3-BOYUTLU YARI-SİMETRİK VE PSÖDO-SİMETRİK HEMEN HEMEN ALFA-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Esra TAŞ (ULUKAVAK) Danışman
Dr. Öğr. Üyesi Hakan ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez çalışması 16.FEN.BİL.16 numaralı proje ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi tarafından desteklenmiştir.
AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
3-BOYUTLU YARI-SİMETRİK VE
PSÖDO-SİMETRİK HEMEN HEMEN
ALFA-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR
Esra TAŞ (ULUKAVAK)
Danışman
Dr. Öğr. Üyesi Hakan ÖZTÜRK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;
Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,
Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu,
Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,
Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
28/02/2019
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
3-BOYUTLU YARI-SİMETRİK VE PSÖDO-SİMETRİK HEMEN HEMEN ALFA-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR
Esra TAŞ (ULUKAVAK) Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Hakan ÖZTÜRK
Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılarak genel bir literatür bilgisine adanmıştır. İkinci bölümde, gerekli temel tanımlar ve kavramlar sunulmuştur. Üçüncü bölümde, hemen hemen alfa-kosimplektik manifold yapısı tanıtılmış ve bir örnekle açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, belli bazı yarı-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldları ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, belli bazı üç boyutlu psödo-simetrik alfa-Kenmotsu manifoldları ayrıntılı bir şekilde ele alınmış ve bazı sonuçlar verilmiştir.
2019, v + 46 sayfa
Anahtar Kelimeler: Hemen hemen kosimplektik manifold, Hemen hemen
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
THREE DIMENSIONAL SEMI-SYMMETRIC AND PSEUDO-SYMMETRIC
ALMOST ALPHA-COSYMPLECTIC MANIFOLDS Esra TAŞ (ULUKAVAK)
Afyon Kocatepe University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Asst. Prof. Hakan ÖZTÜRK
This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction section and provide a general knowledge of literature. In the second chapter, the necessary basic concepts and definitions are presented. In the third chapter, the structure of almost alpha-cosymplectic manifold is introduced and explained with an example. In the fourth chapter, some results related to some certain semi-symmetric almost alpha-cosymplectic manifolds are obtained. In the fifth chapter, three dimensional pseudo-symmetric alpha-Kenmotsu manifolds are addressed in detail and some results are given.
2019, v + 46 pages
Keywords: Almost alpha-cosymplectic manifold, Almost alpha-Kenmotsu manifold,
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans eğitimim boyunca titiz çalışma prensibiyle bana örnek olan ve yol gösteren, çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyerek bana destek olan danışman hocam Sayın Dr. Öğr. Üyesi Hakan ÖZTÜRK'e teşekkür ederim.
Tez çalışmam boyunca 16.FEN.BİL.16 numaralı proje ile desteğini esirgemeyen Afyon Kocatepe Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi’ne teşekkür ederim.
Son olarak, bu tez çalışması boyunca maddi ve manevi desteklerinden dolayı aileme teşekkürü bir borç bilirim.
Esra TAŞ (ULUKAVAK) AFYONKARAHİSAR, 2019
İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii TEŞEKKÜR ... iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv SİMGELER DİZİNİ ... v 1. GİRİŞ ... 1
2. TEMEL TANIMLAR ve KAVRAMLAR ... 7
2.1 Manifoldlar ... 7
2.2 Psödo-Simetrik Koşullar ve Bazı Paralel Tensör Alanları ... 12
3. HEMEN HEMEN ALFA-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ... 17
4. BAZI YARI-SİMETRİK HEMEN HEMEN ALFA-KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR ... 20
5. 3-BOYUTLU PSÖDO-SİMETRİK ALFA-KENMOTSU MANİFOLDLAR ... 29
6. TARTIŞMA ve SONUÇ ... 40
7. KAYNAKLAR ... 41
SİMGELER DİZİNİ
Simgeler
R Riemann eğrilik tensör alanı
D Değme dağılımı
S Ricci eğrilik tensör alanı
Q Ricci operatörü
N Nijenhuis tensör alanı
∇ Levi-Civita konneksiyonu
χ(M) M üzerindeki C∞ vektör alanları uzayı
U(n) Üniter grup
div Diverjans operatörü
TM M üzerindeki tanjant demeti
TM┴ M üzerindeki tanjant demetinin ortogonal tümleyeni
O(s) Ortogonal grup
Rη (M) M üzerindeki diferensiyellenebilir fonksiyonların bir alt
halkası
F Hemen hemen kompleks yapı
c Konformal eğrilik tensörünün diverjansı
P Projektif eğrilik tensör alanı
C Weyl konformal eğrilik tensör alanı
𝐶̅ Konsirküler eğrilik tensör alanı
1
G·IR·I¸SBir uzay¬n geometrisi esas olarak o uzay¬n e¼grili¼gine ba¼gl¬d¬r. Bir uzay için en önemli geometrik özelliklerden birisi simetridir. Bir manifoldun simetrisi ile ilgili çal¬¸smalar Cartan (1926) ile ba¸slam¬¸st¬r. Bundan sonra Cartan taraf¬ndan ortaya konulan bu notasyon birçok yazar taraf¬ndan farkl¬ yöntemlerle belli baz¬ e¼grilik k¬s¬tlamalar¬na gidilerek biraz daha zay¬‡at¬lm¬¸s haliyle ele al¬nm¬¸st¬r. Cartan ilk defa Riemann mani-foldlar¬için tam aç¬k ba¼glant¬l¬lokal simetrik uzaylar¬s¬n¬‡and¬rm¬¸st¬r. Bu s¬n¬‡and¬r-man¬n bir benzeri Riemann olmayan manifoldlar için Cahen ve Parker (1970) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca, Walker (1950) rekürent manifoldlar üzerinde Cartan’¬n tan¬m¬n¬ daha zay¬f simetriler için ele alm¬¸st¬r. Benzer olarak, Dubey (1979) genelle¸stirilmi¸s rekürent manifoldlar¬ ve bundan ba¸ska, Shaikh ve Roy (2010) kuasi-genelle¸stirilmi¸s rekürent manifoldlar¬ çal¬¸st¬lar. Literatürdeki yar¬-simetri kavram¬ için ilk tan¬mlama R R = 0 denklemiyle ilk kez Nomizu taraf¬ndan verilmi¸stir (Nomizu 1968). Cartan notasyonuna göre Nomizu’nun tan¬mlamas¬ndan sonra yar¬-simetrik manifoldlar Rie-mann anlam¬nda Szabó taraf¬ndan s¬n¬‡and¬r¬lm¬¸st¬r (Szabó 1982). Bu tan¬mlardaki yar¬-simetri kavram¬n¬n esas¬yar¬-simetrik manifold kavram¬ndan gelmektedir. Bir Rie-mann Mn manifoldu üzerinde Rn+1 Öklid uzay¬n¬n tam ba¼glant¬l¬ bir yar¬-simetrik
hiperyüzeyi (n > 3) yani, R R = 0 ise Mn manifoldu lokal simetriktir. Ba¸ska bir ifadeyle, rR = 0 denklemini sa¼glar. Bu çal¬¸smalar manifold s¬n¬‡and¬rmalar¬nda lokal simetriyi ve yar¬-simetriyi çok önemli hale getirmi¸stir.
Yar¬-simetrinin bir genelle¸stirmesi olarak psödo-simetrik kavram¬n¬ilk olarak Chaki ve daha sonra Deszcz ortaya koymu¸stur. ¸Su an literatürde bu iki farkl¬ psödo-simetrik kavram¬ mevcuttur (Chaki 1987, Deszcz 1992). Bilindi¼gi üzere bir (M; g) Riemann manifoldu R R = 0 denklemini sa¼gl¬yorsa yar¬-simetrik manifold olarak adland¬r¬l¬r. Burada R; Riemann e¼grilik tensörü ve R R ise R ye göre R Riemann e¼grilik tensörünün türevidir. Lokal simetrik uzaylar simetrik uzaylard¬r. Yani lokal simetriklik yar¬-simetrikli¼gi kapsamaktad¬r. Fakat bu ifadenin tersi do¼gru de¼gildir. Yani, yar¬-simetrik uzay lokal simetrik bir uzay olmak zorunda de¼gildir.
e¼ger R(X; Y ) R = L f(X ^ Y ) Rg olacak ¸sekilde bir L fonksiyonu mevcutsa bir psödo-simetrik manifold olarak adland¬r¬l¬r. Burada (X ^ Y )
(X ^ Y )Z = g(Y; Z)X g(Z; X)Y
¸seklinde tan¬ml¬bir endomor…zm tensör alan¬d¬r (Deszcz 1992). E¼ger M manifoldu yar¬-simetrik de¼gilse (M; g) psödo-simetrik uzay¬tam psödo-simetrik uzay olarak adland¬r¬l¬r. Özellikle, e¼ger L fonksiyonu sabit bir fonksiyon ise uzaya sabit tipli bir psödo-simetrik uzay denir. Yar¬-simetrik uzaylar L = 0 ile verilen sabit tipli psödo-simetrik uzaylard¬r. Üç boyutlu sabit tipli psödo-simetrik uzaylar Kowalski ve Sekizawa (1997) taraf¬ndan ele al¬nm¬¸st¬r. Ayr¬ca, sabit tipli konformal ‡at psödo-simetrik manifoldlar Hashimoto ve Sekizawa (2000) taraf¬ndan s¬n¬‡and¬r¬lm¬¸st¬r. Üç boyutlu bir Riemann manifoldu için Riemann e¼grilik formülü Ricci e¼grili¼ginden yararlan¬larak
R(X; Y )Z = S(Y; Z)X S(Z; X)Y + g(Y; Z)QX g(Z; X)QY r2(X ^ Y )Z
¸seklinde belirlenir. Burada S Ricci tensörü, Q Ricci operatörü ve r skalar e¼griliktir. Bu temel formül üç boyutlu Riemann geometrisinde kesit e¼grili¼ginin de¼gi¸smezli¼ginin Ein-stein ko¸suluna denk oldu¼gunu göstermektedir. Yani, Ricci tensörünün f jg özde¼gerleri
için 1 = 2 = 3 d¬r. Bundan ba¸ska, psödo-simetri de bu ko¸sula denktir; üç boyutlu
uzayda Ricci tensörünün 1; 2; 3 özde¼gerleri 1 = 2 e¸sitli¼gini sa¼glar. Böylece üç
boyut için psödo-simetri sabit e¼grilik özelli¼ginin bir do¼gal genelle¸stirmesidir. ¸
Simdi, Chaki (1987) taraf¬ndan tan¬mlanan psödo-simetrik manifold kavram¬n¬verelim. (Mn; g) (n 2)‡at olmayan bir Riemann manifoldu her X vektör alan¬için
(rXR)(Y; Z)W = 2A(X)R(Y; Z)W + A(Y )R(X; Z)W
+A(Z)R(Y; X)W + A(W )R(Y; Z)X +g(R(Y; Z)W; X)
¸seklinde bir R e¼grilik tensörüne sahipse bu tür manifoldlara psödo-simetrik manifoldlar denir. Burada A, g(X; ) = A(X) ile verilen s¬f¬r olmayan bir 1-form ve r; g metri¼gine göre kovaryant türev operatörüdür. Bu tür manifoldlar (P S)n ile gösterilirler (Chaki
1987). Benzer olarak, Chaki Ricci tensörü yard¬m¬yla (Mn; g) (n > 3)‡at olmayan bir
Riemann manifoldu için
(rXS)(Y; Z) = 2A(X)S(Y; Z) + A(X)S(X; Z) + A(Z)S(Y; X)
e¸sitli¼ginden psödo-Ricci simetrik manifold tan¬m¬n¬vermi¸stir. Bu tür manifoldlar¬ise (P RS)n ile sembolize etmi¸stir.
Deszcz ve Chaki’nin ortaya koydu¼gu tan¬mlamalar farkl¬olmas¬na kar¸s¬n bu iki tan¬m-lama aras¬ndaki ili¸skileri inceleyen çok az say¬da çal¬¸sma yap¬lm¬¸st¬r (Mantica and Moli-nari 2011). Biz bu tez çal¬¸smas¬nda Deszcz tan¬m¬n¬ göz önüne alarak tüm i¸slem ve hesaplar¬m¬z¬onun üzerinden yapaca¼g¬z.
De¼gme ve hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar üzerinde Deszcz anlam¬nda oldukça fazla çal¬¸sma ortaya ç¬km¬¸st¬r (De et al. 2015, Cho and Inoguchi 2005). Özellikle çal¬¸smam¬zda kullanaca¼g¬m¬z temel kaynaklardan biri olan Özgür (2006) taraf¬ndan yap¬lan çal¬¸sma oldukça önemlidir. Bu çal¬¸smada Kenmotsu manifoldlar¬ üzerinde psödo-simetrik ko¸sullar incelenmi¸stir.
Simetri kavram¬sadece geometri de de¼gil …zik alan¬nda da çok de¼gerlidir. Baz¬simetri anlam¬ndaki hassasiyetlerin uzaya kat¬lmas¬genel rölativite kuram¬nda çok önemli bir role sahiptir. Bir simetri özelli¼gi olmaks¬z¬n küresel simetri, aksi simetri, Einstein alan denklemlerinin çözümü gibi kavramlar¬n çözülmesi çok zor hale gelirken, simetri ol-madan olanaks¬z problemlere dönü¸sürler (Deszcz et al. 2004).
Bu çal¬¸smada, lokal simetri, yar¬-simetri ve psödo-simetri kavramlar¬d¬¸s¬nda belli baz¬ paralellik ko¸sullar¬n¬ da üzerinde çal¬¸saca¼g¬m¬z manifold üzerinde verece¼giz. Bir M manifoldu üzerinde bir lineer konneksiyon olan r ile verilen bir T tensör alan¬, M üzerinde e¼griler boyunca paralel yer de¼gi¸stirmeler alt¬nda invaryantt¬r (Sharpe 1997). Ba¸ska bir deyi¸sle, her a; b 2 M için Ta de¼geri (a noktas¬ndaki T tensör alan¬n¬n de¼geri)
a ve b noktalar¬yla birle¸sen herhangi bir düzgün e¼gri boyunca b noktas¬na paralel yer de¼gi¸stirmeler alt¬nda Tb tensör de¼gerine dönü¸sür. Bir T tensör alan¬n¬n paralel olmas¬
için gerek ve yeter ¸sart herhangi bir key… Y vektör alan¬do¼grultusunda onun kovaryant türevinin özde¸s olarak s¬f¬ra e¸sit olmas¬d¬r. Yani, r konneksiyonuna göre, rYT = 0veya
T tensör alan¬n¬n kovaryant diferensiyelinin s¬f¬r olmas¬d¬r. Levi-Civita konneksiyonu ile verilen bir Riemann manifoldu üzerinde diferensiyel formlar¬n paralel alanlar¬ özel bir ilgi alan¬olmu¸stur (Blair 2002).
Bu tez çal¬¸smas¬nda ele ald¬¼g¬m¬z manifold yap¬s¬n¬n en temel kayna¼g¬Kenmotsu (1972) taraf¬ndan ortaya koyulmu¸stur. Kenmotsu hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar üzerinde yeni bir karakterizasyon ortaya koyarak bir s¬n¬‡and¬rmaya gitmi¸stir. Bu yap¬ yard¬m¬yla kurulan manifold daha sonralar¬ Kenmotsu olarak isimlendirilmi¸stir (Kenmotsu 1972). Bunlar¬ takiben, hemen hemen Kenmotsu yap¬lar hemen hemen alfa-Kenmotsu yap¬lara dönü¸stürülerek bu tür manifoldlar daha da genelle¸stirilmi¸stir (Vanhecke 1981).
Son zamanlarda hemen hemen alfa-Kenmotsu ve hemen hemen kosimplektik yap¬lar birlikte dü¸sünülerek, hemen hemen de¼gme metrik manifoldlar¬n bir s¬n¬f¬ olan hemen hemen alfa-kosimplektik manifold kavram¬ tan¬mlanm¬¸st¬r (Kim and Pak 2005). Bir (2n + 1)-boyutlu hemen hemen alfa-kosimplektik yap¬s¬ d = 0 ve d = 2 ( ^ ) e¸sitlikleriyle birlikte ele al¬nm¬¸st¬r. Burada ; herhangi bir reel say¬ ve ; temel 2-formdur (Kim and Pak 2005). Burada = 0 için manifold hemen hemen kosimplektik, 6= 0 için hemen hemen alfa-Kenmotsu yap¬s¬ndad¬r. Ayr¬ca, = 0 ve 6= 0 olmak üzere, s¬ras¬yla yap¬lar normal oldu¼gunda o zaman bu yap¬lar kosimplektik ve alfa-Kenmotsu olarak adland¬r¬l¬rlar. Özel olarak, alfa-kosimplektik yap¬için = 1durumu Kenmotsu ve hemen hemen alfa-kosimplektik yap¬için = 1durumu ise hemen hemen Kenmotsu formundad¬r.
Riemann geometrisinde, R Riemann e¼grilik tensöründen ba¸ska önemli tensör alanlar¬ vard¬r. Bunlardan baz¬lar¬Weyl konformal e¼grilik tensörü C; projektif e¼grilik tensörü P ve konsirküler e¼grilik tensörü C dir (Yano and Kon 1984). Bu nedenle, yazarlar¬n ço¼gu tensör çarp¬mlar¬ manas¬nda bu özel e¼grilikleri kullanm¬¸slard¬r. Bunlara örnek olarak, konformal yar¬-simetrik, projektif yar¬-simetrik, konsirküler yar¬-simetrik ten-sörleri s¬ras¬yla R(X; Y ) C = 0; R(X; Y ) P = 0 ve R(X; Y ) C = 0 ¸seklinde tan¬m-lanm¬¸st¬r (Bagewadi et al. 2007, Özgür 2006). Burada R(X; Y ) manifoldun her bir noktas¬ndaki tensör cebirinin türevi olarak al¬nm¬¸st¬r.
Ayr¬ca, hemen hemen Kenmotsu manifoldlar üzerinde baz¬tensör alanlar¬na göre paralel-lik ve eta-paralelparalel-lik ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r (Dileo and Pastore 2009, Murathan vd. 2010). Özel-likle (h )bile¸ske tensör alan¬n¬n eta-paralelli¼gi üzerinde çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Bundan ba¸ska, hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar üzerinde h ve ( h)tensör alanlar¬na göre eta-paralellik ¸sartlar¬incelenmi¸stir (Öztürk 2009, Murathan vd. 2014).
Bu yüksek lisans tez çal¬¸smas¬nda, hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar üzerinde baz¬ek ¸sartlar alt¬nda üç boyutlu uzayda psödo-simetrik ko¸sullar ve bu ¸sartlarla birlikte ortaya ç¬kan geometri incelenmi¸stir. Burada alfa fonksiyonu d ^ = 0 ¸seklinde düzgün bir fonksiyon olarak seçilmi¸stir. Ayr¬ca, belli baz¬paralel tensör alanlar¬yard¬m¬yla yar¬-simetrik ko¸sullar da hemen hemen alfa-kosimplektik ve hemen hemen alfa-Kenmotsu manifoldlar¬üzerinde çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.
·
Ikinci bölümde, çal¬¸smam¬z¬n esas¬n¬ te¸skil eden temel manifold teori ile ilgili tan¬m ve kavramlar sunulmu¸stur. Bu bölümün ilk alt k¬sm¬nda belli baz¬manifoldlar¬n temel kavramlar¬tan¬t¬l¬rken, ikinci alt k¬s¬mda ise psödo-simetrik, yar¬-simetrik ve baz¬paralel tensör alanlar¬ile ilgili tan¬m ve kavramlar verilmi¸stir.
Üçüncü bölümde, hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar ile ilgili temel kavramlar ele al¬nm¬¸st¬r. Özellikle, hemen hemen alfa-kosimplektik yap¬lar üzerinde temel e¼grilik özellikleri verilmi¸stir. Bölüm aç¬klay¬c¬ 3-boyutlu bir hemen hemen alfa-kosimplektik örne¼gi ile sonland¬r¬lm¬¸st¬r. Buradaki hesaplamalarda alfa düzgün bir fonksiyon olarak al¬nm¬¸st¬r.
Dördüncü bölümde, hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar üzerinde baz¬ yar¬-simetrik ko¸sullar belli baz¬ paralellik ¸sartlar¬na ba¼gl¬ olarak ayr¬nt¬l¬ bir ¸sekilde in-celenmi¸stir. Özellikle eta-paralellik ko¸suluna ba¼gl¬olarak simetrik, projektif yar¬-simetrik, konformal yar¬-simetrik ve konsirküler ‡at gibi baz¬‡at durumlar çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Baz¬ek ¸sartlar ortaya konularak ortaya ç¬kan geometri ele al¬nm¬¸st¬r.
Son bölümde, baz¬psödo-simetrik ¸sartlar¬sa¼glayan üç boyutlu alfa-Kenmotsu manifold-lar ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Hesaplamalarda alfa hem s¬f¬rdan farkl¬ sabit bir reel say¬ hem de d ^ = 0 ile tan¬mlanan s¬f¬rdan farkl¬düzgün bir pozitif fonksiyon olarak al¬nm¬¸st¬r.
Özellikle, psödo-simetrik, psödo-Ricci simetrik, genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik gibi baz¬özel psödo-simetrik ko¸sullar alfa-Kenmotsu manifoldlar¬üzerinde incelenmi¸s ve baz¬ sonuçlar elde edilmi¸stir.
2
TEMEL TANIMLAR ve KAVRAMLARBu bölümde, çal¬¸smam¬zda kullanaca¼g¬m¬z temel kavramlar verilmi¸stir.
2.1
ManifoldlarTan¬m 2:1:1 Bir n-boyutlu C1 manifold Mn, Mn üzerinde vektör alanlar¬n¬n uzay¬
(Mn)ve reel de¼gerli C1 dif.bilir fonksiyonlar¬n halkas¬C1(Mn; R) olmak üzere, g : (Mn) (Mn) ! C1(Mn; R)
ile tan¬mlanan simetrik, 2-lineer ve pozitif tan¬ml¬bir g dönü¸sümüne Mn üzerinde bir Riemann metrik tensörü ve (Mn; g) ikilisiyle verilen manifolda da bir Riemann
mani-foldu denir. Mnmanifoldunun herhangi iki a ve b noktas¬için Mnüzerinde bu noktalar¬ birle¸stiren bir e¼gri bulunabiliyorsa Mn ye ba¼glant¬l¬manifold ad¬verilir (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:2 Mn bir C1 manifold olsun. Mnüzerinde vektör alanlar¬n¬n uzay¬ (Mn) olmak üzere, r : (Mn) (Mn)2-lineer! (Mn) (X; Y ) ! r(X; Y ) = rXY dönü¸sümü, 8 f; g 2 C1(Mn ; R); 8 X; Y; Z 2 (Mn)için, (i)rX(Y + Z) = rXY +rXZ; (ii)rf X+gYZ = f rXZ + g rYZ; (ii)rX(f Y ) = f rXY + X(f )Y;
özellikleri sa¼glan¬yorsa r ya Mn üzerinde bir a…n konneksiyon denir (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:3 (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve r da Mnüzerinde bir a…n konneksiyon
olsun. O zaman, r dönü¸sümü; 8 X; Y; Z 2 (Mn) için,
(i)rXY rYX = [X; Y ] (Konneksiyonun s¬f¬r torsiyon özeli¼gi),
(ii) Xg(Y; Z) = g(rXY; Z)+g(Y;rXZ)(Konneksiyonun metrikle ba¼gda¸sma özeli¼gi),
¸sartlar¬n¬sa¼gl¬yorsa r ya Mn üzerinde s¬f¬r torsiyonlu bir Riemann konneksiyonu veya
Tan¬m 2:1:4 (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve r, Mn üzerinde bir Levi-Civita
kon-neksiyonu olsun. O zaman,
R : (Mn) (Mn) (Mn)
! (Mn)
R(X; Y )Z = rXrYZ rYrXZ r[X;Y ]Z
(2.1)
ile tan¬mlanan (1; 3)-tipli tensör alan¬R ye Mn nin Riemann e¼grilik tensörü denir. Ayr¬ca, 8 X; Y; Z; V; W 2 (Mn) olmak üzere, R Riemann e¼grilik tensörü
(i) R(X; Y )Z = R(Y; X)Z; (ii) g(R(X; Y )V; W ) = g(R(X; Y )W; V );
(iii) R(X; Y )Z+R(Y; Z)X+R(Z; X)Y = 0; (iv) g(R(X; Y )V; W ) = g(R(V; W )X; Y ); e¸sitlikleri sa¼glan¬r (O’neill 1983).
Önerme 2:1:1 (Mn; g)
bir Riemann manifold, r konneksiyonu Mn üzerinde bir
Levi-Civita konneksiyonu, K; (1:1)-tipli bir tensör alan¬, U simetrik bir tensör alan¬ ve T ters simetrik bir tensör alan¬olmak üzere,
(rXK)Y =rXKY K (rXY )
g((rXU )Y; Z) = g(Y; (rXU )Z); g((rXT )Y; Z) = g(Y; (rXT )Z)
d¬r (O’neill 1983).
Tan¬m 2:1:5 (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. TpM tanjant uzay¬n¬n iki boyutlu
altuzay¬ ve V; W 2 vektörleri üzerine kurulan paralel kenar¬n alan¬ g(V; V )g(W; W ) g(V; W )2 6= 0
olsun. O zaman,
K(V; W ) = g(R(V; W )W; V ) g(V; V )g(W; W ) g(V; W )2
e¸sitli¼gine nin kesit e¼grili¼gi denir ve K( ) ile gösterilir (O’neill 1983). Tan¬m 2:1:6 (Mn; g)
bir Riemann manifoldu ve fe1; e2; :::; eng ; lokal ortonormal vektör
alanlar¬olmak üzere, S : (Mn) (Mn) ! R (X; Y ) ! S(X; Y ) = n P i=1 g(R(ei; X)Y; ei) (2.2)
¸seklinde tan¬ml¬ (0; 2)-tipindeki S tensör alan¬na Mn üzerinde Ricci e¼grilik tensörü
denir.
Bundan ba¸ska, (0; 2)-tipli Q Ricci operatörü
S(X; Y ) = g(QX; Y ) denklemi ile verilir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:7 (Mn; g)bir Riemann manifoldu ve fe1; e2; :::; eng lokal ortonormal vektör
alanlar¬olmak üzere, r = n X i=1 S(ei; ei)
reel say¬s¬na Mn nin skalar e¼grili¼gi denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:8 (Mn; g)bir Riemann manifoldu olsun. E¼ger Mnnin e¼grilik tensörü paralel
yani, rR = 0 ise o zaman, Mn ye lokal simetrik uzay denir (Yano and Kon 1984). Tan¬m 2:1:9 (Mn; g) bir Riemann manifoldu ve Mn üzerinde bir pozitif fonksiyon &
olsun. Bu durumda, g = &2g e¸sitli¼gi Mn üzerinde metrik de¼gi¸simini tan¬mlar. Burada
her bir noktadaki iki vektör aras¬ndaki aç¬de¼gi¸smezdir. Bu nedenle, bu ¸sekilde tan¬m-lanan metrik de¼gi¸simine metri¼gin bir konformal de¼gi¸simi denir. E¼ger & fonksiyonu sabit ise konformal dönü¸süm homotetik olarak adland¬r¬l¬r. E¼ger & fonksiyonu özde¸s olarak 1 e e¸sit ise bu dönü¸süm bir izometri olarak adland¬r¬l¬r.
E¼ger bir g Riemann metri¼gi lokal düzlemsel olan bir g Riemann metri¼gi ile konformal olarak ili¸skili ise o zaman, Mn Riemann manifolduna konformal ‡at denir (Yano and
Kon 1984).
Tan¬m 2:1:10 (M2n+1; g) bir Riemann manifoldu olsun. M2n+1 nin (1; 3)-tipli Weyl
konformal e¼grilik tensör alan¬ C, M2n+1 üzerindeki herhangi X; Y; Z vektör alanlar¬
için,
C(X; Y )Z = R(X; Y )Z 2n 11 [S(Y; Z)X S(X; Z)Y g(X; Z)QY +g(Y; Z)QX] + 2n(2n 1)r [g(Y; Z)X g(X; Z)Y ]
¸seklinde tan¬mlan¬r. Bundan ba¸ska, C nin divergensi c olmak üzere (c = div C), c(X; Y ) = (rXQ)Y (rYQ)X 2(2n 1)1 [(rXr)Y (rYr)X]
d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:11 (M2n+1; g) bir Riemann manifoldu olsun. M2n+1 nin (1; 3)-tipli kon-sirküler e¼grilik tensör alan¬C ve projektif e¼grilik tensör alan¬P olmak üzere,
C(X; Y )Z = R(X; Y )Z 2n(2n+1)r [g(Y; Z)X g(X; Z)Y ] (2.4) ve
P (X; Y )Z = R(X; Y )Z 2n1 [S(Y; Z)X S(X; Z)Y ] (2.5) ¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada S Ricci tensörü ve r = _Iz(S) skalar e¼griliktir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:12 (M2n+1; g)bir Riemann manifoldu olsun. M2n+1üzerinde tüm key… X; Y vektör alanlar¬için, bir (M; g) Riemann manifoldunun Riemann e¼grilik tensörü
R(X; Y ):R = 0 (2.6)
¸sart¬n¬sa¼gl¬yorsa (M2n+1; g) bir yar¬-simetrik uzayd¬r denir (Yano and Kon 1984).
Teorem 2:1:1 (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Mn nin konformal ‡at olmas¬
için gerek ve yeter ko¸sul n > 3 için C = 0 ve n = 3 için c = 0 olmas¬d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:13 (2n + 1)-boyutlu bir manifold M , ; ; da M2n+1 üzerinde, s¬ras¬yla,
(1; 1)-tipinde bir tensör alan¬, bir vektör alan¬ ve 1-form olsunlar. O halde, M2n+1
üzerinde herhangi bir vektör alan¬X olmak üzere,
( ) = 1 ve 2X = X + (X) (2.7)
e¸sitlikleri geçerli ise ( ; ; ) üçlüsüne M2n+1 üzerinde bir hemen hemen de¼gme yap¬ve
bu yap¬ile birlikte M2n+1 ye bir hemen hemen de¼gme manifold denir (Yano and Kon
Tan¬m 2:1:14 M2n+1manifoldu ( ; ; ) üçlüsüyle birlikte hemen hemen bir de¼gme yap¬
olsun. O zaman M2n+1 üzerinde bir g Riemann metri¼gi
(X) = g(X; );
g( X; Y ) = g(X; Y ) (X) (Y );
(2.8)
biçiminde veriliyorsa g metri¼gine M2n+1üzerinde hemen hemen de¼gme metrik, ( ; ; ; g)
yap¬s¬na da hemen hemen de¼gme metrik yap¬ve ( ; ; ; g) yap¬s¬ile M2n+1ye de hemen
hemen de¼gme metrik manifold denir (Yano and Kon 1984).
Önerme 2:1:2 M2n+1, ( ; ; ; g) hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬ ile verilsin. Bu
durumda,
g( X; Y ) = g(X; Y ) (2.9)
d¬r (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:15 M2n+1 üzerinde bir hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬( ; ; ; g) olmak
üzere,
(X; Y ) = g(X; Y ) (2.10)
¸seklinde tan¬ml¬ dönü¸sümüne hemen hemen de¼gme metrik yap¬s¬n¬n temel 2-formu denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:16 Mn bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. E¼ger Mn nin her a noktas¬ için F2 = I olacak ¸sekilde T
aM tanjant uzay¬n¬n bir F endomor…zmas¬ var
ise, o zaman Mnüzerindeki F tensör alan¬na bir hemen hemen kompleks yap¬ad¬verilir. Bir F hemen hemen kompleks yap¬s¬ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks manifold denir (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:17 Mn bir diferensiyellenebilir manifold olmak üzere, Mn üzerinde (1;
1)-tipli bir tensör alan¬G olsun. 8 X; Y 2 (M) için,
NG(X; Y ) = G2[X; Y ] + [GX; GY ] G[GX; Y ] G[X; GY ]
¸seklinde tan¬ml¬ NG tensör alan¬na G tensör alan¬na göre Nijenhuis torsiyon tensörü
Tan¬m 2:1:18 (M2n; F )hemen hemen kompleks manifold olsun. O zaman, N
F = 0 ise
F dönü¸sümüne integrallenebilirdir denir E¼ger M2n
R üzerindeki bir F hemen hemen kompleks yap¬s¬integrallenebilir ise, ( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬na normaldir denir (Yano ve Kon 1984).
Önerme 2:1:3 M2n+1 üzerinde ( ; ; ) hemen hemen de¼gme yap¬s¬n¬n normal olmas¬
için gerek ve yeter ko¸sul
N + 2d = 0
e¸sitli¼ginin geçerli olmas¬d¬r. Burada N ; tensör alan¬na göre Nijenhuis torsiyon ten-sörüdür (Yano and Kon 1984).
Tan¬m 2:1:19 (M2n+1; ; ; ; g), bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. O
zaman, d = 0 ve d = 0 ¸sartlar¬ sa¼glan¬yorsa M2n+1 manifolduna hemen hemen
kosimplektik manifold denir. E¼ger bir hemen hemen kosimplektik manifoldu normal ise bu manifolda kosimplektik manifold denir (Olszak 1981).
Tan¬m 2:1:20 (M2n+1; ; ; ; g)bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. E¼ger
M2n+1 manifoldu üzerinde her X; Y; Z vektör alanlar¬ ve
2 R; 6= 0 için d = 0 ve d = 2 ( ^ ) ¸sartlar¬n¬ sa¼gl¬yorsa, M2n+1 manifolduna bir hemen hemen
alfa-Kenmotsu manifoldu denir (Vanhecke 1981).
Teorem 2:1:2 (M2n+1; ; ; ; g)bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. M2n+1
nin bir Kenmotsu manifold olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul (rX )Y = g( X; Y ) (Y ) X
e¸sitli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r (Kenmotsu 1972).
2.2
Psödo-simetrik Ko¸sullar ve Baz¬Paralel Tensör Alanlar¬Tan¬m 2:2:1 (Mn; g) bir n-boyutlu C1 Riemann manifoldu (n 3) olsun. r, Mn
üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu ve R(X; Y ) ile (X ^Y ) endomor…zmleri s¬ras¬yla, her vektör alan¬için
ve
(X ^ Y )Z = g(Y; Z)X g(Z; X)Y (2.11)
ile verilsin. Bu durumda, R R; R S; Q(g; R) ve Q(g; S) tensör alanlar¬her X; Y; U; W ve Z vektör alanlar¬için a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r:
(R(X; Y ) R)(U; W )Z = R(X; Y )R(U; W )Z R(R(X; Y )U; W )Z
R(U; R(X; Y )W )Z R(U; W )R(X; Y )Z; (2.12) (R(X; Y ) S)(U; W ) = S(R(X; Y )U; W ) S(U; R(X; Y )W; (2.13)
Q(g; R)(U; W; Z; X; Y ) = (X ^ Y )R(U; W )Z R((X^ Y )U; W )Z
R(U; (X ^ Y )W )Z R(U; W )(X ^ Y )Z; (2.14) Q(g; S)(U; W ; X; Y ) = S((X ^ Y )U; W ) S(U; (X^ Y )W ); (2.15) burada R C ve Q(g; C) tensör çarp¬mlar¬ da R R ve Q(g; R) deki gibi ayn¬¸sekilde tan¬mlan¬r.
Tan¬m 2:2:2 (Mn; g) bir n-boyutlu C1 Riemann manifoldu (n 3)olsun. E¼ger R R ve Q(g; R) lineer ba¼g¬ml¬ise o zaman Mn manifoldu psödo-simetrik olarak adland¬r¬l¬r.
Yani, bu önerme UR=fx 2 Mn : Q(g; R)6= 0; x noktas¬ndag kümesi üzerinde tan¬ml¬
R R = LRQ(g; R) (2.16)
önermesine denktir. Burada LR; UR üzerinde bir fonksiyondur (Deszcz 1992).
Hat¬rlatma 2:2:1 E¼ger R R = 0 ise Mn simetrik olarak adland¬r¬l¬r. Her yar¬-simetrik manifold psödo-yar¬-simetriktir fakat tersi do¼gru de¼gildir. E¼ger Mn lokal simetrik
ise yar¬-simetrik oldu¼gu a¸sikard¬r.
Tan¬m 2:2:3 (Mn; g) bir n-boyutlu C1 Riemann manifoldu (n 3) olsun. E¼ger
R S ve Q(g; S) lineer ba¼g¬ml¬ise o zaman Mn manifoldu psödo-Ricci simetrik olarak adland¬r¬l¬r. Yani, bu önerme US = x2 Mn: S 6= nr; xnoktas¬nda kümesi üzerinde
tan¬ml¬
önermesine denktir. Burada LS; US üzerinde bir fonksiyondur (Deszcz 1992).
Hat¬rlatma 2:2:2Her psödo-simetrik manifold psödo-Ricci simetriktir fakat tersi do¼gru de¼gildir. E¼ger R S = 0 ise o zaman Mn Ricci yar¬-simetriktir. Her yar¬-simetrik
manifold Ricci yar¬-simetriktir. Fakat bu durumun tersi do¼gru de¼gildir. Her Ricci yar¬-simetrik manifold psödo-Ricci simetriktir ama bu durumun da tersi do¼gru de¼gildir. Tan¬m 2:2:4 (Mn; g)bir n-boyutlu C1Riemann manifoldu (n 3)olsun. E¼ger R R ve Q(S; R)lineer ba¼g¬ml¬ise o zaman Mn manifoldu genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik
olarak adland¬r¬l¬r. Yani, bu önerme U = fx 2 Mn: Q(S; R)6= 0; x noktas¬ndag kümesi üzerinde tan¬ml¬
R R = LQ(S; R) (2.18)
önermesine denktir. Burada L; U üzerinde bir fonksiyondur (Deszcz 1992). Burada Q(S; R)ve (X ^S Y )a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬ml¬d¬r:
Q(S; R)(U; W; Z; X; Y ) = (X ^SY )R(U; W )Z R((X^SY )U; W )Z
R(U; (X ^SY )W )Z R(U; W )(X ^SY )Z
(2.19) ve
(X ^SY )Z = S(Y; Z)X S(X; Z)Y:
Tan¬m 2:2:5 (Mn; g) bir n-boyutlu C1 Riemann manifoldu (n 4) olsun. E¼ger
R C ve Q(g; C) lineer ba¼g¬ml¬ise o zaman Mn manifoldu Weyl psödo-simetrik olarak adland¬r¬l¬r. Yani, bu önerme UC = fx 2 Mn: C 6= 0; x noktas¬ndag kümesi üzerinde
tan¬ml¬
R C = LCQ(g; C)
önermesine denktir. Burada LC; UC üzerinde bir fonksiyondur (Deszcz 1992).
Hat¬rlatma 2:2:3E¼ger R C = 0 ise o zaman MnWeyl konformal yar¬-simetriktir. E¼ger
Mn Weyl yar¬-simetrik ise o zaman a¸sikar olarak ayn¬zamanda Weyl psödo-simetriktir.
Fakat bu durumun tersi do¼gru de¼gildir (Deszcz 1992).
Tan¬m 2:2:6 (Mn; ; ; ; g), bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. Mn
( = 0) olmak üzere,
g((rXT ) Y; Z) = 0 (2.20)
¸sart¬n¬sa¼glan¬yorsa T ye eta-paraleldir denir (Boeckx 2005).
Tan¬m 2:2:7 (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Mn üzerinde herhangi simetrik (1; 1)-tipli tensör alan¬T olmak üzere, herhangi X; Y; Z vektör alanlar¬için,
(rXT )Y = (rYT )X (2.21)
ise T ye Codazzi tensör alan¬denir (Blair 2002).
Tan¬m 2:2:8 (Mn; g) bir Riemann manifoldu olsun. Mn üzerinde herhangi simetrik
(1; 1)-tipli tensör alan¬T olmak üzere, herhangi X; Y; Z vektör alanlar¬için,
g((rXT ) Y; Z) + g((rYT ) Z; X) + g((rZT ) X; Y ) = 0 (2.22)
e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa T ye devirli paralel tensör alan¬denir (Boeckx and Cho 2006). Tan¬m 2:2:9 (Mn; ; ; ; g), bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. Her
X; Y; Z 2 D olmak üzere, Mn üzerinde herhangi simetrik (1; 1)-tipli T tensör alan¬ g((rXT ) Y; Z) + g((rYT )Z; X) + g((rZT )X; Y ) = 0 (2.23)
e¸sitli¼gi sa¼glan¬yorsa T ye devirli eta-paralel tensör alan¬denir (Boeckx and Cho 2006). Önerme 2:2:1 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. E¼ger h tensör alan¬eta-paralel ise o zaman, key… vektör alanlar¬için
(rX h)Y = (X) lY ( 2+ ( )) 2Y 2 hY + h2Y (2.24)
(Y ) hX h2X g(Y; hX h2X)
denklemi geçerlidir (Aktan vd. 2013). Burada alfa, M2n+1 üzerinde d ^ = 0 ¸seklinde düzgün bir fonksiyondur.
Önerme 2:2:2 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun.
E¼ger h tensör alan¬eta-paralel ise o zaman, key… vektör alanlar¬için
denklemi sa¼glan¬r (Aktan vd. 2013). Burada alfa, M2n+1
üzerinde d ^ = 0 ile verilen düzgün bir fonksiyondur.
Önerme 2:2:3 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun.
E¼ger h tensör alan¬eta-paralel ise o zaman, key… vektör alanlar¬için
(rXh)Y = (X) lY + ( 2+ ( )) Y + 2 hY + h2Y (2.26)
(Y ) 2hX + h2X + g(Y; hX + h2X)
denklemi sa¼glan¬r (Aktan vd. 2013). Burada l = R(:; ) ve alfa, M2n+1 üzerinde d ^ = 0 ile verilen düzgün bir fonksiyondur.
3
HEMEN HEMEN ALFA-KOS·IMPLEKT·IK MAN·IFOLDLARBu bölümde, üzerinde çal¬¸st¬¼g¬m¬z hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar ile ilgili baz¬özellikler sunulmu¸stur.
Tan¬m 3:1 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen de¼gme metrik manifold olsun. Alfa
key… bir reel say¬olmak üzere, manifold üzerinde
d = 0 ve d = 2 ( ^ ) (3.1)
denklemleri ayn¬anda gerçekleniyor ise M2n+1manifolduna hemen hemen alfa-kosimplektik manifold denir. Özel olarak, = 0 için yap¬hemen hemen kosimplektik ve 6= 0 için hemen hemen alfa-Kenmotsudur (Kim and Pak 2005).
Önerme 3:1 (M2n+1; ; ; ; g)bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. Bu
durumda, key… vektör alanlar¬için, hX = 1 2(L )X; h( ) = 0; (3.2) rX = 2X hX; ( h)X + (h )X = 0 (3.3) r = 0; r = 0; = 2 n; _Iz(h) = 0; (3.4) (rX )Y = [g(X; Y ) (X) (Y )] + g( Y; hX); (3.5) h = 0, r = 2; (r h) + (r h) = 0; (3.6)
denklemleri sa¼glan¬r (Öztürk 2009).
Önerme 3:2 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. O
halde,
R(X; Y ) = 2[ (X)Y (Y )X] [ (X) hY (Y ) hX] (3.7) +(rY h)X (rX h)Y
denklemi geçerlidir (Öztürk 2009).
Önerme 3:3 (M2n+1; ; ; ; g)bir lokal simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik ma-nifold olsun. O zaman r h = 0 denklemi geçerlidir (Öztürk 2009).
Önerme 3:4 (M2n+1; ; ; ; g) bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. O
halde, a¸sa¼g¬daki e¼grilik özellikleri sa¼glan¬r:
R(X; Y ) = (rY h)X (rX h)Y [ (X) hY (Y ) hX] + 2+ ( ) [ (X)Y (Y )X] ; (3.8) R(X; ) = 2+ ( ) 2X + 2 hX h2X + (r h)X; (3.9) R(X; ) R( X; ) = 2 ( 2 + ( )) 2X h2X ; (3.10) (r h)X = R(X; ) 2+ ( ) X 2 hX h2X; (3.11) S(X; ) = 2n 2+ ( ) (X) (div( h))X; (3.12) S( ; ) = h 2n( 2 + ( )) + _Iz(h2) i ; (3.13)
burada alfa M2n+1üzerinde d ^ = 0 ile verilen düzgün bir fonksiyon ve ( ) gösterimi alfa düzgün fonksiyonunun vektör alan¬yönündeki r konneksiyonuna göre kovaryant türevidir (Aktan vd. 2014).
Örnek 3:1 R3(x; y; z) standart koordinat sistemi olmak üzere, 3-boyutlu M
R3
manifoldu
M = (x; y; z)2 R3 : z 6= 0 ; ile verilsin. M üzerindeki vektör alanlar¬,
E1 = ez 3 @ @x; E2 = e z3 @ @y; E3 = @ @z;
¸seklinde seçilsin. fE1; E2; E3g cümlesinin M nin her noktas¬nda lineer ba¼g¬ms¬z oldu¼gu
a¸sikard¬r. Bundan ba¸ska, g Riemann metri¼gi g = 1
e2z3(dx dx + dy dy) + dz dz tensör çarp¬m¬yard¬m¬yla verilir.
Ayr¬ca, eta 1-formu key… X vektör alan¬için (X) = g(X; E3) e¸sitli¼gi ile tan¬mlans¬n
Bu tensör alanlar¬na ilaveten, (1; 1)-tipli h tensör alan¬h(E1) = E1; h(E2) = E2 ve
h(E3) = 0 ile verilsin. Bu takdirde, g ve için, 2X = X + (X)E
3; (E3) = 1
g( X; Y ) = g(X; Y ) (X) (Y ) d¬r. r, g metri¼gi ile verilen Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere,
[E1;E2] = 0; [E1;E3] = 3z2E1; [E2;E3] = 3z2E2:
Böylece ( ; ; ; g) dörtlüsü elde edilir. Bu nedenle, bu dörtlü yap¬n¬n bir hemen hemen alfa-kosimplektik yap¬s¬ olabilmesi için temel 2-formunun s¬f¬rdan farkl¬ bile¸senlerini kontrol etmek yeterli olacakt¬r. O halde,
( @ @x; @ @y) = 1 e2z3; = 1 e2z3(dx^ dy) (3.14) d¬r. Burada (E1;E2) = 1 ve aksi halde i j için (Ei;Ej) = 0 olacakt¬r. Buradan
nin d¬¸s türevi tan¬m¬ndan
d = 6z2e 2z3(dx^ dy ^ dz) (3.15) bulunur. Ayr¬ca, = dz oldu¼gundan (3.14) ve (3.15) denklemlerinden
d = 6z2( ^ ) (3.16)
elde edilir. Burada alfa düzgün fonksiyonu (z) = 3z2biçimindedir. Bunlara ilaveten, N = 0oldu¼gundan hemen hemen alfa-kosimplektik manifold normal bir yap¬ya sahip-tir. Ba¸ska bir deyi¸sle, örnekte verdi¼gimiz 3-boyutlu manifold alfa-kosimplektik yap¬-dad¬r.
4
BAZI YARI–S·IMETR·IK HEMEN HEMEN ALFA-KOS·IMPLEKT·IK MAN·IFOLDLARBu bölümde, baz¬ ‡at ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan tensör alanlar¬ ve belli baz¬ yar¬-simetrik ko¸sullar hemen hemen alfa-kosimplektik manifold üzerinde incelenmi¸stir. Baz¬ du-rumlarda boyut üç al¬n¬rken baz¬dudu-rumlarda ise en genel boyut üzerinden çal¬¸smalar yürütülmü¸stür. Burada alfa, manifold üzerinde d ^ = 0 ¸sart¬n¬sa¼glayan düzgün bir fonksiyondur. Belli baz¬ilave ¸sartlar ortaya konulmu¸s ve bunun sonucunda kar¸s¬m¬za ç¬kan geometri ele al¬nm¬¸st¬r.
Hat¬rlatma 4:1(2.5) denklemiyle verilen projektif e¼grilik tensörü key… vektör alanlar¬ için özde¸s olarak s¬f¬r olursa projektif ‡at olarak isimlendirilir. Yani, P (X; Y )Z = 0 ko¸sulu mevcutsa manifoldumuz projektif ‡at hemen hemen alfa-kosimplektik olarak adland¬r¬l¬r.
Teorem 4:1 M2n+1 bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. E¼ger M2n+1 bir projektif ‡at manifold ise o zaman,
r = (2n + 1)h2n( 2+ ( )) + _Iz(h2)i+ 2n _Iz( (r h)) (4.1) skalar e¼grili¼gine sahiptir. Burada alfa, vektör alan¬ boyunca paralel olarak al¬nan d ^ = 0 ¸sart¬n¬sa¼glayan düzgün bir fonksiyondur.
·
Ispat: Kullanaca¼g¬m¬z benzer bir ispat metodu Öztürk (2016) taraf¬ndan hemen hemen alfa-Kenmotsu manifoldlar üzerinde alfan¬n sabit olmas¬durumu için verilmi¸stir. Önce-likle P = 0 olsun. O zaman (2.5) denklemi ve R Riemann e¼grilik tensörü özelliklerinden
g(R(Z; ) ; Y ) = 1
2n[S(Y; Z) (Y )S(Z; )] (4.2)
elde edilir. Burada (4.2) ve (3.12) denklemleri göz önüne al¬narak
S(X; Y ) = 2n [( 2+ ( ))g(Y; Z) + 2 g( Y; hZ) + g(hZ; hY )
+g((r h)Z; Y ) +2n1 (Y )(div( h))Z
(4.3)
bulunur. ¸Simdi, (4.3) denkleminin her iki taraf¬na kontraksiyon uygulayal¬m. Bunun için öncelikle tanjant uzay¬n key… bir noktas¬ndaki bir ortonormal baz olarak feig ;
i = 1; : : : ; 2n + 1cümlesini dü¸sünelim. O zaman 1 i 2n + 1 için Y = Z = ei olmak
üzere, (4.3) denkleminin her iki taraf¬n¬n Y ve Z ye göre kontraksiyon uygulan¬rsa
r = 2n 2n+1P i=1 ( 2+ ( ))g(ei; ei) + 2 g( ei; hei) + g(hei; hei) +g((r h)ei; ei) + 1 2n (ei)(div( h))ei (4.4)
elde edilir. Burada
2n+1P i=1
S(ei; ei) = r; _Iz( h) = _Iz(h) = 0 ve
(div( h)) =
2n+1P i=1
g( hei; ei) + g(h2ei; ei) = _Iz(h2):
Buradan (4.4) hesaba kat¬l¬rsa
r = 2nh( 2+ ( ))(2n + 1) 2 Iz( h) + __ Iz(h2)
_
Iz( (r h)) + 2n1 (div( h)) i
(4.5)
bulunur. Burada alfan¬n vektör alan¬boyunca paralel oldu¼gu hipotezini kullan¬rsak (4.5) denklemi sadele¸stirildi¼ginde istenen sonuç olan (4.1) denklemine ula¸s¬l¬r. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
Teorem 4:2 M3 bir hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. E¼ger M3 bir projektif ‡at manifold ise o zaman,
r = 3S( ; ) + 2 _Iz( (r h)) (4.6)
skalar e¼grili¼gine sahiptir. Burada alfa, vektör alan¬ boyunca paralel olarak al¬nan d ^ = 0 ¸sart¬n¬sa¼glayan düzgün bir fonksiyondur.
·
Ispat: Yukar¬da verilen ispata benzer olarak n = 1 al¬narak 3-boyutlu durum için ispat aç¬kt¬r (Öztürk vd. 2018).
Hat¬rlatma 4:2(2.4) e¸sitli¼giyle tan¬mlanan konsirküler e¼grilik tensör alan¬key… vektör alanlar¬için özde¸s olarak s¬f¬r olursa konsirküler ‡at olarak isimlendirilir. Bundan dolay¬ manifold üzerinde C = 0 ko¸sulu sa¼gland¬¼g¬nda manifolda konsirküler ‡at hemen hemen alfa-kosimplektik ad¬verilir.
Teorem 4:3 M2n+1 bir konsirküler yar¬-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik
ma-nifold olsun. E¼ger manifold üzerinde h tensör alan¬na göre eta-paralellik sa¼glan¬yorsa D da¼g¬l¬m¬üzerindeki vektör alanlar¬için manifold konsirküler ‡attir.
·
Ispat: Hipotez gere¼gince (2.4), (2.24) ve (2.25) denklemlerinden g((C(U; V )Y; ) = (V )g(lU; Y ) + (U )g(lV; Y )
r
2n(2n + 1)( (U )g(V; Y ) (V )g(U; Y )) (4.7) elde edilir. Burada Y yerine vektör alan¬al¬n¬rsa
(C(U; V ) ) = 0 (4.8)
bulunur. Tekrardan (4.7) denkleminde U yerine seçildi¼ginde (C( ; V )Y ) = g(lV; Y ) r
2n(2n + 1)(g(V; Y ) (V ) (Y )) (4.9) yaz¬l¬r. ¸Simdi, R(X; Y ) C konsirküler yar¬-simetrik tensör çarp¬m¬n¬a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlayal¬m:
(R(X; Y ) C)(U; V )W = R(X; Y )C(U; V )W C(R(X; Y )U; V )W (4.10) C(U; R(X; Y )V )W C(U; V )R(X; Y )W:
Ayr¬ca, (4.7), (4.8) ve (4.9) birlikte dü¸sünüldü¼günde g(lV; Y ) = r
2n(2n + 1)(g(V; Y ) (V ) (Y )) (4.11) bulunur. Hipotezden R(X; Y ) C = 0 seçersek
0 = R(X; Y )C(U; V )W C(R(X; Y )U; V )W (4.12) C(U; R(X; Y )V )W C(U; V )R(X; Y )W
yaz¬l¬r. Burada C(U; V; W; Y ) = g(C(U; V )W; Y ) olarak al¬nm¬¸st¬r. Böylece sonuca ula¸smak için (4.12) denkleminin sa¼g taraf¬ndaki ifadeleri hesaplar ve sadele¸stirirsek (4.12) denklemi
C(U; V; lX; W ) = K[ (U ) (V )g(lX; W ) + (W ) (V )g(lX; U ) (4.13) + (U ) (W )g(lX; U )] (W ) (X)g(lX; V ) + (W ) (X) (V )
ifadesine dönü¸sür. Burada
K = (U ) (V ) r
2n(2n + 1) (4.14)
¸seklindedir. Bundan ba¸ska vektör alan¬na dik olan D da¼g¬l¬m¬n¬ D =Ker( ) = fX : (X) = 0g
ile tan¬mlayal¬m. Bu tan¬m¬ (4.13) denkleminde kullan¬r ve gerekli sadele¸stirmeler yap¬ld¬¼g¬nda C = 0 sonucuna X; Y 2 D için ula¸s¬l¬r. Bu sonuç ispat¬tamamlar.
Teorem 4:4 M3 bir konsirküler yar¬-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik manifold
olsun. E¼ger manifold üzerinde h tensör alan¬na göre eta-paralellik sa¼glan¬yorsa D da¼g¬l¬m¬üzerindeki vektör alanlar¬için manifold konsirküler ‡attir.
·
Ispat: Yukar¬daki ispat metoduyla üç boyutlu uzayda n = 1 için, K = r6 (U ) (V )
al¬narak benzer hesaplamalar yap¬ld¬¼g¬nda sonuç a¸sikard¬r.
Teorem 4:5 M2n+1, h tensör alan¬na göre Codazzi ¸sart¬n¬sa¼glayan bir yar¬-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. O halde, alfa vektör alan¬boyunca paralel olmak üzere, manifold kosimplektik yap¬dad¬r.
·
Ispat: Kabul edelim ki, h tensör alan¬Codazzi ¸sart¬n¬sa¼glas¬n. Yani,
0 = g((rY h) X; Z) g((rX h) Y; Z) (4.15)
d¬r. (3.8) ve (4.15) denklemleri birlikte ele al¬n¬rsa ( ) = 0 için,
R(X; Y ) = 2[ (X)Y (Y )X] [ (X) hY (Y ) hX] (4.16) yaz¬l¬r. ¸Simdi, R(X; Y ) R yar¬-simetrik tensör çarp¬m¬n¬a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlayal¬m:
(R(X; Y ) R)(U; V )Z = R(X; Y )R(U; V )Z R(R(X; Y )U; V )Z
Yukar¬daki e¸sitlik R(X; Y ) R = 0 için a¸sa¼g¬daki önermeye 0 = R(X; )R(U; V ) R(R(X; )U; V )
R(U; R(X; )V ) R(U; V )R(X; ) (4.18) denktir. Burada R(X; Y ) R = 0 önermesinin R(X; ) R = 0 önermesine denk oldu¼gunu unutmayal¬m. O halde, istenilen sonuca ula¸smak için (4.18) denkleminin sa¼g taraf¬ndaki dört ifadeyi ayr¬ayr¬hesaplamal¬y¬z. Böylece (4.16) ve (4.18) birlikte hesaba kat¬l¬rsa (4.18) denklemi key… vektör alanlar¬için,
0 = 3[ (U )g(hV; X) (V )g(hU; X)] (4.19) + 2[ (U )g(hX; hV ) (V )g(hU; hX)]
denklemine indirgenir. Bu son elde edilen denklem düzenlenirse
[ (U )g(hV; X) (V )g(hU; X)] = (U )g(hX; hV ) + (V )g(hU; hX) bulunur. Bu son denklem sadele¸stirilirse alfa s¬f¬r de¼geri için,
(U )g(h2X; V ) (V )g(h2X; hU ) = 0 (4.20) elde edilir. Buradan h2 = 0 oldu¼gu aç¬kt¬r. Böylece h tensör alan¬özde¸s olarak s¬f¬rd¬r.
Bundan dolay¬hem alfa s¬f¬r hem de h tensör alan¬s¬f¬r oldu¼gundan üzerinde çal¬¸st¬¼g¬m¬z hemen hemen alfa-kosimplektik manifold bir kosimplektik yap¬ya sahiptir ki bu da istenen sonuca bizi ula¸st¬r¬r.
Teorem 4:6 M3, h tensör alan¬na göre Codazzi ¸sart¬n¬ sa¼glayan bir yar¬-simetrik
hemen hemen alfa-Kenmotsu manifold olsun. O zaman alfa vektör alan¬ boyunca paralel olmak üzere, bu ¸sart¬sa¼glayan alfa-Kenmotsu yap¬mevcut de¼gildir.
·
Ispat: Kabul edelim ki, manifold üç boyutlu uzayda bir hemen hemen alfa-Kenmotsu olsun. Bu durumda Teorem 4:5 de uygulad¬¼g¬m¬z metodoloji gere¼gince benzer i¸slem yap¬ld¬¼g¬nda alfa s¬f¬r de¼geri için (4.20) denklemine ula¸s¬l¬r. Fakat bu sonuç kabulü-müzle çeli¸sir. Bu nedenle, h tensör alan¬ özde¸s olarak s¬f¬r olmak zorunda de¼gildir. Bundan dolay¬normallik ¸sart¬sa¼glanamayaca¼g¬ndan bu ¸sartlar¬sa¼glayan alfa-Kenmotsu manifold yoktur.
Teorem 4:7 M2n+1 (n > 0); bir h tensör alan¬na göre eta-paralel olan projektif
yar¬-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. Bu takdirde, alfa vektör alan¬boyunca paralel olmak üzere, manifold projektif ‡attir.
·
Ispat: (2.5) denklemi yard¬m¬yla R(X; Y ) P tensör çarp¬m¬a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r: (R(X; Y ) P )(U; V )Z = R(X; Y )P (U; V )Z P (R(X; Y )U; V )Z
P (U; R(X; Y )V )Z P (U; V )R(X; Y )Z: (4.21) Hipotezden dolay¬ manifoldun projektif yar¬-simetrik oldu¼gunu varsayal¬m. Bir ba¸ska deyi¸sle, R P = 0 olsun. (4.21) denklemini takiben her key… vektör alan¬için,
0 = R(X; Y )P (U; V )Z P (R(X; Y )U; V )Z
P (U; R(X; Y )V )Z P (U; V )R(X; Y )Z (4.22) yaz¬l¬r. (2.5) e¸sitli¼gi göz önüne al¬nd¬¼g¬nda
(P (X; Y )Z) = g(R(X; Y )Z; ) 1
2n[S(Y; Z) (X) S(X; Z) (Y )] ve
(P ( ; Y )Z) = g(R(Y; ) ; Z) 1
2n[S(Y; Z) S(Z; ) (Y )] (4.23) bulunur. ¸Simdi, ek ¸sart olarak kulland¬¼g¬m¬z h tensör alan¬na göre eta-paralellik ko¸ su-lunu kullanal¬m. (2.25) e¸sitli¼gi yard¬m¬yla
S(Y; ) = (Y ) _Iz(l) (4.24)
ve
S( ; ) = (Y ) _Iz(l) (4.25)
elde edilir. Burada kulland¬¼g¬m¬z tüm ¸sartlar alt¬nda (4.22) denkleminin sa¼g taraf¬ndaki dört ifadeyi ayr¬ayr¬hesaplayarak bir arada dü¸sündü¼gümüzde
0 = P (U; V; Z; lX) (U )R(lX; V; Z; ) + g(lU; X)R( ; V; Z; ) + 1 2n (Y )S(V; Z) 1 2n (V )S(Y; Z) (V )R(U; lX; Z; ) +g(lV; X)R(U; ; Z; ) + 1 2n (U )S(Y; Z) 1 2n (Y )S(U; Z) (Z)R(U; V; lX; ) + g(lZ; X)R(U; V; ; ) + 1 2n (U )S(V; Y ) 1 2n (V )S(U; Y ) (4.26)
denklemine ula¸s¬l¬r. O halde, (4.26) denkleminin her iki taraf¬na uygun bir kontraksiyon yapal¬m. Bunun için öncelikle tanjant uzay¬n key… bir noktas¬ndaki bir ortonormal baz olarak feig ; i = 1; : : : ; 2n + 1 cümlesini dü¸sünelim. Böylece uygun kontraksiyondan
sonra (4.26) denklemi
P (U; V; Z; lX) = g(lU; X)g(lV; Z) 1
2ng(lX; U )S(V; Z) +g(lU; Z)g(lV; X) + 1
2ng(lX; V )S(U; Z) (4.27) haline dönü¸sür. Burada simetri i¸slemleri ve özel olarak key… U vektör alan¬yerine V vektör alan¬seçilerek projektif e¼grilik tensör alan¬n¬n özde¸s olarak s¬f¬r oldu¼gu görülür. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 4:8 M2n+1 (n > 0); bir h tensör alan¬na göre eta-paralel olan konformal
yar¬-simetrik hemen hemen alfa-kosimplektik manifold olsun. O zaman manifold ya konformal ‡at ya da konformal e¼grilik tensör alan¬ vektör alan¬na dik olacak ¸sekilde bir tensör alan¬d¬r. E¼ger bu ¸sartlar alt¬nda vektör alan¬na dik olan konformal e¼grilik tensör alan¬varsa konformal ‡at manifold mevcut de¼gildir.
·
Ispat: Öncelikle (2.3) ve (3.8) denklemlerinden (C(X; Y )Z) = g(R(X; Y ) ; Z) 1
2n 1[g(Y; Z)S(X; ) (4.28) g(X; Z)S(Y; ) + (X)S(Y; Z) (Y )S(X; Z)]
+ r
(2n)(2n 1)[ (X)g(Y; Z) (Y )g(X; Z)] yaz¬l¬r. (4.28) e¸sitli¼ginde Z yerine vektör alan¬al¬n¬rsa
(C(X; Y ) ) = 0 (4.29)
bulunur. Burada tekrar (4.28) e¸sitli¼ginde X yerine vektör alan¬al¬n¬rsa (C( ; Y )Z) = g(R( ; Y )Z; ) 1
2n 1[g(Y; Z)S( ; ) (4.30) (Z)g(QY; ) + S(Y; Z) (Y )S(Z; )]
+ r
elde edilir. (2.3) denklemi yard¬m¬yla R(X; Y ) C tensör çarp¬m¬a¸sa¼g¬daki gibi tan¬m-lan¬r:
(R(X; Y ) C)(U; V )Z = R(X; Y )C(U; V )Z C(R(X; Y )U; V )Z
C(U; R(X; Y )V )Z C(U; V )R(X; Y )Z: (4.31) Hipotez yard¬m¬yla manifoldun konformal yar¬-simetrik oldu¼gunu kabul edelim. Yani; R(X; Y ) C = 0 olsun. (4.31) denklemini takiben her key… vektör alan¬için,
0 = C(U; V; Z; Y ) + (Y ) (C(U; V )Z) (U ) (C(Y; V )Z) +g(Y; U ) (C( ; V )Z) (V ) (C(U; Y )Z)
+g(Y; V ) (C(U; )Z) (Z) (C(U; V )Y ) (4.32) yaz¬l¬r. Burada C(U; V; Z; Y ) = g(C(U; V )Z; Y ) ¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r. (2.24) ve (2.25) denklemleri birlikte hesaba kat¬ld¬¼g¬nda her X vektör alan¬için S(X; ) = (X) _Iz(l) oldu¼gunu biliyoruz. Burada l = R(:; ) ile tan¬mlanan Jakobi operatörüdür. Bundan ba¸ska, (4.28) denkleminden
(C( ; Y )Z) = 0 (4.33)
e¸sitli¼gi de yaz¬labilir. (4.32) denklemi düzenlenip sadele¸stirilirse
0 = (R( ; Y )C(U; V )Z) (C(R( ; Y )U; V )Z) (4.34) (C(R( ; Y )V; Z)U ) (C(U; V )R( ; Y )Z)
denklemine ula¸s¬l¬r. Bu hesaplamalar¬takiben (2.3), (2.25), (4.24) ve Z = denklemleri birlikte ele al¬nd¬¼g¬nda (4.34) e¸sitli¼gi a¸sa¼g¬daki denkleme indirgenir:
g(lU; Y ) (V )(A + B) + C(U; V; lY; ) = 0; (4.35) burada A ve B ifadelerinin de¼gerleri s¬ras¬yla a¸sa¼g¬da verilmi¸stir:
A = r 2n(2n 1) _ Iz(l) 2n 1 (4.36) ve B = _ Iz(l) 2n 1 r 2n(2n 1): (4.37)
Ba¸ska bir deyi¸sle, (4.36) ve (4.37) denklemlerinden A+B = 0 elde edilir. Böylece (4.35) denklemi
(C(U; V )lY ) = 0 (4.38)
¸seklinde yaz¬labilir. Burada yukar¬daki e¸sitli¼gin sa¼glamas¬için ya konformal tensör alan¬ özde¸s olarak s¬f¬r olmal¬(konformal ‡at) ya da konformal e¼grilik tensör alan¬ vektör alan¬na ortogonal olacak ¸sekilde seçilmelidir. Bu nedenle e¼ger tüm bu ¸sartlar alt¬nda ikinci durum söz konusu olursa hiçbir konformal ‡at hemen hemen alfa-kosimplektik manifold mevcut de¼gildir. Böylece ispat tamamlanm¬¸s olur.
5
3-BOYUTLU PSÖDO-S·IMETR·IK ALFA-KENMOTSU MAN·IFOLDLAR Bu bölümde, baz¬ psödo-simetrik ko¸sullar¬ sa¼glayan üç boyutlu alfa-Kenmotsu mani-foldlar incelenmi¸stir. Hesaplamalarda alfa hem s¬f¬rdan farkl¬sabit bir reel say¬hem de d ^ = 0 ile tan¬mlanan s¬f¬rdan farkl¬düzgün bir pozitif fonksiyon olarak al¬nm¬¸st¬r. Özellikle, psödo-simetrik, psödo-Ricci simetrik, genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik gibi baz¬psödo-simetrik özellikleri sa¼glayan alfa-Kenmotsu manifoldlar ele al¬nm¬¸st¬r. Önerme 5:1 Mn bir alfa-Kenmotsu manifold olsun. Buna göre a¸sa¼g¬daki önermelersa¼glan¬r:
(rX ) Y = [g(X; Y ) + (Y ) X] ; (5.1)
rX = ( X + (X) ); (5.2)
(rX )Y = [ g(X; Y ) + (X) (Y )] ; (5.3)
burada alfa C1 s¬n¬f¬ndan kesinlikle pozitif ve d ^ = 0 ¸sart¬n¬ sa¼glayan düzgün bir fonksiyondur. E¼ger alfa s¬f¬r ise o zaman manifold kosimplektik yap¬dad¬r. E¼ger ( ) =r olacak ¸sekilde 2+ ( )6= 0 ise alfa-Kenmotsu manifoldu regülerdir denir (Janssens and Vanhecke 1981). Buradaki d ^ = 0 ko¸sulu boy(Mn) 5 için sa¼glar.
Fakat boy(Mn) = 3için geçerli de¼gildir (Olszak and Rosca 1991). Buna göre üç boyutlu uzayda konformal e¼grilik tensörü özde¸s olarak s¬f¬r olaca¼g¬ndan Riemann egrilik tensör hesaplamalar¬n¬konformal e¼grilik tensörü üzerinden de yapabiliriz.
(2.11) ve (2.3) göz önüne al¬nd¬¼g¬nda üç boyutlu bir Riemann manifoldu için R(X; Y )Z = S(Y; Z)X S(Z; X)Y + g(Y; Z)QX
g(Z; X)QY r2[(X ^ Y )Z] (5.4)
geçerlidir.
Önerme 5:2Bir 3-boyutlu alfa-Kenmotsu manifoldu için a¸sa¼g¬daki e¸sitlikler geçerlidir: R(X; Y )Z = 2( 2+ ( ) + r
4)((X^ Y )Z) 3( 2+ ( ) + r
ve
S(X; Y )Z = ( 2+ ( ) + r
2)g(X; Y ) 3(
2+ ( ) +r
6) (X) (Y ); (5.6) burada alfa pozitif ve d ^ = 0 ¸sart¬n¬ sa¼glayan düzgün bir fonksiyondur. Ayr¬ca, R; S; Q; r s¬ras¬yla, Riemann e¼grilik tensörü, Ricci tensörü, Ricci operatörü ve skalar e¼griliktir.
Önerme 5:3Bir 3-boyutlu alfa-Kenmotsu manifoldu (5.5) ve (5.6) denklemleri yard¬m¬yla a¸sa¼g¬daki e¼grilik özelliklerini sa¼glar:
R(X; Y ) = ( 2+ ( )) [ (X)Y (Y )X] ; (5.7) R( ; X)Y = ( 2 + ( )) [ g(X; Y ) + (Y )X] ; (5.8) g(R(X; Y )Z; ) = ( 2+ ( )) [g(X; Z) (Y ) g(Y; Z) (X)] ; (5.9)
S(Y; ) = 2( 2+ ( )) (Y ); (5.10)
Q = 2( 2+ ( )) : (5.11)
Teorem 5:1 M3 bir alfa-Kenmotsu manifold olsun. E¼ger M3 psödo-simetrik ise o zaman manifold ya H3( 2)hiperbolik uzay¬na lokal olarak izometrik ya da L
R= 2
dir. Burada alfa, pozitif bir sabit olarak al¬nm¬¸st¬r. ·
Ispat: E¼ger M3 yar¬-simetrik ise o zaman a¸sikar olarak psödo-simetriktir. Ayr¬ca,
bir yar¬-simetrik alfa-Kenmotsu manifoldu H3( 2) hiperbolik uzay¬na lokal olarak izometriktir (Kenmotsu 1972). O halde, M3 manifoldunun yar¬-simetrik olmad¬¼g¬n¬
kabul edelim. Yani, bir psödo-simetrik alfa-Kenmotsu manifoldu olsun. (2.11) ve (5.8) denklemlerinden
R( ; X)Y = 2(X ^ )Z (5.12)
yaz¬l¬r. Psödo-simetrik manifold tan¬m¬ndan
R(X; Y ) R = LR[(X ^ Y ) R]
göz önüne al¬n¬p her key… vektör alanlar¬için,
¸seklindedir. Buradaki tensör çarp¬m¬a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r: R(X; Y )R(U; V )Z R(R(X; Y )U; V )Z R(U; R(X; Y )V )Z
R(U; V )R(X; Y )Z = LR[(X ^ Y )R(U; V )Z R((X^ Y )U; V )Z
R(U; (X ^ Y )V )Z R(U; V )(X ^ Y )Z] :
(5.14)
(5.14) denkleminde X yerine al¬narak (5.8) yard¬m¬yla
R( ; X) R = 2[(X ^ ) R] (5.15)
elde edilir. Bu son e¸sitlikten LR = 2 oldu¼gu görülür. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 5:2 M3 bir alfa-Kenmotsu manifold olsun. E¼ger M3 psödo-simetrik ise o
zaman manifold ya H3( 2) hiperbolik uzay¬na lokal olarak izometrik ya da
LR= ( 2+ ( ))dir. Burada alfa pozitif düzgün bir fonksiyon olarak al¬nm¬¸st¬r.
·
Ispat: Öncelikle M3 manifoldunun yar¬-simetrik oldu¼gunu kabul edersek manifold ayn¬
zamanda psödo-simetriktir ve Kenmotsu (1972) den dolay¬H3( 2)hiperbolik uzay¬na
lokal olarak izometriktir. Dolay¬s¬yla M3 manifoldunun yar¬-simetrik olmad¬¼g¬n¬kabul
edelim. Teorem 5:1 de kullan¬lan metodoloji ile (2.11), (5.8) ve (5.14) yard¬m¬yla 0 = LR+ ( 2+ ( )) [R(U; V; Z; Y ) ( 2+ ( )) [ g(V; Z) (U ) (Y )
+g(U; Z) (V ) (Y ) g(U; Y )g(V; Z) + g(U; Y ) (V ) (Z) (5.16) +g(V; Z) (Y ) (U ) g(Y; Z) (V ) (U ) g(V; Y ) (U ) (Z)
+g(V; Y )g(Z; U ) + g(Y; Z) (U ) (V ) g(Z; U ) (V ) (Y ) +g(Y; V ) (U ) (Z) g(Y; U ) (Z) (V )]]
bulunur. Yukar¬daki denkleme uygun kontraksiyon yap¬l¬rsa yani, tanjant uzay¬n key… bir noktas¬ndaki bir ortonormal baz olarak feig ; i = 1; 2; 3 cümlesini dü¸sünelim. O
zaman 1 i 3 için U = Y = ei olmak üzere, (5.16) denkleminin her iki taraf¬na Y
ve U ya göre kontraksiyon uygulan¬rsa
0 = LR+ ( 2+ ( )) S(V; Z) + 2( 2+ ( ))g(V; Z) (5.17)
elde edilir. Bu son e¸sitlikte Z yerine vektör alan¬al¬n¬rsa
denklemine ula¸s¬l¬r. Böylece ispat tamamlan¬r. Sonuç 5:1 Her M3 alfa-Kenmotsu manifoldu
R R = ( 2+ ( ))Q(g; R) (5.19)
formuna sahip bir psödo-simetrik manifolddur. Özel olarak, alfa pozitif bir sabit ise
R R = 2Q(g; R) (5.20)
formundad¬r.
Teorem 5:3 Bir M3 psödo-simetrik alfa-Kenmotsu manifoldu
LR = ( 2 + ( ))
olacak ¸sekilde asla özde¸s olarak s¬f¬r olmayan bir fonksiyona sahipse o zaman = 2( 2+ ( )) ile belirli bir Einstein manifoldudur.
·
Ispat: Farz edelim ki, M3 bir psödo-simetrik alfa-Kenmotsu manifold olsun. O zaman her key… vektör alanlar¬için
R R = LRQ(g; R)(U; V; Z; X; Y )
denklemi sa¼glan¬r. Bu son e¸sitlik, (2.11), (5.14) ve X = birlikte hesaba kat¬l¬rsa 0 = LR+ ( 2+ ( )) [g(R(U; V )Z; Y ) g(R(U; V )Z); Y
g(U; Y )R( ; V )Z + (U )R(Y; V )Z g(V; Y )R(U; )Z (5.21) + (V )R(U; Y )Z g(Z; Y )R(U; V ) + (Z)R(U; V )Y ]
bulunur. (5.21) denkleminin her iki taraf¬n¬n vektör alan¬na göre iç çarp¬m¬al¬n¬rsa 0 = LR+ ( 2+ ( )) [R(U; V )Z; Y (Y )g(R(U; V )Z; )
g(U; Y )g(R( ; V )Z; ) + (U )g(R(Y; V )Z; ) (5.22) g(V; Y )g(R(U; )Z; ) + (V )g(R(U; Y )Z; )
elde edilir. (5.9) denklemi (5.22) e¸sitli¼ginde kullan¬l¬rsa 0 = LR+ ( 2+ ( )) [R(U; V; Z; Y ) ( 2+ ( )) [ g(Z; V ) (U ) (Y ) +g(Z; U ) (V ) (Y ) g(Y; U )g(Z; V ) + g(U; Y ) (V ) (Z) +g(V; Z) (Y ) (U ) g(Y; Z) (V ) (U ) g(V; Y ) (U ) (Z) +g(V; Y )g(Z; U ) + g(Y; Z) (U ) (V ) g(Z; U ) (V ) (Y ) +g(Y; V ) (U ) (Z) g(Y; U ) (Z) (V )]]
denklemine ula¸s¬l¬r. Bu yukar¬daki denklem uygun bir kontraksiyonla 0 = LR+ ( 2+ ( )) [S(V; Z) + 2( 2+ ( ))g(V; Z)]
haline dönü¸sür. Bu son denklem yard¬m¬yla iki durum ortaya ç¬kar. Yukar¬daki denklem sadece ya
LR = ( 2 + ( ))
ya da
S(V; Z) = g(V; Z); = 2( 2+ ( ))
durumlar¬nda sa¼glan¬r. Böylece bu iki durum bizi teoremin ispat¬na ula¸st¬r¬r.
Teorem 5:4 Bir M3 psödo-simetrik alfa-Kenmotsu manifoldu = 2 2 ile belirli bir
Einstein manifoldudur. Burada alfa, pozitif bir sabit ve LR6= 2 d¬r.
·
Ispat: Hipotez gere¼gince Teorem 5:3 göz önüne al¬nd¬¼g¬nda bir alfa pozitif sabit için 0 = LR+ 2 [S(V; Z) + 2 2g(V; Z)] (5.23)
elde edilir. Burada LR 6= 2 ise
S(V; Z) = 2 2g(V; Z) (5.24)
d¬r. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 5:5E¼ger M3bir alfa-Kenmotsu manifoldu genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik
ise o zaman (3 1)( 2+ ( ))
·
Ispat: Kabul edelim ki, M3 bir genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu
manifoldu olsun. Bu takdirde, (2.18) ve (2.19) yard¬m¬yla her key… vektör alan¬için, (R(X; Y ) R)(U; V )Z = ((X ^SY ) R)(U; V )Z
olmak üzere,
R(X; Y )R(U; V )Z R(R(X; Y )U; V )Z R(U; R(X; Y )V )Z R(U; V )R(X; Y )Z = [S(Y; R(U; V )Z)X S(X; R(U; V )Z)Y S(Y; U )R(X; V )Z + S(X; U )R(Y; V )Z S(Y; V )R(U; X)Z +S(X; V )R(U; Y )Z S(Y; Z)R(U; V )X + S(X; Z)R(U; V )Y ]
(5.25)
yaz¬l¬r. (5.8) ve (5.10) kullan¬larak U ve Y yerine vektör alan¬al¬n¬rsa
( 2 + ( ))[( 2+ ( ))g(V; Z)Y + R(Y; V )Z ( 2+ ( ))g(Y; Z)V ] = [( 2+ ( )) (Z)S(Y; V ) 2( 2+ ( ))2g(V; Z)Y (5.26)
2( 2+ ( ))R(Y; V )Z + 2( 2 + ( ))2 (V )g(Y; Z) +( 2+ ( )) (V )S(Y; Z) ( 2+ ( ))S(Y; Z)V +2( 2+ ( ))2 (Z)g(Y; V ) ];
d¬r. Bu son e¸sitli¼gin her iki taraf¬n¬n K vektör alan¬na göre iç çarp¬m¬yap¬l¬rsa ( 2+ ( ))[( 2+ ( ))g(V; Z)g(Y; K) + g(R(Y; V )Z; K) ( 2+ ( ))g(Y; Z)g(V; K)] (5.27) = [( 2+ ( )) (Z) (K)S(Y; V ) 2( 2+ ( ))2g(V; Z)g(Y; K) 2( 2+ ( ))g(R(Y; V )Z; K) + 2( 2+ ( ))2 (V ) (K)g(Y; Z) +( 2+ ( )) (V ) (K)S(Y; Z) ( 2+ ( ))S(Y; Z)g(V; K) +2( 2+ ( ))2 (Z) (K)g(Y; V ) ]
bulunur. Burada V ve Z vektör alanlar¬na göre kontraksiyon yap¬l¬rsa
0 = (3 1)( 2+ ( )) S(Y; K) + 2( 2+ ( ))g(Y; K) (5.28) yaz¬l¬r. (5.28) denklemi ya (3 1)( 2 + ( )) = 0 ya da = 2( 2 + ( )) olmak
üzere, S(Y; K) = g(Y; K) d¬r. Bundan dolay¬(3 1)( 2+ ( ))6= 0 seçilirse istenen sonuca ula¸s¬l¬r. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 5:6E¼ger M3bir alfa-Kenmotsu manifoldu genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik
ise o zaman (3 1) 2
6= 0 olmak üzere, M3 bir Einstein manifoldudur. Burada alfa,
pozitif bir sabittir. ·
Ispat: Hipoteze göre Teorem 5:5 gere¼gince alfa pozitif sabiti için,
2
[ 2g(V; Z)g(Y; K) + g(R(Y; V )Z; K) 2g(Y; Z)g(V; K) = [ 2 (Z) (K)S(Y; V ) 2 4g(V; Z)g(Y; K) 2 2g(R(Y; V )Z; K)
+2 4 (V ) (K)g(Y; Z) + 2 (V ) (K)S(Y; Z) 2S(Y; Z)g(V; K)
+2 4 (Z) (K)g(Y; V ) ] (5.29)
yaz¬l¬r. Buradan kontraksiyondan sonra
0 = 2(3 1) S(Y; K) + 2 2g(Y; K) (5.30) bulunur. O halde, 2(3 1)
6= 0 olmak üzere,
S(Y; K) = 2 2g(Y; K) (5.31)
d¬r. Burada = 2 2 d¬r. Böylece ispata ula¸s¬l¬r.
Teorem 5:7 M3 bir alfa-Kenmotsu manifoldu olsun. O zaman (2.18) ko¸sulunun M3
üzerinde sa¼glanmas¬ için gerek ve yeter ¸sart manifoldun H3( 2) hiperbolik uzay¬na
lokal olarak izometrik olmas¬d¬r. Burada (3 1)( 2+ ( ))
6= 0 d¬r. ·
Ispat: Farz edelim ki, M3manifoldu H3( 2)hiperbolik uzay¬na lokal olarak izometrik
olsun. Bu durumda,
R R = LQ(S; R) = 0 (5.32)
denklemi a¸sikar olark sa¼glan¬r (Kenmotsu 1972, Vanhecke 1981). Öyleyse, ¸simdi (2.18) ve (2.19) denklemleri yard¬m¬yla Teorem 5:5 gere¼gince
( 2+ ( ))[R(Y; V; Z; K) + ( 2+ ( ))g(V; Z)g(Y; K) (5.33) ( 2+ ( ))g(Y; Z)g(V; K)] = [( 2+ ( )) (Z) (K)S(Y; V ) 2( 2+ ( ))2g(V; Z)g(Y; K) 2( 2+ ( ))g(R(Y; V )Z; K) + 2( 2+ ( ))2 (V ) (K)g(Y; Z) +( 2+ ( )) (V ) (K)S(Y; Z) ( 2+ ( ))S(Y; Z)g(V; K) +2( 2+ ( ))2 (Z) (K)g(Y; V ) ]
yaz¬l¬r. Buradan (3 1)( 2+ ( ))
6= 0 için,
S(Y; K) = 2( 2+ ( ))g(Y; K) (5.34)
ve
r = S(ei; ei) = 6( 2+ ( )) (5.35)
bulunur. (5.34) denklemi (2.18) e¸sitli¼ginde yerine koyulursa
R R = 2( 2+ ( ))Q(g; R) (5.36)
elde edilir. Fakat Sonuç 5:1 gere¼gince
R R = ( 2+ ( ))Q(g; R)
oldu¼gundan bu bir çeli¸skidir. Böylece R R = 0 olmal¬d¬r. Dolay¬s¬yla, manifold yar¬-simetrik oldu¼gundan M3 manifoldu H3( 2)hiperbolik uzay¬na lokal olarak
izometrik-tir (Kenmotsu 1972, Vanhecke 1981). Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 5:8 M3 bir alfa-Kenmotsu manifoldu olsun. O zaman (2.18) ko¸sulunun M3 üzerinde sa¼glanmas¬ için gerek ve yeter ¸sart manifoldun H3( 2) hiperbolik uzay¬na
lokal olarak izometrik olmas¬d¬r. Burada alfa, pozitif bir sabit ve 2(3 1)6= 0 d¬r. ·
Ispat: Pozitif bir alfa sabiti için Teorem 5:7 göz önüne al¬n¬rsa benzer i¸slemlerden sonra
2(3 1)
6= 0 olmak üzere,
S(Y; K) = 2 2g(Y; K) ve
r = S(ei; ei) = 6 2 (5.37)
bulunur. Burada (5.31) denklemi (2.18) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa R R = 2 2Q(g; R)
ve Sonuç 5:1 yard¬m¬yla
R R = 2Q(g; R)
Teorem 5:9 M3bir genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu manifold olsun.
M3 yar¬-simetrik de¼gilse o zaman (3 1)( 2+ ( ))
6= 0 olmak üzere, M3 manifoldu
r = 6( 2 + ( ))ve L = 1
2 ile verilen bir Einstein manifoldudur.
·
Ispat: Kabul edelim ki, M3 bir genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu
manifold olsun. Teorem 5:5 de kullan¬lan ispat yöntemiyle
( 2+ ( ))R(Y; V; Z; K) ( 2+ ( ))2g(V; Z)g(Y; K) +( 2+ ( ))2g(Y; Z)g(V; K) (5.38) = L [( 2+ ( )) (Z) (K)S(Y; V ) 2( 2+ ( ))2g(V; Z)g(Y; K) 2( 2+ ( ))g(R(Y; V )Z; K) + 2( 2+ ( ))2 (V ) (K)g(Y; Z) +( 2+ ( )) (V ) (K)S(Y; Z) ( 2+ ( ))S(Y; Z)g(V; K) +2( 2+ ( ))2 (Z) (K)g(Y; V ) ] yaz¬l¬r. Buradan 0 = (3 1)( 2+ ( ))L S(Y; K) + 2( 2+ ( ))g(Y; K) (5.39) denklemine ula¸s¬l¬r. M3 yar¬-simetrik olmad¬¼
g¬ndan L 6= 0 d¬r. Böylece (5.39) denklemi (3 1)( 2+ ( ))
6= 0 olmak üzere,
S(Y; K) = 2( 2+ ( ))g(Y; K)
formundad¬r. O halde, M3 manifoldu r = 6( 2 + ( )) skalar e¼grilikle verilen bir Einstein manifoldudur. Burada (2.18) ve yukar¬daki denklem birlikte dü¸sünülürse
R R = 2( 2+ ( ))LQ(g; R) (5.40)
elde edilir. Fakat Sonuç 5:1 gere¼gince
2( 2+ ( ))L = ( 2+ ( )) oldu¼gunu biliyoruz. Buradan L = 1
2 sonucuna ula¸s¬l¬r. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 5:10 M3 bir genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu manifold ol-sun. M3 yar¬-simetrik de¼gilse o zaman (3 1) 2
r = 6 2 ve L = 1
2 ile verilen bir Einstein manifoldudur. Burada alfa, pozitif bir
sabittir. ·
Ispat: Kabul edelim ki, M3 bir genelle¸stirilmi¸s psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu
manifold olsun. O halde, alfa pozitif bir sabit olmak üzere, Teorem 5:5 gere¼gince
2R(Y; V; Z; K) 4g(V; Z)g(Y; K) + 4g(Y; Z)g(V; K)
= L [ 2 (Z) (K)S(Y; V ) 2 4g(V; Z)g(Y; K) 2 2g(R(Y; V )Z; K) + 2 4 (V ) (K)g(Y; Z) (5.41) + 2 (V ) (K)S(Y; Z) 2S(Y; Z)g(V; K) +2 4 (Z) (K)g(Y; V ) ] bulunur. Buradan 0 = (3 1) 2L S(Y; K) + 2 2g(Y; K) (5.42) yaz¬l¬r. M3 yar¬-simetrik olmad¬¼
g¬ndan L 6= 0 d¬r. Böylece (5.42) den 2(3 1)
6= 0 olmak üzere,
S(Y; K) = 2 2g(Y; K)
d¬r. Bu son denklemden r = 6 2 elde edilir. Benzer ¸sekilde, Teorem 5:5 ve (2.18)
yard¬m¬yla
2 2L = 2 (5.43)
denklemine ula¸s¬l¬r. Böylece istenen sonuç elde edilir.
Teorem 5:11 E¼ger M3 bir psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu manifoldu ise o zaman seçilen key… vektör alanlar¬ndan birincisi ve üçüncüsü vektör alan¬na k¬s¬tland¬¼g¬nda LS 6= ( 2+ ( ))olmak üzere, M3 manifoldu r = 6( 2+ ( ))ile verilen bir Einstein
manifoldudur. ·
Ispat: Varsayal¬m ki, M3 bir psödo-Ricci simetrik alfa-Kenmotsu manifold olsun. Bu durumda key… vektör alanlar¬için,
(R(X; Y ) S)(U; W ) = LSQ(g; S)(U; W ; X; Y ) (5.44)
ile tan¬ml¬d¬r. Yukar¬daki denklem
veya
LS[ g(U; Y )S(X; W ) + g(X; U )S(Y; W ) g(Y; W )S(U; X)
+g(X; W )S(U; Y )] = S(R(X; Y )U; W ) S(U; R(X; Y )W )
(5.46) biçimlerinde de yaz¬labilir. Burada özel olarak, seçilen X; Y; U; W vektör alanlar¬ndan birinci ve üçüncü olanlar¬n¬ vektör alan¬olarak seçti¼gimizde yani, X = U = ise o zaman (5.46) denklemi (5.8) ve (5.10) yard¬m¬yla
LS[ (Y )S( ; W ) + S(Y; W ) g(Y; W )S( ; X)
+ (W )S(U; Y )] = S(R( ; Y ) ; W ) S( ; R( ; Y )W )
(5.47)
haline dönü¸sür. Burada K = ( 2+ ( )) al¬n¬rsa
KS(Y; W ) 2K2g(Y; W ) = LS[S(Y; W ) 2Kg(Y; W )]
bulunur. Bu son e¸sitlik düzenlenirse
0 = [K LS] [S(Y; W ) 2Kg(Y; W )] (5.48)
¸seklinde yaz¬labilir. Burada K yerine yaz¬l¬rsa
0 = LS+ ( 2+ ( )) S(Y; W ) + 2( 2+ ( ))g(Y; W ) (5.49)
elde edilir. Böylece bu k¬s¬tlama alt¬nda LS 6= ( 2+ ( )) için = 2( 2+ ( )) ile
verilen
S(Y; W ) = g(Y; W )
denklemine ula¸s¬l¬r ki bu da ispat¬tamamlar. Burada r = 6( 2+ ( ))oldu¼gu kolayca
görülür.
Sonuç 5:2 M3 bir alfa-Kenmotsu manifold olsun. E¼ger M3 psödo-Ricci simetrik ise o zaman seçilen key… vektör alanlar¬ndan birincisi ve üçüncüsü vektör alan¬na k¬s¬tlan-mak üzere, manifold ya LS = ( 2 + ( ))¸sart¬n¬sa¼glar ya da r = 6( 2+ ( )) ile
verilen bir Einstein manifoldudur.
Sonuç 5:3 M3 bir alfa-Kenmotsu manifold olsun. E¼ger M3 psödo-Ricci simetrik ise o
zaman seçilen key… vektör alanlar¬ndan birincisi ve üçüncüsü vektör alan¬na k¬s¬tlan-mak üzere, manifold ya LS = 2¸sart¬n¬sa¼glar ya da r = 6 2 ile verilen bir Einstein
6
TARTI¸SMA ve SONUÇBu yüksek lisans tez çal¬¸smas¬nda hemen hemen alfa-kosimplektik manifoldlar üzerinde baz¬ tensör ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan yar¬-simetrik ve psödo-simetrik ko¸sullar ele al¬nm¬¸st¬r. Bu çal¬¸smada amac¬m¬z baz¬özel ¸sartlar¬kullanarak belli baz¬yar¬-simetrik ve psödo-simetrik uzaylar üzerinde s¬n¬‡and¬rma yapmakt¬r. Buldu¼gumuz sonuçlar baz¬özel k¬s¬t-lamalar veya özel ¸sartlar alt¬nda geçerlidir. Burada alfa s¬f¬rdan farkl¬pozitif düzgün bir fonksiyon seçilmi¸stir. Ayr¬ca, üç boyutlu alfa-Kenmotsu manifoldlar¬ özellikle psödo-simetrik ko¸sullar üzerinde incelenmi¸stir.
Gelecek çal¬¸smalar¬m¬zda özellikle bu çal¬¸smada kulland¬¼g¬m¬z tensör ko¸sullar¬ hemen hemen alfa-kosimplektik veya hemen hemen alfa-Kenmotsu manifoldlar¬üzerinde daha genel manada irdelenecek ve psödo-simetrik ve psödo yar¬-simetrik gibi özel tensör ¸ sart-lar¬alt¬nda hemen hemen alfa-kosimplektik yap¬lar (k; ; )-uzaylar¬nda incelenecektir.
