğal sayıdır.

a3b 36

24 –

olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

4. İki basamaklı ab çift doğal sayısının soluna 2

raka-mı konularak elde edilen üç basamaklı sayının 15’e bölümünden kalan 8 olduğuna göre, a’nın alabile-ceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:

Cevap: 98 Cevap: 7

Cevap: 12 Cevap: 6

ÖDEV TESTİ :

BÖLME VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. Üç basamaklı aaa doğal sayısı aşağıdakilerden

han-gisine kesinlikle tam bölünür?

A) 2 B) 4 C) 11 D) 17 E) 37

2. Bir a doğal sayısı 3 ile bölündüğünde bölüm b,

kalan 2’dir. b sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 3’tür.

Buna göre, a doğal sayısı 15 ile bölündüğünde kalan kaç olur?

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

3. a, b ve c birbirinden farklı çift rakamlar olmak

üzere, üç basamaklı en büyük abc doğal sayısı aşa-ğıdakilerden hangisine tam bölünemez?

A) 2 B) 3 C) 8 D) 11 E) 27

4.

x + y = 102 olmak üzere, x y 3 2 –

olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisi ile tam bölünür?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

5. K, L ve M birer doğal sayıdır.

K L

3 L M 2

2 5

– –

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

A) L + M B) K + M C) K + L D) K.L E) K.M

6. a ve b ardışık rakamlar olmak üzere, üç basamaklı

ab2 sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

7. 1’den 25’e kadar olan tam sayılar soldan sağa doğru

yan yana yazılarak

a = 1234 ... 9101112 ...2425

şeklinde 41 basamaklı a doğal sayısı elde ediliyor.

Buna göre, a sayısının 9 ile bölümünden kalan kaç-tır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

8. x , y ve z asal rakamlar olmak üzere,

x + y = z

koşulunu sağlayan en büyük xyz doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

ile bölümünden kalan a ve 5 ile bölümünden kalan b ‘dir.

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

10. Beş basamaklı ABCDE doğal sayısında,

A + B = C + D = E

olduğuna göre, bu koşulu sağlayan ABCDE sayısı aşağıdakilerden hangisi ile kesinlikle tam bölünür?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

11. 6 ile bölündüğünde 1 kalanını veren rakamları

farklı üç basamaklı en büyük doğal sayının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12. 2 ile tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayılar

küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan 15. sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42

basamaklı, ab iki basamaklı doğal sayılardır.

ab2c ab

 

–

Yukarıdaki bölme işleminde bölüm ile kalanın top-lamı 125 olduğuna göre, c kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

14. a, b ve c ardışık tek rakamlar olmak üzere, 9 ile tam

bölünebilen üç basamaklı kaç farklı abc doğal sayısı yazılabilir?

A) 9 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2

15. Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 4 ile tam

bölünebilen en büyük doğal sayı ile rakamları bir-birinden farklı üç basamaklı 4 ile tam bölünebilen en küçük doğal sayının toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?

A) 16 B) 17 C) 32 D) 64 E) 128

16. Dört basamaklı 25ab sayısı rakamları farklı bir sayı

olmak üzere, Sinan’ın elinde 25ab TL vardır. Sinan elindeki paranın tamamıyla tanesi 15 TL olan kitap-lardan belli bir sayıda alabildiğine göre, Sinan kaç kitap almıştır?