TOPLANABİLEN KATSAYILI ADİ DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN KEYFİ MERTEBE ASİMPTOTİKLER

(1)

FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ

Cilt: 8 Sayı: 2 s. 111-119 Mayıs 2006

TOPLANABİLEN KATSAYILI ADİ DİFERANSİYEL

OPERATÖRLERİN ÖZDEĞERLERİ İÇİN KEYFİ MERTEBE

ASİMPTOTİKLER

(ARBITRARY-ORDER ASYMPTOTİCS FOR THE EIGENVALUES OF

THE ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORS WITH SUMMABLE

COEFFICIENTS)

Alp Arslan KIRAÇ*

ÖZET/ABSTRACT

Bu makalede, toplanabilen katsayılara sahip adi diferansiyel denklem ve t-periyodik sınır

koşulları tarafından üretilen diferansiyel operatörün özdeğerleri için keyfi mertebeden asimptotik formüller elde edildi.

In this article, we obtain the asymptotic formulas of arbitrary order for the eigenvalues of the differential operator generated by ordinary differential equation with summable coefficients and t -periodic boundary conditions.

ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS

Self-adjoint olmayan diferansiyel operatörler, t-periyodik sınır koşulları, Asimptotik

formüller

Non-self-adjoint differential operators, t-periodic boundary conditions, Asymptotic

formulas

(2)

1. GİRİŞ ] 1 , 0 [ 2

L uzayında, )p_s(x (s=2,3,4) katsayıları L₁[0,1] uzayından alınan kompleks değerli

y x p y x p y x p y y) ( ) ( ) ( ) ( ₌ (4) ₊ ₂ _′′₊ ₃ _′₊ ₄ l (1)

diferansiyel denklemi ve t ≠0,π sabit bir kompleks parametre olmak üzere ) 0 ( ) 1 ( ( ) ) (ν _e _yν y ₌ it _,_ν₌_0,1,2,3₍₂₎

t -periodik sınır koşulları tarafından üretilen L_t( p) diferansiyel operatörünü gözönüne alalım (Eastham, 1973).

Önceki klasik incelemelerden biliyoruz ki; eğer Eşitlik 1’deki p_s(x) (s =2,3,4) katsayıları belirli bir mertebeden sürekli türevlere sahipse, L_t( p)operatörünün k’ıncı özdeğerleri için O(k−1)’den daha yüksek mertebeden asymptotik formüller elde edildi (Birkhoff, 1908; Tamarkin, 1927; Naimark, 1967). Yani, özdeğerler için elde edilen asimptotik formüller, Eşitlik 1’deki katsayıların sürekli türevlenebilmesine bağlıdır.

Bu makalede, Veliev’in metodu kullanılarak, )Lt( p operatörünün k.özdeğerleri için keyfi mertebeden asimptotik formüller elde edildi. Burada, ps(x) (s=2,3,4) katsayıları için,

] 1 , 0

[ kapalı aralığı üzerinde, yalnızca Lebesgue integrallenebilir olması kabul edilmiştir. Yani, Eşitlik 1’in katsayıları için herhangi bir sürekli türevlenebilme şartı yoktur.

2. ÖZDEĞERLER İÇİN KEYFİ MERTEBE ASİMPTOTİK FORMÜLLER

Eşitlik 2’de verilen sınır koşulları, t ≠0,π ve Eşitlik 1’in n=4 çift mertebesi için, kısıtlı düzgün (strongly regular) olduğundan, k ≥N ise L_t( p) operatörü basit (simple) özdeğerlere sahiptir (Naimark, 1967). Ayrıca, bu özdeğerlerin

{

λ_k(t)

}

dizisi, k ≥N için Eşitlik 3’ü sağlar (Veliev, 1983; Veliev, 1986).

) ( ) 2 ( ) (t kπi it 4 O k2 λ_k = + + (3)

Burada, k∈Z ve N yeterince büyük pozitif bir tamsayıyı ifade eder: Yani; N >>1. Dikkat edilirse, {(2kπi+it)4:k∈Z} sistemi {e(2kπi+it)x :k∈Z} özvektörlerin sistemine karşılık gelen L_t(0) operatörünün özdeğerleridir. )L_t(0 operatörü y(4) diferansiyel denklemi ve Eşitlik 2’deki sınır koşulları tarafından üretilmiştir. Eşitlik 3 kullanılarak, t ≠0,π ve

N

k ≥ için aşağıdaki eşitsizlikler kolayca gösterilebilir (Eşitlik 4a ve Eşitlik 4b).

2 1 4 ) 2 ( ) (t kπi it c k λ_k − + < , (4a) 4 1) ) ( 2 ( ) (t πi k k it λk − − +

(

)

3 3 1 1 2 a 2πik a a 2πik a c − − − + > (4b)

Burada k1 ≠ 0∈Z, a=(2kπi+it) ve c , m m=1,2,..., gerçek değeri önemli olmayan,N ’den bağımsız pozitif sabitlerdir. Bu eşitsizlikler gösteriyor ki; Lt( p)

(3)

operatörünün )λ_k(t özdeğeri, )L_t(0 ’ın (2kπi+it)4 özdeğerine yakın fakat, L_t(0)’ın diğer

4 1) )

( 2

( πi k−k +it özdeğerlerinden çok uzaktır.

Eşitlik 4a ve Eşitlik 4b’de yer alan eşitsizliklere ilave olarak, k ≥N için k₁ >3k

(

yani k−k₁ >2k

)

alınacak olursa, Eşitlik 5 elde edilir.

4 1) ) ( 2 ( ) (t πi k k it λ_k − − + >c₃ a−2πik₁ − a a−2πik₁3 >c₄ k₁4 (5)

Eşitlik 4a ve Eşitlik 4b’de yer alan eşitsizliklerden faydalanarak, ilerideki hesaplamalarda sıkça kullanılan Eşitlik 5 ve Eşitlik 6’daki bağıntılar kolaylıkla elde edilebilir.

∑

≠ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − − + − 0 : ₁ 4 2 1 1 1 ln ) ) ( 2 ( ) ( ) ( 2 k k _k k k O it k k i π t λ it k k i π , (6)

∑

≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − − 0 : 4 2 2 1 4 1 1 1 ) ) ( 2 ( ) ( k k k k O it k k i π t λ k (7)

Burada, k ≥N ve t ≠0,π’dir. Yeterince büyük k’lar için ψ_k_,_t(x) birim özvektörlere karşılık gelen L_t( p) operatörünün λ_k(t) özdeğerlerine asimptotik formülleri, Eşitlik 8’deki bağıntı kullanılarak elde edilebilir.

) ), ( ( ) ) 2 ( ) ( (λk t − kπi+it 4 ψk,t x e(2kπi+it)x ) , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (p₂ x ψ_k′′_,_t x + p₃ x ψ_k′_,_t x + p₄ x ψ_k_,_t x e(2kπi+it)x = (8)

Burada, .)(., , L₂[0,1] uzayındaki iç çarpımı ifade eder. Bu eşitlik ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₂ _, ₃ _, ₄ _, _, ) 4 ( , x p x ψ x p x ψ x p x ψ x λ t ψ x ψ_k_t + _k′′_t + _k′ _t + _k_t = _k _k_t

eşitliğinin her iki tarafının e−(2kπi+it)x ile çarpılmasıyla bulunan ifadenin, [0,1] üzerinden kısmi integrasyonuyla elde edilir.

Lemma 2.1. k ≥N, t≠0,π ve p₂(x),p₃(x),p₄(x)∈L₁[0,1] olmak üzere, Eşitlik 8’in sağındaki ifade Eşitlik 9’u sağlar.

(

kπi it x

)

t k t k t k x p x ψ x p x ψ x e ψ x p₂( ) ′′_, ( )+ ₃( ) ′_, ( )+ ₄( ) _, ( ), (2 + )

(

′′

)

+ =

∑

∞ −∞ = + − 1 1 1 ) ) ( 2 ( , , 2 ( ), k x t i k k i π t k k ψ x e p

∑

∞

(

′

)

+ −∞ = + − 1 1 1 ) ) ( 2 ( , , 3 ( ), k x t i k k i π t k k ψ x e p

(

)

∑

∞ −∞ = + − 1 1 1 ) ) ( 2 ( , , 4 ( ), k x t i k k i π t k k ψ x e p (9) Burada, )p_s_,_k =(p_s(x),ei2πkx , 4s=2,3, . Ayrıca

(4)

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (2 )

)

₅ 2, , 4 , 3 , 2 x ψ x p x ψ x p x ψ x e c k p nπi it x t k t k t k′′ + ′ + + < ∀n∈Z. (10)

İspat. Lemma’nın ispatı, eğer ]p₂(x),p₃(x),p₄(x)∈L₂[0,1 ise aşikardır. ),p₂(x),p₃(x

] 1 , 0 [ ) ( ₁ 4 x L

p ∈ ise ispat Veliev’in makalesindeki ispata benzerdir (Veliev vd., 2002). ] 1 , 0 [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _, ₃ _, ₄ _, ₁ 2 x ψ x p x ψ x p x ψ x L

p _k′′_t + _k′ _t + _k_t ∈ olduğundan, Eşitlik 8’in sağındaki ifade sonludur.

(

₂( ) ′′_, ( )+ ₃( ) ′_, ( )+ ₄( ) _, ( ), (2πi(k−k1)+it)x

)

→0 t k t k t k x p x ψ x p x ψ x e ψ x p , k₁ →∞ (11) Böylece,

(

πi k k it x

)

t k t k t k Z k p x ψ x p x ψ x p x ψ x e ) ) ( 2 ( , 4 , 3 , 2 1 1 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( max − + ∈ ′′ + ′ + =

(

p₂(x)ψ _, (x) p₃(x)ψ _, (x) p₄(x)ψ _, (x),e(2k0πi it)x

)

C(k) t k t k t k′′ + ′ + + = (12)

olacak şekilde bir C(k) pozitif sabiti ve k tamsayısı vardır. Buradan, Eşitlik 8 kullanılarak, ₀

(

)

₄ 1 ) ) ( 2 ( , ) ) ( 2 ( ) ( ) ( ), ( 1 it k k i π t λ k C e x ψ k x t i k k i π t k + − − ≤ + − ₍₁₃₎

eşitsizliği elde edilir. Eşitlik 13 ve Eşitlik 5 kullanılarak Eşitlik 14 bulunur.

(

)

∑

> > + − _≤ _< 2 1 2 1 1 1 3 23 7 4 1 6 3 : ) ) ( 2 ( , ) ( ), ( k k k k k x t i k k i π t k k c k k C c e x ψ (14) Burada, k2 > k _vek1 >3k2 >3k _(yani,k−k1 >2k _{) şeklindedir. Bu son eşitsizlikten,}

) (

, x

ψ_k_t _{fonksiyonunun}_{e(2πi(k−k1)+it)x _:k₁∈Z_}

bazı tarafından üretilen aşağıdaki formda bir toplamı elde edilir (Eşitlik 15).

(

( ),

)

( ) ) ( (2 ( ) ) ₀ 3 : ) ) ( 2 ( , , 1 2 1 1 1 e g x e x ψ x ψ πi k k it x k k k x t i k k i π t k t k = − + + ≤ + −

∑

(15) Burada, ₃ 2 7 0 ] 1 , 0 [ ) ( sup k c x g x <

∈ olduğu Eşitlik 14’ten görülür. Şimdi )ψk,t(x

′ ’nin de benzer bir forma sahip olduğunu gösterelim. Eşitlik 13 eşitsizliğinin her iki yanı 2πi(k− )k₁ +it ile çarpıldıktan sonra, kısmi integrasyon ve Eşitlik 2 sınır koşulları kullanılarak Eşitlik 16’daki eşitsizlik elde edilir.

(

)

₄ 1 1 ) ) ( 2 ( , ) ) ( 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ), ( 1 it k k i π t λ k C it k k i π e x ψ k x t i k k i π t k + − − + − ≤ ′ − + ₍₁₆₎

(5)

Eşitlik 5 ve Eşitlik 15’in ispatıyla benzer tartışma göz önüne alınırsa, ψk′,t(x) fonksiyonunun {e(2πi(k−k1)+it)x :k1∈Z}_{bazı tarafından üretilen aşağıdaki formu elde edilir}

(Eşitlik 17).

(

( ),

)

( ) ) ( (2 ( ) ) ₁ 3 : ) ) ( 2 ( , , 1 2 1 1 1 e g x e x ψ x ψ πi k k it x k k k x t i k k i π t k t k = ′ + ′ − + ≤ + −

∑

(17) Burada, 22 7 1 ] 1 , 0 [ ) ( sup k c x g x <

∈ _{şeklindedir. Benzer tartışmayla}

(

( ),

)

( ) ) ( (2 ( ) ) ₂ 3 : ) ) ( 2 ( , , 1 2 1 1 1 e g x e x ψ x ψ πi k k it x k k k x t i k k i π t k t k′′ = ′′ − + + ≤ + −

∑

(18) olduğu görülür. Burada, 2 7 2 ] 1 , 0 [ ) ( sup k c x g x <

∈ _{şeklindedir. Elde edilen bu toplamlar}

(

kπi it x

)

t k t k t k x p x ψ x p x ψ x e ψ x p (2 ) , 4 , 3 ,

2( ) ′′ ( )+ ( ) ′ ( )+ ( ) ( ), + _{iç çarpımında yerine konulur ve}

∞ →

2

k _{için limit alınırsa Eşitlik 9 ispatlanmış olur.}

Şimdi Eşitlik 10 ifadesini ispatlayalım. Eşitlik 12’deki C(k) eşitliği, Eşitlik 9 ve kısmi integrasyon kullanılarak aşağıdaki form elde edilir.

(

kπi it x

)

t k t k t k x p x ψ x p x ψ x e ψ x p k C( )= 2( ) ′′, ( )+ 3( ) ′, ( )+ 4( ) , ( ), (2 0 + )

(

)

∑

∞ −∞ = + − − = 1 1 0 1 0 ) ) ( 2 ( , ( ), k x t i k k i π t k k k ψ x e η (19) Burada, ηk₀−k₁ =

(

p2,k₁[2πi(k0 −k1)+it]2 + p3,k₁[2πi(k0 −k1)+it]+ p4,k₁

)

’dır. Eşitlik 19’daki

(

kπi it x

)

t k x e

ψ , ( ), (2 + ) ifadesini içeren terim ayrılır (yani; k0 −k1 =k için) ve

Eşitlik 8 kullanılırsa, Eşitlik 20 elde edilir.

(

)

∑

≠ − + − − + − − + ′ + ′′ = k k k k k x t i k k i t k t k t k k k it k k i t e x x p x x p x x p k C 1 0 1 1 0 1 0 : 0 1 4 ) ) ( 2 ( , 4 , 3 , 2 ) ) ( 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( π λ ψ ψ ψ η π

(

)

(

kπi it x

)

t k k k k k k k kπi it p kπi it p ψ x e p₂_, [2 ]2 ₃_, [2 ] ₄_, _, ( ), (2 ) 0 0 0 + − − − + + + + +

∑

≠ − − + + − − ≤ k k k k _k k k k c it k k i π t λ k C η 1 0 1 1 0 : 2 8 4 1 0 ) ) ( 2 ( ) ( ) ( (20)

(6)

Burada,

(

)

(

)

x t i i π k t k k k k k k k kπi it p kπi it p ψ x e p (2 ) , , 4 , 3 2 , 2 0 [2 ] 0 [2 ] 0 ( ), + − − − + + + + <c₈ k2 ’dır. Böylece, Eşitlik 6 kullanılarak

∑

≠ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − − k k k k _k k k k k O it k k i t 1 0 1 1 0 : ₀ ₁ 4 ln ) ) ( 2 ( ) ( π λ η (21)

olduğu kolayca görülebilir. Sonuç olarak; Eşitlik 20 ve Eşitlik 21’den ₈ 2 2 ) ( ) (k C k c k C < +

bağıntısı elde edilir. Böylece,

2 5 )

(k c k

C <

olacak şekilde pozitif ve k’dan bağımsız c 5

sabiti vardır. Bu sonuç Lemma’nın ispatını tamamlar.

Eşitlik 8 ve Eşitlik 9’dan, kısmi integrasyon kullanılarak aşağıdaki form elde edilir.

(

)

(

)

_∑

∞

(

)

−∞ = + − − + ₌ + − 1 1 1 ) ) ( 2 ( , ) 2 ( , 4 ₍ _), ₍ _), ) 2 ( ) ( k x t i k k i t k k k x t i i k t k k t kπi it ψ x e π η ψ x e π λ (22) Burada,

(

)

1 1 1 1 3, 1 4, 2 1 , 2k [2 ( ) ] k [2 ( ) ] k k k p πi k k it p πi k k it p

η ₋ = − + + − + + . Şimdi Eşitlik 22’nin

sağ tarafındaki,

(

kπi it x

)

t

k x e ψ (2 )

, ( ), + ifadesini içeren terim ayırılır (yani; k1 =0 için) ve

(

πi k k it x

)

t k x e

ψ , ( ), (2 ( −1)+ ) ifadesi için Eşitlik 8 kullanılırsa, Eşitlik 23 elde edilir.

(

)

(

)

(

k i it x

)

t k k x t i i k t k k(t)−(2kπi+it)4 ψ , (x),e(2 π + ) =η −0 ψ , (x),e(2 π + ) λ

(

)

∑

≠ + − − + − − + ′ + ′′ 0 : 1 4 ) ) ( 2 ( , 4 , 3 , 2 1 1 1 1 ) ) ( 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k x t i k k i t k t k t k k k it k k i t e x x p x x p x x p π λ ψ ψ ψ η π (23) Eşitlik 23’te, Eşitlik 9 k2 indeksine göre göz önüne alınırsa

(

)

(

)

(

k i it x

)

(

)

∑

≠ + − − − − − + − − + 0 : , 1 4 ) ) ( 2 ( , 1 2 1 2 1 2 1 1 ) ) ( 2 ( ) ( , ) ( k k k k x t i k k k i π t k k k k k k it k k i π t λ e x ψ η η (24) elde edilir. Burada

(

2,0 2 3,0 4,0

)

0 p [2kπi it] p [2kπi it] p η_k₋ = + + + +

(

₂ ₂ ₂

)

2 1 3, 1 2 4, 2 2 1 , 2k [2 ( ) ] k [2 ( ) ] k k k k− − = p πi k−k −k +it + p πi k−k −k +it + p η (25)

Benzer şekilde Eşitlik 24’ün sağ tarafındaki, z ifadesini içeren terim ayırılır (yani;

0

2 1+ k =

k _{için) ve}k₁+ k₂ ≠0_için

(

ψk,t(x),e(2πi(k−k1−k2)+it)x

)

_{ifadesi yerine Eşitlik 8}

(7)

(

)

(

)

(

k i it x

)

(

)

(

)

∑

≠ + − − − − + − − + + + + + 0 : 1 4 ) 2 ( , , 4 , 3 2 , 2 1 1 1 1 1 1 ) ) ( 2 ( ) ( , ) ( ] 2 [ ] 2 [ k k k x t i i π k t k k k k k k it k k i π t λ e x ψ p it i π k p it i π k p η

(

)

∑

≠ + ≠ + − − − − − + − − − + − − + ′ + ′′ + 0 0 : , ₁ 4 ₁ ₂ 4 ) ) ( 2 ( , 4 , 3 , 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ] ) ) ( 2 ( ) ( [ ] ) ) ( 2 ( ) ( [ , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k _k _k x t i k k k i π t k t k t k k k k k k it k k k i π t λ it k k i π t λ e x ψ x p x ψ x p x ψ x p η η (26)

eşitliği elde edilir. Burada, ( ( ), )

2 , k s i kπx

s p x e

p ₋ = −

, s =2,3,4 için Fourier katsayılarını ifade eder. Bu işlemler sırasıyla m kez tekrar edilirse, aşağıdaki bağıntı elde edilir.

(

λk(t)−(2kπi+it)4

)

(

ψk,t(x),e(2kπi+it)x

)

=

(

ηk−0 +Am(λk(t))

)

(

ψk,t(x),e(2kπi+it)x

)

+Rm (27) Burada, m>1 için

∑

− = = 1 1 )) ( ( )) ( ( m k k m λ t a λ t A l l

(

)

∑

₋ ₋ ₊ + +₋ ₋ +₋ +₊ = − − − − − − − − − l l l l l l L L L L l L L L k k k k k k k k k k k k k k k k it k k k i π t λ it k k i π t λ p it i π k p it i π k p η η t λ a ,..., 1 4 1 4 , 4 , 3 2 , 2 1 1 1 1 1 1 ] ) ) ( 2 ( ) ( [ ] ) ) ( 2 ( ) ( [ ] 2 [ ] 2 [ )) ( ( = m R

(

)

∑

− − −₋ ₋ ′′ ₊ + ′ ₋ + ₋ ₋ ₊ − − + m m m k k k k m x t i k k k i π t k t k t k k k k k k it k k k i π t λ it k k i π t λ e x ψ x p x ψ x p x ψ x p η η ,..., 1 4 1 4 ) ) ( 2 ( , 4 , 3 , 2 1 1 1 1 ] ) ) ( 2 ( ) ( [ ] ) ) ( 2 ( ) ( [ , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( L L L L L _{, (28)} ve k1 ≠0_;

∑

= ≠ l 1 0 j j k , ∀l =1,2,K,m. Eşitlik 25 kullanılarak it k k k i π c η_k _k _k _s s < − − − + − − −1 L 9 2 ( 1 L ) ; s=1,2,K,l (29)

ve al(λk(t))_{’nın genel teriminin payındaki diğer çarpan için}

2 10 , 4 , 3 2 , 2 1 [2kπi it] p 1 [2kπi it] p 1 c k p −kL−k_l + + −kL−k_l + + −kL−k_l < (30)

olduğu açıkça görülür. Buradan, Eşitlik 10, Eşitlik 29, Eşitlik 30 eşitsizlikleri ve Eşitlik 6 bağıntısı kullanılarak ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = l l _k k k O a 2 ln _, ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = m m k k k O R 2 ln ₍₃₁₎

(8)

eşitliklerinin doğruluğunu göstermek zor değildir. Eşitlik 27 ve Eşitlik 31 formülleri göz önüne alındığında aşağıdaki teorem elede edilir.

Teorem 2.2. Lt( p)_{operatörünün}λk(t)_{özdeğerleri aşağıdaki formülü sağlar.}

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ₋ m m k k k k k O F η it i π k t λ ( ) (2 )4 ₀ 2 ln ; ∀m=1,2,_K (32) Burada, t≠0,π ve F₁ =0, F_l = A_l

(

(2kπi+it)4 +η_k₋₀ +F_l₋₁

)

; ∀_l=2,3,_K. İspat. Eşitlik 8, Eşitlik 10 ve Eşitlik 7 göz önüne alınacak olursa,

(

)

∑

≠ ≠ + − + − − < 0 0 ₁ 4 2 4 11 2 ) ) ( 2 ( , 1 1 1 ) ) ( 2 ( ) ( ), ( k k _k x t i k k i π t k it k k i π t λ k c e x ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1₂ k O elde edilir. Buradan

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

≠ + − + − k O e e x ψ k x it k k i π x t i k k i π t k 1 ), ( 0 ) ) ( 2 ( ) ) ( 2 ( , 1 1 1 (33)

Böylece, {e(2kπi+it)x :k∈Z} bazı tarafından üretilen, ψk,t(x)_{birim özvektör aşağıdaki}

şekilde ifade edilebilir.

) ( ), ( ) ( _, (2 ) (2 ) ,t x kt x e k i it x e k i it x h x k =⎜_⎝⎛ψ π + ⎟_⎠⎞ π + + ψ (34) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + k O e x k i it x t k, ( ), (2 π ) 1 1 ψ (35) Burada, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = k O x h( ) 1 .

Eşitlik 27’nin her iki yanı

(

ψ_k_,_t(x),e(2kπi+it)x

)

ile bölünür ve Eşitlik 31 kullanılırsa

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ₋ m k m k k k k k O t λ A η it i π k t λ ( ) (2 ) ( ( )) 2(ln ) 0 4 ₍₃₆₎

bulunur. Özel olarak m=1 için Eşitlik 32’nin sağlandığı görülür. Şimdi Eşitlik 32’nin sağlandığını m üzerinden tümevarımla gösterelim: Kabul edelim ki Eşitlik 32 formülü

1 − = j

m _{için sağlasın, yani}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ₋ ₋ 2 −1 1 0 4 ₍ln ₎ ) 2 ( ) ( k j j k k k k O F η it i π k t λ (37)

(9)

olsun. λk(t)_{’nin bu değeri Eşitlik 36 formülünde,}m= için, j Aj(λk(t))_{’de yerine} konulacak olursa, λk(t)_{aşağıdaki formda elde edilir.}

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + = − − − −0 4 0 1 2 1 4 ₍₂ ₎ ₍ln ₎ ) 2 ( ) ( _k _j _k _j j k k k k O F η it i π k A η it i π k t λ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + j k k k O 2(ln ) ₍₃₈₎

Son olarak Eşitlik 28’deki a_l(λ_k(t)) formu gözönüne alınırsa; Eşitlik 29, Eşitlik 30 ve Eşitlik 6 kullanılarak Eşitlik 39’daki bağıntı elde edilir.

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = − − −0 1 2 1 4 ₍ln ₎ ) 2 ( )) ( ( _k _j _k _j j j k k k O F η it i π k A t λ A

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ₋ ₋ j j k j k k k O F η it i π k A (2 ) 2(ln ) 1 0 4 ₍₃₉₎

Son iki formül Eşitlik 38 ve Eşitlik 39, m= için, Eşitlik 32 formülünü ispatlar. j KAYNAKLAR

Birkhoff G.D. (1908): “Boundary Value and Expansion Problems of Ordinary Linear Differential Equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 9, pp. 373-95.

Eastham M.S.P. (1973): “The Spectral Theory of Periodic Differential Equations”, Scottish Acedemic Pres, Edinburg.

Naimark M.A. (1967): “Linear Differential Operators”, Volume I, George G. Harap and Company Ltd., London.

Tamarkin J.D. (1927): “Some General Problems of The Theory of Ordinary Linear Differential Equations and Expansion of an Arbitrary Function in Series of Fundamental Functions”, Math. Zeit., 27, pp. 1-54.

Veliev O.A. (1983): “The Spectrum and Spectral Singularities of Differential Operators with Complex-Valued Periodic Coefficients”, Differential Cprime nye Uravneniya, 19, pp. 1316-1324.

Veliev O.A. (1986): “Spectral Expansion Related to Non-Selfadjoint Diffrential Operator with Periodic Coefficients” (Russian, English), Diffrential Equations, 22 (12), pp. 1403-1408.

Veliev O.A., Duman M.T. (2002): “The Spectral Expansion for a Nonself-Adjoint Hill Operator with a Locally Integrable Potential”, J. Math. Anal. Appl., 265, pp. 76-90.