Çok-bileşenli sinyallerin analizi için destek bölge uyarlamalı hermite-gauss açılımı

(1)

C

¸ OK-B˙ILES¸ENL˙I S˙INYALLER˙IN ANAL˙IZ˙I ˙IC

¸ ˙IN DESTEK B ¨

OLGE

UYARLAMALI HERM˙ITE-GAUSS AC

¸ ILIMI

SUPPORT ADAPTIVE HERMITE-GAUSSIAN EXPANSION FOR

ANALYSIS OF MULTI-COMPONENT SIGNALS

Yas¸ar Kemal Alp, Orhan Arıkan, Umut ¨

Ozertem

Elektrik ve Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü, Bilkent ¨

Universitesi, Bilkent, Ankara

Yahoo! Inc. Santa Clara, California, ABD

{ykemal,oarikan}@ee.bilkent.edu.tr, umut@yahoo-inc.com

¨

OZETC

¸ E

Zaman-frekans destek bölgesi orijin etrafında dairesel bir alana uyan bir sinyal biles¸eni için, Hermite-Gauss açılımı en az sayıda taban fonsiyonu kullanarak en iyi temsili olus¸turur. Ancak, orijinden uzakta ve dairesel olmayan zaman-frekans destek noklarına sahip sinyal biles¸enleri için Hermite-Gauss açılımının direk uygulanması, çok fazla sayıda Hermite-Gauss fonksiyonunun kullanımını gerektirir. Bu da, e˘ger ölçüm sinyali gürültü altında kaydedilmis¸se ya da birçok sinyal biles¸eni içeriyorsa, bas¸arısız biles¸en kestirimlerine neden olur. Bu prob-lemi çözmek için sinyal biles¸enlerinin destek bölgelerini bulup, zaman-frekans düzleminde orijin civarında, dairesel bir bölg-eye oturtan ve bu sayede en az sayıda Hermite-Gauss fonksiy-onu kullanarak sinyal biles¸enlerini bas¸arılı bir s¸ekilde ke-stiren, tamamen otomatikles¸tirilmis¸ bir önis¸leme yöntemi öner-mekteyiz. Önis¸lemenin ardından, kestirilen biles¸enlere ters dönüs¸ümler uygulanarak destek bölgeleri eski yerlerine tas¸ınır.

ABSTRACT

For a signal component whose time-frequency support tightly fits into a circular region around origin, Hermite-Gaussian func-tion expansion provides optimal representafunc-tion by using the fewest number of basis functions. However, for signal com-ponents which have non-circular time-frequency supports away from the origin, straight forward expansions require excessively large number of Hermite-Gaussians which result in unreliable component estimates especially when the available observation is noisy or includes multiple components. To alleviate this prob-lem, we propose a fully automated pre-processing technique which identifies and transforms supports of individual signal components to a circular region centered around origin so that the fewest number of Hermite-Gaussians can be used for obtain-ing reliable component estimates. Then, estimated components are post-processed to transform their supports back to their orig-inal positions.

1. G˙IR˙IS¸

Zaman-frekans destek bölgesi tıkız, çok-biles¸enli sinyaller radar, sonar, sismik, ses ve biyomedikal sinyal is¸leme uygula-malarında sıkça görülmektedir. Bu tarz sinyallerin biles¸enlerine

ayrıs¸tırılması önemli bir sinyal is¸leme uygulamasıdır [1]. Genelles¸tirilmis¸ zaman-bantgenis¸li˘gi çarpımı 1 civarında olan sinyaller için, dalgacık ve chirplet dönüs¸ümleri gelis¸tirilmis¸tir. Bu çalıs¸mada, biles¸enleri büyük zaman-bantgenis¸li˘gi çarpımına sahip çok-biles¸enli sinyallerin analizi için yeni bir yöntem öner-mekteyiz.

¨

Onerilen yöntem uyarlamalı Hermite-Gauss açılımını kul-lanarak herbir sinyal biles¸eninin kestirimini yapmaktadır. Hermite-Gauss fonksiyonları sonlu enerjili sinyaller için bir-imdik küme olus¸turmaktadır [2]. Bu fonksiyonlarının zaman-frekans düzleminde en iyi lokalizasyon özellikleri sinyal is¸leme açısından çok önemlidir. Zaman-frekans düzleminde orijin merkezli dairesel bir destek alanı için, Hermite-Gauss fonksiy-onları en yüksek enerji konsantrasyonunu sa˘glamaktadır. Bun-dan dolayı, destek bölgesi orijin merkezli dairesel bir yapıya sahip olan sinyal biles¸enleri için Hermite-Gauss açılımı en iyi temsili olus¸turmaktadır. Fakat, destek bölgesi orijinden uzakta ve dairesel olmayan bir sinyal için, Hermte-Gauss açılımı çok sayıda taban fonksiyonunun kullanımını gerektirdi˘gi için en uy-gun temsili olus¸turmaz.

Bu çalıs¸mada, sinyal biles¸enlerinin zaman-frekans destek bölgelerini orijin civarında, dairesel bir alana oturtan uyarla-malı bir önis¸leme tekni˘gi önermekteyiz. Bu is¸lemin sonunda olus¸an sinyallerin Hermite-Gauss taban vektörleri üzerine izdüs¸ümü alınarak biles¸enler kestirilmektedir. Elde edilen ke-stirimlere ters dönüs¸ümler uygulanarak, destek bölgeleri eski konumlarına tas¸ınmaktadır.

2. Bölümde Hermite-Gauss fonksiyonlarının genel özellik-lerinden kısaca bahsedilmis¸tir. Önerilen destek bölge uyarla-malı Hermite-Gauss açılımı 3. Bölümde anlatılmıs¸tır. 4. Bölümde çok-biles¸enli sinyallerin önerilen yöntem ile anal-izi detaylandırılmıs¸tır. 5. Bölüm ise sonuçlar için ayrılmıs¸tır. Makale boyunca aksi belirtilmedi˘gi sürece integrallerin (−∞, ∞) aralı˘gında hesaplandı˘gı varsayılacaktır. Koyu renkli karakterler vektörleri belirtecektir.

2. HERMITE-GAUSS FONKS˙IYONLARI

Hermite-Gauss fonksiyonları as¸a˘gıdaki differansiyel denklemin çözüm kümesini olus¸turmaktadır:

f00(t) + 4π2 „ 2n + 1 2π − t 2 « f (t) = 0 . (1) 2011 IEEE 19th Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2011)

(2)

(a)

(c)

(b)

(d)

S¸ekil 1: Hermite-Gauss fonksiyonları: (a) h0(t); (b) h1(t); (c) h2(t); (d) h3(t);

Derecesi n. olan Hermite-Gauss fonsiyonu hn(t) ile n. derece

Hermite polinom Hn(t) arasında

hn(t) = 2 1/4 √ 2n_n!Hn( √ 2πt)e−πt2 (2) ilis¸kisi vardır. Burada Hn(t) ¨ozyineli olarak tanımlıdır:

H0(t) = 1 , (3)

H1(t) = 2t , (4)

Hn+1(t) = 2tHn(t) − 2nHn−1(t) . (5)

Benzer s¸ekilde, Hermite-Gauss fonsiyonları da özyineli olarak hesaplanabilir. ˙Ilk dört Hermite-Gauss fonksiyonu S¸ekil-1de gösterilmis¸tir. Bu fonksiyonların iki özelli˘gi sinyal is¸leme açısından çok önemlidir. Birincisi, bu fonksiyonlar sonlu en-erjili sinyaller için birim dikküme olus¸turmaktadır. Yani her-hangi bir sonlu enerjili, her [−τ, τ ] aralı˘gında sürekli f (t) sinyali f (t) = P∞

n=0αnhn(t) olarak ac¸ılabilir. Ac¸ılım

kat-sayıları αn =

R

hn(t)f (t)dt ile bulunur. ˙Ikincisi,

Hermite-Gauss fonksiyonları Fourier dönüs¸ümünün özuzaylarını geren taban vektörleridirler: F{hn(t)} = λnhn(t). Burada F,

Fourier dönüs¸ümünü belirtmekte ve λn = e−jπn/2 ise

dönüs¸ümün n. özde˘geridir. Benzer s¸ekilde, Hermite-Gauss fonsiyonları kesirsel Fourier dönüs¸ümünün de özvektörleridir: Fa_{h

n(t)} = e−j

π

2anh_n(t). Fa is¸leci a. dereceden kesirsel

Fourier dönüs¸ümünü belirtmektedir. Hermite-Gauss fonksiy-onlarının kesirsel Fourier dönüs¸ümleri kedilerinin bir faz faktörleriyle çarpımına es¸ittir. Bu bakımdan, bu fonksiyon-lar zaman-frekans düzleminde dairesel desktek alanına sahip-tirler. Bu durumu göstermek içim Sekil-2’de 0., 5., 15. ve 45. Hermite-Gauss fonksiyonlarının Winer-Ville da˘gılımı gösterilmis¸tir.

3. DESTEK B ¨

OLGE UYARLAMALI

HERM˙ITE-GAUSS AC

¸ ILIMI

Hermite-Gauss fonksiyonları, zaman-frekans destek bölgeleri orijin merkezli dairesel yapıya sahip sinyallerde, istenilen tem-sil hatasına en küçük temtem-sil derecesi ile ulas¸an fonksiyonlardır. Hermite-Gauss açılımı çok-biles¸enli sinyallerde, biles¸enlerin ayıklanmasında ve gürültüden arındırılmasında kullanılabilir. Çok-biles¸enli ve gürültü altında kaydedilmis¸ bir sinyal

d¨us¸¨une-(a)

(c)

(b)

(d)

S¸ekil 2: (a) h0(t); (b) h5(t); (c) h15(t); (d) h45(t)’nin

Wigner-Ville da˘gılımları. lim:

x(t) = s1(t) + s2(t) + ... + sK(t) + n(t) . (6)

Burada, sk(t), k = 1, 2, ..K zaman-frekans destek b¨olgeleri

birbiriyle ¨ort¨us¸meyen ve tıkız olan, sonlu enerjili sinyal biles¸enleri olsun. ¨Orne˘gin, k. biles¸en sk(t)’yi kestirmek

isti-yoruz. E˘ger sk(t)’nin destek b¨olgesi orijin merkezli dairesel

bir alan ise, bu biles¸en ˜sk(t) =

PN_k

n=0αk,nhn(t) ile

kestir-ilebilir. Buradaki ac¸ılım katsayıları αk,n =

R

hhx(t)dt ile

bu-lunur. Mecvut ölçüm sinyali çok-biles¸enli ve gürültülü oldu˘gu için temsil derecesi Nk beklenen kestirim hatası E{ksk(t) −

˜

sk(t)k2}’yi en küçük yapacak s¸ekilde seçilmelidir.

Bahsedilen gürültüden arındırma ve biles¸en ayıklama uygu-lamasında, sonucun en iyi olması için sinyal biles¸eninin destek bölgesinin orijin merkezli dairesel bir yapıya sahip ol-ması gerekmektedir. Ancak günlük hayattaki hemen hemen hiçbir sinyalin zaman-frekans destek bölgesi bu yapıda de˘gidir. Bu problemi çözmek için mevcut ölçüm sinyaline uygula-narak, biles¸enlerin destek bölgelerini bu yapıya benzeten bir dizi dönüs¸üm önermekteyiz. Bu dönüs¸ümler sırasıyla 1)anlık frekans kaydırma, 2)zamanda öteleme ve 3)ölçekleme olup as¸a˘gıda detaylandırımıs¸tır. Bu dönüs¸ümlerin uygulanabilmesi için biles¸enlerin anlık frekansı, zaman merkezi ve en uy-gun ölçekleme de˘geri kestirilmelidir. E˘ger sinyal biles¸enleri bilinseydi, bu parametreler do˘grudan hesaplanabilirdi. Ancak elimizde sadece gözlem sinyali oldu˘gu için bu parametreler, biles¸elerin zaman-frekans da˘gılımları üzerinden kestirilmelidir. Bütün biles¸enlerin zaman-frekans destek bölgelerinin ötrüs¸meyen tıkız adacıklar oldu˘gu varsayıldı˘gı için, her biles¸enin frekans da˘gılımı ölçüm sinyalinin zaman-frekans da˘gılımı üzerinde çalıs¸tırılan bir bölütleme algoritması ile kestirilebilir. Biz bu çalıs¸mada Chan-Vese bölütleme al-goritmasını kullandık [3]. Biles¸enlerin zaman-frekans destek bölgelerinin do˘gru tespit edilebilmesi için kullanılan zaman-frekans da˘gılımının çapraz terimler içermeyen do˘grusal bir dönüs¸üm olması gerekmektedir. Bunun için en uygun da˘gılım kısa zamanlı Fourier dönüs¸ümünüdür(KZFD). Tx_{(t, f ) ölçüm}

sinyalinin KZFD’si, Mk_{(t, f ) ise k. biles¸en için bölütleme}

al-goritmasının olus¸turdu˘gu zaman-frekans maskesi olsun. Bu du-rumda ˜Tk_{(t, f ) = T}x_{(t, f ) × M}

k(t, f ), k. biles¸enin KZFD’si

içn makul bir kestirim olur. Önerilen dönüs¸ümler için gerekli olan parametreler ˜Tk_{(t, f ) üzerinden kestirilecektir.}

2011 IEEE 19th Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2011)

(3)

z f R0 z f z f z f R 1 a) b) c) d)

S¸ekil 3: Önerilen dönüs¸ümlerin tek-biles¸enli bir sinyalin zaman-frekans destek bölgesi üzerindeki etkisi: (a)Tek-biles¸enli sinyalin zaman-frekans destek bölgesi; Bu bölgenin (b)anlık-frekans kaydırma; (c)zamanda öteleme; (d)ölçekleme sonun-daki s¸ekli.

3.1. Anlık-Frekans Kaydırma

(6)’da verilen çok-biles¸enli sinyal modelini düs¸ünelim. k. sinyal biles¸eninin anlık frekansı

˜ fk(t) = R f |Tk_{(t, f )|}2_dt R | ˜Tk_{(t, f )|}2_df . (7)

ile kestirilir. Burada ˜Tk_{(t, f ), s}

k’nin KZFD kestirimidir.

Bu biles¸enin anlık frekansı her zaman anı için 0Hz’e kaydırılacaktır. k. biles¸en için anlık frekansı kaydırılan ölçüm sinyali:

xk

0(t) = xk0(t) exp{−j2πφk(t)} (8)

ile hesaplanır. Burada φk_{(t) k. biles¸enin anlık fazı olup}

φk_{(t) =}Rt −∞f

k_{(τ )dτ ile tanımlıdır.}

3.2. Zamanda ¨Oteleme

Anlık frekansı kaydırılan ölçüm sinyali zamanda ötelenerek, k. biles¸enin zaman-frekans merkezi orijine tas¸ınacaktır. Öteleme miktarı ise ˜ tkc= R R t| ˜Tk_{(t, f )|}2_dtdf R R | ˜Tk_{(t, f )|}2_dtdf (9)

ile kestirilir. k. biles¸en için anlık frekansı kaydırılmıs¸ ve ötelenmis¸ ölçüm sinyali ise:

xk00(t) = x(t + tkc) exp{−j2πφk(t + tkc)} (10)

ile hesaplanır.

3.3. ¨Olc¸ekleme Son olarak, xk

00(t) sinyali, anlık frekansı kaydırılan ve

ötele-nen k. sinyal biles¸eninin etkin zaman genis¸li˘gi ve etkin bant genis¸li˘gi es¸itlenecek s¸ekilde ölçeklenmedir. Bunu sa˘glayacak

¨olc¸ekleme miktarı

νk=pDk_/Bk ₍₁₁₎

ile bulunur. Burada Dk_{ve B}k_{, sırasıyla,}

ile hesaplanan anlık frekansı kaydırılmıs¸ ve ¨otelenmis¸ k. biles¸enin etkin zaman ve bant genis¸li˘gi, ˜Tk

00(t, f ) ise KZFD

kestirimidir. Sonuçta, k. biles¸en için ötelenen, anlık frekası kaydırılan ve ölçeklenen ölçüm sinyali:

xk000(t) = xk00(tνk)

= x(tνk_{+ t}k

c) exp{−j2πφk(tνk+ tkc)} . (14)

olarak hesaplanır. Bu sinyalin Hermite-Gauss taban vektörlerin üzerine idüs¸ümü alınır:

˜ sk 000(t) = ˆ N X n=0 αk,nhn(t), αk,n= Z hn(t)x(t)dt (15)

ve ters operasyonlar uygulanarak biles¸enin destek b¨olgesi eski yerine oturtulur: ˜ sk(t) = ˜sk000( t − tk c νk )e j2πφk_(t) . (16) ¨

Olçüm sinyaline önerilen dönüs¸ümler uygulamak yerine, taban fonsiyonlarına ters dönüs¸ümler uygunalanarak destek bölgeleri biles¸enin destek bölgesine oturtulabilir. Bu durumda k. biles¸en için yeni taban fonskiyonları olus¸turulur:

gk,n(t) = √1 νkhn( t − tk c νk )e j2πφk s(t)_. ₍₁₇₎

(16)’de verilen k. biles¸enin kestirim ˜sk_{(t) =}PNˆk

n=0αk,ngk,n

ile de hesaplanabilir. Buradaki kestirim katsayıları ise αk,n =

R

g∗

k,n(t)x(t)dt’dir. Bir sonraki kısımda en iyi temsil derecesi

ˆ

Nk, k = 1, 2, ..K’nin nasıl sec¸ildi˘gi detaylandırılacaktır.

¨

Onerdi˘gimiz bu 3 basamaklı önis¸leme tekni˘ginin tek-biles¸enli bir sinyalin zaman-frekans destek bölgesi üzerindeki etkisi S¸ekil-3’de gösterilmis¸tir: (a)’da verilen zaman-frekans destek bölgesi, önerilen önis¸lemenin sonunda (d)’deki hali almıs¸tır. R0 ve R1, sırasıyla, önerilen dönüs¸ümler öncesinde

ve sonrasında biles¸enin destek bölgesini kapsayan en küçük dairenin yarıçaplarıdır. Bu yarıçaplar biles¸eni makul hatayla temsil etmek için gereken taban vektör sayısını belirtmektedir. Görüldü˘gü üzere, önerilen dönüs¸ümler kullanılması gereken ta-ban vektörü sayısını oldukça azaltmıs¸tır.

4. C

¸ ok-Biles¸enli Sinyallerin Analizi

Çok-biles¸enli, gürültü altında kaydedilmis¸ ayrık zamanlı gözlem sinyali modelini düs¸ünelim:

x = s1+ s2+ ... + sK+ n . (18)

Burada n standard sapması σ olan beyaz Gauss gürültüsüdür. ¨

Onerilen dönüs¸ümlerin uygulanması için gerekli herbir biles¸ene ait parametreler (tk

c, fk(t), νk, k = 1, 2, ..K) kestirılmis¸

ol-sun. gk,n, (17)’e g¨ore destek b¨olgeleri sk’ye uyarlanmıs¸ taban

(4)

(a) (b)

S¸ekil 4: (a)3-biles¸enli, gürültülü sentetik sinyal; (b) bu sinyalin KZFD’si.

(a) (b) (c)

S¸ekil 5: S¸ekil-4’de verilen sinyale (a)1.biles¸en; (b)2.biles¸en; (c)3. biles¸en ic¸in ¨onerilen operasyonlar uygulandı˘gında olus¸an sinyallerin KZFD’leri.

vektörlerini göstersin. Herbir biles¸en için en iyi temsil dere-celeri Lk, k = 1, 2, ..K as¸a˘gıdaki enbüyültme ile bulunur:

{ ˆLk} k=1,2,..,K = arg max Lk k=1,2,..,K K X k=1 Lk X n=0 |αk,n|2− 2( K X k=1 Lk+ K)σ2 −2Re n_XK k=1 K X l=1 l6=k h_XL_k n=0 L_l X m=0 α∗k,nαl,mξl,m_k,n io . (19)

Burada αn,k = gk,nH x, ξk,nl,m = gHk,ngl,m’dir. Tek-biles¸enli

gözlem modelinde(x = s1+ n) ise (19) verilen enbüyültme

ˆ L1= arg max L1 L1 X n=0 |α1,n|2_{− 2(L1}_{+ 1)σ}2_. ₍₂₀₎

haline basitles¸mektedir.(19)’da verilen ifadenin t¨uretilis¸i [4]’de detaylandırılmıs¸tır.

S¸ekil-4’de 3-biles¸enli, gürülütü altında kaydedilmis¸ sen-tetik sinyal ve KZFD’si gösterilmis¸tir. Her biles¸en için gerekli parametreler kestirildikten sonra, bu sinyale önerilen dönüs¸ümler her biles¸en için ayrı ayrı uygulandı˘gında, olus¸an sinyallerin KZFD’si ise S¸ekil-5’de verilmis¸tir. Bu operasyan-lar sonucunda biles¸enlerin destek bölgelerinin aldı˘gı s¸ekiller ise daireler ile belirtilmis¸tir. Bas¸langıçta hiçbir sekilde Hermite-Gauss açılımı ile biribirinden ayrıs¸tırılamayan biles¸enler, öner-ilen dönüs¸ümler sonunda ayrıs¸tırılabilir hale gelmis¸tir. Her biles¸en için en iyi temsil derecesi (19) ile bulunmus¸tur. Sonuçta elde edilen biles¸en kestirimleri(kesikli çigi) ve biles¸enlerin asıl halleri(kesiksiz çizgi) S¸ekil-6’da çizdirilmis¸tir. S¸ekil-4’de

ver-(a)

(b)

(c)

S¸ekil 6: Hermite-Gauss fonksiyonları (a) h0(t); (b) h1(t); (c) h2(t); (d) h3(t);

ilen ölçüm sinyali düs¸ünüldü˘günde, ölçüm sinyali biles¸enlerine oldukça bas¸arılı ayrıs¸tırılmıs¸tır.

5. SONUC

¸ LAR

Bu çalıs¸mada çok-biles¸enli sinyallerin analizi için yeni bir yöntem önerdik. Önerdi˘gimiz yöntem destek bölge uyarla-malı Herms¸te-Gauss açılımı ile biles¸enleri ayıklamakta ve gürültüden arındırmaktadır. Tek varsayımımız, biles¸enlerin örtüs¸meyen, tıkız zaman-frekans destek bölgelerine sahip ol-malarıdır. Sentetik sinyaller üzerinde yapılan deneyler, çok yüksek gürültü seviyelerinde bile önerilen yöntemin bas¸arılı oldu˘gunu göstermektedir.

6. KAYNAKC

¸ A

[1] Ozdemir, A. K.,“Time-frequency component analyzer”,¨ Ph.D. dissertation, Bilkent University, Ankara, Turkey, Sep. 2003.

[2] Andrews, L., “Special functions for engineers and applied mathematics”, New York: McMillian, 1985.

[3] Chan, T., Vese L., “Active contours without edges”, IEEE Trans. Image Process., vol. 10, pp. 266-277, February 2001.

[4] Alp, Y. K., Arikan, O., Ozertem U, “Time-frequency anal-ysis of signals using support adaptive Hermite-Gaussian expansions”, submitted to IEEE Trans. Signal Process., January 2011.