Fuzzy normlu uzaylar

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

Fehmi EKĐCĐ

TRAKYA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN EDEBĐYAT FAKÜLTESĐ

MATEMATĐK BÖLÜMÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

ANALĐZ VE FONKSĐYONLAR TEORĐSĐ ANABĐLĐM DALI

2008 – EDĐRNE

TRAKYA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

FUZZY NORMLU UZAYLAR

Fehmi EKĐCĐ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

ANALĐZ VE FONKSĐYONLAR TEORĐSĐ ANABĐLĐM DALI

Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

FUZZY NORMLU UZAYLAR

Fehmi EKĐCĐ

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

ANALĐZ VE FONKSĐYONLAR TEORĐSĐ ANABĐLĐM DALI

Bu tez …/…/2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Hülya ĐŞCAN Yrd. Doç. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN

Üye Üye

Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCĐ Danışman

ÖZET

Dört bölümden oluşan bu çalışmada fuzzy metrik uzaylara bir giriş yapılmış, klasik metrik uzaylara has bazı özellikler fuzzy normlu uzaylara genişletilmiştir.

Birinci bölümde, konunun tarihsel gelişimi ile ilgili kısaca bilgi verildi.

Đkinci bölümde, George ve Veeramani’nin tanımlamış olduğu fuzzy metrik uzaylar ile onun bazı özellikleri incelendi.

Üçüncü bölümde, Saadati ve Vaezpour tarafından oluşturulmuş olan fuzzy normlu uzaylar kavramı incelendi ve onun bazı özellikleri araştırıldı.

Dördüncü bölümde, fuzzy normlu uzaylar üzerinde tanımlanmış olan fonksiyonlar için sabit nokta teoremleri verildi ve Ishikawa iterasyon dizisi ile zayıf bağdaşık fonksiyonların sabit noktaları elde edildi.

SUMMARY

In this work, which consists of four parts, an introduction to fuzzy metric spaces has been studied and some properties which belong to metric spaces are extended to fuzzy normed spaces.

In the first part, historical aspect of the subject has been given.

In the second part, some properties of fuzzy metric spaces, defined by George and Veeramani, have been analysed.

In the third part, fuzzy normed spaces, which were put together by Saadati and Vaezpour, have been studied.

In the fourth part, first the fixed point theorem for fuzzy normed spaces is given then using Ishikawa iteration sequence and fixed points for weakly compatible functions have been obtained.

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın ortaya çıkmasında benden yardımlarını, desteğini, sabrını ve bilgisini esirgemeyen değerli Hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa TELCĐ’ye, değerli tavsiyelerinden yararlandığım, tezin gerçekleşmesinde büyük desteğini gördüğüm Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Başkanı Prof. Dr. Hülya ĐŞCAN’a ve her an yanımda olup yardımını eksik etmeyen eşim Işıl EKĐCĐ’ye en içten teşekkürlerimi sunarım.

SUMMARY ...ii

ÖNSÖZ... iii

1. BÖLÜM / GĐRĐŞ...1

2. BÖLÜM / FUZZY METRĐK UZAYLARA GĐRĐŞ...3

3. BÖLÜM / FUZZY BANACH UZAYLARI...13

1. Fuzzy Normlu Uzaylar ...13

2. Fuzzy Normlu Uzaylarda Dizilerin Yakınsaması...22

3. Fuzzy Normlu Uzaylarda Süreklilik...25

4. Fuzzy Normlu Uzaylarda Sınırlı Kümeler ...27

5. Fuzzy Banach Uzayı...30

6. Bölüm Uzayları ...35

7. Fuzzy Normlu Uzaylarda Sınırlı Doğrusal Dönüşümler ...39

8. Fuzzy Normlu Uzaylarda Doğrusal Dönüşümler Đçin Kapalı Grafik Teoremi ..44

9. Fuzzy Normlu Uzaylarda Doğrusal Topolojik Eşyapı Dönüşümleri ...47

10. Fuzzy Normlu Uzaylar Üzerinde Denk Normlar ...49

11. Sonlu Boyutlu Fuzzy Normlu Uzaylar ...51

4. BÖLÜM / FUZZY NORMLU UZAYLARDA SABĐT NOKTA TEOREMLERĐ...58

1. Fonksiyonların Sabit Noktaları ...58

2. Zayıf Bağdaşık Dönüşümlerin Sabit Noktaları ...59

3. Fuzzy Normlu Uzaylarda Mann ve Ishikawa Đterasyonları...63

KAYNAKLAR...67

1. BÖLÜM

GĐRĐŞ

X boştan farklı herhangi bir küme olmak üzere, X →

[ ]

0,1 biçimindeki fonksiyona bir fuzzy küme (bulanık küme) denir.

1965’de Zadeh tarafından tanımlanan ve aksiyomatik yapısı oluşturulan fuzzy kümeler teorisi bilimin birçok dalında önemli uygulama alanları bulmuştur. Buna paralel olarak matematiğin birçok dalında da fuzzy kümeler yardımıyla önemli birçok sonuç ve genellemeler elde edilmiştir. Elde edilen önemli sonuçlardan bir kısmı fuzzy metrik uzaylarla ilgilidir. Bu zamana kadar değişik yollarla fuzzy metrik uzaylar tanımlanarak onlar üzerinde çeşitli sonuçlar elde edilmiştir.

Özellikle Menger (1942) tarafından verilmiş olan olasılık metrik uzaylar kavramı Kramosil ve Michalek (1975) tarafından genelleştirilerek fuzzy metrik uzaylar oluşturulmuştur. Daha sonra George ve Veeramani (1994), Kramosil ve Michalek’in fuzzy metrik kavramı üzerinde bir takım özel değişiklikler yaparak fuzzy metrik uzay üzerinde Hausdorff ve Birinci Sayılabilme Aksiyomunu sağlayan bir Topoloji’yi oluşturmuşlardır. Bundan sonraki çalışmalarda George ve Veeramani’nin yapmış olduğu fuzzy metrik uzaylar tanımıyla, günümüze kadar birçok önemli sonuç elde edilmiştir.

Bir vektör uzayı üzerinde fuzzy norm, ilk olarak Katsaras (1984) ve sonra Felbin (1992) tarafından tanımlanmıştır. Cheng ve Mordeson (1994), Kramosil ve Michalek tipindeki fuzzy metrik uzaylarla uyumlu bir fuzzy normun farklı bir tanımını yaparak değişik bir yaklaşım getirmiştir.

Bu çalışmada George ve Veeramani’nin fuzzy metrik uzay tanımıyla uyumlu, Saadati ve Vaezpour’un (2005) tanımladığı fuzzy normlu uzaylar göz önüne alınarak, fuzzy normlu uzaylarda dizilerin yakınsaması, süreklilik, sınırlı kümeler, Banach uzayları, bölüm uzayları, sınırlı doğrusal dönüşümler ve sınırlı doğrusal dönüşümler için kapalı grafik teoremi, doğrusal topolojik eşyapı dönüşümleri, denk normlar ve sonlu boyutlu uzaylar incelenmiştir.

Tezin son bölümünde, fuzzy normlu uzaylarda fonksiyonların sabit noktaları çalışılmıştır. Đlk olarak fuzzy normlu uzaylarda tanımlı iki zayıf bağdaşık dönüşüm için ortak sabit noktalarının varlığını ve tekliğini içeren Chugh ve Rathi’nin (2005) teoremi verilmiştir. Đkinci olarak da, bir fuzzy normlu uzayın kapalı konveks bir alt kümesinde tanımlı iki fonksiyonun Ishikawa iterasyonu yardımıyla oluşturulmuş olan dizi ile sabit noktalarının hangi koşullarda var ve tek olduğu araştırılmıştır.

2. BÖLÜM

FUZZY METRĐK UZAYLARA GĐRĐŞ

Bu bölümde George ve Veeramani’ nin (1994) tanımlamış olduğu fuzzy metrik uzaylar göz önüne alınacak ve gerektiği kadarıyla, George ve Veeramani anlamındaki fuzzy metrik uzayın bazı özellikleri incelenecektir.

2.1 FUZZY METRĐK UZAYLAR

2.1.1 Tanım (Schwizer ve Sklar, 1960). Bir ∗:

[ ] [ ]

0,1× 0,1 →

[ ]

0,1 ikili işlemi verilsin. Eğer ∗ işlemi

(i) Birleşmeli ve değişmeli, (ii) Sürekli,

(iii) ∀a∈

[ ]

0,1 için a∗1=a,

(iv) a≤ ve c b≤ özelliğini sağlayan her d a,b,c,d∈

[ ]

0,1 için a∗b≤c∗d koşullarını sağlıyorsa ∗ işlemine sürekli t-norm denir.

2.1.2 Örnek. a∗b=a.b,a∗b=min

( )

a,b ve a∗b=max

(

a+b−1,0

)

biçiminde tanımlanan ∗ işlemlerinin her biri sürekli t-normdur. 2.1.3 Not. (i) a, ∈b

[ ]

0,1 için 1 1⇔ = = ∗b a a ve b=1 dir.

(ii) Eğer A⊂

[ ]

0,1 ve supA=β ise ∀

ε

∈

[

0,

β

)

için ε∗β ≤α olacak biçimde bir

α

sayısı vardır.

Kanıt.

a a b a∗ ≤ ∗ = = 1 1

dır. a∈

[ ]

0,1 olduğundan a=1’dir. Benzer biçimde b b b a∗ ≤ ∗ = = 1 1 dir. b∈

[ ]

0,1 olduğundan b=1’dir.

( )

:⇐ a=1 ve b=1⇒a∗b=1∗1=1 dir.

(ii) ε∗β <1∗β ≤β olduğundan, kanıt için

α

∈

[

ε

∗

β

,

β

]

∩A seçmek yeterlidir.

2.1.4 Tanım (George ve Veeramani, 1994). X boş olmayan herhangi bir küme, ∗ işlemi sürekli bir t-norm ve M de X2× ,

(

0 ∞

)

üzerinde bir fuzzy küme olsun. Eğer M her x,y,z∈X ve t, >s 0 için

(i) M

(

x,y,t

)

>0,

(ii) M

(

x,y,t

)

= 1⇔x= y, (iii) M

(

x,y,t

)

=M

(

y,x,t

)

,

(iv) M

(

x,y,t

)

∗M

(

y,z,s

)

≤M

(

x,z,t+s

)

, (v) M

(

x,y,⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1 sürekli

koşullarını sağlıyorsa M ’ye X üzerinde bir fuzzy metrik ve

(

X, M,∗

)

üçlüsüne de fuzzy metrik uzay denir.

Burada M

(

x,y,t

)

’ nin anlamı, t’ye göre x ve y arasındaki yakınlığın derecesi olarak yorumlanabilir.

2.1.5 Örnek (George ve Veeramani, 1994). X = IR olsun ve a∗b=a.b alınsın. x,y,z∈X ve t∈ ,

(

0 ∞

)

için,

(

)

t y x e t y x M , , = 1₋

2.1.6 Örnek (George ve Veeramani, 1994).

(

X ,d

)

bir metrik uzay olsun.

[ ]

0,1 , ∈b

a için a∗b=a.b alınsın. x,y∈X,t >0 olmak üzere M_d, X2× ,

(

0 ∞

)

üzerinde

(

)

_{( )}

y x d t t t y x M_d , , , + =

biçiminde tanımlansın. O zaman

(

X,M_d,∗

)

bir fuzzy metrik uzaydır. Buradaki M _d fuzzy metriğine, d metriği tarafından indirgenen standart fuzzy metrik denir.

2.1.7 Örnek (George ve Veeramani, 1994). X =IN alınsın. a, ∈b

[ ]

0,1 için b

a b

a∗ = . alınsın. Her x,y∈X,t>0 olmak üzere

(

)

      ≤ ≤ = x y x y y x y x t y x M_d , , , ,

biçiminde tanımlansın. O zaman

(

X,M_d,∗

)

bir fuzzy metrik uzaydır.

2.1.8 Önteorem. Her x,y∈X için M

(

x,y ⋅,

)

azalmayan bir fonksiyondur.

Kanıt. s

t < olsun. O zaman 0<s −t olduğundan 2.1.4 Tanım (iv)’ den

(

x y t

)

M

(

y y s t

)

M

(

x z s

)

M , , ∗ , , − ≤ , ,

olur. 2.1.4 Tanım (ii)’ den

(

y,y,s−t

)

=1 M

dir. Buradan

(

x y t

)

M

(

x y s

)

M , , ≤ , ,

2.1.9 Not (George ve Veeramani, 1994).

(i)

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. Her x,y∈X,t >0 ve 0< r<1 için M

(

x,y,kt

)

> 1−r koşulu sağlanıyorsa 0<t <₀ t ve M

(

x,y,t₀

)

> 1−r olacak biçimde bir t sayısı vardır. ₀

(ii) r₁,r₂,r₃,r₄,r₅∈

( )

0,1 olmak üzere r >₁ r₂ için r₁∗r₃ ≥r₂ koşulunu sağlayan bir r ve herhangi bir ₃ r₄ için r₅∗r₅ ≥r₄ olacak biçimde bir r bulunabilir. ₅

2.1.10 Tanım (George ve Veeramani, 1994).

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. x∈X , 0< r <1 ve t>0 olmak üzere

(

x r t

)

{

y X M

(

x y t

)

r

}

B , , = ∈ : , , >1−

kümesine,

(

X,M,∗

)

fuzzy metrik uzayında x merkezli r yarıçaplı açık yuvar ve

[

x r t

]

{

y X M

(

x y t

)

r

}

B , , = ∈ : , , ≥1−

kümesine de,

(

X,M,∗

)

fuzzy metrik uzayında x merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar denir.

2.1.11 Tanım.

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay ve A⊂ olsun. Eğer her X x∈ A için B

(

x,r,t

)

⊂ olacak biçimde A t>0 ve 0< r<1 varsa 'A ya

(

X,M,∗

)

fuzzy metrik uzayında bir açık küme denir.

2.1.12 Önerme (George ve Veeramani, 1994). Fuzzy metrik uzaylarda her açık yuvar açık bir kümedir.

Kanıt. X

x∈ , 0< r<1 ve t>0 olmak üzere herhangi bir B

(

x,r,t

)

açık yuvarı göz önüne alınsın. Eğer y∈B

(

x,r,t

)

ise M

(

x,y,t

)

> 1−r olacağından 2.1.9 Not (i)’den

t t < < ₀

0 ve M

(

x,y,t₀

)

> 1−r olacak biçimde bir t₀ sayısı vardır. r₀ =M

(

x,y,t₀

)

olsun. O zaman r₀ > 1−r olduğundan r₀ >1−s>1−r olacak biçimde bir 0< s<1 bulunabilir. 2.1.9 Not (ii)’den r₀∗r₁ ≥1−s eşitsizliğini gerçekleyen bir r₁∈

( )

0,1 vardır. Bu durumda B

(

y,1−r₁,t−t₀

)

⊂B

(

x,r,t

)

dir.

Gerçekten, herhangi bir z∈B

(

y,1−r₁,t−t₀

)

için M

(

y,z,t−t₀

)

>r₁ olur. 2.1.4 Tanım (iv)’den

(

x,z,t

)

M

(

x,y,t0

)

M

(

y,z,t t0

)

M ≥ ∗ −

eşitsizliği vardır. Böylece

(

x z t

)

r r s r M , , ≥ ₀∗ ₁≥1− ≥1− elde edilir.

Buradan z∈B

(

x,r,t

)

bulunur. Bu ise B

(

x,r,t

)

açık yuvarının açık küme olduğunu gösterir.

2.1.13 Önerme (George ve Veeramani, 1994).

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. O zaman

{

A X x A t r B

(

x r t

)

A

}

M = ⊂ : ∈ ⇔∃ >0,0< <1∋ , , ⊂

τ

biçiminde tanımlanan

τ

_M ailesi için (i) Ø∈

τ

_M ve X ∈

τ

_M, (ii) A₁,A₂,....,A_n∈

τ

_M ise

I

n i M i A 1 = ∈τ ,

(iii)

{ }

A_{i i∈I},

τ

_M’ nin elemanlarının herhangi bir ailesi ise _M

I i i A∈τ ∈

U

koşulları sağlanır. Kanıt.

(i) Ø∈

τ

_M ve X ∈

τ

_M olduğu açıktır.

(ii) A₁,A₂,....,A_n∈τ_M olsun. Herhangi bir

I

n i i A x 1 =

∈ alınsın. O zaman her n

i=1,2,..., için x ∈A_i olup A_i∈τ_M olduğundan i=1,2,...,n için ∃t_i >0 ve

(

i i

)

i

i B x r t A

r < ∋ ⊂

< 1 , ,

0 dir. r=min

{

r_1,r₂,...,r_n

}

ve t=min

{

t₁,t₂,...,t_n

}

alındığında her bir i=1,2,...,n için B

(

x,r,t

)

⊂B

(

x,r_i,t_i

)

⊂ A_i bulunur. Gerçekten, y∈B

(

x,r,t

)

ise

(

x y t

)

M

r , ,

1− < olur ve buradan 1−r_i ≤1−r<M

(

x,y,t

)

≤M

(

x,y,t_i

)

elde edilir. Bu ise

(

x r_i t_i

)

B

y∈ , , olduğunu gösterir. Sonuç olarak

(

)

I

n i i A t r x B 1 , , = ⊂ olup,

I

n i M i A 1 = ∈τ ’ dir.

(iii)

{ }

A_{i i∈I} ⊂τ_M olsun.

U

I i i A x ∈

∈ alındığında ∃i ∈I vardır ∋ x ∈A_i olur.

M i

A ∈τ olduğundan B

(

x,r_i,t_i

)

⊂ A_i olacak biçimde 0<r_i <1,t_i >0 vardır. Buradan

(

)

U

I i i i i i t A A r x B ∈ ⊂ ⊂ , , olacağından _M I i i A ∈τ ∈

U

’ dir.

2.1.14 Sonuç.

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay ise 2.1.13 Önermesinde tanımlanan

τ

_M ailesi X üzerinde bir topolojidir.

2.1.15 Not. Her bir x ∈X için

      ₌       ,... 2 , 1 : 1 , 1 , n n n x

B ailesi X ’de bir

komşuluk tabanı olduğundan yukarıdaki topoloji birinci sayılabilirdir.

2.1.16 Teorem (George ve Veeramani, 1994).

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. O zaman X ’de her x ≠ y için x∈ ,U y∈V ve U∩V =Ø olacak biçimde U ve V açık kümeleri vardır.

Yani her fuzzy metrik uzay bir Hausdorff uzayıdır.

Kanıt.

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. x ≠ y olmak üzere herhangi iki x,y∈X için 0<M

(

x,y,t

)

<1’ dir. O zaman, r=M

(

x,y,t

)

olarak alınırsa 0< r <1 olur.

1

0 <

< r

r eşitsizliğini sağlayan her r için 2.1.9 Not (ii)’den ₀ r₁∗r₁≥r₀ olacak biçimde bir r₁ bulunabilir.       ₋ =B x r t U 2 1 , 1 , ₁ ve _      ₋ =B y r t V 2 1 , 1 , ₁

açık yuvarları göz önüne alındığında

Ø 2 1 , 1 , 2 1 , 1 , _{1 1} =      ₋ ∩       ₋ t r y B t r x B

dir. Gerçekten, eğer bu arakesit boş küme olmasaydı

_      ₋ ∩       ₋ ∈B x r t B y r t z 2 1 , 1 , 2 1 , 1 , _{1 1}

      ₋ ∈B x r t z 2 1 , 1 , ₁ ve _      ₋ ∈B y r t z 2 1 , 1 , ₁ olacağından

(

1 1

)

1 1 2 1 , ,z t r r x M > − − =      ve

(

1 1

)

1 1 2 1 , ,z t r r y M > − − =      olurdu. 2.1.4 Tanım (iv)’den

(

x y t

)

M x z t M z y t r r r r M r _≥ ∗ ≥ >      ∗       ≥ = _{1 1 0} 2 1 , , 2 1 , , , ,

olurdu ki bu ise bir çelişkidir. Bu durumda

Ø 2 1 , 1 , 2 1 , 1 , _{1 1} =      ₋ ∩       ₋ t r y B t r x B dir.

2.1.17 Teorem (George ve Veeramani, 1994).

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay ve

τ

_M fuzzy metrik tarafından indirgenen bir topoloji olsun. O zaman X ’deki bir

{ }

x _n dizisinin bir x ∈X ’e yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul n→∞ için

(

x ,x,t

)

→1

M _n olmasıdır.

Kanıt.

( )

⇒: Sabit bir t >0 alınsın ve x_n→x olsun. O zaman her bir 0< r <1 için IN

n ∈

∃ ₀ vardır ∋ ∀n ≥n₀ için x_n∈B

(

x,r,t

)

’dir. Buradan M

(

x_n,x,t

)

> 1−r ve

(

x x t

)

r

M _n <

− , ,

1 olur. Böylece n→∞ için M

(

x_n,x,t

)

→1 bulunur.

( )

:⇐ Her bir t>0 için n→∞ iken M

(

x_n,x,t

)

→1 olsun. O zaman verilen her 0< r<1 için ∃n ∈₀ IN vardır ∋ ∀n ≥n₀ için 1−M

(

x_n,x,t

)

<r yani

(

x x t

)

r

2.1.18 Tanım (George ve Veeramani, 1994).

{ }

x bir _n

(

X,M,∗

)

fuzzy metrik uzayında bir dizi olsun. Eğer her 0<ε <1,t>0 için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için

(

x ,x ,t

)

> 1−ε

M _{n m} oluyorsa

{ }

x dizisine fuzzy metrik uzayda bir Cauchy dizisi denir. _n Eğer bir fuzzy metrik uzayındaki her Cauchy dizisi uzaydaki bir noktaya yakınsar ise bu fuzzy metrik uzaya tam fuzzy metrik uzay denir.

2.1.19 Sonuç (George ve Veeramani, 1997). Standart

(

X,M_d,∗

)

fuzzy metrik uzayının tam olması için gerekli ve yeterli koşul

(

X ,d

)

metrik uzayının tam olmasıdır.

Kanıt.

( )

⇒:

(

X,M_d,∗

)

standart fuzzy metrik uzayı tam ve

{ }

x_n ⊂ X de

(

X ,d

)

metrik uzayında bir Cauchy dizisi olsun. O zaman ∀ε >0için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için

(

x_n x_m

)

<ε

d , ’ dur. Standart fuzzy metrik tanımından ∀n,m≥n₀ ve ∀t>0 için

(

)

₍

₎

ε + > + = t t x x d t t t x x M m n m n d , , ,

olduğundan 0< r<1 koşulunu sağlayan her r için

(

x x t

)

r M_{d n}, _m, > 1−

dir. Yani

{ }

x dizisi _n

(

X,M_d,∗

)

standart fuzzy metrik uzayında Cauchy dizisi olur.

(

X,M_d,∗

)

fuzzy metrik uzayı tam olduğundan

{ }

x Cauchy dizisi X ’de bir _n

xnoktasına yakınsar. Böylece

(

)

(

,

)

1 lim

(

,

)

0 lim , , lim = ⇔ = + = ∞ → ∞ → ∞ → _{t d x x} d x x t t x x M _n n n n n d n

bulunur. Bu ise

(

X ,d

)

metrik uzayında n→∞ iken x_n →x olduğunu gösterir. O halde

(

X ,d

)

tamdır.

( )

⇐:

(

X ,d

)

metrik uzayı tam olsun.

(

X,M_d,∗

)

standart fuzzy metrik uzayında bir

{ }

x_n ⊂ X Cauchy dizisi alınsın. O zaman ∀0<r <1, t>0 için ∃n ∈₀ IN vardır

(

)

₍

₎

r x x d t t t x x M m n m n d = ₊ >1− , , , olur. Böylece r rt − = 1

ε olarak alındığında, ∀ε >0 ve ∀n,m≥n₀ için d

(

x_n,x_m

)

<ε bulunur. Yani

{ }

x dizisi _n

(

X ,d

)

metrik uzayında Cauchy dizisidir. X tam olduğundan

{ }

x dizisi X ’de bir n x noktasına yakınsar.

(

)

₍

₎

1 1 , lim , , lim = = = + = ∞ → ∞ → _t t x x d t t t x x M n n n d n dir.

Yani

{ }

x dizisi _n

(

X,M_d,∗

)

uzayında x noktasına yakınsar. Şu halde

(

X,M_d,∗

)

standart fuzzy metrik uzayı tamdır.

2.1.20 Teorem (Lopez ve Romaguera, 2004).

(

X,M,∗

)

bir fuzzy metrik uzay olsun. O zaman M , X2× ,

(

0 ∞

)

üzerinde sürekli bir fonksiyondur.

Kanıt.

0 , ,y∈X t >

x olmak üzere

{

(

x_n′,y_n′,t_n′

)

}

, X2× ,

(

0 ∞

)

üzerinde

(

x,y,t

)

noktasına yakınsayan bir dizi olsun.

{

M

(

x′_n,y′_n,t′_n

)

}

,

(

0,1

]

aralığında bir dizi olduğundan

(

)

{

M xn,yn,tn

}

,

(

0,1

]

aralığında yakınsak olacak biçimde

{

(

xn′,yn′,tn′

)

}

’nin bir

(

)

{

xn,yn,tn

}

alt dizisi vardır. 2

t >

δ olacak biçimde sabit bir δ >0 alalım. O zaman ∀n ≥n₀ için t−t_n <

δ

olacak biçimde bir n ∈₀ IN vardır. Böylece ∀n ≥n₀ için

(

)

(

)

(

)

      ∗ − ∗       ≥ − ≥ 2 , , 2 , , 2 , , , , , , _{n n n n} δ _n δ δ _n δ n y t M x y t M x x M x y t M y y x M ve

(

)

(

)

(

)

      ∗ ∗       ≥ + ≥ + 2 , , , , 2 , , , , 2 , ,y t δ M x y t δ M x x δ M x y t M y y δ x M _{n n n n n n}

(

, ,

)

1

(

, , 2δ

)

1

(

, , 2δ

)

limM x_n y_n t_n ≥ ∗M x y t− ∗ =M x y t− n ve

(

)

(

)

(

_{n n n}

)

n n n n n M x y t M x y t t y x M , , +2δ ≥1∗lim , , ∗1=lim , , elde edilir. t→M

(

x,y,t

)

sürekli bir fonksiyon olduğundan dolayı

(

)

(

n n n

)

n M x y t t y x M , , =lim , ,

3. BÖLÜM

FUZZY BANACH UZAYLARI

Fuzzy metrik uzaylarda olduğu gibi; bir vektör uzayı verildiğinde, onun üzerinde değişik yollarla fuzzy normlar tanımlanmıştır. Bunlara örnek olarak, Katsaras (1984), Felbin (1992), Cheng ve Mordeson (1994) ve Saadati ve Vaezpour’un (2005) yaptığı tanımlar gösterilebilir.

Bu bölümde de George ve Veeramani’nin fuzzy metrik uzaylar için yapmış olduğu tanıma paralel olarak, Saadati ve Vaezpour’un tanımlamış olduğu fuzzy normlu uzaylar göz önüne alınacaktır.

3.1 FUZZY NORMLU UZAYLAR

3.1.1 Tanım (Saadati ve Vaezpour, 2005). X bir vektör uzayı, ∗ dönüşümü sürekli bir t-norm ve N de X× ,

(

0 ∞

)

üzerinde bir fuzzy küme olsun. Eğer N fuzzy kümesi her x,y∈X ve t, >s 0 için

(i) N

( )

x,t >0,

(ii) N

( )

x,t =1⇔x=0,

(iii) Her α ≠0 için,

(

)

_       =

α

α

x t N x t N , , , (iv) N

( )

x,t ∗N

( )

y,s ≤N

(

x+ y,t+s

)

, (v) N

( ) (

x,⋅ : 0,∞

)

→

[ ]

0,1 sürekli, (vi) lim

( )

, =1 ∞ → N x t t

koşulları sağlanıyorsa N ’ye X vektör uzayı üzerinde bir fuzzy norm ve

(

X, N,∗

)

3.1.2 Önteorem. N bir X vektör uzayı üzerinde bir fuzzy norm ise (i) N

( )

x ⋅, , her x ∈X için azalmayan bir fonksiyondur.

(ii) N

(

x−y,t

)

=N

(

y−x,t

)

’ dir.

Kanıt.

(i) t < olsun. s k =s−t>0 olduğundan

( )

x t N

( )

x t N

( )

x t N

( )

k N

( )

x s N , = , ∗1= , ∗ 0, ≤ , Yani N

( )

x ⋅, azalmayandır. (ii) N

(

x y t

)

N

(

y x t

)

N y x t N

(

y x,t

)

1 , ), )( 1 ( , _= −       − − = − − = −

3.1.3 Önerme (Saadati ve Vaezpour, 2005).

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay olsun.

(

x y t

)

N

(

x y t

)

M , , = − ,

biçiminde tanımlanan M fuzzy kümesi X üzerinde bir fuzzy metriktir. Buradaki M fuzzy metriğine, N fuzzy normu tarafından indirgenmiş fuzzy metriği denir.

Kanıt. (i) M

(

x,y,t

)

=N

(

x−y,t

)

≥0 (ii) M

(

x,y,t

)

=N

(

x−y,t

)

=1⇔x−y=0 ⇔ x = y (iii) M

(

x,y,t

)

=N

(

x−y,t

)

=N

(

y−x,t

)

=M

(

y,x,t

)

(iv) M

(

x,y,t

)

∗M

(

y,z,s

)

= N

(

x−y,t

)

∗N

(

y−z,s

)

≤N

(

x−z,t+s

)

=M

(

x,z,t+s

)

(v) N

(

x− y,⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1 sürekli olduğundan

(

x,y,⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1

M ’nin sürekliliği de açıktır. O halde M bir fuzzy metriktir.

3.1.4 Not. Bu önermenin sonucu olarak; her fuzzy normlu uzayın aynı zamanda bir fuzzy metrik uzayı olduğunu söyleyebiliriz.

Her fuzzy normlu uzaydan bir fuzzy metrik uzay elde edilebildiğine göre, her fuzzy metrik uzaydan bir fuzzy normlu uzay elde edilebilir mi? Bu sorunun cevabı, X vektör uzayı üzerinde tanımlı her fuzzy metriği için doğru değildir. Ancak bazı özellikleri sağlayan fuzzy metrik uzaylar için bu doğrudur.

3.1.5 Önerme (Saadati ve Vaezpour, 2005). Bir

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayı üzerinde, N fuzzy normu tarafından indirgenmiş M fuzzy metriği aşağıdaki özellikleri sağlar.

Her x,y,z∈X ve her α ≠0 sayısı için (i) M

(

x+z,y+z,t

)

=M

(

x,y,t

)

(ii)

(

)

_       =

α

α

α

x y t M x y t M , , , , Kanıt. (i) M

(

x+z,y+z,t

)

=N

(

(x+z)−(y+z),t

)

=N

(

x−y,t

)

=M

(

x,y,t

)

(ii) M

(

α

x,

α

y,t

)

= N

(

α

x−

α

y,t

)

=N

(

α

( −x y),t

)

_       − =

α

t y x N , = _      

α

t y x M , ,

3.1.6 Önerme. Bir X vektör uzayı üzerinde, 3.1.5 Önermesindeki (i) ve (ii) koşullarını sağlayan fuzzy metrik M olsun. Eğer M için lim

(

,0,

)

=1

∞

→ M x t

t ise

( )

x t M

(

x t

)

N , = ,0, biçiminde tanımlanan N fuzzy kümesi X üzerinde bir fuzzy normdur.

Kanıt.

(i) N

( )

x,t =M

(

x,0,t

)

>0

(ii) N

( )

x,t =M

(

x,0,t

)

=1⇔ x=0

(iii) α ≠0 olmak üzere

(

)

(

)

(

)

_       =         = = =

α

α

α

α

α

α

x t M x t M x t M x t N x t N , ,0, , 0, ,0, , (iv) N

(

x+ y,t+s

)

=M

(

x+ y,0,t+s

)

≥M

(

x+y,y,t

)

∗M

(

y,0,s

)

=M

(

x+y,0+ y,t

)

∗M

(

y,0,s

)

=M

(

x,0,t

)

∗M

(

y,0,s

)

=N

( )

x, ∗t N

( )

y,s (v) M

(

x,y,⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1 sürekli olduğundan N

( ) (

x,⋅ : 0,∞

)

→

[ ]

0,1 sürekliliği de açıktır. (vi) M

(

x t

)

N

( )

x t t t ,0, 1 lim , lim ∞ → ∞ → = =

Sonuç olarak N

( )

x,t , X vektör uzayı üzerinde bir fuzzy normdur.

3.1.7 Örnek.

(

X,⋅

)

bir normlu uzay olsun. a∗b=a.b alınsın. x ∈X ve

(

∞

)

∈ ,0 t için

( )

t x e t x N , = 1

Kanıt. (i)

( )

, = 1 >0 t x e t x N (ii)

( )

, = 1 =1⇔ t =1 x t x e e t x N ⇔ =0 t x ⇔ x =0 ⇔ x=0 (iii)

(

α

≠0

)

,

(

)

_       = = = =

α

α

α α α t x N e e e t x N t x t x t x , 1 1 1 , (iv) x,y∈X ve t, >s 0 için y x y x+ ≤ + olduğundan y s s t x t s t y x       + +       + ≤ + bulunur. Buradan s y t x s t y x + ≤ + + elde edilir. Üstel fonksiyonun özelliğinden

s y t x s y t x s t y x e e e e + ≤ + = . + olup s t y x s y t x e e e + + ≤ ⋅ 1 1 1 bulunur. Buradan

( )

x t N

( )

y s N

(

x y t s

)

N , ∗ , ≤ + , +

(v) e üstel fonksiyonu sürekli olduğundan x N

( ) (

x,⋅ : 0,∞

)

→

[ ]

0,1 süreklidir.

(vi) lim

( )

, =lim 1 = 1₀ =1

∞ → ∞ → _e e t x N t x t t

O halde

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzaydır.

3.1.8 Örnek.

(

X,⋅

)

bir normlu uzay olsun. a, ∈b

[ ]

0,1 için a∗b=a.b ve 0 , > ∈X t x olmak üzere

( )

x t t t x N + = ,

biçiminde tanımlanan N dönüşümü, X üzerinde bir fuzzy norm olup

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzaydır.

Buna, ⋅ normu tarafından indirgenmiş standart fuzzy normu denir.

Kanıt. (i)

( )

, >0 + = x t t t x N (ii)

( )

t t x x t t t x N = ⇔ = + + = 1 , ⇔ x =0 ⇔ x =0 (iii)

(

α

≠0

)

,

(

)

_       = + = + = + =

α

α

α

α

α

α

N x t x t t x t t x t t t x N , ,

(iv) x,y∈X ve t, >s 0 olsun. Normun

y x y

x+ ≤ +

( )

( )

₍

₎₍

₎

y t s t s x s t s t y s x t s t y s s x t t s y N t x N + + + ⋅ + + + ≤ + + = + ⋅ + = ∗ , . ,

(

)

(

t s

) (

t s

)

y

(

t s

)

x x y s t + + + + + + + = ₂ 2

(

)

(

t s

) (

t s

)

(

x y

)

s t + + + + + ≤ ₂ 2

(

)

(

t s

)

(

t s x y

)

s t + + + + + ≤ 2 y x s t s t + + + + = = N

(

x+y,t+s

)

(v) N

( ) (

x,⋅ : 0,∞

)

→

[ ]

0,1 fonksiyonunun sürekli olduğu açıktır. (vi) lim

( )

, lim =1

+ = ∞ → ∞ → _{t x} t t x N t t

O halde

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzaydır.

Daha önce fuzzy metrik uzaylarda tanımlanan açık yuvar ve kapalı yuvar tanımları fuzzy normlu uzaylara aşağıdaki gibi uyarlanır.

3.1.9 Tanım.

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay olsun. t>0, 0< r<1 ve x ∈X olmak üzere, x merkezli r yarıçaplı B

(

x,r,t

)

açık yuvarı ve B

[

x,r,t

]

kapalı yuvarı

(

x r t

)

{

y X N

(

x y t

)

r

}

B , , = ∈ : − , >1−

[

x r t

]

{

y X N

(

x y t

)

r

}

B , , = ∈ : − , ≥1−

3.1.10 Önerme (Sadeqi ve Kia, 2007).

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzay ve

α

∈

( )

0,1 , 0 > t olmak üzere

(

0,

α

,t

)

=

{

x:N

( )

x,t >1−

α

}

B ise a) B

(

x,

α

,t

)

=x+B

(

0,

α

,t

)

b) B

(

0,

α

,t

)

=t.B

(

0,

α

,1

)

c) t₁≤t₂ ⇒B

(

0,

α

,t₁

)

⊂B

(

0,

α

,t₂

)

d)

α

₁≤

α

₂⇒B

(

0,

α

₁,t

)

⊆B

(

0,

α

₂,t

)

dir. Kanıt. a) x+B

(

0,

α

,t

)

=x+

{

y:N

( )

y,t >1−

α

}

=

{

x+ y:N

( )

y,t >1−

α

}

=

{

z:N

(

z−x,t

)

>1−

α

}

=B

(

x,

α

,t

)

b) tB

(

0,

α

,1

)

=t

{

y:N

( )

y,1 >1−

α

}

=

{

ty:N

( )

y,1 >1−

α

}

      − >       = : ,1 1

α

t x N x =

{

x:N

( )

x,t >1−

α

}

=B

(

0,

α

,t

)

c) t ≤₁ t₂ olsun. x∈B

(

0,

α

,t₁

)

ise N

( )

x⋅, IR ’de azalmayan fonksiyon olduğundan

( )

, 1

(

, 2

)

1−

α

<N x t ≤N xt dir. Buradan

(

0, ,t₂

)

B x∈

α

dir. O halde t₁≤t₂ ⇒B

(

0,

α

,t₁

)

⊂B

(

0,

α

,t₂

)

dir. d)

α

₁≤

α

₂ olsun. x∈B

(

0,

α

₁,t

)

ise

( )

x t N , 1 1−

α

₂ < −

α

₁< dir. Buradan

(

t

)

B x∈ 0,

α

₂, dir. O halde

(

t

)

B

(

t

)

B 0, ₁, 0, ₂, 2 1

α

α

α

α

≤ ⇒ ⊆ dir.

3.2 FUZZY NORMLU UZAYLARDA DĐZĐLERĐN YAKINSAMASI

Fuzzy normu tarafından indirgenen fuzzy metrik ve 2.1.17 Teoremi göz önüne alındığında fuzzy normlu uzaylarda dizilerin yakınsaklığı aşağıdaki biçimde tanımlanır.

3.2.1 Tanım.

{ }

x bir _n

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında bir dizi ve x ∈X olsun. Eğer her t>0 için

(

,

)

1

lim − =

∞

→ N xn x t n

oluyorsa,

{ }

x dizisi _n

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında x’e yakınsar denir ve x_n x

n→∞ =

lim

biçiminde gösterilir.

3.2.2 Not.

{ }

x bir _n

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında yakınsak bir dizi ise o zaman

{ }

x ’nin limiti tektir. _n

Kanıt. x x_n→ ve x_n→y olsun. O zaman 0 > ∀t için 1 2 , lim =      ₋ ∞ → t x x N _n n ve lim ,₂=1     ₋ ∞ → t y x N _n n ⇒

(

)

      ₋ ∗       ₋ ≥ − 2 , 2 , ,t N x x t N x y t y x N _{n n}

olur. Limite geçildiğinde

(

x y t

)

N

(

x y t

)

x y

N − , ≥1∗1=1⇒ − , =1⇔ =

olur.

3.2.3 Önerme.

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay,

{ }

x ve _n

{ }

y X ’de iki dizi _n olsun.

{ }

x , _n x’e yakınsak ve N

(

y_n−x_n,t

)

→1 ise o zaman

{ }

y de _n x’e yakınsar.

Kanıt.

(

)

      ₋ ∗       ₋ ≥ − 2 , 2 , ,t N y x t N x x t x y N _{n n n n}

olup buradan limite geçildiğinde

(

,

)

1 1 1 lim − ≥ ∗ = ∞ → N yn x t n ve N

(

yn − tx,

)

→1 olur. Böylece y_n x n→∞ = lim bulunur.

3.2.4 Önerme (Saadati ve Park, 2006).

(

IR, N,∗

)

, lim

( )

, 0

0 =

→ N x t

t koşulunu

sağlayan bir fuzzy normlu uzay olsun. Bir

{ }

β

_n dizisinin

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında yakınsak olması için gerekli ve yeterli koşul

{ }

β

_n dizisinin

(

IR,⋅

)

uzayında yakınsak olmasıdır. Kanıt.

( )

⇐: Eğer

β

_n−

β

→0 ise

(

,

)

lim 1,

( )

1, 1 lim _= ∞ =       − = − ∞ → ∞ → N t N t N n n n n

β

β

β

β

dir. O halde

{ }

β

_n ,

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında yakınsak olur.

( )

⇒: lim

(

− ,

)

=1

∞

→ N n t

n

β

β

olsun. Eğer liminf

(

β

n −

β

)

=u, limsup

(

β

n −

β

)

=v ve

v

u, +∞veya ∞− değil ise o zaman sırasıyla bu noktalara yakınsayan

{

β −β

}

k

n ve

{

β −β

}

k

m alt dizileri bulabiliriz. Böylece varsayımdan ve 2.1.20 Teoreminden ∀t>0

için N

( )

u,t =N

( )

v,t =1 olup u= v=0 bulunur. Bu da

{

β_n −β

}

dizisinin limitinin var ve 0’a eşit olması demektir.

Eğer uve v’den biri ya da ikisi de sonsuz ise

( )

_       = x t N t x N , 1, eşitliğinde

(

)

_       − = − =         −β →∞ β β β β β n _n n n t N t N t

N 1, lim , liminf 1,

sup

lim

(

3.2.1

)

Eğer liminf

(

β_n −β

)

=−∞ olsaydı

(

3.2.1

)

’den 1 =0 bulunurdu. Bu ise bir çelişki olur. Benzer biçimde eğer limsup

(

β_n −β

)

=+∞ olsaydı yine 1 =0 gibi bir çelişki bulunurdu.

Şu halde uve v +∞veya − olamaz. Buna göre ∞ lim

(

−

)

=0

∞

→ βn β

n olup

{ }

βn

3.3 FUZZY NORMLU UZAYLARDA SÜREKLĐLĐK

3.3.1 Tanım.

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar, T:X →Y bir dönüşüm ve x ∈₀ X olsun. Eğer her 0<ε <1 ve t>0 için ∃r∈

( )

0,1 ve

(

x x

)

r N_X − > − ∋

>

∃δ 0 ₀,δ 1 koşulunu sağlayan her x ∈X için N_Y

(

Tx−Tx₀,t

)

>1−ε oluyorsa T ’ye x noktasında fuzzy süreklidir veya kısaca F-süreklidir denir. ₀

3.3.2 Teorem.

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar ve T :X →Y bir dönüşüm olsun. T ’nin x ∈₀ X’de F-sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul

0

x

x_n→ koşulunu sağlayan her

{ }

x_n ⊂X dizisi için Tx_n →Tx₀ olmasıdır.

Kanıt.

( )

⇒: T , x noktasında F-sürekli olsun. O zaman ₀ 0<ε <1 ve t>0 için

( )

0,1

∈

∃r ve δ >0 ∋ N_X

(

x−x₀,δ

)

>1−r⇒ N_Y

(

Tx−Tx₀,t

)

>1−ε olur. x_n→x₀ ise

( )

0,1

∈

r için ∃N∈IN∋∀n≥ N için N_X

(

x_n−x₀,δ

)

>1−r’dir. O halde ∀n ≥N için

(

Tx −Tx₀,t

)

>1−ε

N_{Y n} olur. Yani Tx_n →Tx₀’dır.

( )

⇐: T ’nin F-sürekli olmadığı kabul edilsin. O zaman ∃0<ε <1 ve 0 > t ∋ r∀ ∈

( )

0,1 ve δ >0 için N_X

(

x−x₀,δ

)

>1−r ve N_Y

(

Tx−Tx₀,t

)

≤1−ε olur. 1 ≠ n olmak üzere

(

)

n x x

N_{X n} − ₀,δ >1−1 ve N_Y

(

Tx_n −Tx₀,t

)

≤1−ε biçiminde X ’de bir

{ }

x dizisi oluşturulabilir. O zaman n xn→x0 olmasına karşın Txn →Tx0 olamaz.

3.3.3 Teorem (Saadati ve Vaezpour, 2005).

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay olsun. a) T:X ×X →X,T

( )

x,y =x+ y ve b) Ç:IK×X →X,Ç

(

α,x

)

=αx fonksiyonları F-süreklidir. Kanıt. a) n→∞ için, x_n →x ve y_n→y olsun. O zaman

(

x − tx,

)

→1 N _n

(

y − ty,

)

→1 N _n olur. Buradan

(

)

1 2 , 2 , ), ( ) ( →      ₋ ∗       ₋ ≥ + − + y x y t N x x t N y y t x N _{n n n n}

bulunur. Böylece T

(

x_n,y_n

)

=x_n +y_n→x+y=T

( )

x,y olur. Yani T , X ×X’de F-süreklidir.

b) n→∞ için x_n→x, α_n→α ve α_n ≠0 olsun. O zaman N

(

α_nx_n −αx,t

)

=N

(

α_n(x_n −x)+x(α_n−α),t

)

      ₋ ∗       ₋ ≥ 2 ), ( 2 ), (x x t N x t N α_{n n} α_n α 1 2 , 2 , _→       − ∗       − = α α αn n n t x N t x x N

bulunur. Böylece Ç

(

α_n,x_n

)

=α_nx_n→αx=Ç

(

α,x

)

olur. Yani Ç , IK ×X ’de F-süreklidir.

3.4 FUZZY NORMLU UZAYLARDA SINIRLI KÜMELER

3.4.1 Tanım.

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay ve A , X ’in bir alt kümesi olsun. Eğer her x∈ için A N

( )

x,t > 1−r olacak biçimde bir t>0 ve 0< r<1 (Yani

(

r t

)

B

A⊂ 0, , ) var ise A ’ya fuzzy sınırlı küme veya kısaca F-sınırlı küme denir.

3.4.2 Önerme.

(

X, ⋅

)

bir normlu uzay ve N de X üzerinde ⋅ normu tarafından indirgenen standart fuzzy normu olsun. O zaman bir A ⊂ X ’in

(

X, N,∗

)

uzayında F-sınırlı olması için gerekli ve yeterli koşul A ’nın

(

X, ⋅

)

uzayında sınırlı olmasıdır.

Kanıt.

( )

⇒: A ⊂ X,

(

X, N,∗

)

uzayında F-sınırlı ise ∀x ∈A için N

( )

x,t > 1−r

olacak biçimde t>0 ve 0< r<1 sayısı vardır. O zaman ∀x ∈A için

( )

r x t t t x N > − + = 1 , ⇒t+ x −tr−r x <t ⇒ 1

(

−r

)

x <rt , 0 1− = > < ⇒ m m r rt x

dır. O halde A kümesi

(

X, ⋅

)

uzayında sınırlıdır.

( )

⇐: A ,

(

X, ⋅

)

uzayında sınırlı olsun. O zaman ∃m>0∋∀x∈A için

m

x < ’dir. t>0 olmak üzere

m t

m r

+

= olarak alındığında ∀x∈A için

( )

r m t m m t m m t m t t x t t t x N = − + − = + − + = + > + = 1 1 ,

3.4.3 Önerme (Saadati ve Park, 2006).

(

N,∗

)

, IR üzerinde lim

( )

, 0

0 =

→ N x t t

koşulunu sağlayan bir fuzzy norm olsun. IR ’nin bir A alt kümesinin

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında F-sınırlı olması için gerekli ve yeterli koşul A ’nın IR ’de sınırlı

olmasıdır.

Kanıt.

( )

⇒: A ,

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında F-sınırlı olsun. O zaman ∃t₀ >0 ve

( )

a r₀∈ 0,1 ∋ ∀0≠ için

(

)

_       = < − a t N t a N r 0 0 0 , 1, 1

dır. Eğer ∀a ∈A için a ≤k olacak biçimde bir k∈ IR+ olmasaydı ∀n>0için a_n >n

olacak biçimde A ’da bir

{ }

a dizisi bulunabilir. Bu durumda _n

(

)

_       = < − n n a t N t a N r 0 0 0 , 1, 1

olup n→∞ durumunda a_n →∞ olacağından

0 , 1 lim 1 0 0 =       < − →∞ n n _a t N r

olur ki bu bir çelişkidir. O halde ∀a∈A için a ≤k olacak biçimde bir k >0 sayısı vardır. Dolayısıyla A , IR ’de sınırlıdır.

( )

⇐: A , IR ’de sınırlı olsun. O zaman ∀a ∈A için a ≤k olacak biçimde bir 0

>

(

)

_       ≥         = k t N a t N t a N 0 0 0 1, 1, , olur. _1, 0 _r1 k t N _=      

alınırsa r₁>1 r− ₀ olacak biçimde bir 0< r₀ <1 vardır. O zaman A

a∈ ≠

∀0 , 1−r <₀ N

(

a,t₀

)

olur.

O halde A ,

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında F-sınırlıdır.

3.2.4 ve 3.4.3 Önermeleri göz önüne alındığında aşağıdaki sonuç elde edilir.

3.5 FUZZY BANACH UZAYI

Fuzzy normu tarafından indirgenen fuzzy metriği ve 2.1.18 Tanımı göz önüne alındığında, fuzzy normlu uzaylar için Cauchy dizisinin tanımı aşağıdaki gibi yapılır.

3.5.1 Tanım.

{ }

x bir _n

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında bir dizi olsun. Eğer her 1

0<ε < , t>0 için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için N

(

x_n −x_m,t

)

>1−ε oluyorsa

{ }

x _n dizisine fuzzy normlu uzayda bir Cauchy dizisi veya kısaca F-Cauchy dizisi denir.

3.5.2 Not.

i) Fuzzy normlu uzayındaki bir

{ }

x dizisinin F-Cauchy olması için gerekli _n ve yeterli koşul her t >0 için

(

,

)

1 lim

,m→∞N xn −xm t = n

olmasıdır.

ii) Fuzzy normlu uzaylarda her yakınsak dizi bir F-Cauchy dizisidir.

Kanıt.

( )

⇒: i)

{ }

x bir F-Cauchy dizisi olsun. O zaman her _n 0<ε <1, t>0 için

0 0 IN n,m n

n ∈ ∋∀ ≥

∃ için N

(

x_n −x_m,t

)

>1−ε olur. Buradan

(

−

)

<ε

−N x_n x_m,t 1

bulunur. Bu ise n,m→∞ için N

(

x_n−x_m,t

)

→1 olduğunu gösterir.

( )

⇐: ∀t>0 ve n,m→∞ için N

(

x_n−x_m,t

)

→1’dir. O zaman her 0<ε <1 için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için 1−N

(

x_n−x_m,t

)

<ε olur. Buradan

0

,m n

n ≥

ii)

{ }

x bir _n

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayında bir x ∈X ’e yakınsasın. O zaman ∀t>0 için lim

(

− ,

)

=1

∞ → N xn x t n ’dir. 0 > ∀t için

(

)

      − ∗       ₋ ≥ − 2 , 2 , ,t N x x t N x x t x x N _{n m n m} olup buradan

(

,

)

1 lim ,m→∞N xn −xm t = n bulunur.

3.5.3 Tanım.

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay olsun. Eğer X ’deki her F-Cauchy dizisi X ’deki bir noktaya yakınsıyorsa yani fuzzy norm ile tanımlanan fuzzy metrik tam ise

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayına fuzzy Banach uzayı veya kısaca F-Banach uzayı denir.

3.5.4 Önerme.

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar ise

a) N

(

(x,y),t

)

=N_X

( )

x,t ∗N_Y

( )

y,t olmak üzere

(

X×Y, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzaydır.

b) Eğer

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

F-Banach uzayları ise

(

X×Y, N,∗

)

da bir F-Banach uzayıdır.

Kanıt.

a) ∀ ,

( )

x y ∈X×Y ve t >0 için

i) N

(

(x,y),t

)

>0 olduğu açıktır.

ii)

( )

⇒: N

(

(x,y),t

)

=N_X

( )

x,t ∗N_Y

( )

y,t =1 olsun. 2.1.3 Not’dan N_X

( )

x,t =1 ve N_Y

( )

y,t =1 olur. Böylece x=0 ve y=0 olup

( ) ( )

x,y = 0,0 bulunur.

( )

⇐:

( ) ( )

x,y = 0,0 ⇒x=0 ve y=0

⇒N_X

( )

x,t =1 ve N_Y

( )

y,t =1

iii) α ≠0 için

(

x y t

)

N

(

x y t

)

N

(

x t

)

N

(

y t

)

N

α

( , ), = (

α

,

α

), = _X

α

, ∗ _Y

α

, _       ∗         = α α t y N t x N_X , _Y , _       = α t y x N ( , ), iv) ∀x,z∈X,∀y,u∈Y ve t, >s 0 için

(

x y t

)

N

(

z u s

)

[

N

( )

x t N

( )

y t

]

[

N

( )

z s N

( )

u s

]

N ( , ), ∗ ( , ), = _X , ∗ _Y , ∗ _X , ∗ _Y , =

[

N_X

( )

x,t ∗N_X

( )

z,s

]

∗

[

N_Y

( )

y,t ∗N_Y

( )

u,s

]

≤N_X

(

x+z,t+s

)

∗N_Y

(

y+u,t+s

)

=N

(

(x+z,y+u),t+s

)

v) N

(

(x,y),⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1 fonksiyonunun sürekliliği açıktır. vi)

[

N

(

x y t

)

]

[

N_X

( )

x t N_Y

( )

y t

]

t X t ( , ), lim , , lim = ∗ →∞ →∞ N

( )

x t N_Y

( )

y t t X t , lim , lim →∞ →∞ ∗ = =1∗1 1=

dir. O halde N

(

(x,y),t

)

= N_X

( )

x,t ∗N_Y

( )

y,t X ×Y üzerinde bir fuzzy normdur. b)

{

(

x ,_n y_n

)

}

,

(

X×Y, N,∗

)

uzayında herhangi bir F-Cauchy dizisi olsun. O zaman her 0<ε <1 ve t >0 için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için

(

(x ,y )−(x ,y ),t

)

>1−ε

N _{n n m m} olur.

(

x x ,t

)

N

(

x x ,t

)

1 N

(

x x ,t

)

N

(

y y ,t

)

N

(

(x x ,y y ,t)

)

N_{X n} − _m = _{X n}− _m ∗ ≥ _{X n} − _m ∗ _{Y n}− _m = _n− _{m n} − _m

⇒ N_X

(

x_n−x_m,t

)

>1−ε ve benzer şekilde

(

y y ,t

)

1 N

(

y y ,t

)

N

(

x x ,t

)

N

(

y y ,t

)

N

(

(x x ,y y ,t)

)

N_{Y n}− _m = ∗ _{Y n} − _m ≥ _{X n}− _m ∗ _{Y n} − _m = _n − _{m n}− _m =N

(

(x_n,y_n)−(x_m,y_m),t

)

>1−ε ⇒ N_Y

(

y_n −y_m,t

)

>1−ε

bulunur. Böylece her 0<ε <1 ve t >0 için ∃n₀∈IN ∋∀n,m≥n₀ için

(

x −x ,t

)

>1−ε

N_{X n m} ve N_Y

(

y_n −y_m,t

)

>1−ε

olur. Bu ise

{ }

x dizisinin _n

(

X,N_X,∗′

)

uzayında ve

{ }

y dizisinin _n

(

Y,N_Y,∗′′

)

uzayında birer F-Cauchy dizisi olduğunu verir.

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

F-Banach uzayı olduğundan x_n→x ve y_n→y olacak biçimde x ∈X ve y ∈Y vardır.

Şimdi

(

x_n,y_n

)

→

( )

x,y olduğunu görelim. x x_n→ ve y_n→y olduğundan ∀t>0 için

(

,

)

1 lim − = ∞ → NX xn x t n ve

(

,

)

1 lim − = ∞ → NY yn y t n dir. N

(

x y x y t

)

N

(

x_n x y_n y t

)

n n n n ( , ) ( , ), lim ( , ), lim − = − − ∞ → ∞ →

[

N_X

(

x_n x t

)

N_Y

(

y_n y t

)

]

nlim − , ∗ − , = ∞ → =lim

(

− ,

)

∗lim

(

− ,

)

=1∗1=1 ∞ → ∞ → NX xn x t n NY yn y t n

bulunur. Yani

(

x_n,y_n

)

→

( )

x,y ’ dir.

Bunu X ×Y ’de her F-Cauchy dizisi için yapabileceğimizden

(

X ×Y, N,∗

)

bir F-Banach uzayıdır.

3.5.5 Örnek. i) lim

( )

, 0

0 =

→ N x t

t koşulunu sağlayan her

(

IR, N,∗

)

fuzzy normlu uzayı bir

F-Banach uzayıdır.

ii)

(

X,⋅

)

bir Banach uzayı olsun. O zaman 3.1.8 Örneğindeki

( )

x t t t x N + = ,

standart fuzzy normuna göre

(

X, N,∗

)

uzayı da bir F-Banach uzayıdır. iii) lim

( )

, 0

0 =

→ N x t

t koşulunu sağlayan her

(

C, N,∗

)

fuzzy normlu uzayı bir

3.6. BÖLÜM UZAYLARI

3.6.1 Tanım (Saadati ve Vaezpour, 2005).

(

X, N,∗

)

bir fuzzy normlu uzay, Y de X ’in bir alt vektör uzayı olmak üzere

( )

x x Y Q Y X X Q: → / , = + doğal dönüşümü verilsin ve 0 > t , N

(

x+Y,t

)

=sup

{

N

(

x+ y,t

)

:y∈Y

}

tanımlansın.

3.6.2 Teorem (Saadati ve Vaezpour, 2005). Eğer Y , X fuzzy normlu uzayının kapalı bir alt uzayı ve N

(

x+Y,t

)

3.6.1 Tanımındaki gibi verilsin. Bu durumda

a) N, X/Y üzerinde bir fuzzy normdur. b) N

(

Qx,t

)

≥N

( )

x,t ’dir.

c) Eğer

(

X, N,∗

)

bir F-Banach uzayı ise

(

X /Y,N,∗

)

da bir F-Banach uzayıdır.

Kanıt.

a) (i) N

(

x+ tY,

)

≥0 olduğu açıktır.

(ii) N

(

x+ tY,

)

=1 olsun. N ’nin tanımından Y içinde

(

x+x ,t

)

→1

N _n olacak biçimde bir

{ }

x dizisi vardır. Bu durumda _n 0

→  +x_n

x ve buna denk olarak x_n→( x− )’dir. Y kapalı olduğundan x ∈Y ’dir. Dolayısıyla x+Y =Y’dir.

Tersine x+Y =Y olsun. Y alt uzay olduğundan 0∈Y ’dir. O zaman N

( )

0,t =1’dir. Buradan N

( )

Y,t =1 bulunur. (iii) α ≠ ,0 x ∈X için

(

x Y t

)

N

(

x Y t

)

N

α

( + ), =

α

+ , =sup

{

N

(

α

x+

α

y,t

)

:y∈Y

}

        ∈         + =sup N x y, t :y Y α

_       + = α t Y x N , (iv) u,v∈Y, x,y∈X ve t₁+t₂ =t için

(

x Y y Y t

)

N

(

x y Y t

)

N ( + )+( + ), = ( + )+ , ≥N

(

(x+u)+(y+v),t

)

≥N

(

x+u,t₁

) (

∗N y+v,t₂

)

bulunur. Her iki yandan supremuma geçildiğinde

(

(x Y) (y Y),t

)

N

(

x Y,t₁

)

N

(

y Y,t₂

)

N + + + ≥ + ∗ + elde edilir. (v) N

(

x+ Y,⋅

) (

: 0,∞

)

→

[ ]

0,1 süreklidir. (vi) lim

(

+ ,

)

=1 ∞ → N x Y t t ’dir.

O halde

(

X /Y,N,∗

)

bir fuzzy normlu uzaydır.

b) N

(

Qx,t

)

= N

(

x+Y,t

)

=sup

{

N

(

x+ y,t

)

:y∈Y

}

≥N

( )

x,t

c)

{

x_n +Y

}

, X /Y’de bir F-Cauchy dizisi olsun. O zaman ε_n→0 olacak biçimde ε_n >0 vardır ve N

(

(x_n +Y)−(x+Y),t

)

≥1−ε_n’dir.

0

1 =

y ve y ∈₂ Y olacak biçimde y₁, y₂ elemanları seçildiğinde N

(

x₁−(x₂ −y₂),t

)

≥N

(

(x₁−x₂)+Y,t

) (

∗ 1−

ε

₁

)

olur. N

(

(x₁−x₂)+Y,t

) (

≥ 1−

ε

₁

)

olduğundan N

(

x₁−(x₂ −y₂),t

) (

≥ 1−

ε

₁

) (

∗ 1−

ε

₁

)

dir. Şimdi N

(

(x_n−1+y_n−1)−(x_n+y_n),t

)

≥ N

(

(x_n−1−x_n)+Y,t

) (

∗ 1−ε_n−1

)

olacak biçimde y_n−1∈Y ve y_n∈ seçelim. Böylece Y

N

(

(x_n−1+y_n−1)−(x_n+ y_n),t

) (

≥ 1−ε_n−1

) (

∗ 1−ε_n−1

)

bulunur. Böylece

{

x +_n y_n

}

X ’de bir F-Cauchy dizisidir. X tam olduğundan dolayı

0

x y

x_n+ _n→ olacak biçimde bir x ∈₀ X vardır. Diğer taraftan

(

x y

)

Q

( )

x x Y Q

Y

x_n + = _n + _n → ₀ = ₀+

olacağından her

{

x_n+Y

}

F-Cauchy dizisi X /Y’de yakınsak olur. Bu da bize X /Y’nin tam olduğunu ve

(

X/Y,N,∗

)

’nin bir F-Banach uzayı olduğunu gösterir.

3.6.3 Teorem (Saadati ve Vaezpour, 2005). Y bir X fuzzy normlu uzayının kapalı bir alt uzayı olsun. Eğer x∈X ve

ε

∈

[

0,N

(

x+Y,t

)

)

ise o zaman x′+Y =x+Y ve N

( )

x′,t >N

(

x+Y,t

)

∗

ε

koşulunu sağlayan bir x ∈′ X vardır.

Kanıt.

2.1.3 Not (ii)’den N

(

x+y,t

)

> N

(

x+Y,t

)

∗

ε

olacak biçimde bir y ∈Y vardır. x y x+ = ′ olarak alındığında

( )

x′ t > N

(

x+Y t

)

∗

ε

N , , elde edilir.

3.6.4 Teorem (Saadati ve Vaezpour, 2005). Y bir

(

X, N,∗

)

fuzzy normlu uzayının kapalı bir alt uzayı olsun. Eğer X,Y,X /Y uzaylarından herhangi ikisi F-Banach ise üçüncüsü de F-F-Banach olur.

Kanıt.

Eğer X bir F-Banach uzayı ise X /Y ve Y de bir F-Banach uzayıdır. Bundan dolayı X /Y ve Y F-Banach uzayı olduğunda X ’in F-Banach olduğunu göstermek kanıt için yeterli olacaktır.

Y ve X /Ybir F-Banach uzayı ve

{ }

x de X ’de bir F-Cauchy dizisi olsun. _n IN

n

(

x x Y t

)

N

(

x x t

)

N ( _n− _m)+ , ≥ _n− _m,

eşitsizliğinden,

{

x_n +Y

}

dizisi X /Y’de bir F-Cauchy dizisi olur ve X /Y, F-Banach olduğundan y ∈Yolmak üzere y +Y ’ye yakınsar. Böylece ∀t>0 için

(

x_n y Y t

)

_n

N ( − )+ , >1−ε ve ε_n→0 koşulunu sağlayan bir

{ }

ε_n dizisi vardır. 3.6.3 Teoreminden

Y y x Y

y_n+ =( _n− )+ ve N

(

y_n,t

)

>N

(

(x_n −y)+Y,t

)

∗(1−ε_n) koşullarını sağlayan X ’de bir

{ }

y dizisi bulunabilir. Bu ise _n limN

(

y_n,t

)

≥1

n ve

0 lim _n =

n y olduğunu gösterir. Bundan dolayı

{

xn− yn− y

}

, Y ’de bir F-Cauchy dizisidir.

Y , F-Banach olduğundan bir z ∈Y noktasına yakınsar. Bu da bize

{ }

x dizisinin _n z +y noktasına yakınsadığını dolayısıyla X ’in tam olduğunu gösterir.

3.7 FUZZY NORMLU UZAYLARDA SINIRLI DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Bu bölümde fuzzy sınırlı doğrusal dönüşümler tanımlanacak, onların özellikleri ile birlikte, fuzzy sınırlı dönüşümler ile süreklilik arasındaki ilişki incelenecektir.

3.7.1 Tanım (Saadati ve Park, 2006).

(

X,N_X,∗′

)

,

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar ve T:X →Y doğrusal bir dönüşüm olsun. Eğer her x ∈X ve t>0 için

(

Tx t

)

N

(

mx t

)

N_Y , ≥ _X , olacak biçimde bir m≠0 sayısı varsa T ’ye fuzzy sınırlı veya kısaca F-sınırlı dönüşüm denir.

3.7.2 Önerme (Saadati ve Park, 2006).

(

X,N_X,∗′

)

,

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar ve T:X →Y doğrusal bir dönüşüm olsun. Eğer T , F-sınırlı ise F-süreklidir.

Kanıt.

T , F-sınırlı doğrusal dönüşüm olduğundan ∃m≠0∋∀x∈X ve t>0için

(

Tx t

)

N

(

mx t

)

N_Y , ≥ _X , ’dir. Bir x ∈X için

{ }

x_n ⊂ X, >t 0 için x_n→xolsun. O zaman lim

(

− ,

)

=1

∞

→ NX xn x t

n ’dir. ∀t>0 için bu doğru olduğundan m≠0 için de

lim , _=1       − ∞ → _m t x x N_{X n} n dir. O zaman

(

,

)

lim

(

( ),

)

lim ( ), 1 lim _=       − ≥ − = − ∞ → ∞ → ∞ → _m t x x N t x x T N t Tx Tx N _{X n} n n Y n n Y n olup

(

,

)

1 lim − ≥ ∞ → NY Txn Tx t n bulunur. Buradan

(

,

)

1

lim − =

∞

→ NY Txn Tx t n

dir. Bu ise Tx_n→Tx olduğunu gösterir. O halde T , F-süreklidir.

3.7.3 Önerme.

(

X,N_X,∗′

)

,

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar olsun. T :X →Y doğrusal dönüşümü eğer F-sınırlı ise o zaman X ’deki F-sınırlı kümenin T altındaki

görüntüsü de Y ’de F-sınırlı olur.

Kanıt.

T , F-sınırlı olsun. O zaman ∀x ∈X ve t>0 için

N_Y

(

Tx,t

)

≥ N_X

(

mx,t

)

(

3.7.1

)

olacak biçimde bir m≠0 vardır. Eğer S , X ’in sınırlı bir alt kümesi ise

∀x∈S için N_X

( )

x,t > 1−r

(

3.7.2

)

olacak biçimde 0< r<1 vardır.

(

3.7.1

)

ve

(

3.7.2

)

’den ∀x ∈S için

(

)

(

)

r m t x N t mx N t Tx N_{Y X X }> −       = ≥ , , 1 ,

olur. O halde T

( ) {

S = Tx:x∈S

}

kümesi Y ’de sınırlıdır.

3.7.4 Önerme.

(

)

X

X ⋅, ve

(

)

Y

Y ⋅, normlu uzaylar ve N_X, X üzerinde

X

⋅

tarafından, N_Y’de Y üzerinde

Y

⋅ tarafından indirgenmiş standart fuzzy normlar olsunlar. O zaman bir T:X →Y doğrusal dönüşümünün F-sınırlı olması için gerekli ve yeterli koşul T ’nin

(

)

X

X ⋅, ’den

(

)

Y

Kanıt.

( )

⇒: T , F-sınırlı olsun. O zaman ∃m≠0 ∋∀x∈X ve ∀t>0 için N_Y

(

Tx,t

)

≥ N_X

(

mx,t

)

dir. Böylece X X Y t m x t mx t t Tx t t + = + ≥ + ⇒ X Y t m x Tx t+ ≤ + ⇒ X Y m x Tx ≤ olur. O halde

(

)

(

)

Y X Y X T: ,⋅ → ,⋅ sınırlıdır.

( )

⇐:

(

)

(

)

Y X Y X T: ,⋅ → , ⋅ sınırlı olsun. O zaman X x∈ ∀ için X Y m x Tx m≠ ∋ ≤ ∃ 0 dir.

(

)

N

(

mx t

)

mx t t x m t t Tx t t t Tx N _X X X Y Y , = ₊ ≥ ₊ = ₊ = , O halde T , F-sınırlıdır.

3.7.4 Önerme.

(

X,N_X,∗′

)

ve

(

Y,N_Y,∗′′

)

fuzzy normlu uzaylar ve T :X →Y doğrusal bir dönüşüm olsun. T−1:T

( )

X →X _{ters dönüşümünün var ve F-sınırlı} olması için gerekli ve yeterli koşul her x∈X için N_X

(

mx,t

)

≥ N_Y

(

Tx,t

)

olacak biçimde bir m≠0 sayısının var olmasıdır.