Yerel sınır sartlı yerel olmayan problemlerin 1 boyuttan 2 ve 3 boyuta genişletilmesi

YEREL SINIR SARTLI YEREL OLMAYAN PROBLEMLERIN 1 BOYUTTAN 2 VE 3 BOYUTA GENISLETILMESI

ÖRSAN KILIÇER

YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK

TOBB EKONOM VE TEKNOLOJ ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

A‡USTOS 2015 ANKARA

Fen Bilimleri Enstitü onay

Prof. Dr. Osman ERO‡UL Müdür

Bu tezin Yüksek Lisans derecesinin tüm gereksinimlerini sa§lad§n onaylarm.

Prof. Dr. Mustafa BAYRAKTAR Anabilim Dal Ba³kan

ÖRSAN KILIÇER tarafndan hazrlanan YEREL SINIR SARTLI YEREL OLMAYAN PROBLEMLERIN 1 BOYUTTAN 2 VE 3 BOYUTA GENISLETILMESI adl bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu§unu onaylarm.

Doç. Dr. Burak AKSOYLU Tez Dan³man

Tez Jüri Üyeleri

Ba³kan : Prof. Dr. Horst BEYER

Üye : Doç. Dr. Burak AKSOYLU

TEZ BLDRM

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davran³ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu§unu, ayrca tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu çal³mada orijinal olmayan her türlü kayna§a eksiksiz atf yapld§n bildiririm.

Üniversitesi : TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dal : Matematik

Tez Dan³man : Doç. Dr. Burak AKSOYLU Tez Türü ve Tarihi : Yüksek Lisans  A§ustos 2015

Örsan Klçer

YEREL SINIR SARTLI YEREL OLMAYAN PROBLEMLERIN 1 BOYUTTAN 2 VE 3 BOYUTA GENISLETILMESI

ÖZET

Peridinamik (PD), sürekli ortamlar mekani§inin yerel olmayan bir geni³lemesi ol-makla birlikte, yönetici operatörü olarak integral temelli konvolüsyonu ihtiva eder. Rn'de, perdinamik teorinin yönetici operatörü, klasik (yerel) operatörün snrl bir fonksiyonudur [2]. 1D'de, Aksoylu ve di§erleri [1] peridinamik formulasyonunu, Hilbert bazlarn temel alan bir konvolüsyon operatörünü kullanarak snrl bir bölge için genelle³tirdiler. Burada Hilbert bazlar sonsuz bir toplam vermektedir. Böylelikle, yerel snr ko³ullar, klasik operatörün snr ³artlarna uygun olarak bulunan Hilbert bazlar yardmyla, yerel olmayan teorilere uygulanabilmi³ oldu. Sonsuz toplamn integral gösterimi, uygun bir nümerik hesaplamaya izin verdi§i için oldukça kullan³ldr. Bu tezde, [1]'in sonuçlar 2D ve 3D'ye geni³letilmi³ ve anti-periyodik ve periyodik snr ko³ullarn sa§layan yönetici operatörlerin integral gösterimleri bulunmu³tur.

Neumann ve Dirichlet snr ko³ullarnn integral gösterimi karma³ktr. Bunun yerine, 1D'de, anti-periyodik ve periyodik snr ko³ullar ve fonksiyonun çift ve tek parçalar kullanlarak Neumann ve Dirichlet snr ko³ullar bulundu [1]. Burada, 'basit' (simple) denilen konvolüsyonlar kullanld. Bu tezde, bu yaplar 2D ve 3D'ye geni³letildi. Ek olarak, yönetici fonksiyonlarn açk formlar verildi.

Anahtar Kelimeler: Yerel olmayan teori, operatör teori, öz bazlar, kon-volüsyon.

University : TOBB University of Economics and Technology Institute : Institute of Natural and Applied Sciences

Science Programme : Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Burak AKSOYLU Degree Awarded and Date : M.Sc.  AUGUST 2015

Örsan Klçer

EXTENSION OF NONLOCAL PROBLEMS WITH LOCAL BOUNDARY CONDITIONS FROM 1 DIMENSION TO 2 AND 3 DIMENSIONS

ABSTRACT

Peridynamics (PD), a nonlocal extension of continuum mechanics, employs an integral based convolution as the governing operator. In Rn, Beyer et al. [2]

showed that the PD governing operator is a bounded function of the classical (local) operator. In 1D, Aksoylu et al. [1] generalized the PD formulation to a bounded domain using a convolution operator based on Hilbert bases, which gives rise to an innite sum. This way, local Boundary Conditions (BCs) are incorporated to nonlocal theories through Hilbert bases of the classical operator with the chosen BC.

An integral representation of the innite sum is very useful, as it allows for a convenient numerical implementation. We extend the results in [1] to 2D and 3D and provide integral representations of the governing operators employing antiperiodic and periodic BC.

Direct integral representations of the Neumann and Dirichlet BCs are involved. Instead, in 1D, a construction, called as simple convolution, was given [1] to obtain Neumann BC and Dirichlet BC, using antiperiodic and periodic BC. We also extend this construction to 2D and 3D. In addition, we provide explicit expressions of the corresponding regulating functions.

TE“EKKÜR

Bu çal³mamda özellikle dan³man hocam Doç. Dr. Burak Aksoylu'ya yardm-larndan ve de ilgisinden dolay te³ekkür ederim. Bu yeni ve gelece§i olan alanla tan³trd§ için de ayrca müte³ekkirim. Ayrca, 112M891 nolu, 'Tabakal Kompozit Yaplarn Mukavemet ve Hasar Davran³n Önceden Tahmin Ede-bilecek Peridinamik Teoriyi Kullanan Bir Metod Geli³tirilmesi' adl Tübitak projesinde ara³trmac olarak bulunan Doç. Dr. Burak Aksoylu'ya yardmc olarak çal³mama imkan veren proje yürütücüsü Doç Dr. Mehmet Ali Güler Hoca'ya da te³ekkürü bir borç bilirim. Ayrca hayatmda her zaman yanmda olan annem Gülay Klçer ve babam Zübeyir Klçer'e de emeklerinden dolay sayglarm ve de sevgilerimi sunarm. Son olarak, ara³trma frsat verdi§i için TOBB ETÜ'ye te³ekkür ederim.

ÇNDEKLER

TEZ BLDRM ii

ÖZET iv

ABSTRACT v

1 GR“ 1

2 SINIRLI BÖLGELERDE YAPI 4

2.1 Hilbert Uzaylarndaki Konvolüsyonlar . . . 4 2.2 Operatörlerin ve Snr Ko³ullarnn Düzgünle³tirici Fonksiyonlar 6 2.2.1 Türev çermeyen Snr Ko³ullarnn Sa§lanmas . . . 6 2.2.2 Türev çeren Snr Ko³ullarnn Sa§lanmas . . . 7 2.3 1D'deki Çe³itli Snr Ko³ullar için Tanmlanan Konvolüsyonlar . 8 2.3.1 Periyodik Snr Ko³ullar . . . 8 2.3.2 Antiperiyodik Snr Ko³ullar . . . 9 2.3.3 Neumann Snr Ko³ullar . . . 10

2.3.4 Dirichlet Snr Ko³ullar . . . 12

3 2D VE 3D ÇN SOYUT KONVOLÜSYONLAR 15 3.1 2D'de Periyodik Snr Ko³ullar için Soyur Konvolüsyon . . . 15

3.2 3D'de Periyodik Snr Ko³ullar için Soyut Konvolüsyon . . . 18

3.3 2D'de Anti-Periyodik Snr Ko³ullar için Soyut Konvolüsyon . . . 21

3.4 3D'de Anti-Periyodik Snr Ko³ullar için Soyut Konvolüsyon . . . 24

4 PROGRAMLAMA ÇN YARDIMCI OLACAK PERYODK GEN“LEME HARTASI 28 4.1 2D Periyodik Geni³leme Haritas . . . 28

4.2 3D Periyodik Geni³leme Haritas . . . 29

4.3 1D ve 2D için Periyodik ve Anti-Periyodik Geni³leme Örne§inin Grakleri . . . 31

5 2D VE 3D ÇN BAST KONVOLÜSYON 34 5.1 2D'de Neumann Snr Ko³ullar için Basit Konvolüsyon . . . 34

5.2 3D'de Neumann Snr Ko³ullar için Basit Konvolüsyon . . . 39

5.3 2D'de Dirichlet Snr Ko³ullar için Basit Konvolüsyon . . . 47

5.4 3D'de Dirichlet Snr Ko³ullar için Basit Konvolüsyon . . . 49

6 SONUÇ 53

1. GR“

Baz do§a olaylarn açklayabilmek için yerel olmayan teorilerin geli³mesi gerek-mektedir. Fizik alannda, yerel olan nokta parçack kuram olaylar iyi açk-layamamaktadr. Tüm temel zik teoremleri yereldir. Yerel teoriler ile kyasland§nda yerel olmayan teorilerin formüle edilmesi daha çok alternatif içermektedir. Ancak, deney ile uyu³an yerel olmayan teori in³a etmek, yerel olana kyasla daha zordur.

Klasik dalga e³itli§i dalga olaynn ancak bir ksmn açklayabilmektedir. Self-adjoint operatörlerin fonsiyonel analizini kullanarak elde edilecek daha ba³arl bir model in³a etmek daha mantkldr. Örnek olarak klasik operatör olan A yerine onun uygun bir fonksiyonu f(A)'nn kullanlmas verilebilir. Bu yakla³mn avantajlarndan birisi, A'da sa§lanan her bir simetri özelli§i, f(A) için de korunmaktadr. f fonksiyonuna 'düzenleyici (regulating) fonksiyon' denmektedir [1]. Sonuç olarak, öteleme, döndürme ve bunun gibi klasik simetrilere göre de§i³memesi gerekli özellikler korunmaktadr. Düzenleyici fonksiyonun seçimi ara³trma konusudur.

Tezin yazar yerel teorilerin çözemedi§i baz olaylar çözebilen yerel olmayan teoriler ile ilgilenmektedir. Krk ilerlemesi [3] ve viskoelastik sönümlenme [4], peridinamik ve parçal türevler ile modellenmi³tir. Bu iki teorem de yerel olmayan teoridedir. Benzer operatörler yerel olmayan difüzyon [5, 6, 7], popülasyon modelleri [8, 9], görüntü i³leme [10, 11], parçack sistemleri [12] ve faz geçi³i [13, 14] gibi uygulamalarda kullanlmaktadr.

Katlardaki stabil durumun kalkmas ardndan dalga olu³ur. Dalga denklemi, deformasyonun evrimi konusundaki temel teoremdir. Klasik elastisite teorisi,

malzemelerin krk ve çatlaklarnn büyümesine kar³ dirençlerini karakterize eden ve modelleyen ba³arl bir modeldir. Silling [3] krk ve çatlaklarn di-nami§ini tahmin edebilen, sürekli otamlar mekani§inin yerel olmayan geni³lemesi olan peridinamik teoriyi geli³tirmi³tir. Peridinamik yerel olmayan bir teori oldu§undan, yerel snr ko³ullarnn peridinamik teoriye uygulanamayacak olmas dü³ününlebilir. Ancak Aksoylu ve di§erleri [1] bu iddiann do§ru olmad§n gösterdi.

Tez, ³u ³ekilde ilerlemektedir (1D üzerine her çal³ma iki makaleden alntdr [1, 2]):

Bölüm (2.1)'de Hilbert uzaylar üzerinde konvolüsyonlar tanmland. Bu kon-volüsyonlar üzerine çal³ld. 'Düzenleyici (regulating) fonksiyon' tanmland. Hilbert uzaylarndaki konvolüsyonlar, Hilbert bazlar yardmyla yazld.

Bölüm (2.2)'de, Aksoylu ve di§erleri [1], hangi ³artlar altnda çözümlerin snr ³artlarn sa§lad§n buldular. Hilbert-Schmidt operatörleri snr ³artlarn sa§lama konusunda önemli bir rol oynar. Hilbert-Schmidt ko³ulu sayesinde gerçeklenen düzgün yaknsaklk özelli§inden dolay, limitlerin yer de§i³imi gün-deme gelmektedir. Bundan dolay, snr ko³ullar sa§lanmaktadr. Ayrca, Hilbert-Schmidt özelli§i girdinin 'düzgünle³tirmesini (smoothing)' sa§lar. Bu durum, L2_{'deki bir fonksiyonun, snrda sürekli olan bir fonksiyona götüren bir}

fonksiyonun olmas demektir. Türev içeren durumda da ek ³artlar ileri sürerek, düzgün yaknsaklk sa§lanr. Bu da limitlerin yer de§i³tirmesine götürür. Sonuç olarak, türev içeren snr ko³ullar da sa§lanm³ olur.

Bölüm (2.3)'de, 1D'de, periyodik, antiperiyodik, Neumann ve Dirichlet snr ko³ullar gösterildi. periyodik ve antiperiyodik snr ³artlarnda, soyut konvolüsy-onlarn integral gösterimleri görece direkttir. Ancak, Neumann ³artnda, bu gösterim 'yar-dalga' simetrisine ihtiyaç duyar ki bu biraz kar³ktr. Dirichlet ³artnda, gösterim integral formunun limitleri ³eklindedir. Neumann ve Dirichlet snr ³artlar için 'basit (simple)' konvolüsyonlar verilmi³tir. Bu konvolüsyonlar mikromodülüs fonksiyonunun periyodik ve antiperiyodik geni³lemesi ile ba§lan-tldr.

Bölüm (3)'de, 2D ve 3D'de periyodik ve antiperiyodik snr ³artlarnn soyut konvolüsyonlar verilmi³tir. 1D'den 2D ve 3D duruma çkmak için, 1D'deki öz fonksiyonlarn tensör çarpmlar kullanld. 2D'ye çkmak için, periyodik ve antiperiyodik snr ³artlar için srasyla, çekirdek fonksiyonu C'nin x ve y yönünde periyodik ve antiperiyodik geni³lemeleri yapld. 3D'ye çkmak için, periyodik ve antiperiyodik snr ³artlar için srasyla, çekirdek fonksiyonu C'nin x, y ve z yönünde periyodik ve antiperiyodik geni³lemeleri yapld.

Bölüm (4)'de, programlama için yardmc olacak periyodik geni³leme haritas, srasyla 2D ve 3D için verildi.

Bölüm (5)'de, Neumann ve Dirichlet snr ko³ullar için, 2D ve 3D'de, basit konvolüsyonlar verildi. Bu basit konvolüsyonlar, mikromodülüs fonksiyonun periyodik ve antiperiyodik geni³lemelerine ba§ldr.

2. SINIRLI BÖLGELERDE YAPI

Snrl bölgelerde, Beyer ve di§erleri [2], peridinami§in, klasik operatör A'nn yönetici fonksiyonu olan f(A)'y kulland§n buldular:

f (A)u(x, t) : = Z

Rn

C(y − x)(u(x, t) − u(y, t))dy = Z Rn C(y)dy  u(x, t) − Z Rn C(x − y)u(y, t)dy.

Banach cebiri yaps korunarak, snrl bölgelerdeki konvolüsyonlarn genelle³tirmesi, L1_(Rn_{)'deki fonksiyonlara uygulanabilir mi? Aslnda, böyle bir genelle³tirmenin}

periyodik fonksiyonlara uygulanabildi§i bilinmektedir.

2.1 Hilbert Uzaylarndaki Konvolüsyonlar

Snrsz bölgelerde, Beyer ve di§erleri [2] yönetici fonksiyonun, klasik yönetici operatör olan Laplace operatörünün bir fonksiyonu oldu§unu buldular. Bundan dolay, snrl bölgelerde, yönetici fonksiyonu denk gelen klasik (lokal) operatörün fonksiyonu cinsinden dü³ünmek do§aldr. Bu durum, yerel olmayan durumlar için yerel snr ko³ullarnn uygulanmasn ortaya çkarr.

Kolaylk için, klasik operatörü, uygun snr ko³ullarn içeren Laplace oper-atörünün bir kat olarak seçtiler. Snrl bölgelerde, periyodik, anti-periyodik, Neumann ve Dirichlet gibi snr ko³ullarnda, Laplace operatörünün spektrumu pür olarak ayrktr. Ek olarak, her bir snr ko³ula denk gelen öz fonksiyonlar olan eklar' direkt olarak hesapladlar. Burada, ksaltma olarak p, a, N, D

hareri kullanld. Bunlara kar³lk gelen snr ko³ullar srasyla: Periyodik, anti-periyodik, Neumann ve Dirichlet'dir. Bu öz fonksiyonlar Hilbert baz olu³tururlar (tam ortonormal baz). Geni³letilmi³ konolüsyon operatörü ³u ³ekilde tanmlanr:

C ∗BCu := X hek|Ci hek|ui ek. (2.1) Burada: hek|ui := Z 1 1 e∗_k(y)u(y)dy. Çözülen yerel olmayan dalga denklemi ³u ³ekildedir:

utt(x, t) := ϕ(ABC)u(x, t) = 0, x ∈ (−1, 1), t ∈ [0, T ].

Burada: T ≥ 0, ϕ : σ(ABC) → R snrl bir fonksiyondur ve ABC, spektrumu

σ(ABC) olan klasik (lokal) bir operatördür. Örne§in, (2.1)'deki konvolüsyon c −

C∗BC yönetici fonksiyonunu ifade eder. Burada, c uygun bir sabittir. Düzenleyici

fonksiyon ϕ : σ(ABC) → R ³u ³ekilde ifade edilir:

ϕ(ABC) := c − C ∗BC.

u'nun Hilbert baz cinsinden gösterimi ³u ³ekildedir: u =Xhek|ui ek.

Böylelikle ³u sonuca ula³lr: (c − C∗BC)u =

X

[c − hek|Ci] hek|ui ek =

X

ϕ(λk) hek|ui ek.

2.2 Operatörlerin ve Snr Ko³ullarnn

Düzgün-le³tirici Fonksiyonlar

Motivasyon olarak, [−1, 1] aral§nda tanml u = χ[−1/2,1/2]+ 1'nun Dirichlet öz

fonksiyon geni³lemesi örnek verilebilir. u = ∞ X 1 heD k|ui e D k. N X 1 heD k|ui e D k

fonksiyonu I üzerinde sonsuz kere diferansiyellenebilmesine ra§men ve de Dirichlet snr ko³ullarn sa§lamasna ra§men, u ne süreklidir ne de snr ko³ullarn sa§lar. Bu durum ³u sorunun sorulmasna sebep olur: Hangi durumlarda çözüm snr ko³ullar sa§lanr?

2.2.1 Türev çermeyen Snr Ko³ullarnn Sa§lanmas

Aksoylu ve di§erlerinin [1] makalelerinde, bu sorunun cevab verildi. Bu durumda, Hilbert-Schmidt özelli§i düzgün yaknsaklk argümann gündeme getirir. Bu özellikle, snr ko³ullar için limitlerin yer de§i³tirmesi uygulanabilir.

Theorem 1 (Bir Operatörün Düzgünle³tirici Fonksiyonlar ) c, K > 0, n ∈ N∗ olsun. Ω ⊂ Rn _{bo³ olmayan, snrl ve açk bir küme olsun. A,}

L2_C(Ω) üzerinde yo§un tanml (densely-dened), lineer ve self-adjoint olan ve pür nokta spektrumuna sahip (pure point spectrum) bir operatör olsun. Pür nokta sprektrumu özelli§i ile Hilbert baz olan öz fonksiyonlar tanmlanabilir:

(ek)k∈N∗.

Özel olarak, tüm k ∈ N∗_{lar için, e}

klara kar³lk gelen öz de§erlere λk denilsin.

Ayrca, Ω ⊃ Ωb açk ve snrl olsun ve tüm k ∈ N∗ler için, ek, baz ebk ∈ C(b_{Ω, C)larn kstlan³ olsun ve ³u ko³ulu sa§lasn:}

Son olarak, f ∈ Us C(σ(A), C), u ∈ L 2 C(Ω) ve b : R → L 2 C(Ω) sürekli olsun. Bu

durumda ³u durum geçerlidir:

1. f(A) Hilbert-Schmidt'dir ancak ve ancak (|f (λk)|2)k∈N∗

toplanabilirdir.

2. f(A) Hilbert-Schmidt ise, f(A)'nn Ω üzerinde ve de Ω'nn tüm limit x noktalar için sürekli bir geni³lemesi vardr.

lim y→x[f (A)u](y) = ∞ X k=1 f (λk) hek|ui (lim y→xek(y)).

2.2.2 Türev çeren Snr Ko³ullarnn Sa§lanmas

Aksoylu ve di§erleri [1] pür nokta sprektruma sahip olan operatörlerin türev içeren snr ko³ullarn incelediler. f(A)'nn öz de§erleri üzerinde tanmlanan ek sönümleme ³artlar ile, düzgün yaknsaklk durumu elde edilmektedir. Bu düzgün yaknsalk durumu, limitlerin türevlerde de yer de§i³tirmesini sa§lamaktadr.

Theorem 2 (Bir Operatörün Düzgünle³tirici Fonksiyonlar II) Türev i-çermeyen teoremin kabullerine ek olarak, Ω = I, Ω = bb I olsun. Ayrca I ve

b

I, R'nin bo³ olmayan aralklar olsun. Ek olarak, f(A) Hilbert-Schmidt olsun. Ayrca, tüm k ∈ N∗ _{için e}

k türevlenebilir olsun ve türevlerinin Ibüzerinde sürekli b

e0_k fonksiyonlar olsun. Son olarak,

(|||e0_k||∞f (λk)|2)k∈N∗

toplanabilir olsun. Bu halde, f(A)u ∈ C1

(I, C) ve I'nn tüm x limit noktalar için lim y→x[f (A)u](y) = ∞ X k=1 f (λkhek|ui (lim y→xek(y)) lim y→x[f (A)u] 0 (y) = ∞ X k=1 f (λkhek|ui (lim y→xe 0 k(y)) geçerlidir.

2.3 1D'deki Çe³itli Snr Ko³ullar için

Tanm-lanan Konvolüsyonlar

Hilbert bazlarnn seçimi genelle³tirilmi³ konvolüsyonu belirler. Bu konvolüsyona 'kanonikal' (canonical) konvolüsyon denmi³tir [1]. Dirichlet ve Neumann durum-larnda, soyut konvolüsyonun integral forma ba§ direkt de§ildir. Öbür taraftan, periyodik ve antiperiyodik snr ko³ullarnda, bu ba§ direktir. Bu durumlarda, mikromodül fonksiyonunun periyodik ve antiperiyodik geni³lemesi gereklidir. Neumann ve Dirichlet snr ko³ullarnda, Aksoylu ve di§erleri [1] 'basit' (simple) dedikleri ek bir konvolüsyon üzerine çal³tlar. Bu konvolüsyonlar, periyodik ve antiperiyodik snr ko³ullarndan esinlendi. Çift mikromodül fonksiyonu ile tanml çift ve tek girdi fonksiyonlarnn kullanld§, periyodik ve antiperiyodik snr ko³ullarnn konvolüsyonlarnn belirli kombiansyonlar, Neumann ve Dirich-let snr ko³ullarn dikte eder.

2.3.1 Periyodik Snr Ko³ullar

Ap : D(Ap) → L2_C(I)operatörü ³u ³ekilde tanmlanr:

D(Ap) : = {u ∈ C2( ¯I, C) : limx→−1u(x) = limx→1u(x),

limx→−1u0(x) = limx→−1u0(x)}. Ayrca, Apu := − 1 π2u 00 .

Ap, özde§erleri a³a§daki gibi tanmlanan pür ayrk bir spektrum σ(Ap)'a sahiptir:

σ(Ap) = {k2 : k ∈ N}.

Her bir k ∈ Z için, k2 _{öz de§erine kar³lk gelen normalize edilmi³ öz fonksiyonlar}

³u ³ekilde tanmlanr:

ek(x) :=

1 √

2e

iπkx_.

Kanonikal Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

Bu konuda, ∗p, L2_C(I)'de tanml soyut konvolüsyondur ve (ek)k∈Z bazna ba§ldr.

Çift C ∈ L2_{(I)ve c ∈ R için ³u e³itlik tanmldr:}

(C ∗pu)(x) = 1 √ 2 Z 1 −1 ˆ Cp(x − y)u(y)dy.

Burada, Cb_p, C'nin R üzerindeki periyodik fonksiyona geni³lemesidir. A³a§daki ba§lantlar yazlabilir: ˆ C(x) = ˆC(x + 2), _{∀x ∈ R} ve ˆ C(x) = C(x), x ∈ [−1, 1].

2.3.2 Antiperiyodik Snr Ko³ullar

Aa : D(Aa) → L2_C(I) operatörü ³u ³ekilde tanmldr:

D(Aa) : = {u ∈ C2( ¯I, C) : limx→−1u(x) = − limx→1u(x),

limx→−1u0(x) = − limx→−1u0(x)} ve Aau := − 1 π2u 00 .

Aa pür ayrk bir spektruma σ(Aa) sahiptir. σ(Aa)³u ³ekilde tanmldr:

σ(Aa) = {(k +

1 2)

2

: k ∈ N}. Her bir k ∈ Z için, (k + 1

2)

2 _{öz de§erlerine kar³lk gelen normalize edilmi³ öz}

fonksiyonlar ³u ³ekildedir:

ek(x) := 1 √ 2e iπ(k+1₂)2_x .

Kanonikal Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

Bu konuda, ∗a, L2_C(I)'de tanml soyut konvolüsyondur ve (ek)k∈Z bazna ba§ldr.

Çift C ∈ L2_{(I)ve c ∈ R için ³u e³itlik tanmldr:}

(C ∗au)(x) = 1 √ 2 Z 1 −1 ˆ Ca(x − y)u(y)dy.

Burada, Cba, C'nin R üzerindeki antiperiyodik fonksiyona geni³lemesidir.

A³a§-daki ba§lantlar yazlabilir: ˆ C(x) = − ˆC(x + 2), _{∀x ∈ R} ve ˆ C(x) = C(x), x ∈ [−1, 1].

2.3.3 Neumann Snr Ko³ullar

AN : D(AN) → L2_C(I) operatörü ³u ³ekilde tanmlanr:

D(AN) := {u ∈ C2( ¯I, C) : lim x→−1u 0 (x) = lim x→1u 0 (x) = 0} ve ANu := − 4 π2u 00 .

AN, özde§erleri a³a§daki gibi tanmlanan pür ayrk bir spektrum σ(AN)'a sahiptir

(burada öz de§erler basittir):

σ(AN) = {k2 : k ∈ N}.

Her bir k ∈ N için, k2 _{öz de§erine kar³lk gelen normalize edilmi³ öz fonksiyonlar}

³u ³ekilde tanmlanr:

ek(x) =    1 √ 2, if k = 0 cos(πk(x + 1)/2), if k 6= 0. Sonuç olarak, (ek)k∈N, L2_C(I)'de bir Hilbert bazdr.

2.3.3.1 Basit Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

C ∈ L2(I) çift, u ∈ L2_C(I) çift, x ∈ I ve k ∈ N∗ olsun. Bu durumda ³u e³itlik geçerlidir: C ∗pu = X k∈Z hep_k|Ci₂hep_k|ui₂ep_k= ∞ X k=0 ϕ1(k2) hek|ui2ek.

Burada, ϕ1 ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde tanmldr:

ϕ1(k2) :=    0, _{k ∈ N tek ise} hep_k/2|Ci 2, k ∈ N çift ise ve C ∗pPçift = ϕ1(AN).

Burada, ortogonal projeksiyon Pçift : L2C(I) → L 2

C(I), her h ∈ L 2

C(I) için, ³u

³ekilde tanmldr:

P_çifth := 1

2(h + h ◦ (−idI)). Ek olarak, çift C ∈ L2_{(I), tek u ∈ L}2

C(I), x ∈ I ve k ∈ N durumlar için ³u e³itlik

geçerlidir: C ∗au = X k∈Z hea k|Ci2he a k|ui2e a k= ∞ X k=0 ϕ2(k2) hek|ui2ek.

Burada, ϕ2 ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde tanmldr:

ϕ2(k2) :=    0, _{k ∈ N}∗ çift ise hea (k−1)/2|Ci₂, k ∈ N ∗ _{tek ise} and C ∗aPtek = ϕ2(AN).

Ortogonal projeksiyon Ptek : L2C(I) → L 2

C(I), tüm h ∈ L 2

C(I)için, tanm ³öyledir:

P_çifth := 1

2.3.3.2 Kanonikal Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

Mikromodül fonksiyonu, C, ³u ³ekilde yazlabilir: C = C1+ C2. Burada: C1(x) := 1 2[C(|x|) + C(1 − |x|)], C2(x) := 1 2[C(|x|) − C(1 − |x|)].

C1 ve C2 ∈ L2_C(I) çifttir. 'Yar-dalga' özelli§i denilen özelli§e sahiptir. Yani, tüm

x ∈ [0, 1/2] için: C1(1 − x) = 1 2[C(|1 − x|) + C(1 − |1 − x|)] = 1 2[C(1 − x) + C(x)] = C1(x), C2(1 − x) = 1 2[C(|1 − x|) − C(1 − |1 − x|)] = 1 2[C(1 − x) − C(x)] = −C2(x). Sonuç ³udur: C ∗Nu(x) = X k∈N hek|Ci2hek|ui2ek(x) = 1 2 Z 1 −1 C1(x − y)u(y)dy + 1 2 Z 1 −1 C1(−x − y)u(y)dy − 1 2 Z 1 −1 C2(x − y)u(y)dy − 1 2 Z 1 −1 C2(−x − y)u(y)dy + kN,Che0|ui2. Burada: kN,C := − √ 2 − 1 2 Z 1 −1 C₁∗(y)dy + √ 2 + 1 2 Z 1 −1 C₂∗(y)dy.

2.3.4 Dirichlet Snr Ko³ullar

AD : D(AD) → L2_C(I) operatörü ³u ³ekilde tanmlanr:

D(AD) := {u ∈ C 2

( ¯_{I, C) : lim}

x→−1u(x) = limx→1u(x) = 0}

ve ADu := − 4 π2u 00 .

AD, özde§erleri a³a§daki gibi tanmlanan pür ayrk bir spektrum σ(AD)'a sahiptir

(öz de§erler basittir):

σ(AD) = {k2 : k ∈ N}.

Her bir k ∈ N∗ _{için, k}2_{öz de§erine kar³lk gelen normalize edilmi³ öz fonksiyonlar}

³u ³ekilde tanmlanr:

ek(x) = sin(

kπ

2 (x + 1)).

2.3.4.1 Basit Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

C ∈ L2_{(I) çift, u ∈ L}2

C(I) tek, x ∈ I ve k ∈ N

∗ _{olsun. A³a§daki ba§lant}

yazlabilir: C ∗pu = X k∈Z hep_k|Ci₂hep_k|ui₂ep_k= ∞ X k=1 ϕ1(k2) hek|ui2ek.

Burada, ϕ1 ∈ B(σ(AD), C) ³u ³ekilde tanmldr:

ϕ1(k2) :=    0, _{k ∈ N}∗ tek ise hep_k/2|Ci 2, k ∈ N ∗ _{çift ise} ve C ∗pPtek = ϕ1(AD).

Ayrca, çift C ∈ L2_{(I), çift u ∈ L}2

C(I), x ∈ I ve k ∈ N için ³u e³itlik geçerlidir:

C ∗au = X k∈Z hea k|Ci2he a k|ui2e a k= ∞ X k=1 ϕ2(k2) hek|ui₂ek.

Burada, ϕ2 ∈ B(σ(AD), C) ³u ³ekilde tanmldr:

ϕ2(k2) :=    0, _{k ∈ N}∗ is even hea (k−1)/2|Ci₂, k ∈ N ∗ _{is odd} ve C ∗aPeven= ϕ2(AD).

2.3.4.2 Kanonikal Konvolüsyon ve ntegral Gösterimi

Çift C için ³u e³itlik geçerlidir: (C ∗Du)(x) = X k∈N∗ hek|Ci2hek|ui2ek(x) = 1 2 Z 1 −1 d P Ca(x − y)u(y)dy + 1 2 Z 1 −1 d P Ca(−x − y)u(y)dy − 1 2 Z 1 −1 ( bCa− dP Ca)(x − y)u(y)dy + 1 2 Z 1 −1 ( bCa − dP Ca)(−x − y)u(y)dy.

Burada, Cb_a, C'nin R üzerindeki 2-antiperiyodik geni³lemesini göstermektedir. Ayrca, P a³a§da verilen uzayn kapan³nn ortogonal projeksiyonudur:

Span({e4l+1: l ∈ N}).

d

P Ca, P C'nin R üzerindeki 2-antiperiyodik geni³lemesidir.

2.3.4.3 Kanonikal Gösterimde Kullanlan Projeksiyonun Gösterimi

u ∈ L2

C(I) için,

P u = lim

x→∞

sin[π(n + 1₂)(idI+ 1)] sin[π(n + 1)(idI+ 1)]

sin[π(idI+ 1)]

∗ 1

2[u + u ◦ (−idI)] yazlabilir. Burada, ∗, I üzerinde tanml integral konvolüsyonudur ve limit L2

C(I)

3. 2D VE 3D ÇN SOYUT

KONVOLÜSYONLAR

3.1 2D'de Periyodik Snr Ko³ullar için Soyur

Konvolüsyon

2D'de, I × I = [−1, 1] × [−1, 1] üzerinde snr de§er ko³ullarn sa§layan yerel operatör ³u ³ekilde tanmlanr:

Au := −1

π2 (uxx + uyy).

Periyodik snr ko³ullar ³u ³ekilde tanmlanabilir: lim

x→−1u(x, y) = limx→1u(x, y), y→−1lim u(x, y) = limy→1u(x, y),

lim

x→−1ux(x, y) = limx→1ux(x, y), y→−1lim uy(x, y) = limy→1uy(x, y).

Öz fonksiyonlar 1D'dekilerin tensör çarpm ile bulunabilir: ekl(x, y) = ek(x)el(y) = 1 √ 2e ikπx_√1 2e ilπy ₌ 1 2e iπ(kx+ly)_{. (3.1)}

Soyut konvolüsyon, (3.1)'da verilen A'nn Hilbert baz kullanlarak bulunabilir: C ∗pu(x, y) =

X

k,l∈Z

Terimler toplamda yazlr: C ∗pu(x, y) = X k,l∈Z hekl|Ci hekl|ui ekl(x, y) = hX k,l∈Z ekl(x, y)∗hekl|Ci ∗ ekl(s, t)|u(s, t)i = hX k,l∈Z

ekl(x, y)∗hC|ekli ekl(s, t)|u(s, t)i

= hX

k,l∈Z

h{ekl(x, y)∗hC|ekli} ekl(s, t)|u(s, t)ii

= 1 2h X k,l∈Z n hekl(·, ·)| ˆCp,2∗((x, y) − (·, ·))i ekl(s, t) o |u(s, t)i = 1 2hn ˆCp,2 ∗ ((x, y) − (s, t))o|u(s, t)i = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,2((x, y) − (s, t))u(s, t)dsdt

(3.2) e³itli§ini integral gösterimine ba§lamak için, toplamdaki her bir terim hesaplanr:

ekl(x, y)∗hC|ekli = ek(x)∗el(y)∗hC|ekli

= Z 1

−1

Z 1

−1

ek(x)∗el(y)∗C∗(s, t)ek(s)el(t)dsdt

= Z 1

−1

Z 1 −1

ek(−x)el(−y)C∗(s, t)ek(s)el(t)dsdt

= 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

C∗(s, t)ek(s − x)el(t − y)dsdt

= 1 2 Z 1 −1 Z 1+x −1+x ˆ Cp ∗ (s, t)ek(s − x)ds  el(t − y)dt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp ∗ (s + x, t)ek(s)ds  el(t − y)dt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp ∗ (s + x, t)el(t − y)dt  ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1+y −1+y ˆ Cp,2∗(s + x, t)el(t − y)dt  ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,2∗(s + x, t + y)el(t)dt  ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,2∗(x − s, y − t)el(−t)ek(−s)dsdt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 el(t)∗ek(s)∗Cˆp,2∗(x − s, y − t)dsdt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ekl(s, t)∗Cˆp,2∗((x, y) − (s, t))dsdt = 1 2hekl(·, ·)| ˆCp,2 ∗ ((x, y) − (·, ·))i

C'nin x yönündeki 2-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ

Cp(x, y) = Cˆp(x + 2, y), x ∈ R, y ∈ [−1, 1],

ˆ

Cp(x, y) = C(x, y), x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1].

ˆ

C'nin y yönündeki 2-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ

Cp,2(x, y) = Cˆp(x, y + 2), x ∈ [−1, 1], y ∈ R,

ˆ

Cp,2(x, y) = Cˆp(x, y) = C(x, y), x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1]. (3.3)

3.2 3D'de Periyodik Snr Ko³ullar için Soyut

Konvolüsyon

3D'de, I × I = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] üzerinde periyodik snr ko³ullarn sa§layan yerel operatör ³u ³ekilde tanmlanr:

Au := −1

π2(uxx+ uyy+ uzz).

Periyodik snr ko³ullar ³u ³ekilde tanmlanabilir: lim

x→−1u(x, y, z) = limx→1u(x, y, z),

lim

y→−1u(x, y, z) = limy→1u(x, y, z),

lim

z→−1u(x, y, z) = limz→1u(x, y, z),

lim

x→−1ux(x, y, z) = limx→1ux(x, y, z),

lim

y→−1uy(x, y, z) = limy→1uy(x, y, z),

lim

z→−1uz(x, y, z) = limz→1uz(x, y, z).

Öz fonksiyonlar, 1D'dekilerin tensör çarpmlar ile bulunur: eklm(x, y, z) = ek(x)el(y)em(z) = 1 √ 2e ikπx_√1 2e ilπy_√1 2e imπz ₌ 1 2√2e iπ(kx+ly+mz)_. (3.4) Soyut konvolüsyon, (3.4)'da verilen A'nn Hilbert baz kullanlarak bulunabilir:

C ∗pu(x, y, z) =

X

k,l,m∈Z

Terimler toplamda yazlr: C ∗pu(x, y, z) = X k,l,m∈Z heklm|Ci heklm|ui eklm(x, y, z) = h X k,l,m∈Z eklm(x, y, z)∗heklm|Ci ∗ eklm(s, t, w)|u(s, t, w)i = h X k,l,m∈Z

eklm(x, y, z)∗hC|eklmi eklm(s, t, w)|u(s, t, w)i

= h X

k,l,m∈Z

h{eklm(x, y, z)∗hC|eklmi} eklm(s, t, w)|u(s, t, w)ii

= 1 2√2h X k,l,m∈Z n heklm(·, ·)| ˆCp,3∗((x, y, z) − (·, ·, ·))i eklm(s, t, w) o |u(s, t, w)i = 1 2√2h n ˆ_Cp,3∗ ((x, y, z) − (s, t, w))o|u(s, t, w)i = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,3((x, y, z) − (s, t, w))u(s, t, w)dsdtdw

(3.5) e³itli§ini integral gösterimine ba§lamak için, toplamdaki her bir terim hesaplanr:

eklm(x, y, z)∗hC|eklmi = ek(x)∗el(y)∗em(z)∗hC|eklmi

= Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

ek(x)∗el(y)∗em(z)∗C∗(s, t, w)ek(s)el(t)em(w)dsdtdw

= Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

ek(−x)el(−y)em(−z)C∗(s, t, w)ek(s)el(t)em(w)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

C∗(s, t, w)ek(s − x)el(t − y)em(w − z)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+x −1+x ˆ Cp ∗ (s, t, w)ek(s − x)ds  el(t − y)em(w − z)dtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp ∗ (s + x, t, w)ek(s)ds  el(t − y)em(w − z)dtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp ∗ (s + x, t, w)el(t − y)dt  ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+y −1+y ˆ Cp,2∗(s + x, t, w)el(t − y)dt  ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,2∗(s + x, t + y, w)el(t)dt  ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,2∗(s + x, t + y, w)em(w − z)dw  ek(s)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+z −1+z ˆ Cp,3∗(s + x, t + y, w)em(w − z)dw  ek(s)el(t)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Cp,3∗(s + x, t + y, w + z)em(w)dw  ek(s)el(t)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ

Cp,3∗(s + x, t + y, w + z)em(w)ek(s)el(t)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ

Cp,3∗(x − s, y − t, z − w)el(−t)ek(−s)em(−w)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 el(t)∗ek(s)∗em(w)∗Cˆp,3∗(x − s, y − t, z − w)dsdtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 eklm(s, t, w)∗Cˆp,3∗((x, y, z) − (s, t, w))dsdtdw = 1 2√2heklm(·, ·, ·)| ˆCp,3 ∗ ((x, y, z) − (·, ·, ·))i

C'nin x yönündeki 2-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ Cp(x, y, z) = Cˆp(x + 2, y, z), x ∈ R, y ∈ [−1, 1], ve z ∈ [−1, 1] ˆ Cp(x, y, z) = C(x, y, z), x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1], z ∈ [−1, 1]. ˆ

C'nin y yönündeki 2-periyodik geni³lemesi x ∈ [−1, 1], y ∈ R ve z ∈ [−1, 1] için ³u ³ekilde tanmlanr:

ˆ

Cp,2(x, y, z) = ˆCp,2(x, y + 2, z).

Ayrca, x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ [−1, 1] için ³u e³itlik geçerlidir: ˆ

Cp,2(x, y) = ˆCp(x, y, z) = C(x, y, z). (3.6)

(3.6) e³itli§indeki ˆCp,2 de, C'nin bir geni³lemesidir. ˆCp,2'nin z yönündeki

2-periyodik geni³lemesi x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ R için ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ

Cp,3(x, y, z) = ˆCp,3(x, y, z + 2).

Ayrca, x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ [−1, 1] için a³a§daki e³itlik geçerlidir: ˆ

Cp,3(x, y, z) = ˆCp,2(x, y, z) = ˆCp(x, y, z) = C(x, y, z). (3.7)

(3.7) e³itli§indeki ˆCp,3 de, C'nin bir geni³lemesidir.

3.3 2D'de Anti-Periyodik Snr Ko³ullar için

So-yut Konvolüsyon

2D'de, I × I = [−1, 1] × [−1, 1] üzerinde anti-periyodik snr de§er ko³ullarn sa§layan yerel operatör ³u ³ekilde tanmlanr:

Au := −1

π2 (uxx + uyy),

Anti-periyodik snr ko³ullar ³u ³ekilde tanmlanabilir: lim

x→−1u(x, y) = − limx→1u(x, y), y→−1lim u(x, y) = − limy→1u(x, y),

lim

Öz fonksiyonlar 1D'dekilerin tensör çarpm ile bulunabilir: ekl(x, y) = ek(x)el(y) = 1 √ 2e i(k+1₂)πx_√1 2e i(l+1₂)πy ₌ 1 2e iπ((k+1₂)x+(l+1₂)y)_{. (3.8)}

Soyut konvolüsyon, (3.8)'da verilen A'nn Hilbert baz kullanlarak bulunabilir: C ∗au(x, y) =

X

k,l∈Z

hekl|Ci hekl|ui ekl(x, y). (3.9)

Terimler toplamda yazlr: C ∗au(x, y) = X k,l∈Z hekl|Ci hekl|ui ekl(x, y) = hX k,l∈Z ekl(x, y)∗hekl|Ci ∗ ekl(s, t)|u(s, t)i = hX k,l∈Z

ekl(x, y)∗hC|ekli ekl(s, t)|u(s, t)i

= hX

k,l∈Z

h{ekl(x, y)∗hC|ekli} ekl(s, t)|u(s, t)ii

= 1 2h X k,l∈Z n hekl(·, ·)|Cˆˆa∗((x, y) − (·, ·))i ekl(s, t) o |u(s, t)i = 1 2hn ˆCa,2 ∗ ((x, y) − (s, t))o|u(s, t)i = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,2((x, y) − (s, t))u(s, t)dsdt

(3.9) e³itli§ini integral gösterimine ba§lamak için, toplamdaki her bir terim hesaplanr:

ekl(x, y)∗hC|ekli = ek(x)∗el(y)∗hC|ekli

= Z 1

−1

Z 1

−1

ek(x)∗el(y)∗C∗(s, t)ek(s)el(t)dsdt

= Z 1

−1

Z 1 −1

ek(−x)el(−y)C∗(s, t)ek(s)el(t)dsdt

= 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

C∗(s, t)ek(s − x)el(t − y)dsdt

= 1 2 Z 1 −1 Z 1+x −1+x ˆ Ca ∗ (s, t)ek(s − x)ds  el(t − y)dt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca ∗ (s + x, t)ek(s)ds  el(t − y)dt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca ∗ (s + x, t)el(t − y)dt  ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1+y −1+y ˆ

Ca,2∗(s + x, t)el(t − y)dt

 ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,2∗(s + x, t + y)el(t)dt  ek(s)ds = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ

Ca,2∗(x − s, y − t)el(−t)ek(−s)dsdt

= 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 el(t)∗ek(s)∗Cˆa,2∗(x − s, y − t)dsdt = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 ekl(s, t)∗Cˆa,2∗((x, y) − (s, t))dsdt = 1 2hekl(·, ·)| ˆCa,2 ∗ ((x, y) − (·, ·))i

C'nin x yönündeki 2 anti-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ

Ca(x, y) = − ˆCa(x + 2, y), x ∈ R, y ∈ [−1, 1],

ˆ

Ca(x, y) = C(x, y), x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1].

ˆ

Ca'nin y yönündeki 2 anti-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr:

ˆ

Ca,2(x, y) = − ˆCa,2(x, y + 2), x ∈ [−1, 1], y ∈ R,

ˆ

Ca,2(x, y) = Cˆa(x, y) = C(x, y) x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1]. (3.10)

3.4 3D'de Anti-Periyodik Snr Ko³ullar için

So-yut Konvolüsyon

3D'de, I × I = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] üzerinde anti-periyodik snr ko³ullarn sa§layan yerel operatör ³u ³ekilde tanmlanr:

Au := −1

π2(uxx+ uyy+ uzz),

Anti-periyodik snr ko³ullar ³u ³ekilde tanmlanabilir: lim

x→−1u(x, y, z) = − limx→1u(x, y, z), y→−1lim u(x, y, z) = − limy→1u(x, y, z),

lim

z→−1u(x, y, z) = − limz→1u(x, y, z),

lim

x→−1ux(x, y, z) = − limx→1ux(x, y, z), limy→−1uy(x, y, z) = − limy→1uy(x, y, z),

lim

z→−1uz(x, y, z) = − limz→1uz(x, y, z).

Öz fonksiyonlar, 1D'dekilerin tensör çarpmlar ile bulunur: eklm(x, y, z) = ek+1₂(x)el+1₂(y)em+1₂(z) = √1 2e i(k+1₂)πx_√1 2e i(l+1₂)πy_√1 2e i(m+1₂)πz = 1 2√2e iπ((k+1₂)x+(l+1₂)y+(m+1₂)z)_{. (3.11)}

Soyut konvolüsyon, (3.11)'da verilen A'nn Hilbert baz kullanlarak bulunabilir: C ∗au(x, y, z) =

X

k,l,m∈Z

Terimler toplamda yazlr: C ∗au(x, y, z) = X k,l,m∈Z heklm|Ci heklm|ui eklm(x, y, z) = h X k,l,m∈Z eklm(x, y, z)∗heklm|Ci ∗ eklm(s, t, w)|u(s, t, w)i = h X k,l,m∈Z

eklm(x, y, z)∗hC|eklmi eklm(s, t, w)|u(s, t, w)i

= h X

k,l,m∈Z

h{eklm(x, y, z)∗hC|eklmi} eklm(s, t, w)|u(s, t, w)ii

= 1 2√2h X k,l,m∈Z  heklm(·, ·)| ˆ ˆ ˆ C_a∗((x, y, z) − (·, ·, ·))i eklm(s, t, w)  |u(s, t, w)i = 1 2√2h n ˆ_Ca,3∗ ((x, y, z) − (s, t, w)) o |u(s, t, w)i = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,3((x, y, z) − (s, t, w))u(s, t, w)dsdtdw

(3.12) e³itli§ini integral gösterimine ba§lamak için, toplamdaki her bir terim hesaplanr:

eklm(x, y, z)∗hC|eklmi = ek(x)∗el(y)∗em(z)∗hC|eklmi

= Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

ek(x)∗el(y)∗em(z)∗C∗(s, t, w)ek(s)el(t)em(w)dsdtdw

= Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

ek(−x)el(−y)em(−z)C∗(s, t, w)ek(s)el(t)em(w)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

C∗(s, t, w)ek(s − x)el(t − y)em(w − z)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+x −1+x ˆ Ca ∗ (s, t, w)ek(s − x)ds  el(t − y)em(w − z)dtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca ∗ (s + x, t, w)ek(s)ds  el(t − y)em(w − z)dtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca ∗ (s + x, t, w)el(t − y)dt  ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+y −1+y ˆ

Ca,2∗(s + x, t, w)el(t − y)dt

 ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,2∗(s + x, t + y, w)el(t)dt  ek(s)em(w − z)dsdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,2∗(s + x, t + y, w)em(w − z)dw  ek(s)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1+z −1+z ˆ Ca,3∗(s + x, t + y, w)em(w − z)dw  ek(s)el(t)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ Ca,3∗(s + x, t + y, w + z)em(w)dw  ek(s)el(t)dsdt = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ

Ca,3∗(s + x, t + y, w + z)em(w)ek(s)el(t)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 ˆ

Ca,3∗(x − s, y − t, z − w)el(−t)ek(−s)em(−w)dsdtdw

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 el(t)∗ek(s)∗em(w)∗Cˆa,3∗(x − s, y − t, z − w)dsdtdw = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 eklm(s, t, w)∗Cˆa,3∗((x, y, z) − (s, t, w))dsdtdw = 1 2√2heklm(·, ·, ·)| ˆCa,3 ∗ ((x, y, z) − (·, ·, ·))i

C'nin x yönündeki 2 anti-periyodik geni³lemesi ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ Ca(x, y, z) = − ˆCa(x + 2, y, z), x ∈ R, y ∈ [−1, 1], z ∈ [−1, 1], ˆ Ca(x, y, z) = C(x, y, z), x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1], z ∈ [−1, 1]. ˆ

C'nin y yönündeki 2 anti-periyodik geni³lemesi x ∈ [−1, 1], y ∈ R ve z ∈ [−1, 1] için ³u ³ekilde tanmlanr:

ˆ

Ca,2(x, y, z) = − ˆCa,2(x, y + 2, z).

Ayrca, x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ [−1, 1] için a³a§daki e³itlik geçerlidir: ˆ

Ca,2(x, y, z) = ˆCa(x, y, z) = C(x, y, z). (3.13)

(3.13) e³itli§indeki ˆCa,2 de, C'nin bir geni³lemesidir. ˆCa,2'nin z yönündeki 2

anti-periyodik geni³lemesi x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ R için ³u ³ekilde tanmlanr: ˆ

Ca,3(x, y, z) = − ˆCa,3(x, y, z + 2).

Ayrca, x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] ve z ∈ [−1, 1] için ³u e³itlik gerçeklenir: ˆ

Ca,3(x, y, z) = − ˆCa,2(x, y, z) = ˆCa(x, y, z) = C(x, y, z). (3.14)

4. PROGRAMLAMA ÇN

YARDIMCI OLACAK

PERYODK GEN“LEME

HARTASI

4.1 2D Periyodik Geni³leme Haritas

(x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1] oldu§undan dolay, hesap yaplan bölge (x, y) − (s, t) ∈ [−2, 2] × [−2, 2] =: ˆI × ˆI olacaktr. Burada, ˆI× ˆI üzerinde periyodik geni³lemeyi yapabilmek için 9 adet alt bölge kullanlacaktr:

N E : x ∈ [1, 2], y ∈ [1, 2] Cˆp(x, y) := C(x − 2, y − 2) N : x ∈ [−1, 1], y ∈ [1, 2] Cˆp(x, y) := C(x, y − 2) N W : x ∈ [−2, −1], y ∈ [1, 2] Cˆp(x, y) := C(x + 2, y − 2) E : x ∈ [1, 2], y ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y) := C(x − 2, y) Ctr : x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y) := C(x, y) W : x ∈ [−2, −1], y ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y) := C(x + 2, y) SE : x ∈ [1, 2], y ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y) := C(x − 2, y + 2) S : x ∈ [−1, 1], y ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y) := C(x, y + 2) SW : x ∈ [−2, −1], y ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y) := C(x + 2, y + 2).

4.2 3D Periyodik Geni³leme Haritas

U N E : x ∈ [1, 2] y ∈ [1, 2] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y − 2, z − 2) M N E : x ∈ [1, 2] y ∈ [1, 2] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y − 2, z) LN E : x ∈ [1, 2] y ∈ [1, 2] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y − 2, z + 2) U E : x ∈ [1, 2] y ∈ [−1, 1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y, z − 2) M E : x ∈ [1, 2] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y, z) LE : x ∈ [1, 2] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y, z + 2) U SE : x ∈ [1, 2] y ∈ [−2, −1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y + 2, z − 2) M SE : x ∈ [1, 2] y ∈ [−2, −1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y + 2, z) LSE : x ∈ [1, 2] y ∈ [−2, −1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x − 2, y + 2, z + 2) U N : x ∈ [−1, 1] y ∈ [1, 2] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x, y − 2, z − 2) M N : x ∈ [−1, 1] y ∈ [1, 2] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y − 2, z) LN : x ∈ [−1, 1] y ∈ [1, 2] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y − 2, z + 2) U Ctr : x ∈ [−1, 1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x, y, z − 2) Ctr : x ∈ [−1, 1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y, z) LCtr : x ∈ [−1, 1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y, z + 2) U S : x ∈ [−1, 1] y ∈ [−2, −1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x, y + 2, z − 2) M S : x ∈ [−1, 1, y ∈ [−2, −1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y + 2, z) LS : x ∈ [−1, 1] y ∈ [−2, −1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x, y + 2, z + 2) U N W : x ∈ [−2, −1] y ∈ [1, 2] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y − 2, z − 2) M N W : x ∈ [−2, −1] y ∈ [1, 2] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y − 2, z) LN W : x ∈ [−2, −1] y ∈ [1, 2] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y − 2, z + 2) U W : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y, z − 2) M W : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y, z) LW : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−1, 1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y, z + 2) U SW : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−2, −1] z ∈ [1, 2] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y + 2, z − 2) M SW : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−2, −1] z ∈ [−1, 1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y + 2, z) LSW : x ∈ [−2, −1] y ∈ [−2, −1] z ∈ [−2, −1] Cˆp(x, y, z) = C(x + 2, y + 2, z + 2)

Burada, ˆI × ˆI × ˆI üzerinde periyodik geni³lemeyi yapabilmek için 27 adet alt bölge kullanlm³tr. (x, y, z) ∈ [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] oldu§undan dolay, hesap yaplan bölge (x, y, z) − (s, t, w) ∈ [−2, 2] × [−2, 2] × [−2, 2] =: ˆI × ˆI × ˆI olacaktr.

4.3 1D ve 2D için Periyodik ve Anti-Periyodik

Geni³leme Örne§inin Grakleri

[−1, 1]'de tanml, örnek y = 2 − x2 çekirdek fonksiyonunun gra§i a³a§da verilmi³tir:

“ekil 4.1: Çekirdek Fonksiyon

Çekirdek fonksiyonunun [-2,2] aral§na periyodik ve anti-periyodik geni³lemesi a³a§daki graklerdeki gibi olur:

(a) (b)

[−1, 1]×[−1, 1]'de tanml, örnek 2−x2_−y2çekirdek fonksiyonunun gra§i a³a§da

verilmi³tir:

“ekil 4.3: Çekirdek fonksiyon

Çekirdek fonksiyonunun periyodik geni³lemesinin gösterimi ve e³ yükselti e§risi a³a§daki gibidir (Burada periyodik geni³leme [−2, 2] × [−2, 2] aral§nda tanm-ldr):

(a)

(b)

(a)

(b)

“ekil 4.5: (a) Anti-Periyodik Geni³leme ve (b) E³ Yükselti E§risi

Benzer ³ekilde, çekirdek fonksiyonunun anti-periyodik geni³lemesinin gösterimi ve e³ yükselti e§risi yukardaki gibidir (Burada anti-periyodik geni³leme [−2, 2] × [−2, 2] aral§nda tanmldr):

5. 2D VE 3D ÇN BAST

KONVOLÜSYON

5.1 2D'de Neumann Snr Ko³ullar için Basit

Konvolüsyon

Periyodik ve Neumann snr ko³ullar için öz fonksiyonlar srasyla ³unlardr: ep_k,l = 1

2e

iπ(kx+ly)₌ 1

2(cos(π(kx + ly)) + i sin(π(kx + ly)) ve ek,l(x, y) =    1 2, k ve l = 0

cos(πk(x + 1)/2) cos(πl(y + 1)/2), k veya l 6= 0 . Kullanlacak operatör:

ANu =

−4 π2∆u

dr ve bu operatöre kar³lk gelen öz de§erler k2_{+ l}2_'dir.

k veya l ∈ N∗ için ³u durum geçerlidir:

e2k,2l = (−1)k+lcos(kπx) cos(lπy). (5.1)

Çift C ∈ L2_{(I × I), çift u ∈ L}2_{(I × I), x, y ∈ I, k veya l ∈ N}∗ _{için a³a§daki}

e³itlik sa§lanr: hep_k,l|Ci 2 = he p −k,l|Ci₂ = he p k,−l|Ci₂ = he p −k,−l|Ci₂ = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

Ayrca, yukardaki e³itlik C'nin çift olmas ve sinüs fonksiyonunun tek olmasndan sa§lanr. “imdi, hep_k,l|ui 2 = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

(cos(πkx) cos(πly))∗u(x, y)dydx

= 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

cos(πkx) cos(πly)u(x, y)dydx. (5.2) Yukarda, cosinüs fonskiyonlar reel olduklarndan yukardaki e³itlik sa§lanr. Ayrca: he2k,2l|ui₂ = Z 1 −1 Z 1 −1

(−1)k+lcos(πkx) cos(πly)u(x, y)dydx (5.3) e³itli§i, (5.1)'den ve tanmdan sa§lanr. (5.2) ve (5.3)'den a³a§daki e³itlik sa§lanr:

hep_k,l|ui

2 =

(−1)k+l

2 he2k,2l|ui2. (5.4)

k veya l 6= 0 için a³a§daki e³itlik gerçeklenir: hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂e p k,l+ he p −k,l|Ci₂he p −k,l|ui₂e p −k,l+ hep_k,−l|Ci 2he p k,−l|ui₂e p k,−l+ he p −k,−l|Ci₂he p −k,−l|ui₂e p −k,−l = hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,l+ e p −k,l+ e p k,−l+ e p −k,−l). Burada, ep_k,l+ ep_−k,l+ ep_k,−l+ ep_−k,−l = 1

2(cos(π(kx + ly)) + i sin(π(kx + ly)))

+ 1

2(cos(π(−kx + ly)) + i sin(π(−kx + ly)) + (cos(π(kx − ly)) + i sin(π(kx − ly))

+ 1

2(cos(π(−kx − ly)) + i sin(π(−kx − ly)))

= 1

2(2 cos(π(kx + ly)) + 2 cos(π(kx − ly))

= 2 cos(πkx) cos(πly). (5.5)

Yukardaki e³itlik sinüs fonksiyonunun tek olmasndan ve cosinüs fonksiyonun çift olmasndan kaynaklanr. (5.1)'den ³u sonuç elde edilir:

ep_k,l+ ep_−k,l+ ep_k,−l+ ep_−k,−l = (−1)k+l2e2k,2l. (5.6)

(5.6), (5.4) ve (5.1) e³itliklerinden ³u sonuç gerçeklenir: hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,l+ e p −k,l+ e p k,−l+ e p −k,−l) = he p k,l|Ci₂he2k,2l|ui2e2k,2l. (5.7)

“imdi, C ∗pu = X k,l∈Z hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂e p k,l = ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂e p k,l + ∞ X k,l=1 hep_k,−l|Ci 2he p k,−l|ui₂e p k,−l+ ∞ X k,l=1 hep_−k,l|Ci 2he p −k,l|ui₂e p −k,l + ∞ X k,l=1 hep_−k,−l|Ci 2he p −k,−l|ui₂e p −k,−l + hep_1,0|Ci 2he p 1,0|ui₂e p 1,0 + hep_−1,0|Ci 2he p −1,0|ui₂e p −1,0 + hep_0,−1|Ci₂hep_0,−1|ui₂ep_0,−1 + hep_0,1|Ci 2he p 0,1|ui₂e p 0,1 + hep_0,0|Ci 2he p 0,0|ui₂e p 0,0 = ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,l + e p −k,l+ e p k,−l+ e p −k,−l) + hep_1,0|Ci₂hep_1,0|ui₂(ep_1,0+ ep_−1,0) + hep_0,1|Ci 2he p 0,1|ui₂(e p 0,1+ e p 0,−1) + he p 0,0|Ci₂he p 0,0|ui₂e p 0,0 (5.8) sa§lanr. Burada, ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,l+ e p −k,l) + ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,−l+ e p −k,−l) = ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he2k,2l|ui2e2k,2l (5.9)

(5.7) e³itli§i tarafndan sa§lanr. Ayrca,

hep_1,0|Ci₂hep_1,0|ui₂(ep_1,0+ ep_−1,0) = hep_1,0|Ci₂he2,0|ui₂e2,0 (5.10)

ve hep_0,1|Ci 2he p 0,1|ui₂(e p 0,1+ e p 0,−1) = he p 0,1|Ci₂he0,2|ui₂e0,2 (5.11) e³itliklerine ula³lr. ep 0,0 = 1/2 ve e0,0 = 1/2 tanmdan geldi§inden, ep0,0 = e0,0

e³itli§i sa§lanr. Sonuç olarak, hep_0,0|Ci 2he p 0,0|ui₂e p 0,0 = he p 0,0|Ci₂he0,0|ui₂e0,0 (5.12)

sa§lanr. (5.8), (5.9), (5.10), (5.11) ve (5.12) e³itliklerinden ³u sonuca ula³lr: C ∗pu = ∞ X k,l=0 hep_k,l|Ci 2he2k,2l|ui2e2k,2l.

Çift k ve l için bir fonksiyon tanmlanr:

C ∗pu = ∞ X k,l=0 hep_k,l|Ci 2he2k,2l|ui2e2k,2l= ∞ X k,l=0 φ1(k2, l2) hek,l|ui₂ek,l.

Burada, φ1 ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde tanmlanr:

φ1(k2, l2) :=

  

0 k veyal tek ise

hep_k/2,l/2|Ci

2 k vel çift ise

ve

C ∗pPçift= φ1(AN).

Burada, ortogonal projeksiyon Pçift : L2C(I × I) → L 2

C(I × I), tüm h ∈ L 2

C(I × I)

için, ³u ³ekilde ifade edilir:

P_çifth := 1

2(h + h ◦ (−idI)). Ayrca, çift C ∈ L2_{(I × I)ve tek u ∈ L}2

C, x, y ∈ I, k,l ∈ N için: hea_k,l|Ci₂ = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 e−iπ(k+12)xe−iπ(l+ 1 2)yC(x, y)dxdy = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 cos((k +1 2)πx) cos((l + 1 2)πy)C(x, y)dxdy sa§lanr ve ³u e³itlik gerçeklenir:

hea k,l|ui₂ = − 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 sin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy)u(x, y)dxdy. (5.13) “imdi, hea −k−1,l|ui₂ = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1 sin((k +1 2)πx) sin((l + 1 2)πy)u(x, y)dxdy (5.14) sa§lanr. (5.13) ve (5.14) e³itlikleri ile benzer mantkla ³u sonuçlara ula³lr:

hea k,l|ui₂ = − he a −k−1,l|ui₂ = − heak,−l−1|ui₂ = he a −k−1,−l−1|ui₂.

Burada, a³a§daki sonuç gerçeklendi§inden dolay, e2k+1,2l+1 = (−1)k+lsin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy), (5.15) “u sonuca ula³lr:

he2k+1,2l+1|ui₂ = Z 1 −1 Z 1 −1 (−1)k+lsin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy)udxdy. (5.16) (5.16) ve (5.13) e³itliklerinden ³u sonuca ula³lr:

hea

k,l|ui₂ =

(−1)k+l+1

2 he2k+1,2l+1|ui2. (5.17)

A³a§da daha sonra kullanlacak olan dört e³itlik yazlm³tr: ea

k,l

= 1₂ (cos(π(k + 1₂)x + π(l + 1₂)y) + i sin(π(k +1₂)x + π(l +1₂)y)
, ea_k,−l−1

= 1₂ (cos(π(k +1₂)x − π(l + 1₂)y) + i sin(π(k +1₂)x − π(l + 1₂)y)
, ea

−k−1,l

= 1₂ (cos(−π(k + 1₂)x + π(l + 1₂)y) + i sin(−π(k +1₂)x + π(l +1₂)y)
, ea

−k−1,−l−1

= 1₂ (cos(π(k + 1₂)x + π(l + 1₂)y) − i sin(−π(k + 1₂)x + π(l + 1₂)y)
. Bu e³itliklerden ³u sonuca ula³lr:

ea_k,l− ea k,−l−1− e a −k−1,l+ ea−k−1,−l−1= −2 sin(π(k + 1 2)x) sin(π(l + 1 2)y). (5.18) (5.18) ve (5.17) e³itliklerinin yardmyla ve k ve l ∈ N için ³u sonuçlar gerçeklenir:

hea k,l|Ci₂he a k,l|ui₂e a k,l+ he a −k−1,l|Ci₂hea−k−1,l|ui₂ea−k−1,l + hea_k,−l−1|Ci 2he a k,−l−1|ui₂e a k,−l−1+ he a −k−1,−l−1|Ci₂hea−k−1,−l−1|ui₂ea−k−1,−l−1 = hea_k,l|Ci₂hea_k,l|ui₂(ea_k,l− ea_−k−1,l− ea_k,−l−1+ ea_{−k−1,−l−1}) = (−1)k+lhea

k,l|Ci₂he2k+1,2l+1|Ci₂sin(π(k +

1

2)x) sin(π(l + 1 2)y) = hea_k,l|Ci₂he2k+1,2l+1|Ci₂e2k+1,2l+1.

Son e³itlik (5.15)'den gelmi³tir. Sonuç olarak, C ∗au = X k,l∈Z hea_k,l|Ci₂hea_k,l|ui₂ea_k,l = ∞ X k,l=0 hea_k,l|Ci₂hea_k,l|ui₂ea_k,l + ∞ X k,l=0 hea −k−1,l|Ci₂hea−k−1,l|ui₂ea−k−1,l + ∞ X k,l=0 hea_k,−l−1|Ci₂hea_k,−l−1|ui₂ea_k,−l−1 + ∞ X k,l=0 hea −k−1,−l−1|Ci₂hea−k−1,−l−1|ui₂ea−k−1,−l−1 = ∞ X k,l=0 hea k,l|Ci₂he2k+1,2l+1|ui₂e2k+1,2l+1 = ∞ X k,l=0 φ2(k2, l2) hek,l|ui₂ek,l

gerçeklenir. Burada, φ2 ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde ifade edilir:

φ2(k2, l2) :=

  

0 k veya l çift ise

hea

(k−1)/2,(l−1)/2|Ci₂ k ve l tek ise.

Ayrca, C ∗aPtek = φ2(AN)olup, burada, ortogonal projeksiyon Ptek : L2_C(I × I) →

L2

C(I × I), tüm h ∈ L 2

C(I × I) için, ³u ³ekilde ifade edilir:

P_tek := 1

2(h − h ◦ (−idI)) .

5.2 3D'de Neumann Snr Ko³ullar için Basit

Konvolüsyon

Periyodik ve Neumann snr ko³ullar için öz fonksiyonlar srasyla ³unlardr: ep_k,l,m = 1 2√2e iπ(kx+ly+mz) = 1 2√2(cos(π(kx + ly + mz)) + i sin(π(kx + ly + mz)) ve ek,l,m(x, y, z) =    1 2√2, k, l ve m = 0

cos(πk(x + 1)/2) cos(πl(y + 1)/2) cos(πl(z + 1)/2), k, l veya m 6= 0 .

Kullanlacak operatör:

ANu =

−4 π2∆u

dr ve u operatöre kar³lk gelen öz de§erler k2_{+ l}2_{+ m}2'dir.

k, l veya m ∈ N∗ için ³u durum geçerlidir:

e2k,2l,2m = (−1)k+l+mcos(kπx) cos(lπy) cos(mπz). (5.19)

Çift C ∈ L2_{(I × I × I)}, çift u ∈ L2_{(I × I × I)}, x, y, z ∈ I, k, l veya m ∈ N∗ _için

a³a§daki e³itlik sa§lanr: hep_k,l,m|Ci 2 = he p −k,l,m|Ci₂ = he p k,−l,m|Ci₂ = he p k,l,−m|Ci₂ = he p k,−l,−m|Ci₂ = hep_−k,−l,m|Ci 2 = he p −k,l,−m|Ci₂ = he p −k,−l,−m|Ci₂ = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

cos(πkx) cos(πly) cos(πmz)C(x, y, z)dxdydz. Ayrca, yukardaki e³itlik C'nin çift olmas ve sinüs fonksiyonunun tek olmasndan sa§lanr. “imdi, hep_k,l,m|ui 2 = 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

(cos(πkx) cos(πly) cos(πmz))∗u(x, y, z)dydxdz

= 1 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

cos(πkx) cos(πly) cos(πmz)u(x, y, z)dydxdz. (5.20) Yukarda, cosinüs fonskiyonlar reel olduklarndan yukardaki e³itlik sa§lanr. Ayrca: he2k,2l,2m|ui₂ = Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1

(−1)k+l+mcos(πkx) cos(πly) cos(πmz)udV. (5.21) e³itli§i, (5.19)'den ve tanmdan sa§lanr. (5.20) ve (5.21)'den a³a§daki e³itlik sa§lanr:

hep_k,l,m|ui

2 =

(−1)k+l+m

k, l veya m 6= 0 için a³a§daki e³itlik gerçeklenir: hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂e p k,l,m+ he p −k,l,m|Ci₂he p −k,l,m|ui₂e p −k,l,m + hep_k,−l,m|Ci 2he p k,−l,m|ui₂e p k,−l,m+ he p −k,−l,m|Ci₂he p −k,−l,m|ui₂e p −k,−l,m + hep_k,l,−m|Ci 2he p k,l,−m|ui₂e p k,l,−m+ he p −k,l,−m|Ci₂he p −k,l,−m|ui₂e p −k,l,−m + hep_k,−l,−m|Ci 2he p k,−l,−m|ui₂e p k,−l,−m+ he p −k,−l,−m|Ci₂he p −k,−l,−m|ui₂e p −k,−l,−m = hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p k,l,m+ e p −k,l,m+ e p k,−l,m + ep_k,l,−m+ ep_k,−l,−m+ e_−k,l,−mp + ep_−k,−l,m+ ep_{−k,−l,−m}). (5.23) Burada, ep_k,l,m + ep_−k,l,m+ ep_k,−l,m+ ep_k,l,−m+ ep_k,−l,−m+ ep_−k,l,−m+ ep_−k,−l,m+ ep_{−k,−l,−m} = 1 2√2(cos(π(kx + ly + mz)) + i sin(π(kx + ly + mz))) + 1 2√2(cos(π(−kx + ly + mz)) + i sin(π(−kx + ly + mz))) + 1 2√2(cos(π(kx − ly + mz)) + i sin(π(kx − ly + mz))) + 1 2√2(cos(π(kx + ly − mz)) + i sin(π(kx + ly − mz))) + 1 2√2(cos(π(kx − ly − mz)) + i sin(π(kx − ly − mz))) + 1 2√2(cos(π(−kx + ly − mz)) + i sin(π(−kx + ly − mz))) + 1 2√2(cos(π(−kx − ly + mz)) + i sin(π(−kx − ly + mz))) + 1 2√2(cos(π(kx + ly + mz)) − i sin(π(kx + ly + mz))) = √2(cos(π(kx + ly)) cos(πmz) + cos(π(kx − ly)) cos(πmz)) = 2√2 cos(πkx) cos(πly) cos(πmz).

Yukardaki e³itlik sinüs fonksiyonunun tek olmasndan ve cosinüs fonksiyonun çift olmasndan kaynaklanr. (5.19)'den ³u sonuç elde edilir:

ep_k,l,m + ep_−k,l,m+ ep_k,−l,m+ ep_k,l,−m+ ep_k,−l,−m+ ep_−k,l,−m+ ep_−k,−l,m+ ep_{−k,−l,−m}

(5.24), (5.22) ve (5.23) e³itliklerinden ³u sonuç gerçeklenir: hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p k,l,m+ e p −k,l,m) + he p k,l,m|Ci₂he p k,l,m|ui₂(e p k,−l,m+ e p k,l,−m) + hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p k,−l,−m+ e p −k,l,−m) + hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p −k,−l,m+ e p −k,−l,−m) = hep_k,l,m|Ci 2he2k,2l,2m|ui2e2k,2l,2m. (5.25) “imdi, C ∗pu = X k,l,m∈Z hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂e p k,l,m= ∞ X k,l,m=1 hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂e p k,l,m + ∞ X k,l,m=1 hep_−k,l,m|Ci 2he p −k,l,m|ui₂e p −k,l,m + ∞ X k,l,m=1 hep_k,−l,m|Ci 2he p k,−l,m|ui₂e p k,−l,m + ∞ X k,l,m=1 hep_k,l,−m|Ci 2he p k,l,−m|ui₂e p k,l,−m + ∞ X k,l,m=1 hep_k,−l,−m|Ci 2he p k,−l,−m|ui₂e p k,−l,−m + ∞ X k,l,m=1 hep_−k,l,−m|Ci 2he p −k,l,−m|ui₂e p −k,l,−m + ∞ X k,l,m=1 hep_−k,−l,m|Ci 2he p −k,−l,m|ui₂e p −k,−l,m + ∞ X k,l,m=1 hep_{−k,−l,−m}|Ci 2he p −k,−l,−m|ui₂e p −k,−l,−m + hep_1,0,0|Ci₂hep_1,0,0|ui₂(ep_1,0,0+ ep−1,0,0) + he p 0,1,0|Ci₂he p 0,1,0|ui₂(e p 0,1,0+ e p 0,−1,0) + hep_0,0,1|Ci 2he p 0,0,1|ui₂(e p 0,0,1+ e p 0,0,−1) + hep_1,1,0|Ci 2he p 1,1,0|ui₂(e p 1,1,0+ e p 1,−1,0+ e p −1,1,0+ e p −1,−1,0) + hep_1,0,1|Ci₂hep_1,0,1|ui₂(ep_1,0,1+ ep_1,0,−1+ ep−1,0,1+ e p −1,0,−1) + hep_0,1,1|Ci 2he p 0,1,1|ui₂(e p 0,1,1+ e p 0,−1,1+ e p 0,1,−1+ e p 0,−1,−1) + hep_0,0,0|Ci₂hep_0,0,0|ui₂ep_0,0,0 (5.26)

sa§lanr. Burada, ∞ X k,l,m=1 hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p k,l,m+ e p −k,l,m+ e p k,−l,m+ e p k,l,−m) + ∞ X k,l,m=1 hep_k,l,m|Ci 2he p k,l,m|ui₂(e p k,−l,−m+ e p −k,l,−m+ e p −k,−l,m+ e p −k,−l,−m) = ∞ X k,l,m=1 hep_k,l,m|Ci 2he2k,2l,2m|ui2e2k,2l,2m (5.27)

(5.25) e³itli§i tarafndan sa§lanr. Ayrca, hep_1,0,0|Ci 2he p 1,0,0|ui₂(e p 1,0,0+ e p −1,0,0) = he p 1,0,0|Ci₂he2,0,0|ui₂e2,0,0, hep_0,1,0|Ci 2he p 0,1,0|ui₂(e p 0,1,0+ e p 0,−1,0) = he p 1,0,0|Ci₂he0,2,0|ui₂e0,2,0,

hep_0,0,1|Ci₂hep_0,0,1|ui₂(ep_0,0,1+ ep_0,0,−1) = hep_0,0,1|Ci₂he0,0,2|ui₂e0,0,2,

hep_1,1,0|Ci 2he p 1,1,0|ui₂(e p 1,1,0+ e p 1,−1,0+ e p −1,1,0+ e p −1,−1,0) = hep_1,1,0|Ci 2he2,2,0|ui2e2,2,0, hep_1,0,1|Ci₂hep_1,0,1|ui₂(ep_1,0,1+ ep_1,0,−1+ ep_−1,0,1 + ep_−1,0,−1) = hep_1,0,1|Ci 2he2,0,2|ui2e2,0,2 (5.28) ve

hep_0,1,1|Ci₂hep_0,1,1|ui₂(ep_0,1,1+ ep_0,1,−1+ ep_0,−1,1+ ep_0,−1,−1) = hep_0,1,1|Ci₂he0,2,2|ui₂e0,2,2

(5.29) e³itliklerine ula³lr. ep 0,0,0 = 1 2√2 ve e0,0,0 = 1 2√2 tanmdan geldi§inden, e p 0,0,0 =

e0,0,0 e³itli§i sa§lanr. Sonuç olarak,

hep_0,0,0|Ci 2he p 0,0,0|ui₂e p 0,0,0 = he p 0,0,0|Ci₂he0,0,0|ui₂e0,0,0 (5.30)

sa§lanr. (5.26), (5.27), (5.28), (5.29) ve (5.30) e³itliklerinden ³u sonuca ula³lr:

C ∗pu = ∞ X k,l,m=0 hep_k,l,m|Ci 2he2k,2l,2m|ui2e2k,2l,2m.

Çift k, l ve m için bir fonksiyon tanmlanr:

C∗pu = ∞ X k,l,m=0 hep_k,l,m|Ci 2he2k,2l,2m|ui2e2k,2l,2m = ∞ X k,l,m=0 φ(k2, l2, m2) hek,l,m|ui₂ek,l,m.

Burada, φ ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde tanmlanr:

φ(k2, l2, m2) :=   

0 k, l veya m tek ise

hep_k/2,l/2,m/2|Ci

2 k, l ve m çift ise

ve

C ∗pPçift = φ(AN).

Burada, ortogonal projeksiyon Pçift : L2C(I × I × I) → L 2

C(I × I × I), tüm h ∈

L2

C(I × I) için, ³u ³ekilde ifade edilir:

P_çifth := 1

2(h + h ◦ (−idI)). Ayrca, çift C ∈ L2_{(I × I × I)ve tek u ∈ L}2

C, x, y ve z ∈ I, k, l ve m ∈ N için: hea k,l,m|Ci₂ = 1 2√2 R1 −1 R1 −1 R1 −1e −iπ(k+1 2)xe−iπ(l+ 1 2)ye−iπ(m+ 1 2)zC(x, y, z)dxdydz = ₂√1 2 R1 −1 R1 −1 R1 −1cos((k + 1 2)πx) cos((l + 1 2)πy) cos((m + 1 2)πz)Cdxdydz

sa§lanr ve ³u e³itlik gerçeklenir: hea_k,l,m|ui₂ = − i 2√2 Z 1 −1 Z 1 −1 Z 1 −1 sin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy) sin((m + 1 2)πz)udV . (5.31) “imdi, hea −k−1,l,m|ui₂ (5.32) = i 2√2 R1 −1 R1 −1sin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy) sin((m + 1 2)πz)u(x, y, z)dxdydz.

sa§lanr. (5.31) ve (5.33) e³itlikleri ile ³u sonuçlara ula³lr: hea k,l,m|ui₂ = − he a −k−1,l,m|ui₂ = − heak,−l−1,m|ui₂ = − he a k,l,−m−1|ui₂ = − hea−k−1,−l−1,−m−1|ui₂ = hea−k−1,−l−1,m|ui₂ = hea_{−k−1,l,−m−1}|ui 2 = he a k,−l−1,−m−1|ui₂.

Burada, a³a§daki sonuç gerçeklendi§inden dolay, e2k+1,2l+1,2m+1 = (−1)k+l+msin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy) sin((m + 1 2)πz), (5.33)

³u sonuca ula³lr:

he2k+1,2l+1,2m+1|ui₂ (5.34)

=R₋₁1 R₋₁1 R₋₁1 (−1)k+l+msin((k +1₂)πx) sin((l +1₂)πy) sin((m + 1₂)πz)udxdydz. (5.35) ve (5.31) e³itliklerinden ³u sonuca ula³lr:

hea_k,l,m|ui₂ = (−1)k+l+m+1 i

2√2he2k+1,2l+1,2m+1|ui2. (5.35) “u e³itlik gerçeklenir:

ea_k,l,m − ea k,−l−1,m− e a −k−1,l,m− eak,l,−m−1− e a −k−1,−l−1,−m−1 + ea_{−k−1,−l−1,m}+ ea_{−k−1,l,−m−1}+ ea_{k,−l−1,−m−1} = −2√2i sin((k + 1 2)πx) sin((l + 1 2)πy) sin((m + 1 2)πz). (5.36) (5.36) ve (5.35) e³itliklerinin yardmyla ve k, l ve m ∈ N için ³u sonuçlar gerçeklenir: hea k,l,m|Ci₂he a k,l,m|ui₂e a k,l,m + hea_−k−1,l,m|Ci 2he a −k−1,l,m|ui₂ea−k−1,l,m + hea_k,−l−1,m|Ci₂hea_k,−l−1,m|ui₂ea_k,−l−1,m + hea_k,l,−m−1|Ci 2he a k,l,−m−1|ui₂e a k,l,−m−1 + hea_{−k−1,−l−1,m}|Ci 2he a −k−1,−l−1,m|ui₂ea−k−1,−l−1,m + hea−k−1,l,−m−1|Ci₂hea−k−1,l,−m−1|ui₂ea−k−1,l,−m−1 + hea_{k,−l−1,−m−1}|Ci 2he a k,−l−1,−m−1|ui₂e a k,−l−1,−m−1 + hea_{−k−1,−l−1,−m−1}|Ci₂hea −k−1,−l−1,−m−1|ui₂ea−k−1,−l−1,−m−1 = hea_k,l,m|Ci 2he a k,l,m|ui₂(e a k,l,m− e a −k−1,l,m− eak,−l−1,m) + hea_k,l,m|Ci 2he a k,l,m|ui₂(−e a k,l,−m−1+ e a −k−1,−l−1,m+ ea−k−1,l,−m−1) + hea_k,l,m|Ci₂hea k,l,m|ui₂(eak,−l−1,−m−1− ea−k−1,−l−1,−m−1) = hea_k,l,m|Ci 2he2k+1,2l+1,2m+1|Ci2e2k+1,2l+1,2m+1.

Son e³itlik (5.33)'den gelmi³tir. Sonuç olarak, C ∗au = X k,l,m∈Z hea k,l,m|Ci₂he a k,l,m|ui₂e a k,l,m = ∞ X k,l,m=0 hea_−k−1,l,m|Ci₂hea_−k−1,l,m|ui₂ea_−k−1,l,m + ∞ X k,l,m=0 hea k,−l−1,m|Ci₂he a k,−l−1,m|ui₂e a k,−l−1,m + ∞ X k,l,m=0 hea k,l,−m−1|Ci₂heak,l,−m−1|ui₂eak,l,−m−1 + ∞ X k,l,m=0 hea −k−1,−l−1,m|Ci₂hea−k−1,−l−1,m|ui₂ea−k−1,−l−1,m + ∞ X k,l,m=0 hea −k−1,l,−m−1|Ci₂hea−k−1,l,−m−1|ui₂ea−k−1,l,−m−1 + ∞ X k,l,m=0 hea_{k,−l−1,−m−1}|Ci₂hea_{k,−l−1,−m−1}|ui₂ea_{k,−l−1,−m−1} + ∞ X k,l,m=0 hea −k−1,−l−1,−m−1|Ci₂hea−k−1,−l−1,−m−1|ui₂ea−k−1,−l−1,−m−1 = ∞ X k,l,m=0 ψ(k2, l2, m2) hek,l,m|ui₂ek,l,m

gerçeklenir. Burada, ψ ∈ B(σ(AN), C) ³u ³ekilde ifade edilir:

ψ(k2, l2, m2) :=   

0 k, l veya m çift ise

hea

(k−1)/2,(l−1)/2,(m−1)/2|Ci₂ k, l, ve m tek ise.

Ayrca, C ∗aPtek = ψ(AN)olup, burada, ortogonal projeksiyon Ptek : L2_C(I × I ×

I) → L2

C(I × I × I), tüm h ∈ L 2

C(I × I × I) için, ³u ³ekilde ifade edilir:

Ptek :=

1

5.3 2D'de Dirichlet Snr Ko³ullar için Basit

Kon-volüsyon

Bu ksmda, basit konvolüsyonu bulma için, operatör tanmlanp, bu operatör üzerinden öz fonksiyonlar ve öz de§erler elde edilecektir. Operatör a³a§daki e³itlikte verilmi³tir:

ADu = −

4 π2∆u.

Burada, u ∈ W2

0(I × I, C) olmaktadr. AD, pür ayrk bir spektruma sahiptir ve

basit öz de§erleri vardr:

σ(AD) = {k2+ l2 : k, l ∈ N ∗_}.

Bu özde§erlere kar³lk gelen normalize edilmi³ öz fonksiyonlar, a³a§da ver-ilmi³tir: ek,l(x, y) := sin( kπ 2 (x + 1)) sin( lπ 2(y + 1)).

Di§er snr ko³ullarnda, anti-periyodik ve periyodik snr ko³ullarna denk gelen öz fonksyionlar gösterildi. Bu öz fonksiyonlar üzerinden i³lemler yaplacaktr. Dirichlet snr ko³ulu için ve k veya l ∈ N∗ _{olmak üzere a³a§daki e³itlik geçerlidir:}

e2k,2l = (−1)k+lsin(kπx) sin(lπy). (5.37)

Çift C ∈ L2_{(I × I), çift u ∈ L}2_{(I × I), xve y ∈ I, k veya l ∈ N}∗ _{için a³a§daki}

e³itlikler sa§lanr: hep_k,l|Ci 2 = he p −k,l|Ci₂ = he p k,−l|Ci₂ = he p −k,−l|Ci₂ = 1 2 Z 1 −1 Z 1 −1

cos(πkx) cos(πly)C(x, y)dydx (5.38) ve hep_k,l|ui 2 = − he p −k,l|ui₂ = − he p k,−l|ui₂ = he p −k,−l|ui₂ = (−1) k+l+1 2 he2k,2l|ui2. Sonuç olarak, k ve l ∈ N∗ _{için ³u e³itlik geçerlidir:}

(5.39), (5.37) ve (5.38) e³itliklerinden ³u sonuç elde edilir: hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂e p k,l + he p −k,l|Ci₂he p −k,l|ui₂e p −k,l + hep_k,−l|Ci 2he p k,−l|ui₂e p k,−l+ he p −k,−l|Ci₂he p −k,−l|ui₂e p −k,−l = hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂(e p k,l − e p −k,l− e p k,−l+ e p −k,−l) = −2 hep_k,l|Ci 2he p

k,l|ui₂(sin(πkx) sin(πly))

= hep_k,l|Ci 2he2k,2l|ui2e2k,2l. Sonuç olarak, C ∗pu = X k,l∈Z hep_k,l|Ci 2he p k,l|ui₂e p k,l = ∞ X k,l=1 hep_k,l|Ci 2he2k,2l|ui2e2k,2l = ∞ X k,l=1 ψ1(k2, l2) hek,l|ui₂ek,l

elde edilir. Burada, ψ1 ∈ B(σ(AD), C ³u ³ekilde ifade edilir:

ψ1(k2, l2) :=

  

0 k veya l ∈ N∗ tek ise hep_k/2,l/2|Ci

2 k ve l ∈ N

∗ _{çift ise,}

ve

C ∗pPtek = ψ1(AD).

Ayrca, çift C ∈ L2_{(I × I)}ve çift u ∈ L2

C, x, y ∈ I, k,l ∈ Niçin: hea k,l|Ci₂ = he a −k−1,l|Ci₂ = heak,−l−1|Ci₂ = he a −k−1,−l−1|Ci₂ = (−1) k+l 2 he a 2k+1,2l+1|Ci₂ hea k,l|ui₂ = he a −k−1,l|ui₂ = heak,−l−1|ui₂ = he a −k−1,−l−1|ui₂ = (−1) k+l 2 he a 2k+1,2l+1|ui₂ (5.40)