Genelleştirilmiş Simpson tipli integral eşitsizlikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ SİMPSON TİPLİ İNTEGRAL

EŞİTSİZLİKLERİ

SAKİNE OKUMUŞ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. MEHMET ZEKİ SARIKAYA

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ SİMPSON TİPLİ İNTEGRAL

EŞİTSİZLİKLERİ

Sakine OKUMUŞ tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS

TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA

Düzce Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Hüseyin BUDAK

Düzce Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Mehmet Eyüp KİRİŞ

Kütahya Dumlupınar Üniversitesi ____________________

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

28 Şubat 2020

TEŞEKKÜR

Yüksek Lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA’ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Tez çalışmam boyunca bilgi ve tecrübeleri ile değerli katkılarını esirgemeyen Arş. Gör. Dr. Tuba TUNÇ ve Doç. Dr. Hüseyin BUDAK ‘a şükranlarımı sunarım.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

SİMGELER ...

vi

ÖZET ...

vii

ABSTRACT ...

viii

1.

GİRİŞ ...

1

2.

KURAMSAL KAVRAMLAR ...

4 2.1. GENEL KAVRAMLAR………4

3.

MATERYAL VE YÖNTEM ...

10

3.1. S-KONVEKSFONKSİYONLARİÇİNSİMPSONTİPLİEŞİTSİZLİKLER ... 10

4.

BULGULAR VE TARTIŞMA ...

23

4.1.GENELLEŞTİRİLMİŞSİMPSONTİPLİİNTEGRALEŞİTSİZLİKLERİ23

5.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...

33

6.

KAYNAKLAR ...

34

SİMGELER

 

a b

AC , Mutlak Sürekli Fonksiyonların Kümesi '

f f Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi

f f Fonksiyonunun Mutlak Değeri

 

a b

L_p ,

 

a,b Aralığında p. Kuvveti İntegrallenebilen

Fonksiyonların Kümesi

 

a b

L₁ ,

 

a,b Aralığında İntegrallenebilen Fonksiyonların

Kümesi

 

a b

L_ ,

 

a,b Aralığında İntegrali Sınırlı Olan Fonksiyonların

Kümesi

 

a,b

max a ve b nin maksimumu

R Reel Sayılar Kümesi

 

a,b

sup a ve b nin supremumu

x x Sayısının Mutlak Değeri

p

ÖZET

GENELLEŞTİRİLMİŞ SİMPSON TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

Sakine OKUMUŞ Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Şubat 2020, 36 sayfa

Simpson eşitsizliği Hermite-Hadamard eşitsizliğinden meydana gelen midpoint ile trapeziod ifadelerinden oluşmuş önemli bir eşitsizliktir. Bu tezde amacımız parametreye bağlı Simpson tipli yeni eşitsizlikler elde etmektir. Bunun için ilk olarak çalışmamızda kullanılacak olan bir önemli özdeşlik elde etmek olacaktır. Daha sonrada bu özdeşlik yardımıyla konveks fonksiyonlar kullanılarak genelleştirilmiş Simpson eşitsizlikleri elde edilecektir.

ABSTRACT

GENERALIZED SIMPSON TYPE INTEGRAL INEQUALITIES

Sakine OKUMUŞ Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathenatics Master’s Thesis

Supervisor: Prof Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA February 2020, 36 pages

The Simpson inequality is an important inequality, consisting of midpoint and trapeziod expressions, which are derived from the Hermite-Hadamard inequality. Our aim in this thesis is to obtain new Simpson type inequalities depending on the parameter. The first thing to do is to obtain an important identity that will be used in our study. Then, with the help of this identity, generalized Simpson inequalities will be obtained by using convex functions.

1. GİRİŞ

Matematikte bu alanda kendimize sorduğumuz ilk soru ‘‘Neden Matematiksel Eşitsizlikler” sorusu olmuştur. Geçmişe dönük yapılan araştırmalar sonucunda 1978 yılında R. Bellman tarafından şöyle bir cevap verilmiştir: “Eşitsizlik çalışmak için bazı nedenler vardır. Pratik açıdan bakıldığında, birçok araştırmada bir niceliği diğer bir nicelikle sınırlandırma durumu karşımıza çıkmaktadır. Klasik eşitsizlikler de bu şekilde ortaya çıkmıştır. Teorik açıdan bakıldığında çok basit sorular sorularak tüm temel teoremler oluşturulabilir. Son olarak estetik açıdan bakıldığında genel olarak resim, müzik ve matematiğin bazı parçalarının uyumlu olduğu görülür. Elde edilen eşitsizliklerin göze hitap etmesi de eşitsizlikleri çekici hale getirir.” Eşitsizlikler matematiğin hemen hemen tüm alanlarında var olup birçok alanda uygulamaları vardır. Konveksilik, Archimedes'in ünlü



değerini hesaplamasına kadar uzanan basit olarak bilinen bir kavram olduğunu söyleyebiliriz. Konveks kümeler ve fonksiyonlar konusunun araştırmasına ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında ortaya çıkmasına karşın, 20. yüzyılın ortalarında bu kavramlar matematiğin önemli bir alanı olmaya başlandığı görülmektedir. Konveks kümeler ve ilgili geometrik konular matematikçiler tarafından kullanılan oldukça önemli konulardan biri olduğu açıktır. Konvekslik kavramı matematiğin birçok alınında örneğin geometri analiz, lineer cebir, topoloji, sayı teorisi, klasik ekstremum problemleri, lineer programlama, oyun teorisi ve eşitsizlikler teorisi (lineer, klasik ve matris) gibi çeşitli konularda önemli rol oynar. Son yüzyılda gelişen disipliner arası ilişkilerden ve artan uygulamalaryla da bu konunun matematiksel analizin merkez alanlarından biri olarak yerini aldığı söylenebilinir.

Konveks kavramını önemli bir uygulamasını ilk olarak, 1881’de Ch. Hermite'in (1822-1901) Mathesis 3 (1883,s.82) dergisine gönderdiği bir mektupta ile ortaya çıktığını ifade edebiliriz ki bu mektubu orijinalinde aşağıdaki metni verebiliriz:

Sur deux limites d'une integrale definite. Soit g( x) une fonction qu, varie toujours dans le meme sens de x =a, x =b. On aura les relations

2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) (b a g a b bg x dx b a g a g b a + −         + −

_

ou bien 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) (b a g a b bg x dx b a g a g b a + −         + −

_

suivant que la courbe y =g(x) tourne sa convexit'e ou sa concavit'e vers I'axe desabcisses.

En faisant dans ces formules g(x)=1/(1+x),a=0,b= x il vient

? ) 1 ( 2 ) 1 log( 2 2 2 x x x x x x x + −  +  + −

Bu mektupta görüldüğü gibi konveks bir fonksiyonun davranışının sergilemiş olduğu önemli bir yapının temellerini attığı gözlenmektedir. Dolayısıyla bu yeni oluşumun eşitsizlikler alanında daha fazla dikkate alınan, ancak Hermite'in temel çalışmaları sık sık onun orijinal yazar kimliği verilmeden ortaya konulmuş önemli bir eşitsizliktir. Bu bağlamda temel matematikte ilgi çeken/çekmekte olan bu eşitsizlik yani literatürde Hermite-Hadamard Eşitsizliği olarak tanımlanan bu eşitsizliğin geometrik yorumu ve çoğu uygulamaları tamamen konveks fonksiyonun ilk temel sonucu olduğunu söyleyebiliriz. Daha sonraları birçok matematikçi farklı konveks fonksiyon sınıfları (quasi-convex fonksiyonlar, fonksiyonların Godunova-Levin sınıfı, log-convex ve r-convex fonksiyonlar, p-r-convex fonksiyonlar vb.) ve özel ortalamalar (p-logaritmic ortalamalar, identric ortalama, Stolarsky ortalamalar vb.) için bu eşitsizlikleri farklı açılardan ele almaya başlamışlar ve birçok yeni sonuçlar ortaya koymuşlardır. Bu çalışmalar ile ilgili olarak temel olarak bilinen çalışmaları kaynakçalar kısmında sunulmuştur.

Hardy, Littlewood ve Polya tarafndan 1934 yılında yazılan “Inequalities” başlıklı kitap eşitsizlikler teorisi konusunda yazılmış önemli bir temel kaynak kitapları arasında literatüre girmiştir. Bu çalışmada konveks fonksiyonlarla ilgili klasik ve yeni eşitsizlikleri, problemleri, ispat yöntemlerini veya sonuçlar şeklinde önemli kavramları bu alanda çalışan matematikçilere sunulmuş temel bir kaynaktır. Buna ilave olarak

Beckenbach ve Bellman'n 1965’de yazdığı “Inequalities” başlıklı eseri ve daha sonra da Mitrinovic'in 1970’de yazdığı ve birçok temel eşitsizliklerin olduğu ve daha da kapsamlı olan “Analytic Inequalities” başlıklı kitabının da eşitsizlikler konusunda önemli bir çalışma kaynağı konumunda olduğunu söyleyebiliriz. Bu kaynaklar eşitsizlikler teorisini araştırmak isteyen okuyucu için el altında bulunması gereken önemli kaynaklarıdır. Daha sonralarda daha da özel olarak tamamen konveks fonksiyonlarını kapsayan ve daha kapsamlı bir şekilde ortaya sunulmuş A. W. Roberts ve D. E. Varberg tarafından “Convex Functions” başlıklı kitabı literatüre kazandırmışlardır. Diğer yandan oldukça önemli olan ve sadece koveks fonksiyonlar için eşitsizlikler hakkında bilgi veren önemli olan bir kitabın Pearic tarafından 1987 yılında “Convex Functions: Inequalities” başlıklı olarak bir kaynağı literatüre kazandırmıştır. Son olarak da bu tezde sunulmuş olan eşitsizliklerin özel halleri olan eşitsizlikler ve uygulamalarını okuyucu birçok türden konveks fonksiyonlar sınıflar için, özellikle de Hermite-Hadamard eşitsizliği ve bunlar ile ilgili olarak daha detaylı anlatımın S. S. Dragomir ve C. E. M. Pearce tarafından “Selected Topics on Hermite Hadamard Inequalities and Applications” başlıklı kitapta bulabileceğini söyleyebiliriz.

Son yıllarda klasik konvekslik tanımından daha genel olan konveks fonksiyon sınıfları ortaya atılmıştır ve bu tanımlardan biri olan ve birçok çalışmaya da öncülük eden konveks kavramı 1978 yılında Breckner tarafından “Stetigkeitsaussagen für eine Klasse verallgemeinerter konvexer funktionen in topologischen linearen Raumen” başlıklı çalşmasında verilen 𝑠-konveks fonksiyonlardır. Daha sonra da 𝑠-konvekslik ile ilgili önemli birçok özellikler Hudzik ve Maligranda tarafndan yazılan “Some remarks on s -convex functions” adlı çalışmada ortaya atılmış ve bu yeni kavram literatürde yerini almıştır.

Simpson eşitsizliği Hermite-Hadamard eşitsizliğinden meydana gelen midpoint ile trapeziod ifadelerinden oluşmuş önemli bir eşitsizliktir. Bu tezde amacımız parametreye bağlı Simpson tipli yeni eşitsizlikler elde etmektir. Bunun için ilk olarak çalışmamızda kullanılacak olan bir önemli özdeşlik elde etmek olacaktır. Daha sonrada bu özdeşlik yardımıyla konveks fonksiyonlar kullanılarak genelleştirilmiş Simpson eşitsizlikleri elde edilecektir.

2. KURAMSAL KAVRAMLAR

2.1 GENEL KAVRAMLAR

Bu bölümde tezimiz için gerekli olan tanım ve teoremler verilerek gerekli görülen bazı önemli teoremlerin ispatları da verilmiştir.

Tanım: Lineer uzaydan reel(kompleks) uzaya olan dönüşümlere fonksiyonel denir. Tanım: Fonksiyonlar cümlesini fonksiyonlar cümlesine dönüştüren dönüşüme operatör denir.

Tanım: (Konveks Fonksiyon) f :

 

a,b R→R fonksiyonu her x, y

 

a,b ve

 

0,1 



için

f(x+(1−)y)f(x)+(1−)f(y) (2.1) eşitsizliğini sağlıyorsa bu f fonksiyona konveks fonksiyon denir. Eşitsizlikte "  "

olması halinde de f fonksiyona konkav fonksiyon denir. Yukardaki eşitsizlikte  = ₂1 alınırsa 2 ) ( ) ( 2 y f x f y x f  +      + (2.2)

olur. Bu tip eşitsizlikleri sağlayan fonksiyonlara da J-konveks fonksiyon denir. Konveks Fonksiyonların Temel Özellikleri

i. k tane fonksiyon Rn →R ye konveks fonksiyonlar olsun. Bu takdirde;

f

( )

x a_jf_j

( )

x a_j

(

j k

)

k j ,..., 3 , 2 , 1 ; 0 , 1 =  =



= (2.3) fonksiyonuda konvekstir.

ii. g : Rn →R konkav ve S =



x : g

( )

x 0



olsun. f : S →R, f

( )

x = _{g( )}1_{x olmak}

üzere f, S de konvekstir.

iii. g : R→R azalmayan ve konveks fonksiyon ayrıca h : Rn →R konveks olsun. Bu takdirde; f : Rn →R, f

( ) (

x = gh

)( )

x olarak tanımlanan f bileşke fonksiyonuda konvekstir.

iv. g : R →R konveks ve h, h

( )

x = Ax+B formunda h : Rn →R konveks olmak üzere (Burada A uygun matristir.)

( )

x g

( )

h

( )

x

f =

fonksiyonu konveks fonksiyondur.

vi. f ve g fonksiyonlar J -konveks ise f

( ) ( )

x +g x de J -konvekstir.

vii. f, I 'de J -konveks ve g, I de J -konveks ise bu takdirde f

( ) ( )

x g x de I =I I de J -konvekstir.

Tanım: ₁=

 

a,b,₂ =

 

c,d −ab, −cd ve f

( )

x,y ,

2 1

 üzerinde tanımlı olsun. Bu durumda,

f

( )

x y dy dx f

( )

x y dx dy b y b a x a b a         =      









, , (2.4) şeklindeki eşitliğe Dirichlet formulu denir.

Tanım: (Mutlak Süreklilik) I  R , f : I →R bir fonksiyon ve

(

x ,k yk

)

sonlu bir

aralık olsun. Bu durumda,  0 için en az bir  0 vardır öyle ki,

( ) ( )

   −   −





k k k k k k x f y f x y

ise f ye mutlak sürekli denir ve

 

a,b üzerinde mutlak sürekli fonksiyonların sınıfı

 

a b ACn , ile gösterilir. Tanım: x,yR, y x y x+  + şeklindeki eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir.

Tanım: (Üçgen Eşitsizliğinin İntegral Versiyonu) f ,

 

a,b aralığında sürekli reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde

f

( )

x dx f

( )

x dx

(

a b

)

b a b b  

_



, (2.5) eşitsizliği geçerlidir.

Tanım: (Hölder Eşitsizliği) a=

(

a₁,a₂,...,a_n

)

ve b=

(

b₁,b₂,...,b_n

)

reel veya kompleks sayıların iki n -lisi olsun. Bu takdirde

1 1 1 = + q p olmak üzere a. p1 ise, , 1 1 1 1 1 q p q k n k p k n k k k n k b a b a _            







= = = b. p0 veya q0 ise, q p q k n k p k n k k k n k b a b a 1 1 1 1 1            







= = = eşitsizlikleri geçerlidir [19].

Tanım: (İntegraller için Hölder Eşitsizliği) p1 ve 1 +1 =1

q

p olsun. f ve g,

 

a,b

aralığında tanımlı reel fonksiyonlar, f p ve gq,

 

a,b aralığında integrallenebilir fonksiyonlar ise

( ) ( )

( )

( )

q p dx x g dx x f dx x g x f q b a p b a b a 1 1             

_

_



(2.6) eşitsizliği geçerlidir [13].

Teorem: (Minkowski Eşitsizliği) p1 olsun. f,gLp ise, f +gLp yazılır ve

p p b a p p b a p p b a dx x g dx x f dx x g x f / 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( ) (     +          ₊







eşitsizliği vardır. İspat: Önce, p L g

f +  olduğunu gösterelim. Eğer f  g veya f  g için

(

p p

)

p p g f g f + 2 +

olduğundan, p

L g

f +  olduğu hemen yazılır. p=1 ise, eşitsizliğin doğru olduğu apaçıktır. p1 olduğunu kabul edelim. Hölder Eşitsizliğini kullanarak,

p p p b a p p b a p p p b a p p b a p b a p b a p b a p b a dx g f dx g dx g f dx f dx g f g dx g f f dx g f g f dx g f / ) 1 ( / 1 / ) 1 ( / 1 1 1 1 − − − − −     ₊     +     ₊      + + +  + + = +

















yazılır. Her iki taraf, sıfırdan farklı kabul edeceğimiz

p p p b a f g dx / ) 1 ( −    

_

₊ ifadesine bölünürse, p p b a p p b a p p b a dx x g dx x f dx x g x f / 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( ) (     +          ₊







şeklindeki Minkowski Eşitsizliği bulunur.

Tanım: E ölçülebilir bir küme olmak üzere f bu küme üzerinde tanımlı ve reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda keyfi K sayısı için E



x : f

( )

x k



kümesi ölçülebilirse, f fonksiyonuna ölç ulebilir fonksiyon denir.

Teorem: (Lebesque integralinin varlık teoremi) Sonlu ölçümlü E kümesi üzerinde f fonksiyonu sınırlı ve ölçülebilir ise f fonksiyonunun Lebesque integrali vardır. Tanım:I  R , f : I →R bir fonksiyon ve x I için f

( )

x  olacak şekilde K bir K pozitif reel sayısı varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon denir.

Tanım: 1 p olmak üzere

( )

p

( )

p dx x f f dx x f f L L p E p E p p 1 1 , : _      =                 = =

_

_

_

Teorem: f fonksiyonu

 

a,b aralığında konveks ise a. f ,

( )

a,b aralığında süreklidir ve

b. f ,

 

a,b aralığında sınırlıdır [19].

Teorem: f fonksiyonunun I aralığında ikinci türevi varsa, f fonksiyonunun bu aralık üzerinde konveks olması için gerek ve yeter şart x  için I

𝑓′′(𝑥) ≥ 0 olmasıdır [20].

Tanım: f : X  R→R reel değerli bir fonksiyon olsun. Her x X için

M x

f( ) , ise M ye f nin bir üst sınırı denir. (Yani,



x X f x M



f −1(,)=  : ( )

kümesi boştur). Burada



   =



= − ) , ( : f 1 R M U_f

kümesi f nin üst sınırlarının kümesi olsun. f nin supremumu, eğer U_f kümesi boştan farklı ise bu durumda,

f U f inf

sup =

olarak tanımlanır. Diğer durumda ise

+ =

f

sup

dır. Ayrıca her x X için f(x)M olacak şekilde M R varsa bu durumda

M f 

sup dır.

(

X,,



)

ölçülebilir bir uzay ve f de ölçülebilir fonksiyon olsun. Bu durumda hemen hemen her x X için f(x)M yada f −1

(

,

)

ölçülebilir kümesi sıfır ölçümlü ise

M 'ye f nin esas üst sınırı denir.

(

)



 : 1( ,) =0



= _ − _ f R M Uess_f

esas üst sınırlarının kümesi olsun. Bu durumda, Uess_f  ise yukardaki tanıma benzer olarak

ess f

U f

olarak tanımlanır. Aksi halde, yani Uess_f  ise ess sup f =+ dır. Ayrıca, bu durumda hemen hemen her x X için f(x)M olacak şekilde M R varsa

M f

esssup  dır.

Ayrıca esas infimum tanımı da esas alt sınırlarının supremumu olarak tanımlanır yani esas alt sınırlarının kümesi boştan farklı ise





(

)



: : ( ) 0



sup inf f = kR x f x k = ess



olarak tanımlanır. Eğer esas alt sınırların kümesi boş ise bu durumda ess inf f =− dır. Eğer (X)0 ise f f ess f ess

f inf sup sup

inf   

bağıntısı vardır. Eğer (X)=0 ise bu durumda da ess sup f =+ ve −

=

f

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. s-KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN SİMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER Lemma: g : I R →R I üzerinde mutlak sürekli  a,bI ile a  𝑏 olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitsizlik vardır.

. ) ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 0 p t g tb t a dt a b dx x g a b b g b a g a g b a − + − = − −       +       + + 





Burada q(t) çekirdeği aşağıdaki şekilde tanımlanır:

. ) 1 , [ , ) , 0 [ , ) ( 2 1 6 5 2 1 6 1     −  − = t t t t t q

İspat: Dikkat edersek,

dt a t tb g t dt a t tb g t dt a t tb g t q I ) ) 1 ( ( 6 5 ) ) 1 ( ( 6 1 ) ) 1 ( ( ) ( 1 2 / 1 2 / 1 0 1 0 − +       − + − +       − = − + =   







dır. Buradan da kısmi istegrasyon uygularsak,

dt a b a t tb g b g b a g a g a b dt a b a t tb g a b a t tb g t dt a b a t tb g a b a t tb g t I − − + −       ₊       + + − = − − + − − − + − + − − + − − − +       − =











) 1 ( ( ) ( 2 4 ) ( ) ( 6 1 ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) 6 5 ( ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( 6 1 1 0 1 2 / 1 1 2 / 1 2 / 1 0 2 / 1 0

ve ayrıca, x=tb+(1−t)a, ve dx=( −b a)dt , seçersek; dx x g a b b g b a g a g I a b b a ( ) ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 ). (



− −       +       + + = −

istenilen sonucu verir.

Bir sonraki teorem s-konveks fonksiyon için Simpson eşitsizliğinin yeni bir genelleşmesidir.

Teorem: g : I  ,



0

)

→R I üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki a, b0 I

 

a b L

g' , _{, 𝑎 < 𝑏 olsun.} g' _,

 

a,b üzerinde s-konveks fonksiyon ise s

(

0,1



için aşağıdaki eşitsizlik vardır.



( ) ( )



) 2 3 ( 18 12 3 6 ) 5 ( ) 2 ( 9 6 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 2 2 b f a f s s s a b dx x f a b b f b a f a f s s s s b a   + + + − + + − −  − −       ₊       + + − + − −



İspat: Lemma yardımıyla ve g fonksiyonun s-konveksliğinden yararlanarak

dt a t tb g t a b dt a t tb g t a b dt a t tb g t s a b dx x g a b b g b a g a g b a ) ) 1 ( ( 6 5 ) ( ) ) 1 ( ( 6 1 ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 2 / 1 2 / 1 0 1 0 − +       − − + − +       − −  − + −  − −       +       + +









 



( ) ( )



) 2 3 ( 18 12 3 6 ) 5 ( ) 2 ( 9 6 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 5 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 5 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 1 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 1 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 5 ) ( ) ) ( ) 1 ( ) ( ( 6 1 ) ( 2 2 1 6 / 5 6 / 5 2 / 1 2 / 1 6 / 1 6 / 1 0 1 2 / 1 2 / 1 0 b g a g s s s a b dt a g t b g t t a b dt a g t b g t t a b dt a g t b g t t a b dt a g t b g t t a b dt a g t b g t t a b dt a g t b g t t a b s s s s s s s s s s s s s s s s               + + + − + + − − = − +       − − + − +       − − + − +       − − + − +       − − = − +       − − + − +       − −  − + − −













ispat tamamlanır.

Böylece, konveks fonksiyonlar için aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.

Sonuç: g : I  ,



0

)

→R , I üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki 0 g'L

 

a,b

I b

a,  a  olsun. b g , 

 

a,b üzerinde 𝑠-konveks ise aşağıdaki eşitsizlik vardır.



'( ) '( )



72 ) ( 5 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 4 ) ( 6 1 b g a g a b dx x g a b b g b a g a g b a + −  − −     ₊ + ₊



Birinci türev açısından orta nokta eşitsizliği için en iyi üst sınır aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Sonuç: Teorem de , eğer g(a)=g

( )

a₂+b = g(b), _ise



( ) ( )



) 2 3 ( 18 12 3 6 ) 5 ( ) 2 ( 9 6 ) ( 2 ) ( 1 2 2 b g a g s s s a b b a g dx x g a b s s s s b a   + + + − + + − −        + − − − + − −



Sonuç: s=1 seçersek,



'( ) '( )



72 ) ( 5 2 ) ( 1 b g a g a b b a g dx x g a b b a + −        + − −



eşitsizliği elde edilir.

Simpson'un birinci türev açısından üst koşullar için ilgili versiyonu aşağıdaki sonuçlara dahil edilmiştir.

Teorem: g : I  ,



0

)

→R I0 üzerinde süreki bir dönüşüm öyle ki g ' L

 

a,b, a, bI 𝑎 < 𝑏 olsun. ' /( 1)

−

p p

g _,

 

a,b _{üzerinde 𝑠-konveks ise} s

(

0,1



ve p1 için aşağıdaki eşitsizlikler vardır.

        +       + +       + + + + −  − −       +       + +     + +



q q q q q p p p b a b g b a g b a g a g p a b dx x g a b b g b a g a g / 1 / 1 / 1 1 1 ) ( 2 ) 2 ) ( ( ) ) 1 ( 6 2 1 )( ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 burada 1 +1 =1 q p dır.

dt a t tb g t a b dt a t tb g t p a b dx x g a b b g b a g a g b a ) ) 1 ( ( 6 1 ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 2 / 1 0 1 0 − +       − −  − + −  − −       ₊       + +  







q q p p p q q p p p q q p p q q p p dt a t tb g x dt t dt t a b dt a t tb g dt t dt t a b dt a t tb g dt t a b dt a t tb g dt t a b dt a t tb g t a b / 1 1 2 / 1 / 1 1 6 / 5 6 / 5 2 / 1 / 1 2 / 1 0 / 1 2 / 1 6 / 1 6 / 1 0 / 1 1 2 / 1 / 1 1 2 / 1 / 1 2 / 1 0 / 1 2 / 1 0 1 2 / 1 ) ) ) 1 ( ( ( ) 6 5 6 5 )( ( ) ) ) 1 ( ( ( ) 6 1 6 1 )( ( ) ) ) 1 ( ( ( ) 6 5 )( ( ) ) ) 1 ( ( ( ) 6 1 )( ( ) ) 1 ( ( 6 5 ) ( − +       − +       − − + − +       − +       − − = − +       − − + − +       − −  − +       − − +     























g fonksiyonu 𝑠-konveks olduğundan

1 ) ( ) ( ) ) 1 ( ( 2 2 / 1 0 + +  − + +   



g tb t a dt g a _s g q b a q q ve 1 ) ( ) ( ) ) 1 ( ( 2 1 2 / 1 + +  − +    +



g tb t a dt g _s g b q q b a q

                          +       + +               + + +       + + −  − −       ₊       + +     + +



q q q q q q q p p p b a b g b a g b a g a g s p a b dx x g a b b g b a g a g / 1 / 1 / 1 / 1 1 1 ) ( 2 2 ) ( . ) 1 ( 1 ) 1 ( 6 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1

elde edilir ki bu da teoremin ispatını verir.

Sonuç: g: I  ,



0

)

→R I0 üzerinde süreki bir dönüşüm öyle ki g ' L

 

a,b, a,b I

 a  olsun. b g p/( −p 1) ,

 

a,b üzerinde s-konveks ise s

(

0,1



ve p1 için aşağıdaki eşitsizlikler vardır.

                +       + +               + +       + + −  − −       ₊       + +     + + −



q q q q q q p p p b a b g b a g b a g a g p a b dx x g a b b g b a g a g q / 1 / 1 / 1 1 1 ) ( 2 2 ) ( ) 1 ( 6 2 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 burada 1 +1 =1 q p dır.

Sonuç: Teoreme, ek olarak g(a) = g(b) =0 alınırsa

            +         + + + −  − −       +       + +  + +



2 ) 1 ( 6 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 / 1 1 1 / 1 b a g p s a b dx x g a b b g b a g a g p p p q b a olur ki burada 1 +1 =1 q p dır.

Birinci türev açısından orta nokta eşitsizliği için en iyi üst sınıır aşağıdaki sonuçlarda gözlenmektedir.

Sonuç: Teorem de g(a)=g(a+₂b)=g(b), _ise

                +       + +               + + + + + −        + − −     + +



q q q q q q q p p p b a b g b a g b a g a g s p a b b a g dx x g a b / 1 / 1 / 1 / 1 1 1 ) ( 2 2 ) ( ) 1 ( 1 ) ) 1 ( 6 2 1 )( ( 2 ) ( 1

Birinci türev açısından üst sınır için Simpson eşitsizliğinin bir başka versiyonu şöyle elde edilmiştir.

Teorem: g : I 



0,

)

→R I0 üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki

 

ab a b I

L

g' , , ,  , a  olsun. b

q

g ,

 

a,b üzerinde s-konveks ise s 

(

0,1



ve ,

1 

q için aşağıdaki eşitsizlik vardır.



q q



b a b g a g s s a b dx x g a b b g b a g a g ) ( ' ) ( ' ) 2 3 ( 36 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 2 + + + −  − −       +       + +



İspat: q1 olsun. Lemma daki özdeşilik yardımıyla iyi bilinen ortalama eşitsizliği kullanırsa,

q q q q dt a t tb g t dt t a b dt a t tb g t dt t a b dt a t tb g t a b dt a t tb g t a b dt a t tb g t s a b dx x g a b b g b a g a g q q b a 1 1 1 1 ) ) 1 ( ( 6 5 6 5 ) ( ) ) 1 ( ( ) 6 1 ( ) 6 1 )( ( ) ) 1 ( ( 6 5 ) ( ) ) 1 ( ( 6 1 ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 2 / 1 1 1 2 / 1 2 / 1 0 1 2 / 1 0 1 2 / 1 2 / 1 0 1 0       − +       −             − − +       _{− + −}       − −  − +       − − + − +       − −  − + −  − −       +       + +     

















− − olur. Buradan da q

g fonksiyonu s-konveks olduğu için

(

)



s s s s



q q s q s q s q s q a g s s s dt a g t b g t t dt a g t b g t t dt a t tb g t ) ( ' ) 2 3 ( 36 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 )( 3 ( ) ) ( ' ) 1 ( ) ( ' 6 1 ) ( ' ) 1 ( ) ( 6 1 ) ) 1 ( ( 6 1 2 1 1 2 / 1 6 / 1 6 / 1 0 2 / 1 0 + + + + = − +       − +       _{+ −}       −  − +       − − − − −







  ve

q s s s s s q s s s s q s q s q s q s q b g s s s s a g s s s dt a g t b g t t dt a g t b g t t dt a t tb g t ) ( ' ) 2 3 ( 36 24 6 ) 2 ( 21 ) 2 ( 6 2 3 5 ) ( ' ) 2 3 ( 36 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 )( 3 ( ) ( ' ) 1 ( ) ( 6 5 ) ( ' ) 1 ( ) ( 6 5 ) ) 1 ( ( 6 5 2 1 2 2 1 1 1 6 / 5 6 / 5 2 / 1 1 2 / 1 + + − + − − + + + + + =       _{+ −}       − +       _{+ −}       −  − +       − − − − − + − − − −   







dır. Ayrıca dikkat edersek

72 5 6 5 6 1 1 2 / 1 2 / 1 0  =     − =       −

_



t dt t dt

olarak hesaplanılır. Böylece tüm yukarıdaki eşitsizliklerin birleştirilmesi ile ispat tamamlanılır.

Teorem: g : I  ,



0

)

→R_, 0

I üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki g ' L

 

a,b,

b

a, I , a  olsun. b g q fonksiyonu

 

a,b üzerinde konkav q1 için aşağıdaki eşitsizlik vardır. . 90 29 61 ' 90 61 29 72 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1             + +       + −  − −       +       + + 



a b g a b g a b dx x g a b b g b a g a g b a İspat: İlk olarak q

q q q y g x g y x g'( +(1−)  '( ) +(1−) '( ) olup buradan da ) ( ' ) 1 ( ) ( ' ) 1 ( ( ' x y g x g y g  + −  + − dır ve ayrıca 'g konkavdır.

Lemma yardımıyla ve Jensen integral eşitsizliği uygularsak





      + =         −  − + −  −  − + − 





90 61 29 72 5 ) 1 ( ' ) 6 1 ( ) ) 1 ( ( ' 6 1 6 1 2 / 1 0 6 1 2 / 1 0 2 / 1 0 2 / 1 0 a b g dt t dt a t tb t g dt t dt a t tb g t ve





      + =         −  − + −  −  − + −





 90 29 61 ' 72 5 ) 1 ( ' ) 6 5 ( ) ) 1 ( ( 6 5 6 5 1 2 / 1 6 5 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 / 1 a b g dt t dt a t tb t g dt t dt a t tb g t

bulunur. Buradan da bu iki eşitsizliği birleştirirsek,

            + +       + −  − −       ₊       + +  



90 29 61 90 61 29 72 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 a b g a b g a b dx x g a b b g b a g a g b a ispat tamamlanır.

Teorem: g : I  ,



0

)

→R_, 0

I üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki g ' L

 

a,b,

b

a, I_, a  olsun. b

q

g fonksiyonu

 

a,b üzerinde konkav ise q1 için aşağıdaki eşitsizlik vardır.             + +       +       ₊       − − −  − −       +       + + − −



4 3 ' 4 3 ' 1 2 1 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 1 2 _{b a} g a b g q q a b dx x g a b b g b a g a g q q b a

İspat: Lemma dan,

dt a t tb g t a b dt a t tb g t a b dx x g a b b g b a g a g b a ) ) 1 ( ( ' 6 5 ) ( ) ) 1 ( ( 6 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 2 / 1 2 / 1 0 − + − − + − + − −  − −       +       + +









yazılır. Buradan da herbir integrale ayrı ayrı Hölder eşitsizliği uygularsak, q1 ve 1 − = _qq p için q q q q q dt a t tb g dt t a b q 1 1 1 ) ) ) 1 ( ( ( ) 6 1 )( ( 1 2 / 1 2 / 1 0 − + − − −  −





olur. Buradan da içerdeki ilk integral hesaplanılırsa,

      ₊       − − = − = − − − − − − −





2 1 1 2 1 6 1 6 5 6 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ₁ 2 / 1 2 / 1 0 q q q q q q q q q q dt t dt t

olur. Diğer integral için ise q

f  fonksiyonu

 

a,b aralığında konkav olduğundan Jensen integral eşitsizliğini uygularsak,

q q q q q a b g dt a t tb g dt t dt a t tb g dt t dt a t tb g t dt a t tb g       + = − + =          − +   − + = − +









  4 3 ' 2 1 ) ) ) 1 ( ( 2 ( ' 2 1 ) ) 1 ( ( ' ) ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( 2 / 1 0 0 2 / 1 0 2 / 1 0 0 2 / 1 0 0 2 / 1 0 2 / 1 0 benzer şekilde q q _{b a} g dt a t tb g       +  − + 



' 3 ₄ 2 1 ) ) 1 ( ( 1 2 / 1

bulunur. Böylece elde ettiğimiz tüm eşitsizlikleri birleştirirsek

            + +       + +       − − −              + +       +             ₊       − − −  − −       +       + + − − − − − −



4 3 ' 4 3 ' ) 1 2 ( 1 2 1 ) ( . 4 3 ' 4 3 ' 2 1 1 2 1 2 1 6 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a b g a b g q q a b a b g a b g q q a b dx x g a b b g b a g a g q q q q q q q b a ispat tamamlanır.

Teorem: g : I  ,



0

)

→R I üzerinde sürekli bir dönüşüm öyle ki 0 g ' L

 

a,b,

b

a, I a  olsun. b

q

g fonksiyonu

 

a,b üzerinde konkav ise s

(

0,1



ve q1 için aşağıdaki eşitsizlik vardır:

            + +       + +       − − −  − −       ₊       + + − − − − −



2 3 ' 2 3 ' ) 1 2 ( 1 2 1 6 1 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 1 2 1 1 2 / ) 1 ( b a g b a g x q q a b dx x g a b b g b a g a g q q q q q s b a

İspat: Teoremin ispatında olduğu gibi benzer şekilde yapılabilinir. Jensen integral eşitsizliği yerine Hermite-Hadamard eşitsizliği konkav fonksiyon için kullanılırsa,

q s q _{a b} g dt a t tb g       +  − + − 



1/2 ( (1 ) ) 2 1 ' 3 ₂ 0 ve q s q _{a b} g dt a t tb g       +  − + − 



1 ( (1 ) ) 2 1 ' ₂3 2 / 1 böylece,             + +       +       ₊       − − −  − −       +       + + − − − − −



2 3 ' 2 3 ' 1 2 1 2 1 6 1 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1 1 2 1 1 2 / ) 1 ( b a g b a g x q q a b dx x g a b b g b a g a g q q q q q s b a

4. BULGULAR VE TARTIŞMA

4.1. GENELLEŞTİRİLMİŞ SİMPSON TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ

Aşağıdaki eşitsizlik literatürde Simpson eşitsizliği olarak bilinir.

Teorem: f :

 

a,b → 4.dereceden R

( )

a,b aralığında sürekli türevlenebilir ve   =  sup ( ) ) 4 ( ) 4 ( x f

f olsun. O zaman aşağıdaki eşitsizlik vardır.

(4) ( )4 2880 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 2 ) ( ) ( 3 1 a b f dx x f a b b a f b f a f b a  − − −     + ₊ + 



(4.1)

Son yıllarda Simpson eşitsizliği ile ilgili olarak farklı türlerden bir çok çalışma litertatürde bulunmaktadır bunlar için, bakınız (

   

1− 21).

 

2 de Drogomir ve diğerleri Simpsonun geri kalanının dördüncü türevden daha düşük türevlerle ifade edilebileceği ile ilgili eşitsizlik üzerine yakın zamandaki bazı sonuçları aşağıda ki gibi ispatlamıştır.

Teorem: Farz edelim ki f :

 

a,b → , R

( )

a,b aralığında türevlenebilir sürekli dönüşüm ve f  L

 

a,b olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitsizlik vardır.

|1 3[ 𝑓′(𝑎)+𝑓′(𝑏) 2 + 2𝑓′( 𝑎+𝑏 2 )]| − 1 𝑏−𝑎∫ 𝑓 ′_{(𝑥)𝑑𝑥 ≤} 1 2880 𝑏 𝑎 ‖𝑓′ (4)_{‖(𝑏 − 𝑎)}4 burada f _ab f (x)dx 1   =  dır.

Yukarıda ki eşitsizliğin sağ tarafındaki sabit için L-Lipschitzian dönüşümü için ) ( 36 5 a b L − verilmiştir.

Teorem: Farz edelim ki f:

 

a,b → R

( )

a,b aralığında türevlenebilir sürekli dönüşüm ve f Lp

 

a,b



p q b a f a b q dx x f a b b a f b f a f q q  −       + +  − −     + ₊ + +



1 1 ) ( ) 1 ( 3 1 2 6 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 2 ) ( ) ( 3 1 1 burada 1 + 1 =1 q p dır.

Bu bölümde amacımız, türevlerinin mutlak değeri konveks olan fonksiyon sınıfı için Simpson tipli eşitsizliğinin yeni bir genelleştirmesi aşağıda verilecektir. Bunun için sonuçlar elde etmemize yardımcı olacak olan aşağıdaki Lemma ile başlayalm:

Lemma: f : I R→R, I üzerinde mutlak sürekli 0 f  L₁

 

a,b ile a,b ,I ab olsun. Bu durumda w=ha+(1−h)b, h

 

0,1 için aşağıdaki özdeşilik vardır.

du u f a b w a f a w b w f w b a b w f dt a t w t f t a b w b dt b t w t f t a b w b b w w a ( ) 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 6 1 2 1 2 1 3 1 2 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 2 3 1 ) ( 2 ) ( 2 2 1 0 2 1 0 2







+ + − −             + − +       + − − + =       + ₊ −       − − − +       + ₊ −       − − −  

İspat: İlk olarak, integraller için kısmi integrtasyon yardımıyla,

du u f b w f w f dt b t w t f w b b t w t f t w b dt b t w t f t I b w ) ( 2 2 ) ( 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 0 1 0 1 0 1







+ −     + + =       − + + − −       − + +       − − − =       + ₊ −       − = 

ve benzer metodla aşağıdaki ifade bulunur; . ) ( ) ( 2 2 ) ( 3 2 ) ( ) ( 6 2 2 1 2 1 3 1 2 2 2 1 0 2 du u f a w w a f a w w f a w dt a t w t f t I w a w





+ − −       + − + − =       − + +       − = 

Yukarda ki iki sonucu yeniden düzenleyerek taraf tarafa toplarsak,

du u f a b w a f a w b w f w b a b w f du u f a b w a f a b a w w f a b a w du u f a b w a f a b w b w f a b w b I a b a w I a b w b b w w a w w a b w w ) ( 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 6 1 ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( ) ( 6 ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( ) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 1 2







+ + + + − −             + − +       + − − + = − −       + − − + − − + − −       + − − + − − = − − + − −

istenilen sonuçun ispatı tamamlanır.

Teorem: f : I R→R, I üzerinde türevlenebilir bir dönüşüm öyle ki o fL₁

 

a,b

b

a,  ,I ab olsun. f  ,

 

a,b üzerinde konveks bir fonksiyon ise aşağdaki eşitsizlik vardır.









) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( 29 ) ( ) ( ) ( 61 ) ( 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 6 1 4 2 2 2 2 2 2 a b a f a w b f w b w f a w w b du u f a b w a f a w b w f w b a b w f b w w a −  − +  − +  − + −  − −             + − +       + − − +

_

₊+ burada w=ha+(1−h)b, h

 

0,1 dır.

dt t t a f a b a w dt t t w f a b a w dt t t b f a b w b dt t t w f a b w b dt a f t w f t t a b a w dt b f t w f t t a b w b du u f a b w a f a w b w f w b a b w f b w w a ) 1 ( 3 1 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) 1 ( 3 1 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) 1 ( 2 3 1 ) ( ) ( 4 ) ( ) 1 ( 2 3 1 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 3 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 3 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 6 1 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 2 − −  − − + + −  − − + − −  − − + + −  − − =     + _{ +} − _ − − − +     + _{ +} − _ − − −  − −             + − +       + − − +















++

sonucu elde edilir. Buradan da basit hesaplama ile

2 4 1 0 _{3 2} 61 ) 1 ( 3 1 2− + =



t t dt ve 2 4 1 0 _{3 2} 29 ) 1 ( 3 1 2− − =



t t dt

olacağından ispat tamamlanır.

Uyarı: Eğer Teorem de h=0 seçersek, w = olur ve b

4 2 6 ) ( 29 ) ( 61 ) ( ) ( 1 2 3 1 ) ( 6 1 a f b f a b dx x f a b b a f b f abb  +  −  − −       + +



+

4 2 6 ) ( 29 ) ( 61 ) ( ) ( 1 2 3 1 ) ( 6 1 b f a f a b dx x f a b b a f a f b a a  +  −  − −       + +



+

dır. Buradan da bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,



( ) ( )



. ) ( 72 5 ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 b f a f a b dx x f a b b f b a f a f b a  +  −  − −       ₊       + +

_

Sonucu elde edilir ki bu sonuç, Sarıkaya ve arkadaşları



13,(fors=1)



_{tarafından elde}

edilmiştir.

Teorem: f : IR→R I üzerinde türevlenebilir bir dönüşüm öyle ki o fL₁

 

a,b

b

a,  ,I ab olsun. f q ,

 

a,b üzerinde konveks bir fonksiyon ise aşağıdaki eşitsizlik vardır.                  +  − +          +  −       + + −  − −             + − +       + − − + + + +



q q p q q q q p w b w a a f w f a w b f w f w b p a b dx x f a b w a f a w b w f w b a b w f 1 1 1 4 ) ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) 1 ( 3 2 1 ) ( 12 1 ) ( 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 6 ) ( 2 2 1 2 2 burada w=ha+(1−h)b, h

 

0,1 dır. İspat: Lemma dan ve Hölder eşitsizliğinden

q p q p q p q p w b w a a t w t f t a b w b a t w t f t a b w b dt a t w t f t a b a w dt b t w t f t a b w b dx x f a b w a f a w b w f w b a b w f 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 2 3 1 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 3 1 2 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 2 3 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 6 ) ( 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 2               − + +          − − − +               + ₊ −          − − −        + ₊ −  − − − +       − + +  − − −  − −             + − +       + − − +















++

yazılır. Buradan da basit hesaplama ile

) 1 ( 6 ) 2 1 ( 2 2 3 1 1 1 1 0 + + = − ₊ +



t dt _{p p} p p bulunur. Ayrıca, q

f  fonksiyonu

 

a,b üzerinde konveks olduğundan, t

 

0,1 için

4 ) ( ) ( 3 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 q q q q q b f w f dt b f t w f t dt b t w t f  +  =     + _{ +} − _        − + + 





ve

4 ) ( ) ( 3 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 q q q q q a f w f dt a f t w f t dt a t w t f  +  =     + _{ +} − _        − + + 





bulunur. Bu üç sonuç yukarıda yerlerine yazılırsa teoremde istenilen eşitsizlik elde edilir.

Uyarı: Teorem de h=0 seçersek w = olur ve b

q p q q p b b a b f a f p a b dx x f a b b a f b f 1 1 4 ) ( 3 ) ( ) 1 ( 3 2 1 12 ) ( 1 2 3 1 6 ) ( 1 2         _{ + }       + + −  − −       + +



+ +

Benzer şekilde, Teorem 4.1.7 de h=1 seçersek w =a olur ve

q p q q p b a a b f a f p a b dx x f a b b a f b f 1 1 4 ) ( 3 ) ( ) 1 ( 3 2 1 12 ) ( 1 2 3 1 6 ) ( ₂ 1         _{ + }       + + −  − −       + +



+ +

bulunur. Bu iki sonuç taraf tarafa toplanılırsa,

                  _{ + } +         _{ + }       + + −  − −       ₊       + + +



q q p q q q q p b a b f a f b f a f p a b dx x f a b b f b a f a f 1 1 1 4 ) ( ) ( 3 4 ) ( 3 ) ( ) 1 ( 3 2 1 12 ) ( 1 ) ( 2 4 ) ( 6 1 1

sonucu elde edlilir ki bu sonuç Sarıkaya ve arkadaşlarının



13,(s=1)



de elde edilmiştir. Teorem: f : IR→R I üzerinde türevlenebilir bir dönüşüm öyle ki 0 fL₁

 

a,b

b

a,  ,I ab olsun. f q ,

 

a,b üzerinde konveks bir fonksiyon ise q1 aşağıdaki eşitsizlik vardır.