Chebyshev-Grüss tipli eşitsizlikler ve uygulamaları

(1)

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CHEBYSHEV-GRÜSS TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE

UYGULAMALARI

SÜMEYRA KAPLAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. MEHMET ZEKİ SARIKAYA

(2)

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

CHEBYSHEV-GRÜSS TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE

UYGULAMALARI

Sümeyra KAPLAN tarafından hazırlanan Chebyshev-Grüss tipli eşitsizlikler ve uygulamaları isimli çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Tez Danışmanı

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA

Düzce Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. Mustafa Kemal Yıldız

Afyon Kocatepe Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Fuat Usta

Düzce Üniversitesi _____________________

(3)

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

6 Aralık 2019

(4)

TEŞEKKÜR

Yüksek Lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA’ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Tez çalışmam boyunca bilgi ve tecrübeleri ile değerli katkılarını esirgemeyen Arş. Gör. Dr. Tuba TUNÇ ve Dr. Öğr. Üyesi Hüseyin BUDAK ‘a şükranlarımı sunarım.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen sevgili aileme ve canımdan çok sevdiğim babama sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(5)

v

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

SİMGELER ... vi

ÖZET ... vii

ABSTRACT ... viii

1. GİRİŞ ... 1

2. KURAMSAL KAVRAMLAR ... 5

2.1.GENELKAVRAMLAR ... 5 2.2.GRÜSSEŞİTSİZLİĞİ ... 10

3. MATERYAL VE YÖNTEM ... 17

3.1.AĞIRLIKLIGRÜSSİNTEGRALEŞİTSİZLİKLERİ ... 17

3.1.1. Her İki Fonksiyonun Lipschitzian Olduğu Durum ... 21

3.1.2. f -nin Lipschitzian Olduğu Durum ... 23

3.1.3. f - nin M -Lipschzian ve g -nin Lipschitzian Olduğu Durum ... 25

3.1.4. Her İki Fonksiyonun Hölder Koşulu Sağlandığı Durum ... 27

3.1.5. f ′ ve g′ nin Lp Uzayına Ait Olduğu Durum ... 28

4. BULGULAR VE TARTIŞMA ... 36

4.1.CHEBYSHEV-GRÜSSTİPLİEŞİTSİZLİKLERVEUYGULAMALAR ... 37

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 46

6. KAYNAKLAR ... 47

(6)

vi

SİMGELER

{ }

a,b

max a ve b nin maksimumu

{ }

a,b

sup a ve b nin supremumu

f f Fonksiyonunun Mutlak Değeri

'

f f Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi

[ ]

a b

L ,1 Kapalı _Kümesi

[ ]

a, Aralığında İntegrallenebilen Fonksiyonların b

[ ]

a b

Lp , Kapalı

[ ]

a, Aralığında b p. Kuvveti İntegrallenebilen

Fonksiyonların Kümesi

[ ]

a b

L ,∞ Kapalı _Kümesi

[ ]

a, Aralığında İntegrali Sınırlı Olan Fonksiyonların b

p

. _{Lebesque Normu}

[ ]

a b

AC , Mutlak Sürekli Fonksiyonların Kümesi

R Reel Sayılar Kümesi

(7)

vii

ÖZET

CHEBYSHEV-GRÜSS TİPLİ EŞİTSİZLİKLER VE UYGULAMALARI

Sümeyra KAPLAN Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Aralık 2019, 48 sayfa

Chebyshev ve Grüss tipli eşitsizliklerle ilgili olan bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eşitsizlikler ve eşitsizliklerin tarihi gelişimi kısaca verilmiştir. Ayrıca birinci bölümde literatürde bilinen bazı eşitsizlikler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, eşitsizliklerle ilgili genel kavramlar ve Grüss eşitsizliği ifade edilmiştir. Konveks fonksiyon, mutlak süreklilik, integraller için Hölder eşitsizliği, Lebesque integralinin varlık teoremi ve bir çok tanımla birlikte Grüss eşitsizliği tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde ise ikinci bölümde verilen tanımlar ve özellikler yardımıyla Ağırlıklı Grüss integral eşitsizliği maddeler halinde ispatı verilmiştir. Dördüncü bölümde ise Chebyshev ve Grüss tipli integral eşitsizliklerinin genelleştirilmesi yapılmıştır.

Anahtar sözcükler: Konveks fonksiyon, Hölder eşitsizliği, Chebyshev eşitsizliği, Grüss eşitsizliği.

(8)

viii

ABSTRACT

CHEBYSHEV-GRÜSS TYPE INEQUALITIES AND APPLICATION

Sümeyra KAPLAN Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master’s Thesis

Supervisor: Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA December 2019, 48 pages

This thesis on Chebyshev and Grüss type inequalities consists of four chapters. In the first part, inequalities and their historical development of the inequalities are given briefly, and some inequalities known in the literature are mentioned. In the second part, the general concepts related to inequalities and Grüss inequality are expressed, and convex function, absolute continuity, Hölder's inequality for integrals, existence theorem of Lebesque integral and Grüss inequality with many definitions are defined. In the third part, the weighted Grüss integral inequality is given as proof with the help of the definitions and properties given in the second part. In the fourth chapter, generalizations of integral inequalities of type Chebyshev-Grüss are made.

Keywords: Convex function, Hölder inequality, Chebyshev inequality, Grüss inequality.

(9)

1

1. GİRİŞ

Matematikte bu alanda kendimize sorduğumuz ilk soru ‘‘Neden Matematiksel Eşitsizlikler” sorusu olmuştur. Geçmişe dönük yapılan araştırmalar sonucunda 1978 yılında R. Bellman tarafından şöyle bir cevap verilmiştir: “Eşitsizlik çalışmak için bazı nedenler vardır. Pratik açıdan bakıldığında, birçok araştırmada bir niceliği diğer bir nicelikle sınırlandırma durumu karşımıza çıkmaktadır. Klasik eşitsizlikler de bu şekilde ortaya çıkmıştır. Teorik açıdan bakıldığında çok basit sorular sorularak tüm temel teoremler oluşturulabilir. Son olarak estetik açıdan bakıldığında genel olarak resim, müzik ve matematiğin bazı parçalarının uyumlu olduğu görülür. Elde edilen eşitsizliklerin göze hitap etmesi de eşitsizlikleri çekici hale getirir.” Eşitsizlikler matematiğin hemen hemen tüm alanlarında var olup birçok alanda uygulamaları vardır. Matematiksel eşitsizlik alanının temelleri XVIII. ve XIX. yüzyıllarında K. F. Gauss(1775-1885), A. L. Cauchy(1785-1857) ve P. L. Chebyshev(1821-1894) olmak üzere birçok matematikçi tarafından atılmıştır. Matematiksel eşitsizliklerin alanının A.L. Cauchy, P.L. Cebysev'den sonraki zamanda da önemli bir rolünün var olduğu bilinmektedir. C.F. Gauss ve bu alanda çalışan diğer matematikçiler, uygulama teknikleri için alt yapı oluşturulmasında etkin olmuştur. 19. asrın sonları ve 20. asrın başlarında hemen hemen matematik alanına ait tüm dallarda sayısız eşitsizlik incelenmiş ve kullanıma başlanmıştır. Bu incelemelerin sonuçları bilim alanı ve mühendisliğin diğer alanlarında da kullanılmıştır. Eşitsizlikler ile ilgili ilk temel çalışma 1934’te Hardy, Littlewood ve Polya tarafından yazılan ‘‘Inequelities” adlı kitaptır (1952). Eşitsizlik alanı yalıtılmış bir formül formundan sistemli bir disipline çevirmişlerdir. Yapılan çalışma sonraki birçok araştırmanın ana taşlarını oluşturmuş, farklı yöntemler sunarak çözüme ulaşılmasında destek olmuştur. Bu salt eşitsizlikler konusunu ele alan ve birçok yeni eşitsizlikler ve uygulamaları içeren ilk kaynak kitaptır. Aynı çalışmayı 1961 yılında E. F. Beckenbach ve R. Bellman'ın tarafından üstelik aynı isim verilerek ‘‘Inequalities’’ adlı kitap takip eder. Bu çalışmanın devamında 1965 yılında J. Szarski'nin ‘‘Differantial Inequalities’’, 1991 yılında Mitrinovic ve arkadaşları ‘‘Inequalities Involving Functions and Their Derivatives’’, yine 1963 yılında Mitrinovic ve arkadaşlarının ‘‘Classical and New Inequalities in Analysis’’ isimli

(10)

2 kitapları bu çalışmaların devamında izler.

Tüm bu kitapların dışında S. S. Dragomir, V. Lakshmikantham, Ravi P. Agarwal gibi araştırmacılar tarafından eşitsizlikler konusunda pek çok kitap, makale ve monografi yazılmıştır. Geçmişten günümüze G. V. Milovanovic, C. P. Niculescu, C. E. M. Pearce, J. E. Pecaric, A. M. Fink, M. E. Özdemir, M. Z. Sarıkaya, E. Set, İ. İşcan, A. O. Akdemir, M. Tunç gibi birçok bilim insanlarının da çalışmaları literatürde mevcuttur. Bu alanda çok büyük sayılan yukarıda belirtilen kitaplar, yalnızca basamak taşları olarak görev yapar. Yüzyıl süresince teorik alanda ve uygulama alanında inceleme yapan birçok araştırmacı tarafından farklı eşitsizlik türlerinin araştırılması büyük ilgi görmüştür. Farklı analitik eşitsizlikleri incelemek için farklı araştırmacılar tarafından çeşitli yaklaşımlar ile yeni birçok çalışmalar ortaya çıkarılmıştır [1]-[12]. Yeni araştırmaları tanıtmayı amaçlayan birkaç klasik ve önemli kitaplar litaratüre kazandırılmıştır. Bu kitaplardan elde edilen temel sonuçlar, yöntem teknikleri ve uygulamaları oldukça önemli bir yere sahip olmuştur. Aynı zamanda matematik alanındaki birçok farklı dalda çalışan lisansüstü öğrenciler için ders kitapları konumunda okuyuculara sunulmuştur. Geride kalan yirmi yıl zarfında, eşitsizlik alanı çok önemli bir büyüme evresine girmiştir. Analitik eşitsizlik konusunda, özellikle birçok araştırma makalesinde, Cebysev, Grüss, Trapezoid, Ostrowski, Hadamard ve Jensen isimli eşitsizliklerle alakalı çok sayıda araştırma makaleleri yazılmıştır. Son yıllar içerisinde yayınlanan çok sayıda makale ve monografi yıllar içerisindeki ilerlemenin büyüklüğünü ortaya koymuştur. Tüm bu verilerle birlikte, yapılan araştırmalar hızla gelişen bu alan için kaynakların tam olarak yeterli olduğu tartışılmaktadır. İsmi verilen eşitsizliklerle alakalı literatürde çok sayıda ve farklı konu alanlarını içeren eşitsizlikler çeşitli dergilerde basılmış durumdadır. Bu sebeple, bu dergileri okuyan kişilerin kendilerini bu alanda yapılan araştırmalara ait ön bilgilere götüren bir kitaba ihtiyaçları vardır. Dolayısıyla, monografi yazabilmek adına birçok yazar bu alanın hızlı gelişimiyle alakalı bilgi birikimine sahip ve farklı alanlardan ortaya konulmuş uygulamalarını bir arada toplamanın çabası içine girmişlerdir. Eşitsizlikler konusu oldukça geniş bir alana sahiptir, bu konuda yazılan son kitaplar içerisinde yalnızca eşitsizlik sınıfına değil bu konu ile ilişkili birçok uygulamayı da içinde barındıran kitaplar, son yıllarda hızla bir şekilde literatüre kazandırılmaktadır.

Cebysev'nin temel matematiksel keşiflerinden biri aşağıdaki klasik integral eşitsizliğidir:

(11)

3

( )

1.1 ) ( 12 1 ) , ( 2 ∞ ∞ ′ ′ − ≤ b a f g g f T

Burada, f,g :

[ ]

a,b →R tanımlı fonksiyonu

[ ]

a, aralığında türevleri sınırlı olan b

fonksiyonları olmak üzere ve,

( )

1.2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) , ( _      −       − − − =

_∫

g x dx a b dx x f a b dx x g x f a b g f T b a b a b a

(1.2) içerisinde yer alan integrallerin mevcut olması şartıyla, literatürde Cebysev'in fonksiyonelliği olarak bilinir. İlk başlarda 1882 yılında ortaya çıkan (1.1) eşitsizliği şimdi literatürde Cebysev'in eşitsizliği olarak geçmektedir. Yıllarca, bu eşitsizlik çok farklı araştırmacının dikkatini çekmiş ve bu eşitsizlikle alakalı fazla sayıda sonuç yayınlanmıştır [13], [14].

1935 yılında G. Grüss, iki fonksiyonun çarpımının integrali ile integrallerinin çarpımı arasındaki farklılığın bir tahminini veren değişik bir integral eşitsizliğini ispatladı:

(

)

( )

1.3 ) ( 4 1 ) , (f g ≤ Φ−φ Γ−γ T

[ ]

a b R g

f_, _: _, → _{tanımlı ve}

[ ]

a, aralığında integrallenebilir ve her b x∈

[ ]

a,b _için

sağlanıyorsa , ) ( , ) ( ≤Φ ≤ ≤Γ ≤ f x γ g x φ

her x∈

[ ]

a,b için φ,Φ,γ,Γ gerçek sabitler bulunur ve T( gf, ) (1.2) ile verilir. Gruss tipinin diğer bütünleşik ve ayrık eşitsizliklerinin yanı sıra (1.3) basit bir ispat için, Mitrinovic, Pecaric ve Fink'in

[ ]

13 adlı kitabına bakınız.

Aşağıdaki eşitsizlik literatürde Yamuk(Trapezoid) eşitsizliği olarak geçmektedir:

[

]

( ) . (1.4) 121 ) ( ) ( 2 ) ( 3 ∞ ′′ − ≤ + − −

∫

b f x dx b a f a f b b a f a

Burada f _:

[ ]

a_,b → R ile tanımlı f dönüşümü

( )

a, aralığında ikinci b

mertebeden türevlenebilir ve

( )

a, aralığında sınırlı yani, b

( ) ( ) . sup , <∞ ′′ = ′′ ∈ ∞ f x f b a x

(1.4) eşitsizliği çok sayıda yazarın ilgisini çekmiştir ve bu eşitsizlikle ilgili çok farklı sonuç literatürde ortaya çıkmıştır. Eşitsizlikle alakalı detaylı bir araştırma da, Cerone ve Dragomir tarafından son dönemde yayınlanan makalelerinde (1.4) eşitsizliği bulunabilir [15]-[18].

(12)

4

Burada tezin amacı, fonksiyonların farklı durumlar göz önüne alarak Chebyshev-Grüss tipli yeni eşitsizlikler elde etmek olacaktır. Elde edilen sonuçlar daha önce yapılan çalışmaların bir genelleştirmesi olacaktır.

(13)

5

2. KURAMSAL KAVRAMLAR

2.1. GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde tezimiz için gerekli olan tanım ve teoremler verilerek gerekli görülen bazı önemli teoremlerin ispatları da verilmiştir.

Tanım 2.1.1. Lineer uzaydan reel(kompleks) uzaya olan dönüşümlere fonksiyonel denir.

Tanım 2.1.2. Fonksiyonlar cümlesini fonksiyonlar cümlesine dönüştüren dönüşüme operatör denir.

Tanım 2.1.3. (Konveks Fonksiyon) f :

[ ]

a,b ⊂R→R fonksiyonu her x, ∈y

[ ]

a,b ve λ∈

[ ]

0,1 için ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ( x y f x f y f λ + −λ ≤λ + −λ

eşitsizliğini sağlıyorsa bu f fonksiyona konveks fonksiyon denir. Eşitsizlikte " ≥ " olması halinde de f fonksiyona konkav fonksiyon denir. Yukardaki eşitsizlikte λ ₌ ₂1

alınırsa 2 ) ( ) ( 2 y f x f y x f ≤ +      +

olur. Bu tip eşitsizlikleri sağlayan fonksiyonlara da J-konveks fonksiyon denir. Konveks Fonksiyonların Temel Özellikleri:

i. k tane fonksiyon Rn _→R_{ye konveks fonksiyonlar olsun. Bu takdirde;}

( )

x a f

( )

x a

(

j k

)

f k _j _j _j j ,..., 3 , 2 ,1 ; 0 , 1 = > =

∑

= fonksiyonuda konvekstir.

ii. g _: Rn _→R_{konkav ve} _S ₌

{

_x _: _g

( )

_x _>₀

}

_olsun. _f _: _S_→_R_,

( )

( )x g

x

f ₌ 1

(14)

6

iii. g : R→R azalmayan ve konveks fonksiyon ayrıca h _: Rn _→R_{konveks olsun.}

Bu takdirde; f : Rn _→R, _f

( ) (

_x ₌ _g__h

)( )

_x _{olarak tanımlanan} _f _bileşke fonksiyonuda konvekstir.

iv. g : R →R konveks ve h, h

( )

x = Ax+B formunda h _: Rn _→R_konveks

olmak üzere (Burada A uygun matristir.)

( )

x g

(

h

( )

x

)

f =

fonksiyonu konveks fonksiyondur.

vi. f ve g fonksiyonlar J -konveks ise f

( ) ( )

x +g x de J -konvekstir.

vii. f, ′

I 'de J -konveks ve g, ′′

I de J -konveks ise bu takdirde f

( ) ( )

x g x

de ′ ′′ ∩ =I I I de J -konvekstir. Tanım 2.1.4. Ω1 =

[ ]

a,b,Ω2 =

[ ]

c,d −∞≤a<b≤∞, −∞≤c<d≤∞ ve f , ,

( )

x y 2 1×Ω

Ω üzerinde tanımlı olsun. Bu durumda,

( )

x y dy dx f

( )

x y dx dy f b y b a x a b a         =      

∫

, ,

şeklindeki eşitliğe Dirichlet form ulu denir.

Tanım 2.1.5. (Mutlak Süreklilik) I ⊂R , f : I →R bir fonksiyon ve

(

x ,_k y_k

)

sonlu bir aralık olsun. Bu durumda, ε >0 için en az bir δ >0 vardır öyle ki,

( )

ε δ ⇒ − < < −

∑

k k k k k k x f y f x y

ise f ye mutlak sürekli denir ve

[ ]

a, üzerinde mutlak sürekli fonksiyonların sınıfı b

[ ]

a b ACn _{, ile gösterilir.} Tanım 2.1.6. x ∈,y R, y x y x+ ≤ + şeklindeki eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir.

Tanım 2.1.7. (Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu) f ,

[ ]

a, aralığında sürekli b

reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde

( )

x dx f

( )

x dx

(

a b

)

f b a b b < ≤

∫

, eşitsizliği geçerlidir.

(15)

7

Tanım 2.1.8. (Hölder Eşitsizliği) a=

(

a1,a2,...,an

)

ve b=

(

b1,b2,...,bn

)

reel veya

kompleks sayıların iki n -lisi olsun. Bu takdirde 1 1 1 ₊ ₌ q p olmak üzere a. p>1 ise, , 1 1 1 1 1 q p q k n k p k n k k k n k b a b a _            ≤

∑

= = = b. p<0 veya q<0 ise, q p q k n k p k n k k k n k b a b a 1 1 1 1 1            ≤

∑

= = = eşitsizlikleri geçerlidir [19].

Tanım 2.1.9.(İntegraller için Hölder Eşitsizliği) p>1 ve 1 ₊1 ₌1

q

p olsun. f ve

,

g

[ ]

a, aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, b f p ve g q,

[ ]

a, aralığında b

integrallenebilir fonksiyonlar ise

( ) ( )

x g x dx f

( )

x dx p g

( )

x dx q f b q a p b a b a 1 1             ≤

∫

eşitsizliği geçerlidir. [13]

Teorem 2.1.10. (Minkowski Eşitsizliği) p≥1 olsun. _f,_g_∈_Lp _ise, _f ₊_g_∈_Lp

yazılır ve p p b a p p b a p p b a dx x g dx x f dx x g x f / 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( ) (     +     ≤     ₊

∫

eşitsizliği vardır.

İspat: Önce, _f ₊_g_∈_Lp_{olduğunu gösterelim. Eğer} _{f ≤} _g _veya _{f >} _g _için

(

p p

)

p p g f g f + ≤2 +

olduğundan, _f ₊_g_∈_Lp _{olduğu hemen yazılır.} _p₌₁_{ise, eşitsizliğin doğru olduğu}

(16)

8 p p p b a p p b a p p p b a p p b a p b a p b a p b a p b a dx g f dx g dx g f dx f dx g f g dx g f f dx g f g f dx g f / ) 1 ( / 1 / ) 1 ( / 1 1 1 1 − − − − −     ₊     +     ₊     ≤ + + + ≤ + + = +

∫

yazılır. Her iki taraf, sıfırdan farklı kabul edeceğimiz

p p p b a f g dx / ) 1 ( −    

_∫

₊ ifadesine bölünürse, p p b a p p b a p p b a dx x g dx x f dx x g x f / 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( ) (     +     ≤     ₊

∫

şeklindeki Minkowski Eşitsizliği bulunur.

Tanım 2.1.11. E ölçülebilir bir küme olmak üzere f bu küme üzerinde tanımlı ve reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda keyfi K sayısı için E

{

x : f

( )

x >k

}

kümesi ölçülebilirse, f fonksiyonuna ölç ulebilir fonksiyon denir.

Teorem 2.1.12. (Lebesque integralinin varlık teoremi) Sonlu ölçümlü E kümesi üzerinde f fonksiyonu sınırlı ve ölçülebilir ise f fonksiyonunun Lebesque integrali vardır.

Tanım 2.1.13. I ⊂R , f : I →R bir fonksiyon ve ∀x ∈I için f

( )

x ≤K olacak şekilde bir K pozitif reel sayısı varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon denir.

Tanım 2.1.14. 1≤ p<∞ olmak üzere

( )

x dx p f f

( )

x dx p f f L L p E p E p p 1 1 , : _      =         ∞ <       = =

∫

_∞

∫

normuna göre bir Banach uzaydır.

Teorem 2.1.15. f fonksiyonu

[ ]

a, aralığında konveks ise b

a. f ,

( )

a, aralığında süreklidir ve b

(17)

9

Teorem 2.1.16. f fonksiyonunun I aralığında ikinci türevi varsa, f fonksiyonunun bu aralık üzerinde konveks olması için gerek ve yeter şart x ∈ için I

𝑓𝑓′′_{(𝑥𝑥) ≥ 0}

olmasıdır [20].

Tanım 2.1.17. f : X ⊆ R→R reel değerli bir fonksiyon olsun. Her x ∈ için X

M x

f( )≤ , ise M ye f nin bir üst sınırı denir. (Yani,

{

x X f x M

}

f −1₍_µ_,∞₎= ∈ _: ₍ ₎> _{kümesi boştur). Burada}

{

∈ µ ∞ =φ

}

= _M _R _: _f−1₍ _, ₎

Uf

kümesi f nin üst sınırlarının kümesi olsun. f nin supremumu, eğer U_f kümesi boştan farklı ise bu durumda,

f

U f inf

sup =

olarak tanımlanır. Diğer durumda ise

+∞ =

f

sup

dır. Ayrıca her x ∈ için X f(x)≤M olacak şekilde M ∈R varsa bu durumda

M f ≤

sup dır.

(

X,∑,µ

)

ölçülebilir bir uzay ve f de ölçülebilir fonksiyon olsun. Bu durumda hemen hemen her x ∈ için X f(x)≤M yada _f −1

(

_µ_,∞

)

_{ölçülebilir kümesi sıfır} ölçümlü ise M 'ye f nin esas üst sınırı denir.

(

)

{

_∈ : 1( ,_∞) ₌0

}

= _M _R _µ _f − _µ

Uess f

esas üst sınırlarının kümesi olsun. Bu durumda, ess ≠φ

f

U ise yukardaki tanıma benzer olarak

ess f

U f

esssup =inf olarak tanımlanır. Aksi halde, yani ess ≠φ

f

U ise ess sup f =+∞ dır. Ayrıca, bu durumda hemen hemen her x ∈ için X f(x)≤M olacak şekilde M ∈R varsa

M f

esssup ≤ dır.

Ayrıca esas infimum tanımı da esas alt sınırlarının supremumu olarak tanımlanır yani esas alt sınırlarının kümesi boştan farklı ise

{

}

(

)

{

: : ( ) 0

}

sup inf f = k∈R x f x <k = ess µ

(18)

10

olarak tanımlanır. Eğer esas alt sınırların kümesi boş ise bu durumda ess inf f =−∞ dır. Eğer µ(X)>0 ise f f ess f ess

f inf sup sup

inf ≤ ≤ ≤

bağıntısı vardır. Eğer µ(X)=0 ise bu durumda da esssupf =+∞ ve

−∞ =

f

essinf dır.

Tanım 2.1.18. f _:

[ ]

a_,b →R fonksiyonu her x, ∈y

[ ]

a,b için

1 0 , ) ( ) (x − f y ≤H x− y <r≤ f r

şartı sağlanıyorsa f ye r -Hölder denir. Burada r=1 için Hölder koşulu f Lipschitzian koşulu olur (Burada, f Lipschitzian koşulu f Lipschitzian yada f Lipschitz süreklilik olarak da adlandırılır.) [14].

2.2. GRÜSS EŞİTSİZLİĞİ

Teorem 2.2.1. f,g :

[ ]

a,b →R iki integrallenebilir fonksiyon ve γ ≤ g(x)≤Γ için tüm x ∈

[ ]

a,b, ki burada γ,Γ∈R sabitler olmak üzere

(

)

( , ) (2.1) 2 1 ) , (f g T f f T ≤ Γ−γ eşitsizliği vardır.

İspat: f ve g senkronize fonksiyonlar olduklarından

(

f(t)− f(s)

)( )

g(t −g(s))≥0 yazılır. Buradan da ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t g t f s g s f t g s f s g t f + ≥ +

olup eşitliğin her iki taraf t ve s ye göre

[ ]

a, üzerinde integral alınırsa b

) 2 . 2 ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) , ( ≥       −       − − − =

∫

g t dt a b dt t f a b dt t g t f a b g f T b a b a b a

şeklinde Korkine'nin özdeşliğinin elde edilmiş olur. Böylece

(

b a

)

(

f t f s

)( )

g t g s dtds g f T b a b a )) ( ( ) ( ) ( 2 1 ) , ( ₂ − − − =

∫

(19)

11 ) 3 . 2 ( ) ( ) ( 1 ) , ( 2 2       − − =

∫

f x dx

∫

f x dx a b f f T b a b a

bulunur. Ayrıca, T(f, f)≥0 ve T(g,g)≥0. olduğunda Cauchy-Schwarz integral eşitsizliğini çift katlı integraller kullanarak

(

)

(

)( )

(

)

(

)

(

)

( )

) , ( ) , ( )) ( ( 2 1 ) 4 . 2 ( ) ( ) ( 2 1 )) ( ( ) ( ) ( 2 1 ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 g g T f f T dtds s g t g a b dtds s f t f a b dtds s g t g s f t f a b g f T b a b a b a b a b a b a =       − − ×       − − ≤       − − − =

∫

yazılır. Diğer yandan yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki T(f, f), T(g,g) ifadeleri hesaplayalım. O halde kabulumuz doğrultusunda

(

( )

)(

( )

)

(2.5) 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( dx x g x g a b dx x g a b dx x g a b g g T b a b a b a γ γ − − Γ − −       − −       − − Γ =

∫

yazabiliriz. (2.5) ifadesinde

(

Γ−g(x)

)(

g(x)−γ

)

≥0 olup ayrıca temel eşitsizlik olarak bilinen , , ; 2 2 R d c d c cd  ∈      + ≤ eşitsizliğini kullanırsak, ) 6 . 2 ( . 2 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 2       −Γ ≤       − −       − − Γ ≤

_∫

γ γ dx x g a b dx x g a b g g T b a b a

olarak elde edilir. Böylece, (2.6) eşitsizliği (2.4) de yerine yazılır ve yeniden düzenlenirse, (2.1) eşitsizliği elde edilmiş olur.

(20)

12 ) 7 . 2 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) , ( dx dy y g a b x g dy y f a b x f a b g f T b a b a b a      − −       − − − ≤

∫

eşitsizliği sağlanır.

İspat: İlk önce ilk integralin içindeki ifadeler açılarak düzenlenirse

(

)

) 8 . 2 ( ) , ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 g f T dx x g a b dx x f a b dx x g x f a b dy y g dy y f a b a b dy y g a b dx x f a b dy y f a b dx x g a b dx x g x f a b dx dy y g a b dy y f a b dy y g a b x f dy y f a b x g x g x f a b dx dy y g a b x g dy y f a b x f a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a =       −       − − − =    − − + − − −    − − − − =    − − + − −    − − − =       − − ×       − − −

∫

yazılır. Buradan da (2.8) ifadesindeki özdeşliğin modülü alınırsa,

dx dy y g a b x g dy y f a b x f a b g f T b a b a b a      − −       − − − ≤ 1

∫

( ) 1

∫

( ) ( ) 1

∫

( ) ) , (

(21)

13

Teorem 2.2.3. f_,g _:

[ ]

a_,b →R ,

[ ]

a, ’da sürekli, b

( )

a, türevlenebilir ve b f′,g′ fonksiyonlar

( )

a, aralığına sınırlı ise her b x∈

[ ]

a,b için

(

)

[

( ) ( )

]

( ) (2.9) 2 1 ) , ( ₂ g x f f x g E x dx a b g f T b a ∞ ∞ ′ + ′ − ≤

∫

dır. Burada

(

)

2 2 2 4 1 ) (       ₋ + + − = b a x a b x E dır. İspat: p( tx, ) fonksiyonu

[ ]

(

,

]

(2.10) , ) , (    ∈ − ∈ − = b x t b t x a t a t t x p

şeklinde tanımlansın. Bu kısmi integrasyon yardımıyla,

dt t f x f a b dt t f x f x b x f a x dt t f b t dt t f t f a t dt t f b t dt t f a t dt t f t x p b a b a b x b x x a x a b x x a b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (

∫

− − = − − + − = − − + − − = ′ − + ′ − = ′

yazılır. Buradan gerekli düzenlemeler yapılırsa

) 11 . 2 ( , ) ( ) , ( 1 ) ( 1 ) ( p x t f t dt a b dt t f a b x f b a b a ′ − = − −

_∫

bulunur. Burada ki (2.11) eşitliği Montgomery'nin özdeşliği olarak bilinir. Benzer şekilde (2.12) ifadesi g fonksiyonu için de doğru olacağından

) 12 . 2 ( , ) ( ) , ( 1 ) ( 1 ) ( p x t g t dt a b dt t g a b x g b a b a ′ − = − −

_∫

yazılır. Böylece, (2.11) ve (2.12)’ün her iki tarafın sırasıyla g(x) ve f(x) ile çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra elde edilen sonucu a 'dan b 'ye integrali

(22)

14 dx dt t g t x p x f dt t f t x p x g a b dx x g dx x f a b dx x g x f b a b a b a b a b a b a       ′ + ′ − +             − =

∫

) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) 13 . 2 ( ) ( ) ( 2

bulunur. (2.13)’den ve modülün özelliklerini kullanarak aşağıdaki eşitsizlik

(

)

(

)

[

( ) ( )

]

( ) , 2 1 ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 2 1 ) , ( 2 2 dx x E x f g x g f a b dx dt t g t x p x f dt t f t x p x g a b g f T b a b a b a b a ∞ ∞ + ′ ′ − ≤       ′ + ′ − ≤

∫

elde edilir ki buda (2.9) eşitsizliği olarak elde edilir.

Teorem 2.2.4. f,g :

[ ]

a,b →R, iki sürekli fonksiyon olsun. Eğer f ∈L∞

[ ]

a,b ise

dır.

İspat: f ve g fonksiyonlar için, Korkine'in özdeşliği olarak da bilinen (2.2) özdeşliği vardır. Burada (2.1)’deki ispat tekniği yardımıyla (2.4) elde ederiz. Herhangi bir s, ∈t

[ ]

a,b için ξ ξ d f s f t f t s ) ( ) ( ) ( − =

_∫

′

olduğu kolayca görülür. (2.2) 'de bu gerçeği kullanarak , aşağıdaki eşitsizliği elde edilir:

(

)

(

)

(

b a

)

f d dtds dtds s f t f a b f f T t s b a b a b a b a 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) , (       ′ − = − − =

∫

ξ ξ

(

)

₍ _, ₎ ₍₂_.₁₄₎ 3 2 ) , (f g b a f T g g T ≤ − ′ _∞

(23)

15

(

)

(

)

(

)

(

)

_. 12 2 1 ) 15 . 2 ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ∞ ∞ ′ − = − ′ − ≤       ′ − ≤

∫

f a b dtds s t f a b dtds d f a b b a b a t s b a b a ξ ξ

Ayrıca, (2.4)’de (2.15) eşitsizliği kullanarak, (2.14)’de istenen eşitsizlik elde edilir. Teorem 2.2.5. f,g :

[ ]

a,b →R tanımlı türevlenebilen ve sürekli fonksiyonlar olsun.

[ ]

, , ,g L a b f′ ′∈ q q>1, ise

(

1

)

(

( )

)

. (2.16) ) , ( ₃ f g B x 2dx a b g f T r b a q q ′

∫

′ − ≤ Burada, x∈

[ ]

a,b için

(

)

(

)

[

]

(2.17) 1 1 ) ( ₋ +1₊ ₋ +1 + = _x _a r _b _x r r x B ve 1₊1 ₌1 r q dır.

İspat: Teorem 2.2.3.’ün ispatında olduğu gibi aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz:

(

b a

)

f t dt

(

b a

)

p x t f t dt x f b a b a ) ( ) , ( 1 ) ( 1 ) ( ′ − = − −

∫

(

1

)

( )

(

1

)

( , ) ( ) . ) ( p x t g t dt a b dt t g a b x g b a b a ′ − = − −

∫

Burada, x∈

[ ]

a,b için p( tx, ) çekirdeği (2.10) de tanımlandığı gibi olsun. Dolayısıyla,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

( , ) ( ) ( , ) ( ) (2.18) ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2       ′       ′ − =       −       − +       − −       − −

∫

dt t g t x p dt t f t x p a b dt t g a b dt t f a b dt t f a b x g dt t g a b x f x g x f b a b a b a b a b a b a

(24)

16

olur. Buradan da (2.18)'in her iki tarafını a dan b ye x e göre integrali alınarak,

(

b − de bölerek, a

)

(

1

)

( , ) ( ) ( , ) ( ) (2.19) ) , ( ₃ p x t f t dt p x t g t dt dx a b g f T b a b a b a      ′       ′ − =

∫

yazılır. Son olarak, (2.19)’un her iki tarafının mutlak değerini alır ve Hölder integral eşitsizliği kullanılırsa,

(

)

(

)

(

1

)

( , ) (2.20) ) ( ) , ( ) ( ) , ( 1 ) ( ) , ( ) ( ) , ( 1 ) , ( 2 3 3 3 1 1 1 1 1 dx dt t x p g f a b dx dt t g dt t x p dt t f dt t x p a b dx dt t g t x p dt t f t x p a b g f T r q r q r r b a b a q q q b a r b a q b a r b a b a b a b a b a               ′ ′ − =               ′       ×               ′       − ≤       ′       ′ − ≤

∫

olur. Buradan da basit bir hesaplama ile,

(

)

(

)

(

)

(

)

₍ ₎ ₍₂_.₂₁₎ 1 ) , ( 1 1 x B r x b a x dt t b dt a t dt b t dt a t dt t x p r r r b x r x a r b x r x a r b a = + − + − = − + − = − + − = + +

∫

(25)

17

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. AĞIRLIKLI GRÜSS İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

f ve g fonksiyonları

[ ]

a, aralığında integrallenebilir ve b x∈

[ ]

a,b için

) 1 . 3 ( ) ( , ) ( ≤ ≤ ≤Γ ≤ f x φ γ g x ϕ

koşullarını sağlayan bu fonksiyonlar için

(

φ −ϕ

)(

Γ−γ

)

≤ − − − −

∫

4 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 _g _x _dx a b dx x f a b dx x g x f a b b a b a b a

eşitsizliği 1935 yılında G. Grüss tarafından ispatlanmıştır. Daha sonra bu eşitsizlik literatüre Grüss eşitsizliği olarak girmiş ve bir çok yazar tarafında farklı türde eşitsizlikler ve yeni ispatlar yapmıştırlar. Burada x∈

[ ]

a,b için

      + − = = 2 sgn ) ( ) (x g x x a b f

seçilmesi halinde eşitsizlikteki ₄1_{sabiti en iyi sabit olduğu, Grüss tarafından}

verilmiştir. Şimdi aşağıda vereceğimiz ağırlıklı Grüss eşitsizliğinin farklı bir versiyonunu Dragomir 1998 yılında ispatlamıştır [15].

Teorem 3.1. f ve g fonksiyonları

[ ]

a, aralığında integrallenebilir olsun. b

[ ]

a b

x∈ , için (3.1) koşulunu sağlayan reel ϕ,φ,γ,Γ sabitleri ve ∫bh(x)dx>0

a şartını

sağlayan integrallenebilir h :

[ ]

a,b →[0,∞) için

(

)(

)

( ) (3.2) 4 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2       − Γ − ≤    ∫ ∫ −   _∫ _∫

∫

h x dx dx x h x g dx x h x f dx x h x g x f dx x h b a b a b a b a b a γ ϕ φ

eşitsizliği vardır. Burada 1₄_{mümkün olan en iyi sabittir.}

(26)

18

(

f x f y

)(

g x g y

)

h x h y dxdy dx x h dx x h x g dx x h dx x h x f dx x h dx x h x g x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 3 . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 − −      _∫ =      ∫ ∫ −      ∫

∫

yazılır. Buradan da, Cauchy-Buniakowski-Schwarz's çift katlı integral için integral eşitsizliği uygulanırsa,

(

)(

)

(

)

(

( ) ( )

)

( ) ( ) (3.4) ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 dxdy y h x h y g x g dx x h dxdy y h x h y f x f dx x h dxdy y h x h y g x g y f x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a b a −       ∫ × −      _∫ ≤               − −      _∫

∫

                        ∫ − ∫ ×                         ∫ − ∫ =

∫

2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 dx x h x g dx x h dx x h x g dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a

(27)

19

Ayrıca, her bir x∈

[ ]

a,b için

{

(

φ − f(x)

)(

f(x)−ϕ

)

}

≥0 olduğundan

) 5 . 3 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2           − ∫           ∫ − ≤           ∫ − ∫

∫

ϕ φ f x h x dx dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a

yazılır ve benzer şekilde

) 6 . 3 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2           − ∫           ∫ − Γ ≤           ∫ − ∫

∫

γ dx x h x g dx x h dx x h x g dx x h dx x h x g dx x h dx x h x g dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a

bulunur. Şimdi (3.3) , (3.4), (3.5) ,ve (3.6) ifadeleri yardımıyla

(

( )

)(

( )

)

( ) . ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 dx x h x f x f dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ϕ φ ϕ φ − − ∫ −             − ∫             ∫ − =             ∫ − ∫

∫

(28)

20 ) 7 . 3 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1           − ∫           ∫ − Γ ×           − ∫           ∫ − ≤ ∫ ∫ − ∫

∫

γ ϕ φ dx x h x g dx x h dx x h x g dx x h dx x h x f dx x h dx x h x f dx x h dx x h x g dx x h dx x h x f dx x h dx x h x g x f dx x h b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

yazılır. Reel sayılar için temel eşitsizlik olarak bilinen

(

p q

)

p q R pq≤ + , , ∈ 4 2 bu eşitsizlik yardımıyla

(

)

2 ) 8 . 3 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 4 ϕ φ ϕ φ − ≤           − ∫           ∫ −

∫

f x h x dx dx x h dx x h x f dx x h b a b a b a b a ve

(

)

2 ) 9 . 3 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 4 γ γ − Γ ≤           − ∫           ∫ − Γ

∫

g x h x dx dx x h dx x h x g dx x h b a b a b a b a

yazılır. Böylece, (3.8) ve (3.9) eşitsizlikleri (3.7)’de yerlerine yazılırsa istenilen eşitsizlik elde edilmiş olur. Ayrıca (3.2) eşitsizliğin de h( =x) 1 seçilebilir ve

[ ]

a b x∈ ,       ₋ + = = 2 sgn ) ( ) (x g x x a b f

olarak f ve g fonksiyonları seçilirse

,1 ) ( 1 ₌ −a

∫

f x dx b b a

(29)

21 ,1 ) ( 1 ) ( 1 ₌ − = −a

∫

f x dx b a

∫

g x dx b b a b a 2 = − Γ = −ϕ γ φ

olacağından (3.2) eşitsizliğinde ki eşitlik durumu sağlanacaktır. Şimdi, f ve g’nin durumlarına göre aşağıdaki sonuçları verelim: 3.1.1. Her İki Fonksiyonun Lipschitzian Olduğu Durum

Teorem 3.1.1. f,g :

[ ]

a,b →R fonksiyonlar Lipschitzian olsun yani her x, ∈y

[ ]

a,b için ) 10 . 3 ( ) ( ) ( , ) ( ) (x f y L1x y g x g y L2 x y f − ≤ − − ≤ −

koşulunu sağlayacak şekilde sabit L1>0, L2 >0 var olsun. Ayrıca, eğer

[ ] [

, → 0,∞

)

: a b

p fonksiyonu integrallenebilir ise

) 11 . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1               − ≤ −

∫

xdx x p dx x x p dx x p L L dx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p b a b a b a b a b a b a b a eşitsizliği vardır.

İspat: f,g :

[ ]

a,b →R fonksiyonlar Lipschitzian olduğundan dolayı (3.10) eşitsizlikleri yardımıyla her x, ∈y

[ ]

a,b için

(

)(

)

(

)

2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (x f y g x g y LL x y f − − ≤ −

yazılır. Yukarıdaki eşitsizlik p(x)p(y)≥0 ile çarpar ve

[ ]

_a_,b2_{üzerinde integrali}

(30)

22

(

)(

)

(

)(

)

(

x y

)

dxdy y p x p L L dxdy y g x g y f x f y p x p dxdy y g x g y f x f y p x p b a b a b a b a b a b a 2 2 1 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − ≤ − − ≤ − −

∫

olur. Ayrıca burada kolaylıkla görüldüğü gibi

(

)(

)

   −    = − −

∫

dx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p dxdy y p x p y g x g y f x f b a b a b a b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ve

(

)

2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1       − = −

∫

xdx x p dx x x p dx x p dxdy y x y p x p b a b a b a b a b a

ifadeleri yazılır. Buda istenilen eşitsizliği sağlamış olur. Diğer yandan,

x L x g x L x

f( )= ₁ , ( )= ₂ olarak seçilirse f , L Lipschitzian ve ₁ g de L ₂

Lipschitzian olacağından, (3.11) deki eşitlik durumu sağlanılmış olur. Sonuç 3.1.2: Yukarıdaki Teorem 3.1.1 deki varsayımlara göre

(

)

₍₃_.₁₂₎ 12 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 2 1L b a L dx x g a b dx x f a b dx x g x f a b b a b a b a − ≤ − − − −

∫

eşitsizliği vardır ve buradaki ₁₂1 _{sabiti mümkün olan en iyi sabittir.}

Yukarıdaki sonuç Cebysev tarafından verilen iyi bilinen bir sonuç olduğuna dikkat edelim.

Sonuç 3.1.3: f_,g _:

[ ]

a_.b →R fonksiyonlar

( )

a, üzerine türevlenebilir ve türevleri b

(31)

23 ( ) ′ <∞ = ′ ∈ ∞ sup ( ) , f t f b a t

olarak tanımlansın. O zaman aşağıdaki eşitsizlik vardır;

(

)

. (3.13) 12 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 a b g f dx x g a b dx x f a b dx x g x f a b b a b a b a − ′ ′ ≤ − − − − ∞ ∞

∫

Burada ki ₁₂1 _{sabiti mümkün olan en iyi sabittir.}

3.1.2. f -nin Lipschitzian Olduğu Durum

Şimdi aşağıdaki her bir fonksiyonun Lipschitzian olduğunu varsayarak Grüss tipindeki başka bir eşitsizliği kanıtlayabiliriz.

Teorem 3.1.4. f :

[ ]

a,b →R tanımlı fonksiyon M -Lipschitzian fonksiyon olsun. O zaman aşağıdaki eşitsizlik vardır:

[ ]

( )( )

[

]

(

)

[ ]

( )

[ ]

      ∈ = + > ∈ − ∈ ≤ − − − − ∞ ∞ − + +

∫

) 14 . 3 ( . , ;1 , 1 , . ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 3 1 1 2 12 1 1 3 1 1 b a L g g M p b a L g g a b M b a L g g M dx x g a b dx x f a b dx x g x f a b a b q p p q p p b a b a b a p p

İspat: Her x, ∈y

[ ]

a,b için

) ( ) ( ) ( ) ( ) (x g y f y g y M x y g y f − ≤ −

yazılır. Burada son eşitsizliğin her iki taraf

[ ]

_a_,b2_{üzerinde integrali alınırsa,}

(

)

dxdy y g y x M dxdy y g y f y g x f b a b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − ≤ −

∫

yazılır. Diğer yandan soldaki integrali

(

)

(

)

( ) ( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x g x f a b dx x g dx x f dxdy y g y f y g x f b a b a b a b a b a

∫

− − = −

(32)

24 şeklinde yazar ve g∈L1

[ ]

a,b olduğundan

(

)

( ) [ ]

(

)

2 ₁ , ,max ( ) ) ( 2 g a b dy y g y x a b dxdy y g y x b a b a y x b a b a − = − − ≤ −

∫

∈

birinci kısımdaki eşitsizlik elde edilmiş olur.

Şimdi p>1 ve 1p+1q =1,g∈Lq

[ ]

a,b olsun. O zaman, Hölder integral eşitsizliği

yardımıyla

(

)

_q q b a b a p b a b a b a b a g a b K dxdy y g dxdy y x dxdy y g y x q p q p 1 1 1 1 ) ( ) ( − =             − ≤ −

∫

olup buradan da

(

)

(

)

(

)

(

1

)(

2

)

2 1 2 1 1 + + − =       + − + − =       − + − =       − = − = + + +

∫

p p a b dx p x b a x dx dy x y dy y x dx dy y x dxdy y x K p p p b a p b x p x a b a p b a b a p b a b a

basit hesaplamalar ile

(

)(

) (

)

q b a b a g a b p p dxdy y g y x p p ₁ 1 2 2 1 2 ) ( + −       + + ≤ −

∫

istenilen ikinci eşitsizlik sağlanılmış olur.