Bazı lineer olmayan fark denklem sistemlerinin çözümleri ve periyotları

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN

ÇÖZÜMLERİ VE PERİYOTLARI

Mehmet EMRE YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Haziran-2014 KONYA

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Mehmet EMRE Tarih: 20.06.2014

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

BAZI LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ VE PERİYOTLARI

Mehmet EMRE

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd.Doç.Dr.Kemal USLU 2014, 45 Sayfa

Jüri

Doç.Dr.Aynur KESKİN KAYMAKÇI Yrd.Doç.Dr.Kemal USLU Yrd.Doç.Dr.İsmail KINACI

Bu çalışmada öncelikle bazı lineer olmayan fark denklem sistemlerinin çözümlerini analiz ettik. Daha sonra bu sistemlerin periyotlarını elde ettik.

Anahtar Kelimeler: Lineer olmayan fark denklem sistemleri, çözümlerin periyodu.

v ABSTRACT

MS THESIS

THE SOLUTIONS AND PERIODS OF SOME NON-LINEAR DISCRETE EQATION SYSTEMS

Mehmet EMRE

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Asst.Prof.Dr. Kemal USLU 2014, 44 Pages

Jury

Assoc.Prof.Dr. Aynur KESKİN KAYMAKÇI Asst.Prof.Dr. Kemal USLU

Asst.Prof.Dr. İsmail KINACI

We firstly analysed the solutions of some non-linear discrete equation systems in this study. Then we obtained the periods of these systems.

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek Lisans çalışmamı yönetmeyi kabul ederek bana yol gösteren saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU’ya en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Mehmet EMRE KONYA-2014

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii 1. GİRİŞ ... 1

2. FARK DENKLEM SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR ÖZETİ ... 2

3. FARK DENKLEMLERİ ... 9

4. BAZI LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ VE PERİYOTLARI 4.1. 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x Fark Denklem Sistemi ... 15

4.2. 2 2 1 2 1 2 3 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x Fark Denklem Sistemi ... 18

4.3. 3 3 1 3 1 3 4 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x Fark Denklem Sistemi ... 21

4.4. 3 3 1 3 1 3 4 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x Fark Denklem Sistemi ... 25

4.5. 4 4 1 4 1 4 5 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x Fark Denklem Sistemi ... 29

4.6. 4 4 1 4 1 4 5 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x Fark Denklem Sistemi ... 33

5. NÜMERİK ÖRNEKLER ... 37

6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 41

KAYNAKLAR ... 42

1. GİRİŞ Bu tezde; 2 2 1 2 1 2 3 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x , n0 3 3 1 3 1 3 4 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x , n0 4 4 1 4 1 4 5 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x , n0

fark denklem sistemlerinin A1,B1veA B, ℝ-

 

0 olduğu durumlarda çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

2.BÖLÜM

FARK DENKLEM SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR ÖZETİ

Öncelikle fark denklem sistemlerinin periyotları, çözümleri ve çözümlerin global asimptotik kararlılığı ile ilgili literatürde son yıllarda yapılmış olan çalışmaları özetleyelim: Schinas (1997) çalışmalarında, 1 1 1 n n n x x x   

 Lyness fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğinden ve denklem sabitinden hareketle, 1 1 1 1 , , 0 n n n n n n ay A bx A x y n x y          1 1 1 1 , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y         









1 1 1 1 max , max , , , 0 n n n n n n n n a y A b x A x y n x y       

denklem sistemleri ve rasyonel formdaki benzer bazı fark denklemlerinin, fark denklem sistemlerinin ve maksimumlu fark denklem sistemlerinin denklem sabitlerini ve çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Çalışma sonucunda, çeşitli fark denklemlerinin ve fark denklem sistemlerinin denge noktalarını, denklemlerin katsayılarının sabit olması veya periyodik birer dizi olması gibi durumlarda katsayılara ve denklemin genel terimlerine bağlı olarak elde etmiştir.

Grove ve arkadaşları (2001) çalışmalarında,

a , b, c ve d reel sayılar ve başlangıç şartları x ve ₀ y keyfi reel sayılar olmak üzere, ₀

1 n n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y    , n1, 2,...

fark denklem sisteminin, her n0 için iyi tanımlı olduğu ( ,x y_{0 0})ℝℝ değerlerinin kümesini ve çözümlerinin davranışlarını araştırdılar. Bu fark denklem sisteminde,

n n n x z y

 dönüşümü yaparak Riccati fark denklemine ulaştılar ve bu denklemin karakteristik denkleminin çözümlerinden hareketle a , b, c ve dreel sayıları için

şartlar elde ettiler. Çalışmanın sonunda denklemin çözümleri hakkında bazı şartlar altında genellemeler elde ettiler.

Grove, Ladas, McGrath, Teixeira (2001) çalışmalarında,

1 n n n a b x x y    , n 1 n n c d y x y   

rasyonel fark sisteminin çözümlerinin davranışı ve varlığı üzerinde çalışmışlardır.

Clark ve Kulenović (2002) çalışmalarında,

1 n n n x x a cy   _ , 1 n n n y y b dx   _ , 0

n için a , b, c ve d pozitif sayılar ve x y başlangıç şartları negatif olmayan ₀, ₀ sayılar olmak üzere fark denklem sisteminin çözümlerinin global kararlılık özelliklerini ve asimptotik davranışlarını incelemişlerdir

Çınar (2004) çalışmalarında, 1 1 1 1 1 , n n n n n n y x y y x y      

fark denklem sisteminin çözümlerinin dört periyotlu olduğunu elde etmiştir.

Çınar ve Yalçınkaya (2004) çalışmalarında,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , n n n n n n n x y z z x y x         

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelediler.

 

x_n ve

 

zn çözümlerinin üç periyotlu,

 

yn çözümlerinin ise on iki periyotlu olduğunu ispat ettiler.

Camouzis ve Papaschinopoulos (2004) çalışmalarında,

1 1 , 1 1 , 0 n n n n n m n m x y x y n y x         

Özban (2006) çalışmasında, 1 1 , 1 1 , 0 n n n n n k n m n m k x y x y n y x y           

fark denklem sisteminin bütün pozitif çözümlerinin periyodikliğini araştırmış ve ispat etmiştir.

Şimşek ve arkadaşları (2009) çalışmalarında,

1 max , n n n n y A x x x     _{ }  , 1 max , n n n n x A y y y     _{ }  , n0 fark denklem sisteminin çözümlerini incelemişlerdir.

Taşkara N., Uslu K. Ve Tollu D.T (2001) çalışmalarında,

( 1) 1 ( 1) n n n k n n n k p x x x q x         , kℕ, 1, ,... k k

x_{ } x_ ℝ başlangıç şartları olmak üzere fark denkleminin periyodikliği ve genelleştirilmiş çözümü için gerek ve yeter şartları incelemiştir. Ayrıca, genel çözümün

(k1) periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Henson S.M., Constantino R.F., Cushing J.M., Dennis B., Desharnais R.A. (1999) çalışmalarında, t a A c t t t l t L c A c t t A e P A L P e bA L t p a t el t ea ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 1 ) ( 1              

otonom fark denklem sisteminin dinamiğini incelemişlerdir.

Papaschinopoulos ve Schinas (1998), p ve q pozitif tamsayıları için lineer olmayan iki fark denkleminden oluşan,

q n n n p n n n y x A y x y A x         ₁ 1 ,

fark denklem sisteminin çözümlerinin salınımlı davranışını ve sınırlılığını incelediler. Ayrıca bu fark denklem sisteminin pozitif denge noktasının global asimptotik kararlılığını çalıştılar. Bu çalışmada fark denklem sisteminin denge noktasının (c, c) = (1+A, 1+A) olduğunu elde ettiler ve sisteminin çözümlerinin için bu noktada salınımlı olduğunu gördüler. Aynı şartlarda sistemin çözümlerinin alt ve üst sınırlarını elde ettiler. için de pozitif denge noktasının global asimptotik kararlı olduğunu elde etmişlerdir.

Amleh ve arkadaşları (1999), aşağıdaki üç fark denklemini incelemişler:

1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 , ,                _         n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

bu denklemlerin pozitif başlangıç şartları altında, pozitif denge noktaları olan x = 1’de global asimptotik kararlı olduklarını göstermişlerdir. Ayrıca denklemlerin sıra değişikliği olmak üzere, pozitif yarı dönmelerinin bir veya iki terimli, negatif yarı dönmelerinin ise bir veya üç terimli olduğunu göstermişlerdir.

Briggs C.J., Hoopes M.F. (2004) yaptıkları çalışmada,

( )

( ) apt

t

f p e (Nicholson-Bailey fonksiyonu, Nicholson ve Bailey, 1935)

( ) 1 k t t ap f p k     _{ }

  (Negatif-Binomiyel fonksiyonu, Mayıs 1978)  _{( )}1  ( ) m t a p t f p e  

 (Hassel-Varley fonksiyonu, Hassel ve Varley,1969) parazitizim fonksiyonları olmak üzere





1 1 ( ) 1 ( ) t t t t t t H H f p p cH f p      

konak-parazitoit (Host-Parasitioid) modelleri üzerine literatür eleştirisi yapmışlardır.

Buchanan R.J. (2005) yapmış olduğu çalışmada,

1 1 t t u r av K t t u u e _ _       1 (1 ) t av t t v_ u e

Kulenovic ve Nurkanovic (2003), A ve B katsayıları aralığında seçilen reel sayılar ve başlangıç şartları negatif olmayan keyfi sayılar olmak üzere,

n n n n n n n n x x By y y y Ax x     _  1 , 1 1 1

fark denklem sisteminin çözümlerinin global kararlılığını araştırmışlardır.

Elaydi S., Sacker R.J. (2006) Bu çalışmada,

1 ( 1) n n n Kx x K x     _{ } , x00, K0

Beverton-Holt denklemleri gibi otonom olmayan fark denklemleri üzerinde zaman faktörünü ele alan bir metot geliştirmişlerdir. Bu metot, Beverton-Holt denklemleri ile ilişkili Henson ve Cushing varsayımlarını kanıtlamak için uygulanmıştır.

Deghan M., Nasri M., Douraki M.J. (2005) Bu çalışmada ilk olarak,

1 1 _n n n x x b cz     1 1 n n n n y _ dy ex z_ 1 1 n n n z_  fz y_

fark denklem sistemini, sürekli HIV enfeksiyon modelinin eş fark denklem modeli olarak elde etmişlerdir. Daha sonra, fark denklem sisteminin dengesinin global ve lokal asimptotik kararlılığı, sınırlılığı, kararlılık ve dallanma olayları araştırılmıştır.

Kang Y., Armbruster D., Kuang Y. (2008) Bu çalışmada a0, r0 olmak üzere,

1  1 n n r x ay n n x_ x e   1  1 1 n n r x ay n n y _ x _ e _e 

fark denklem sistemini, belli bir bitki-otçul etkileşimini çalışmak için modellemişlerdir. Elde edilen iki boyutlu fark denklem modelinde durum değişkenleri olarak yaprak ve otçul biyokütlesi kullanmışlardır.

Camouzis ve Papaschinopoulos (2004), çalışmalarında; pozitif başlangıç şartlar altında

m n n n m n n n x y x y x x    1 1 , 1 1

fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin davranışlarını incelemişlerdir.

Kulenovic ve Nurkanoviç (2005), a, b, c, d, e ve f keyfi değerleri aralığında seçilen reel sayılar ve başlangıç şartları negatif olmayan keyfi sayılar olmak üzere, ... , 2 , 1 , 0 , , , _{1 1} 1           _{ }  n x f z e z z d y c y y b x a x n n n n n n n n n

fark denklem sisteminin çözümlerinin global asimtotik kararlığını incelediler.

Kang Y., Chesson P. (2010) Bu çalışmada,

1 ( , ) t t t t x_ x f x y 1 ( , ) t t t t y_ y g x y

fark denklem sisteminin non-lineerliliğe ilişkin kavramlarını geliştirmişler ve bu kavramları popülasyon dalgalanmalarında türlerin uzun sürede ve düşük yoğunluktaki büyüme oranı etkisinin nasıl olacağını göstermek için kullanılmıştır.

Kang Y., Armbruster D. (2010) Bu çalışmada,

1 1 ( ) 1 t t aH t t aH t t P F P e H P e         _  _ ve 1 1 ( ) ( ) 1 t t aH t t aH t t P F P e H F P e         _  _

genel bitki-otçul etkileşim modellerini incelemişler ve genel bitki-otçul modellerinin dinamikleri üzerinde monoton bitki büyüme fonksiyonlarının etkisini çalışmışlardır.

Kang Y., Armbruster D., (2011) Bu çalışmada,

(1 ) (1 ) 1 I I n n r P a l H I I n n P_ P e    (1 ) (1 ) 1 1 I I n n r P a l H I I n n H _ P e  _ e  _

bitki- böcek fark zaman model çiftini çalışılmışlar ve bu modelin popülasyon dinamiğindeki hem lokal hem de global yayılım etkisinin nasıl yoğunluklarda olduğunu göstermişlerdir.

Henson S.M., Costantino R.F., Cushing J.M., Dennis B., Desharnais R.A. (1999), çalışmalarında ( ) 1 ea t el t c A c L t t L_ bA e  1 (1 ) t l t P_   L ( ) 1 (1 ) pa t c A t t a t A_ Pe   A

3. FARK DENKLEMLERİ

Bu kısımda fark denklemleri hakkında literatürde iyi bilinen bazı genel tanımlar tekrar verilecek ve hatırlatılacaktır.

Tanım 3.1 nℕ bağımsız değişken ve x bilinmeyen fonksiyon olmak üzere, ( , ( ), ( 1),..., ( )) 0

F n x n x n x n k  (3.1) eşitliğine fark denklemi adı verilir.

Tanım 3.2 Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun mevcut en büyük ve en küçük argümentlerinin farkına o denklemin mertebesi adı verilir.

Tanım 3.3 a n a n1( ), 2( ),...,a n katsayıları ile k( ) g n( ), nn0 için tanımlı reel değerli

fonksiyonlar ve [ , )n0  



n n0, 01,n02,...



üzerinde a nk( )0 olmak üzere

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) ( )

x n k a n x n k   a n x n g n (3.2) biçimindeki bir denkleme k nıncı basamaktan lineer fark denklemi denir. Bu denklem,

( ) 0

g n  olduğu zaman homogen, aksi durumda homogen olmayan lineer fak denklemi olarak adlandırılır. Buna göre k nıncı basamaktan bir lineer homogen fark denklemi genel olarak

1

( ) ( ) ( 1) ... _k( ) ( ) 0

x n k a n x n k   a n x n  (3.3) şeklinde ifade edilir. Ayrıca, bütün ( )a n katsayıları _i a n_i( )a_i şeklinde sabitse, (3.2) denklemine sabit katsayılı, aksi halde değişken katsayılı fark denklemi denir.

Tanım 3.4 f n f n1( ), 2( ),..., f n fonksiyonları r( ) nn0 için tanımlı olmak üzere, her 0

nn için,

1 1( ) 2 2( ) ... r r( ) 0

c f n c f n  c f n  (3.4) olacak biçimde hepsi birden sıfır olmayan c c1, 2,...,c sabitleri var ise, bu durumda r



f n f n1( ), 2( ),..., f nr( )



cümlesine [ , )n0  üzerinde lineer bağımlıdır denir. (3.4) eşitliği

her nn₀için sadece ve sadece c₁c₂   ... c_r 0 durumunda sağlanıyorsa,

3.1. Lineer Fark Denklemleri

Tanım 3.1.1. Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci dereceden ise bu denkleme Lineer Fark Denklemi denir. Genel olarak lineer fark denklemleri,

1 1 ... 0 ( )

n k k n k n

y _ a _ y _{ }  a y F n şeklinde gösterilir.

Lineer fark denklemleri katsayılarının durumuna göre isimlendirilirler.  Eğer F n( )0 ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

 a a a₀, ,_{1 2},...,a katsayıları sabit iseler, denkleme Sabit Katsayılı Lineer Fark _k Denklemi denir.

 a a a0, ,1 2,...,a katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları iseler denkleme k Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir.

3.2. Fark Denklemleri İçin Genel Tanımlar ve Teoremler

Teorem 3.2.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f I:  I I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x_1,x₀I başlangıç şartları için

1 ( , 1) 0

n n n

x_  f x x _ n (3.2.1) denklemi bir tek

 

xn _{n 1}



 çözümüne sahiptir.

Tanım 3.2.1 Eğer xnoktası için f x x( , )x ise x’e f ’nin denge noktası denir. Eğer

0

n

  için xx_n ise o zaman x’e f ’nin sabit noktası denir.

Tanım 3.2.2 Eğer  n 0için x1,x0J iken xnJolacak şekilde bir J I alt aralığı varsa, bu aralığa (3.2.1) denkleminin değişmez aralığı denir.

Tanım 3.2.3 x (3.2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere,

 Eğer x1,x0J olmak üzere, her  0 için, x0 x x1 x  iken her 0

n için, x_n x  olacak şekilde bir  0 sayısı varsa, x denge noktası kararlıdır denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve x_1,x₀J iken lim _n

nx x olacak şekilde,

0 1

x  x x_  x  şartını sağlayan  0 sayısı varsa, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

 Eğer her x_1,x₀J iken lim _n

nx x ise, x denge noktasına çekim noktası denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

 Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir.

 Eğer x_1,x₀J iken x₀ x x_1 x  ve bazı N 1 sayıları için N

x  x r olacak şekilde bir r0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir.

Tanım 3.2.4. Eğer

 

x_n dizisi için x_{n p} x_n ise,

 

x_n dizisi p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 3.2.5. Eğer

 

x_n dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için xn p xn ise,

 

xn dizisine er geç p periyotludur denir ve p sayısı bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 3.2.6. (3.2.1) denkleminde, f x x( ,_{n n1}) fonksiyonunu f u v şeklinde ( , ) alalım: ( , )x f r u x    ve ( , )x f s v x    olmak üzere, 1 1 n n n y _ ry sy _ (3.2.2) Denklemi elde edilir. Bu denkleme (3.2.1) denkleminin x denge noktası civarındaki lineer denklemi adı verilir.

(3.2.2) denkleminin karakteristik denklemi ise,

2

r s

   (3.2.3) dır.

Teorem 3.2.2. (Lineer Kararlılık Teoremi)

Eğer (3.2.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 Eğer (3.2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olmasi için gerek ve yeter şart r   1 s 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

 (3.2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den büyük olması için gerek ve yeter şartlar s 1 ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası repellerdir.

 Her x1,x0I için eğer lim n

nx x ise; o zaman x denge noktası global çekimlidir denir.

 Eğer x denge noktası kararlı ve global çekimli ise x’e global asimptotik kararlıdır denir.

 (3.2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar

2

4 0

r  s ve r  1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır (Chatterjee ve ark. 2003).

Aşağıdaki lineer olmayan fark denklem sistemleri ile ilgili çalışmalar Nasri ve ark (2005) dan alınmıştır. 1 1 1 2 1 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n n n n n n n n n n n n x f x y z y f x y z z f x y z       (3.2.4)

fark denklem sistemi verilsin.

Tanım 3.2.7. Eğer , ,x y z aşağıdaki şartları sağlarsa, ( , , )x y z   I₁ I₂ I₃ noktasını (3.2.4) denklem sisteminin denge noktası olarak adlandırılır.

1 2 3 ( , , ) , , , ( ) ( , ) x x y z y x y z z x f f f y z    (3.2.5)

Tanım 3.2.8.   0 için ( ,x0 y0,z0) ( , , ) x y z  iken (( ,x y z0 0, 0)  I1 I2 I3) 0

n

  için ( ,x y_{n n},z_n) ( , , ) x y z 

olacak şekilde  0 mevcut ise (3.2.4) sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z kararlıdır denir. Aksi halde ise kararsızdır.

Tanım 3.2.9 Eğer sistemin denge noktası kararlı ve ( ,x y z0 0, 0) I1 I2I3 için

0 0 0

( ,x y ,z ) ( , , ) x y z  olacak şekilde  0 varsa ve

lim ( ,_{n n}, _n) ( , , ) 0 x x y z  x y z 

ise (3.2.4) sisteminin denge noktası asimptotik kararlıdır.

Tanım 3.2.10. Eğer sistemin denge noktası kararlı ve ( ,x y z_{0 0}, ₀) I₁ I₂I₃ için lim ( ,_{n n}, _n) ( , , ) 0

x x y z  x y z 

ise (3.2.4)sisteminin denge noktası olan ( , , )x y z global asimptotik kararlıdır denir.

Teorem 3.2.3. (3.2.4) denklem sisteminin ( , , )x y z denge noktasında jakobiyen matrisi 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 3 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z df df df dx dy dz df df df x y z dx dy dz df df df dx dy dz J                          _{     }                        

olup, bu jakobiyen matrisinin karakteristik polinomu





( ) det ( , , ) 0

P   J x y z I  ile verilsin.

Bu polinomda aşağıdaki eşitlikler doğrudur;

 P( ) nın köklerinden en az biri 1 den büyükse denge noktası ( , , )x y z kararsızdır.

4. BAZI LİNEER OLMAYAN FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ VE PERİYOTLARI

4.1. Fark Denklem Sistemi Bu bölümde, x2,x1,x0,y2,y1,y0,z3,z2,z1,z0IR

 

0 ve x2  y2,x1 y1,x0  y0 (4.1.1) olmak üzere 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x , n0 (4.1.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.1.1. x_2,x_1,x₀,y_2,y_1,y₀,z_3,z_2,z_1,z₀IR

 

0 ve 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y

x_  _{ }  _  olmak üzere, (4.1.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotludur.

İspat: (4.1.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x 1 1 2 1 2 1 2 1 , 1 , 1            _ n n n n n n n n y x z z y z y x n n n n n n n n y x z z y z z x      _{ }   1 , 1 , 1 1 3 3 2 3 1 3 4 2 2 4 2 2 1 4 , , 1                 n n n n n n n n n n n y z y z y x y y x z x n n n n n n n n n y z y x y y x z x _5  1  _1 _1, _5  _1 _1, _5  1 2 6 6 2 2 6   ,  ,     n  n  n n n  n n n  n n x y x y y x y z z x

1 7 3 1 7 3 1 1 1 7 , ,               n  n n n n n n n n n n n z z z y y y z y y y x x n n n n n n x y y z z x _8 , _8 , _8 Teorem 4.1.2 x_2,x_1,x₀,y_2,y_1,y₀,z_3,z_2,z_1,z₀IR/

 

0 ve 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y x_  _{ }  _  , x_2  p,x_1 q,x₀ r, y_2 s,y_1t,y₀ u, , , , , 2 1 0 3 v z k z l z m

z_  _  _   başlangıç şartları altında (4.1.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.1.2) denklem sisteminin bütün çözümleri; s p z k y k uv t xn n n      _{ }  1 , 1 , 1 1 8 1 8 1 8 t q z l y l u xn n n      _{ }  1 , 1 , 1 2 8 2 8 2 8 u r z m y m k x_{n n n}      _{ }  1 , 1 , 1 1 3 8 3 8 3 8 t uv z s p y s p l x_8n4 1  , _8n4   , _8n4  u z t q y t q m x_8n5  1   , _8n5   , _8n5 1 k z u r y u r s p x8n6     , 8n6  , 8n6  l z uv t y uv t t q x_8n7    , _8n7  , _8n7  m z u y r x8n8 , 8n8 , 8n8

İspat: n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu yani yukarıda verilen eşitliklerin sağlandığını varsayalım ve (n1) için doğruluğunu gösterelim. s p y x z k z y k uv t z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 6 8 6 8 9 8 6 8 9 8 6 8 5 8 8 8 7 8 9 8

t q y x z l z y l u z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 7 8 7 8 10 8 7 8 10 8 7 8 6 8 9 8 8 8 10 8 u r y x z m z y m k z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 1 8 8 8 8 11 8 8 8 11 8 8 8 7 8 10 8 9 8 11 8 t uv y x z s p z y s p l z z y y x n n n n n n n n n n                      9 8 9 8 12 8 9 8 12 8 9 8 8 8 11 8 10 8 12 8 1 , 1 , 1 1 u y x z t q z y t q m z z y y x n n n n n n n n n n 1 1 , 1 , 1 1 10 8 10 8 13 8 10 8 13 8 10 8 9 8 12 8 11 8 13 8                      k y x z u r z y u r s p z z y y x n n n n n n n n n n                       11 8 11 8 14 8 11 8 14 8 11 8 10 8 13 8 12 8 14 8 1 , 1 , 1 l y x z uv t z y uv t t q z z y y x n n n n n n n n n n                     12 8 12 8 15 8 12 8 15 8 12 8 11 8 14 8 13 8 15 8 1 , 1 , 1 m y x z u z y r z z y y x n n n n n n n n n n                   13 8 13 8 16 8 13 8 16 8 13 8 12 8 15 8 14 8 16 8 1 , 1 , 1

4.2. 2 2 1 2 1 2 3 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay

x Fark Denklem Sistemi

Bu bölümde;

 

0 / , , , , , , , , , 1 0 2 1 0 3 2 1 0 2 x x y y y z z z z IR x_{      }  ve x2  y2,x1 y1,x0  y0 (4.2.1) olmak üzere, 2 2 1 2 1 2 3 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x , n0 (4.2.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.2.1. x_2,x_1,x₀,y_2,y_1,y₀,z_3,z_2,z_1,z₀IR/

 

0 ve 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y

x_  _{ }  _  olmak üzere, (4.2.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri sekiz periyotludur.

İspat: (4.2.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

2 2 1 2 1 2 3 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x 1 1 2 1 2 1 2 , ,            _ n n n n n n n n y x A z z B y z B y B A x n n n n n n n n y x A z z B y z B z A x      _{ }   3 3 2 3 , , 1 3 4 2 2 4 2 2 1 4 ( ), ( ),                 n n n n n n n n n n n y z y z y x A B y y x A B z A x n n n n n n n n n y B z y x A B y y x A B z A x _5   ( _1 _1), _5  ( _1 _1), _5  2 6 6 2 2 6   ( ),  ( ),     n  n  n  n n  n  n n  n n x y z z A B y y x A B y x x 1 7 3 1 7 3 1 1 1 7 , ,               n  n n n n n n n n n n n z z z y By y z y By y x x n n n n n n x y y z z x _8 , _8 , _8 .

Teorem 4.2.2 x_2,x_1,x₀,y_2,y_1,y₀,z_3,z_2,z_1,z₀IR/

 

0 ve 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y x_  _{ }  _  , x2  p,x1 q,x0 r, y2 s,y1t,y0 u, , , , , 2 1 0 3 v z k z l z m

z_  _  _   başlangıç şartları altında (4.2.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.2.2) denklem sisteminin bütün çözümleri; s p A z k B y k B uv At x_{n n n}      _{ } 1 8 1 8 1 8 , , t q A z l B y l B u B A x_{n n n}      _{ } 2 8 2 8 2 8 , , u r A z m B y m B k A xn n n      _{ } 3 8 3 8 3 8 , , t uv z s p A B y s p A B l A x8n4   (  ), 8n4  (  ), 8n4  u B z t q A B y t q A B m A x8n5   (  ), 8n5  (  ), 8n5  k z u r A B y u r A B s p x_8n6    (  ), _8n6  (  ), _8n6  l z uv Bt y uv Bt t q x_8n7    , _8n7  , _8n7  m z u y r x8n8 , 8n8 , 8n8 .

İspat: n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu yani yukarıda verilen eşitliklerin sağlandığını varsayalım ve (n1) için doğruluğunu gösterelim. s p A y x A z k B z B y k B uv At z B z y Ay x n n n n n n n n n n                     6 8 6 8 9 8 6 8 9 8 6 8 5 8 8 8 7 8 9 8 , ,

t q A y x A z l B z B y l B u B A z B z y Ay x n n n n n n n n n n                     7 8 7 8 10 8 7 8 10 8 7 8 6 8 9 8 8 8 10 8 , , u r A y x A z m B z B y m B k A z B z y Ay x n n n n n n n n n n                     8 8 8 8 11 8 8 8 11 8 8 8 7 8 10 8 9 8 11 8 , , t uv y x A z s p A B z B y s p A B l A z B z y Ay x n n n n n n n n n n                      9 8 9 8 12 8 9 8 12 8 9 8 8 8 11 8 10 8 12 8 ( ), ( ), u B y x A z t q A B z B y t q A B m A z B z y Ay x n n n n n n n n n n                      10 8 10 8 13 8 10 8 13 8 10 8 9 8 12 8 11 8 13 8 ( ), ( ), k y x A z u r A B z B y u r A B s p z B z y Ay x n n n n n n n n n n                       11 8 11 8 14 8 11 8 14 8 11 8 10 8 13 8 12 8 14 8 ( ), ( ), l y x A z uv Bt z B y uv Bt t q z B z y Ay x n n n n n n n n n n                     12 8 12 8 15 8 12 8 15 8 12 8 11 8 14 8 13 8 15 8 , , . , , 13 8 13 8 16 8 13 8 16 8 13 8 12 8 15 8 14 8 16 8 m y x A z u z B y r z B z y Ay x n n n n n n n n n n                  

4.3. 3 3 1 3 1 3 4 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y

x Fark Denklem Sistemi

Bu bölümde;

 

0 / , , , , , , , , , , , , 2 1 0 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 x x x y y y y z z z z z IR x_{         }  ve x3 y3, x2  y2, , 1 1    y x x0  y0 (4.3.1) olmak üzere, 3 3 1 3 1 3 4 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x , n0 (4.3.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.3.1. x_3,x_2,x_1,x₀,y_3,y_2,y_1,y₀,z_4,z_3,z_2,z_1,z₀IR/

 

0 ve x_3  y_3, 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y

x_  _{ }  _  olmak üzere, (4.3.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri on periyotludur.

İspat: (4.3.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

3 3 1 3 1 3 4 1 1 1 , 1 , 1              _ n n n n n n n n n n y x z z y z z y y x 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 , 1            _ n n n n n n n n y x z z y z y x 1 1 3 1 3 1 3 3 1 , 1 , 1 1             _ n n n n n n n n y x z z y z z x n n n n n n n n y x z z y z z x      _{ }   1 , 1 , 1 1 4 4 2 4 1 4 5 3 3 5 3 3 1 5 , , 1                 n n n n n n n n n n n y z y z y x y y x z x n n n n n n n n n y z y x y y x z x _6  1  _2 _2, _6  _2 _2, _6  1 3 7 1 1 7 1 1 3 3 7     ,    ,     n  n  n  n n  n  n n  n n x y x y y x y z z x

2 8 8 2 2 8   ,  ,     n  n  n n n  n n n  n n x y x y y x y z z x 1 9 4 1 9 4 1 1 1 9 , ,               n  n n n n n n n n n n n z z z y y y z y y y x x n n n n n n x y y z z x _10 , _10 , _10 . Teorem 4.3.2 x_3,x_2,x_1,x₀,y_3,y_2,y_1,y₀,z_4,z_3,z_2,z_1,z₀IR/

 

0 ve x_3  y_3, 0 0 1 1 2 2 y ,x y ,x y x_  _{ }  _  olmak üzere, x3 a,x2b,x1c,x0d, , , , , _{2 1 0} 3 p y q y r y s y_  _  _   z_4 k,z_3l,z_2 m,z_1u,z₀v, başlangıç şartları altında (4.3.2) denklem sisteminin çözümleri



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda n0 için (4.3.2) denklem sisteminin bütün çözümleri;

p a z l y l sk r x _{n n n}      _{ }  1 , 1 , 1 1 10 1 10 1 10 q b z m y m s x _{n n n}      _{ }  1 , 1 , 1 2 10 2 10 2 10 r c z u y u l x _{n n n}      _{ }  1 , 1 , 1 1 3 10 3 10 3 10 s d z v y v m x n n n      _{ }  1 , 1 , 1 1 4 10 4 10 4 10 r sk z p a y p a u x10n5    , 10n5   , 10n5  1 s z q b y q b v x_10n6 1  , _10n6   , _10n6 1 l z r c y r c p a x10n7     , 10n7   , 10n7 m z s d y s d q b x_10n8    , _10n8  , _10n8 u z sk r y sk r r c x_10n9    , _10n9  , _10n9  . , , _{10 10 10 10} 10 10 d y s z v x _n  _n  _n 

İspat: n0 için bu çözümün sağlandığı açıktır. Şimdi n için teoremin doğru olduğunu yani yukarıda verilen eşitliklerin sağlandığını varsayalım ve (n1) için doğruluğunu gösterelim.

p a y x z l z y l sk r z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 7 10 7 10 11 10 7 10 11 10 7 10 6 10 10 10 9 10 11 10 q b y x z m z y m s z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 8 10 8 10 12 10 8 10 12 10 8 10 7 10 11 10 10 10 12 10 r c y x z u z y u l z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 1 9 10 9 10 13 10 9 10 13 10 9 10 8 10 12 10 11 10 13 10 s d y x z v z y v m z z y y x n n n n n n n n n n                     1 1 , 1 1 , 1 1 1 10 10 10 10 14 10 10 10 14 10 10 10 9 10 13 10 12 10 14 10 r sk y x z p a z y p a u z z y y x n n n n n n n n n n                      11 10 11 10 15 10 11 10 15 10 11 10 10 10 14 10 13 10 15 10 1 , 1 , 1 1 s y x z q b z y q b v z z y y x n n n n n n n n n n 1 1 , 1 , 1 1 12 10 12 10 16 10 12 10 16 10 12 10 11 10 15 10 14 10 16 10                      l y x z r c z y r c p a z z y y x n n n n n n n n n n                       13 10 13 10 17 10 13 10 17 10 13 10 12 10 16 10 15 10 17 10 1 , 1 , 1 m y x z s d z y s d q b z z y y x n n n n n n n n n n                       14 10 14 10 18 10 14 10 18 10 14 10 13 10 17 10 16 10 18 10 1 , 1 , 1 u y x z sk r z y sk r r c z z y y x n n n n n n n n n n                     15 10 15 10 19 10 15 10 19 10 15 10 14 10 18 10 17 10 19 10 1 , 1 , 1

. 1 , 1 , 1 16 10 16 10 20 10 16 10 20 10 16 10 15 10 19 10 18 10 20 10 v y x z s z y d z z y y x n n n n n n n n n n                 

4.4. 3 3 1 3 1 3 4 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay

x Fark Denklem Sistemi

Bu bölümde;

 

0 / , , , , , , , , , , , , 2 1 0 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 x x x y y y y z z z z z IR x_{         }  ve x3 y3, x2  y2, , 1 1    y x x₀  y₀ 4.4.1) olmak üzere, 3 3 1 3 1 3 4 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x , n0 (4.4.2)

lineer olmayan fark denklem sisteminin çözümleri ve periyotları incelenmiştir.

Teorem 4.4.1. x3,x2,x1,x0,y3,y2,y1,y0,z4,z3,z2,z1,z0IR/

 

0 ve ,

3

3 

  y

x x_2  y_2, x_1  y_1, x₀  y₀ olmak üzere, (4.4.2) denklem sisteminin çözümü



x y z_n, _n, _n



olsun. Bu durumda (4.4.2) denklem sisteminin bütün çözümleri on periyotludur.

İspat: (4.4.2) denklem sisteminden yararlanılarak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

3 3 1 3 1 3 4 1 1 , ,              _ n n n n n n n n n n y x A z z B y z B z y Ay x 2 2 2 2 2 2 2 , ,            _ n n n n n n n n y x A z z B y z B y B A x 1 1 3 1 3 1 3 3 , ,             _ n n n n n n n n y x A z z B y z B z A x n n n n n n n n y x A z z B y z B z A x      _{ }   4 4 2 4 , , 1 4 5 3 3 5 3 3 1 5 ( ), ( ),                 n n n n n n n n n n n y z y z y x A B y y x A B z A x n n n n n n n n n y B z y x A B y y x A B z A x _6   ( _2 _2), _6  ( _2 _2), _6 