T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PENTADİAGONAL BİR MATRİSİN POZİTİF TAMSAYI KUVVETLERİNİN
HESAPLANMASI İrem GÜRSES YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÖZET Yüksek Lisans Tezi
PENTADİAGONAL BİR MATRİSİN POZİTİF TAMSAYI KUVVETLERİNİN HESAPLANMASI
İrem GÜRSES
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2010, 77 Sayfa
Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Doç. Dr. Aşır GENÇ
Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA
Bu çalışmada bazı simetrik pentadiagonal matrislerin l∈ olmak üzere -inci
kuvvetleri hesaplanmıştır. Matrislerin karakteristik denklemlerinin ya eşit
olduğunu göstermek için Jonas Rimas tarafından ve determinantları
tanımlanmıştır. Bizde bu çalışmadan hareketle yı yani matrislerin
karakteristik denklemlerini köklerini bildiğimiz Chebyshev polinomları cinsinden ifade ederek matrislerin öz değer ve öz vektörlerini formülüze ettik. Böylece
matrislerin Jordan formu yi, dönüşüm matrisini ve bunun tersi matrisini
elde ettik. Son olarak benzerlik dönüşümünü kullanarak matrislerin
kuvvetini hesapladık.
ANAHTAR KELİMELER: Pentadiagonal matrisler, Chebyshev polinomları,
Jordan formu, Öz değer, Öz vektör.
l
( )
' n D −λ( )
n D α ∆n( )
α( )
' n D −λ ' JT
1 T− 1 l l C =TJ T−ABSTRACT M. Sc. Thesis
ON COMPUTING POSITIVE INTEGER POWERS FOR ONE TYPE PENTADIAGONAL MATRIX
İrem GÜRSES
Selçuk University
Graduate School of Natural andAppliedScience Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2010, 77 Page
Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Assoc. Dr. Aşır GENÇ
Asist. Prof. Dr. Necati TAŞKARA
In this study, the th (l∈ )power of some symmetric pentadiagonal matrices are
calculated. In order to show characteristic equations of these matrices equal to
, and determinants which is defined by Jonas Rimas. In the
light of this study, we have formulated the . Namely, characteristic equations
of these matrices, eigenvalues and eigenvectors as expressed in terms of Chebyshev
polynomial. In this way, we obtained Jordan form of these matrices ,
transformation matrix and inverse of matrix : . Finally, we calculated the
power of matrices by using the similarity transformation.
KEY WORDS: Pentadiagonal matrices, Chebyshev polynomial, Jordan form,
Eigenvalues, Eigenvectors. l
( )
n D −λ Dn( )α ∆n( )
α( )
n D −λ JT
T
1 T− 1 l l C =TJ T−ÖNSÖZ
Bu tez çalışması Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi, Prof. Dr. Durmuş BOZKURT danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.
Bu çalışma matris teoride önemli bir yer oluşturan pentadiagonal matrislerin kuvvetlerinin hesaplanması üzerine hazırlanmıştır. Birinci bölümde pentadiagonal matrislerin kuvvetlerinin ve genel olarak matris kuvvetlerinin matris teorideki öneminden söz edildi. İkinci bölümde bu alanda yapılan kaynak araştırmasına yer verildi. Üçüncü bölümde tridiagonal matrisler ile ilgili tanım ve teoremlere yer verildi. Dördüncü bölümde benzer matrisler ile ilgili tanım ve teoremlere yer verildi. Beşinci bölümde Chebyshevpolinomlarından bahsedildi. Altıncı bölümde fark denklemleri ile ilgili tanımlar verildi. Son bölümde ise bazı simetrik pentadiagonal matrislerin kuvvetleri ile ilgili elde edilen sonuçlar teorem olarak verildi.
Çalışma konusunu bana vererek yol gösteren, yardım ve desteklerini eksik etmeyen saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr. Durmuş BOZKURT’a çok teşekkür ederim.
İrem GÜRSES Konya,2010
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ……… 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI………. 2 3. TEMEL KAVRAMLAR………. 5 3.1. Üçlübant Matrisler………. 5 3.2. Benzer Matrisler……… 7
3.3. Jordan Kanonik Formu………. 9
3.4. ChebyshevPolinomları……….. 11
3.4.1. Trigonometrik Tanım ve Rekürans Bağıntıları………... 11
3.4.2. Birinci Tür ChebyshevPolinomu……….. 11
3.4.3. İkinci Tür ChebyshevPolinomu………... 13
3.4.4. ChebyshevPolinomları Arasındaki İlişkiler………. 14
3.5. . Fark Denklemleri………... 15
3.6. . Bir Fark Denkleminde Keyfi Sabitlerin Yok Edilmesi ………... 16
3.7. . Homojen Fark Denklemlerinin Çözümü……….. 18
4. . PENTADİAGONAL MATRİSLER……….. 20
4.1. Pentadiagonal Matrislerin Kuvvetlerinin Hesaplanması……... 20
4.2. Kuvvet Formülüzasyonu İçin Maple Prosedürü………... 57
4.3. C Matrisinin Negatif Kuvvetleri ve Determinantı………. 58
4.4. Nümerik Örnekler……… 59
5. SONUÇ VE ÖNERİLER……… 69
1. GİRİŞ
Matematik disiplinleri içerisinde en zengin branşlardan biri olan matris teori; uygulamalı matematik, bilgisayar bilimleri, ekonomi, mühendislik ve istatistik gibi bilim dallarında geniş bir uygulama alanına sahiptir.
Matris teorisinde bazı özel matrislerin kuvvetlerinin hesaplanması eskiden beri üzerinde çalışılan konulardan biridir. Tridiagonal, antitridiagonal, pentadiagonal ve antipentadiagonal matrislerin kuvvetlerinin hesaplanması matris teorisinin uygulandığı birçok konuda bize kolaylık sağlamaktadır. Zira bazı simetrik
pentadiagonal matrislerin özdeğer ve özvektörleri köklerini bildiğimiz
Chebyshevpolinomları cinsinden ifade edilebilmektedir. Bu sayede
dönüşüm formülü yardımıyla matrisin herhangi bir pozitif tamsayı kuvveti hesaplanmaktadır.
Diferansiyel, kısmi diferansiyel, fark denklemleri ve gecikmeli fark denklemlerinin çözümünde simetrik pentadiagonal matrislerin kuvvetlerine ihtiyaç duyulmaktadır. JonasRimas bu alanda önemli akademik çalışmalar gerçekleştirmiştir. Bizde bu çalışmada özel olarak seçtiğimiz bazı simetrik pentadiagonal matrislerin kuvvetlerinin hesaplanması üzerine formülüzasyonlar geliştirdik. BununlailgiliMaple prosedürü oluşturduk.
1
l l
2. KAYNAK ARAŞTIRMASI
AhmedDrissAiatHadj ve MohamedElouafi (2008), Maple, Mathematica, Matlap
ve Macsyma programlarını kullanarak pentadiagonal matrislerin karakteristik polinomlarınıözvektörlerini ve determinantlarını en genel ifade ile vermişlerdir.
MohamedElouafi ve AhmedDrissAiatHadj (2008), tridiagonal matrislerin
özayrışımlarını vererek tridiagonal matrislerin kuvvetlerini ve terslerini
türetmişlerdir. Sonuç olarak da tridiagonal matrislerin tersleri ve kuvvetleri üzerine rekürans bağıntıları vermişlerdir.
TomohiroSogabe (2008), periodikpentadiagonal matris sistemlerinin çözümünde
ayrışımına dayalı yeni bir algoritma geliştirmiştir.
WenchangChu ve XiaoyuanWang (2008), Sylvester tipindeki tridiagonal
matrislerin özvektörleri tanımlamıştır ve bu matrislerin Krawtchoukpolinomları, dualHahnpolinomları, Racahpolinomları ve q-Racahpolinomları ile arasındaki rekürans bağıntılarını vermiştir.
C.M. da Fonseca (2007), bazı simetrik tridiagonal matrislerin özdeğerlerini
genelleştirmiştir.
Ilse C.F. Ipsent (1997), Kompleks elemanlı karesel bir matrisin özvektörlerini ters
iterasyon metoduyla hesaplayarak vermiştir.
A. Melman (2000), reel simetrik Toeplitz matrisinin özdeğerlerinin hesaplanmasında
yeni sonuçlar vermiştir.
TomohiroSogabe (2008), DETGTRI algoritması ile pentadiagonal matrislerin
determinantlarının hesaplanmasında yeni bir algoritma vermiştir.
DevadattaKulkarni, DarrellSchmidt ve Sze-KaiTsui (1999), bazı tridiagonal
matrislerinözdeğerlerini vermişlerdir.
C.M. da Fonseca (2006), ortogonalpolinomları kullanarak bazı tridiagonal
matrislerin özdeğerleri ile ilgili sonuçlar vermiştir.
JonasRimas (2006), n=2 (p p∈N)mertebeli ters simetrik sirkülant matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir.
JesusGutierrez-Gutierrez (2008),n n× ,n∈N,tridiag a a an( ,1 0, )1 olmak üzere hermityentridiagonal matrisin, pozitif tamsayı kuvvetlerini vermiştir.
JonasRimas (2008), n=2 (p p∈N)mertebeli simetrikpentadiagonal matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir.
JonasRimas (2008), n=2p+1 (p∈N)mertebeli simetrikpentadiagonal matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir.
JonasRimas (2007), özel olarakseçilmişbir tridiagonal matrisin tamsayı kuvvetlerini 1, 2, k k n k n
β
= = ≠ olmak üzere( )
2 1 2 1 1 2 2 , , 1, 2 2 n l k k ij k k i j k q lβ λ
T −λ
T −λ
i j n = = = ∑
olarak vermiştir. Buradaλk seçilen matrisin özdeğerleri ve T xk
( )
birinci tür Chebyshevpolinomudur.QingxiangYin (2008), özel olarak seçilmiş anti-tridiagonal matrisin kuvvetlerini
vermiştir.
Moawwad E.A. El-Mikkawy (2008), n-inci mertebeden bir pentadiagonal matrisin determinantlarını vermiştir.
Mohammed H. Koulaei ve FaezehToutounian (2007), blok tridiagonal ve blok
pentadiagonal matrislerin tersleri ile ilgili yaklaşım metodları vermiştir.
Emrah Kılıç ve Moawwad E.A. El-Mikkawy (2008), n
mertebelipentadiagonalToeplitz determinantını vermiştir.
C.P. Katti ve Rama Kumari (2005), Ax=d formundaki pentadiagonal lineer sistemler ile ilgili algoritma vermiştir.
JonasRimas (2005), n=2 (p p∈N)mertebelitridiagonal matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir. Matrisin özdeğerlerini, özvektörlerini, Jordan formunu, dönüşüm matrisini ve onun tersini vermiştir.
JonasRimas (2005), n=2 (p p∈N)mertebeli simetrik tridiagonal matrisin
, 2
l∈N l≥ olmak üzere l-inci kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir.
JonasRimas (2007), esas köşegen elemanları ve komşu köşegen elemanları
olan tridiagonal matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerini hesaplamıştır.
JonasRimas (2005), n=2 (p p∈N p, ≥2)mertebeli bir tridiagonal matrisin
, 2
l∈N l≥ olmak üzere l-inci kuvvetlerini
0, 1 1, 1 j j j
α
= ≠ = | ve 0, 1 1 , 1 2 1, 1 ij i p i ve j n i ve j n = = ≠ = ≠ ≠ olmak üzere( )
( )
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 , , 1, 2 2 j j n l i j l k k ij ij k n k i j k q l pλ λ
α Uλ
U αλ
i j n − + + − − − − − − − + = = + − = ∑
olarak vermiştir. Buradaλk seçilen matrisin özdeğerleri ve Uk
( )
x ikinci tür Chebyshevpolinomudur.JonasRimas (2007), esas köşegen elemanları ve komşu köşegen
elemanları olan tridiagonal matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerini
hesaplamıştır.
JonasRimas (2005), n=2 (p p∈N p, ≥2)mertebeli simetriksirkülant matrisin pozitif tamsayı kuvvetlerinin en genel ifadesini vermiştir.
1,0,0,
K
,0,1
1,1,1,
K
,1
3. TEMEL KAVRAMLAR
3.1.Üçlübant Matrisler
Tanım 3.1.1.(Zhang1961) -kare matris olsun. iken
olan matrisine tridiagonal matris denir. Tridiagonal matrisi
(3.1)
şeklinde açık olarak yazabiliriz.
Teorem 3.1. Şimdi Zhang’ın (1961) ileride kullanacağımız aşağıdaki
teoremini ispatı ile birlikte verelim:
(3.1) deki gibi bir tridiagonal matris olsun.
olmak üzere;
dir.
İspat. i ilk satıra göre açarsak ;
(3.2) , n A n i− >j 1 aij =0 n A ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 1 0 0 n n n n n n a b c a b c a b A c a b c a − − − = O O O n A 2 2 4 4 2 2 a a bc a a bc ve
α
= + −β
= − −(
)(
)
(
)
(
)
2 1 1 2 , 0 , det 1 / 2 , 4 , / , 4 , n n n n n a bc ise A n a a bc ise a bc ise α + β + α β = = + = − − ≠ ' n A 1 2rekürans bağıntısını elde ederiz(Zhang 1961). Açıkça görülmektedirki; ise
ya ya da olur. Dolayısıyla da (3.1) gereği dir. Şayet
ise ve , denkleminin köküdür. Bu durumda:
olur. Buradan;
elde ederiz. (3.2) eşitliğinden;
ve
elde edilir.
ve olarak tanımlayalım. Böylece;
olur.
için basit bir hesaplama yaparsak;
olur. Dolayısıyla;
dir. Yani;
dir. Yukarıdaki ikieşitlikde ’i elde etmek için yerine yazarsak;
0 bc= 0 b= c=0 det n n A =a bc≠0
α
β 2 0 x − + =ax b , a bc α β+ = αβ =(
)
2 2 4 a − bc= α β−(
)
1 1 2detAn−
α
detAn− =β
detAn− −α
detAn−(
)
1 1 2
detAn−
β
detAn− =α
detAn− −β
detAn−1 det det n n n f = A −α A− gn =detAn−βdetAn−1 1, 1 n n n n f =β f − g =αg − 2 n= 2 2 2 , 2 f =β g =α , n n n n f =β g =α 1 1
detAn−αdetAn− =βn, detAn−βdetAn− =αn
1 n A+ n n+1 1 1 det , n n n A
α
β
eğerα β
iseα β
+ − + = ≠ −olur ve tümevarım hipotezi gereği son olarak ise;
dir. Bu da, ispatı tamamlar.
3.2. Benzer Matrisler
Tanım 3.2.1. (Bozkurt, Türen veSolak 2005) olacak şekilde
terslenebilir bir matrisi var ise matrisi matrisine benzerdir denir.
Eğer , ye benzerse, bu takdirde de ya benzer ve her iki matris
kare ve aynı mertebede olmalıdır.
Benzer matrislerin karakteristik denklemleri aynıdır ve dolayısıyla özdeğerleri ve izleri de aynıdır.
Eğer , nın özdeğerine karşılık gelen özvektörü ise ve
sağlanıyorsa, o zaman , nin aynı özdeğerine karşılık gelen özvektörüdür.
Şimdi sırasıyla bu tanımları teorem olarak ifade edip ispatlarını verelim:
Teorem 3.2.1.(Bozkurt, Türen ve Solak 2005)Aherhangi bir n-kare matris
olsun. matrisi özdeğerlerine karşılık
denklemini sağlayan şeklinde n tane lineer bağımsız özvektöre sahip
olsun. , olsun. Bu durumda veya dir. α β=
(
)
det 1 2 n n a A = +n 1 A=S BS− SA
B
A
B
'
B
'
A
'
X
A
'
λ
1 A=S BS− Y =SXB
A
λi (1≤ ≤i n) (A−λiI x) i =0, xi ≠0 1, 2, 3, , n x x x K x 1 2 3 [ n] S= x x x Kx 1 2 1 2 3 0 ( , , , , ) 0 n n köşλ
λ
λ λ λ
λ
λ
Λ = = K O 1 S AS− = Λ A= ΛS S−1İspat. için
olduğundan, matrisi ile matrisi çarpılırsa;
elde edilir. matrisinin sütun vektörleri lineer bağımsız olduğundan
olup, vardır. Bu durumda elde edilen
eşitliği soldan ile çarpılırsa
sağdan ile çarpılırsa da
elde edilir.
Teorem 3.2.2.(Bozkurt, Türen ve Solak 2005) köşegenleştirilebilen bir kare matris ise herhangi bir pozitif ktamsayısı için
dir.
İspat. köşegenleştirilebilir olduğundan
olacak şekilde düzgün matrisi vardır. k tane matrisini çarpım şeklinde
yazarsak; 1 i≤ ≤n i i i Ax =λx
A
S 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 [ ] [ ] [ ] n n n n AS A x x x x Ax Ax Ax Ax x x x x Sλ λ λ
λ
= = = = Λ K K K S detS ≠0 1 S− AS= ΛS 1 S− 1 ; S AS− = Λ 1 S− 1 A= ΛS S−A
1 k k A = ΛS S−A
1 A= ΛS S− S 1 S SΛ − 1 1 1 1 tane ( )( )( ) ( ) k k A = ΛS S− S SΛ − S SΛ − K S SΛ − 144444424444443olur. Matrislerde çarpma işlemi birleşme özelliğine sahip olduğundan;
şeklinde yazılabilir.
olduğundan sonuç olarak
elde edilir.
Teorem 3.3.3.(Bozkurt, Türen ve Solak 2005) n tane lineer bağımsız
özvektörüolmayan birn-kare matris ve ; matrisinin özdeğerleri
olsun. Bu takdirde köşegen elemanları matrisinin özdeğerleri olan bir üst
üçgen matris olmak üzere
olacak şekilde düzgün bir matrisi vardır.
Sonuç 3.2.1.(Bozkurt, Türen ve Solak 2005) Herhangi bir n-kare matrisin
benzerlik dönüşümü ile köşegenleştirilmesi için gerek ve yeter şart matrisin n tane lineer bağımsız özvektöre sahip olmasıdır.
3.3. Jordan Kanonik Formu
Tanım 3.3.1(Bozkurt, Türen ve Solak 2005) Esas köşegen elemanlarının
hepsi birbirine eşit, ilk üst köşegen elemanlarının hepsi 1’e eşit ve diğer bütün elemanları sıfır olan bir kare matrise Jordan Blok matrisi (veya Jordan bloğu) denir.
Yani, 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k A = ΛS S S− Λ S S− K S S− Λ S S− ΛS− 1 S S− =I 1 k k A = ΛS S−
A
1, 2, 3, , n λ λ λ K λA
UA
1 S AS− =U S(3.5)
şeklindeki matris bir Jordan bloğudur.
Teorem 3.3.1. (Bozkurt, Türen ve Solak 2005) A matrisi (3.5) ifadesi ile
tanımlanan bir matris olsun. J matrislerinin hepsinin esas köşegen elemanlarının
tümü olacak şekilde Jordan blokları olmak üzere
olacak şekilde düzgün bir matrisi vardır. , nın lineer bağımsız
özvektörlerinin sayısı ve alt matrislerinin en büyük boyutlusunun mertebesi,
nilpotent matrisinin nilpotentlik indeksine eşittir.
Teorem 3.3.2.(Serre 2001) , ninelemanter bir böleni ise, nin
ikinci kanonik formunda, nin matris elemanı Jordan bloğu ile
değiştirilebilir.
Sonuç 3.3.1.(Serre 2001) Eğer ninkarakterisitikpolinomu üzerinden
açılırsa; , blok- köşegen matrise benzer ve bu matris -inci köşegen bloğudur
yani jordan bloğudur. Bu form tektir ve bloğun derecesine kadardır.
Sonuç 3.3.2. (Serre 2001) Eğer matematiksel olarak kapalı ise örneğin
ise karesel matrisi blok- köşegen matrise benzer. Bu matris -inci
blok- köşegen matrisidir. Bu form tektir ve derecesi blokların derecesi kadardır.
3.4.ChebyshevPolinomları 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 J
λ
λ
λ
λ
= K K K M M M M K Kλ
1 2 1 0 0 0 0 0 0 r J J P AP J − = K K M M M K P r A' i J I Aλ
− (X −a)rM
'
M
'
'
M
J a r( ; )'
M
kM
j ( ; )j j J a r k k =cM
j J a r( ; )j jChebyshevpolinomları özellikle nümerik analizde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Polinom yaklaşımları, ortogonalpolinomlar, nümerik integrasyon ve kısmi diferansiyel denklemler için spektral metodların elde edilmesi gibi pekçok konuda kolay çözüm yolu sunmaktadır.
3.4.1. Trigonometrik tanım ve reküransbağıntıları
Dört türlü Chebyshevpolinomu vardır. Birinci tür Chebyshevpolinomu olan en çok kullanılan ve tercih edilendir. Sırasıyla ikinci tür Chebyshevpolinomu
, 3. ve 4. tür Chebyshevpolinomları da (Jacobipolinomu olarak da bilinen)
ve dir.
3.4.2. Birinci tür Chebyshevpolinomları
Tanım 3.4.1. (Mason veHandscomb 2003)
(3.6)
rekürans bağıntısıyla verilen polinomuna birinci tür Chebyshevpolinomu denir.
Moivre’s Teoreminin bir sonucu olarak;
basit formülüzasyonunu elde edilir ve (3.6) gereği birinci tür Chebyshevpolinomunu:
şeklinde elde edilir. Yine (3.6) tanımı gereği ( ) n T x ( ) n U x ( ) n V x W xn( ) ( ) cos , cos n T x = nθ x= θ ( ) n T x 2 3 4 2
cos 0 1, cos1 cos , cos 2 2 cos 1,
cos3 4cos 3cos , cos 4 8cos 8cos 1,
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
= = = − = − = − + K 2 3 0 1 2 3 4 2 4 ( ) 1, ( ) , ( ) 2 1, ( ) 4 3 , ( ) 8 8 1, T x T x x T x x T x x x T x x x = = = − = − = − + K0( ) 1, 1( )
T x = T x =x
başlangıç şartları ve olmak üzere;
rekürans bağıntısı elde edilir. -inci mertebeden birinci tür Chebyshevpolinomunun
kökleri aralığında olup;
şeklindedir. Aynı zamanda polinomunu
şeklindeki n-kare üçlübant matrisinin determinantı olarak ifade edilir. Ayrıca, birinci
tür Chebyshevpolinomu
rekürans bağıntılarını da sağlamaktadır.
3.4.3. İkinci tür Chebyshevpolinomu 2 n≥ 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n T x = xT− x −T− x n
[ ]
−1,1 (2 1) cos , 1, 2 k k x k n nπ
− = = ( ) n T x 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 x x x x x O(
) (
)
( )(
)
2 2 /2 2 2 2 0 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 2 ( ) 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 2sin n n n n k n n k n k k n n k T x x x x x T x x x x T x n x k nπ
− = − = = + − + − − = − − = + − + ∑
∏
Tanım 3.4.2.(Mason veHandscomb 2003) olmak üzere;
biçiminde tanımlanan -inci dereceden polinomaikinci tür Chebyshevpolinomu
denir. polinomunda olduğu gibi Moivre’s Teoreminin bir sonucu olarak;
trigonometrik ilişkisi yazılabilir ve bunun bir sonucu olarak da polinomununterimleri arasındaki ilişkiyi elde edilir. Şimdi ilk 5 polinomu:
şeklinde verebiliriz. -inci mertebeden ikinci tür Chebyshevpolinomunun kökleri
aralığında yer almaktadır ve
şeklindedir. Başlangıç değer şartları
ve olmak üzere;
rekürans bağıntısını sağlayan ikinci tür Chebyshevpolinomu
cos x=
θ
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
sin 1 sin 1 arccos
( )
sin sin arccos
n n n x U x x θ θ + + = = n ( ) n T x
(
2)
3sin1 sin , sin 2 2 sin cos , sin 3 sin 4 cos 1 ,
sin 4 sin (8 cos 4 cos ),
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = − = − K ( ) n U x 2 0 1 2 3 4 2 3 4 5 4 2 5 ( ) 1, ( ) 2 , ( ) 4 1, ( ) 8 4 , ( ) 16 12 1, ( ) 32 80 24 1 U x U x x U x x U x x x U x x x U x x x x = = = − = − = − + = − + − n
[ ]
−1,1(
)
cos , 1, 1 k k x k n nπ
= = +( )
( )
0 1 1 2 U x U x x = = 2 n≥( )
( )
1 2 ( ) 2 n n n U x = xU − x −U − xşeklindeki -kare üçlü bant matrisinin determinantı olarak da verilir. olmak üzere;
dir.
3.4.4.ChebyshevPolinomları Arasındaki İlişkiler
ve polinomları arasındaki geçişi pekçokformülüzasyonla
sağlayabiliriz. Bunlar; olarak verilebilir. 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 x x x x x O n cos x=
θ
( )
(
) (
)
( )
( )(
)
1 1 2 2 2 /2 1 2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 1 n n n n k n n k n k k x x x x U x x U x x x + + + − + = + − − − − = − =∑
− ( ) n T x U xn( )( )
( ) (
) ( )
( )
( )
(
( )
( )
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2 2 1 1 1 , 1 , 1 1 , 2 1 , n n n n n n n n n n n n n n d T x nU dx n T x xU x d U x dx x T x U x U x T x xT x x U x T x U x xU x − + − + − − = + − = − = − = − − = −3.5.Fark Denklemleri
3.5.1. Tanım (Agarwal 1992) fonksiyonu yardımıyla birinci
mertebeden bir fark denklemi
ifadesiyle tanımlanır. Benzer şekilde -inci mertebeden fark denklemi
(3.7) ifadesiyle tanımlanır.
Bir fark denkleminin mertebesi; nin en büyük indisi ile en küçük indisi
arasındaki farka eşittir. Fark denkleminin mertebesi ile homojen fark denkleminin çözümünden gelecek olan sabitlerin sayısı aynıdır. Dolayısıyla (3.7) ifadesiyle tanımlanan fark denkleminin mertebesi
olarak elde edilir.
olmak üzere;
(3.8)
şeklindeki birinci mertebeden fark denklemini göz önüne alalım. Bu fark
denkleminde fonksiyonu lineer (doğrusal) ise fark denklemine lineer fark
denklemi denir. fonksiyonu lineer değil ise ya da (3.8) eşitliğinin sol tarafı lineerliği bozulacak katsayılarla çarpılıyorsa bu şekildeki fark denklemine lineer
olmayan fark denklemi denir. Yukarıda verilen birinci mertebeden fark
denkleminde ise fark denklemine homojen fark denklemi , eğer
ise homojen olmayan fark denklemi denir. : f →
(
, n, n 1)
0 f n y y + = m(
, n, n 1, , n m)
0 f n y y + K y+ = ' y(
n m+)
− =n m a∈( )
1 n n y+ +ay = f n( )
f n"
"
f n( )
"
"
( )
0 f n ="
"
( )
0 f n ≠"
"
Homojen lineer fark denklemi
olarak ifade edilir. Basit iterasyon metoduyla
eşitlikleri elde edilir. Aynı zamanda
dir. Bir fark denkleminin çözülebilmesi için mertebesi kadar başlangıç şartına ihtiyaç vardır.
3.6. Bir Fark Denkleminde Keyfi Sabitlerin Yok Edilmesi
Çözümü verilen bir fark denklemini bulma işlemine bir fark denkleminde keyfi sabitlerin yok edilmesi adı verilir. Çözümü verilen bir ifadede sabitlerin yok edilebilmesi için sabit sayısı kadar denkleme ihtiyaç vardır.
Örnek 3.6.1. çözümüne ait fark denklemini bulunuz.
bulunan sabit değeri fark denkleminde yerine yazılırsa;
(
1) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 x n+ =a n x n x n =x n≥ ≥n(
) ( ) ( ) ( )
(
) (
) (
) (
) ( )
(
) (
) (
) (
) (
) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 3 2 2 2 1 x n a n x n a n x x n a n x n a n x a n x x n a n x n a n a n a n x + = = + = + + = + + = + + = + +( ) (
)
(
) (
) ( )
( )
0 0 0 0 0 1 0 1 2 n i n x n x n n n a n a n a n x a i x − = = + − = − − = ∏
K 2 4n n y =cn(
)
(
)
2 1 1 1 2 1 1 4 1 4 n n n n y c n y c n + + + + = + = +elde edilir.
Örnek 3.6.2. çözümüne ait fark denklemini bulunuz.
buradan sırasıyla
ve
elde edilir. Bulunan bu ifadeleri fark denkleminde yerine yazılırsa;
son olarak
fark denklemini elde ederiz.
(
)
(
)
1 2 1 2 2 1 1 4 4 1 n n n n n y y n n y n y + + + = + = + 12 23 n n n y =c +c 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 9 3 n n n n n n n n n n y c c c c y c c c c + + + + + + = + = + = + = + 2 1 2 2 1 2 2 3 3 2 3 3 n n n n n n y y c y y c + + + + − = − = 2 1 1 1 2 1 3 2 2 3 2 2 n n n n n n y y c y y c + + + + − = − − = 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 2 3 5 6 6 5 n n n n n n n n n n y y y y y y y y y y + + + + + + + + − − = + − = = − 2 5 1 6 0 n n n y + − y + + y =3.7. Homojen Fark Denklemlerinin Çözümü
-ıncı mertebeden
(3.9) homojen fark denklemini ele alalım. Bu denklemde
alınarak ' ya bağlı bir denklem elde edilir. Daha sonra bu denklemin kökleri
olarak bulunur. Bulunan kökler eğer ise (6.1) fark
denkleminin çözümü ;
şeklindedir.
Eğer bu köklerin bazılar birbirine eşitse; örneğin olması halinde fark denkleminin çözümü;
şeklindedir. Verilen iki durumun bir arada olması halinde ise örneğin tek katlı,
tek katlı, ise fark denkleminin çözümü;
olarak elde edilir.
Örnek 3.7.1. fark denkleminin çözümünü bulunuz.
denkleminin kökleri;
olup buradan fark denkleminin çözümü ;
k 1 n k 2 n k 1 k 1 n 0, ( ,1 2, , k 1 R) a y + +a y + − + +L a +y = a a K a + ∈ 0 1 1 2 2 , , , , n n n k n k y y y y α α α α + + + = = = = M
α
1, 2, , k α α Kα α α1≠ 2 ≠K≠αk(
c c1, ,2 K,ck sabit olmak üzere)
( )
( )
( )
1 1 2 2 n n n n k k y =c α +c α + +L c α 1 2, α α= α α3 = 4 =α5, 6 7 8 9, α α= =α α= K(
)( )
(
2)
( )
(
3 2)
( )
1 2 1 3 4 5 3 6 7 8 9 6 n n n n y = c n c+α
+ c n +c n c+α
+ c n +c n +c n c+α
+L 1 α 2 3, 4 5 6, α =α α =α α= α7( ) (
)( )
(
2)
( )
( )
1 1 2 3 2 4 5 6 4 7 7 n n n n n y =cα
+ c n c+α
+ c n +c n c+α
+cα
+L 2 5 1 6 0 n n n y + − y+ + y = 3 3 2 0 α − α+ = 1 2 1, 3 2 α α= = α = −(
1 2)( )
1 3( )
2 n n n y = c n+c +c −4. PENTADİAGONAL MATRİSLER
Tanım 4.1.(El-Mikkawy ve Rahmo 2009) Her i− >j 2 iken pij=0 olan;
şeklindeki matrisinepentadiagonal matris denir.
4.1.Pentadiagonal Matrislerin Kuvvetlerinin Hesaplanması
Adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümü, sınır değer problemleri, interpolasyon problemi gibi pekçok alanda pentadiagonal matrislere ve bu matrislerin kuvvetlerinin hesaplanmasına ihtiyaç duyulmaktadır. Şimdi bu konu ile ilgili bizim elde ettiğimiz sonuçları teorem olarak verelim.
Teorem 4.1.1. ve olmak üzere
(4.1)
simetrik pentadiagonal matrisin -inci kuvveti ise;
1 , ( ij) i j n P= p ≤ ≤ 2 1 n= p+ p∈ 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 C − − − = − − − − − O O O O O ( ) l l∈ l=2s (s∈ ) 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n c d e b c d e a b P a e d e a b c d a b c − − − − − − − − − = L L O M O O O O M O O O M O O O O M O L L
ve
olmak üzere;
şeklindedir. Şayet ise;
olmak üzere
( )
( )
( ) ( )
1 2 2, 1 1 1 1, 1 1 1 0, n i j i j ij diğer durumlarda α − + − − = − = − = − = − = − ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3, 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 2, 1 1 1 1 0, n i j n i j ij n i j diğer durumlarda β − + + − − = − = − = − − − = − = − = − = − = − = − = 2 2 4 , 1,3,5, , 3 4 , 2, 4, 6, , 1 1 k k k k n n t k n nλ
λ
− = + = − = − + K K( )
( )
1 l l ij C =TJ T− =Q l =q l( )
( )
(
)
2 1 ( 1) 1 1 1 2 2 4 ( ) 2 2 2 2 , 1 2 2 2 2 0, 1 1 , 1, i j l ij i j ise n ij ij k ij k ij l qij l k t k Ui Uj ij ij ij ij k i j i j n ise α α β λ α λ α λ α α α α + + − + + − × − = − − − − − ∑ = × − − + − + − = + − = − = 2 1 ( ) l= s+ s∈ 1, 4 , 1, i j p p r diğer durumlarda − + = ∈ = ( )
(
( )
)
1 l l ij C =TJ T− =Q l =r q ldir.
İspat. -inci mertebeden matrisinin karakteristik denklemi
(4.2)
biçimindedir. Burada , -inci mertebeden birim matristir.
JonasRimas’ınpentadiagonal matrisler üzerine yapmış olduğu çalışmalarda
tanımladığı gibi (Rimas 2008) olmak üzere;
(4.3)
ve
determinantlarını kullanalım. Açıkça görülmektedir ki;
( )
( )
(
)
2 1 ( 1) 1 1 1 2 2 4 ( ) 2 2 2 2 , 1 2 2 2 2 0, 1 1 , 1, i j l ij i j ise n ij ij k ij k ij l qij l k t k Ui Uj ij ij ij ij k i j i j n ise α α β λ α λ α λ α α α α + + − + + − × − = − − − − − ∑ = × − − + − + − = + − = − = n C 0 C−λ
E =E
nα
∈( )
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 n D α α α α α α α α α − − − = − − − − − O O O O O( )
1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 nα
α
α
α
α
α
∆ = O( )
n C−λ
E =D −λ
dir.
(4.4)
elde ederiz. Benzer metotla ’yı ilk satıra göre açarsak;
(4.5)
olur. (4.4) ile verilen fark denklemini çözelim,
olmak üzere;
fark denklemi elde edilir. Bu denklem çözülürse;
elde edilir. Başlangıç değerleri yukarıda yerine yazıldığında
2 1 1 2 1 2 1 2 , r r c c r r r r α − −α = =
− − olur. Daha sonra 'de yerlerine yazılırsa;
(
)
2 3 1 2 3 4 2 1 2 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2, , 1 n n nα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
∆ ∆ − − ∆ = ∆ = ∆ = = − ∆ = = − ∆ = ∆ − ∆ ∆ = − ∆ = ∆ = 123 14243 M( )
n Dα
( )
1( )
1( )
2 2 n n n Dα
= ∆ −α
∆ +α
0( )α 1, ∆ = ∆1( )α =α, 2 2( )α α 2 ∆ = − 1 2 ( ) ( ) ( ) n α α n− α n− α ∆ = ∆ − ∆ 2 2 1 2 4 4 , 2 2 r =α
+α
− r =α
−α
−( )
( )
1 1 2 2 n n n c r c r ⇒∆ = +(
∆ = ∆ =0 1, 1α
)
n ∆ c1, c r r2, ,1 2elde edilir. İkinci tür Chebyshevpolinomu tanım gereği,
olduğunu biliyoruz (Mason ve Handscomb 2003). Şimdi bu eşitlikte z yerine
2 α
yazılırsa:
olup fark denkleminin çözümü
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 4 4 4 4 2 2 2 4 2 4 4 4 1 2 4 n n n n n nα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+ + + + − + − − − − − ∆ = − − − + − − − − = −(
) (
)
(
)
1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 1 n n n z z z z U z z + + + − − − − = −( )
(
)
(
( )
)
( )
(
)
( )
(
) (
)
( )
(
)
(
) (
)
(
)
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
( )
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 4 4 1 2 4 4 4 1 1 2 2 4 4 4 1 2 4 4 4 1 2 4 ( ) 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U α α α α αα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
+ + + + + + + + + + + + + ∆ + − − − − = − + + − − + = + + + − − + = + + + − − + = + + + − − + = + = ∆ 14444444244444443(4.6)
şeklinde ikinci tür Chebyshevpolinomuna bağlı olarak elde edilir. Böylece (4.5) ve (4.6)’dan
(4.7)
eşitliğini elde ederiz. İkinci tür Chebyshevpolinomunun tanımından;
olup, bu polinomun köklerinin hepsi aralığında olduğundan;
(4.8)
biçimindedir. (4.2), (4.7) ve (4.8)’ den ninözdeğerlerini;
olarak elde ederiz. Görüldüğü gibi özdeğerlerin katlılığı birdir ve dolayısıyla da matrisin Jordan formunda herbirözdeğer bir tek Jordan hücresine karşılık gelir. Yani,
’nin Jordan formu
biçimindedir. Jordan kanonik formu tanımı gereği;
( )
2 n Un α α ∆ = ( )
1 1 2 2 2 2 n n n Dα
=U − α
U + α
( )
sin(
1 arccos)
, 1 1 sin arccos n n x U x x x + = − ≤ ≤[ ]
−1,1 cos , 1, 2, , 1 nk k x k n n π = + = K C(
1)
2 cos , 1,3,5, , 3 2 cos , 2, 4, 6, , 1 1 k k k n n k k n n π λ π + − = + = − = − + K K C 1 2 3 0 0 n Jλ
λ
λ
λ
= O 1 J =T CT−dir. ’yikendisiyle kere çarparsak;
elde edilir. Son ifadeyi sırasıyla sağdan ve soldan ile çarparsak;
benzerlik dönüşümünü elde ederiz. Son olarak özvektörlerin oluşturduğu ve
matrislerini oluşturalım. Bunun için determinantı olarak tanımladığımız
matrisin eşolon formunu elde etmemiz yeterli olacaktır. Bunun sonucunda;
(4.9)
olup (4.9) lineer sistemini çözersek için , nin sütunu olmak üzere
(
)
(
)
1 3 5 0 2 2 2 3 5 7 0 2 2 2 0 0 0 0 , 1,3,5, , 2 2 2 2 0 0 0 0 , 2,4,6, , 1 2 2 2 2 T j j j j j n j n j n j j T j j j j n n n e U e U e U e U j n T U U U U j nλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − = = = − K K K Kelde ederiz. Burada Chebyshevpolinomunun alt indisi ’ye göre
belirlenir.
(
)
1, 0, 2 3 mod 4 1, 1 (mod 4) j k veya e k ≡ = − ≡ Buna göre; J l 1 1 1 1 kere kere 1 l l l l JJJ J T CTT CTT CT T CT J T C T − − − − − = = K K 14243 1444442444443 1 T−T
1 l l C =TJ T−T
1 T− ( ) n D −λ(
1, 2, 3,) (
1, 2, 3, ,)
( 1, ) n n j j j CT TJ CT CT CT CT T T T T CT T j n λ λ λ λ λ = = = = K K 4 1 n= p+ TjT
'
j. , j e Uk( )
x kolarak elde edilir. Eğer ise;
(
)
(
)
1 3 5 7 0 2 2 2 2 3 5 7 0 2 2 2 0 0 0 0 0 , 1,3,5, , 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 , 2,4,6, , 1 2 2 2 2 T j j j j j n n n n j T j j j j j n j n j n j U U U U U j n T a U a U a U a U j nλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − − = = = − K K K Ksütun vektörlerini elde ederiz. Burada herbir katsayısı satır indisine göre
belirlenir. Eğer satır indisi ise , diğer durumlarda ise
dir. Benzer şekilde dönüşüm matrisi:
1 3 1 1 1 2 2 2 2 4 1 3 3 3 2 2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 4 1 5 5 5 2 2 2 5 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U U U U U T
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − = K K K K 1 3 5 5 2 2 2 4 1 7 7 7 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 4 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 2 2 n n n n n n n n n n U U U U U U U U U U U U U Uλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − − − K K M M M M M M K K K 1 1 3 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 n Uλ
Uλ
Uλ
− − − K 4 3 n= p+ j a(
)
0 mod 4 j≡ aj = −1 aj =1T
olur. olsun. , için in sütun vektörlerini;
şeklinde elde ederiz. Her sütun elemanlarında yer alan katsayısı sütun indisine
göre belirlenir. Buna göre;
ve 1 3 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 5 5 2 2 1 3 5 5 5 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n U U U U U U U U U U U U U T
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − − − − − − − − − − − − = K K K K K 2 1 7 7 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 n n n n n n n U U U U U U U U U U U Uλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
− − − − − − − K M M M M M K K K K (
)
1 1, 2, 3, , n T− =ϕ ϕ ϕ
Kϕ
n=4p+1 p∈ T−1' 3 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 6 1 2 4 2 4 6 1 2 2 2 2 3 5 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2 5 2 2 2 2 4 2 6 2 1 2 1 2 3 2 5 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) , 1,5,9, , 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 , 2, 4, 6, , 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) n j j j j n j j j j j j j j j j j n j n c t U c t U c t U c t U j n t U t U t U t U j n t U t U t U λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ϕ − − − − − − − − − − − − − = = = − K K K K 1 2 2 0 0 ( ) ,n 3, 7,11... 2 j n t U − λ j n = − K j ϕ cj(
)
1, 1 mod 4 1 j j c diğer durumlarda − ≡ = olur. Buradan ;
olarak elde edilir. için ’yi oluşturup ’ i oluşturalım.
olur. Burada sütun vektör indisine göre belirlenir.
2 2 4 , 1,3, , 3 4 , 2, 4, , 1 1 k k k k n n t k n n
λ
λ
− = + = − = − + K K 1 T− 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 3 2 1 2 3 3 3 1 3 0 2 4 4 4 3 4 1 2 5 5 5 1 5 0 2 1 6 6 6 3 6 1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 n n n n n n t U t U t U t U t U t U t U t U t U t U T t U t U λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − = K K K K K K 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 1 1 3 1 1 2 1 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n t U t U t U t U t U t U t U t U λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − − − − − − − − M M M M K K K K (
)
4 3, n= p+ p∈ ϕj 1 T− ( ) 1 3 5 2 1 1 3 1 5 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 6 1 2 2 4 2 6 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 , 1,3,5, , 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 , 2, 6, , 2 2 2 2 n n j j j n j n j n j j j j n j t U t U t U t U t U j n t U t U t U t U j n λ λ λ λ λ λ λ λ λ ϕ − − − − − − − − − − − − − = = = K K K ( K ) ( ) 2 4 6 1 2 2 4 2 6 2 1 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 , 4,8,12, , 3 2 2 2 2 n j j j j j j j n j d t U − λ d t U− λ d t U − λ d t U− − λ− j n − = − K K j dolmak üzere için matrisi;
olarak elde edilir. Buradan;
dönüşüm formülünde bulduğumuz değerleri yazarak, kuvveti formülüze edebiliriz.
Eğer ise;
(
)
1, 0 mod 4 1, j j d diğer durumlarda − ≡ = (
)
4 3 n= p+ p∈ 1 T− 1 1 1 0 5 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 0 2 7 2 1 0 2 2 2 2 2 3 3 3 0 5 0 0 3 1 3 3 0 2 2 2 2 2 4 4 4 0 4 3 0 4 7 4 1 2 2 2 2 2 1 t Un t Un t U t Un t Un t U t Un t Un t U t Un t Un t U T λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − = K K K K 0 5 5 5 0 0 0 5 1 5 5 5 0 2 2 2 2 2 6 6 6 0 6 3 0 6 7 6 1 0 2 2 2 2 2 3 3 3 0 3 3 0 3 7 3 1 0 2 2 2 2 2 2 0 5 2 1 2 2 2 2 t Un t Un t U t Un t Un t U n n n tn Un tn Un tn U n tn Un tn U n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − K K M M M M M M K 2 0 0 2 2 0 2 2 1 1 1 0 1 3 0 1 7 1 1 0 2 2 2 2 2 0 5 0 0 1 0 2 2 2 2 2 n t U n n n n n tn Un tn Un tn U n n n t Un n t Un n t Un λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − − − − − − − − K K K 1 ( ) ( ( )) l l ij C =TJ T− =Q l =r q l 2 ( ) l= s s∈( )
( )
( ) ( )
1 2 2, 1 1 1 1, 1 1 1 0, n i j i j ij diğer durumlarda α − + − − = − = − = − = − = − ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3, 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 2, 1 1 1 1 0, n i j n i j ij n i j diğer durumlarda β − + + − − = − = − = − − − = − = − = − = − = − = − = ve olmak üzere;
( )
( )
( )
( )
(
)
1 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 , 1 1 2 2 0, 1 1 , 1, ij ij ij ij ij ij ij ij ij n i j k k l l i j k k i j k ij i j t U U ise q l i j n ise α β α α α α α α α λ λ λ − − − + − − + − + − − + − + − = + + − − = = − = − = ∑
biçimindedir. için; olmak üzere;( )
( )
( )
( )
(
)
1 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 , 1 1 2 2 0, 1 1 , 1, ij ij ij ij ij ij ij ij ij n i j k k l l i j k k i j k ij i j t U U ise q l i j n ise α β α α α α α α α λ λ λ − − − + − − + − + − − + − + − = + + − − = = − = − = ∑
olarak elde edilir.
Teorem 4.1.2. olmak üzere; 2 2 4 , 1,3,5, , 3 4 , 2, 4, 6, , 1 1 k k k k n n t k n n
λ
λ
− = + = − = − + K K( )
( )
1 l l ij C =TJ T− =Q l =q l 2 1 ( ) l= s+ s∈ 1, 4 , 1, i j p p r diğer durumlarda − + = ∈ = ( )
(
( )
)
1 l l ij C =TJ T− =Q l =r q l(
)
4 n= p p∈biçiminde tipinde simetrik pentadiagonal bir matrisin pozitif tamsayı kuvvetleri şeklindeki ve için; olmak üzere; şeklindedir. ve için; 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 C − − − − − = − − − − − O O O O O n n×
