ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR
Jeofizik araştırmalar ile gömülü halde bulunan yapıların gün yüzüne çıkartılması amaçlanmaktadır. Yer radarı çalışması ile elde edilen verileri yorumlamak için çeşitli veri işlem yöntemlerine ya da düz ve ters çözüm yöntemlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Yer altında bulunan yapıların hasarsız tespitinde ise malzemenin türünün de belirlenmesi oldukça önemlidir. Yapılan bu çalışma sonunda yer radarı verisinin gömülü boruların malzemesinin tespitinde yorumunun kolaylaştırılması amaçlanmıştır. Ayrıca, bu çalışmada uygulanan düz ve ters çözüm yöntemleri de yer radarı yöntemi uygulanması makul olan problemlerde araştırmacılara yardımcı olacaktır.
Bana 2214-A bursunu sağlayarak bu çalışmanın bir kısmının gerçekleşmesine olanak sağlayan TÜBİTAK’a teşekkür ederim.
Lisans öğrenimimden beri çalışmalarımın her aşamasında benden destek ve yardımlarını esirgemeyen, bakış açıma her gün katkı koyan, değerli bilgileri ve önerileri ile beni yönlendiren, kendisinden çok şey öğrendiğim danışman hocam Dr. Öğr. Üyesi Ertan PEKŞEN’e teşekkür ederim.
Tez çalışmam boyunca değerli bilgilerini benimle paylaşan, Kiel’de bulunduğum sırada verilerin modellenmesinde ve değerlendirilmesinde bana yol gösteren, önerilerini sunan ve tezimin olgunlaşmasını sağlayan Prof. Dr. Wolfgang RABBEL’ e teşekkür ederim.
Tez çalışmamın her aşamasında değerli bilgileriyle bana destek olan, verilerin sağlanmasında yardım eden ve değerlendirilmesinde yol gösteren, Kiel’de bulunduğum sırada manevi olarak da her zaman yanımda olan ve bir ağabey gibi sevdiğim değerli hocam Yük. Müh. Ercan ERKUL’a teşekkür ederim.
Tez izleme komitemde yer alan ve çalışmama katkıda bulunan, değerli görüş ve önerileri ile beni yönlendiren ve tezimin olgunlaşmasını sağlayan değerli hocam Prof. Dr. Selma KADIOĞLU’na teşekkür ederim.
Öğrencilik dönemimden beri değerli görüş ve önerileri ile çalışmalarıma katkı koyan Prof. Dr. Şerif BARIŞ’a teşekkür ederim.
40 yılı aşkın süredir geliştirdiği yer radarı veri işlem programını kullanmamı sağlayan ve değerli bilgilerini benimle paylaşan Dr. Harald STÜMPEL’e teşekkür ederim.
Tez çalışmamın her aşamasında değerli bilgileriyle bana destek olan Christian Albrechts Üniversitesi Kiel’den değerli arkadaşlarım Dr. Tina WUNDERLICH’e, teşekkür ederim.
Tüm lisans, yüksek lisans ve doktora öğrenimim boyunca bana her türlü desteğini esirgemeyen bir ağabey gibi sevdiğim Dr. Deniz ÇAKA’ya teşekkür ederim.
Katkılarını her zaman hissettiğim Dr. Berna TUNÇ ve Yük Müh. Süleyman TUNÇ’a teşekkür ederim.
Sürekli bilgi alışverişinde bulunduğum ve görüşlerine her zaman değer verip kendisinden çok şey öğrendiğim Yük. Müh. Kerem ÖZKAP’a teşekkür ederim. Kiel’de bulunduğum sürede sürekli yanımda olan ve her zaman destek olan Nur EROĞLUER, İnan EROĞLUER, Ilgar ÖZGÜREL ve Feyzullah SANİOĞLU’na teşekkür ederim.
Ve son olarak doktora çalışmam boyunca desteğini her zaman hissettiren, Kiel’de bulunduğum süre boyunca beni sıklıkla ziyaret edip yalnız bırakmayan, gösterdiği saygı, sevgi ve desteği için sevgili eşim Selcan KAPLANVURAL’a ve hayatım boyunca sürekli desteklerini hissettiğim annem Hatice KAPLANVURAL ve babam Ali Ülkü KAPLANVURAL’a çok teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... i
İÇİNDEKİLER ... iii
ŞEKİLLER DİZİNİ ... v
TABLOLAR DİZİNİ ... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... viii
ÖZET ... ix
ABSTRACT ... x
GİRİŞ ... 1
1. YER RADARI YÖNTEMİ VE EM DALGA YAYINIMI ... 3
1.1. Yer Radarı Yöntemin Tanımı ... 3
1.2. Teori ... 4
1.2.1. Ortamın iletkenliği ... 5
1.2.2. Dielektrik sabiti (Ortamın elektriksel geçirgenliği) ... 5
1.2.3. Ortamın manyetik geçirgenliği ... 6
1.2.4. Elektromanyetik (EM) dalga hızı ... 7
1.3. Elektromanyetik Dalgaların Ara Yüzeylerde Yansıması, Kırılması ve İletimi ... 8
1.4. Yatay ve Düşey Ayrımlılık ... 11
1.5. Anten Dizilimleri ... 13
2. ZAMAN ORTAMI SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE 2B DÜZ ÇÖZÜMÜ ... 15
2.1. Elektrik Alan Denklemi ... 15
2.2. Manyetik Alan Dalga Denklemi ... 16
2.3. TE ve TM Modları İçin Elektrik ve Manyetik Alan Denklemleri ... 18
2.3.1. TE modu için alan denklemleri ... 18
2.3.2. TM modu için alan denklemleri ... 19
2.4. Sonlu Farklar Yöntemi ... 20
2.5. Maxwell Denklemlerinin Sonlu Farklar Yöntemine Göre Yazılması ... 21
2.5.1. Bir boyutta Maxwell denklemleri ... 22
2.5.2. İki boyutta Maxwell denklemleri ... 24
2.5.2.1. TE modu ... 24
2.5.2.2. TM modu ... 29
2.6. Sınır Koşulları ... 30
2.7. Kararlılık Koşulu ve Sayısal Dispersiyon ... 35
3. SU İLETİM BORULARININ İÇ VE DIŞ MALZEMESİNİN YER RADARI SİNYALLERİNE ETKİSİNİN GÖZLEMSEL VE 2B FDTD İLE İNCELENMESİ ... 36
3.1. Test Modelinin Hazırlanması ve Veri Toplanması ... 37
3.2. İki Boyutta Zaman Ortamı Sonlu Farklar (FDTD) İle Modelleme ... 39
3.4. Deneysel Test Modelinde Alınan İle 2B Zaman Ortamı Sonlu
Farklar İle Modellenen Verilerin Karşılaştırılması ... 45
3.5. Çevre Ortamı Etkisi ... 46
3.6. Tartışma ... 50
3.6.1. Daha önceki çalışmalar ile kıyaslamalar ... 50
3.6.2. Bulguların sınıflandırılması ... 50
3.6.3. Yapılacak çalışmalar için çıkarımlar ... 52
4. PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU İLE 1B DALGA FORMU TERS ÇÖZÜMÜ ... 54
4.1. Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) ... 55
4.2. PSO Parametrelerinin Seçimi ... 58
4.3. Düz Çözüm Operatörü ... 58
4.4. Teorik Örnekler ... 59
4.4.1.Gürültü eklenmemiş teorik örnek ... 59
4.4.2.Gürültü eklenmiş teorik örnek ... 62
4.5. Plastik Boru Örnekleri ... 64
4.5.1.PB-HD modeli ... 64
4.5.2.PB-SD modeli ... 67
4.5.3.PB-BD modeli ... 69
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 71
KAYNAKLAR ... 73
KİŞİSEL YAYIN VE ESERLER ... 78
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 1.1. Yer radarı çalışma prensibi ... 3 Şekil 2.2. Arayüzeye gelen dalga I’ nın sınırına çarptıktan sonra enerjinin
yansıyan ve iletilen dalgalara aktarılması ... 9 Şekil 1.3. TE ve TM bileşenlerinin arayüzeyde yansıması ve iletimi
(E:Elektrik alan vektörü, H:Manyetik alan vektörü) ... 9 Şekil 1.4. Anten durumlarına göre TE ve TM modları ... 10 Şekil 1.5. Frekans ile düşey ayrımlılık arasındaki ilişki a) 50 MHz, b)
100 MHz, c) 200MHz ... 12 Şekil 1.6. Fresnel zonu ve yatay ayrımlılık ... 13 Şekil 1.7. Yer radarı ölçümlerinde kullanılan çeşitli anten dizilimleri. a)
Sabit açılım, b) Ortak derinlik noktası, c) Sabit kaynak, d)
Sabit alıcı e) Transilüminasyon modu. ... 14 Şekil 2.1. a) TE modu ve b) TM modu için EM alan bileşenleri. ... 18 Şekil 2.2. TE modundaki elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin model
ağı. ... 25 Şekil 2.3. Hx bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve
manyetik alan bileşenleri ... 28 Şekil 2.4. Hz bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve
manyetik alan bileşenleri ... 28 Şekil 2.5. Ey bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve
manyetik alan bileşenleri ... 29 Şekil 2.6. TM modundaki elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin model
ağı ... 29 Şekil 2.7. Sınırları tanımlanmış bir model ağı ... 31 Şekil 3.1. Deneysel test modeli ... 37 Şekil 3.2. Deneysel test modelinin hazırlanması: a) Boş kutu, b) elenmiş
kuru kumun doldurulması, c) borunun 11cm derinliğe gömülmesi, d) kutunun geri kalanının kum ile doldurularak
kum yüzeyinin düzleştirilmesi. ... 38 Şekil 3.3. EM dalga yayınımının farklı zaman durumlardaki anlık
görüntüleri ... 42 Şekil 3.4. Deneysel test modelinde alınan ölçüler a) boru gömülmeden
alınan ölçüm, b) boru gömülerek alınan ölçüm ... 43 Şekil 3.5. Deneysel test modeli üzerinde alınan her bir yer radarı ölçüsü
ile Stolt ve Kirchoff Migrasyonları uygulanmış halleri ... 44 Şekil 3.6. Deneysel test modelinde ölçülen ve migrasyon işlemi
uygulanan veriler: a) ÇB, b) ÇB-HD, c) ÇB-SD, d)PB-HD, e)PB-SD, e)PB-BD. Üstten alta doğru; her kombinasyon için kaydedilen radargramlar (ilk satır), genlik – zaman fonksiyonunu gösteren radargramlara ait merkez izler (ikinci satır), migrasyon uygulanmış radargramlar (üçüncü satır),
Şekil 3.7. Şekil 3.6’da verilen deneysel test modelinde alınan veriler için 2B FDTD ile hesaplanan radargramlar (üstte) ve radargramların merkez izleri (altta): a) ÇB, b) HD, c)
ÇB-SD, d)PB-HD, e)PB-ÇB-SD, e)PB-BD ... 46 Şekil 3.8. Farklı çevre ortamlardaki PB-HD, PB-SD, ÇB-SD
modellerinin 2B FDTD ile elde hesaplanmış radargramları: a-c) PB-HD kuru kum içerisinde, d-f) PB-SD beton içerisinde,
g-h) ÇB-SD ıslak kum içerisinde ... 48 Şekil 3.9. Şekil 3.8’de gösterilen farklı çevre ortamlardaki HD,
PB-SD, ÇB-SD modellerinin 2B FDTD ile elde hesaplanmış radargramlarının merkez izleri: a-c) PB-HD kuru kum içerisinde, d-f) PB-SD beton içerisinde, g-h) ÇB-SD ıslak kum
içerisinde. ... 49 Şekil 4.1. PSO algoritmasının akış şeması ... 56 Şekil 4.2. Teorik örneğe ait 1B yer altı modeli ve hesaplanan yer radarı
izi ... 59 Şekil 4.3. PSO ters çözümü yapıldığında gözlenen ve hesaplanan
eğrilerin uyumu ile bağıl hata değeri ... 60 Şekil 4.4. Yer altına ait EM parametrelerin ve derinlik değerlerinin nesil
sayısına (iterasyona) bağlı değişimi ... 61 Şekil 4.5. İlgili parametrenin ters çözüm işlemi sırasında ne sıklıkta
kullanıldığını gösteren grafikler ... 61 Şekil 4.6. PSO ters çözümü yapıldığında gürültü eklenmiş gözlenen ve
hesaplanan eğrilerin uyumu ile bağıl hata değeri ... 63 Şekil 4.7. Yer altına ait EM parametrelerin ve derinlik değerlerinin nesil
sayısına (iterasyona) bağlı değişimi ... 63 Şekil 4.8. İlgili parametrenin ters çözüm işlemi sırasında ne sıklıkta
kullanıldığını gösteren grafikler ... 64 Şekil 4.9. PSO ters çözümü yapıldığında PB-HD modele ait gözlenen ve
hesaplanan eğrilerin uyumu ile bağıl hata değeri ... 66 Şekil 4.10. PB-HD modeli için yer altına ait EM parametrelerin ve
derinlik değerlerinin nesil sayısına (iterasyona) bağlı değişimi. ... 66 Şekil 4.11. PSO ters çözümü yapıldığında PB-SD modele ait gözlenen ve
hesaplanan eğrilerin uyumu ile bağıl hata değeri. ... 68 Şekil 4.12. PB-SD modeli için yer altına ait EM parametrelerin ve derinlik
değerlerinin nesil sayısına (iterasyona) bağlı değişim ... 68 Şekil 4.13. PSO ters çözümü yapıldığında PB-BD modele ait gözlenen ve
hesaplanan eğrilerin uyumu ile bağıl hata değeri ... 70 Şekil 4.14. PB-BD modeli için yer altına ait EM parametrelerin ve derinlik
TABLOLAR DİZİNİ
Tablo 1.1. Yer radarı yönteminin kullanıldığı alanlar ... 4
Tablo 1.2. Bazı malzemeler için göreceli dielektrik sabiti, iletkenlik ve
manyetik geçirgenlik değerleri ... 7
Tablo 3.1. İncelenen boruların boyutları ... 39
Tablo 3.2. Farklı çevre ortamlarda plastik ve çelik boruların yer radarı ölçümlerinde gözlemlenecek muhtemel cevaplarına ilişkin
genlik, sönümlenme ve ardışık yansıma verileri ... 52
Tablo 4.1. PSO ters çözümü için teorik modele girilen başlangıç
parametreleri ve hesaplanan sonuç değerleri. ... 60
Tablo 4.2. PSO ters çözümü için %10 gürültü eklenmiş için teorik modele
girilen başlangıç parametreleri ve hesaplanan sonuç değerleri ... 62
Tablo 4.3. PB-HD modeli için PSO ters çözümünde kullanılan ilgili giriş
parametreleri ile ters çözüm sonucu hesaplanan değerler ... 65
Tablo 4.4. PB-SD modeli için PSO ters çözümünde kullanılan ilgili giriş
parametreleri ile ters çözüm sonucu hesaplanan değerler ... 67
Tablo 4.5. PB-BD modeli için PSO ters çözümünde kullanılan ilgili giriş
parametreleri ile ters çözüm sonucu hesaplanan değerler ... 69
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ B : Manyetik akı yoğunluğu, (W/m2) c : Işığın boşlukta yayılma hızı, (m/ns) D : Elektrik akı yoğunluğu, (C/m2) E : Elektrik alan şiddeti, (V/m) f : Frekans, (Hz)
H : Manyetik alan şiddeti, (A/m) J : Elektrik akım yoğunluğu, (A/m2) R : Yansıma katsayısı
q : Serbest elektrik yük yoğunluğu, (C/m3 ) t : Zaman, (ns) v : Elektromanyetik dalga hızı, (m/ns) Z : Empedans, (Ω) α : Sönümlenme, (dB/m) ε : Dielektrik sabiti, (F/m)
λ : Elektromanyetik dalga boyu, (m) μ : Manyetik geçirgenlik, (H/m) σ : İletkenlik, (S/m)
∇ : Nabla operatörü
Kısaltmalar
1B : Bir Boyutlu Ortam 2B : İki Boyutlu Ortam
FDTD : Finite Difference in Time Domain (Zaman Ortamında Sonlu Farklar) GPR : Yer Radarı
GHz : Gigahertz MHz : Megahertz
PML : Mükemmel Uyumlu Tabaka Sınırı Koşulu PSO : Parçacık Sürü Optimizasyonu
TE : Transverse Electric (Enine Elektrik) TM : Transverse Magnetic (Enine Manyetik)
YER RADARI VERİLERİNİN TERS ÇÖZÜMÜ İLE GÖMÜLÜ BORU ÖZELLİKLERİNİN BELİRLENMESİ
ÖZET
Genellikle karmaşık olan yer altı yapısında ilerleyen ve yansıyan yer radarı sinyalinin kaydı da karmaşık olup yer içi hakkında bilgiler taşımaktadır. Yer radarı ölçümleri sonucu elde edilen saçılmalar sayesinde yer altındaki objenin derinliği bulunabilmektedir. Buna rağmen kaydedilen saçılmalardan direkt olarak yer altındaki objenin malzemesinin türü ile ilgili bilgi edinmek zordur. Yer radarı ölçüleri alındıktan sonra verilerin yorumlanması için genellikle ölçülere veri işlem aşamaları uygulanmaktadır. Bunun yanında sıklıkla düz çözüm modellemeleri yapılsa da, ters çözüm yöntemleri de son yıllarda yer radarı ile ilgili literatürde yapılan çalışmalarda görülmektedir.
Bu tez çalışmasında ilk olarak yer altında gömülü borular hedef seçilip, gömülü boruların yer radarı sinyallerine etkisi incelenmiştir. Bu inceleme aşamasında ilk olarak bir kum havuzu hazırlanarak çelik ve plastik boruların su dolu, hava dolu ve buz dolu durumları ölçü alınarak incelenmiştir. Daha sonra zaman ortamında sonlu farklar ile iki boyutta düz çözüm uygulanarak gömülü yapının malzemelerinin ilgili parametreleri gerçek veri ile karşılaştırılarak bulunmuştur. Bu sayede boruların çeşitli çevre ortamlarda gömülü oldukları ile çeşitli dış malzeme ve çeşitli iç malzeme durumlarındaki radargramlarından yorumlar yapılarak ilerde yapılacak benzer çalışmalarda kolaylık sağlayacak bir katalog oluşturulmuştur.
Tez çalışmasının son bölümünde ise yer altında elektromanyetik dalga yayınımını doğrudan etkileyen parametrelerin kestirimi için yer radarı izine bir boyutta dalga formu ters çözümü uygulanmıştır. Bu çalışmada ise global optimizasyon türü olan Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) ile yer radarı izinin bir boyutlu dalga formu ters çözümü hesaplanmıştır.Yer radarı izine PSO yöntemi ile ters çözüm uygulanarak yer altına ait dielektrik sabiti, manyetik geçirgenlik, iletkenlik ve derinlik değerleri belirlenmiştir. Yöntem teorik veri, gürültü eklenmiş teorik veri ve gerçek veri üzerinde uygulanmıştır. Bu çalışmanın sonuçları yer radarı izinden yer altı parametrelerinin kestiriminde PSO yönteminin kullanılabilirliğini göstermektedir. Anahtar Kelimeler: Gömülü Borular, Hasarsız Tespit, Modelleme, Parçacık Sürü Optimizasyonu, Yer Radarı.
INVESTIGATION OF BURIED PIPES PROPERTIES BY INVERSION OF GROUND PENETRATING RADAR DATA
ABSTRACT
The record of the ground penetrating radar signal is complex. However, it brings the information from the subsurface. It is possible to estimate the depth of the object in underground from the reflection hyperbola by GPR method. However, it is hard to get information about any material in the subsurface directly from the reflected signal. Generally, the data processing is applied to GPR data for interpretation of the radargrams. Additionally, forward modelling is also applied rarely. However, the inversion of the GPR record is a few times addressed in the literature.
In this study, the influences of the buried pipes to the GPR signals were investigated. Primarily, a sand box was prepared to investigate various combinations of plastic and steel pipes filled with water, air and ice. Then, 2D finite difference in time domain calculations were performed for each combination of pipes to compare with recorded real radargrams to find physical and geometrical parameters of related materials. Thus, a catalogue was presented to contribute further similar studies by aiming the interpretation of the results of each combination of pipes including various filling and surrounding materials.
Inversion was applied to a GPR trace to estimate parameters of EM wave propagation in the last part of the study. Particle Swarm Optimization that is a global optimization method is applied for full waveform inversion of GPR trace. Relative dielectric permittivity, conductivity, relative magnetic permeability and depth parameters can be estimated by inverting GPR trace. PSO inversion is applied to theoretical data, noise added theoretical data and the real data. The results of the study show that the PSO method can be used to estimate subsurface parameters by inverting GPR trace.
Keywords: Buried Pipes, Non-destructive Testing, Modelling, Particle Swarm Optimization, Ground-penetrating Radar.
GİRİŞ
Gömülü nesnelerin yeryüzünden saptanması fikri yıllar boyunca insanoğlunun ilgisini çekmiştir. Günümüze kadar geliştirilen bir çok Jeofizik metot yer altı araştırmalarında kullanılmaktadır. Yer altı araştırmalarda kullanılan elektromanyetik yöntemlerin en yenilerinden biri olan Yer Radarı (GPR, Ground Penetrating Radar, Ground Probing Radar, Georadar) ‘dır.
Yer radarı cihazı 1970’li yılların başlarında Ohio Devlet Üniversitesi tarafından üretilmiştir. Bu tarihten iki yıl sonra Rex Morey ve Art Darke tarafından “Geophysical Survey System Inc. (GSSI)” şirketi ile ticari olarak temelleri atılmıştır (Cook, 1975). Annan (1973), Annan ve diğ., (1975), Rossiter ve diğ., (1973) Rossiter ve diğ., (1975) yaptığı çalışmalar ile günümüzde kullanılan yer radarının çalışma prensiplerini bilim dünyasına sunmuştur. Yer radarı yöntemi yer altındaki sığ objelerin hızlı ve hassas bir şekilde ve tahribatsız olarak tespit edilmesine olanak sağlar. Yer radarı yöntemi, arkeolojik kalıntılar (Kadıoğlu, 2010, Kadıoğlu ve diğ., 2011, Wunderlich ve diğ., 2015), gömülü borular (Ni ve diğ., 2010, Prego ve diğ., 2017), beton içindeki boşluk veya kırıklar (De Domenico ve diğ., 2013, Cassidy ve diğ., 2011), beton içindeki demir donatıların tespiti (Mechbal ve Khamlichi, 2017), yapısal deformasyonlar (Orlando ve diğ., 2010), kil içeriği (Tosti ve diğ., 2013), betonun hacimsel su içeriğinin değişimi (Kaplanvural ve diğ., 2018) vb., yeraltındaki ve binalardaki bir çok gömülü yapının araştırılmasında uygulanmaktadır.
Yer radarı yönteminin en sık uygulama alanlarından biri de gömülü boruların tespitidir. Binaların içindeki ve çevresindeki ince ve sığ derinliklerdeki iletim boruları hedef seçilerek bu çalışma yapılmıştır. Gömülü boruların yeri ve derinliği yer radarı yöntemi ile kolaylıkla belirlenebilmektedir. Bu çalışmanın ikinci bölümünde çalışmanın teorisine açıklık getirecek elektromanyetik (EM) dalga yayınımından bahsedilecektir. Çalışmanın üçüncü bölümünde Zaman Ortamında 2 Boyutta Sonlu Farklar Modellemesi anlatılacak olup, dördüncü bölümde ise bu zamana kadar yapılan yer radarı çalışmalarında bir adım ileri gidilerek, su iletim borularının iç ve dış malzemesinin yer radarı sinyallerine etkilerinden malzemenin
türünün kestirilmesi amaçlanmıştır. Özellikle kentlerde, evdeki tamiratlar sırasında iletim borularının ve malzemesinin türünün hasarsız tespit edilmesi oldukça önemli bir ihtiyaçtır. Genellikle eski binalarda çelik yada metal borular iletim hatları için seçilmiştir. Günümüzde, özellikle su hatların iletiminde metal borular yerlerini plastik borulara bırakmıştır. Burada akla gelen ilk soru metal ve plastik boruların yer radarı ölçümlerinden ayırt edilip edilemeyeceğidir. Çalışmanın dördüncü bölümünde ise yer radarı sinyalinin yayınımını etkileyen parametrelerin bulunarak malzemenin türü hakkında bilgi sahibi olunması amaçlanmıştır. Parametrelerin doğru kestirimi için bir ters çözüm yöntemine ihtiyaç duyulmaktadır. Ters çözüm yöntemleri ise en küçük kareler yaklaşımı ve global optimizasyon yöntemleri olarak ikiye ayrılabilir. Bu çalışmada ise global optimizasyon türü olan Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) ile yer radarı izinin bir boyutlu dalga formu ters çözümü hesaplanmıştır. Yer radarı izine PSO yöntemi ile ters çözüm uygulanarak yer altına ait dielektrik sabiti, manyetik geçirgenlik, iletkenlik ve derinlik değerleri belirlenmiştir. Yöntem teorik veri, gürültü eklenmiş teorik veri ve gerçek veri üzerinde uygulanmıştır. Model parametrelerinin değişimi nesil sayısına bağlı olarak gösterilerek PSO çözümü ile ilgili istatistikler izlenmiştir.
1. YER RADARI YÖNTEMİ VE EM DALGA YAYINIMI
1.1. Yer Radarı Yöntemin Tanımı
Yer radarı yöntemi bir verici anten yardımıyla yer içine gönderilen yüksek frekanslı elektromanyetik dalgaların yer altındaki farklı elektriksel özelliklere sahip yapılardan yansıyarak alıcı anten tarafından kaydedilmesi ilkesine dayanır (Şekil 1.1). Yer altında her iki tarafı farklı dielektrik özellikte yapılardan oluşan bir ara yüzey varsa, elektromanyetik dalga bu ara yüzeyde yansıma ve/veya iletime uğrayacaktır. Yüksek çözünürlüklü bir yöntem olan yer radarı yöntemi yer altının sığ kesimlerinin araştırılmasında en çok tercih edilen yöntemdir. Şekil 1.1’de yer radarı ile incelenebilecek problemler, ölçü alımının basitçe gösterimi ve yer radarı kaydının muhtemel şekli gösterilmektedir.
Şekil 1.1. Yer radarının çalışma prensipleri (Knödel ve diğ., 1997)
Yer radarı yönteminde elektromanyetik dalganın frekansına bağlı olarak yer altındaki cisimlerin derinlikleri ve geometrisi santimetre mertebesine kadar hassas ve hasarsız
bir şekilde tespit edilebilir. Bu üstün özelliğinden dolayı yer radarı yöntemi son yıllarda sığ çalışmalarda en çok tercih edilen yöntemlerden birisi olmuştur. Yer radarı yönteminin oldukça geniş bir kullanım alanı vardır (Tablo 1.1).
Tablo 1.1. Yer radarı yönteminin kullanım alanları (Özkap, 2008) Araştırma alanı Hedef yapılar
Zemin Araştırmaları Yol, hava alanı, su kanalı çalışmaları, yeraltı boşluk araması
Yapı Araştırmaları Duvar incelemeleri, kolon-kiriş içi demir ve çatlak incelemesi, beton su içeriğinin araştırılması Arkeolojik Araştırmalar Antik şehir, tapınak, mezar, duvar ve temel aramaları Altyapı Çalışmaları Kanalizasyon, su boruları, sığınak, elektrik ve telefon hatlarının tespiti Çevresel Araştırmalar Endüstriyel atık, sızıntı ve kaçak alanlarının tespiti Adli ve Adli Tıp
Araştırmaları
Cezaevi firar tünellerinin belirlenmesi, kasa, silah ve benzeri objelerin tespiti, ceset ve toplu mezarların bulunması
Maden Araştırmaları Yüzeye yakın madenlerin aranması ve rezerv tespiti 1.2. Teori
Yer radarı yönteminin temeli elektromanyetik teoriye dayanır. Bu bölümde elektromanyetik teorinin temeli olan Maxwell denklemleri ile ilgili bilgiler verilecektir. Maxwell denklemleri, elektromanyetiğin fiziksel temeli ile malzemelerin özelliklerini birleştirerek yer radarı sinyalinin karakterini tanımlar. Klasik Maxwell Denklemleri Denklem (1.1), (1.2), (1.3), (1.4)’te verilen dört temel denklem olarak bilinir.
Amper yasasına göre bir ortamdan akım geçerse manyetik alan oluşur;
łxH=J+ ∂
∂tD (1.1)
Faraday yasasına göre manyetik alanın zamanla değişimi elektrik alan oluşturur;
łxE=- ∂
∂tB (1.2)
Gauss yasası kapalı bir yüzeydeki elektrik alan akısının, bu yüzey tarafından çevrelenmiş olan hacimde bulunan net yük ile orantılı olduğunu ifade eder;
Manyetik alan için Gauss yasasına göre kapalı bir yüzeyden geçen net manyetik akı sıfırdır;
ł.B=0 (1.4)
Bunlara ek olarak ortam ve alanlarla ilgili Denklem (1.5), (1.6), (1.7) verilmektedir;
D=εE (1.5)
B=µH (1.6)
J=σE (1.7)
Burada łx ya da curl vektörel çarpımı, ł. diverjansı göstermektedir. Elektromanyetik yöntemlerde malzemenin fiziksel özellikleri ile ilgili parametreler olan ε, σ ve µ elektromanyetik dalganın ara sınırlarda ve malzemelerin içindeki davranışını anlamak açısından oldukça önemlidir (Balanis, 1989).
1.2.1. Ortamın iletkenliği
Doğada bulunan malzemeler elektrik akımına (elektronların hareketlerine) karşı koyarlar. Her malzemenin bu karşı koyma direncine özdirenç denir. Kayaçlar ve maddeler için özdirenç değerleri farklılık gösterirler. İletkenlik ise bir voltaj uygulandığı zaman bir materyalin elektriği geçirme yeteneğine denir. İletkenlik özdirencin tersi ile gösterilir (Öztürk, 1995). Aynı kayaçlar farklı fiziksel koşullarda, farklı iletkenlikler gösterebilirler. Bunun nedeni ortamın iletkenlik değerinin; su içeriğine, boşluk oranına, mineral içeriğine, sıcaklığına bağlı olmasından kaynaklanmaktadır.
1.2.2. Dielektrik sabiti (Ortamın elektriksel geçirgenliği)
Dielektrik sabiti malzemenin EM dalganın enerjisini elektriksel yük şeklinde depolayabilme ve serbest bırakabilme özelliğidir (Cassidy, 2009). Dielektrik sabiti ε ortamın elektrik özelliğine bağlı bir katsayı olup;
ile verilir. Burada ε malzemenin elektriksel geçirgenliği, ε0 boşluğun elektriksel
geçirgenliği ve χe ortamın elektrik duyarlılığıdır. Boşluk için ε0 = 8,85x10-12 F/m, χe
ise sıfırdır. Denklem (1.9)’da malzemenin elektriksel geçirgenliği boşluğun elektriksel geçirgenliğine oranlandığında göreceli dielektrik sabiti değeri;
εr= ε
ε0 (1.9)
ile verilir.
1.2.3. Ortamın manyetik geçirgenliği
Demir ve nikel içeren malzemeler dışında manyetik geçirgenlik değeri µ çok fazla değişim göstermemektedir. Ortamın manyetik geçirgenlik değeri ortamın dielektrik sabitine benzer olarak Denklem (1.10) ile açıklanabilir. Durağan manyetik geçirgenlik;
µ=µ0 1+χm (1.10)
ile verilir. Burada µ malzemenin manyetik geçirgenliği, µ0 boşluğun manyetik geçirgenliği, χm ortamın manyetik duyarlılığıdır. Boşluk için µ0 = 4πx10−7 H/m’dir.
Denklem (1.11)’de malzemenin manyetik geçirgenliği boşluğun manyetik geçirgenliğine oranlandığında göreceli manyetik geçirgenlik değeri;
µr= µ
µ0 (1.11)
olmaktadır. Bazı malzemeler için göreceli dielektrik sabiti, iletkenlik ve manyetik geçirgenlik değerleri Tablo 1.2’ de verilmektedir.
Tablo 1.2. Bazı malzemeler için göreceli dielektrik sabiti, iletkenlik ve manyetik geçirgenlik değerleri (Annan, 2009; Balanis, 1989; Daniels, 2004; Schön, 2015); Weast, 1978). Kalın olarak yazılmış değerler ilgili malzemeler için değer aralıklarını belirtmektedir Malzeme Göreceli Dielektrik Sabiti (εr) İletkenlik (σ) (mS/m) Göreceli manyetik geçirgenlik (µr) Hava 1 0 1.0000004 Su 81 (78-81) 10-2 (10-3-10) 0.998 Kuru kum 3.2 (2-6) 10-4 (10-4-1) 1 Islak kum 15 (10-30) 0.1 (0.1-10) 1 Beton 4.5 (1-10) 0.1 (0.1-10) 1 Buz 3.2 (3-4) 10-5 (10-6-1) 1 Plastik 3.7 (2-5) 10-5 (10-3-10-6) 1 Çelik* 15 107 5000
* Burada çelik değeri daha önce yapılan çalışmalarda PEC (Çok Kuvvetli İletken) olarak tanımlanmış olup göreceli dielektrik sabitinin yansıma genliğine etkisi manyetik geçirgenlik ve iletkenlik değerine göre katkısı çok azdır.
Tablo 1.2’deki değerler ilgili malzemenin su içeriğine ve sıcaklığına göre değişiklik göstermektedir. Burada kullanılan değerler bu çalışmanın 4. bölümünde yapılan modelleme çalışmalarında giriş parametreleri olarak kullanılmıştır.
1.2.4. Elektromanyetik (EM) dalga hızı
Elektromanyetik dalgalar, ortamın fiziksel özelliklerine bağlı olarak yayılmaktadırlar. Andre Marie Ampere, Michael Faraday ve Karl Friedrich Gauss‘un yapmış olduğu çalışmalar ışığın elektromanyetik dalga olduğunu ve boşlukta (c) hızıyla yayıldığını ortaya koymaktadır (Sears ve diğ., 1982). EM dalga hızı Denklem (1.12)’de;
c= 1
ε0µ0 (1.12)
olarak verilmiştir. Burada ε0 boşluğun dielektrik sabiti, µ0 boşluğun manyetik geçirgenliği olup, c ≅ 3x108 m/s olarak hesaplanır. Elektromanyetik dalga madde içinde yayılırsa Denklem (1.13)’te hız;
v= 1
olarak verilir. Önceki bölümlerde bahsedildiği üzere ε maddenin dielektrik sabitini, µ manyetik geçirgenliği göstermektedir. Maddenin göreceli dielektrik sabiti εr ve maddenin göreceli manyetik geçirgenliği µr olarak tanımlandığında, (1.9) ve (1.11) Denklemleri yardımı ile hız Denklem (1.14)’te tekrar yazıldığında malzemenin içinde seyahat eden elektromanyetik dalga hızı;
v= 1
εrµr (1.14)
olarak ifade edilebilir. Denklem (1.14)’te belirtildiği üzere elektromanyetik dalga hızı (v), göreceli dielektrik sabiti ve göreceli manyetik geçirgenliğin bir fonksiyonudur.
1.3. Elektromanyetik Dalgaların Ara Yüzeylerde Yansıması, Kırılması Ve İletimi
Elektromanyetik dalgaların herhangi bir ara yüzdeki davranışı “Snell Kanunu” ile açıklanır. Snell kanununa göre eğer bir dalga iki ortamı ayıran bir sınırdan geçerse yansıyan ve kırılan dalgalar ortaya çıkar. Bu kanun yansıyan ve kırılan ışınların genliği konusunda bilgi vermez fakat yansıyan ve kırılan ışınların normalle olan doğrultularını gösterir. Bu kanun Denklem (1.15)’te;
sin ϕ1 sin ϕ2=
V1
V2 (1.15)
olarak verilir.
Fresnel yansıma ve iletim katsayıları ile elektromanyetik dalganın genliğinin herhangi bir ara yüzeyde nasıl değiştiği açıklanabilir (Şekil 1.2). Bir elektromanyetik dalga sınıra çarptığında kısmen iletilir, kısmen ise yansır. Burada sınıra gelen dalganın genliği I, yansıyan dalga RI, iletilen dalga TI, yansıma ve kırılma katsayıları ise R ve T olarak ifade edilir. Bu noktada elektromanyetik dalganın doğası hakkında daha ayrıntılı düşünüldüğünde yayılma doğrultusunda birbirinden bağımsız iki ayrı bileşen vardır (Annan, 2009).
Şekil 1.2. Arayüzeye gelen dalga ’nın sınıra çarptıktan sonra enerjinin yansıyan ve iletilen dalgalara aktarılması (Annan, 2009)
İki boyutlu ortamda düzlemsel bir ara yüzey olduğunda elektromanyetik dalga alanı iki moda ayrılmaktadır. Bu dalga modları TE (Enine elektrik alan) ve TM (Enine manyetik alan) olarak adlandırılır (Şekil 1.3). TE modunun elektrik alan bileşeni ara yüzeye paralel iken ve TM modunun manyetik alan bileşeni ara yüzeye paraleldir.
Şekil 1.3. TE ve TM bileşenlerinin arayüzeyde yansıması ve iletimi (E:Elektrik alan vektörü, H:Manyetik alan vektörü) (Balanis, 1989’dan düzenlenmiştir)
Elektromanyetik dalga alanının TE ve TM olarak iki moda ayrılarak incelenmesi tamamen anten geometrisinden kaynaklanmaktadır. Eğer alıcı ve verici antenlerin yönü profil doğrultusu ile aynı ise TM modu, profil yönüne dik ise TE modu söz konusudur (Şekil 1.4). I RI TI x z I x z x z
Ortam 1 Ortam 2 Ortam 1 Ortam 2
Hr Ht Hi TE MODU TM MODU Er Et Ei TM MODU Sayfa İçine Sayfa Dışına Er E t Ei Ht Hr Hi
Şekil 1.4. Anten durumlarına göre TE ve TM modları (van der Kruk ve diğ., 2006)
Alan TE ve TM bileşenlerine ayrıldığında yansıma ve kırılma katsayıları ve aralarındaki ilişki TE modu için Denklem (1.16), (1.17), (1.18)’de;
T=Er Ei= Z2cos ϑi-Z1cos ϑt Z2cos ϑi+Z1cos ϑt (1.16) R=Et Ei= 2Z2cos ϑi Z2cos ϑi+Z1cos ϑt (1.17) 1+T=R (1.18)
TM Modu için ise, Denklem (1.19), (1.20), (1.21)’de;
T=Er Ei= Z2cos ϑt-Z1cos ϑi Z2cos ϑt+Z1cos ϑi (1.19) R=Et Ei= 2Z2cos ϑi Z2cos ϑi+Z1cos ϑi (1.20) 1+T=Rcos ϑt cos ϑi (1.21)
olarak verilir (Balanis, 1989). Burada Zi‘nci tabaka için elektromanyetik empedansları belirtmektedir. Bu duruma göre yansıma katsayılarının değeri negatif veya pozitif olabilir. Burada enerjinin korunumu korunur. Bu durum “Poynting Teoremi” ile açıklanabilir (Sadiku, 1995).
1.4. Yatay ve Düşey Ayrımlılık
Düşey ayrımlılık değeri genel olarak dalga boyunun dörtte biri olarak kabul edilir. Dalga boyu antenin merkez frekansından ve ortamın hızından yararlanılarak bulunur. Düşük frekanslı antenlerin yaydıkları sinyal geniş dalga boyludur. Verici antenin merkez frekansı azaldıkça düşey ayrımlılık azalmaktadır. Fakat nüfuz derinliği artmaktadır (Şekil 1.5). Düşük frekanslı anten ile yapılan çalışmalarda ince tabakalar radargramlarda görünmeyebilir.
Düşük frekanslı anten ile elde edilen radargram ile daha derinden bilgi alınmasına rağmen ayrımlılık düştüğünden yuvarlatma etkisi açıkça görülebilmektedir. İkinci radargramda ise çözünürlük ilk radargrama göre artmaktadır. Fakat derinden gelen yansımaların enerjilerini kaybettiği görülür. Kullanılan yüksek frekanslı anten ile üçüncü radargramda yüzeye yakın saçılmalar daha belirgin bir şekilde görülebilmektedir.
Şekil 1.5. Frekans ile düşey ayrımlılık arasındaki ilişki a) 50MHz, b) 100MHz, c) 200MHz (Neal, 2004)
Yatay ayrımlılık değeri ise izler arasındaki mesafe ve Fresnel zonu büyüklüğü ile kontrol edilir (Şekil 1.6). Geniş Fresnel zonu düşük yatay ayrımlılık demektir. Buna göre bir olayın en az iki noktada örneklenmesi gerektiği dikkate alındığında, profil üzerinde ölçüm alınırken seçilen ölçüm aralığı dalga boyunun yarısından daha küçük olmalıdır. İdeal olarak ölçüm aralığı dalga boyunun dörtte biri kadar olmalıdır.
Şekil 1.6. Fresnel zonu ve yatay ayrımlılık (Mala Geoscience, 2003)
1.5. Anten Dizilimleri
Yer radarı yönteminde farklı uygulamalar için çeşitli anten dizilimleri kullanılmaktadır. Birbirlerine belirli bir mesafede tutulan alıcı ve verici antenler araştırma doğrultusu üzerinde ilerletilir. Çoğu zaman yer radarı çalışmalarında sabit anten aralığı kullanılır ve bu dizilim sabit açılım (Şekil 1.7a) olarak adlandırılır. Bu şekilde ölçü alımında alıcı ve verici antenler belirli bir hızda ilerletilerek yer altındaki objelerin oluşturduğu yansımalar haritalanabilir. Bunun dışında sıklıkla kullanılan bir diğer anten dizilimi ise ortak derinlik noktası (Şekil 1.7b) dizilimidir. Ortak derinlik noktası ölçümü genellikle hız ölçümleri için tercih edilir. Ortak derinlik noktası dizilimi ile hız tespitini olabildiğince doğru yapabilmek için ölçüm arazinin birkaç farklı yerinde yapılmalıdır. Elde edilen hız değerleri ile araştırılan yapı veya objenin derinliği tespit edilebilmektedir. Kazı ve sondaj çalışmaları bu tespitlere göre yapılmaktadır.
Verici antenin sabit tutulup alıcı antenin ilerletildiği sabit kaynak (Şekil 1.7c), alıcı antenin sabit tutulup kaynağın ilerletildiği sabit alıcı (Şekil 1.7d) dizilimleri ender kullanılan anten dizilimleridir.
Bir diğer dizilim ise karşılıklı kuyu atışı ya da yapıların taşıyıcı kolonlarında kullanılan anten dizilimi transilüminasyon modu olarak tanımlanmıştır (Şekil 1.7e) (Annan, 2005). Tomografi modu olarak da adlandırılmaktadır. Bu diziliminde alıcı ya da verici anten sabit noktada tutulup diğeri sabit istasyon aralıkları ile ilerler. Daha sonra ise sabit olan anten bir istasyon ilerletilip diğer anten için eşit aralıklarla ilerletme işlemi tekrar edilerek ölçüler toplanır. Bu şekilde ölçü alınan yüzeyler arasındaki ortamın dielektrik sabiti ve iletkenlik değerlerinin iki boyutlu görüntüleri elde edilebilir. Bu çalışmada hesaplanan teorik radargramlar sabit açılım uygulandığı varsayılarak hesaplanmıştır.
Şekil 1.7. Yer radarı ölçümlerinde kullanılan çeşitli anten dizilimleri. a) Sabit açılım, b) Ortak derinlik noktası, c) Sabit kaynak, d) Sabit alıcı e) Transilüminasyon modu
A A A V V V
Sabit Açılım
Ortak Derinlik Noktası
A A A V V V A A A V Sabit Kaynak A V V V Sabit Alıcı a) b) c) d) A : Alıcı Anten V : Verici Anten Yeryüzü Yansıtıcı Yüzey Yeryüzü Yansıtıcı Yüzey Yeryüzü Yansıtıcı Yüzey Yeryüzü Yansıtıcı Yüzey e) A A A V V V Yüzey Yüzey
2. ZAMAN ORTAMI SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE 2B DÜZ ÇÖZÜM Bu bölümde elektromanyetik yöntemlerde kullanılan dalga denklemleri elde edilecektir. Bu denklemleri oluşturabilmek için daha önce bahsedilmiş olan Maxwell denklemlerinden faydalanılır.
2.1. Elektrik Alan Dalga Denklemi
Elektrik alan denklemini elde etmek için Denklem (1.2)’nin her iki tarafının rotasyonali alınırsa Denklem (2.1);
łxłxE=- ∂
∂tłxB (2.1)
olarak yazılır ve B=µH eşitliğine göre yeniden düzenlenirse Denklem (2.2);
łxłxE=-µ∂
∂tłxH (2.2)
elde edilir. Denklem (2.1)’in her iki tarafı -µ ile çarpılıp yeniden düzenlenirse Denklem (2.3);
-µłxH=-µ J+∂D∂t (2.3)
olarak yazılır. Denklem (1.5) ve Denklem (1.7)’ye göre Denklem (2.3) yeniden düzenlenirse;
-µłxH=-µ σE+∂E
∂t (2.4)
olarak yazılır. Denklem (2.4)’ün her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa;
-µ∂ ∂tłxH=-µ σ ∂E ∂t +ε ∂2E ∂t2 (2.5)
elde edilir. Bu işlemlerden sonra Denklem (2.2)’nin sağ tarafı ile Denklem (2.5)’in sol tarafının aynı olduğu görülür. Bu nedenle Denklem (2.6);
łxłxE=-µ σ∂E ∂t +ε
∂2E
∂t2 (2.6)
olarak yazılabilir. Herhangi bir vektör için Denklem (2.7)’deki özellik geçerlidir;
łxłxA=ł ł.A -ł2A (2.7)
burada A herhangi bir vektörü ifade etmektedir. Denklem (2.6)’da A yerine E bulunmaktadır. Bu özelliğe göre Denklem (2.6), Denklem (2.7)’ye göre yazılırsa, Denklem (2.8);
ł ł.E -ł2E=-µ σ∂E ∂t +ε
∂2E
∂t2 (2.8)
elde edilir. D=εE Denkleminden yola çıkarak εł.E=ρ şeklinde yazılabilir. Burada ρ yük yoğunluğunu ifade etmektedir. Yük yoğunluğu sıfırdan farklı iletkenliğe sahip ortamlarda çok kısa süre içinde dağılacağından εłE=0 şeklinde yazılabilir. Son durumu da göz önüne alındığında Denklem (2.9);
-ł2E=-µ σ∂E ∂t +ε
∂2E
∂t2 (2.9)
olarak yazılır ve düzenlenirse Denklem (2.10);
ł2E=µ σ∂E ∂t +ε
∂2E
∂t2 (2.10)
şeklini alır (Balanis 1989, Sadiku 1995). 2.2. Manyetik Alan Dalga Denklemi
Manyetik alan dalga denkleminde elektrik alan denklemine benzer şekilde elde edilir. Manyetik alan dalga denklemini elde etmek için (1.1) Denklemi, Denklem (1.5) ve Denklem (1.7)’ye göre yeniden yazılırsa Denklem (2.11);
łxH=σE+ε∂E
∂t (2.11)
olarak elde edilir. Denklem (2.11)’in her iki tarafının rotasyoneli alınırsa Denklem (2.12);
łxłxH=σłxE+ε∂
∂tłxE (2.12)
olarak yazılır. Denklem (1.2)’ye göre Denklem (2.12) yeniden düzenlenirse, Denklem (2.13);
łxłxH=-σ∂B ∂t -ε
∂2B
∂t2 (2.13)
elde edilir. Denklem (1.6)’ya göre Denklem (2.13) yeniden düzenlenirse, Denklem (2.14);
łxłxH=-µ σ∂H ∂t -ε
∂2H
∂t2 (2.14)
olarak yazılır. Denklem (2.7)’ deki vektör özelliğine göre zaman ortamında manyetik alan dalga denklemi olan Denklem (2.15);
ł2H=µ σ∂H ∂t +ε
∂2H
∂t2 (2.15)
elde edilir (Balanis 1989, Sadiku 1995).
Elde edilen manyetik ve elektrik alan dalga denklemleri için yüksek frekanslarda, elektrik alan dalga denklemi olan Denklem (2.16);
ł2E=µε∂
2E
∂t2 (2.16)
ł2H=µε∂
2H
∂t2 (2.17)
olarak yazılır. Bu denklemler yüksek frekanslarda, yaklaşık olarak 100 kHz’ ten büyük değerler için kullanılan denklemlerdir. Yer radarı yönteminde kullanılan denklemler de bu denklemlerdir.
2.3. TE Ve TM Modları İçin Elektrik Ve Manyetik Alan Denklemleri
TE (Enine Elektrik Alan) ve TM (Enine Manyetik Alan) modları ile ilgili bilgiler önceki bölümlerde verilmişti. Elektromanyetik dalga yayılım doğrultusuna göre TE ve TM modlarına ayrılarak incelenmelidir. Düzlemsel tabaka sınırlarında birbirinden bağımsız iki farklı elektromanyetik alan vardır. Elektrik alan vektörü tabaka düzleminde olduğu zaman TE modu, manyetik alan vektörü tabaka düzleminde olduğu zaman ise TM modu söz konusudur (Annan, 2009). TE modunda birbirine dik iki manyetik alan bileşeni ve bu manyetik alan bileşenlerine dik bir elektrik alan bileşeni, TM modunda ise birbirine dik iki elektrik alan bileşeni ve bu elektrik alan bileşenlerine dik bir manyetik alan bileşeni söz konusudur.
(a) (b)
Şekil 2.1. a) TE modu ve b) TM modu için EM alan bileşenleri 2.3.1. TE modu için alan denklemleri
TE modunda x ve z yönünde zamanla değişen manyetik alan ve manyetik alana bağımlı olarak oluşan elektrik alan vardır (Şekil 2.1). x ve z yönündeki elektrik alan
ve y yönündeki manyetik alan bileşenleri sıfır kabul edilir. Bu durum, Denklem (2.18)’de;
Hz≠Hx≠Ey≠0 (2.18)
ve Denklem (2.19)’da;
Hy=Ex=Ez=0 (2.19)
olarak ifade edilir (Irving ve Knight, 2006). Bu durumda TE modu için elektrik ve manyetik alan denklemleri olan Denklem (2.20), (2.21) ve (2.22);
∂Ey ∂x =µ ∂Hz ∂t (2.20) ∂Ey ∂z =-µ ∂Hx ∂t (2.21) σEy+ε∂Ey ∂t = ∂Hz ∂x -∂Hx ∂z (2.22) olarak yazılır.
2.3.2. TM modu için alan denklemleri
TM modunda x ve z yönünde zamanla değişen elektrik alan ve elektrik alana bağlı olarak değişen bir manyetik alan vardır (Şekil 2.1). x ve z yönündeki manyetik alan ve y yönündeki elektrik alan bileşenleri sıfır kabul edilir. Bu durum, Denklem (2.23)’te;
Hy≠Ex≠Ez≠0 (2.23)
ve Denklem (2.24)’te;
Hx=Hz=Ey=0 (2.24)
olarak ifade edilir (Irving and Knight, 2006). Bu durumda TM modu için manyetik ve elektrik alan denklemleri olan Denklem (2.25), (2.26) ve (2.27);
∂Hy ∂x =-ε ∂Ez ∂t -σEz (2.25) ∂Hy ∂z =ε ∂Ex ∂t + σEx (2.26) µ∂Hy ∂t = ∂Ex ∂z - ∂Ez ∂x (2.27) olarak yazılır.
2.4. Sonlu Farklar Yöntemi
Matematiksel bir ifade olan “sonlu fark” türev işlemini ifade etmektedir. Sonlu farklar yöntemi sayısal türev alma işlemidir. Sonlu fark denklemlerini elde etmek için Taylor serisinden faydalanılır. Taylor serisi Denklem (2.8)’de;
f a =f x +f' x a-x +f'' x a-x 2 1
2!+f
''' x a-x 3 1
3!+0 δ
4 (2.28)
olarak tanımlanır. Denklemden de görüldüğü üzere türevin derecesi arttıkça değer düşmekte ve ihmal edilmektedir. (2.28) bağıntısında x yerine xi ve a yerine xi+1 yazılırsa Denklem (2.29);
f xi+1 =f xi +f' xi xi+1-xi +f'' xi xi+1-xi 2 1
2!+f ''' x i xi+1-xi 3 1 3!+0 δ 4 (2.29)
elde edilir. Denklem (2.29) birinci türeve göre düzenlenip yeniden yazılırsa, Denklem (2.30); f' xi = f xi+1 -f xi xi+1-xi -1 2 xi+1-xi f '' x i -1 6 xi+1-xi 2f ''' x i -0 δ3 (2.30)
ileri fark denklemi yazılmış olur. Burada üçüncü türevden sonraki değerler ihmal edildiğinden dolayı bu denklem üçüncü dereceden ileri fark denklemi olarak tanımlanır. 0 δ3 hatanın derecesini ifade etmektedir. δ değeri fark aralığını yani xi+1-xi’ i tanımlamaktadır. Benzer şekilde (2.28) Denkleminde x yerine xi ve a yerine
f' xi = f xi -f xi-1 xi-xi-1 -1 2 xi-xi-1 f '' x i -1 6 xi-xi-1 2f ''' x i -0 δ3 (2.31)
geri fark denklemi yazılmış olur. İkinci dereceden ileri fark denklemi, Denklem (2.32);
f' xi =
f xi+1 -f xi xi+1-xi -0 δ
2 (2.32)
ve ikinci dereceden geri fark denklemi, Denklem (2.33);
f' xi =f xi -f xi-1 xi-xi-1 -0 δ
2 (2.33)
olarak verilir.
Burada Denklem (2.33) (-) ile çapılıp ileri ve geri fark denklemleri alt alta toplanarak merkezi fark denklemi elde edilir. Buna göre ikinci dereceden merkezi fark denklemi, Denklem (2.34);
f' xi =f xi+1 -f xi-1
xi+1-xi-1 (2.34)
olarak hesaplanır (Forsythe, 1960).
2.5. Maxwell Denklemlerinin Sonlu Farklar Yöntemine Göre Yazılması
Bu çalışmada elektrik ve manyetik alanların türevleri hem zaman hem de konum aralıkları için hesaplanmıştır. Zaman türevleri ikinci dereceden, konum türevleri ise dördüncü dereceden hata ile hesaplanmıştır. Buna göre zaman türevi için ikinci dereceden merkezi fark denklemi, Denklem (2.35);
f' ti =
f ti+1 -f ti-1
∆t (2.35)
ve dördüncü dereceden merkezi fark denklemi, Denklem (2.36);
f' xi =
-f xi+2 +27f xi+1 -27f xi-1 +f xi-2
olarak yazılır.
Maxwell denklemleri ilk olarak Yee (1966) tarafından sonlu farklar yöntemine atanmıştır. Bu bölümde ilk olarak konunun açıklanması amacıyla bir boyutta ve daha sonra da bu çalışmanın yapıldığı iki boyutta Maxwell denklemleri sonlu farklar yöntemine göre hesaplanacaktır.
2.5.1. Bir boyutta Maxwell denklemleri
Bir boyutta elektromanyetik dalga yayılımı söz konusu ise bir yönde elektrik alan vektörü ve bu alana dik yönde manyetik alan vektörü vardır. Dalganın ilerleme doğrultusu ise her iki alanın yönüne dik yöndedir. x yönünde elektrik alan, y yönünde manyetik alan söz konusu ise Ex bileşeni ve Hy bileşeni vardır. Ey ve Hx
bileşenleri ise o yönlerde değişim olmadığından dolayı sıfır kabul edilir. Buna göre Maxwell denklemleri sonlu farklarda Denklem (2.37)’de;
∂Hy ∂z =-ε
∂Ex
∂t -σEx (2.37)
olarak tanımlanır. (2.37) Denklemine zaman ve konum değerleri eklenerek ifade edildiğinde, Denklem (2.38); ∂Hyn+1 2 k ∂z =-ε k ∂Exn+1 2 k ∂t -σ k Ex n+1 2 k (2.38)
elde edilir. Burada n zaman, k ise konumdur. Bu denklemdeki elektrik alan ve manyetik alan bileşenlerine ikinci dereceden merkezi fark yaklaşımı uygulanırsa Denklem (2.39), (2,40) ve (2.41); ∂Hyn+1 2 k ∂z = 1 ∆z Hy n+1 2 k+ 1 2 -H y n+1 2 k- 1 2 (2.39) ∂Exn+1 2 k ∂t = 1 ∆t Ex n+1 k -E x n k (2.40) ∂Exn+1 2 k = Exn+1 k +Exn k 2 (2.41)
elde edilir. Bu denklemler (2.38) Denkleminde yerlerine yazıldığında, Denklem (2.42); Exn+1 k = 2ε k -σ k ∆t 2ε k +σ k ∆tEx n k - 2∆t 2ε k -σ k ∆t ∆z Hy n+1 2 k+ 1 2 -H y n+1 2 k- 1 2 (2.42)
elde edilir ve hesaplanması gereken elektrik alan bileşeni elde edilmiş olur (Kurt, 2009; Kaplanvural, 2012).
(2.42) eşitliğinden de görüldüğü üzere elektrik alanın n+1’ inci zamandaki değerini ( Exn+1 k ) hesaplayabilmek için kendinden bir önceki zamandaki elektrik alan değerine ve (k+ 1 2) ve (k- 1 2) konumlarındaki manyetik alan değerlerine ihtiyaç vardır. Denkleme kaynak dalgacığı eklendiğinde, Denklem (2.43);
Exn+1 k = 2ε k -σ k ∆t 2ε k +σ k ∆tEx n k - 2∆t 2ε k -σ k ∆t ∆z Hyn+1 2 k+ 1 2 -Hyn+1 2 k- 1 2 + 2∆t 2ε k -σ k ∆t ∆zM (2.43)
elde edilir Burada M kaynak dalgacığını ifade etmektedir.
Benzer şekilde bir sonraki zamandaki manyetik alan değerini elde etmek için, Denklem (2.44),
∂Ex ∂z =-µ
∂Hy
∂t (2.44)
Maxwell denklemi zaman ve konum değerleri eklenerek düzenlenirse, Denklem (2.45);
∂Exn k+ 1 2
∂z =-µ k+ 1 2
Hyn k+ 1 2
∂t (2.45)
elde edilir. Bu denklemdeki elektrik alan ve manyetik alan bileşenlerine ikinci dereceden merkezi fark yaklaşımı uygulanırsa Denklem (2.46) ve (2.47);
∂Exn k+ 1 2 ∂z = 1 ∆z Ex n k+1 -E x n k (2.46) Hyn k+ 1 2 ∂t = 1 ∆t Hy n+1 2 k+ 1 2 -H y n-1 2 k+ 1 2 (2.47)
elde edilir. Bu denklemler (2.44) Denkleminde yerine yazıldığında, Denklem (2.48);
Hyn+1 2 k+ 1 2 =Hyn-1 2 k+ 1 2 -∆t µ k ∆z Ex n k+1 -E x n k (2.48)
ile hesaplanması gereken manyetik alan bileşeni elde edilir (Kurt, 2009; Kaplanvural, 2012).
Denklem (2.48)’de görüldüğü gibi manyetik alanın n+1/2’nci zamandaki değerini (Hyn+1 2 k+ 1 2 ) hesaplayabilmek için kendinden bir önceki zamandaki manyetik
alan değerine, k+1ve k konumundaki elektrik alan değerine ihtiyaç vardır. Denklem (2.48)’e kaynak dalgacığı eklendiğinde;
Hyn+1 2 k+ 1 2 =Hyn-1 2 k+ 1 2 - ∆t µ k ∆z Ex n k+1 -E x n k + 2∆t 2µ k -σ k ∆tM (2.49) elde edilir.
2.5.2. İki boyutta Maxwell denklemleri
Yer radarı yönteminde iki boyutlu ortam düşünüldüğünde antenlerin konumlarına göre TE ve TM modlarının varlığından bahsedilmişti. Bu bölümde TE ve TM modları için Maxwell denklemleri sonlu farklar ile ifade edilecektir.
2.5.2.1. TE modu
TE modunda elektrik ve manyetik alanın Ey, Hx ve Hz bileşenlerinin değişmekte olan bileşenler olduğu önceki bölümlerde açıklanmıştı. TE modu için aşağıdaki grafikte gösterilen sonlu farklar ağına göre bu bileşenler hesaplanır (Şekil 2.2).
Şekil 2.2. TE modundaki elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin model ağı
Elektrik alanın x yönündeki değişimi için Maxwell denklemi sonlu farklarda, Denklem (2.50);
∂Eyn i+ 1 2 ,j
∂x =µ i+ 1 2 ,j
∂Hzn i+ 1 2 ,j
∂t (2.50)
olarak ifade edilir. Burada i ve j konumu, n zamanı ifade etmektedir. Bu denklemdeki elektrik alan ve manyetik alan bileşenlerine ikinci dereceden merkezi fark yaklaşımı uygulanırsa Denklem (2.51) ve (2.52);
∂Eyn i+ 1 2 ,j ∂x = 1 ∆x Ey n i+ 1 2 ,j -E y n i,j (2.51) ∂Hzn i+ 1 2 ,j ∂t = 1 ∆t Hz n+1 2 i+ 1 2 ,j -H z n-1 2 i+ 1 2 ,j (2.52)
elde edilir. Bu denklemler Denklem (2.50)’de yerlerine yazılırsa; Eyn i+ 1 2 ,j -Eyn i,j ∆x = µ i+ 1 2 ,j ∆t Hz n+1 2 i+ 1 2 ,j -H z n-1 2 i+ 1 2 ,j (2.53)
elde edilir. Buradan n+1/2’nci zamandaki z yönündeki manyetik alan bileşeni Denklem (2.54) ; Ey Hx Hz 1 2 3 1 2 3
(j)
(i)
0Hzn+1 2 i+ 1 2 , j =Hzn-1 2 i+ 1 2 , j + ∆t µ i+ 1 2 ,j ∆x Ey n i+ 1 2 , j -E y n i, j (2.54)
olarak yazılır (Kurt, 2009; Kaplanvural, 2012). Elektrik alanın z yönündeki değişimi için Maxwell denklemi sonlu farklarda, Denklem (2.55);
∂Eyn i+ 1 2 ,j
∂z =-µ i+ 1 2 ,j
∂Hxn i+ 1 2 ,j
∂t (2.55)
olarak ifade edilir. Bu denklemdeki elektrik ve manyetik alan bileşenlerine ikinci dereceden merkezi fark yaklaşımı uygulanırsa Denklem (2.56) ve (2.57);
∂Eyn i, j+ 1 2 ∂z = 1 ∆z Ey n i, j+1 -E y n i, j (2.56) ∂Hxn i, j+ 1 2 ∂t = 1 ∆t Hx n+1 2 i, j+ 1 2 -H z n-1 2 i, j+ 1 2 (2.57)
elde edilir. Bu denklemler (2.55) Denkleminde yerlerine yazılırsa, Denklem (2.58); Eyn i, j+1 -Eyn i, j ∆z = µ i, j+ 1 2 ∆t Hx n+1 2 i, j+ 1 2 -H x n-1 2 i, j+ 1 2 (2.58)
elde edilir. Buradan n+1/2’nci zamanda x yönündeki manyetik alan bileşeni, Denklem (2.59); Hxn+1 2 i, j+ 1 2 =Hxn-1 2 i, j+ 1 2 + ∆t µ i, j+ 1 2 ∆z Ey n i, j+1 -E y n i, j (2.59)
olarak ifade edilir (Kurt, 2009; Kaplanvural, 2012). Manyetik alanın x ve z yönündeki değişimi için Maxwell denklemi sonlu farklarda;
σ i, j Eyn+1 2 i, j +ε i, j Eyn+1 2 i, j ∂t = ∂Hzn+1 2 i, j ∂x -∂Hxn+1 2 i, j ∂z (2.60)
olarak verilir. Bu denklemdeki elektrik ve manyetik alan bileşenlerine ikinci dereceden merkezi fark yaklaşımı uygulanırsa, Denklem (2.61), (2.62), (2.63) ve (2.64);
∂Eyn+1 2 i, j = Eyn+1 i, j − Eyn i, j 2 (2.61) ∂Eyn+1 i, j ∂t = 1 ∆t Ey n+1 i, j -E y n i, j (2.62) ∂Hzn+1 2 i, j ∂x = 1 ∆x Hz n+1 2 i+ 1 2 , j -H z n+1 2 i- 1 2 , j (2.63) ∂Hxn+1 2 i, j ∂z = 1 ∆z Hx n+1 2 i, j+ 1 2 -H x n+1 2 i, j- 1 2 (2.64)
elde edilir. Bu denklemler (2.60) Denkleminde yerlerine yazılırsa, Denklem (2.65); σ i, j 2 Ey n+1 i, j -E y n i, j +ε i, j ∆t Ey n+1 i, j -E y n i, j = Hzn+1 2 i+ 1 2 , j -Hzn+1 2 i- 1 2 , j ∆x -Hxn+1 2 i, j+ 1 2 -Hxn+1 2 i, j- 1 2 ∆z (2.65)
elde edilir. Burada elektrik alan bileşeni yalnız bırakılırsa, Denklem (2.66); Eyn+1 i, j = σ i, j ∆t-2ε i, j σ i, j ∆t+2ε i, j Ey n i, j + 2∆t σ i, j ∆t+2ε i, j Hzn+1 2 i+ 1 2 , j -Hzn+1 2 i- 1 2 , j ∆x -Hxn+1 2 i, j+ 1 2 -Hxn+1 2 i, j- 1 2 ∆z (2.66)
olarak ifade edilir. TE modunda hesaplanan bileşenler Şekil 2.3, Şekil 2.4 ve Şekil 2.5’te ayrıntılı olarak açıklanmıştır.
Şekil 2.3. Hx bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve manyetik alan bileşenleri
Şekil 2.4. Hz bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve manyetik alan bileşenleri
Şekil 2.5. Ey bileşeninin hesaplanması için gerekli olan elektrik ve manyetik alan bileşenleri
2.5.2.2. TM modu
TM modunda elektrik ve manyetik alanın, Ex Ez ve Hy bileşenlerinin değişmekte olan bileşenler olduğu önceki bölümlerde açıklanmıştı. TM modu için aşağıdaki grafikte gösterilen sonlu farklar ağına göre bu bileşenler hesaplanır (Şekil 2.6).
Şekil 2.6. TM modundaki elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin model ağı
1 2 3 1 2 3
(j)
(i)
0 Hy Ez ExElektrik alanın x ve y, manyetik alanın y yönündeki bileşeni için Maxwell denklemleri sonlu farklarda benzer şekilde ifade edilir. Bu durumda, Denklem (2.67), (2.68) ve (2.69); ł.D=ρ (2.67) Ezn+1 2 i+ 1 2 , j = σ i+ 1 2, j ∆t-2ε i+ 1 2, j σ i+ 1 2, j ∆t+2ε i+ 1 2, j Ez n-1 2 i+ 1 2 , j - 2∆t σ i+ 1 2, j ∆t+2ε i+ 1 2, j Hy n i+1, j -H y n i, j (2.68) Hyn+1 i, j =Hyn i, j -∆t µ i, j Ezn+1 2 i+ 1 2 , j -Ezn+1 2 i+ 1 2 , j ∆x + Exn+1 2 i, j+ 1 2 -Exn+1 2 i, j+ 1 2 ∆z (2.69)
olarak ifade edilir. 2.6. Sınır Koşulları
Yer radarı yöntemi için yapılan modelleme çalışmalarında zaman ortamında sonlu farklar yöntemi son yıllarda sıklıkla kullanılmaktadır. Fakat modellenecek yer altı yapısının sınırlarının belirlenmesi gerekmektedir (Şekil 2.7). Yer radarı yöntemi ele alındığında modele uygulanan sınırların dalga yayınımını etkilememesi gerekmektedir. Sınırdan yansıyarak alıcı antene gelen dalgaların kayıtlarda gürültü oluşturması kaçınılmazdır. Yapılan bu modelleme çalışmasında verici antenden çıkıp sınıra ulaşan elektromanyetik dalganın sönümlenmesi istenmektedir. Dolayısıyla elektromanyetik dalga sınırdan yansımayacak ve kayıtta görünmeyecektir. Bu durum da hesaplanan teorik radargramlarda istenilmeyen yansımaların olmamasını sağlayacaktır.
Şekil 2.7. Sınırları tanımlanmış bir model ağı
Bu çalışmada belirlenen modeller için sınırdaki EM dalgaları sönümleyen CPML (Convolutional Perfectly Matched Layer) sınır koşulları kullanılmıştır. Burada frekans ortamındaki elektromanyetik alan bileşenleri için gergin karmaşık koordinatlarda (complex stretched coordinate) bir operatör tanımlanır (Irving ve Knight, 2006). Operatör Denklem (2.70)’de;
ł=x 1 Sx ∂ ∂x+y 1 Sy ∂ ∂y+z 1 Sz ∂ ∂z (2.70)
olarak ifade edilir. Burada x, y, z yönü ifade etmektedir. x, y, z yerine k yazılıp Sx, Sy, Sz değerleri Sk ile ifade edilirse, Denklem (2.71)’de;
Sk=Kk+
σk
αk+iwε0 (2.71)
σk, αk ve Κk elektromanyetik dalganın yayınımı ve sönümü için bazı parametrelerdir. ε0 ise boşluktaki dielektrik katsayısını ifade etmektedir (Kuzuoglu ve Mittra, 1996). Bu parametrelerin model ağı ve sınır bölgesi içindeki durumları Denklem (2.72), (2.73) ve (2.74)’te; Kk= 1 1+ d δ m KkMAX-1
Model ağı içinde
Sınır Bölgesinde (2.72) σk= 0 d δ m σkMAX
Model ağı içinde
σkMAX=
m+1
150π εr∆k (2.74)
olarak ifade edilir. Burada d, sınır içindeki herhangi bir nokta ile model ağının başlangıcı arasındaki mesafe, δ , sınır bölgesinin kalınlığı, m ise sınır bölgesinin kuvveti olarak tanımlanmaktadır. Bu çalışmada m=4, KxMAX= KzMAX= 5 alınmıştır. Bunun nedeni sınırlardaki sönümlenmenin bu değerlerde en iyi olmasıdır.
Sınırlara CPML yaklaşımını uygulamak için 1/Sk değerinin Ters Fourier dönüşümü alındığında Denklem (2.75); Sk-1 t = δ t Kk -σk ε0Kk2exp -t ε0 σk Kk+αk u t (2.75)
Burada, δ(t) dirac delta fonksiyonunu, u(t) birim basamak fonksiyonunu ifade etmektedir (Irving, 2006). Denklem (2.76);
𝜁k 𝑡 = σk ε0Kk2exp -t ε0 σk Kk+αk u t (2.76)
olarak tanımlanırsa, Denklem (2.77);
Sk-1 t =
δ t
Kk -𝜁k 𝑡
(2.77)
olarak ifade edilebilir.
Bu çalışmada hesaplanan modellerde TE modu kullanılmıştır. Buna göre, TE modunun bileşenleri olan Hx, Hz ve Ey’ye ait Maxwell denklemlerinin Fourier dönüşümleri alınırsa, Denklem (2.78), (2.79) ve (2.80);
iwµHx =-∂Ey ∂z (2.78) iwµHz=∂Ey ∂x (2.79) iwεEy+σEy= ∂Hz ∂x -∂Hx ∂z (2.80)
elde edilir. Bu denklemler gergin karmaşık koordinatlarda bir operatör olarak tanımlanan ł’ ya göre düzenlenirse;
iwµHx =-1 Sz ∂Ey ∂z (2.81) iwµHz= 1 Sx ∂Ey ∂x (2.82) iwεEy+σEy= 1 Sx ∂Hz ∂x -1 Sz ∂Hx ∂z (2.83)
denklemleri elde edilir. Bu denklemler zaman ortamına dönüştürüldüğünde Denklem (2.84), (2.85) ve (2.86); µ∂Hx ∂t =-1 Kz ∂Ey ∂z +ζz t * ∂Ey ∂z (2.84) µ∂Hx ∂t =-1 Kz ∂Ey ∂z +ζz t * ∂Ey ∂z (2.85) σEy+µ∂Ey ∂t = 1 Kx ∂Hz ∂x -1 Kz ∂Hx ∂z +ζx t * ∂Hz ∂x -ζz t * ∂Hx ∂z (2.86)
elde edilir (Irving, 2006). İkinci dereceden zaman türevleri ve dördüncü dereceden konum türevleri ile sınır koşulları eklenmiş alan denklemleri sonlu farklar ile yazılırsa, Denklem (2.87), (2.88) ve (2.89);
Hxn+1 2 i,j+ 1 2 =Hxn-1 2 i,j+ 1 2 -Dbz i,j+ 1 2
-Eyn i,j+2 +27Eyn i,j+1 -27Eyn i,j +Eyn i,j-1
-Dc i,j+ 1 2 ψH
xz
n i,j+ 1 2
(2.87)
Hzn+1 2 i+ 1 2 ,j =Hzn-1 2 i+ 1 2 ,j -Dbx i+ 1 2 ,j
-Eyn i+2,j +27Eyn i+1,j -27Eyn i,j +Eyn i-1,j
-Dc i+ 1 2 ,j ψHnzx i+ 1 2 ,j
Eyn+1 i,j =Ca i,j Eyn i,j +Cbx i,j -Hzn+1 2 i+ 3 2 ,j +27Hzn+1 2 i+ 1 2 ,j -27Hzn+1 2 i- 1 2 ,j +Hzn+1 2 i- 3 2 ,j -Cbx -Hx n+1 2 i,j+ 3 2 +27H x n+1 2 i,j+ 1 2 -27Hxn+1 2 i,j- 1 2 +Hxn+1 2 i,j- 3 2 +
Cc i,j ψEn+! !yx i,j -ψHEn+! !yz i,j
(2.89)
elde edilir. Burada katsayılar Denklem (2.90), (2.91), (2.92), (2.93), (2.94);
Ca= 1-σ∆t 2ε 1+ σ∆t 2ε (2.90) Ca= 1-σ∆t 2ε 1+ σ∆t 2ε (2.91) Cc= ∆t ε 1+ σ∆t 2ε -1 (2.92) Dbk=∆t µ 24Kk∆k -1 (2.93) Dc= ∆t µ (2.94)
olarak verilir. Konvolüsyon işlemlerini ifade eden ψH
xz n , ψ Hzx n , ψ Eyx n+! !, ψ Eyz n+! !
değerleri (Luebbers and Hunsberger, 1992) ise Denklem (2.95), (2.96), (2.97) ve (2.98);
ψH
xz
n i,j+ 1 2 =B
z i,j+ 1 2 ψHn-1xz i,j+ 1 2 +
Az i,j+ 1 2 -Eyn i,j+2 +27Eyn i,j+1 -27Eyn i,j +Eyn i,j-1
(2.95)
ψH
zx
n i+ 1 2 ,j =B
x i+ 1 2 ,j ψHn-1zx i+ 1 2 ,j
+Ax i+ 1 2 ,j -Eyn i+2,j +27Eyn i+1,j -27Eyn i,j +Eyn i-1,j
ψE
yx
n+1 2 i,j =B
x i,j ψEn-1 2yx i,j +Ax i,j
-Hzn+1 2 i+ 3 2 ,j +27Hzn+1 2 i+ 1 2 ,j -27Hzn+1 2 i- 1 2 ,j +Hzn+1 2 i- 3 2 ,j (2.97) ψE yz n+1 2 i,j =B
z i,j ψEn-1 2yz i,j Az i,j
-Hxn+1 2 i,j+ 3 2 +27Hxn+1 2 i,j+ 1 2 -27Hxn+1 2 i,j- 1 2
+Hxn+1 2 i,j- 3 2
(2.98)
olarak tanımlanmıştır. Bu denklemlerdeki Ak ve Bk değişkenleri Denklem (2.99) ve (2.100)’de; Ak= σk σkKk+αkKk2 Ak-1 (2.99) Bk=exp -∆t ε0 σk Kk+αk (2.100)
olarak tanımlanmıştır (Irving, 2006).
2.7. Kararlılık Koşulu ve Sayısal Dispersiyon
Zaman ortamında sonlu farklar yöntemi ile modelleme çalışması yapılırken dikkat edilmesi gereken önemli bir adım da zaman (Δt) ve uzaklık (Δx ve Δz) aralıklarının seçimidir. İdeal olarak, Δx, Δz ve Δt değerleri simülasyonun hızlı çalışması için mümkün olduğunca geniş seçilmelidir. Fakat Δt değeri çok büyük seçilirse sonlu farklar ağında kararlılık koşulunu sağlayamayacaktır. Δt değeri büyük seçildiği zaman dalga hücre boyutunu aşar ve model ağındaki uzaklık aralıklarını geçebilir. Bu yüzden Δt değeri ile model ağı içerisindeki uzaklık aralıkları (Δx ve Δz) birbirleri ile ilişkili olarak seçilmelidir. Bu ilişki, Denklem (2.101)’de;
∆tmax=6 7
µminεmin
1 ∆x2+ 1 ∆z2 (2.101)
olarak tanımlanıştır (Georgakopoulos ve diğ., 2002). Δx ve Δz aralıkları gereğinden büyük seçildiğinde ise model ağı içinde çözümlenen noktalar azalacağından elde edilen sonuç daha az çözünürlükte olacaktır.
3. SU İLETİM BORULARININ İÇ VE DIŞ MALZEMESİNİN YER RADARI SİNYALLERİNE ETKİSİNİN GÖZLEMSEL VE 2B FDTD İLE İNCELENMESİ
Tezin bu bölümünde daha önceki bölümlerde anlatılan, yer radarı yönteminin teorisi, farklı malzeme sınırlarındaki yer radarı sinyalinin tepkisi ve iki boyutta sonlu farklar yöntemi ile zaman ortamında modellenmesi ile ilgili bilgiler yardımı ile yapılan uygulama anlatılacaktır.
Yer radarı yöntemi uygulama alanlarının en önemlilerinden biri de boru hatlarını görüntülemektir (Jol ve Smith, 1995). Boruların derinlik ve lokasyonları (Ni ve diğ., 2010) ile çaplarının belirlenmesinde (Prego ve diğ., 2017) yer radarı yöntemi sıklıkla uygulanmaktadır. Tarımda kullanılan drenaj ve iletim borularının tespiti ile ilgili de yer radarı yöntemini kullanarak çalışmalar yapılmıştır (Allred, 2010; Allred, 2013). Bu bölümde ise bu zamana kadar gömülü boruların aranması ile ilgili yapılan yer radarı çalışmaları irdelenerek boruların malzemesinin ve içindeki malzemenin türünün yer radarı sinyallerine tepkisi araştırılarak sinyalden malzeme ayrımı yapılacaktır.
Bu bölümde, binaların içindeki ve çevresindeki su iletim borularına odaklanılarak, bu tip boruların iç ve dış malzemesinin yer radarı sinyalinden kestirimi üzerinde durulacaktır. Özellikle su iletimi için eski binalarda kullanılan çelik veya metal iletim boruları yeni binalarda yerini plastik iletim borularına bırakmıştır. Bu bağlamda akla gelen ilk soru metal ve plastik borularının yer radarı sinyallerinden ayrımının yapılıp yapılamayacağıdır. İkinci incelenecek durum ise borunun içindeki malzemenin (su, hava, buz) yer radarı sinyallerinden ayrımıdır. Bu durum bilinmeyen bir sebeple tesisatta su iletiminin durduğunda belirleyici olabilir. Örnek olarak, boruda herhangi bir sızıntı olduğunda borunun içi hava ile dolacaktır ya da borunun içindeki su donduğunda su iletiminde kesinti olacaktır. Bu soruların cevapları 2B FDTD uygulanarak ve modellemeye uygun standartlarda hazırlanan bir deneysel test modelinde ölçümler alınarak farklı varyasyonlardaki boruların ve iç malzemelerinin
