Test 12 Asal Çarpanlarına Ayırma ve Ebob - Ekok II

– 73 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 12 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – II

1.

Aralarında asal a ve b sayılarının Ebob(a, b) = 1

Ekok(a, b) = a·b dir.

a ve b sayılarının Ekok ları 372 olduğuna göre, Ekok(a, b) = a·b

372 = a·b dir.

Buna göre, verilen ifadenin paydaları eşitlenerek düzenlenirse, a b b a b 1 60 ₃₆ 60 ₃₆ ( )b $ + = + ₌

a·b = 372 değeri yerine yazılırsa

. b a b b b b olur 60 ₃₆ 372 60 ₃₆ 432 36 12 $ $ + ₌ + = = =

Denklemlerin herhangi birinde b değeri yerine yazı-lırsa, . a b a a bulunur 372 12 372 31 $ $ = = = . Cevap: B

2.

Sayılar a ve b olsun.

a ve b ardışık doğal sayılar olduğundan, Ebob(a, b) = 1

Ekok(a, b) = a·b dir.

a ve b sayılarının Ekok u ile Ebob unun toplamı 133 olduğuna göre, ( , ) ( , ) Ebob a b Ekok a b a b a b 133 1 133 132 $ $ + = + = =

olur. Çarpımları 132 olan ardışık doğal sayılar a = 11 ve b = 12 dir.

Buna göre, a + b toplamı . a b bulunur 11 12 23 + = + = Cevap: E

3.

A B A B 12 18 2 3 = = olduğundan A = 3k ve B = 2k dır. A ve B sayılarının, ( , ) . k k k Ekok A B k k d r 3 2 3 2 2 3 1 3 1 2 3 6 › $ $ = =

Ekok(A, B) nin en az olması için k = 1 alınır. ( , ) . Ekok A B k bulunur 6 6 1 6 $ = = = Cevap: A

4.

Ebob(a, b) = 3 Ebob(a, b) = 4

ifadelerinin her ikisinde de a ortak olduğundan 3 ve 4 sayılarının ortak katı yani 12 olmalıdır.

Ebob(a, b) = 3 Ebob(b, c) = 5

ifadelerinin her ikisinde de b ortak olduğundan 3 ve 5 sayılarının ortak katı yani 15 olmalıdır.

Ebob(b, c) = 5 Ebob(a, c) = 4

ifadelerinin her ikisinde de ortak olduğundan 5 ve 4 sayılarının ortak katı yani 20 olmalıdır.

Buna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri, . a b c bulunur 12 15 20 47 + + = + + = Cevap: A

– 74 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 12 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – II

5.

Bilgi:

x ve y birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, ( , )

Ekok a b ₌xm_$yn

biçiminde yazılabilir olsun. Eğer bu şekilde yazılabi-len bir Ekok verimiş ve “kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır?” sorusunun cevabı

(2·m + 1)·(2·n + 1) ile bulunur.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; ( , ) . Ekok a b dir 45 3 52_$ 1 = =

Buna göre, “kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır?” soru-sunun cevabı ( ) ( ) ( ) ( ) . m n bulunur 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 5 3 15 $ $ $ $ $ $ $ + + = + + = = Cevap: C

6.

Çözüm I: A = 2x + 1 = 5y + 4 = 6z + 5 Eşitsizliğin her tarafına 1 eklenirse,

A 1 2x 2 5y 5 6z 6 k k k 5 6 2 + = + = + = + > > >

olur. O hâlde A + 1 sayısı 2, 5 ve 6 sayılarının ortak bir katı olmalıdır.

A + 1 = Ekok(2, 5, 6)·k A + 1 = 30·k dır.

A sayısı üç basamaklı ve en küçük sayı olacağından 30 sayısının üç basamaklı olacak şekilde en küçük katı alınmalıdır.

Buna göre, k = 4 için

. A k A A A olur 1 30 1 30 4 1 120 119 $ $ + = + = + = = .

A sayısının rakamları toplamı da 119 & 1 + 1 + 9 = 11 bulunur.

Çözüm II:

A=2x+1=5y+4=6z+5

fark 1 fark 1 fark 1

Bu tür bir soruda eğer bu şekilde farklar eşit ise önce bilinmeyenlerin katsayılarının Ekok u bulunur. Daha sonra eğer özel bir şart verilmişse (üç basamaklı en küçük) Ekok un katı alınır. Aradaki fark Ekok tan çıkartılır. O hâlde,

Ekok(2, 5, 6) = 30 dur.

A sayısı üç basamaklı ve en küçük olacağından 30 sayısının 4 katı alınırsa 30·4 = 120 olur. Bulunan bu değerden aradaki fark yani 1 çıkartılırsa,

A = 120 – 1 = 119 olur.

A sayısının rakamları toplamı da 119 & 1 + 1 + 9 = 11 bulunur.

Cevap: D

7.

Çözüm I:

Özgür’ün bilyelerinin sayısı x olsun.

Özgür bilyelerini beşer beşer, altışar altışar ve yedi-şer yediyedi-şer saydığında her seferinde 2 bilyesi arttı-ğına göre, x x x 2 2 2 5 6 7 a b c – – – x = 5a + 2 = 6b + 2 = 7c + 2 dir. Eşitliğin her tarafından 2 çıkarılırsa,

. x 2 5a 6b 7c dir k k k 6 7 5 - = = = 6 6 6

O hâlde x – 2 sayısı 5, 6 ve 7 sayılarının ortak bir katı olmalıdır.

x – 2 = Ekok(5, 6, 7) x – 2 = 210

x = 212 olur.

Özgür’ün bilyelerinin sayısı en az olduğundan 212 dir. Buna göre, bilye sayısının rakamları toplamı da 212 & 2 + 1 + 2 = 5 bulunur.

– 75 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 12 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – II

Çözüm II:

x=5a+2=6b+2=7c+2

Bu tür bir soruda eğer bu şekilde kalanlar eşit ise önce bilinmeyenlerin katsayılarının Ekok u bulunur. Daha sonra eğer özel bir şart verilmişse Ekok un katları alınarak uygun hâle getirilir. Kalan sayı Ekok a eklenir.

Eğer özel bir şart verilmemişse kalan Ekok a eklenir. O hâlde,

Ekok(5, 6, 7) = 210 dur.

Özel bir şart verilmediğinden kalan yani 2 Ekok a eklenirse,

x = 210 + 2 = 212 olur.

Buna göre, bilye sayısının rakamları toplamı da 212 & 2 + 1 + 2 = 5 bulunur.

Cevap: B

8.

Bilgi:

• Eğer soruda “EŞİT, EŞ, ÖZDEŞ” kelimeleri geçi-yorsa Ebob bulunur.

• Bu tür sorularda pratik çözüm yapmak için veri-len sayılar ortak böveri-lenlerine bölünür. Sayıların ortak böleni kalmayınca çizgi çekilir. Daha sonra çizginin altında kalan sayılar toplanarak sonuca ulaşılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Soruda özdeş şişelere geçtiğinden sayıların Ebob u bulunur. Çizginin altında kalan sayılar toplanarak şişe sayısı bulunur. 36 4 45 5 + + = 63 7 9 16 şişe bulunur.

Her şişenin maliyeti 2 TL olduğuna göre, şişeleme işleminin maliyeti en az,

16·2 = 32 TL bulunur.

Cevap: E

9.

Soruda eş parçalara ifadesi geçtiği için Ebob bulunur. Daha sonra da kalan sayılar toplanarak elde edilecek parça sayısı bulunur.

Ancak soruda kesim sayısı istendiğinden kesim sayı-sı her tahta için

Kesim sayısı = Parça sayısı – 1

formülü ile bulunur. O hâlde, 120 12 4 3 –1 –16 –1 5 + + + + = = 17 parça

14 kesim ile elde edilir. 7

6

18 21 3

180 210 10

. . .

Her kesim 5 saniye sürdüğüne göre, kesim işlemi toplam

14·5 = 70 saniyede biter.

Cevap: D

10.

Soruda eşit aralıklarla geçtiği için Ebob bulunur. 36 3 + = 48 4 12 7 ağaç

Ancak burada dikkat edilecek nokta dikdörtgenin her kenarından 2 tane olmasıdır. Dolayısıyla bulunan değer 2 ile çarpılmalıdır. O hâlde, dikilecek ağaç sayısı en az

7·2 = 14 tanedir.

Her ağaç 2,5 TL olduğuna göre, bu iş için en az 14·2,5 = 35 TL gerekir.

Cevap: D

11.

Bilgi:

Ebob bulunacak sorularda eğer soruda dikdörtgen,

kare, dikdörtgenler prizması ve küp ifadelerinden

2 tanesi geçiyorsa Ebob bulunduktan sonra kalan sayılar çarpılır.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Soruda dikdörtgen ve eşit büyüklükte kare parsel-ler geçtiği için Ebob bulunduktan sonra kalan sayılar çarpılır. 42 84 7 · = 48 96 8 6 2

56 kare elde edilir.

– 76 –

www

.krakademi.com

MATEMATİK

Test 12 Çözümler

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA VE

EBOB – EKOK – II

12.

Bilgi:

Parça verilip bütün istendiğinde Ekok bulunur. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Oluşturulacak küpün bir kenarı x olsun.

Gerekli olan tuğla sayısı en az olacağından oluşturu-lacak küpün en küçük olması gerekir. O hâlde küpün bir kenarı 6, 8 ve 10 sayılarının en küçük katı yani Ekok u olmalıdır. 6 3 3 3 1 8 4 2 10 5 5 5 5 1 2 2 2 3 5 1

Bu durumda oluşturulacak küpün bir kenarı x = 120 m dir. . Tu la say s K k hacim B y k hacim Tu lan n hacmi K p n hacmi bulunur 6 8 10 120 120 120 3600 € › › üçü ü ü € › ü ü 20 15 12 $ $ $ $ = = = = Cevap: D

13.

Bilgi:

Zaman kavramı (gün, ay, yıl, saniye, dakika, saat) geçen sorularda sayıların Ekok u alınır. Bulunan Ekok bir sonraki karşılaşmaya kadar geçen süreye eşittir. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Vapurların tekrar beraber hareket etmeleri için vapur-ların kalkış sürelerinin Ekok u bulunmalıdır. O hâlde,

5 1 2 2 2 3 5 15 15 15 15 5 1 24 12 6 3 1 30 15 15 15 Ekok(15, 24, 30) = 120 dir.

Buna göre, bu üç vapur 120 dakika sonra ikinci kez beraber hareket edeceklerdir.

İkinci kez birlikte hareket ettikleri sürede birinci vapur, 120

120 0

15

8 sefer yapmış olur. –

Soru kökünde üç vapur birlikte hareket ettikten sonra dediği için ilk sefer de hesaba katılır. Yani 1. vapur toplam,

8 + 1 = 9 sefer yapmış olur.

Cevap: D

14.

Bilgi:

Rasyonel sayıların Ekok u , , ( , , ) ( , , ) Ekok b a d c f e Ebob b d f Ekok a c e = e o

formülü ile bulunur.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; , , ( , , ) ( , , ) . Ekok Ebob Ekok dir 3 2 4 3 5 4 3 4 5 2 3 4 1 12 12 = = = e o

O hâlde bu üç lamba 12 dakika sonra tekrar birlikte yanar. Beşinci kez birlikte yanmaları sorulduğu için sonucu 5 ile çarpmamız gerekirmiş gibi durmasına rağmen 4 ile çarpılır. Çünkü ilk kez birlikte yandık-tan sonra dendiği için o birinci kez yandıkları andır. Beşinci sorulduğu için 4 kez daha birlikte yanacaklar-dır. Yani 5. kez 12·4 = 48 dakika sonra yanar. 1. kez saat 18.19 da yandığına göre, 5. kez

18.19 + 48 = 19.07 birlikte yanarlar.