Akış tipi iş çizelgeleme problemlerinin yapay bağışıklık sistemi ile çok amaçlı optimizasyonuna yönelik bir model önerisi

KOCAEL

Đ

ÜN

Đ

VERS

Đ

TES

Đ

* FEN B

Đ

L

Đ

MLER

Đ

ENST

Đ

TÜSÜ

AKI

Ş

T

Đ

P

Đ

ĐŞ

Ç

Đ

ZELGELEME PROBLEMLER

Đ

N

Đ

N YAPAY

BA

Ğ

I

Ş

IKLIK S

Đ

STEM

Đ

Đ

LE ÇOK AMAÇLI OPT

Đ

M

Đ

ZASYONUNA

YÖNEL

Đ

K B

Đ

R MODEL ÖNER

Đ

S

Đ

DOKTORA TEZ

Đ

Y.Müh. Erkan AKÇAY

Anabilim Dalı: Endüstri Mühendisli

ğ

i

Danı

ş

man: Prof. Dr. Nilgün FI

Ğ

LALI

ÖNSÖZ

Bu çalışmada, son yıllarda optimizasyon konusunda ön plana çıkan ve birçok araştırmacının da ilgisini çeken çok amaçlı optimizasyon konusunda karmaşık hesaplamalar gerektirmeyen bir model oluşturulmaya çalışılmış ve modelin başarılı bir şekilde Endüstri Mühendisliğinin başlıca problemlerinden akış tipi iş çizelgeleme problemlerine uygulanması amaçlanmıştır.

Bu amaçla literatürde yer alan çok amaçlı modeller incelenmiş, akış tipi iş

çizelgeleme problemlerinde yapılan çalışmalar incelenerek pareto çözümlerin elde edilmesinde kendisini başarılı olarak kabul ettirmiş çalışmalar referans alınmıştır. Bu çalışmada önerilen çok amaçlı yapay bağışıklık algoritmasının pareto çözümleri elde etmedeki performansı diğer başarılı algoritmalar ile karşılaştırılmış ve diğer algoritmaların performansının üzerine çıkılmaya çalışılmıştır. Önerilen algoritma ile iyi sonuçlar elde edilmesi ve önerilen çok amaçlı modelin literatüre ve sonraki çalışmalara katkıda bulunulabilecek yeni bir referans oluşturması amaçlanmıştır. Çalışmamın her aşamasında yardım ve desteklerini esirgemeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Nilgün FIĞLALI ve Anabilim Dalı Başkanımız Sayın Prof. Dr. Alpaslan FIĞLALI’ya, desteğini ve sabrını hiçbir zaman esirgemeyen eşim Zülal AKÇAY’a teşekkürlerimi sunarım.

Erkan AKÇAY Ankara, 2009

ĐÇĐNDEKĐLER ÖNSÖZ...i ĐÇĐNDEKĐLER ... ii ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ... iii TABLOLAR DĐZĐNĐ... iv SĐMGELER DĐZĐNĐ...v ÖZET... vi ABSTRACT ... vii 1. GĐRĐŞ... 1

2. AKIŞ TĐPĐĐŞ ÇĐZELGELEME PROBLEMLERĐ... 5

2.1. Đş Çizelgeleme Problemlerine Giriş... 5

2.2. Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemleri ... 6

2.3. Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemlerin Çözümünde Kullanılan Sezgisel Yöntemler ... 8

3. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME VE ÇOK AMAÇLI META-SEZGĐSEL YÖNTEMLER ...10

3.1. Çok Amaçlı Optimizasyonda Temel Kavram ve Terminoloji ...10

3.2. Çok Amaçlı Karar Verme Teknikleri ...11

3.3. Çok Amaçlı Meta-Sezgisel Modeller ...14

4. AKIŞ TĐPĐĐŞ ÇĐZELGELEME PROBLEMLERĐNDE ÇOK AMAÇLI META-SEZGĐSEL ÇALIŞMALAR...20

4.1. Çok Amaçlı Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemleri Đle ilgili Yapılan Çalışmalar...21

4.2. Önerilen Modelin Karşılaştırılmasında Kullanılan Çok Amaçlı Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemleri Đle ilgili Yapılan Çalışmalar...28

5. YAPAY BAĞIŞIKLIK SĐSTEMĐ...34

5.1. Doğal Bağışıklık Sistemi ...34

5.1.1. Bağışıklık Sistemi Organları...35

5.1.2. Bağışıklık sistemi hücreleri...36

5.1.3. Bağışıklık sisteminin çalışması...38

5.1.4. Klonal seçim prensibi ...39

5.1.5. Öğrenme ve bağışıklık hafızası...40

5.1.6. Antikor repertuarının çeşitliliği ve biçim tanıma ...41

5.2. Yapay Bağışıklık Sistemleri...43

5.2.1. Bağışıklık ağ modeli ...43

5.2.2. Antikor ağ modeli ...44

5.2.3. Klonal seçim algoritması ...45

6. YAPAY BAĞIŞIKLIK SĐSTEMĐNDE ÇOK AMAÇLI MODELLER ...46

6.1. Çok Amaçlı YBS Modelleri ...46

6.2. Çok Amaçlı Melez YBS Modelleri...57

7. AÇISAL DAĞITIKLI ÇOK AMAÇLI BAĞIŞIKLIK ALGORĐTMASI...59

7.1. AD-ÇABA Algoritması ...63

7.2. Đkincil Hafıza ...67

7.3. AD-ÇABA Algoritmasının Performans Değerlendirmesi ...69

8. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER ...90

KAYNAKLAR ...93

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ

Şekil 4.1. Çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme modellerinde kullanılan amaçlar ...27

Şekil 4.2. Akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde kullanılan çok amaçlı modeller....28

Şekil 5.1 Birincil ve ikincil lenfoid organlar ...35

Şekil 5.4. Bağışıklık sisteminin çalışması . ...39

Şekil 5.5. Klonlama seçim prensibi ...40

Şekil 5.6. Öğrenme ve bağışıklık hafızası ...41

Şekil 5.7. Biçim tanıma . ...42

Şekil 5.8. Bağışıklık ağ modeli ...44

Şekil 5.9. Antikor ağ modeli algoritması ...44

Şekil 6.1. Yeniden oluşturma (Recombination) ...47

Şekil 6.2. Gen değiştirme (Gen conversion) ...48

Şekil 6.3. Ters çevirme (inversion) . ...48

Şekil 6.4.. Kaydırma (shifting) opertörü ...48

Şekil 6.5. Nükleotid ekleme (nükleotide addition) operatörü ...48

Şekil 6.6. Đkincil popülasyonun gridlere bölünmesi . ...50

Şekil 6.7. VISA modelinin akış diyagramı ...53

Şekil 6.8. EMOIA akış diyagramı ...58

Şekil 7.1. Klonal Seçim Algoritması akış diyagramı ...60

Şekil 7.2. Önerilen modelin akış diyagramı. ...62

Şekil 7.3. Đş sıralarının gösterimi ...63

Şekil 7.4. Pareto cephelere ayrılma ...64

Şekil 7.5. Açısal Bölümleme ...64

Şekil 7.6. Mutasyon operatörü ...65

Şekil 7.7. Ekleme hipermutasyon operatörü...66

Şekil 7.8. Đkincil hafızanın açısal bölümlenmesi ...68

Şekil 7.9. Tabloların okunması...70

Şekil 7.10. 50x5 10'uncu problemin pareto net cephesi. ...71

TABLOLAR DĐZĐNĐ

Tablo 7.1. Problemlerde kullanılan parametreler...61

Tablo 7.2. Net Pareto Cephenin Oluşturulma Oranları. ...73

Tablo 7.3. Taillard'ın 20x5 problemleri için net pareto cepheler...74

Tablo 7.4. Taillard'ın 20x20 problemleri için net pareto cepheler...75

Tablo 7.5.Taillard'ın 50x5 problemleri için net pareto cepheler...77

Tablo 7.6.Taillard'ın 50x10 problemleri için net pareto cepheler...79

Tablo 7.7.Taillard'ın 50x20 problemleri için net pareto cepheler...81

Tablo 7.8.Taillard'ın 100x5 problemleri için net pareto cepheler...83

Tablo 7.9.Taillard'ın 100x10 problemleri için net pareto cepheler...85

SĐMGELER DĐZĐNĐ

n : Đş sayısı m : Makine sayısı

Cmax : Đşlerin maksimum tamamlanma zamanı tc : Đşlerin makinedeki tamamlanma zamanı tp : Đşlerin makinedeki işlem zamanı

F1 : Birinci amaç değeri F2 : Đkinci amaç değeri wi : i’nci amacın ağırlığı v : Vektör

( )

P

*

(

PF

*

)

y(x) : Amaç fonksiyonlarının birleşimi Abn : Uygunluğu yüksek antikorlar grubu C : Klonlama

wi : i amacının ağırlığı

di : i algoritmasına ait net pareto cephedeki çözüm sayısı dn : Net pareto cephedeki çözüm sayısı

∑ : Toplam i

∃ _{: Bazı i’ler} ∀i : Her i

AKIŞ TĐPĐĐŞ ÇĐZELGELEME PROBLEMLERĐNĐN YAPAY BAĞIŞIKLIK SĐSTEMĐ ĐLE ÇOK AMAÇLI OPTĐMĐZASYONUNA YÖNELĐK BĐR MODEL ÖNERĐSĐ

ÖZET

Erkan AKÇAY

Anahtar Sözcükler: Çok amaçlı optimizasyon, Akış tipi iş çizelgeleme, Yapay bağışıklık sistemi.

Özet: Bu çalışmada, permütasyon akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde en son işin tamamlanma süresi ve işlerin akış zamanlarının toplamının en küçüklenmesi amaçlanmış olup, bu amaç doğrultusunda Açısal Dağıtıklı Çok Amaçlı Bağışıklık Algoritması (AD-ÇABA) önerilmiştir. Söz konusu algoritma, yapay bağışıklık algoritmasının önemli adımlarından olan klonlama aşamasında çözüm uzayını açısal bölümlere ayırmış, çözümlerin ait oldukları açısal bölümlemedeki yoğunluğa göre klon sayısını belirleyerek çözümler arasındaki çeşitliliği sağlamaya çalışmıştır. Bir sonraki neslin seçim aşamasında ise Pareto baskınlık derecesini kullanması ile pareto tabanlı çok amaçlı algoritmalar arasında değerlendirilebilmektedir. Önerilen Yapay Bağışıklık Algoritmasında, klonlanan çözümlere rastsal iki işin yer değiştirmesi operatörü (swap) uygulanmış, bir sonraki nesil için seçilen çözümlere ise lokal arama uygulanmış, lokal arama operatörü olarak ise seçilen bir işin araya sokulması operatörü (insertion) kullanılmıştır. Önerilen algoritma ile elde edilen sonuçlar, PASA (R.K. Suresh ve K.M. Mohanasundaram, 2004), I ve MOSA-II (T.K. Varadharajan, Chandrasekharan Rajendran, 2004), ve “PGA-ALS (T. Pasupathy, Chandrasekharan Rajendran, R.K. Suresh, 2005) algoritmalarından elde edilen pareto optimum sonuçlar ile birleştirilerek net pareto cephe elde edilmiş ve çalışmaların net pareto cephede yer alan çözüm sayıları karşılaştırılmıştır. Önerilen algoritmanın, literatürde kullanılan 75 problemin 19’unda net pareto cephenin tamamını, 56 problemde ise pareto cephede yer alan çözümlerin yüzde ellisini geliştirerek diğer algoritmalardan daha fazla katkı sağladığı görülmüştür.

A MULTI-OBJECTIVE ARTIFICIAL IMMUNE ALGORITHM FOR PERMUTATION FLOW SHOP SCHEDULING PROBLEM TO MINIMIZE MAKESPAN AND TOTAL

FLOW TIME: A PROPOSAL OF MODEL

ABSTRACT

Erkan AKÇAY

Keywords: Multi-objective optimization, flowshop scheduling, artificial immune systems.

Abstract: In this paper, we present a multi-objective algorithm for permutation flow shop scheduling problem to minimize makespan and total flow time. An effective artificial immune algorithm named Angularly Distributed Multı-objective Immune Algorithm (AD-MOIA) is proposed for searching pareto optimal frontier. Proposed algorithm based on the clonal selection principle. Algorithm divides the solution space to angular sections and determines intensification of the solutions in these angular sections. To obtain non-dominated and well-dispersed solutions, algorithm uses intensification of the angular sections when determining number of the clones of the good solutions. We have made use of 95 benchmark problems provided by Taillard [Eur. J. Operation. Res. 64 (1993) 278]. The non-dominated sets obtained from each of the existing bench-mark algorithms and the proposed PASA (R.K. Suresh ve K.M. Mohanasundaram, 2004, “Pareto Archived Simulated Annealing for Permutation Flow Shop Scheduling with Multiple Objectives”), MOSA-I and MOSA-II (T.K. Varadharajan, Chandrasekharan Rajendran, 2004, “A multi-objective simulated-annealing algorithm for scheduling in flow shops to minimize the makespan and total flow time of jobs”), and PGA-ALS (T. Pasupathy, Chandrasekharan Rajendran, R.K. Suresh,2005, ”A multi-objective genetic algorithm for scheduling in flow shops to minimize the makespan and total flow time of jobs”) are compared, and subsequently combined to obtain a net non-dominated front. It is found that most of the solutions in the net non-dominated front are belong to proposed AD-MOIA algorithm.

1. GĐRĐŞ

Optimizasyon son yıllarda en önemli araştırma alanlarından biri haline gelmiştir. Özellikle kombinatoryal optimizasyon problemleri gerçek hayatta da geniş yer bulması nedeni ile araştırmacıların ilgisini çekmeyi başarmıştır. Üretim planlama, proje çizelgeleme, tesis planlama, araç rotalama ve iş çizelgeleme gibi birçok endüstri mühendisliği ile ilgili alanlarda kombinatoryal optimizasyon çalışmalarına rastlamak mümkündür.

Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin çözümünde kesin çözüm veren matematiksel modellerin yanı sıra sezgisel yöntemler de kullanılmıştır. Örneğin çizelgeleme problemleri de kombinatoryal optimizasyon problemleri arasında sayılmaktadır. Çizelgeleme problemleri çokterimli (polinomsal-NP Hard) zamanda çözülebilen problemlerdir, problemlerin boyutları büyüdükçe optimum çözüme ulaşma da güçleşmektedir. Bu problemlerin çözümünde kullanılan tam sayılı programlama ve dinamik programlama gibi yöntemlerin her ikisi de küçük problemlerin çözümünde başarılı olmuş tam çözümler bulmuş fakat problemlerin boyutu büyüdükçe çözümler güçleşmiş ve tam çözümlere ulaşmak imkânsızlaşmıştır.

Bu tip problemlerin çözümünde sonuçlarının optimumluğu kesin olmayan fakat uygun çözümlere ulaşılabilen sezgisel yöntemler de kullanılmaktadır. Klasik sezgisel yöntemler olarak da adlandırabileceğimiz, Johnson algoritması [1], Palmer’in Eğim Dizisi Yöntemi [2],: Campbell, Dudek ve Smith (CDS) Algoritması [3], Gupta Yöntemi [4], Dannenbring Yöntemi [5], Nawaz, Enscore ve Ham (NEH) Yöntemi [6], Hundal ve Rajgopal Yöntemi [7], Widmer ve Hertz Yöntemi [8], Ho ve Chang (HC) Yöntemi [9], iş çizelgeleme problemlerinin çözümünde kesin sonuçlar üretmişlerdir. Ancak problem boyutları büyüdükçe bu yöntemler de yetersiz kalmışlardır.

Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin çözümünde klasik sezgisel yöntemlerden sonra modern sezgisel yöntemler olarak da adlandırabileceğimiz, tabu arama, tavlama benzetimi, genetik algoritmalar, yapay sinir ağları, karınca kolonileri, yapay bağışıklık sistemi gibi, doğadan esinlenerek oluşturulan yöntemler kullanılmaya başlanmıştır. Bu yöntemler kesin sonuç vermemekle beraber birçok büyük çaptaki problemlerde optimum sonucu yakalama başarısı göstererek geçerliliklerini kanıtlamışlardır.

Modern sezgisel yöntemler gerçek hayatta birçok uygulama alanı bularak, bilgisayar mühendisliği, elektronik mühendisliği ve endüstri mühendisliği ile ilgili optimizasyon problemlerinde sıkça başvurulan yöntemler haline gelmişlerdir. Modern sezgisel yöntemlerin büyük boyutlu problemlerde kullanılabilmesi ve daha az hesaplama karmaşıklığı sağlaması disiplinler arası kullanılan ve kabul görmüş yöntemler olmalarını sağlamıştır. Endüstri mühendisliği açısından bakıldığında, gezgin satıcı problemleri, akış tipi ve atölye tipi iş çizelgeleme problemleri, araç rotalama problemleri, proje çizelgeleme, zaman çizelgeleme problemleri modern sezgisel yöntemlerin sıkça kullanıldığı problemlere örnek verilebilir.

Kombinatoryal optimizasyon problemleri gerçek hayatta değişik alanlarda karşımıza çıkmakla beraber genelde bu problemler birden fazla amaç içermektedir ve çoğu zaman bu amaçlar birbirleri ile çelişmektedir. Bu durumda tek amaçlı optimizasyon çok amaçlıya dönüşmekte ve karar vericiye bütün amaçları en iyi karşılayan tek bir çözümü sağlamaya çalışmaktadır. Ancak ne var ki genellikle bütün amaçları aynı en iyi şekilde karşılayan tek bir çözüm bulunmamaktadır. Karar vericiye birbirine baskın olmayan ve amaçlar arasında en iyi uzlaşmayı sağlayan çözüm kümesi, Pareto Optimum Set [10], sunulmaktadır.

Modern sezgisel yöntemler ile çok amaçlı optimizasyon çalışmaları, literatürde tek amaçlı problemler için yapılan çalışmalara kıyasla çok az sayıda yer almaktadır. Literatürde yer alan çok amaçlı çalışmaların çoğu çok amaçlı doğrusal programlama üzerinedir. Son yıllarda modern sezgisel yöntemlere ilişkin yapılan çalışmalar ise genelde evrimsel algoritmalar üzerine yoğunlaşmıştır ve bu çalışmalarda çoğunlukla Pareto Optimum çözümler karar vericilere sunulmuştur.

Her ne kadar modern sezgisel yöntemlerin çok amaçlı olarak kullanıldığını ve literatürde bu tip çalışmaların bulunduğunu belirtsek de bu çalışmaların yeterli

olduğunu düşünmemekteyiz. Bu çalışmalar Özellikle genetik algoritmalar gibi evrimsel algoritmalar üzerine yapılmıştır. Bu nedenle tez çalışmamızda yöntem olarak çok amaçlı modern sezgisel yöntemler içerisinde son yıllarda yer almaya başlayan Yapay Bağışıklık Sistemi seçilmiş bulunmaktadır. Yapay Bağışıklık Sistemi doğal bağışıklık sisteminden esinlenerek oluşturulmuştur. Genel yapı olarak genetik algoritmalara benzemekle beraber kendine özgü algoritmaları mevcuttur. Yapay Bağışıklık Sisteminin de genetik algoritmalar gibi çok amaçlı optimizasyon problemlerinde başarılı olabileceği düşünülmektedir. Literatürde çok amaçlı Yapay Bağışıklık Sistemi ile ilgili çalışmalar yok denecek kadar azdır. Bu alandaki literatüre katkıda bulunabileceğimizi de düşünerek bu tez çalışmamızda Yapay Bağışıklık Sistemi kullanılarak, Endüstri Mühendisliği bilinen problemlerinden olan ve gerçek hayatta da birçok uygulaması bulunan akış tipi iş çizelgeleme problemlerinin çok amaçlı olarak çözülmesi amaçlanmaktadır.

Đkinci bölümde, Endüstri Mühendisliğinin en çok bilinen problemlerinden biri olan ve çalışmamızda kullanılan akış tipi iş çizelgeleme problemleri açıklanmış, türleri, kurulan modellerde kullanılan amaçlar, problemin basit kuralları ve temel notasyonu ile ilgili bilgiler verilmiştir.

Üçüncü bölümde, çok amaçlı optimizasyon ve temel kavramları açıklanmaya çalışılmıştır. Gerçek hayatta karşılaşılan problemler çoğu zaman birden fazla amaç içermektedir. Çoğu zaman da bu amaçlar birbirleriyle çatışmaktadır, bütün amaçları en iyileyen tek bir amaç genelde bulunmamaktadır. Bu durumda, çok amaçlı problemlerde karar vericilerin çözümler üzerindeki tercihi önem kazanmakta olup, tüm çözüm uzayını temsil edebilecek uygun çözümlerin oluşturulmasında değişik modeller literatürde yer almaktadır. Bu bölümde, söz konusu modeller ve bu modellerin sınıflandırılması verilmiştir.

Dördüncü bölümde, literatürde yer alan çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemleri üzerine yapılmış çalışmaların kısa özetleri, referans olarak alınan ve elde edilen sonuçların karşılaştırıldığı çalışmaların ise ayrıntılı açıklamaları yer almaktadır. Literatürde yer alan tüm çalışmalar, yapıldıkları yıl, yöntem, kullanılan amaçlar vb. özellikler doğrultusunda özetlenmiş ve daha önce yapılan literatür çalışmaları bir anlamda güncellenmiştir.

Beşinci bölümde, Yapay Bağışıklık Sistemi doğal bağışıklık sistemi paralelinde açıklanmıştır. Son yıllarda optimizasyon problemlerinde doğadan esinlenilerek oluşturulan modern sezgisel yöntemler sıklıkla kullanılmaya başlanmıştır. Yapay bağışıklık sistemi de son yıllarda söz konusu sezgisel yöntemler arasında yer almaktadır. Yapay bağışıklık sistemi, temel yapısının ve modelde yapılan analojilerin tam olarak anlaşılabilmesi maksadıyla doğal bağışıklık sistemi üzerinden açıklanmıştır.

Altıncı bölümde, literatürde yer alan yapay bağışıklık sistemi ile ilgili çok amaçlı çalışmalar incelenmiştir. Çok amaçlı çalışmaların özellikle son yıllarda ilgi çekmeye başlamış olması ve yapay bağışıklık sisteminin de henüz literatürde yeni yeni yer alıyor olması nedeni ile bu bölümde literatürde yer alan az sayıdaki çalışma ayrıntılı olarak anlatılmıştır.

Yedinci bölümde, akış tipi iş çizelgeleme problemlerinin çok amaçlı optimizasyonuna yönelik olarak geliştirilen/önerilen yapay bağışıklık sistemi modeli, algoritmik yapısı ve işleyişindeki farklılıklar açısından detaylı olarak tanıtılmakta ve literatürde yer alan ve diğer çalışmalarda da kullanılan referans problemler çözülerek belirlenen ölçüt doğrultusunda sonuçlar karşılaştırılmaktadır.

Sekizinci bölümde ise, önerilen modelden elde edilen sonuçlar ile diğer referanslar çalışmalardan elde edilen sonuçların karşılaştırılması, genel olarak algoritmanın başarısı ile ilgili çıkarımlar ve gelecek çalışmalarda geliştirilmesi düşünülen konular açıklanmaktadır. Elde edilen sonuçlar göstermektedir ki önerilen model literatürde yer alan problemlerde diğer modellere göre çok daha iyi sonuçlar üretmektedir. Önerilen çok amaçlı yapay bağışıklık sistemi algoritması ile çözülen 75 problemin tamamında diğer modellerden üstün sonuçlar elde edilmiştir.

2. AKIŞ TĐPĐĐŞ ÇĐZELGELEME PROBLEMLERĐ

2.1. Đş Çizelgeleme Problemlerine Giriş

Çizelgeleme, otobüs hareket saatleri, ders giriş-çıkış saatleri, uçak kalkış-iniş

saatleri gibi basit uygulama örnekleri ile günlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve hayatımızı kolaylaştırmak için kullandığımız bir kavramdır.

Günlük yaşantımızın dışında ekonomik faaliyetlerin büyük bir bölümünde de karşılaştığımız çizelgeleme işlemi genel olarak görevler ve kaynaklar arasındaki eşleşmenin sağlanması olarak tanımlanabilir. Dinamik bir çizelgeleme sistemi, çıktıları maksimize ederken direkt maliyetleri düşürecek şekilde, işlerin veya proje ihtiyaçlarının zamanında tamamlanabilmesi için işlemlerle kaynaklar arasındaki eşleşmeyi sağlayabilecek kararları alabilen sistemlerdir.

Endüstride üretim alanında çizelgeleme terimleri, görevlerin yerini işler, kaynakların yerini ise tezgahlar alacak şekilde değişmektedir. Çizelgeleme problemlerinde kantitatif bir yaklaşım sergilenerek kaynakların ve görevlerin tanımlamaları ile karar verme amacının açık bir amaç fonksiyonuna dönüştürülmesi söz konusudur. Amaç fonksiyonunun bütün maliyetleri kapsaması arzu edilir, fakat bütün maliyetlerin açıkça ifade edilmesi veya ölçülmesi mümkün değildir [11].

Çizelgeleme problemlerini çözüm açısından incelediğimiz zaman çözümlerin kaynak kısıtları ve iş kısıtları çerçevesinde elde edilmeye çalışıldığını görebiliriz. Đş

çizelgeleme problemlerinde bu kısıtlara örnek olarak kaynak açısından tezgahların kapasite limitlerini, işler açısından işlerin yapımındaki teknolojik kısıtlamaları verebiliriz.

Çizelgeleme modellerini incelediğimizde sınıflandırmaların kaynaklar, görevler ve iş

akışı açısından yapılabildiğini görmekteyiz. Kaynaklar açısından baktığımızda bir tezgahlı veya birden çok tezgahlı sistemler olarak sınıflandırma yapmamız mümkündür. Birden çok tezgahlı sistemleri ise paralel veya seri tezgahlı sistemler olarak sınıflayabiliriz. Görevler açısından, statik ve dinamik sistemler olarak sınıflandırılabilir. Statik sistemler, belirli bir dönem için iş listelerinin bilindiği ve genelde değişmediği sistemlerdir. Dinamik sistemler ise iş listelerinin sürekli ve rastgele değiştiği, işlerin atölyeye düzensiz aralıklarla geldiği sistemlerdir.

2.2. Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemleri

Akış tipi iş çizelgeleme, birbirinden farklı, m makine ve n işin bulunduğu; her bir işin belirli sayıda operasyondan oluştuğu, her bir operasyonun farklı makinelerde yapıldığı ve bütün işlerin operasyonlarının aynı sıra ile yapıldığı problemlere denir. Basit akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde her iş seri tezgahlarda tam olarak aynı sırayla işlem görmektedir. Ayrıca bazı basit varyasyonları da vardır; atlamalı (skip) akış tipi, tekrar eden girişli (reentrant) akış tipi, bileşik (compound) akış tipi ve sınırlı kuyruklu (finite queue) akış tipi.

Atlamalı (skip) akış tipinde, bazı işler bazı tezgahları atlayabilir. Bu durum, işlerin atladıkları tezgahlardaki işlem zamanlarını sıfır olarak, bu tezgahlara üst seviyede öncelik verilerek modele aktarılabilir.

Tekrar eden girişli (reentrant) akış tipinde, bazı tezgahlar birden fazla ziyaret edilmektedir. Bu durum ise bazı sezgisel yöntemlerle, değiştirilebilir darboğaz yöntemi gibi, kolayca giderilebilmektedir.

Bileşik (compound) akış tipinde ise seri halde bulunan tezgahlar yerine tezgah grupları vardır. Genelde bu tezgah grupları paralel tezgahlardan oluşmaktadır. Yine bazı sezgisel yöntemler kullanılarak bu problemler basit hale getirilerek çözülmektedir.

Sınırlı kuyruklu (finite queue) akış tipinde diğerlerinden farklı olarak tezgahların önünde limitli depo vardır. Bu tipin önemli özel durumu ise sadece ilk tezgah için limitli depolama imkanının olduğu durumdur. Literatür genelde basit akış tipi iş

Akış tipi iş çizelgeleme problemlerinin temel karakteristikleri basit tek tezgahlı problemlere benzemektedir. Bu karakteristikleri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz;

a. Đşlem zamanının sıfır olduğu anda birbirinden bağımsız, her biri ayrı tezgahlarda işlem görecek birden fazla işlemi olan n adet iş vardır.

b. Hazırlık zamanları sıralamadan bağımsızdır ve işlem zamanları bu zamanları kapsamaktadır.

c. Đşlerle ilgili tanımlayıcı bilgiler önceden bilinmektedir. ç. Bütün tezgahlar sürekli olarak işleme hazırdır.

d. Bir işlem başladığı zaman kesintiye uğramadan devam eder.

n : iş sayısı m : makine sayısı j : iş

i : makine

tP(i,j) : j işinin i makinesindeki işlem süresi

tC(i,j) : j işinin i makinesindeki tamamlanma süresi x=(x1, x2,……,xn) : n işin sırasının vektörel gösterimi xk : işlem görecek k’ncı iş

tC(1,x1)= tP(1,x1) (2.1)

tC(i,x1)= tC(i-1,x1) + tP(i,x1) for i=2,3,…….,m (2.2) tC(1,xk)= tC(1,xk-1) + tP(1,xk) for k=2,3,…….,n (2.3) tC(i,xk)=max{tC(i-1,xk), tC(i,xk-1)} + tP(i,xk) for i=2,3,...,m, for k=2,3,...,n (2.4)

Akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde kullanılan amaçların bazılarının kısa açıklamaları aşağıda verilmiştir.

Đşlerin tamamlanma zamanı, yayılma olarak da bilinmekte olup, ilk işin işleme başlaması ile son işin tamamlanması arasındaki zamanı temsil etmektedir.

Toplam akış zamanı, her bir işin sistemde geçirdiği sürelerin toplamıdır. Đlk işin işleme başlaması ile son işin işleminin tamamlanması arasında her işin sistemde geçirdikleri toplam zamandır.

Toplam gecikme (geciken işlerin gecikmelerinin toplamı), ortalama akış zamanı, ortalama gecikme zamanı, geciken iş sayısı gibi amaçlar kullanılmakta olup, maksimum tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı, maksimum gecikme ve toplam gecikme için formüller aşağıda verilmiştir.

Maksimum tamamlanma zamanı f1(x) = tC(m,xn), (2.5) Toplam akış zamanı f2(x) =

∑

k 1

t

(m,

x

)

∑

k 1

max{

t

(m,

x

)

-

d(x

),0}

2.3. Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemlerin Çözümünde Kullanılan Sezgisel Yöntemler

Akış tipi iş çizelgeleme problemleri ile ilgili ilk çalışmayı, Johnson [1] yapmış ve iki makine n-iş problemleri için optimum çözüm veren basit bir algoritma geliştirmiştir. Daha sonra yapılan çalışmalarda m-makine sayısı (m>2) için araştırmalar yapılmıştır. Makine sayısı-m, (m>2) problemleri, NP kapsamına girdiğinden, bu problemler için çeşitli sezgisel yöntemler geliştirilmiştir. Bunlar:

Palmer’in Eğim Dizisi Yöntemi (1965) : Bu yöntemde her işe bir dizin değeri tanımlanmakta, bu dizin değerine göre işler sıralanmaktadır. Đşlem süreleri ilk makinelerde kısa olanlar öne, uzun olanlar ise sona gelecek şekilde eğim dizisi tamamlanmaktadır. [2]

Campbell, Dudek ve Smith (CDS) Algoritması (1970) : Johnson algoritması kurallarına dayanır, n iş, m makine problemleri; önce (m-1) adet n iş iki makine problemlerine dönüştürülmekte, daha sonra Johnson algoritması ile problemler teker teker çözülürek, en iyi sonucu veren (Cmax) iş sırası uygun çözüm olarak kabul edilmektedir. [3]

Gupta Yöntemi (1971): Gupta, Palmer’e benzer bir eğim dizisi oluşturmuştur, Palmer’den farklı bir hesaplama ile dizinin değeri bulunmaktadır.[4]

Dannenbring Yöntemi (1972): Dannenbring, Palmer ve Campell,Dudek,Smith’in geliştirdikleri algoritmaların avantajlarını birleştirerek CDS olarak bilinen yeni bir sezgisel yöntem geliştirmişlerdir.[5]

Nawaz, Enscore ve Ham (NEH) Yöntemi (1983): Đşleri, toplam işlem zamanlarına dayalı olarak sıralayan bir algoritmadır. Đşler tezgahlardaki toplam işlem zamanlarına göre büyükten küçüğe doğru sıralanarak çözüme başlanmaktadır.[6]

Hundal ve Rajgopal Yöntemi (1998): CDS Algoritmasının temel mantığı ile Palmer’in sezgisel yönteminin basit kurallarının iyileştirilmesi sonucu ortaya çıkmış bir yöntemdir.[7]

Widmer ve Hertz Yöntemi (1989): Widmer ve Hertz, “SPRINT” olarak adlandırılan iki aşamalı bir sezgisel yöntem geliştirmişlerdir. Đlk aşamada, gezgin satıcı problemindeki (TSP) gibi analoji ile başlangıç çözümü belirlenmekte, ikinci aşamada ise bu çözüm “Tabu araştırmaları” tekniği ile iyileştirilmektedir.[8]

Ho ve Chang (HC) Yöntemi (1991): bu yöntemde daha önce sezgisel metotlarla belirlenmiş işlerden, birbirini takip eden işler arasındaki boşlukların minimize edilmesine çalışılmaktadır.[9]

Bu bölümde, akış tipi iş çizelgeleme ile ilgili genel bir bilgilendirme yapılmış olup, bir sonraki bölümde çok amaçlı optimizasyona değinilerek takiben çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemlerine geçiş yapılacaktır.

3. ÇOK AMAÇLI KARAR VERME VE ÇOK AMAÇLI META-SEZGĐSEL YÖNTEMLER

3.1. Çok Amaçlı Optimizasyonda Temel Kavram ve Terminoloji

Çok amaçlı optimizasyon problemleri (ÇAOP): Genel olarak çok amaçlı optimizasyon problemi n adet karar değişkeni x, k adet amaç fonksiyonu y=f(x), m adet kısıtı e(x) içeren problemlerdir. Amaç fonksiyonları ve kısıtlar karar değişkenlerinin bir fonksiyonudur [12].

y

=

=

y = (y1, y2, . . . , yk), y ∈ Y

Çok amaçlı optimizasyonda sıkça geçen ve özellikle birçok modelin seçim ve uygunluk fonksiyonlarında kullandığı pareto kavramı ilk defa 1906 yılında Vilfred Pareto tarafından ortaya konmuş olup [13], aşağıda Pareto Kavramına ilişkin ve çalışmaların birçoğunda karşılaşılan tanımlamalar verilmektedir [14].

Pareto Baskınlık (Pareto Dominance): u bir amaç fonksiyon vektörünü, v de başka bir amaç fonksiyon vektörü olmak üzere eğer ve yalnızca u kısmen v’den daha az ise v, i.e., ∀i

∈

{

1,..., k

}

∈

{

1,..., k

}

u

r

= (u1, . . . , uk) vektörü

v

r

= (v1, . . . , vk) vektörüne baskındır denir ve (

u

r

p

_v

r

) şeklinde gösterilir (minimizasyon problemleri için).

Pareto Optimumluk (Pareto Optimality):

u

=

F x

( )

=

(

f x

( )

,...,

f

( )

x

)

r

’e baskın olan bir

v

r

=

F x

( )

′

=

(

f x

( )

′

,...,

f

( )

x

′

)

Ω’ya nazaran Pareto Optimumdur denir. Pareto Optimumluğun anlamı aksi belirtilmedikçe bütün karar değişkenleri uzayı için geçerlidir.

Pareto Optimum Set (Pareto Optimal Set): Verilen bir ÇAOP

F x

( )

( )

P

*

( )

( )

{

}

* :

P = ∈Ω ¬∃ ∈Ωx x′ F x′ pF x (3.3)

Pareto Cephe (Pareto Front): Verilen bir ÇAOP

F x

( )

( )

P

*

(

PF

*

)

( )

(

( )

( )

)

{

}

* : ,..., _k *

PF = ur=F x = f x f x x∈P (3.4)

3.2. Çok Amaçlı Karar Verme Teknikleri

Çok amaçlı karar verme veya çok amaçlı optimizasyon problemleri son yıllarda oldukça ilgi görmektedir. Gerçek hayatta sıkça karşılaşılan üretim planlama, iş

çizelgeleme, proje çizelgeleme, araç rotalama, yatırım planlama ve tesis planlama gibi alanlarda birçok başarılı uygulamaları görülmektedir.

Çok amaçlı optimizasyon problemleri bütün amaçları göz önünde bulunduracak

şekilde ele alınmalıdır. Çok amaçlı optimizasyonda bütün amaçlar arasında en iyi uzlaşmayı sağlayan tek bir çözümü bulmak hedeflenir. Ancak genelde bütün amaçlar arasındaki uzlaşıyı sağlayan tek bir çözüm yerine bu uzlaşıyı sağlayan birden fazla çözüm ile karşılaşılır. Elde edilen bu birden fazla sayıdaki çözüm karar vericinin seçimine sunulur.

Bu durumda karar vericinin söz konusu çözümler arasında seçim yapma zorunluluğu doğar. Çok amaçlı optimizasyonun sonucunda yer alan bu karar verme süreci ve karar vericinin tercihleri optimizasyon sürecinin öncesinde, süreç esnasında veya süreç sonrasında belli olabilir.

Karar vericinin tercihlerinin hangi aşamada belli olacağı bütün çok amaçlı optimizasyon modelini etkileyecektir. Bu bağlamda tercihlerin belirlenmesi doğrultusunda çok amaçlı karar verme teknikleri literatürde üç sınıfa ayrılmıştır [15];

Önsel Teknikler (Priori techniques) (Karar ver → Ara): Optimizasyon süreci öncesinde karar verici amaçlar ile ilgili tercihlerini belirtir. Bu tip çok amaçlı problemler karar vericinin amaçlar ile ilgili tercihlerini belirtmesi ile tek amaçlı problem haline dönüşmektedir.

Etkileşimli Teknikler (Interactive techniques) (Karar ver → ara → karar ver): Bu tip tekniklerde karar vericinin başlangıçtaki seçimine göre optimizasyon süreci başlatılır, süreç devam ederken elde edilen sonuçlar üzerinde karar verici tercihlerine göre arama yönlendirilir. Elde edilen sonuçlar karar vericinin nihai seçimine bırakılır.

Sonsal Teknikler (Posteriori techniques) (Ara → Karar ver): Karar vericinin optimizasyon sürecinin başlangıcında herhangi bir tercihi yoktur. Elde edilen ve bütün amaçlar için uzlaşı sağlayabilen ve birbirine baskın olmayan çözümler karar vericiye sunulur.

Çok amaçlı meta-sezgisel modellerde yukarıda olduğu gibi karar verme süreci açısından sınıflandırılabildiği gibi, modellerin içinde kullanılan uygunluk fonksiyonu (fitness function) ve seçim (selection) mekanizmalarına göre de değişik sınıflandırılabilmektedirler [16–19].

Söz konusu sınıflandırmalar modellerin değişik özellikleri ele alınarak artırılabilir veya farklı gruplandırılabilir, ancak temel olarak sıkça karşılaşılan bazı sınıflandırmalar aşağıda verilmiştir.

Bağımsız Örnekleme Tekniği (Independent Sampling Technique): Bağımsız örnekleme tekniği, her aramada farklı bir amaç birleşimlerini optimize etmeye çalışan bir tekniktir.

Kriter Seçim Tekniği (Criterion Selection Technique): Özellikle evrimsel algoritmalarda kullanılan bir tekniktir. Çözümler içinde her bir amaç için iyi sonuç veren çözümler seçilerek karar vericiye sunulmaya çalışılır.

Birleştirme Seçim Tekniği (Aggregation Selection Technique): Çözümler uygunluk değerlerine göre lineer ya da doğrusal olmayan yöntemlere göre birleştirilerek seçim mekanizmalarında değerlendirilirler. Uygunluk değerlerini amaçları ağırlıklandırarak birleştirme sıkça rastlanan bir yöntem olmakla beraber aşağıdaki formüller genel yapısını vermektedir.

f(x)=w1 f1(x) + w2 f2(x) +...+ wn fn(x) (3.5)

wi≥ 0 i= 1,2,...,n (3.6)

w1 + w2 +...+ wn = 1 (3.7)

Pareto Örnekleme Tekniği (Pareto Sampling Techniques): Bu teknikte ise seçim mekanizmasında ve uygunluk değerlerinde Pareto kavramı kullanılmaktadır. Elde edilen pareto optimumu çözümler karar vericiye sunulmaktadır. Pareto örnekleme tekniğini kullanan bazı modellerde pareto optimum çözümler ikincil bir hafıza kullanılarak depolanmakta ve algoritmanın sonunda karar vericiye sunulmaktadır.

Literatürde yer alan çalışmalar [16–21] incelendiğinde genel olarak meta-sezgisel yöntemlerin; model içerisindeki popülasyonun nasıl kullanıldığına, uygunluk fonksiyonunun kullanımına, seçim mekanizmalarının kullanımına, birinci veya ikinci uygunluk fonksiyonu kullanıp kullanmadığına, elde ettiği çözümleri harici bir hafızada tutup tutmadığına, Pareto kavramını kullanıp kullanmadığına göre sınıflandırıldıkları görülmektedir. Bazen de sezgisel yöntemin yapısına göre sınıflandırmalar yapılmaktadır; doğandan esinlenen-esinlenmeyen algoritmalar, evrimsel algoritmalar, lokal arama algoritmaları, melez algoritmalar, patika bazlı veya patika bazlı olmayan algoritmalar vb.

Bazı çalışmalarda ise sınıflandırma amaçların birleştirildiği yaklaşımlar, popülasyon tabanlı yaklaşımlar ve Pareto tabanlı yaklaşımlar olarak yapılmış olup genelde bu sınıflandırmalar meta-sezgisel yöntemler üzerine yapılmıştır.

Ancak her ne kadar bu tür sınıflandırmalar yapılsa da önemli olan çok amaçlı olarak sezgiselin yeni bir yöntem önerip önermediğidir. Özellikle karar vericiye çözüm uzayının mümkün olan her alanından elde edilen Pareto optimum sonuçların sunulması istendiğinde ortaya uygun dağılımda (diversification) (çözüm uzayına uygun şekilde dağılmış) çözümlerin elde edilmesi sorunu çıkmaktadır.

Literatürde yer alan birçok sezgisel bu sorun ile başa çıkabilmek için değişik modeller önermiştir. Bölüm 3.3’te literatürde yer alan ve diğer çalışmalara da esin kaynağı olmuş bazı önemli meta-sezgiseller ve önerdikleri modeller kısaca tanıtılacaktır.

3.3. Çok Amaçlı Meta-Sezgisel Modeller

Bu bölümde, literatürde yer alan ve diğer çalışmalara da esin kaynağı olmuş, literatür taramalarında sıkça rastlanan bazı önemli meta-sezgiseller ve önerdikleri modeller kısaca tanıtılacaktır.

Vector Evaluated Genetic Algorithm (VEGA): Sheaffer tarafından 1984 yılında önerilmiştir [22]. Basit bir genetik algoritmanın seçim mekanizması değiştirilmiş ve popülasyon, amaç fonksiyonu sayısı kadar alt popülasyonlara bölünmüş ve her nesilde alt popülasyonların uygunluk değerleri farklı amaçlar için hesaplanarak seçim mekanizmasına sokulmuşlardır. Bu modelde en büyük problem; Pareto kavramını gözetmemesi sebebi ile bazı çözümler, her amaç fonksiyonu için iyi sonuçlar veren Pareto optimum çözümler olsalar bile, değerlendirme her seferinde sadece bir amaç fonksiyonu için yapıldığından bu çözümler göz ardı edilebilmektedir.

Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA): Fonseca ve Fleming tarafından 1993 yılında önerilmiştir. Bu modelde uygunluk fonksiyonu olarak seçim mekanizmasında Pareto baskınlık derecesi (Pareto ranking) kullanılmıştır. Bir çözüm, popülasyonun içinde kaç tane çözüme baskın geliyor ise uygunluk derecesi olarak bu değer kullanılmıştır. Ancak bu modelde de popülasyonun içinde aynı baskınlık derecesine sahip çok fazla çözüm olması durumunda bu çözümler arasında çeşitliliğin nasıl sağlanacağı sorun olmuştur. [23]

The Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA): Bu yöntem Srivinas ve Deb tarafından 1994 yılında önerilmiştir. Yöntemde popülasyonun bütün bireyleri baskın olma durumlarına göre sınıflandırmalara tabi tutulmakta, diğerleri tarafından baskılanmayan çözümler birinci kategoride yer almakta ve bu çözümlere popülasyon sayısı ile orantılı bir yapay uygunluk değeri atanmaktadır. Daha sonra bu kategorilendirilen çözümler göz ardı edilerek popülâsyondaki bütün çözümler kategorilendirmeye tabi tutulana kadar devam edilmektedir.

Birinci kategorideki çözümlerin seçilme olasılığı diğer kategorilerdeki çözümlerden daha fazladır. Dolayısı ile kategori numarası arttıkça çözümlerin seçilme olasılığı azalmaktadır. Ancak kategorilerdeki çözüm sayısı arttığında aynı yapay uygunluk değerine sahip çözüm sayısı artacağından çözümler arasındaki çeşitlilik bu yöntemde de problem olmaya başlamaktadır. [24]

Niched Pareto Genetic Algorithm (NPGA): Horn ve diğerleri tarafından 1994 yılında önerilmiştir. Bu modelde seçim mekanizmasında turnuva seçim yöntemi uygulanmıştır. Turnuva seçiminde karşılaştırılan çözümlerde Pareto baskınlık dikkate alınmıştır, diğer çözüme baskın olan seçilmiştir. Turnuvada karşılaştırılan çözümlerin her ikisinin de birbirlerine baskınlık sağlayamaması durumunda belirlenen uygun paylaşım (fitness sharing) değerine göre seçim işlemi yapılmıştır [25].

Multiple Objective Genetic Algorithm (MOGA): Murata ve Ishibushi tarafından 1995 yılında önerilmiştir. Önerilen modelde Pareto baskınlık kavramı kullanılmamış olup, amaç fonksiyonları rastsal olarak değişen ağırlıklar ile birleştirilmiştir. Her iterasyonda değiştirilen ağırlıklar ile çözüm çeşitliliği sağlanmaya çalışılmıştır. Genetik algoritmanın etkinliğinin arttırılması amacı ile de algoritmaya lokal arama eklenmiştir [26].

Tabu Search for Multiobjective Optimization (MOTS): Hansen tarafından 1997 yılında önerilmiştir. Amaçlar ağırlıklandırılarak birleştirilmiş ve ağırlıklar iterasyonlar esnasında dinamik olarak değiştirilmiştir. Pareto cephede çözümlerin seyrek olduğu bölgelere doğru arama yönlendirilmeye çalışılmıştır [27].

Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA): Zitzler ve Tiele tarafından 1998 yılında önerilmiştir. MOGA yönteminde olduğu gibi Pareto dereceleme (basın olduğu çözümlerin sayısı) kullanılmıştır. Elde edilen Pareto çözümler, harici bir popülasyonda tutulmuş ve nesiller ilerledikçe harici popülasyonun güncelliği sağlanmıştır. Uygun dağılımı (Diversity) sağlayabilmek için seçim mekanizmasında Average Linkage Method adında bir sınıflandırma tekniği kullanılmıştır [28].

Pareto Simulated Annealing (PSA): Czyzak ve Jaszkiewicz tarafından 1998 yılında önerilmiştir. Model komşuluk araması açısından tek amaçlı tavlama benzetimine benzer işlemekte olup, amaçları ağırlandırarak birleştirmiştir. Komşuluk araması yapılırken aramayı yönlendirmek için ağırlıkları kullanırken hafızadaki sonuçları Pareto kavramına göre güncellemektedir [29]

Multiobjective Ant-Q Algorithm (MOAQ): Mariano ve Morales tarafından 1999 yılında önerilmiştir. Modelde amaç fonksiyonu kadar karınca grubu oluşturulmuş ve her gruba bir amaç verilmiştir. Grupların elde ettiği sonuçlar Pareto kavramı açısından değerlendirilmiş ve Pareto sonuçlar ödüllendirilirken diğerleri cezalandırılmaktadır [30].

Pareto Archived Evolution Strategy (PAES): Knowles ve Corne tarafından 2000 yılında önerilmiştir. Seçim mekanizmasında Pareto cepheleri oluşturulmuştur, elde edilen Pareto çözümler ikincil popülasyonda tutulmakta ve güncellenmektedir. Uygun dağılımın (Diversity) sağlanmasında çözüm uzayı gridlere bölünmüş olup bu gridlere düşen çözüm sayısına bağlı olarak seçim mekanizması çalıştırılmıştır. Çözüm sayısının az olduğu gridlerdeki çözümlere seçim mekanizmalarında öncelik verilmektedir [31].

Mimetic PAES (M-PAES): Knowles ve Corne tarafından 2000 yılında önerilmiştir. Bu yöntemin PAES’den farkı ise bir lokal arama algoritması olan Mimetic algoritmayı, popülasyon tabanlı evrimsel algoritma ile birlikte kullanmasıdır ve daha başarılı sonuçlar elde etmiştir. Lokal arama ve seçim mekanizmalarında elitist bir yaklaşım kullanmıştır [32].

Multi-Objective Messy Genetic Algorithm (MOMGA): Van Veldhuizen ve Lamont tarafından 2000 yılında önerilmiştir. Bu çalışmada Dağıtık genetik algoritmalar çok amaçlı olarak kullanılmıştır. Harici popülasyon değiştirilebilir ve değiştirilemez olarak ikiye ayrılmıştır. Harici popülasyon Pareto kavramına göre güncellenmektedir. Değiştirilebilir popülasyon her nesilde rastsal olarak üretilen bireylerden oluşturulmakta, değiştirilemez bölümle birleştirilerek bir sonraki nesil seçilmektedir [33].

Nondominated Sorting Genetic Algorithm–2 (NSGA-II): Deb ve diğerleri tarafından 2000 yılında önerilmiştir. Bu çalışmada farklı olarak elitizm kullanılmış ve Uygun dağılımın (Diversity) sağlanabilmesi için çözüm uzayındaki dağılım incelenmiş ve kalabalık olmayan bölgelerdeki çözümlere seçim mekanizmasında öncelik verilmiştir [34].

Pareto Envelope-Based Selection Algorithm (PESA): Corne ve diğerleri tarafından 2000 yılında önerilmiştir. Dahili popülasyon büyüklüğü, harici popülasyon büyüklüğünden daha küçüktür. Seçim mekanizmasında ve harici popülasyonun güncellenmesinde çözümler arasındaki mesafeler kullanılmış olup, komşuluk mesafesi büyük olan çözümlerin seçim önceliği daha fazladır. Kullanılan komşuluk mesafesi ölçümleri ile Pareto cephede çözüm sayısı yönünden seyrek olan bölümlerde yer alan çözümlere öncelik vererek o bölgelerdeki çözüm sayıları arttırılmaya çalışılmıştır [35].

Niched Pareto Genetic Algorithm-2 (NPGA-II): Erikson ve diğerleri tarafından 2001 yılında önerilmiştir. NPGA’da olduğu gibi turnuva seçimi kullanılmış, ancak karşılaştırılan çözümlerde mevcut popülasyondaki baskınlık derecelerine (kaç çözüme karşı baskın olduğuna) bakılmıştır. Turnuvada baskınlık derecesi yüksek olan seçilmiştir. Turnuvada karşılaştırılan çözümlerin her ikisinin de birbirlerine üstünlük sağlayamaması durumunda belirlenen uygun paylaşım (fitness sharing) değerine göre seçim işlemi yapılmıştır [36].

Strength Pareto Evolutionary Algorithm–2 (SPEA-II): Zitzler ve diğerleri tarafından 2001 yılında önerilmiştir. Pareto derecelendirmede sadece baskın olduğu çözüm sayısını değil aynı zamanda ona baskın olan çözüm sayılarını da kullanmıştır. Arama uzayını yönlendirmede en yakın komşu yoğunluğunu kullanmış ve harici popülasyonda arşivleme yaparken budama (truncation) yöntemini kullanarak sınırlarda yer alan sonuçların iterasyon esnasında kaybolmasını engellemiştir [37].

Pareto Envelope-based Selection Algorithm-II (PESA-II): Corne ve diğerleri tarafından 2001 yılında geliştirilen bu yöntemde bir önceki çalışmaları [35] revize edilmiştir. Bu çalışmada seçim mekanizmasında çözümler yerine çözüm uzayında belirlenen kutulardaki çözüm yoğunluğu kullanılmıştır. Çözüm uzayında uygun bir dağılımın yakalanması için yoğunluğu az olan (çözüm sayısı az olan) kutularda yer

Micro-Genetic Algorithm (Micro-GA): Coello ve Pulido tarafından 2001 yılında önerilmiştir. Modelde popülasyon çok az tutulmuş olup, yaklaşık 4 birey, tekrar oluşturma prosedürü kullanılmıştır. Elde edilen Pareto optimum sonuçlar harici bir hafızada tutulmuştur. En iyi baskın çözümler yeni oluşturma prosedüründe kullanılmıştır. Harici hafızada tutulan çözümlerden Pareto optimum olanları aktif popülasyonun içinde de kullanılmıştır [39].

Multi-Objective Messy Genetic Algorithm-II (MOMGA-II): Zydallis ve diğerleri 2001 yılında yaptıkları bu çalışmada bir önceki çalışmalarını [33] revize etmişlerdir. Bu çalışmada değişiklik olarak ikinci popülasyonun oluşturulma aşamasına filtre konularak en iyi çözümlerin ikincil popülasyona geçişi sağlanmaya çalışılmıştır [40].

Immunity SPEA (ISPEA): Hongyun ve Sanyang tarafından 2003 yılında önerilmiştir. SPEA modelinin içine bağışıklık sisteminde yer alan aşı mekanizmasını dahil etmiştir. SPEA modelinde iyi sonuç veren yapılar aşı gibi evrimsel süreçlerde kullanılmıştır [41].

Micro-Genetic Algorithm-2 (Micro-GA-II): Pulido ve Coello tarafından 2003 yılında önerilmiştir. Micro-GA’dan farkı iki aşamalı olarak kullanılmıştır. Đlk aşamada mutasyon çaprazlamaya göre daha baskın olarak kullanılmış ikinci aşamada ise çaprazlama mutasyona göre daha baskın olarak kullanılmıştır. Algoritmalarda genelde kullanılan parametreler önemlidir ve bu modelde çaprazlama oranı, elitizm, iterasyon sayısı gibi parametreler uyarlamalı olarak kullanılmıştır [42].

Multi-Population Genetic Algorithm (MPGA): Cochran ve diğerleri tarafından 2003 yılında önerilmiştir. Daha önce kullanılan iki modeli MOGA ve VEGA modelleri iki aşamalı olarak kullanılmaktadır. Đlk aşamada MOGA modelini kullanılmış ve amaçları ağırlandırılarak birleştirmiş ve aramalar buna göre yapılmıştır. Đkinci aşamada ise VEGA modelinde olduğu gibi popülasyon amaç sayısı kadar alt popülasyona bölünerek her alt gruba bir amacı iyileştirme görevi verilmiştir. [43]

Cultural Algorithm with Evolutionary Programming (CAEP): Coello ve Bacerra tarafından 2003 yılında önerilmiştir. Model iki aşamalı olarak kullanmış olup, birinci aşama normal popülasyon uzayı diğeri ise inanç uzayıdır. Popülasyon uzayı diğer algoritmalardaki aktif popülasyon olarak kullanılmış, inanç uzayı ise diğer modellerde kullanılan ikincil veya harici hafıza olarak kullanılmıştır.

Đnanç uzayında her amaç için belirlenen alt ve üst sınırlar ile çözüm uzayında oluşturulan gridler söz konusudur. Amaçlar için belirlenen alt ve üst sınırlar nedeni ile uyarlanabilir hale gelen gridler diğer grid kullanan modellerden ayırt edici bir özellik olmuştur [44].

Multi-Objective Particle Swarm Optimization (MOPSO): Coello ve diğerleri tarafından 2004 yılında önerilmiştir. Kuş sürülerinin hareketlerinden etkilenerek hazırlanan PSO algoritmasının çok amaçlı halidir. Mutasyon operatörü kullanarak uygun dağılımı sağlamaya çalışmakta ayrıca popülasyondan bireysel seçim yapmak yerine çözüm uzayından bölgesel seçim yapmaktadır [45].

Strength Pareto Evolutionary Algorithm–2+(SPEA-II +): Kim ve diğerleri tarafından 2004 yılında önerilmiştir. Önceki çalışmaya [37] göre daha etkin bir çaprazlama mekanizması kullanılmıştır. Ayrıca algoritmada hem amaç hem de karar değişkenleri uzayında uygun dağılım sağlanmaya çalışılmıştır [46].

Pareto Efficient Global Optimization (ParEGO): Knowles tarafından 2004 yılında önerilmiştir. Melez bir yaklaşım olup, evrimsel arama ile detaylı bir dahili modeli birleştirmektedir. Arama yapılacak uzayı önceden belirleyerek aramayı bu yönde yapıp dahili modele daha iyi çözümler sunmayı planlamaktadır. Amaçlar ağırlıklandırılarak arama yapılmaktadır [47].

Görüldüğü üzere çok amaçlı sezgisel yöntemlerde kullanılan sezgisel yöntemler değişmekle birlikte, çok amaçlı model açısında pareto kavramı ve ağırlıklandırarak birleştirme yöntemleri sıklıkla ve başarı ile kullanılmaktadır. Pareto kavramı son yıllarda sıklıkla kullanılan bir model olmakla beraber amaçların birleştirilmesi konusunda ortaya çıkabilecek problemleri (amaçların birbirlerinde çok farklı olması durumlarında birleştirme zorluğu vb.) içermemesi nedeni ile öne çıkmaktadır. Bu nedenle de tez çalışmamızda pareto kavramı kullanılmıştır.

Çok amaçlı optimizasyon ve bu konuda literatürde yer alan çalışmalara değinildikten sonra 4’ncü bölümde çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemleri ile ilgili yapılan çalışmalara ve önerilen modelin karşılaştırılmasının yapıldığı referans çalışmalara değinilecektir.

4. AKIŞ TĐPĐ ĐŞ ÇĐZELGELEME PROBLEMLERĐNDE ÇOK AMAÇLI META-SEZGĐSEL ÇALIŞMALAR

Akış tipi iş çizelgeleme problemleri üzerine yapılan çalışmaların büyük bir kısmı tek amaca odaklanmaktadır. Gerçek hayatta karşılaşılan çizelgeleme problemlerinin büyük bir kısmının ise çok amaçlı olduğu görülmektedir. Bu durum doğal olarak çok amaçlı çalışmaların önemini arttırmaktadır. Bu duruma paralel olarak son yıllarda optimizasyona konu olan problemlerin çok amaçlı çözümüne yönelik çalışmalar da artmaktadır.

Benzer şekilde son yıllarda çok amaçlı çizelgeleme problemlerinin çözümüne yönelik meta-sezgisel yöntemlerin kullanımı da artmıştır. Özellikle optimizasyonun birçok alanında başarılı örnekler veren evrimsel algoritmalar, tabu arama ve tavlama benzetimi gibi meta-sezgisel yöntemlere son yıllarda karınca kolonileri optimizasyonu, yapay bağışıklık sistemi, kültürel algoritmalar, parçacık sürüsü optimizasyonu gibi algoritmalar da eklenmiştir.

Bu bölümde çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemlerinin çözümüne yönelik çalışmalar hakkında bilgi verilecek ve özellikle önerilen yapay bağışıklık algoritması ile elde edilen sonuçların karşılaştırıldığı çalışmalar detaylı olarak incelenecektir.

Çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemleri ile ilgili T’kindt ve Billaut [48] ile Minella ve diğerleri [49] tarafından yapılan çalışmalar literatürde yer alan tek amaçlı ve çok amaçlı çalışmalar hakkında detaylı bilgi vermektedir. Ancak bu bölümde literatürde yer alan ve meta-sezgisel yöntemler kullanılarak yapılan çalışmalara yer verilecektir.

Söz konusu çalışmalar; kullandıkları sezgisel yöntemlere göre, Pareto baskınlık kullanıp kullanmadıklarına göre, popülasyon tabanlı olup olmadıklarına göre gruplandırılabilmektedirler. Bu bölümde çok amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemleri ile ilgili çalışmalar yapıldıkları yıllara göre özet olarak verilecektir.

4.1. Çok Amaçlı Akış Tipi Đş Çizelgeleme Problemleri Đle ilgili Yapılan Çalışmalar

Çok Amaçlı Genetik Algoritma: Murata ve diğerleri tarafından 1996 yılında yapılmıştır [50]. Genetik algoritmalar kullanılarak yapılan bu çalışmada işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikme ve toplam akış zamanı ağırlıklandırılarak birleştirilmiş ve Pareto optimum çözümler elde edilmeye çalışılmıştır. Amaçların ağırlıkları rastsal olarak değiştirilmiş bu şekilde çözümler içinde çeşitlilik sağlanmaya çalışılmıştır.

Melez Genetik Algoritma: Nagar ve diğerleri tarafından 1996 yılında yapılmıştır [51]. Çalışmada, iki makineli akış tipi iş çizelgeleme problemleri işlerin tamamlanma zamanı ve ortalama akış zamanı amaçları doğrultusunda optimize edilmek üzere melez genetik algoritma önerilmiştir. Çalışmada dal sınır algoritması kullanılarak genetik algoritmanın çözüm uzayında yönlendirilmesi sağlanmaya çalışılmıştır.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşımlar: Neppalli ve diğerleri tarafından 1996 yılında yapılmıştır [52]. Çalışmada genetik algoritmaları temel olarak kullanan iki yaklaşım önerilmiştir. Yaklaşımlar iki amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde işlerin tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanını optimize etmeye çalışmaktadır.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşım: Sridhar ve Rajendran tarafından 1996 yılında yapılmıştır [53]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanı, toplam akış zamanı ve makinelerin boşta kaldığı süreleri optimize etmeye çalışmıştır. Çalışmada genetik algoritma tabanlı bir model kullanılmış ve çok amaçlı modelde popülasyon alt popülasyonlara bölünmüştür.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşımlar: Cavalieri ve Gaiardelli tarafından 1998 yılında yapılmış olan bu çalışmada genetik algoritma tabanlı iki algoritma önerilmiştir [54]. Çalışmada toplam gecikmeler ve işlerin tamamlanma zamanı amaçları kullanılmıştır. Önerilen modelin ilkinde genetik algoritmaların çaprazlama ve mutasyon operatörleri kullanılmış olup, ikinci modelde bu operatörlere ilave olarak işlerin en yakın teslim zamanına göre sıralanması kuralı da kullanılmıştır.

Genetik Lokal Arama Algoritması: Ishibuchi ve Murata tarafından 1998 yılında yapılmıştır [55]. Çalışmada genetik algoritmalara lokal arama operatörü eklenmiş

olup, bu şekilde genetik algoritmanın etkinliği arttırılmaya çalışılmıştır. Đşlerin tamamlanma zamanı ve toplam gecikme zamanı çok amaçlı modelde kullanılmıştır, söz konusu amaçlar ağırlıklandırılarak birleştirilmiş ve Pareto optimum sonuçlara bu

şekilde ulaşılmaya çalışılmıştır.

Tabu Arama Tabanlı Algoritma: Gupta ve diğerleri tarafından 1999 yılında yapılmıştır [56]. Çalışma tabu arama algoritması üzerine kurulmuştur. Đşlerin tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı optimize edilmeye çalışılmıştır. Önerilen tabu arama algoritmasında başlangıç çözümü, hareketin yönü, komşuluk büyüklüğü tabu listesinin uzunluğu gibi ölçütlerin algoritmanın performansına etkileri Taguchi yöntemine göre belirlenmeye ve uygun parametreler bulunmaya çalışılmıştır.

Tabu Arama Tabanlı Algoritma: Loukil ve diğerleri tarafından 2000 yılında yapılmıştır [57]. Çalışmada, işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikmeler, geciken iş sayıları, toplam akış zamanı gibi akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde kullanılan birçok amacı kullanan esnek bir tabu arama algoritması önerilmiştir. Önerilen model üzerinde değişiklik yapılarak model akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde kullanılan birçok amaca uygun hale getirilmektedir.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşım: Bagchi tarafından 2001 yılında yapılmıştır [58]. Çalışma 3’ncü bölümde anlatılan çok amaçlı modellerden biri olan NSGA [24] algoritmasını kullanmaktadır. Kullanılan modelde işlerin tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı amaçlar olarak seçilmiştir. Çalışmada ayrıca NSGA modelinin elitizm kullanılmış ve kullanılmamış hallerinin performans karşılaştırılması yapılmıştır.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşım: Chang ve diğerleri tarafından 2002 yılında yapılmıştır [59]. Yapılan bu çalışmada işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikme, toplam akış zamanı ve maksimum gecikme optimize edilmeye çalışılmıştır. Önerilen model genetik algoritmalar üzerine kurulmuş olup, amaçlar ağırlıklandırılarak birleştirilmiştir. Ağırlıklar bir amaçtan diğerine doğru kademeli olarak arttırılarak arama uzayı yönlendirilmeye ve pareto optimum sonuçlar elde edilmeye çalışılmıştır.

Karınca Kolonileri Optimizasyonu Algoritması: T’kindt ve diğerleri tarafında 2002 yılında yapılmıştır [60]. Model işlerin tamamlanma zamanını ve bu zamanların toplamını optimize etmeye çalışmaktadır. Model karınca kolonileri optimizasyonunu temel olarak kullanmakta tavlama benzetimi ile de lokal arama yaparak çözümlerin kalitesini arttırmaya çalışmaktadır.

Memetik Algoritma: Yeh tarafından 2002 yılında yapılmıştır [61]. Çalışma melez bir genetik algoritma önermekte ve işlerin tamamlanma zamanı ile toplam akış

zamanını optimize etmeye çalışmaktadır. Önerilen model genetik algoritmalara açgözlü algoritma ekleyerek bir çeşit lokal arama operatörü kullanmakta ve etkin bir arama gerçekleştirmeye çalışmaktadır.

Lokal Arama Sezgiseli: Gupta ve diğerleri tarafından 2002 yılında önerilmiştir [62]. Modelde işlerin tamamlanma zamanı ile toplam akış zamanı optimize edilmeye çalışılmıştır. Çalışmada tavlama benzetimi, tabu arama gibi sezgisel arama yöntemleri bileştirilerek etkin bir lokal arama algoritması kurulmaya çalışılmıştır. Yapılan çalışmada işlerin tamamlanma zamanı birinci öncelikli amaç, toplam akış

zamanı ise ikinci öncelikli amaç olarak kabul edilmiştir.

Çok Amaçlı Evrimsel Algoritma: Basseur ve diğerleri tarafından 2002 yılında önerilmiştir [63]. Çalışmada melez bir evrimsel algoritma önerilmiştir. Algoritmada birbirinde farklı mutasyon operatörleri aynı anda kullanılmıştır. Algoritmanın etkinliğinin arttırılması maksadı ile de lokal arama kullanılmıştır. Çalışmada toplam gecikme ve işlerin tamamlanma zamanı amaçları kullanılmış olup, çözümler arasındaki çeşitliliğin arttırılması maksadı ile farklı mekanizmalar kullanılmıştır.

Lokal aramalı Evrimsel Algoritma: Ishibuchi ve diğerleri tarafından 2003 yılında yapılmıştır [64]. Çalışmada iki amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde işlerin tamamlanma zamanı ve maksimum gecikme, üç amaçlı akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde ise tamamlanma zamanı, maksimum gecikme ve toplam akış

zamanı optimize edilmeye çalışılmıştır. Önerilen modelde daha önceki çok amaçlı genetik algoritmalarda kullanılan amaçların birleştirilmesi yönteminin yerine pareto kavramı kullanılmıştır. Diğer genetik algoritma tabanlı yaklaşımlarda olduğu gibi, önerilen evrimsel algoritmanın etkinliğinin arttırılması amacı ile lokal arama modele eklenmiştir.

Çok Amaçlı Tabu Arama Algoritması: Armentano ve Arroyo tarafından 2004 yılında yapılmıştır [65]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanı ve maksimum gecikme optimize edilmeye çalışılmıştır. Önerilen tabu arama modelinde pareto kavramı kullanılmıştır. Pareto optimum çözümler aranırken çeşitliliğin sağlanması maksadı ile çözümler kümelere ayrılmış ve arama bu kümelere göre çözümlerin az olduğu alanlara yönlendirilmeye çalışılmıştır.

Gezgin Satıcı Problemi-Genetik Algoritma Modeli: Ponnambalam ve diğerleri tarafından 2004 yılında yapılmıştır [66]. Çalışmada gezgin satıcı probleminin algoritması ile genetik algoritma birleştirilmiştir. Modelde işlerin tamamlanma zamanı, ortalama akış zamanı ve makinelerin boşta kaldıkları zaman optimize edilmeye çalışılmıştır. Amaçlar ağırlıklandırılarak birleştirilmiş olup, ağırlıklar her iterasyonda rastsal olarak değiştirilmiştir.

Karınca Kolonileri Optimizasyonu Algoritması: Rajendran ve Ziegler tarafından 2005 yılında yapılmıştır [67]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanı ve toplam akış

zamanı amaç olarak kullanılmıştır. Đki ayrı karınca kolonileri optimizasyonu algoritması önerilmiştir. Önerilen her iki algoritmada da çözüm etkinliğinin attırılması amacı ile lokal arama operatörleri kullanılmıştır.

Genetik Lokal Arama: Arroyo ve Armentano tarafından 2005 yılında yapılmıştır [68]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanı, maksimum gecikme ile işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikme amaçları kullanılmıştır. Modelde pareto kavramı kullanılmış

olup, amaçlar birleştirilmemiştir. Arroyo ve Armentano çalışmalarında elitizm, popülasyonun çeşitliliği ve çözüm uzayının belirlenen bölgelerinde paralel lokal arama öne çıkan özelliklerdir.

Çok Amaçlı Tavlama Benzetimi: Loukil ve diğerleri tarafından 2005 yılında yapılmıştır [69]. Çalışmada, işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikmeler, geciken iş sayıları, toplam akış zamanı gibi akış tipi iş çizelgeleme problemlerinde kullanılan birçok amacı kullanan tavlama benzetimi algoritması önerilmiştir. Çalışmada amaçlar birleştirilerek kullanılmıştır. Çözümler üzerinde komşuluk araması yapılırken değişik stratejiler kullanılmıştır. Çözümler arasında uygun dağılım sağlamak maksadı ile çözüm uzayındaki aramalara, amaçların ağırlıklarında yapılan değişiklikler ile yön verilmeye çalışılmıştır.

Yapay Sinir Ağları: Haq ve Ramanan tarafından 2006 yılında yapılmıştır [70]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanı ve toplam akış zamanı optimize edilmeye çalışılmıştır. Model iki aşamalı olarak tasarlanmış olup, ilk aşama yapay sinir ağları için eğitim modülünü ikinci aşama ise optimizasyon modülünü içermektedir. Çözüm dizileri üzerinde ikili yer değiştirmeler yapılarak işlerin tamamlama zamanı ve toplam akış zamanı için daha iyi sonuç veren çözümler elde edilmeye çalışılmıştır.

Karınca Kolonileri Optimizasyonu Algoritması: Li ve Zhang tarafından 2006 yılında yapılmıştır [71]. Çalışmada işlerin tamamlanma zamanları ile toplam tamamlanma zamanları kullanılmıştır. Önerilen karınca kolonileri optimizasyonu modelinde amaçlar birleştirilerek kullanılmıştır. Modelin başlangıç çözümleri olarak melez bir lokal arama sürecinden elde edilen çözümler kullanılmıştır.

Multi-Objective Immune Algorithm (MOIA): Moghaddam ve diğerleri tarafından 2006 yılında önerilmiştir [72]. Modelde çok amaçlı bağışıklık sistemi algoritması Pareto kavramına uygun olarak kullanılmış olup, önerilen model çok amaçlı akış tipi iş

çizelgeleme problemlerine uygulanmıştır. Çalışmada işlerin ortalama tamamlanma zamanı ve ortalama gecikme amaç olarak kullanılmıştır.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşım: Chang ve diğerleri tarafından 2007 yılında yapılmıştır [73]. Yapılan çalışmada işlerin tamamlanma zamanı ve maksimum gecikme amaçları kullanılmıştır. Amaçlar ağırlıklandırılarak birleştirilmiştir. Modelde pareto optimum cephenin düzgün bir dağılım ile oluşturulabilmesi ve her alanda pareto çözümlere sahip olunabilmesi maksadıyla popülasyon alt gruplara bölünmüş

ve grubun ait olduğu bölgede pareto optimum çözümler elde edilemeye çalışılmıştır.

Genetik Algoritma Tabanlı Yaklaşım: Li ve Wang tarafından 2007 yılında yapılmıştır [74]. Yapılan çalışmada, işlerin tamamlanma zamanı, toplam gecikmeler, geciken iş

sayıları, toplam akış zamanı gibi değişik amaçlar kullanılmıştır. Önerilen modelde amaçlar hem ağırlıklandırılarak bileştirilmiş hem de pareto baskınlıkları ölçülmüştür. Çözümlerin uygunlukları belirlenirken ağırlıklandırılarak birleştirmeden çeşitlilik ve uygun dağılım sağlanmasında ise pareto kavramından yaralanılan melez bir genetik algoritma tasarlanmıştır.