E ÜNİVERSİ ESİ
FEN Bİ İ
ERİ ENS İ ÜSÜ
E
İ
N Bİ İ D
I
G
SS B
NS VE G
SS OB
NS O İNO
RI
ÜZERİNE
YÜ SE
İS NS EZİ
Dİ E Y ÇE İDENİZ İ, H ZİR N - 2019
E ÜNİVERSİ ESİ
FEN Bİ İ
ERİ ENS İ ÜSÜ
E
İ
N Bİ İ D
I
G
SS B
NS VE G
SS OB
NS O İNO
RI
ÜZERİNE
YÜ SE
İS NS EZİ
Dİ E Y ÇE İDENİZ İ, H ZİR N - 2019
ÖZE
G SS B NS VE G SS OB NS O İNO RI ÜZERİNE
YÜ SE İS NS EZİ Dİ E Y ÇE İ
E ÜNİVERSİ ESİ FEN Bİ İ ERİ ENS İ ÜSÜ
E İ N Bİ İ D I
( EZ D NIŞ NI: DOÇ DR S F Ş I)
DENİZ İ, H ZİR N - 2019
Bu e emel ol k ö bölüm e oluşm k . Bi i ci bölüm e Fibo cci ve Luc s s y l emel ml ve bu s y l içe e emel eo emle ve ilmiş i . Bu s y l i i geme b ğ l , Bi e o mülle i, ü e eç o ksiyo l , C ssi i ö eşliği ve k p l o mülle i ve ilmiş i .
İki ci bölüm e B l s ve Kob l s s y l i cele miş ve bu s y l l ilgili eo emle ve ilmiş i . Luc s B l s ile Luc s Kob l s s y l ml ve ilmiş i . Bu s y l i i geme b ğ l , Bi e o mülle i ve Ü e eç
o ksiyo l ve ilmiş i . Bu bölüm e y c bu s y l ö el Q m isle i ve G uss B l s ile G uss Kob l s s y l ml ve ilmiş i .
Üçü cü bölüm e B l s poli omu u m y l k; Luc s
B l s, Kob l s ve Luc s Kob l s poli oml ml m ş . Bu poli oml i i geme b ğ l ml k Bi e o mülle i o y koyulmuş u . Ay c bu poli oml C ssi i Ö eşliği ve ö el Q m isle i ü e i e ç l ş lm ş .
Dö ü cü bölüm e ise G uss B l s ve G uss Kob l s poli oml ml y p lm ş . Bu poli oml y m yl G uss Luc s B l s ve G uss Luc s Kob l s poli oml i i geme b ğ l ve ilmiş i . D so ise bu poli oml B l s, Luc s B l s, Kob l s ve Luc s Kob l s poli oml ile ol ilişkile i o y koyulmuş u . So ol k, bu poli oml C ssi i Ö eşliği ve ö el Q m isle i ü e i e ç l ş lm ş .
N H R E İ E ER: obalans polinomları, Gauss Balans polinomları, Gauss Balans polinomları, Gauss obalans polinomları, Gauss
BS R
ON G SS B N ING ND G SS OB N ING O YNO I S
S HESIS Dİ E Y ÇE İ
E NIVERSI Y INS I E OF S IEN E
HE İ S
(S ERVISOR: SSO ROF DR S F Ş I)
DENİZ İ, J NE 2019
T is esis is m i ly compose o ou m i sec io s. I e i s sec io , b sic e i i io s o Fibo cci Luc s umbe s e b sic eo ems co i i g ese umbe s e give . Bi e o mul s, ge e i g u c io s C ssi i i e i y o ese umbe s e give .
I e seco c p e , B l ci g Cob l ci g umbe s e ex mi e e eo ems el e o ese umbe s e give . T e e i i io s o e Luc s B l ci g Luc s Cob l ci g umbe s e give . Recu e ce el io , Bi e
o mul s ge e i g u c io s o ese umbe s e give . I is sec io , speci ic Q m ices e e i i io s o G uss b l ci g G uss Cob l ci g umbe s e give .
I e i sec io e e i i io s o B l ci g poly omi ls e give , by e elp o ese umbe s e Luc s B l ci g, Cob l ci g Luc s Cob l ci g poly omi ls e e i e s u ie . T e ecu e ce el io s o ese poly omi ls e give e Bi e o mul s e e i e . I is i io C ssi i i e i y speci ic Q m ices e s u ie .
Fi lly i e ou sec io G uss B l ci g G uss Cob l ci g poly omi ls e e i e . By ese umbe s e ecu e ce el io s o G uss Luc s B l ci g G uss Luc s Cob l ci g poly omi ls e give . A e e el io s be weee ese B l ci g, Luc s B l ci g, Cob l ci g Luc s Cob l ci g poly omi ls e give . Fi lly e C ssi i i e i y e Q m ices o ese poly omi ls e give .
EYWORDS: obalancing polynomials, Gauss Balancing polynomials, Gauss ucas-Balancing polynomials, Gauss obalancing polynomials, Gauss
İÇİNDE İ ER
Sayfa ÖZE i BS R ii İÇİNDE İ ER iii SE BO İS ESİ iv ÖNSÖZ v 1 GİRİŞ 11.1 Temel T m ve Teo emle ...3
2 B NS VE OB NS S YI RI 7
2.1 B l s S y l ...8 2.2 Kob l s S y l ...17 2.3 G uss B l s ve G uss Kob l s S y l ...21
3 B NS VE OB NS O İNO RI 24
3.1 B l s Poli oml ...24 3.2 Kob l s Poli oml ...39
4 G SS B NS VE G SS OB NS O İNO RI 48
4.1 G uss B l s Poli oml ...48 4.2 G uss Kob l s Poli oml ...59
5 SON Ç VE ÖNERİ ER 66
6 YN R 67
7 ÖZGEÇ İŞ 69
SE BO
İS ESİ
n
F
: . Fibo cci S y sn : . Luc s S y s
g x
: Fibo cci S y Di isi i Ü e eç Fo ksiyo u h t : Luc s S y Di isi i Ü e eç Fo ksiyo un
B
: . B l s S y s n : . Luc s B l s S y s nb
: . Kob l s S y s nc
: . Luc s Kob l s S y s n : . Üçge sel s y : . G uss B l s S y s : . G uss Luc s-b l s S y s : . G uss Kob l s S y s : . G uss Luc s-kob l s S y s : . B l s Poli omu: . Luc s-b l s Poli omu : . Kob l s Poli omu : . Luc s-kob l s Poli omu : . G uss B l s Poli omu : . G uss Luc s-b l s Poli omu : . G uss Kob l s Poli omu : . G uss Luc s-kob l s Poli omu
ÖNSÖZ
Te ç l şm m e ş m s iki le i ve y ml yl y m ol , u m l k eği imi boyu c b so su bilgi, so umluluk ve e eyim ş s su , k emik ç l şm l m bilgi ve ec übele i i esi gemeye , s b ve güle yü üyle es ek olup ces e le i e , i s i ve l ki eğe le i ile e ö ek
l ğ m çok eğe li şm oc m S y Doç. D . Mus AŞCI’y bü ü iç e liğimle ve s yg l ml eşekkü le imi su m.
H y m e ş m s m i ve m evi es eği i be e iç
esi gemeye , be i s b l es ekleye , bu gü le e gelmem e büyük p y s ibi, v l kl bilme i bile be i y k u uğu c m ileme so su eşekkü e e im.
Eği im y m bü ü ş m l emeği ol eğe li öğ e me le ime, lis s ve yüksek lis s öğ e imim boyu c so su bilgi ve ec übele i e y l ğ m P mukk le Ü ive si esi Öğ e im Üyele i e eşekkü e e im.
1
G·
IR·
I¸
S
Orta ça¼g¬n en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Leonardo Fibonacci 1170 y¬l¬nda ·Italya’n¬n Pisa ¸sehrinde do¼gmu¸s olan, ·Italyan bir matematikçidir. Babas¬Bonacci ·Italya ile Cezayir aras¬nda ticaretle u¼gra¸smakta ve o s¬ralar genç bir delikanl¬ olan Fibonacci de yard¬m amac¬yla babas¬yla seyahat etmektedir. Bu seyahatleri vesilesiyle Akdeniz’in hem Avrupa hem de Kuzey Afrika k¬y¬lar¬n¬ gezen ve ayn¬zamanda pek çok Arap toplumu ile irtibat halinde olan Fibonacci, burada Hint-Arap say¬ sistemini ö¼grenmi¸s ve bu sistemi kullanman¬n, Roma rakamlar¬n¬ kullanmaktan çok daha kolay oldu¼gunu görmü¸stür. Bu esnada pek çok Arap matematikçi ile çal¬¸sma olana¼g¬da bulmu¸s ve edindi¼gi tüm birikimlerinin ard¬ndan, 1201 y¬l¬nda "L·IBER ABACC·I(cebir kitab¬manas¬na gelir)" ad¬nda bir matematik kitab¬ yazm¬¸st¬r. Bu kitapla Avrupa’ya Arap rakamlar¬n¬ ve bugün kulland¬¼g¬m¬z say¬sistemini tan¬tm¬¸st¬r. Ayr¬ca Fibonacci bu kitapta bir problemi ara¸st¬r¬rken bu say¬lar¬ buluyor ve kendi ad¬n¬ veriyor. Fibonaccinin ara¸st¬rd¬¼g¬ problem ¸sudur ;
Bir çiftlikteki bir çift tav¸san do¼gduklar¬ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre çiftlikte bir çift tav¸sanla ba¸slan¬rsa kaç ay sonra kaç çift tav¸san olur?
Tav¸san çiftleri ile ilgili;
-¯ ·Ilk ay sadece bir yeni do¼gan çift var.
-¯ Yeni do¼gan çiftler ikinci ay¬n sonunda üretken hale gelirler.
-¯ Herhangi bir genetik problemleri yoktur.
-¯ Tav¸sanlar asla ölmez. 1.ay : 1 çift tav¸san, 2.ay : 1 çift tav¸san,
3.ay : 2 çift tav¸san, (1. ve 2. ay¬n toplam¬kadar) 4.ay : 3 çift tav¸san, (2.ve 3. ay¬n toplam¬kadar ) 5.ay : 5 çift tav¸san, (3. ve 4. ay¬n toplam¬kadar )
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, .. dizisi Fibonacci dizisi, bu say¬lar da Fibonacci say¬lar¬olarak tan¬mlan¬r. Yani, Fibonacci dizisinin özelli¼gi kendinden önceki iki ard¬¸s¬k say¬n¬n toplam¬n¬n kendisinden sonraki say¬ya e¸sit olmas¬d¬r. Dizilim içinde bir say¬y¬ kendisinden önce gelen say¬ya bölerek ilerlersek ula¸saca¼g¬m¬z sonuç 1,618... rakam¬na sürekli yakla¸sacak ¸sekilde olu¸sacakt¬r. Fibonacci dizisindeki ard¬¸s¬k 2 say¬n¬n oran¬say¬lar büyüdükçe Alt¬n Oran’a (1,618...) yakla¸s¬r. Alt¬n Oran’¬sanatta, do¼gada ve mimaride oldukça fazla görmekteyiz. Ayn¬zamanda resimde, müzik notalar¬nda, ¸siir, ekonomi gibi birçok alanda alt¬n oran bulunmaktad¬r.
Benzer ¸sekilde Frans¬z matematikçi Edouard Lucas (1842-1891) taraf¬ndan, Lucas say¬ dizisi tan¬mlanm¬¸st¬r. Lucas say¬ dizisinin Fibonacci say¬ dizisi ile pek çok ba¼glant¬s¬ yap¬lan çal¬¸smalarla ortaya ç¬km¬¸st¬r. Böylece say¬lar teorisinde indirgeme ba¼g¬nt¬s¬yard¬m¬yla diziyi tüm terimleriyle incelemek mümkün olmu¸stur. 1999 y¬l¬nda Behera ve Panda, Balans say¬ kavram¬n¬ tan¬mlam¬¸slard¬r. Yap¬lan çal¬¸smalarda Balans say¬ dizisinin ayn¬ Fibonacci ve Lucas say¬ dizileri gibi indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬na, binet formullerine ula¸sm¬¸slad¬r. Böylelikle Balans say¬dizisinin genel özelliklerine ula¸smak mümkün olmu¸stur. Balans say¬lar¬ndan ba¸ska Lucas Balans say¬ dizisi, Kobalans say¬ dizisi, Lucas Kobalans say¬ dizisi tan¬mlamalar¬da yap¬larak birbiriyle olan ili¸skileri ortaya koyulmu¸stur.
Bu tezde, Fibonacci ve Lucas say¬ dizileri gibi Balans say¬ dizisi, Lucas Balans say¬dizisi, Kobalans say¬dizisi, Lucas Kobalans say¬dizisi tan¬mlamalar¬yap¬ld¬. Balans polinomlar¬n¬n tan¬m¬ndan yararlanarak; Lucas Balans polinomlar¬, Kobalans polinomlar¬, Lucas Kobalans polinomlar¬n¬n rekürans ba¼g¬nt¬lar¬ve binet formüllerine ula¸s¬ld¬. Matris gösterimleri incelendi. Ayr¬ca Gauss Balans polinomlar¬ve Gauss Kobalans polinomlar¬tan¬mland¬ve özellikleri incelendi. Bunlardan yola ç¬karak, Gauss Lucas Balans polinomlar¬, Gauss Lucas Kobalans polinomlar¬n¬n indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬ve özellikleri üzerinde çal¬¸s¬ld¬.
1.1
Temel Tan¬m ve Teoremler
Çal¬¸sman¬n bu bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullan¬lacak temel tan¬m ve teoremlere yer verilmi¸stir.
Tan¬m 1.1.1a0; a1; a2; a3; ::: ; an; :::sonsuz bir dizi k 2 N sabit ve f : N Zk ! R
bir fonksiyon olsun.
Ba¸slang¬ç de¼gerleri a0; a1; a2; ::: ; ak 1 ve 8 n k için,
an = f (n; an 1; an 2; an 3; :::; an k) (1.1)
fonksiyonuna k: mertebeden indirgeme (rekürans) ba¼g¬nt¬s¬denir.
Dizinin bütün elemanlar¬(1.1) denklemi ve a0; a1; ::: ; ak 1 de¼gerleri ile belirlenir.
Tan¬m 1.1.2 (an) sonsuz bir dizi, k 2 N sabit, f0; f1; f2; ::: ; fk; N den R ye
tan¬ml¬fonksiyonlar
ve fk(n)6= 0 olmak üzere 8n k için,
an = f1(n)an 1+ f2(n)an 2+ ::: + fk(n)an k+ f0(n) (1.2)
biçimindeki indirgeme ba¼g¬nt¬s¬na k: mertebeden lineer indirgeme ba¼g¬nt¬s¬denir. E¼ger (1.2)’deki f1; f2; ::: ; fk fonksiyonlar¬;
fi(n) = bi ; (1 i < k) biçiminde sabit fonsiyonlar ise,
an = b1an 1+ b2an 2+ ::: + bkan k+ f0(n) (1.3)
indirgeme ba¼g¬nt¬s¬na sabit katsay¬l¬indirgeme ba¼g¬nt¬s¬denir. E¼ger (1.2)’deki her n 2 N için f0(n) = 0 ise;
an= f1(n)an 1+ f2(n)an 2+ ::: + fk(n)an k (1.4)
indirgeme ba¼g¬nt¬s¬na homojen indirgeme ba¼g¬nt¬s¬denir.
Teorem 1.1.1 an = c1an 1 + c2an 2 indirgeme ba¼g¬nt¬s¬ olsun. Bu durumda
indirgeme ba¼g¬nt¬s¬n¬n karakteristik denklemi;
ve kökleri ; olmak üzere genel çözümü,
an = c n+ d n
dir. Burada c ve d sabit say¬lard¬r.
Tan¬m 1.1.3 Fibonacci Say¬lar¬dizisi fFng ; F0 = 0, F1 = 1 ve n 0 ba¸slang¬ç
ko¸sullar¬olmak üzere;
Fn+2 = Fn+1+ Fn
indirgeme ba¼g¬nt¬s¬yla tan¬mld¬r.
Fibonacci Say¬lar¬: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Tan¬m 1.1.4 Lucas say¬lar¬ dizisi fLng ; L0 = 2, L1 = 1 ve n 0 ba¸slang¬ç
ko¸sullar¬olmak üzere;
Ln+2 = Ln+1+ Ln
indirgeme ba¼g¬nt¬s¬yla tan¬mld¬r.
Lucas Say¬lar¬: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,...
Örnek 1.1.1 A¸sa¼g¬daki tabloda bu say¬dizilerinin baz¬elemanlar¬n¬yazal¬m.
n Fn 0 0 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 .. . ... ve n Ln 0 2 1 1 2 3 3 4 4 7 5 11 6 18 7 29 8 47 .. . ...
r2 r 1 = 0 ve çözüm kümesi, = 1 + p 5 2 Alt{n Oran = 1 p 5 2 G•um•us Oran olmak üzere n: Fibonacci say¬s¬n¬n Binet Formülü;
Fn=
n n
ve n: Lucas say¬s¬n¬n Binet Formülü;
Ln= n+ n
e¸sitlikleri elde edilir.
Tan¬m 1.1.5 a0; a1; a2; ::: bir reel say¬dizisi olsun.
g(x) = a0+ a1x + a2x2+ ::: + anxn+ :::
ifadesine fang dizisinin üreteç fonksiyonu denir. Yani,
g(x) = 1 X n=0 anxn dir.
Teorem 1.1.3 (i)Fibonacci say¬dizisinin üreteç fonksiyonu
g(x) = x
1 x x2
dir.
(ii)Lucas say¬dizisinin üreteç fonksiyonu
h(x) = 2x
1 x x2
dir.
dönü¸stüren fonksiyona taban(‡oor) fonksiyonu denir ve bxc ile gösterilir.
Tan¬m 1.1.7 Bir x reel say¬s¬n¬ x den küçük olmayan en küçük tamsay¬ya dönü¸stüren fonksiyona tavan(ceeling) fonksiyonu denir ve dxe ile gösterilir. Teorem 1.1.4 Fibonacci ve Lucas say¬lar¬için; Kapal¬(Explicit) formüller
Fn+1= bn 2c X i=0 n i i ve Ln = bn 2c X i=0 n i i dir.
Çok bilinen di¼ger bir özde¸slik ise Cassini formülüdür. Fibonacci say¬lar¬n¬n Cassini Özde¸sli¼gi:
Fn 1Fn+1 Fn2 = ( 1) n
Lucas say¬lar¬n¬n Cassini Özde¸sli¼gi:
Ln 1Ln+1 L2n= 5( 1) n+1 dir. Teorem 1.1.5 Q = 2 4 1 1 1 0 3 5 olsun. Bu durumda, Qn = 2 4 Fn+1 Fn Fn Fn 1 3 5 dir.
2
BALANS VE KOBALANS SAYILARI
Balans say¬kavramlar¬n¬, 1999 y¬l¬nda Behera ve Panda (A.Behera and G.K.Panda 1999) tan¬mlam¬¸slard¬r.
Bir r do¼gal say¬s¬için,
1 + 2 + ::: + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + r)
e¸sitli¼ginde n do¼gal say¬s¬na Balans say¬s¬ve buna kar¸s¬l¬k gelen r do¼gal say¬s¬na da balans¬r denir.
Behera ve Panda ilk olarak; Balans say¬lar¬ için rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬ tan¬mlad¬. Yap¬lan çal¬¸smalarda Balans say¬ dizisinin ayn¬ Fibonacci ve Lucas say¬ dizileri gibi indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬na, binet formüllerine ula¸sm¬¸slard¬r. Böylelikle Balans say¬dizisinin genel özelliklerine ula¸smak mümkün olmu¸stur. Balans say¬lar¬ndan ba¸ska Lucas Balans say¬ dizisi, Kobalans say¬ dizisi, Lucas Kobalans say¬ dizisi tan¬mlamalar¬da yap¬larak birbiriyle olan ili¸skileri ortaya koyulmu¸stur.
Bir r do¼gal say¬s¬için,
1 + 2 + ::: + n = (n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + r)
e¸sitli¼ginde n do¼gal say¬s¬na Kobalans say¬s¬ve buna kar¸s¬l¬k gelen r do¼gal say¬s¬na da Kobalans¬r denir.
Bu bölümde, P. Kumar Ray’¬n 2009 y¬l¬nda Balans ve Kobalans Say¬lar¬n¬çal¬¸st¬¼g¬ tez çal¬¸smas¬ incelenmi¸stir. Ayr¬ca, G.K.Panda and P.K.Ray 2005, G.K.Panda 2006, P.Olajos 2010,
T. Szakacs 2011, G.K.Panda and P.K.Ray 2011, P.K.Ray 2012, P.K.Ray 2013, P.K.Ray and G.K.Panda 2015, P.K.Ray 2017, makaleleri incelenmi¸stir.
2.1
Balans Say¬lar¬
Tan¬m 2.1.1 (Balans Say¬lar¬) Herhangi bir n 2 N do¼gal say¬s¬için,
1 + 2 + ::: + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + r) (2.1) e¸sitli¼ginde n do¼gal say¬s¬na Balans Say¬s¬ve buna kar¸s¬l¬k gelen r do¼gal say¬s¬na balans¬r denir.
Balans say¬lar¬: 1; 6; 35; 204; 1189; :::
Örnek 2.1.1 B2 = 6 balans say¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen balans¬r 2’dir.
n = 6 )
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (6 + 1) + (6 + 2)
5:6
2 = 7 + 8
15 = 15
oldu¼gundan r = 2 dir.
B3 = 35 balans say¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen balans¬r 14’dür.
Tan¬m 2.1.2 n: üçgensel say¬Tn= n(n+1)2 olmak üzere;
(2.1) e¸sitli¼ginde,
Tn 1+ Tn = Tn+r
ili¸skisi mevcuttur. Yani, ard¬¸s¬k iki üçgensel say¬n¬n toplam¬ yine bir üçgensel say¬d¬r.
T5+ T6 = 5:6 2 + 6:7 2 = 15 + 21 = 36 = T8 dir.
Ard¬¸s¬k iki üçgensel say¬n¬n toplam¬bir tam kare say¬oldu¼gundan (2.1) e¸sitli¼ginde (n + r)(n + r + 1)
2 = n
2 (2.2)
dir. Burada n bilinirse r elde edilebilir.
1 + 2 + ::: + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + r) (n 1)n 2 = (n + r)(n + r + 1) 2 n(n + 1) 2 = 2nr + r 2+ r 2 n2 n = 2nr + r2+ r) r2+ 2nr + n + r n2 = 0 ) r2+ (2n + 1)r + (n n2) = 0
= (2n + 1)2 4:1:(n n2) = 8n2+ 1
r1;2 =
(2n + 1) p8n2+ 1
2 olup; r > 0 oldu¼gundan,
r = (2n + 1) + p
8n2+ 1
2 (2.3)
bulunur.
Teorem 2.1.1 n nin balans say¬s¬ olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart “8n2 + 1” in
tam kare bir do¼gal say¬olmas¬d¬r.
Örnek 2.1.3 ·Ikinci balans say¬s¬ B2 = 6 ve buna kar¸s¬l¬k gelen balans¬r 2’dir
yani; r = (2:6 + 1) + p 8:62+ 1 2 r = 13 + p 289 2 r = 2
burada 289, tam karesel say¬d¬r.
Teorem 2.1.2 m:üçgensel say¬bir tam karesel do¼gal say¬ise; n bir balans say¬s¬ olmak üzere bu durumda n: balans say¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen balans¬r (m n) dir. Örnek 2.1.4 m = 8 olsun. Yani 8: üçgensel say¬y¬ele alal¬m.
m(m + 1) 2 = n 2 8:9 2 = 6 2
burada n = 6 balans say¬s¬ve buna kar¸s¬l¬k gelen balans¬r say¬s¬m n = 8 6 = 2’dir.
Teorem 2.1.3 ( Balans Say¬lar¬n¬n Rekürans Ba¼g¬nt¬s¬) Ba¸slang¬ç ko¸sullar¬B1 = 1, B2 = 6 olmak üzere n 2 için;
Bn+1= 6Bn Bn 1
dir. Bu rekürans ba¼g¬nt¬s¬2:dereceden, lineer ve homojen bir rekürans ba¼g¬nt¬s¬d¬r.
B3 = 6B2 B1 = 6:6 1 = 35
B4 = 6B3 B2 = 6:35 6 = 204
B5 = 6B4 B3 = 6:204 35 = 1189
Teorem 2.1.4 (Balans Say¬lar¬n¬n Binet Formülü) B1 = 1, B2 = 6, n 2için,
Bn+1 = 6Bn Bn 1 rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n karakteristik denklemi: r2 6r + 1 = 0
ve kökleri; 1 = 3 + p 8 2 = 3 p 8 dir. = 1 +p2 = 1 p2
Bn =
2n 2n
4p2 dir.
·
Ispat: Balans say¬lar¬indirgeme ba¼g¬nt¬s¬n¬n,
Bn+1= 6Bn Bn 1
oldu¼gunu biliyoruz. ·Indirgeme ba¼g¬nt¬s¬n¬n karakteristik denklemi,
r2 6r + 1 = 0 kökleri, 1 = 3 + p 8, 2 = 3 p 8 bulunur. = (1 +p2)2 = 3 +p8ve = (1 p2)2 = 3 p8dir. Genel çözüm, Bn = c1: 3 + p 8 n + c2: 3 p 8 n
Ba¸slang¬ç ¸sartlar¬B1 = 1 , B2 = 6 sa¼glat¬l¬rsa,
1 = c1: 3 + p 8 + c2: 3 p 8 6 = c1: 3 + p 8 2 + c2: 3 p 8 2 denklemleri çözülürse, c1 = 1 2p8 , c2 = 1
2p8 bulunur. Buradan genel çözüm;
Bn= 3 +p8 n 3 p8 n 2p8 bulunur. 1 = 3 + p 8 ise 1 = (1 + p 2)2 = 2 2 = 3 p 8ise 2 = (1 p 2)2 = 2 oldu¼gundan,
Bn =
2n 2n
4p2 dir.
Teorem 2.1.5 ( Rekürans Ba¼g¬nt¬s¬) Balans say¬lar¬için Binet formülü; Bn = 2n 2n 4p2 , = 1 + p 2, = 1 p2 olmak üzere; Bn+1+ Bn 1 = 2n+2 2n+2 4p2 + 2n 2 2n 2 4p2 = 2n( 2+ 2) 2n( 2+ 2) 4p2 = ( 2 + 2) 2n 2n 4p2 = 6Bn; n 2:
Balans say¬lar¬için rekürans ba¼g¬nt¬s¬; B1 = 1, B2 = 6 ve n 2 için,
Bn+1= 6Bn Bn 1
bulunur.
SONUÇ 2.1.1 Her n pozitif tamsay¬s¬için, Bn, n:balans say¬s¬olmak üzere,
1) B2n 1 = Bn2 B2n 1
2) B2n = Bn(Bn+1 Bn 1)
3) B1+ B3+ ::: + B2n 1 = Bn2
4) B2+ B4+ ::: + B2n = Bn:Bn 1
Tan¬m 2.1.3 (Lucas-Balans Say¬lar¬)
B bir balans say¬s¬ise 8B2+ 1 bir tam karesel do¼gal say¬d¬r.
Bn+1 = 3Bn+ p 8B2 n+ 1 (2.4) Bn 1 = 3Bn p 8B2 n+ 1 (2.5) (2.4) ve (2.5) dan, Bn+2= 17Bn+ 6 p 8B2 n+ 1 bulunur. Cn= p 8B2
n+ 1 say¬s¬na n: Lucas-Balans say¬s¬denir.
Teorem 2.1.6 (Lucas Balans Say¬lar¬n¬n Rekürans Ba¼g¬nt¬s¬)
Lucas-balans say¬lar¬için rekürans ba¼g¬nt¬s¬, ba¸slang¬ç ko¸sullar¬C1 = 3, C2 = 17
olmak üzere;
Cn+1 = 6Cn Cn 1
ile tan¬ml¬d¬r.
Lucas balans say¬lar¬; 3; 17; 99; 577; 3363; :::
Teorem 2.1.7 (Lucas Balans Say¬lar¬n¬n Binet Formülü) Lucas-Balans say¬lar¬için Binet Formülü,
Cn =
2n+ 2n
2 dir.
Teorem 2.1.8
1) m ile n pozitif tamsay¬lar, Bm, Bn balans say¬lar¬
ve Cm, Cn lucas balans say¬lar¬olmak üzere;
Bm+n = BmCn+ CmBn
2) m ve n iki do¼gal say¬olmak üzere;
3) n pozitif tamsay¬olmak üzere;
B2n = 2BnCn
C2n = Cn2+ 8B 2 n
4) m ve n pozitif tamsay¬lar Bm, Bn balans say¬lar¬ve
Cm, Cn lucas balans say¬lar¬olmak üzere, m > n için;
Bm n = BmCn CmBn
Cm n = CmCn 8BmBn
5) n ve r do¼gal say¬lar, n > r olmak üzere;
Bn+rBn r = (Bn+ Br)(Bn Br)
dir.
Teorem 2.1.9 (Üreteç Fonksiyonu)
Balans say¬lar¬n¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬, ba¸slang¬ç ko¸sullar¬B1 = 1, B2 = 6 olmak
üzere,
Bn+1 = 6Bn Bn 1; n 2
dir.
Balans say¬lar¬için üreteç fonksiyonu g(x) olsun.
g(x) = x
1 6x + x2
·
Ispat: fBng1n=0 Balans say¬dizisinin üreteç fonksiyonu, Bn, n: Balans say¬s¬
ve g (x) = 1 X n=0 Bnxn olmak üzere, g (x) = B0+ B1x + B2x2+ + Bnxn+ olsun. 6xg (x) = 6xB0 + 6B1x2+ 6B2x3+ + 6Bn 1xn+ x2g (x) = B0x2+ B1x3+ B2x4+ + Bn 2xn+ yaz¬l¬r ve buradan, g (x) 6xg (x) x2g (x) = B0+ (B1 B0) x + (B2 6B1 B0) x2+
B0 = 0, B1 = 6 ve n 2 için Bn+1 6Bn Bn 1= 0 oldu¼gu göz önüne al¬n¬rsa,
g (x) 6xg (x) x2g (x) = x
g (x) = x
1 6x x2
2.2
Kobalans Say¬lar¬
Tan¬m 2.2.1
1 + 2 + ::: + n = (n + 1) + (n + 2) + ::: + (n + r) (2.6)
e¸sitli¼ginde; n do¼gal say¬s¬na Kobalans Say¬s¬ve bu n 2 N do¼gal say¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen r 2 N do¼gal say¬s¬na Kobalans¬r denir.
·
Ilk üç kobalans say¬s¬2, 14 ve 84; bu kobalans say¬lar¬na kar¸s¬l¬k gelen kobalans¬rlar s¬ras¬yla 1, 6 ve 35 tir.
Örnek 2.2.1
1) 1 + 2 = 2 + 1 olup burada 2 2 N kobalans iken, 1 2 N kobalans¬rd¬r. 2) 1 + 2 + 3 + ::: + 14 = (14 + 1) + (14 + 2) + ::: + (14 + 6)
Burada 14 2 N kobalans say¬s¬ve bu kobalans say¬s¬na kar¸s¬l¬k gelen kobalans¬r ise 6 2 N dir.
(2.6) e¸sitli¼ginde,
n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) 2 olsun. Bu durumda, r = (2n + 1) + p 8n2+ 8n + 1 2 elde edilir.
Teorem 2.2.1 n nin bir kobalans say¬s¬olmas¬için gerek ve yeter ¸sart “8n2+ 8n + 1” in tam karesel bir do¼gal say¬olmas¬d¬r.
Teorem 2.2.2 ( Rekürans Ba¼g¬nt¬s¬) n = 1; 2; 3; ::: için, bn, n: kobalans say¬s¬olsun.
bn+1 = 3bn+ p 8b2 n+ 8bn+ 1 + 1 ve bn 1= 3bn p 8b2 n+ 8bn+ 1 + 1
bn+1 = 6bn bn 1+ 2, n 2
elde edilir. Burada b1 = 0, b2 = 2 olmak üzere baz¬kobalans say¬lar¬;
b3 = 6b2 b1+ 2 = 6:2 0 + 2 = 14 b4 = 6b3 b2+ 2 = 6:14 2 + 2 = 84 b5 = 6b4 b3+ 2 = 6:84 14 + 2 = 492 : : : dir.
Teorem 2.2.3 Kobalans say¬ dizisi ba¸slang¬ç ko¸sullar¬ b1 = 0, b2 = 2 olmak
üzere;
bn+1 = 6bn bn 1+ 2; n 2
rekürans ba¼g¬nt¬s¬ile tan¬ml¬d¬r.
Kobalans say¬lar¬; 0; 2; 14; 84; 492; 2870; ::: Teorem 2.2.4 (Binet Formülü)
Kobalans say¬dizisi için Binet Formülü, bn, n: kobalans say¬s¬olmak üzere,
bn= 2n 1 2n 1 2 2 1 2 n = 1; 2; ::: için, = 1 +p2, = 1 p2 dir.
Teorem 2.2.5 (Üreteç Fonksiyonu)
Kobalans say¬dizisi ba¸slang¬ç ko¸sullar¬b1 = 0, b2 = 2 olmak üzere;
için tan¬ml¬d¬r.
Kobalans say¬lar¬n¬n Üreteç Fonksiyonu,
g(x) = 2x
2
(1 x)(1 6x + x2)
dir.
Tan¬m 2.2.2bbir kobalans say¬s¬ise 8b2+8b+1bir tam karesel say¬oldu¼gundan,
c = p8b2+ 8b + 1
say¬s¬na n: Lucas-Kobalans Say¬s¬denir.
Teorem 2.2.6 Lucas-kobalans say¬ dizisi ba¸slang¬ç ko¸sullar¬ c1 = 1 ve c2 = 7
için,
cn+1= 6cn cn 1, n 2
dir.
Lucas Kobalans say¬lar¬; 1; 7; 41; 239; 1393; 8119; ::: Teorem 2.2.7 (Binet Formülü)
Ba¸slang¬ç ko¸sullar¬ c1 = 1 ve c2 = 7 olmak üzere, ve , cn+1 = 6cn cn 1,
n 2 rekürans ba¼g¬nt¬s¬n¬n kökleri için,
cn= 2n 1+ 2n 1 2 , n = 1; 2; ::: dir. Teorem 2.2.8 A = 2 4 6 1 1 0 3 5 olsun. Bu durumda, An= 2 4 Bn+1 Bn Bn Bn 1 3 5 dir. Teorem 2.2.9 A = 2 4 6 1 1 0 3 5 ve B = 2 4 5 1 1 0 3 5olsun. Bu durumda, An:B = 2 4 2bn+2+ 1 Bn 2bn+1+ 1 Bn+1 3 5
dir. Teorem 2.2.10 A = 2 4 6 1 1 0 3 5 ve C = 2 4 3 1 1 3 3 5olsun. Bu durumda, An:C = 2 4 Cn+1 Cn Cn Cn 1 3 5 dir. Teorem 2.2.11 A = 2 4 6 1 1 0 3 5 ve D = 2 4 7 1 1 1 3 5 olsun. Bu durumda, An:D = 2 4 cn+2 cn+1 cn+1 cn 3 5 dir.
2.3
Gauss Balans ve Gauss Kobalans Say¬lar¬
Bu bölümde Gauss Balans ve Gauss Kobalans Say¬lar¬n¬n 2017 y¬l¬nda çal¬¸s¬ld¬¼g¬ tez incelenmi¸stir. (M. Y¬lmaz 2017)
Tan¬m 2.3.1 n: Gauss balans say¬dizisi GBn olsun.
Gauss balans say¬lar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GB0 = i , GB1 = 1 ve n> 1 olmak üzere;
GBn+1= 6GBn GBn 1 (2.7)
ile tan¬ml¬d¬r. Ayr¬ca,
GBn= Bn iBn 1
ili¸skisi mevcuttur.
Gauss balans say¬lar¬; i; 1; 6 i; 35 6i; 204 35i; :::
Teorem 2.3.1 Gauss Balans Say¬dizisi için, Binet formülü;
1 = 3 + p 8 ve 2 = 3 p 8 olmak üzere; GBn = n 1 n 2 1 2 i: n 1 1 n 1 2 1 2 dir. ·
Ispat: Gauss Balans Say¬lar¬;
GB0 = i , GB1 = 1 ba¸slang¬ç ko¸sullar¬
GBn+1 = 6GBn GBn 1rekürans ba¼g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬d¬r. Ayr¬ca Bn, n:balans
say¬s¬olmak üzere,
GBn = Bn iBn 1 ili¸skisi mevcuttur. O halde Balans say¬s¬n¬n binet
formülünden; 1) Bn = n 1 n 2 1 2 n 1 1 n 1 2
1 ve 2 ifadeleri GBn= Bn iBn 1 e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa; GBn = n 1 n 2 1 2 i: n 1 1 n 1 2 1 2 elde edilir.
Tan¬m 2.3.2 n: Gauss lucas balans say¬dizisi GCn olsun.
Gauss lucas balans say¬lar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GCO = 1 3i; GC1 = 3 i ve n> 1 olmak üzere;
GCn+1 = 6GCn GCn 1 (2.8)
Ayr¬ca,
GCn = Cn iCn 1
ili¸skisi mevcuttur.
Gauss lucas balans say¬lar¬;1 3i; 3 i; 17 3i; 99 17i; 577 99i; 3363 577i; ::: Teorem 2.3.2 Gauss Lucas Balans Say¬dizisi için, Binet formülü;
1 = 3 + p 8 ve 2 = 3 p 8 olmak üzere; GCn = n 1 + n 2 2 i: n 1 1 + n 1 2 2 dir.
Tan¬m 2.3.3 n: Gauss kobalans say¬dizisi Gbn olsun.
Gauss kobalans say¬lar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GbO = 2i; Gb1 = 0 ve n> 1 olmak üzere;
Gbn+1 = 6Gbn Gbn 1+ 2 2i (2.9)
Ayr¬ca,
Gbn= bn ibn 1
ili¸skisi mevcuttur.
Gauss kobalans say¬lar¬; 2i; 0; 2; 14 2i; 84 14i; 492 84i; 2870 492i; ::: Teorem 2.3.3 Gauss Kobalans Say¬dizisi için, Binet formülü;
1 = 1 + p 2 ve 2 = 1 p 2 olmak üzere; Gbn= ( 2n 1 1 2n 1 2 2 1 2 2 1 2) i:( 2n 3 2n 3 2 2 1 2 2 1 2) dir.
Tan¬m 2.3.4 n: Gauss lucas kobalans say¬dizisi Gcn olsun.
Gauss lucas kobalans say¬lar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GcO = 1 + 7i; Gc1 = 1 + i ve n> 1 olmak üzere;
Gcn+1= 6Gcn Gcn 1 (2.10)
Ayr¬ca,
Gcn= cn icn 1
ili¸skisi mevcuttur.
Gauss lucas kobalans say¬lar¬; 1 + 7i; 1 + i; 7 i; 41 7i; 239 41i; 1393 239i; ::: Teorem 2.3.4 Gauss Lucas Kobalans Say¬dizisi için, Binet formülü;
1 = 1 + p 2 ve 2 = 1 p 2 olmak üzere; Gcn = ( 2n 1 1 + 2n 1 2 2 ) i:( 2n 3 + 2n 32 2 ) dir.
3
BALANS VE KOBALANS POL·
INOMLARI
Bu bölümde P.K. Ray 2017 Balans polinomunun tan¬m¬ndan yola ç¬k¬larak Lucas Balans polinomu , Kobalans polinomu ve Lucas Kobalans polinomlar¬n¬n tan¬mlar¬yap¬larak özellikleri üzerinde çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
3.1
Balans Polinomlar¬
Tan¬m 3.1.1Balans polinomlar¬n¬n dizisini P.K. Ray 2017 a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlanm¬¸st¬r:
Bn+1(x) = 8 > > > < > > > : 1; n = 0 6x; n = 1 6xBn(x) Bn 1(x) ; n > 1 (3.1) B0(x) = 0 B1(x) = 1 B2(x) = 6x B3(x) = 36x2 1 B4(x) = 216x3 12x B5(x) = 1296x4 108x2+ 1 : : :
Her j için, Bj(1) = Bj dir.
(3:1) denklemi çözülerek denklemin kökleri 1(x) = 3x +
p 9x2 1 ve 2(x) = 3x p9x2 1burada 9x2 1 0d¬r. 1(1) = 3 + p 8ve 2(1) = 3 p 8balans say¬lar¬n¬n kökleri oldu¼gu görülmektedir.
Balans polinomlar¬n¬n binet formülü,
Bn(x) = n 1 (x) n 2(x) 1(x) 2(x) (3.2) dir. Teorem 3.1.1 xi13 için, lim n!1 Bn+1(x) Bn(x) = 1(x) dir.
Özellik 3.1.1 Bn(x) balans polinomlar¬ olmak üzere, 1 ile n-1 aras¬ndaki r
tamsay¬s¬için;
Bn+1(x) = Br(x) Bn (r 2)(x) Br 1(x) Bn (r 1)(x)
dir.
Özellik 3.1.2 m ve n herhangi iki tamsay¬ve Bn(x) balans polinomlar¬olmak
üzere; Bm+n(x) = Bm+1(x) Bn(x) Bm(x) Bn 1(x) dir. Teorem 3.1.3 A = 2 4 6x 1 1 0 3 5olmak üzere; An = 2 4 Bn+1(x) Bn(x) Bn(x) Bn 1(x) 3 5 (3.3) dir.
Bn2(x) Bn 1(x) Bn+1(x) = 1
Balans polinomlar¬için Cassini Formülüdür.
Tan¬m 3.1.2 Cn(x)n. lucas balans polinomu olmak üzere;
Lucas Balans polinomlar¬n¬n dizisi a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlan¬r :
Cn(x) = 8 > > > > > > < > > > > > > : 1; n = 0 3x; n = 1 18x2 1; n = 2 6xCn 1(x) Cn 2(x) ; n > 2 (3.4) C0(x) = 1 C1(x) = 3x C2(x) = 18x2 1 C3(x) = 108x3 9x C4(x) = 648x4 72x2+ 1 C5(x) = 3888x5 540x3+ 15x : : :
Her j için, Cj(1) = Cj dir.Yani Cj(x)de x = 1 yaz¬l¬rsa Lucas Balans Polinomlar¬n¬n,
Lucas Balans say¬lar¬n¬ verdi¼gi görülür. Örne¼gin;
C1(x) = 3x) C1(1) = 3 C2(x) = 18x2 1) C2(1) = 17 C3(x) = 108x3 9x) C3(1) = 99 C4(x) = 648x4 72x2+ 1) C4(1) = 577 : : :
(teorem2.2.6) dan lucas balans say¬lar¬n¬verdi¼gi görülür. Teorem 3.1.4 Lucas balans polinomunun rekürans ba¼g¬nt¬s¬ Cn(x) = 6xCn 1(x) Cn 2(x) oldu¼guna göre kökleri ;
1(x) = 3x + p 9x2 1 (3.5) 2(x) = 3x p 9x2 1 dir. ·
Ispat: Cn(x) = 6xCn 1(x) Cn 2(x) oldu¼gundan Cn(x) = r2 dersek;
Cn(x) = 6xCn 1(x) Cn 2(x)
r2 6xr + 1 = 0
oldu¼gundan diskriminant¬na bakal¬m.
= b2 4ac = ( 6x)2 4:1:1
= 36x2 4
1(x) = b +p 2a = 6x +p36x2 4 2 = 3x + p 9x2 1 2(x) = b p 2a = 6x p36x2 4 2 = 3x p 9x2 1 oldu¼gu görülür.
Teorem 3.1.5 (Lucas Balans Polinomlar¬n¬n Binet Formülü) (3:4) denkleminin karakteristik denklemi r2 6xr + 1 = 0 ve kökleri
1(x) = 3x + p 9x2 1 olmak üzere ; 2(x) = 3x p 9x2 1
n. Lucas Balans polinomunun binet formülü ;
Cn(x) = n 1 (x) + n 2(x) 2 (3.6) dir. ·
Ispat: Tümevar¬m kullan¬rsak, n = 1 için, C1(x) = 1(x) + 2(x) 2 = 3x +p9x2 1 + 3x p9x2 1 2 C1(x) = 6x 2 = 3x do¼gru.
n = k için do¼gru oldu¼gunu kabul edelim. Yani,
Ck(x) = k 1(x) + k 2(x) 2 olsun. n = k +1 için,
Ck+1(x) = 6xCk(x) Ck 1(x)e¸sitli¼ginde Ck(x)ve Ck 1(x)binet formülleri
yerine yaz¬larak Ck+1(x)’e e¸sit oldu¼gu gösterilecektir.
Ck+1(x) = 6xCk(x) Ck 1(x) = 6x: k 1(x) + k 2(x) 2 k 1 1 (x) + k 1 2 (x) 2 = 6x k 1(x) k 1 1 (x) 2 + 6x k2(x) k 12 (x) 2 k 1 1 (x) ve k 1 2 (x) düzenlenirse; k 1 1 (x) = k 1(x) : 1 1 (x) = 3x +p9x2 1 k:( 1 3x +p9x2 1) = 3x +p9x2 1 k:(3x p9x2 1) = k1(x) : 2(x) Benzer ¸sekilde; k 1 2 (x) = k 2(x) : 1(x) bulunur.
6x k1(x) k 11 (x) 2 + 6x k2(x) k 12 (x) 2 = 6x k 1(x) k 1(x) : 2(x) 2 + 6x k2(x) k2(x) : 1(x) 2 = k 1(x) [6x 2(x)] 2 + k 2(x) [6x 1(x)] 2 = k 1(x) : 1(x) 2 + k 2(x) : 2(x) 2 = k+1 1 (x) 2 + k+1 2 (x) 2 = Ck+1(x)
Teorem n = k +1 için de do¼grulan¬r. Lemma 3.1.1 xi13 için, lim n!1 Cn+1(x) Cn(x) = 1(x) dir. · Ispat: lim n!1 Cn+1(x) Cn(x) = lim n!1 n+1 1 (x) + n+1 2 (x) n 1 (x) + n 2(x)
pay ve payda n1(x) e bölünürse;
) lim n!1 1(x) + 2(x) 1(x) n 1(x) 1 + 2(x) 1(x) n ) lim n!1 1(x) 1 = 1(x) bulunur.
Cn(x) n: lucas balans polinomu olmak üzere; Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = n1 (x) (3.7) dir. ·
Ispat: Bn(x) ve Cn(x) in binet formüllerini s¬ras¬yla (3:2) ve (3:6) den
biliyoruz.
O halde binet formüllerini yazal¬m;
Cn(x)+ p 9x2 1B n(x) = n1 (x) = n 1(x) + n 2(x) 2 + p 9x2 1 n 1 (x) n 2 (x) 1(x) 2(x) 1(x) 2(x) = 3x + p 9x2 1 3x p9x2 1 = 2 p9x2 1 oldu¼gundan; n 1 (x) + n 2 (x) 2 + p 9x2 1 n 1 (x) n 2(x) 1(x) 2(x) = n 1 (x) + n 2 (x) 2 +p9x2 1 n 1(x) n 2(x) 2 p9x2 1 ! = n 1 (x) + n 2 (x) 2 + n 1(x) n 2(x) 2 = 2 n 1(x) 2 Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = n1(x) oldu¼gu görüldü.
Özellik 3.1.4 m ve n herhangi iki tamsay¬Bm(x) Bn(x) balans polinomlar¬,
Cm(x) Cn(x) lucas balans polinomlar¬olmak üzere;
dir. · Ispat: (3.7) den Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = n1 (x)oldu¼gu görülür.
O halde (özellik 3.1.3) den, Cm+n(x) +
p
9x2 1B
m+n(x) = m+n1 (x) oldu¼gu aç¬kt¬r. Binet formülünden
kolayca ispatlanabilir. Cm+n(x) + p 9x2 1B m+n(x) = m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 2 +p9x2 1 m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 1(x) 2(x) = m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 2 +p9x2 1 m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 2p9x2 1 = m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 2 + m+n 1 (x) + m+n 2 (x) 2 = m+n1 (x)
Benzer ¸sekilde (3.7) den;
Cm(x) + p 9x2 1B m(x) = m1 (x) Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = n1(x) oldu¼gundan,
Cm(x) + p 9x2 1B m(x) Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = m1 (x) n 1(x) = m+n1 (x) ) Cm(x) Cn(x) + (9x2 1)Bm(x) Bn(x) +p9x2 1 (B m(x) Cn(x) + Cm(x) Bn(x)) Cm+n(x) + p 9x2 1B m+n(x) bulunur. Yani, Cm+n(x) = Cm(x) Cn(x) + (9x2 1)Bm(x) Bn(x) Bm+n(x) = Bm(x) Cn(x) + Cm(x) Bn(x) dir.
Sonuç 3.1.2Bm(x) Bn(x)balans polinomlar¬, Cm(x) Cn(x)lucas balans polinomlar¬
olmak üzere;
Cm+n(x) = Cm(x) Cn(x) + (9x2 1)Bm(x) Bn(x)
Sonuç 3.1.3(3.8) ve (sonuç 3.1.2) de m = n yazarsak, B2n(x) = 2Bn(x) Cn(x) C2n(x) = Cn2(x) + (9x 2 1)B2 n(x) bulunur.
Özellik 3.1.5 Bm(x) Bn(x) balans polinomlar¬, Cm(x) Cn(x) lucas balans
polinomlar¬olmak üzere; Bm n(x) = Bm(x) Cn(x) Bn(x) Cm(x) Cm n(x) = Cm(x) Cn(x) (9x2 1)Bm(x) Bn(x) dir. · Ispat: Cm(x) + p 9x2 1B m(x) = m1 (x) (1) Cm(x) + p 9x2 1B m(x) = m 1 (x) + m 2 (x) 2 + p 9x2 1 m 1 (x) m 2 (x) 1(x) 2(x) = m 1 (x) + m 2 (x) 2 + p 9x2 1 m 1 (x) m 2 (x) 2p9x2 1 = m 1 (x) + m 2 (x) 2 + p 9x2 1 m 1 (x) m 2 (x) 2 = m1 (x)
dir. Cn(x) p 9x2 1B n(x) = n2 (x) (2) Cn(x) p 9x2 1B n(x) = n 1 (x) + n 2 (x) 2 p 9x2 1 n 1 (x) n 2(x) 1(x) 2(x) = n 1 (x) + n 2 (x) 2 p 9x2 1 n 1 (x) n 2(x) 2p9x2 1 = n 1 (x) + n 2 (x) 2 n 1(x) n 2 (x) 2 = n2 (x) Cn(x) + p 9x2 1B n(x) = n1 (x) oldu¼gu görülür. Cm n(x) p 9x2 1B m n(x) = m n2 (x)
Cm n(x) p 9x2 1B m n(x) = m n 1 (x) + m n 2 (x) 2 p 9x2 1 m n 1 (x) + m n 2 (x) 1(x) 2(x) = m n 1 (x) + m n 2 (x) 2 p 9x2 1 m n 1 (x) + m n 2 (x) 2p9x2 1 = m n 1 (x) + m n 2 (x) 2 m n 1 (x) + m n 2 (x) 2 = m n2 (x) dir. (1) ve (2) den h Cm(x) + p 9x2 1B m(x) i :hCn(x) p 9x2 1B n(x) i = Cm(x) Cn(x) p 9x2 1C m(x) Bn(x) +p9x2 1B m(x) Cn(x) 9x2 1 Bm(x) Bn(x) Cm(x) Cn(x) 9x2 1 Bm(x) Bn(x) (3) (1) +p9x2 1 [B m(x) Cn(x) Cm(x) Bn(x)] (2) (3) denkleminin;
Cm n(x)
p
9x2 1B
m n(x) (4)
e¸sit oldu¼gu görülür.
Cm n(x) = Cm(x) Cn(x) 9x2 1 Bm(x) Bn(x)
Bm n(x) = Bm(x) Cn(x) Cm(x) Bn(x)
oldu¼gundan ispat tamamlan¬r.
Teorem 3.1.7: A = 2 4 6x 1 1 0 3 5 ve C = 2 4 3x 1 1 3x 3 5 matrisi olsun. AnC = 2 4 Cn+1(x) Cn(x) Cn(x) Cn 1(x) 3 5 dir. ·
Ispat: Tümevar¬mdan n = 1 için,
AC = 2 4 6x 1 1 0 3 5 : 2 43x 1 1 3x 3 5 = 2 418x 2 1 3x 3x 1 3 5 = 2 4 C2(x) C1(x) C1(x) C0(x) 3 5
Ak+1C = A(AkC) = 2 4 6x 1 1 0 3 5 : 2 4 Ck+1(x) Ck(x) Ck(x) Ck 1(x) 3 5 = 2 46xCk+1(x) Ck(x) 6xCk(x) Ck 1(x) Ck+1(x) Ck(x) 3 5 = 2 4Ck+2(x) Ck+1(x) Ck+1(x) Ck(x) 3 5
3.2
Kobalans Polinomlar¬
Tan¬m 3.2.1 bn(x) n. kobalans polinomu olmak üzere kobalans polinomlar¬n¬n
dizisi a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlan¬r :
bn+1(x) = 8 > > > < > > > : 0; n = 0 2x; n = 1 6xbn(x) bn 1(x) + 2x; n > 1 (3.9)
O halde baz¬kobalans polinomlar¬:
b1(x) = 0 b2(x) = 2x b3(x) = 12x2+ 2x b4(x) = 72x3+ 12x2 b5(x) = 432x4+ 72x3 12x2 : : :
Her j için, bj(1) = bj dir.Yani bj(x) kobalans polinomunda x = 1 yaz¬l¬rsa, her j
için kobalans polinomlar¬kobalans say¬lar¬n¬verir. b1(x) = 0) b1(1) = 0
b2(x) = 2x) b2(1) = 2
b3(x) = 12x2 + 2x) b3(1) = 14
b4(x) = 72x3 + 12x2 ) b4(1) = 84
: :
(teorem2.2.12) den kobalans say¬lar¬n¬verdi¼gi görülür.
Teorem 3.2.1 (3:9) denklemi cözüldü¼günde, denklemin kökleri
1(x) = 3x + p 9x2 1 olmak üzere ; 2(x) = 3x p 9x2 1
n. kobalans polinomunun binet formülü ;
bn(x) = 3x2+ x xp9x2 1 18x2 2 : n 1(x) +3x 2+ x + xp9x2 1 18x2 2 : n 2 (x) x 3x 1 dir. ·
Ispat: Kobalans polinomunun rekürans ba¼g¬nt¬s¬ bn+1(x) = 6xbn(x)
bn 1(x) + 2x oldu¼gundan; dn(x) = bn(x) + x 3x 1 olsun. O halde, bn+1(x) = 6xbn(x) bn 1(x) + 2x dn+1(x) x 3x 1 = 6x dn(x) x 3x 1 dn 1(x) x 3x 1 + 2x dn+1(x) = 6xdn(x) dn 1(x)
oldu¼gundan kökleri ; 1(x) = 3x + p 9x2 1 2(x) = 3x p 9x2 1
dir. Bu denklemin genel çözümü ;
dn(x) = A: n1 (x) + B: n 2 (x) oldu¼gundan, d0(x) = A + B = x 3x 1 d1(x) = 3x(A + B) + p 9x2 1(A B) = x 3x 1 d2(x) = 18x2(A + B) + 6x p 9x2 1(A B) (A + B) = 2x (3x 1) + x 3x 1 denklemleri çözüldü¼günde; A + B = x 3x 1 A B = p x 9x2 1 bulunur. Buradan,
A = 3x 2+ x xp9x2 1 18x2 2 B = 3x 2+ x + xp9x2 1 18x2 2 bulunur. dn(x) = A: n1(x) + B: n 2 (x) dn(x) = 3x2+ x xp9x2 1 18x2 2 : n 1 (x) +3x 2+ x + xp9x2 1: 18x2 2 n 2(x) bn(x) = dn(x) x 3x 1 oldu¼gundan; bn(x) = 3x2+ x xp9x2 1 18x2 2 : n 1(x) +3x 2+ x + xp9x2 1: 18x2 2 n 2 (x) x 3x 1 böylece ispat tamamlan¬r.
Özellik 3.2.1 n ve k herhangi iki tamsay¬olmak üzere;
bn(x) = bk(x) + Bk(x) bn k+1(x) Bk 1(x) bn k(x)
Özellik 3.2.2 m ve n herhangi iki tamsay¬olmak üzere;
bm+n(x) = bm(x) + Bm(x) bn+1(x) Bm 1(x) bn(x) (3.10)
dir.
Sonuç 3.2.1 (3:10) denkleminde m yerine n 1 yazarsak;
b2n 1(x) = Bn+1(x) bn(x) Bn 1(x) bn 1(x)
ve m = n yazarsak;
b2n(x) = Bn(x) bn+1(x) bn(x) (Bn 1(x) 1)
bulunur.
Tan¬m 3.2.2 cn(x), n: lucas kobalans polinomu olmak üzere lucas kobalans
polinomlar¬n¬n dizisi a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlan¬r :
cn+1(x) = 8 > > > < > > > : 1; n = 0 7x; n = 1 6xcn(x) cn 1(x) ; n > 1 (3.11)
c1(x) = 1 c2(x) = 7x c3(x) = 42x2 1 c4(x) = 252x3 13x c5(x) = 1512x4 120x2+ 1 : : :
Her j için, cj(1) = cj dir.Yani cj(x)de x = 1 yaz¬l¬rsa Lucas Kobalans Polinomlar¬n¬n,
Lucas kobalans say¬lar¬n¬verdi¼gi görülür. Örne¼gin; c1(x) = 1) c1(1) = 1 c2(x) = 7x) c2(1) = 7 c3(x) = 42x2 1) c3(1) = 41 : : :
(teorem2.2.15) den lucas kobalans say¬lar¬na e¸sit oldu¼gu görülür. Teorem 3.2.2 Lucas kobalans polinomlar¬n¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬
cn+1(x) = 6xcn(x) cn 1(x)
1(x) = 3x + p 9x2 1 (3.12) 2(x) = 3x p 9x2 1 dir. · Ispat: cn+1(x) = 6xcn(x) cn 1(x)
oldu¼gundan cn+1(x) = r2 dersek;
cn+1(x) = 6xcn(x) cn 1(x)
r2 6xr + 1 = 0
oldu¼gundan diskriminant¬na bakal¬m.
= b2 4ac = ( 6x)2 4:1:1 = 36x2 4 bulunur. 1(x) = b +p 2a = 6x +p36x2 4 2 = 3x + p 9x2 1 2(x) = b p 2a = 6x p36x2 4 2 = 3x p 9x2 1
oldu¼gu görülür.
Teorem 3.2.3 Teorem ( 3.2.2 ) den (3:11) denkleminin kökleri;
1(x) = 3x + p 9x2 1 olmak üzere ; 2(x) = 3x p 9x2 1
n: lucas kobalans polinomunun binet formülü ;
cn(x) = 1 + 3x2 xp9x2 1 1(x) 2(x) : n1 (x) 1 + 3x2+ xp9x2 1 1(x) 2(x) : n2(x) dir. ·
Ispat: Lucas kobalans polinomlar¬n¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬
cn+1(x) = 6xcn(x) cn 1(x)
olmak üzere, kökleri ;
1(x) = 3x + p 9x2 1 2(x) = 3x p 9x2 1
dir. Bu denklemin genel çözümü ;
cn(x) = A1: n1 (x) + A2: n2 (x) ise, c0(x) = A1+ A2 = x c1(x) = A1(3x + p 9x2 1) + A 2 3x p 9x2 1 = 1
e¸sitlikleri çözülürse ; A1 = 1 + 3x2 xp9x2 1 2p9x2 1 A2 = 1 3x2 xp9x2 1 2p9x2 1 bulunur. cn(x) = A1: n1(x) + A2: n2(x) ve 2p9x2 1 = 1(x) 2(x) oldu¼gundan; cn(x) = 1 + 3x2 xp9x2 1 1(x) 2(x) : n1 (x) 1 + 3x2+ xp9x2 1 1(x) 2(x) : n2(x)
4
GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS
POL·
INOMLARI
Bu bölümde Gauss Balans ve Gauss Kobalans polinomlar¬tan¬mlanacak ve bunlar yard¬m¬yla Gauss Lucas Balans ve Gauss Lucas Kobalans polinomlar¬n¬n indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬tan¬mlanacakt¬r.
4.1
Gauss Balans Polinomlar¬
Tan¬m 4.1.1 GBn(x), n: Gauss Balans Polinomu olmak üzere;
Gauss balans polinomlar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GB0(x) = i , GB1(x) = 1 ve n> 1 olmak üzere; GBn+1(x) = 6xGBn(x) GBn 1(x) (4.1) ile tan¬ml¬d¬r. GB2(x) = 6x i GB3(x) = 36x2 6xi 1 GB4(x) = 216x3 36x2i 12x + i : : :
Her j için GBj(1) = GBjyani; GBj(1)de x = 1 al¬n¬rsa Gauss balans polinomlar¬
gauss balans say¬s¬lar¬n¬verir. Örne¼gin;
GB3(x) = 36x2 6xi 1) GB3(1) = 35 6i GB4(x) = 216x3 36x2i 12x + i ) GB4(x) = 204 35i : : : Ayr¬ca, GBn(x) = Bn(x) iBn 1(x) (4.2)
ili¸skisi mevcuttur.
GB1(x) = B1(x) iB0(x) = 1 i:0 = 1 GB2(x) = B2(x) iB1(x) = 6x i:1 = 6x i GB3(x) = B3(x) iB2(x) = 36x2 6xi i : : :
Teorem 4.1.1 Gauss balans polinomunun rekürans ba¼g¬nt¬s¬olmak üzere;
GBn+1(x) = 6xGBn(x) GBn 1(x) kökleri ; 1(x) = 3x + p 9x2 1 (4.3) 2(x) = 3x p 9x2 1
dir. ·
Ispat: GBn+1(x) = 6GBn(x) GBn 1(x)oldu¼gundan GBn+1(x) = r2
dersek;
GBn+1(x) = 6GBn(x) GBn 1(x)
r2 6xr + 1 = 0
oldu¼gundan diskriminant¬na bakal¬m.
= b2 4ac = ( 6x)2 4:1:1 = 36x2 4 bulunur. 1(x) = b +p 2a = 6x +p36x2 4 2 = 3x + p 9x2 1 2(x) = b p 2a = 6x p36x2 4 2 = 3x p 9x2 1 oldu¼gu görülür.
Teorem 4.1.2( Gauss Balans Polinomlar¬ ·Için Binet Formülü)
1(x) = 3x +
p
9x2 1 ve
2(x) = 3x
p
9x2 1 olmak üzere; Gauss Balans
Polinomunun Binet Formülü:
GBn(x) = n 1(x) n 2(x) 1(x) 2(x) i: n 1 1 (x) n 1 2 (x) 1(x) 2(x) dir. ·
Ispat: Gauss balans polinomlar¬n¬n balans polinomlar¬ile ili¸skisinden ispat¬ aç¬kça görülür. Yani,
GBn(x) = Bn(x) iBn 1(x)oldu¼gundan, balans polinomlar¬n¬n binet formülünden,
GBn(x) = n 1(x) n 2(x) 1(x) 2(x) i: n 1 1 (x) n 1 2 (x) 1(x) 2(x) dir.
Teorem 4.1.3 (Gauss Balans Polinomunun Üreteç Fonksiyonu) Gauss Balans polinomlar¬n¬n rekürans ba¼g¬nt¬s¬, ba¸slang¬ç ko¸sullar¬ GB0(x) = i , GB1(x) = 1 ve n> 1 olmak üzere;
GBn+1(x) = 6GBn(x) GBn 1(x)
dir.
Gauss balans polinomlar¬için üreteç fonksiyonu g(t) olsun.
g(t) = t + i(1 6xt)
1 6xt + t2 (4.4)
dir. ·
Ispat: fGBn(x)g1n=0Gauss balans polinomlar¬n¬n üreteç fonksiyonu, GBn(x),
n: Gauss balans polinomu ve g (t) =
1 X n=0 GBn(x) tn olmak üzere, g (t) = i + t + (6x i) t2+ 36x2 6xi 1 t3+ ::: olsun. 6xtg (t) = 6xti + 6xt2+ 6xt3(6x i) + 6xt4 36x2 6xi 1 + ::: t2g (t) = t2i + t3+ t4(6x i) + t5 36x2 6xi 1 + ::: yaz¬l¬r ve buradan, g (t) 6xtg (t) + t2g (t) = i + t(1 6xi) + t2(6x i 6x + i) +t3(36x2 6xi 1 36x2 6xi + 1) + :::
düzenlenirse; (1 6xt + t2)g (t) = t + i(1 6xt) g(t) = t + i(1 6xt) 1 6xt + t2 bulunur. Teorem 4.1.4 A = 2 4 6x 1 1 0 3 5 ve B = 2 4 6x i 1 1 i 3 5olsun. Bu durumda, An:B = 2 4 GBn+2(x) GBn+1(x) GBn+1(x) GBn(x) 3 5 dir. ·
Ispat: Tümevar¬mla ispatlayal¬m. n = 1 için, A:B = 2 4 6x 1 1 0 3 5 2 4 6x i 1 1 i 3 5 = 2 4 36x 2 6xi 1 (6x i) 6x i 1 3 5 = 2 4 GB3(x) GB2(x) GB2(x) GB1(x) 3 5
oldu¼gundan sa¼glad¬.
Ak:B = 2 4 6x 1 1 0 3 5 k : 2 4 6x i 1 1 i 3 5 = 2 4 GBk+2(x) GBk+1(x) GBk+1(x) GBk(x) 3 5 olsun.
n = k + 1 için, do¼gru¼gunu gösterelim;
Ak+1:B = A: Ak:B = A: 2 4 GBk+2(x) GBk+1(x) GBk+1(x) GBk(x) 3 5 = 2 4 6x 1 1 0 3 5 2 4 GBk+2(x) GBk+1(x) GBk+1(x) GBk(x) 3 5 = 2 4 6xGBk+2(x) GBk+1(x) 6x:GBk+1(x) + GBk(x) GBk+2(x) GBk+1(x) 3 5 = 2 4 GBk+3(x) GBk+2(x) GBk+2(x) GBk+1(x) 3 5
oldu¼gundan sa¼gland¬. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Teorem 4.1.5 GBn(x), n: Gauss Balans Polinomu olmak üzere;
GBn2(x) GBn+1(x) :GBn 1(x) = 6ix
dir (Gauss Balans Polinomlar¬n¬n Cassini Özde¸sli¼gi). · Ispat: Q = 2 4 6x 1 1 0 3 5 n : 2 4 6x i 1 1 i 3 5 olsun. O halde Q matrisinin determinant¬ ;
6x 1 1 0 n : 6x i 1 1 i = 6ix (1)
dir ve Teorem 4.1.4 den, Q = 2 4 GBn+2(x) GBn+1(x) GBn+1(x) GBn(x) 3 5 oldu¼gunu biliyoruz . Determinant¬n¬ al¬rsak;
GBn+2(x) :GBn(x) + GBn+12 (x) GBn+12 (x) GBn+2(x) :GBn(x) n yerine n 1 koyarsak; GBn2(x) GBn+1(x) :GBn 1(x) (2) bulunur. (1) ve (2) den ; GBn2(x) GBn+1(x) :GBn 1(x) = 6ix ispat tamamlan¬r.
Tan¬m 4.1.2 GCn(x), n: Gauss Lucas Balans Polinomu olmak üzere;
Gauss lucas balans polinomlar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, GC0(x) = 1 3xi, GC1(x) = 3x i ve n> 1 olmak üzere;
GCn+1(x) = 6xGCn(x) GCn 1(x) (4.5)
GC2(x) = 18x2 3xi 1 GC3(x) = 108x3 18x2i 9x + i GC4(x) = 648x4 108x3i 72x2+ 9xi + 1 : : :
Her j için GCj(1) = GCj dir. Yani; Gauss Lucas Balans Polinomlar¬nda x = 1
al¬n¬rsa Gauss Lucas Balans say¬lar¬n¬verdi¼gi görülür. Örne¼gin; GC2(x) = 18x2 3xi 1) GC2(1) = 17 3i GC3(x) = 108x3 18x2i 9x + i) GC3(1) = 99 17i GC4(x) = 648x4 108x3i 72x2+ 9xi + 1) GC4(x) = 577 99i : : : Ayr¬ca, GCn(x) = Cn(x) iCn 1(x) (4.6)
GC2(x) = C2(x) iC1(x) = 18x2 3xi 1 GC3(x) = C3(x) iC2(x) = 108x3 18x2i 9x + i GC4(x) = C4(x) iC3(x) = 648x4 108x3i 72x2+ 9xi + 1 : : :
Teorem 4.1.6 ( Gauss Lucas Balans Polinomlar¬ ·Için Binet Formülü)
1(x) = 3x + p 9x2 1ve 2(x) = 3x p 9x2 1olmak üzere;
Gauss Lucas Balans Polinomunun Binet Formülü:
GCn(x) = n 1 (x) + n 2 (x) 2 i: n 1 1 (x) + n 1 2 (x) 2 dir. ·
Ispat: Gauss lucas balans polinomlar¬n¬n lucas balans polinomlar¬ile ili¸skisinden ispat¬aç¬kça görülür. Yani,
GCn(x) = Cn(x) iCn 1(x)oldu¼gundan, lucas balans polinomlar¬n¬n binet formülünden,
GCn(x) = n 1 (x) + n 2 (x) 2 i: n 1 1 (x) + n 1 2 (x) 2 dir. Teorem 4.1.7 A = 2 4 6x 1 1 0 3 5 ve B = 2 4 6x i 1 1 i 3 5 ve C = 2 4 3x 1 1 3x 3 5 olsun. Bu durumda, An:B:C = 2 4 GCn+2(x) GCn+1(x) GCn+1(x) GCn(x) 3 5 dir. ·
A:B:C = 2 4 6x 1 1 0 3 5 2 4 6x i 1 1 i 3 5 2 4 3x 1 1 3x 3 5 = 2 4 108x 3 18x2i 9x + i 18x2 3xi 1 18x2 3xi 1 3x i 3 5 = 2 4 GC3(x) GC2(x) GC2(x) GC1(x) 3 5
oldu¼gundan n = 1 için, sa¼glad¬.
k için do¼gru oldu¼gunu kabul edelim. Yani n = k olsun.
Ak:B:C = 2 4 GCk+2(x) GCk+1(x) GCk+1(x) GCk(x) 3 5 n = k + 1 için, do¼grulu¼gunu gösterelim;
Ak+1B:C = A(AkBC) = 2 4 6x 1 1 0 3 5 : 2 4 GCk+2(x) GCk+1(x) GCk+1(x) GCk(x) 3 5 = 2 46xGCk+2(x) GCk+1(x) 6xGCk+1(x) GCk(x) GCk+2(x) GCk+1(x) 3 5 = 2 4GCk+3(x) GCk+2(x) GCk+2(x) GCk+1(x) 3 5
Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
GCn2(x) GCn+1(x) :GCn 1(x) = 54x3i 6xi
dir (Gauss Lucas Balans Polinomunun Cassini Özde¸sli¼gi). · Ispat: Y = 2 4 6x 1 1 0 3 5 n : 2 4 6x i 1 1 i 3 5 : 2 4 3x 1 1 3x 3 5 olsun. O halde Y matrisinin determinant¬
6x 1 1 0 n : 6x i 1 1 i 3x 1 1 3x = 1: ( 6ix) : 9x2 1 = 54x3i + 6xi (1)
dir ve Teorem 4.1.7 den,
GCn+2(x) :GCn(x) GCn+12 (x) n yerine n 1 koyarsak; GCn+1(x) :GCn 1(x) GCn2(x) (2) bulunur. (1) ve (2) den ; GCn+1(x) :GCn 1(x) GCn2(x) = 54x 3i + 6xi (3)
(3) denklemi ( 1) ile çarp¬l¬p düzenlenirse;
GCn2(x) GCn+1(x) :GCn 1(x) = 54x3i 6xi
4.2
Gauss Kobalans Polinomlar¬
Tan¬m 4.2.1 GBn(x), n: Gauss Kobalans Polinomu olmak üzere;
Gauss kobalans polinomlar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, Gb0(x) = 2ix, Gb1(x) = 0 ve n> 1 olmak üzere;
Gbn+1(x) = 6xGbn(x) Gbn 1(x) + 2x 2ix (4.7) ile tan¬ml¬d¬r. Gb2(x) = 2x Gb3(x) = 12x2+ 2x 2ix Gb4(x) = 72x3+ 12x2 12x2i 2ix : : :
Her j için Gbj(1) = Gbj dir. Yani her j için Gbj(1) gauss kobalans say¬lar¬n¬
verir. Örne¼gin; Gb3(x) = 12x2+ 2x 2xi) Gb3(1) = 14 2i Gb4(x) = 72x3+ 12x2 12x2i 2ix) Gb4(1) = 84 14i : : : Ayr¬ca, Gbn(x) = bn(x) ibn 1(x) (4.8)
Gb2(x) = b2(x) ib1(x) = 2x i:0 = 2x
Gb3(x) = b3(x) ib2(x) = 12x2+ 2x 2ix
: : :
Teorem 4.2.1 ( Gauss Kobalans Polinomlar¬ ·Için Binet Formülü)
1(x) = 3x + p 9x2 1ve 2(x) = 3x p 9x2 1ve A = 3x 2+ x xp9x2 1 18x2 2 B = 3x 2+ x + xp9x2 1 18x2 2
olmak üzere Gauss Kobalans Polinomunun Binet Formülü:
Gbn(x) = A: n1(x) + B: n 2(x) x 3x 1 i A: n 11 (x) + B: n 12 (x) x 3x 1 dir. ·
Ispat: Gauss kobalans polinomlar¬n¬n , kobalans polinomlar¬ile ili¸skisinden ispat¬aç¬kça görülür.
Yani, Gbn(x) = bn(x) ibn 1(x)oldu¼gundan, aç¬kt¬r.
Tan¬m 4.2.2 Gcn(x), n: Gauss Lucas Kobalans Polinomu olmak üzere;
Gauss lucas kobalans polinomlar¬dizisi; ba¸slang¬ç ko¸sullar¬, Gc1(x) = 1 + ix, Gc2(x) = 7x i ve n> 1 olmak üzere;
Gcn+1(x) = 6xGcn(x) Gcn 1(x) (4.9) ile tan¬ml¬d¬r. Gc3(x) = 42x2 7xi 1 Gc4(x) = 252x3 42x2i 13x + i Gc5(x) = 1512x4 252x3i 120x2+ 13xi + 1 : : :
Her j için Gcj(1) = Gcj dir. Yani her j için Gcj(1) gauss lucas kobalans
polinomunda x = 1 al¬n¬rsa gauss lucas kobalans say¬lar¬n¬verir. Örne¼gin; Gc3(x) = 42x2 7xi 1) Gc3(1) = 41 7i Gc4(x) = 252x3 42x2i 13x + i) Gc4(1) = 239 41i : : : Ayr¬ca, Gcn(x) = cn(x) icn 1(x) (4.10)
Gc2(x) = c2(x) ic1(x) = 7x i Gc3(x) = c3(x) ic2(x) = 42x2 7xi 1 Gc4(x) = c4(x) ic3(x) = 252x3 42x2i 13x + i : : :
Teorem 4.2.2 ( Gauss Lucas Kobalans Polinomlar¬·Için Binet Formülü)
1(x) = 3x + p 9x2 1, 2(x) = 3x p 9x2 1 ve A1 = 1 + 3x2 xp9x2 1 2p9x2 1 A2 = 1 + 3x2+ xp9x2 1 2p9x2 1 olmak üzere;
Gauss Lucas Kobalans Polinomunun Binet Formülü:
Gcn(x) = (A1: n1(x) A2: n2(x)) i: A1: n 11 (x) A2: n 12 (x)
dir. ·
Ispat: Gauss lucas kobalans polinomlar¬n¬n lucas kobalans polinomlar¬ile ili¸skisinden ispat¬aç¬kça görülür.
Yani, Gcn(x) = cn(x) icn 1(x)oldu¼gundan, aç¬kt¬r.
Teorem 4.2.3 A = 2 4 6x 1 1 0 3 5 , B = 2 4 6x i 1 1 i 3 5 ve D = 2 4 1 7x x 1 3 5 olsun. Bu durumda,
An:B:D = 2 4 Gcn+2(x) Gcn+3(x) Gcn+1(x) Gcn+2(x) 3 5 dir. ·
Ispat: Tümevar¬mla ispatlayal¬m. n = 1 için, A:B:D = 2 4 6x 1 1 0 3 5 2 4 6x i 1 1 i 3 5 2 4 1 7x x 1 3 5 = 2 4 42x2 7xi 1 252x3 42x2i 13x + i 7x i 42x2 7xi 1 3 5 = 2 4 Gc3(x) Gc4(x) Gc2(x) Gc3(x) 3 5 sa¼gland¬.
k için do¼gru oldu¼gunu kabul edelim. Yani n = k
Ak:B:D = Ak:B :D = 2 4 Gck+2(x) Gck+3(x) Gck+1(x) Gck+2(x) 3 5 olsun.
Ak+1:B:D = A: Ak:B:D = 2 4 6x 1 1 0 3 5 : 2 4 Gck+2(x) Gck+3(x) Gck+1(x) Gck+2(x) 3 5 = 2 4 6xGck+2(x) GCk+1(x) 6x:Gck+3(x) GBk+2(x) Gck+2(x) Gck+3(x) 3 5 = 2 4 Gck+3(x) Gck+4(x) Gck+2(x) Gck+3(x) 3 5
oldu¼gundan sa¼gland¬. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Teorem 4.2.4 Gcn(x), n: Gauss Lucas Kobalans Polinomu olmak üzere;
Gc2n+1(x) Gcn(x) :Gcn+2(x) = 42x3i + 6xi
dir (Gauss Lucas Kobalans Polinomunun Cassini Özde¸sli¼gi). · Ispat: Z = 2 4 6x 1 1 0 3 5 n : 2 4 6x i 1 1 i 3 5 : 2 4 1 7x x 1 3 5 olsun. O halde Z matrisinin determinant¬ ;
6x 1 1 0 n : 6x i 1 1 i 1 7x x 1 = 1: ( 6ix) : 1 + 7x2 6x 1 1 0 n : 6x i 1 1 i 1 7x x 1 = 42x3i 6xi (1)
dir ve Teorem 4.2.3 den, Y = 2 4 Gcn+2(x) Gcn+3(x) GCn+1(x) GCn+2(x) 3 5 oldu¼gunu biliyoruz . Determinant¬n¬ al¬rsak;
n yerine n 2 koyarsak;
Gc2n(x) Gcn 1(x) :Gcn+1(x) (2)
(1) ve (2) den
Gc2n(x) Gcn 1(x) :Gcn+1(x) = 42x3i + 6xi
5
SONUÇ ve ÖNER·
ILER
Bu tezde Fibonacci ve Lucas say¬dizileri için var olan indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬ ve Binet formülleri verilmi¸stir. Balans ve Kobalans say¬ dizileri için var olan indirgeme ba¼g¬nt¬lar¬, Binet formülleri aralar¬ndaki ili¸skiler ortaya konmu¸stur. Gauss Balans ve Gauss Kobalans say¬ dizilerinin tan¬mlar¬ ve binet formülleri verilmi¸stir. Balans polinomlar¬tan¬mlanm¬¸s ve bu tan¬ma ba¼gl¬olarak da Lucas Balans polinomlar¬, Kobalans polinomlar¬ve Lucas Kobalans polinomlar¬tan¬mlanm¬¸st¬r ve binet formülleri incelenmi¸stir. Gauss Balans, Gauss Lucas Balans ve Gauss Kobalans, Gauss Lucas Kobalans polinomlar¬n¬n tan¬mlar¬,binet formülleri, matris gösterimleri, cassini formülleri tan¬mlanm¬¸st¬r.
Öneri olarak, iki de¼gi¸skenli Balans polinomlar¬ve Kobalans polinomlar¬tan¬mlanabilir, bunlar¬n binet formülleri ve aralar¬ndaki ili¸skiler incelenebilir.
Ayr¬ca, Gauss Balans, Gauss Lucas Balans ve Gauss Kobalans, Gauss Lucas Kobalans polinomlar¬da iki de¼gi¸skenli tan¬mlanabilir. Bunlar¬n binet formülleri, matris gösterimleri, cassini formülleri incelenebilir.
6. KAYNAKLAR
Asci M., Gurel E., "Bivariate Gaussian Fibonacci and Lucas Polynomials".
Ars Combinatoria 109 (2013): 461-472.
Asci M., Gurel E. "Gaussian Fibonacci and Gaussian Lucas p-Numbers". .
Ars Combinatoria 132 (2017): 389-402.
Asci M., Gurel E., "Gaussian Jacobsthal and Gaussian Jacobsthal Lucas Numbers." Ars Combinatoria. 111 (2013): 53-63.
Asci M., Gurel E. "Some Properties of Gaussian Tribonacci numbers and Gaussian Tribonacci polynomials". Submitted to Journal.
Behera A., and Panda G.K., “On the square root of triangular numbers”, The
Fibonacci Qart, 37(2):98-105, (1999).
Berczes A., Liptai, K., Pink, I., "On generalized balancing numbers",
Fibonacci Quart., 48(2010), 121-128.
Horadam, A. F., "A Generalized Fibonacci sequence." American Math.
Monthly, 68(1961): 455-459.
Jordan J. H., "Gaussian Fibonacci and Lucas numbers". Fibonacci Quart. 3 (1965),315-318.
Kovacs T., Liptai K., Olajos P., "On (a,b)-balancing numbers", Publ. Math.
Debrecen, 77(2010),485-498.
Liptai K., ‘’Fibonacci balancing numbers’’. The Fibonacci Quarterly. 2004. 42(4): 330-340.
Liptai K., ‘’Lucas balancing numbers’’, Acta Math.Univ.Ostrav., 14 No. 1 (2006),43-47.
Olajas P., ‘’Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers’’, Annales Mathematicae et Informaticae, 37 (2010),125-138.
Panda G.K., Ray P.K., "Cobalancing numbers and cobalancers", Int. J. Math.
Sci., 8(2005): 1189-1200.
Panda G.K., ‘’Sequence balancing and cobalancing numbers’’, Fibonacci
Quarterly, 45 (2007),265–271.
Panda G.K., ‘’Some fascinating properties of balancing numbers’’,
Proceedings of the Eleventh International Conference on Fibonacci Numbers and their Applications, Cong. Numer. 194 (2009),185-189.
Panda G.K., Ray P.K., ‘’Some links of balancing and cobalancing numbers and with Pell and associated Pell numbers’’, (oral communication).
Ray P.K., ‘’Application of Chybeshev polynomials in factorization of balancing and Lucas-balancing numbers’’ , Bol. Soc. Paran. Mat. 2012. 30(2): 49 - 56.
Ray P.K., "Balancing polynomials and their derivatives" Ukrainian
Mathematical Journal, 69 (2017), 646-663.
Ray P.K., ‘’Certain matrices associated with balancing and Lucas-balancing numbers’’. Matematika 28 (2012), 1, 15,22.
Rout S.S., “Some Generalizations and Properties of Balancing Numbers”,
Ph.D Thesis, Department of Mathematics National Institute of Technology Rourkela, Rourkela, India (2015).
Szakacs T., ‘’Multiplying balancing numbers’’, Acta. Univ.
Sapientiae,Mathematica, 3, 1, (2011),90-96.
Yılmaz M., ‘’Gauss Balans ve Gauss Kobalans Sayıları Üzerine’’, Pamukkale
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Bölümü , Yüksek Lisans Tezi, Türkiye ( 2017).
7. ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : DİLEK KAYAÇELİK
Doğum Yeri ve Tarihi : DENİZLİ - 07/01/1992
Lisans Üniversite : PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
Elektronik posta : dkayacelik@hotmail.com
İletişim Adresi :
Denizli, Türkiye
Konferans Listesi
Mustafa AŞCI, Dilek KAYAÇELİK “2. International Conference on Mathematical Advances and Applications-ICOMAA 2019” 3-5 May, 2019, İSTANBUL, TURKEY.
