GCD-Reciprocal LCM matrisinin karakterizasyonu

Tam metin

(1)T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. GCD-RECİPROCAL LCM MATRİSİNİN KARAKTERİZASYONU. Ayşe Tünay NALLI DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Konya, 2003.

(2) T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. GCD- RECİPROCAL LCM MATRİSİNİN KARAKTERİZASYONU. Ayşe Tünay NALLI. DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Bu tez ...../......./2003 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.. ........................................ ............................................ ............................................. Prof. Dr. Dursun TAŞÇI (Danışman). (Üye). (Üye). ............................................. ............................................. (Üye). (Üye) ii.

(3) ÖZET Doktora Tezi GCD-RECİPROCAL LCM MATRİSİNİN KARAKTERİZASYONU. Ayşe Tünay NALLI Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı. Danışman: Prof. Dr. Dursun TAŞÇI 2003, 44 sayfa Jüri: Prof. Dr. Hasan ŞENAY Prof. Dr. Abdullah HARMANCI Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN.  ( xi , x j )   Bu çalışmada, GCD ve LCM matrislerinden hareketle [ A]    [x , x ]   i j  n n matrisi, S  {x1 , x 2 ,..., x n } farklı pozitif tamsayıların kümesi üzerinde tanımlanmış ve bu matris, GCD-Reciprocal LCM matrisi olarak adlandırılmıştır. GCD-Reciprocal LCM matrisinin yapısı karakterize edilmiş, determinantı, izi ve tersinin elemanları, bazı özel aritmetik fonksiyonlar kullanılarak hesaplanmıştır.. Anahtar Kelimeler: GCD-Reciprocal LCM matrisi, GCD Matrisi, LCM matrisi, Jordan’ın toplam fonksiyonu.. iii.

(4) ABSTRACT PhD Thesis THE CHARACTARIZATION OF THE GCD-RECIPROCAL LCM MATRIX. Ayşe Tünay NALLI Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Dursun TAŞÇI 2003, 44 pages Jury: Prof. Dr. Hasan ŞENAY Prof. Dr. Abdullah HARMANCI Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Assist. Prof. Dr. Kemal AYDIN.  ( xi , x j )   has been defined on S  {x1 , x 2 ,..., x n } In this study, a matrix [ A]    [x , x ]   i j  n n distinct positive integers set and called the GCD-Reciprocal LCM matrix. The structure of the GCD-Reciprocal LCM matrix have been investigated, the determinant, the trace and the entries of the inverse of [ A] have been calculated in terms of some specific arithmetical functions. Key Words: GCD-Reciprocal LCM matrix, GCD matrix, LCM matrix, Jordan’s totient function.. iv.

(5) ÖNSÖZ. Bu çalışma, Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Dursun TAŞÇI yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Doktora Tezi olarak sunulmuştur. Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten, çalışmalarım sırasında her türlü yardım ve cesaretlendirmesinden dolayı, hocam Prof. Dr. Dursun TAŞÇI' ya sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.. Ayşe Tünay NALLI. v.

(6) SEMBOLLER. det(A). : A matrisinin determinantı. iz ( A). :. A matrisinin izi. AT. :. A matrisinin transpozu. E ( k1 , k 2 , , k n ). : E matrisinin k 1 , k 2 ,  , k n -inci sütunlarından oluşan alt. matris. diag (a 1 , a 2 ,  , a n ) : Köşegen elemanları a 1 , a 2 ,  , a n olan köşegen matris. . : Euler ’in  fonksiyonu. . :. Möbiüs fonksiyonu. Jk. :. Jordan’ın toplam fonksiyonu. f *g. : f ve g aritmetik fonksiyonlarının Dirichlet çarpımı. (i, j ). : i ve j ’ nin en büyük ortak böleni (GCD). [i , j ]. : i ve j ’ nin en küçük ortak katı (LCM). ( S )  (i, j ) nn : GCD matrisi [ S ]   [i, j ]nn : LCM matrisi  (i, j )   : GCD-Reciprocal LCM matrisi [ A]    [i, j ]  nn. S FC GCDC. : S kümesini kapsayan en küçük çarpan kapalı küme : Faktör kapalı (çarpan kapalı) : GCD kapalı. vi.

(7) İÇİNDEKİLER. ÖZET .......................................................................................................................... iii ABSTRACT ............................................................................................................... iv ÖNSÖZ ...................................................................................................................... v SEMBOLLER............................................................................................................. vi 1. GİRİŞ ...................................................................................................................... 1 2. ÖN BİLGİLER ........................................................................................................ 5. 3. GCD- RECİPROCAL LCM MATRİSLERİ........................................................... 23 4. SONUÇ VE ÖNERİLER ......................................................................................... 41 5. KAYNAKLAR ......................................................................................................... 42. vii.

(8) 1. 1. GİRİŞ. (i, j ) , i ve j pozitif tamsayılarının en büyük ortak bölenini göstermek üzere, Smith (1876), S  1,2,..., n kümesi üzerinde tanımlı ij-yinci elemanı sij  (i, j ) olan n  n tipindeki S  ( sij ) matrisinin, kendi adıyla anılan determinantının değerini, n.   (k ) olarak. hesaplamıştır. Burada  Euler’in toplam fonksiyonudur.. k 1. [i, j ] , i ve j pozitif tamsayılarının en küçük ortak katını göstermek üzere, Smith (1876),. [i, j ]. n i , j 1. n. determinantının değerinin.   (k ) (k ). olduğunu. k 1. hesaplamıştır. Burada  Euler’in toplam fonksiyonu ve  ;  (1)  1 ve p asal olmak üzere  ( p r )   p şeklinde tanımlı çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur. Ayrıca Smith, (i, j ). [i, j ]. n. n. determinantı. i , j 1. = (i, j ) i , j 1. n. ile. [i, j ]. n. determinantı. i , j 1. arasında. n.   (k ) bağıntısını kurmuştur. i , j 1  k 1. Apostol (1972), f ve g aritmetik fonksiyonlar olmak üzere f  g Dirichlet çarpımını,. S f  g ( m, k ) . k. f (d ) g    d   . d m, k. şeklinde S f g ( i, j). genelleştirerek, n i , j1. Smith. determinantının. bir. genelleştirilmesi. olan. determinantının değerini, f ve g aritmetik fonksiyonları cinsinden. hesaplamıştır. McCarthy (1986), r modülünde m tamsayısının bir çift fonksiyonu olan. f ( m, r ) aritmetik fonksiyonu için.  f (i, j )nn. aritmetik fonksiyonlar cinsinden hesaplamıştır.. matrisinin determinantını bazı özel.

(9) 2. S  x1 , x 2 ,..., x n  elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olmak üzere Beslin ve Ligh (1989), ij-yinci elemanı sij  ( xi , x j ) olan n  n tipindeki ( S )  ( s ij ) matrisini, S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi olarak adlandırmışlar ve S kümesi çarpan kapalı (factor closed, FC) olduğunda, Smith’in sonucunun S üzerindeki GCD matrisinin determinantı için geçerli olduğunu göstermişlerdir. Ayrıca, ‘‘ S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantı  ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) ise S çarpan kapalıdır ’’ konjektürünü ortaya atmışlardır. Beslin ve Ligh (1989), en büyük ortak bölen kapalı (Greatest Common Divisor Closed, GCDC) küme tanımını vermişlerdir. En büyük ortak bölen kapalı (Greatest Common Divisor Closed, GCDC) S  x 1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi için temel yapı teoremi vererek, bu matrisin determinantını hesaplamışlardır . Z. Li (1990), çarpan kapalı olmayan bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını, yine Euler’in  fonksiyonu cinsinden ifade etmiştir. Bununla birlikte, Beslin ve Ligh tarafından ortaya atılan; “ S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi için det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) ise S kümesi çarpan kapalıdır” konjektürüne çözüm olan bir ispat vermiştir. Beslin ve Ligh (1990), en büyük ortak bölen kapalı S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını, özel bir aritmetik fonksiyon cinsinden hesaplamışlardır. Ayrıca en büyük ortak bölen kapalı olmayan bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını, S kümesini kapsayan en büyük ortak bölen kapalı bir kümeyi kullanarak hesaplamışlardır. Beslin (1991), S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde ij-yinci elemanı 1 ( xi , x j ) olan reciprocal GCD matrisini tanımlayarak, bu matrisin yapısını incelemiş ve determinantını hesaplamıştır. Beslin, pozitif tamsayıların S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde en küçük ortak kat (Least Common Multiply, LCM) matrisini tanımlamıştır. ij-yinci elemanı xi ve x j pozitif tamsayılarının en küçük ortak katı olan  [ xi , x j ] nn matrisine S kümesi üzerinde LCM matrisi denir. Beslin reciprocal GCD matrisinden.

(10) 3. yararlanarak, LCM matrisinin determinantını bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden hesaplamıştır. Bourque and Ligh (1992), çarpan kapalı S  x 1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan, GCD ve LCM matrislerinin terslerini bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden vermişlerdir. En büyük ortak bölen kapalı S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan LCM matrisinin determinantını hesaplamışlar ve bu matrisin ters çevrilebilir olduğu konjektürünü ortaya koymuşlardır. Haukkanen, Wang ve Sillanpaa (1997), Bourque and Ligh tarafından ortaya atılan “en büyük ortak bölen kapalı S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan LCM matrisi ters çevrilebilirdir’’ konjektürünü, ters bir örnekle çürütmüşlerdir. S.Hong (1999), bu konjektürün n  7 için doğru olduğunu ve n  8 için doğru olmadığını ispatlamıştır. Bu çalışmaların yanında pozitif tamsayıların S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi, kısmi sıralı bir kümenin bir alt kümesi olarak alınarak, GCD matrisinin soyut bir genellemesi yapılmıştır. xi ve x j pozitif tamsayılarının en büyük ortak böleni yerine S kümesi üzerindeki kısmi sıralama bağıntısına göre, xi ve x j pozitif tamsayılarının en büyük alt sınırı alınarak tanımlanan matris, meet matrisi olarak adlandırılmıştır. Meet matrislerinin determinantları ve terslerinin elemanları, bazı özel aritmetik fonksiyonlar cinsinden hesaplanmıştır. (Wilf 1968, Lindström 1969, Haukkanen 1996, Haukkanen, Wong ve Sillanpaa 1997, Bhat 1991). Bunlarla birlikte GCD matrisleri ile ilgili bir çok genelleştirme yapılmıştır. Haukkanen (1992), çalışmasında S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan yüksek boyutlu GCD matrisinin determinantını, S kümesinin çarpan kapalı ve en büyük ortak bölen kapalı olması durumlarında hesaplamıştır. Ayrıca Bourque ve Ligh (1993, 1995), Hong (1998), Taşçı ve Altınışık (2002) çalışmalarında, S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde bir.  f ( x , x ) i. j. nn. f aritmetik fonksiyonu için,. biçiminde tanımlanan matrisin yapısını, determinantını ve tersini, S. kümesine ve f fonksiyonuna bazı kısıtlamalar getirerek incelemişlerdir. E. Altınışık (2001), S kümesi üzerinde ij-yinci elemanı. ( xi , x j ) xi .x j. olan matrisi,.

(11) 4. Hemen Hemen Hilbert-Smith matrisi olarak adlandırmış ve bu matrisin yapısını incelemiştir. Bu matrisin determinantı ve tersleri ile ilgili çeşitli sonuçlar ortaya koymuştur. Ayrıca E. Altınışık (2001), GCD matrislerinin karekteristik polinomunun katsayılarını Euler’in toplam fonksiyonu cinsinden ifade etmiştir. N. Tuğlu (2002) S  x1 , x 2 ,..., x n  farklı pozitif tamsayıların kümesi üzerinde ij-yinci elemanı. [ xi , x j ] ( xi , x j ). olan n  n tipinde LCM-Reciprocal GCD matrisini. tanımlamıştır. S kümesinin en büyük ortak bölen kapalı, bölen kapalı ve en küçük ortak kat kapalı olması durumlarında bu matrisin yapısını incelemiş ve sayılar teorisinin araçlarını kullanarak bu matrisin determinantı, terslerinin elemanlarını bir g aritmetik fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplamıştır. Bu çalışmada ilk olarak, GCD ve LCM matrislerinden hareketle n  n tipinde,.  (i, j )   [ A]  (aij )    [i, j ]  matrisi tanımlanmış ve bu matris GCD–Reciprocal LCM matrisi olarak adlandırılmıştır. Öncelikle bu matrisin yapısı incelenerek, determinantı ve tersinin elemanları Jordan’ın toplam fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplanmıştır. Bu çalişmanın son bölümünde S  x1 , x 2 ,..., x n  birbirinden farklı pozitif tamsayıların bir kümesi olmak üzere, S kümesi üzerinde tanımlı n  n GCD– Reciprocal LCM matrisi,.  ( xi , x j )   [ A]  (aij )    [x , x ]   i j  şeklinde ele alınarak, bu matrisin yapısı incelenmiştir. S kümesinin çarpan kapalı küme, en büyük ortak bölen kapalı küme ve pozitif tamsayıların herhangi bir kümesi olması durumlarında bu matrisin determinantı ve terslerinin elemanları Jordan’ın toplam fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonu cinsinden hesaplanmıştır..

(12) 5. 2. ÖN BİLGİLER. Bu bölümde, çalışmamızda yararlanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir.. Tanım 2.1. Pozitif tamsayılar kümesinden, reel sayılar kümesi (veya kompleks sayılar kümesi) içine tanımlanan her fonksiyona aritmetik fonksiyon denir.. Tanım 2.2. f. özdeş olarak sıfır olmayan bir aritmetik fonksiyon ve. (m, n)  1 olmak üzere m, n    için. f (mn)  f (m) f (n) ise,. f. aritmetik. fonksiyonuna çarpanlanabilirdir ya da çarpımsaldır denir. Eğer m, n    için. f (mn)  f (m) f (n) ise f fonksiyonuna tam çarpımsaldır denir.. Teorem 2.1. f ve g çarpımsal herhangi iki aritmetik fonksiyon ise bu taktirde F  f  g ve G . f fonksiyonları da çarpımsaldır. (Long 1967 ) g. Tanım 2.3. n  1 olmak üzere, n doğal sayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını veren fonksiyona Euler’in  fonksiyonu denir ve  (n) ile gösterilir.. Teorem 2.2. Euler’in. . fonksiyonu, çarpanlanabilir. fonksiyondur fakat tam çarpanlanabilir değildir. (Apostol 1976). Teorem 2.3. n  Z  için. n    (d ) d n. dir. (Apostol 1976). bir. aritmetik.

(13) 6. Teorem 2.4. (Aritmetiğin Temel Teoremi) n  1 tamsayısı ya asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde, çarpanların sıra değişikliği hariç, tek türlü ifade edilir. Aritmetiğin temel teoremine göre, pi , i  1,2,..., r birbirinden farklı asallar ve ai  0 r. olmak üzere, n  1 tamsayısının standart biçimi n   piai şeklindedir. (Apostol i 1. 1976 ). r. Teorem 2.5. n  1 tamsayısının standart biçimi n   piai olsun. Eğer f i 1. çarpımsal bir aritmetik fonksiyon ise bu taktirde r. a. f ( n)   f ( p i i ) i 1. dir. (Long 1967 ). r. Tanım 2.4. n  1 tamsayısının standart biçimi n   piai olmak üzere i 1. 1 , n  1   n    0 , ai  1 - 1r , n  p p ... p 1 2 r  biçiminde tanımlanan aritmetik fonksiyona Möbius fonksiyonu denir.. Teorem 2.6.  çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur. (Apostol 1976). Teorem 2.7.  n  Z  için. 1,. n 1. . n  1..   (d )  0, d |n. dir. (Apostol 1976). Tanım 2.5. f ve g iki aritmetik fonksiyon olmak üzere n    için f ve g aritmetik fonksiyonlarının Dirichlet çarpımı,.

(14) 7.  f  g (n)   f (d ) g  n    f (d1 ) g (d 2 ) d d n.  . d1 d 2  n. bağıntısı ile verilen bir aritmetik fonksiyon olarak tanımlanır.. Teorem 2.8. (Möbius Birinci Ters Çevirme Formülü) f herhangi bir aritmetik fonksiyon ve. F ( n)   f ( d ) d n. ise. n n f ( n)   F    ( d )   F ( d )    d  d  d n d n dir. ( Long 1967). Teorem 2.9.  n  Z  için. n n  ( n)   d       ( d ) d  dn d d n dir. ( Apostol 1976). Teorem 2.10.  n  Z  için  1  (n)  n 1   p p| n . dir. Burada p, n’nin asal bölenleridir. (Apostol 1976). Tanım 2.6.  n, k  Z  için, I k (n)  n k ve  Möbius fonksiyonu olmak üzere. Jk  Ik   veya k. n J k ( n)      ( d ) d |n  d . şeklinde tanımlanan fonksiyona Jordan’ın toplam fonksiyonu denir..

(15) 8. Jordan’ın toplam fonksiyonu Euler’in toplam fonksiyonunun genelleştirilmiş biçimidir. k=1 durumunda, bu fonksiyon Euler’in toplam fonksiyonudur.. Teorem 2.11.  n, k  Z  için. n k   J k (d ) d |n. dir. (Sivaramakrishnan 1989). Teorem 2.12.  n, k  Z  için  1  J k (n)  n k  1  k  p  p| n . dir. Burada p, n’nin asal bölenleridir. (Sivaramakrishnan 1989). Tanım 2.7. Elemanları 0 ya da 1 olan m  n matrise (0-1) matrisi ya da incidence matris denir.. Tanım 2.8. A  M n (IR) bir simetrik matris olmak üzere her x  IR n vektörü için x T Ax  0 (  0 ) ise A matrisi pozitif tanımlıdır (yarı pozitif tanımlıdır) denir. Eğer her x  IR n vektörü için x T Ax  0 (  0 ) ise A matrisi negatif tanımlıdır (yarı negatif tanımlıdır) denir.. Teorem 2.13. Bir A  (aij )  M n ( IR) simetrik matrisinin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart  a11 a12 a a 22 det  21      ai1 ai 2. olmasıdır. (Lütkepohl 1996).    . a1i  a 2i  0   aii .  i  1,2,..., n için.

(16) 9. Teorem 2.14. Bir A  (aij )  M n ( IR) simetrik matrisinin pozitif tanımlı olması için gerek ve yeter şart A=BBT olacak şekilde, köşegen üzerindeki elemanları pozitif olan reel bir B alt üçgen matrisinin var olmasıdır. (Lütkepohl 1996). Teorem 2.15. (Cauchy-Binet Formülü) Bir. A  M n (IR). matrisi için. B  M n ,m ( IR ) ve C  M m ,n ( IR ) olmak üzere A=BC olsun.. i) Eğer n  m ise. det A .  det B. k1 ,k2 ,...,kn . det CTk1 ,k2 ,...,kn . 1 k1  k2 ... kn  m. dir. Burada Bk1 ,k 2 ,..., k n  ve C Tk1 ,k 2 ,..., k n  matrisleri, sırasıyla B ve C T matrislerinin. k1 , k 2 ,..., k n inci sütunlarından oluşan alt matrisleridir. ii) Eğer n  m ise det A  0 dır. (Gantmacher 1960). (i, j ) , i ve j tamsayılarının en büyük ortak bölenini göstermek üzere n. (i, j ) i , j 1. determinantına. Smith. determinantı. denir.. Smith. (1876),. n. (i, j ) i , j 1   (1)  (2)... (n) olduğunu göstermiştir. Burada  , Euler’in toplam fonksiyonudur. Beslin ve Ligh (1989), Smith determinantından hareketle en büyük ortak bölen (GCD) matrisini tanımlamışlar ve bu matrisin yapısını inceleyerek determinantını hesaplamışlardır. Bu kısımda çalışmamızın temeli. olan GCD. matrisleri üzerine yapılan çalışmalar özetlenerek, temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 2.9. S  x1 , x 2 ,..., x n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki ( S )  ( s ij )  ( xi , x j )  matrisine, S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi denir. Burada ( xi , x j ) , xi ve x j tamsayılarının en büyük ortak bölenini gösterir. (Beslin ve Ligh 1989) GCD matrisinin simetrik olduğu açıktır. Ayrıca S  1,2,..., n kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantı, Smith determinantıdır ve Smith’in sonucu gereğince det(S )   (1)  (2)... (n) ' dir..

(17) 10. Tanım 2.10. Pozitif tamsayıların bir S kümesinin, her elemanının pozitif tamsayı bölenleri yine S kümesinin elemanları ise, S kümesine çarpan kapalıdır (Factor Closed, FC) denir. Teorem 2.16. S  x 1 , x 2 ,..., x n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Bu taktirde S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi, bir n  m A matrisi ile bu matrisin transpozu olan A T matrisinin çarpımı şeklinde yazılabilir. (Beslin ve Ligh 1989) İspat: D  d1 , d 2 ,..., d m  S kümesini kapsayan çarpan kapalı bir küme ve A  (a ij ) matrisi; 1, d j xi  j   (d j ) ve eij   0 , aksi halde. (2.1). olmak üzere. aij  eij . 1 2 j. (2.2). ile tanımlansın. O halde A ve A T sırasıyla n  m ve m  n matrisler olacaklardır. Buradan AA T matrisinin ij-yinci elemanı, m. ( AAT ) ij   aik a jk  k 1. .  (d k )  (d k ) . d k xi dk x j.   (d . d k xi , x j. . k. )  ( xi , x j )  sij. olup, buradan (S)  AA T olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanır.. Sonuç 2.1. eij. ve  j. (2.1) deki gibi tanımlansınlar.. E  (eij ) ve.   diag  1 ,  2 ,...,  m  sırasıyla n  m (0-1) matris ve m  m köşegen matris olmak üzere, GCD matrisi (S)  EE T olarak yazılabilir. İspat: D ve S kümeleri Teorem 2.16 da tanımlanan kümeler olmak üzere. EE T matrisinin ij-yinci elemanı, m. EE     ( x T. ij. k. )eik e jk . k 1. dir. Böylece ispat tamamlanır..  ( x. d k xi dk x j. k. ).  ( x d k ( xi , x j ). k. )  ( xi , x j )  sij.

(18) 11. Sonuç 2.2. S  x1 , x 2 ,..., x n  çarpan kapalı bir küme ve (S), S kümesi üzerinde bir GCD matrisi olsun. O taktirde det(S )   ( x1 )  ( x 2 )  ( x n ) dir. (Beslin ve Ligh 1989) İspat: S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi çarpan kapalı olduğundan Teorem 2.16 da verilen D kümesi yerine S kümesi alınabilir. O halde A matrisi n  n bir alt üçgen matris olur. Her 1  i  n için aii    xi  olacağından ispat hemen görülür.. Beslin ve Ligh, bu çalışmalarında Sonuç 2.2 nin tersinin doğru olup olmadığı üzerine bir açık problem ortaya koymuşlardır. Z. Li (1990), bu açık probleme yanıt olarak, Sonuç 2.2' nin tersi olan önermeyi ispatlamıştır. Bundan da önemlisi Z. Li çalışmasında, pozitif tamsayıların herhangi bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını Euler’in toplam fonksiyonu cinsinden hesaplamıştır.. Teorem 2.17. x1  x2  ...  xn. xn 1  xn  2  ...  xn  s. ve. olmak üzere,. S  x1 , x 2 ,..., x n , x n 1 ,..., x n  s  kümesi, S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesini kapsayan en. küçük çarpan kapalı küme olsun. O taktirde. det S  .  det E.   (x 2. k1 , k 2 ,..., k n . k1. ) ( x k2 )... ( x kn ). (2.3). 1 k1  k 2 ... k n  n  s. dir. Burada Ek1 ,k2 ,...,kn  , E matrisinin sırasıyla k1 , k 2 ,..., k n inci sütunlarından oluşan alt matrisidir. (Li 1990) İspat: Teorem 2.16 gereğince S  AA T dir. O halde Cauchy-Binet formülü gereğince. .  det A. . det S   det AAT . k1 , k 2 ,..., k n . . 2. 1 k1  k 2 ... k n  n  s. . olur. Burada det Ak1 ,k 2 ,..., k n   det E k1 ,k 2 ,..., k n   ( x k1 ) ( x k 2 )... ( x k n ). . 1 2. olduğundan ispat. hemen görülür.. Teorem 2.18.. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere S  x1 , x 2 ,..., x n  pozitif. tamsayıların bir kümesi ve S  , S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi olsun. O.

(19) 12. taktirde det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) dir ve eşitlik ancak ve ancak S kümesinin çarpan kapalı olması durumunda geçerlidir. (Li 1990) İspat:. (2.3). ile. k1 , k 2 ,..., k n   1,2,..., n . verilen. için. toplamda. det E. terimler.   ( x ) ( x 2. 1, 2 ,..., n . 1. 2. negatif. olamaz. ve. )... ( x n )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ). dir. Çünkü burada E 1, 2,..., n  , köşegen üzerindeki elemanları 1 olan bir alt üçgen matristir. O halde det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) olacağı açıktır. S kümesi çarpan kapalı ise det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) olduğu Sonuç 2.2 de ispatlanmıştı. O halde Sonuç 2.2 nin tersini göstermek ispatı tamamlayacaktır.. det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) olsun, bu durumda S kümesinin çarpan kapalı olduğu iddia ediliyor. S kümesinin çarpan kapalı olmadığı varsayılsın. Bu durumda. S  S tir ve x n 1  S  S  , S kümesinin bir elemanının bölenidir. x n 1 x r olacak şekilde en küçük r  1,2,..., n tamsayısı alınsın. E matrisinin r-yinci sütunu yerine (n+1)-inci sütununun alınarak E den elde edilen E 1, 2,..., r 1,n 1,r 1,..., n  alt matrisi ele alınsın. r tamsayısının seçiminden bu matris köşegeni üzerindeki elemanları 1 olan bir. alt. üçgen. matristir. ve. öyleyse. determinantı. 1. dir.. Bu. durumda. det E 1, 2,..., r 1,r 1,..., n ,n 1  1 ya da –1 olur. O halde (2.3) den,. det(S )    x1   x 2 ...  x n     x1   x 2 ...  x r 1   x r 1 ...  x n   x n 1  olur ki, bu ise det S     x1   x 2 ...  x n  olması ile çelişir. Bu yüzden S  S olmalıdır, yani S çarpan kapalıdır. Böylece ispat tamamlanır.. Sonuç 2.3. GCD matrisi pozitif tanımlıdır ve ters çevrilebilirdir. İspat:. S   sij nn ,. S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi üzerinde tanımlanan GCD. matrisi ve S  x1 , x 2 ,..., x n , x n 1 ,..., x n  s  kümesi, S kümesini kapsayan en küçük, çarpan kapalı küme olsun. Teorem 2.17 gereğince her i  1,2,..., n için s11 s12 s 21 s 22   si1 si 2.    . s1i s 2i 2  det E k1 ,k 2 ,..., ki   x k1  x k 2 ... x ki   1 k1  k 2 ... ki  n  s sii. .      .

(20) 13. olur. Her x  Z  için  ( x)  0 olduğundan yukarıdaki toplamda her terim pozitiftir. O halde her i  1,2,..., n için; s11 s12 s 21 s 22   si1 si 2.    . s1i s 2i 0  sii. dır. Teorem 2.13 gereğince S   ( sij ) nn GCD matrisi pozitif tanımlıdır. O halde GCD matrisi ters çevrilebilirdir.. Sonuç 2.3 ün iddiası yani GCD matrisinin pozitif tanımlı olduğu,. S   EE T. eşitliğinden hareketle farklı bir yoldan gösterilmiştir. (Beslin ve Ligh. 1989). Bourque ve Ligh (1992), S kümesinin çarpan kapalı olması durumunda GCD matrisinin tersinin elemanlarını, Euler’in toplam fonksiyonu ve Möbius fonksiyonu cinsinden ifade etmişlerdir. Teorem 2.19. S  x1 , x 2 ,..., x n  farklı pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S çarpan kapalı ise, S üzerindeki GCD matrisinin tersi,. bij . 1.  xk   xk    i   xj.   x    x . xi xk x j xk. k.    . (2.4). olmak üzere B  bij nn matrisidir. Ayrıca burada  ve  sırasıyla Euler’in toplam fonksiyonu ve Möbius fonksiyonudur. (Bourque ve Ligh 1992) İspat: E  eij  ve U  u ij  matrisleri sırasıyla, 1, x j xi eij   0, aksi halde. ve   xi   u ij    x j  0, .  , x j xi   aksi halde.

(21) 14. biçiminde tanımlanan n  n matrisler olsunlar. Bu taktirde EU çarpım matrisinin ijyinci elemanı, n. EU ij   eik u kj. . k 1.  xk    x x x  j x x j. k. k. i.    . 1,   x   0, m. xm. xi xj. . i j i j. dir. O halde U  E 1 dir. Eğer   diag   x1 ,   x 2 ,...,  x n  ise Sonuç 2.1 gereğince GCD matrisi S   EE T olarak yazılabilir. Buradan GCD matrisinin tersi. S 1  U T 1U  bij  olur. Burada. . bij  U T 1U. n.     1x  u ij. k 1. k. ki. u kj . 1.  xk   xk    i   xj.   x    x . xi xk x j xk. k.    . dir. Böylece ispat tamamlanır.. Ancak S kümesinin çarpan kapalı olmadığı durumda. S 1. matrisinin. elemanlarının, bazı aritmetik fonksiyonlar cinsinden yazılması halen bir açık problem olarak durmaktadır.. Bütün bunların yanında Beslin ve Ligh (1992), çalışmalarında bir kümenin en büyük ortak bölen kapalı olması özelliğini vererek, bu özellikten hareketle GCD matrisinin determinantını farklı bir yoldan hesaplamışlardır.. Tanım 2.11. Pozitif tamsayıların bir kümesinin herhangi iki elemanının ortak bölenlerinin en büyüğü yine bu kümenin bir elemanı ise, bu kümeye en büyük ortak bölen kapalı (Greatest Common Divisor Closed, GCDC) küme denir.. Çarpan kapalı bir kümenin, en büyük ortak bölen kapalı küme olacağı açıktır. Ancak tersi her zaman doğru değildir. Pozitif tamsayıların x1  x2  ...  xn olacak şekilde bir S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi verilsin. S kümesi üzerinde.

(22) 15. B xi  .   d . (2.5). d xi d | x j j i. aritmetik fonksiyonu her i  1,2,..., n için tanımlansın. Burada  Euler’in toplam fonksiyonudur. Hemen belirtelim ki S kümesi üzerinde B xi     xi  olması için gerek ve yeter şart S kümesinin çarpan kapalı olmasıdır. Ayrıca S kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise her i, j  1,2,..., n için. x , x    Bx    i. j. k. xk xi , x j. dır. (Beslin ve Ligh 1992). Teorem 2.20. x1  x2  ...  xm. ve. y1  y 2  ...  y n. olmak. üzere,. S  x1 , x 2 ,..., x m  , pozitif tamsayıların bir S  y1 , y 2 ,..., y n  kümesini kapsayan en. büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme olsun. O taktirde S GCD matrisi, bir. n  m A matrisi ile A matrisinin transpozuna karşılık gelen (0-1) C matrisinin çarpımı şeklinde yazılabilir. (Beslin ve Ligh 1992) İspat: A  (a ij ) matrisi ve A matrisinin transpozuna karşılık gelen C  c ij  (0-1) matrisi sırasıyla B(x j ), x j y i aij    0, aksi halde. (2.6). 1, x i y j cij   0, aksi halde. (2.7). ve. ile verilsin. O halde AC çarpım matrisinin ij-yinci elemanı, n.  AC ij   aik ckj k 1. .  B( x. k. )  ( yi , y j ). xk yi xk y j. olur. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 2.4. Pozitif tamsayıların S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise det(S )  B( x1 ) B( x 2 )...B( x n ) dir. (Beslin ve Ligh 1992).

(23) 16. İspat: S kümesi en büyük ortak bölen kapalı olduğundan Teorem 2.20 de verilen A ve C matrisleri sırasıyla, köşegeni B( x1 ), B( x 2 ),..., B( x n )  olan n  n bir alt üçgen matris ve köşegeni 1,1,...,1 olan n  n bir üst üçgen (0-1) matrisi olacaktır. Sonuç olarak,. det S  det AC   det A det C  B( x 1 )B( x 2 )...B( x n ) dir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 2.5. S  x1 , x 2 ,..., x n  çarpan kapalı ise det(S )   ( x1 ) ( x 2 )... ( x n ) dir. (Beslin ve Ligh 1992) İspat: B aritmetik fonksiyonunun tanımı ve Sonuç 2.4 gereğince ispat açıktır. S  x1 , x 2 ,..., x m  , pozitif tamsayıların bir. S  y1 , y 2 ,..., y n  kümesini. kapsayan en büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme olmak üzere Teorem 2.20 de verilen A  (a ij ) matrisinin ij-yinci elemanı, aij  eij B( x j ) olarak yazılabilir. Burada 1, x j y i eij   0, aksi halde. (2.8). dir. E, ij-yinci elemanı e ij olan n  m bir matris olsun. Öyleyse C  E T dir. Ayrıca  , köşegeni. B( x1 ), B( x2 ),..., B( xm ) . olan m  m bir köşegen matris ise GCD. matrisi (S), ( S )  AC  EE T olarak yazılabilir.. Şimdi 1  k1  k 2  ...  k n  m. olmak üzere k1 , k 2 ,..., k n. farklı pozitif. tamsayılar olsun ve Ek1 ,k2 ,..., kn  , E matrisinin k1 , k 2 ,..., k n -inci sütunlarından oluşan alt matrisini göstersin.. Aynı şekilde. . Ak1 ,k2 ,...,kn . matrisi. tanımlansın.. Buradan. .   diag B( x k1 ), B( x k 2 ),..., B( x k n ) ise A k1 ,k 2 ,..., k n   E k1 ,k 2 ,..., k n  . olduğundan,. . . det Ak1 ,k 2 ,..., k n   B( x k1 ) B( x k 2 )...B( x k n ) det E k1 ,k 2 ,..., k n . (2.9). yazılabileceği açıktır. Sonuç olarak aşağıdaki teoremi verebiliriz.. Teorem 2.21. S ve S kümeleri Teorem 2.20 deki gibi olsun. (S) matrisi, S kümesi üzerinde bir GCD matrisi ise;.

(24) 17.  det E. det S  .  B( x 2. k1 , k 2 ,..., k n . k1. ) B( x k 2 )...B( x k n ). . (2.10). 1 k1  k 2 ... k n  m. dir. Burada Ek1 ,k2 ,..., kn  , E matrisinin k1 , k 2 ,..., k n -inci sütunlarından oluşan alt matrisidir. (Beslin ve Ligh 1992) İspat: Teorem 2.20 den ( S )  AC dir. Şimdi bu eşitliğe Cauchy-Binet formülü uygulanırsa,. det(S )  det( AC ) .  det A. k1 , k 2 ,..., k n . det E k1 ,k 2 ,..., k n . 1 k1  k 2 ... k n  m. elde edilir. Burada (2.9) eşitliği yerine yazılırsa ispat hemen görülür.. [i, j ] , i ve j pozitif tamsayılarının en küçük ortak katını göstermek üzere Smith (1876),. [i, j ]. n i , j 1. n. determinantının değerinin.   (k ) (k ). olduğunu. k 1. hesaplamıştır. Burada  Euler’in toplam fonksiyonu ve  ,  (1)  1 ve p asal olmak üzere  ( p r )   p şeklinde tanımlı çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur. Ayrıca Smith,. [i, j ]. (i, j ) n i , j 1. n i , j 1. = (i, j ). n i , j 1. determinantı. ile. [i, j ]. n i , j 1. determinantı. arasında. n.    (k ) bağıntısını kurmuştur. k 1. Bu kısımda da çalışmamızın temelini oluşturan LCM matrisleri üzerine yapılan çalışmalar özetlenerek, temel tanım ve teoremler verilecektir. Tanım 2.12. S  x1 , x 2 ,..., x n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. n  n tipindeki S   ( s ij )   [ xi , x j ]  matrisine, S kümesi üzerinde en küçük ortak kat (Least Common Multiple, LCM) matrisi denir. Burada [ xi , x j ] , xi ve. xj. tamsayılarının en küçük ortak katını gösterir. (Beslin 1991) Teorem 2.22. S  x1 , x 2 ,..., x n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Bu taktirde S kümesi üzerinde tanımlanan LCM matrisi, bir n  m A matrisi ile transpozunun çarpımı şeklinde yazılabilir. (Beslin 1991).

(25) 18. İspat: D  d1 , d 2 ,..., d m  S kümesini kapsayan çarpan kapalı bir küme ve A  (a ij ) matrisi.  x g ( d j ) , d j xi aij   i aksi halde 0 ,. (2.11).  (n) (n) 1 d  (d )   n d |n n2. (2.12). ile tanımlansın. Burada g. g ( n) . ile tanımlanan aritmetik fonksiyondur. AAT matrisinin ij-yinci elemanı, m. ( AAT ) ij   aik a jk  k 1. x. g ( d k ) x j g ( d k )  xi x j. i. d k xi dk x j.  g (d . d k xi , x j. . k. ). olup, (2.12) denklemine Möbius ters çevirme formülü uygulanırsa,. 1.  g (d )  n. (2.13). d |n. elde edilir. Böylece ( AAT ) ij . xi x j ( xi , x j ).  [ xi , x j ]  sij. olup, S  AAT olduğu görülür. Sonuç 2.6. S  x 1 , x 2 ,..., x n  çarpan kapalı bir küme ve S  , S kümesi üzerinde bir LCM matrisi olsun. O taktirde n. detS     ( x k ) ( x k ). (2.14). k 1. dir. (Beslin 1991) İspat: S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi çarpan kapalı olduğundan Teorem 2.22 de verilen D kümesi yerine S kümesi alınabilir. O halde A matrisi n  n bir alt üçgen matris ve AT da n  n üst üçgen matris olmak üzere, n. n. k 1. k 1. det S  det( AAT )   x k2 g ( x k )    ( x k ) ( x k ) elde edilir..

(26) 19. Sonuç 2.7. LCM matrisi pozitif tanımlı değildir. (Beslin 1991) Sonuç 2.8.   diag  g (d1 ), g (d 2 ),..., g (d m )  olan m  m tipinde köşegen matris ve n  m E  (e ij ) matrisi de,  xi ,  eij   0, . d j | xi. (2.15) aksi halde. şeklinde tanımlı bir matris olmak üzere S   EE T olarak yazılabilir.. Bourque ve Ligh (1992), S kümesinin çarpan kapalı olması durumunda LCM matrisinin tersinin elemanlarını hesaplamışlardır. Teorem 2.23. S  x1 , x 2 ,..., x n  pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S çarpan kapalı ise, S üzerindeki LCM matrisinin tersi, ij-yinci elemanı. bij . 1 xi x j. 1.  xk   xk    i   xj.  g x    x . xi xk x j xk. k.    . (2.16). olan B  b ij  matrisidir. Burada g. g ( m) .  (m) (m) 1 d (d )   m d |m m2. şeklinde tanımlı çarpımsal bir aritmetik fonksiyondur. (Bourque ve Ligh 1992) İspat: E  (eij ) ve P  ( pij ) matrisleri sırasıyla,  x , x j xi eij   i 0 , aksi halde. ve  1  xi     , x j xi pij   x j  x j    0, aksi halde . (2.17). biçiminde tanımlanan n  n matrisler olsunlar. Bu taktirde EP çarpım matrisinin ijyinci elemanı.

(27) 20. 1  x k  xi   x j  x j  x j. n. EP ij   eik p kj. . k 1. x. i. x j xk xk xi. 1,   x   0, s. xs. xi xj. . i j i j. dir. O halde P  E 1 dir. Eğer   diag  g  x1 , g  x 2 ,..., g  x n  ise Sonuç 2.8 gereğince LCM matrisi S   EE T olarak yazılabilir. Buradan LCM matrisinin tersi. S 1  P T 1 P  (bij ) olur. Burada n. . bij  P T 1 P.    g 1x  p ij. k 1. ki p kj . k. 1 xi x j. . xi xk x j xk. x 1   k g  x k   xi.   xk      xj.    . dir. Böylece ispat tamamlanır.. Ayrıca Bourque ve Ligh, en büyük ortak bölen kapalı küme üzerinde tanımlı LCM matrisinin determinantını hesaplayarak Smith’in sonucunu genelleştirmişlerdir.. Teorem 2.24. x1  x 2  ...  x n. y1  y 2  ...  y m. ve. olmak. üzere. S  y1 , y 2 ,..., y m  , pozitif tamsayıların bir S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesini kapsayan en. büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme olsun. O halde S üzerinde tanımlanan LCM matrisi, bir n  m A matrisi ile AT matrisinin çarpımı şeklinde yazılabilir. (Bourque ve Ligh 1992) İspat: A  (a ij ) matrisi ij-yinci elemanı,.  xi  ( y j ) ,  aij    0, . y j | xi ( 2.18). aksi halde. şeklinde tanımlı n  m tipinde bir matris olsun. Burada.  (y j ) .  g (d ). (2.19). d|y j d | yt yt  y j. dir. O halde AAT çarpım matrisinin ij-yinci elemanı, n. AA    a T. ij. k 1. ik. a jk . x. y k xi yk x j. i.  ( y k ) x j  ( y k )  xi x j.  (y. y k |( xi , x j ). k. ).

(28) 21. dır. Beslin ve Ligh (1989) tarafından verilen Önerme 1’ in ispatına benzer bir düşünce ile. .  ( yk ) . y k |( xi , x j ).  g (d ). (2.20). d |( xi , x j ). elde edilir. Buradan (2.13) ifadesi kullanılırsa,. AA  T.  [ xi , x j ]. ij. olarak bulunur. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 2.9. Elemanları pozitif tamsayılar olan S  x1 , x 2 ,..., x n  kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise n. detS    x k2  ( x k ). (2.21). k 1. dir. (Bourque ve Ligh 1992) İspat: S kümesi en büyük ortak bölen kapalı olduğundan Teorem 2.24 de. S  S alabiliriz. O halde, S üzerinde tanımlı n  n LCM matrisi, köşegen elemanları.  k  1,2,..., n. için a kk  x k  ( x k ) olan A matrisi ile transpozunun çarpımı. şeklindedir. A, bir alt üçgen matris olduğundan n. detS  =  x k2  ( x k ) k 1. elde edilir.. Bourque ve Ligh (1992), ‘‘ en büyük ortak bölen kapalı bir küme üzerinde tanımlı LCM matrisi ters çevrilebilirdir ’’ konjektürünü ortaya atmışlardır.. Ancak Haukkanen, Wang ve Sillanpaa (1997), bu konjektürün n=9 için yanlış olduğunu bir örnekle göstermişlerdir. Örnek 2.3. S  1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 45,180 olsun. Bu taktirde S en büyük ortak bölen kapalıdır fakat çarpan kapalı değildir. x9  180 dir.  nın tanımından.  ( x9 )  g (180)  g (90)  g (60)  g (36)  g (30)  g (20)  g (18)  g (12).

(29) 22. . 2 4 2 1 4 1 1 1        0 45 45 15 18 15 5 9 6. bulunur. Böylece detS  = 0 dır.. Ayrıca S. Hong (1999), Bourque ve Ligh tarafından ortaya atılan bu konjektürün, n  7 için doğru olduğunu ve n  8 için doğru olmadığını ispatlamıştır..

(30) 23. 3. GCD-RECİPROCAL LCM MATRİSLERİ. Bu bölümde GCD-Reciprocal LCM matrisinin yapısı incelenmiştir. Bu matrisin determinantı ve tersi özel aritmetik fonksiyonlar yardımıyla hesaplanmıştır.. Tanım 3.1. (i, j ) ve [i, j ] , i ve j pozitif tamsayılarının sırasıyla en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını göstermek üzere, ij-yinci elemanı aij . (i, j ) i, j . olan n  n tipindeki [ A]  (a ij ) matrisine, GCD-Reciprocal LCM matrisi denir.. Teorem 3.1. [ A]  (a ij ) n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi olsun. Bu taktirde [A], n  n tipinde bir C alt üçgen matrisi ile transpozunun çarpımı şeklinde yazılabilir. İspat: n  n tipinde C  (cij ) matrisi,  J 2 ( j)  , j|i cij   i  0 , aksi halde . (3.1). ile verilsin. O halde CC T matrisinin ij-yinci elemanı, n. (CC T ) ij =  c ik c jk   k 1. k |i k| j. J 2 (k ) i. J 2 (k ) j. 2. . 1 (i, j ) (i, j ) J 2 (k )    aij  ij k |( i , j ) ij [i, j ]. olur.. Sonuç 3.1. [ A]  (a ij ) n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi ise. det [ A]  dir.. 1 (n!) 2. n. J k 1. 2. (k ). (3.2).

(31) 24. İspat: Teorem 3.1 den dolayı [ A] matrisi, [ A]  CC T şeklinde yazılabilir.. 1 1 1  J 2 (2) , ..., J 2 (n)  olan bir alt üçgen Burada C  (cij ) köşegeni  J 2 (1) , 2 n 1  matris olup. 1 n  J 2 (k ) n! k 1. det C  dır. Teorem 3.1 den. det [ A] . 1 (n!) 2. n. J. 2. (k ). k 1. olarak bulunur.. Örnek 3.1. [ A]  (a ij ) 3 3 GCD-Reciprocal LCM matrisi olsun,. 1 2.  1 1 [A] =  2 1  3. 1 1 6. 1 3 1  6 1  . dir. J 2 (1)  1, J 2 (2)  3 , J 2 (3)  8 olduğundan. det [ A] . 1 (n!) 2. 3. J. 2. (k ) . k 1. J 2 (1).J 2 (2).J 2 (3) 2 = 3 (3!) 2. elde edilir.. Sonuç 3.2. [ A]  (a ij ) n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi ise. det [ A]  0. (3.3). dır. İspat: Sonuç 3.1 den. det [ A] . 1 (n!) 2. n. J k 1. ve Teorem 2.12 gereği,. J 2 (k )  k 2  (1  p| k. 1 ) p2. 2. (k ).

(32) 25. olup,  k  Z  için J 2 (k )  0 olduğu açıktır. Böylece det[ A]  0 elde edilir.. Sonuç 3.3. GCD-Reciprocal LCM matrisi pozitif tanımlıdır. İspat: Teorem 3.1 den [ A]  CC T olup, burada C, köşegeni cii . J 2 (i ) i. (i  1,2,..., n) olan bir alt üçgen matristir. Her i  1,2,..., n için cii  0 olduğundan Teorem 2.14 gereği [ A] matrisi pozitif tanımlıdır.. Sonuç 3.4.. [ A]  (a ij ) n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi olmak üzere. iz [ A]  n. (3.4). dir. İspat: Teorem 3.1 den, [ A] matrisinin ij-yinci elemanı,. [ A]ij  (CC T ) ij . 1  J 2 (k ) ij k |( i , j ). dır. Buradan n. 1 iz[ A]  iz (CC )   2 i 1 i T. n. n 1 2 J 2 (k )   2 i  1  n  k |i i 1 i i 1. olarak elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.. Sonuç 3.5. Teorem 3.1 de verilen C matrisi, C  E1 / 2 şeklinde yazılabilir. Burada  , köşegeni  J 2 (1), J 2 (2), ..., J 2 (n)  olan n  n tipinde bir köşegen matris ve. n  n tipinde E  (eij ) matrisi, 1 i ,  eij   0 ,  . j|i (3.5). aksi halde. şeklinde tanımlı n  n tipinde bir alt üçgen matris olmak üzere, bu taktirde n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi. [ A]  CC T  ( E1 / 2 )( E1 / 2 ) T  EE T olarak yazılabilir.. (3.6).

(33) 26. Teorem 3.2. [ A]  (a ij ). GCD-Reciprocal LCM matrisi, ters. nn. çevrilebilirdir ve tersi, ij-yinci elemanı t ij  ij  i|k j |k k n. 1 k k  ( ) ( ) J 2 (k ) i j. (3.7). olan n  n tipindeki T  (t ij ) matrisidir. İspat: Sonuç 3.2 den det[ A]  0 olduğunu elde ederiz. O zaman GCDReciprocal LCM matrisi ters çevrilebilirdir. Şimdi, GCD -Reciprocal LCM matrisinin tersini hesaplayalım. E  (eij ) ve  Sonuç 3.5 de tanımlanan matrisler ve P  ( pij ) ,. i   j ( j )  pij    0  . ,. j | i,. (3.8) ,. aksi halde. şeklinde tanımlanmak üzere, EP çarpımının ij-yinci elemanı, 1 1 k j  ( EP) ij   eik p kj   j ( )    (d )   j i d| i k 1 k |i i 0 j |k j  n. ,. i j. ,. i j. olur. Buradan P  E 1 olarak bulunur. Sonuç 3.5 kullanılarak,. [ A]  EE T [ A] 1  ( E T ) 1 1 E 1  ( E 1 ) T 1 E 1  P T 1 P  (t ij ). elde edilir. Buradan n. t ij  ( P T 1 P) ij   k 1. 1 1 k k 1 k k p ki p kj   i ( ) j ( )  ij   ( ) ( ) J 2 (k ) i j i j i|k J 2 ( k ) i|k J 2 ( k ) j |k. j |k k n. olur. Böylece ispat tamamlanır.. Örnek 3.2. 4  4 tipinde GCD-Reciprocal LCM matrisi,.

(34) 27. 1 2. 1 4 1  1 2 1 1 1 6 12   1 1 1 2 12 .  1 1  [A] =  2 1 3 1  4. 1 3 1 6. dır. Teorem 3.2 den [ A] ters çevrilebilirdir. [ A] 1  (t ij ) olsun.. J 2 (1) 1, J 2 (2)  3, J 2 (3)  8, J 2 (4) 12 olduğundan. t11 . t12=. 1 1 1 1 35 .1.(  (1)) 2  .1.(  (2)) 2  .1.(  (3)) 2  .1.(  (4)) 2  , J 2 (1) J 2 (2) J 2 (3) J 2 (4) 24. 1 2 .2.(2).(1)   t21 J 2 ( 2) 3. t14=. 1 .4.(4).(1)  0  t41 J 2 (4). t 32  t 23  0 t33=. t 34  t 43  0. 1 9 .9.((1)) 2  J 2 (3) 8. ,. t13=. 1 3 .3.(3).(1)   t 31 J 2 (3) 8. ,. t24=. 1 2 .8.(2).(1)   t42 J 2 (4) 3 1 1 5 4.((1)) 2  .4.((2)) 2  J 2 (2) J 2 (4) 3. , t22= ,. t44=. 1 4 .16.((1)) 2  J 2 (4) 3. bulunur. Böylece.  35  24  2  1 [ A]   3 3  8   0 . 2 3 5 3. 3 8 0. 0. 9 8. 2 3. 0.  0   2  3  0  4   3 . elde edilir.. S  {x1 , x 2 , ..., x n } birbirinden farklı pozitif tamsayıların sıralı bir kümesi olsun. S üzerinde tanımlı ij-yinci elemanı aij . ( xi , x j ) [ xi , x j ]. olan GCD-Reciprocal LCM.

(35) 28. matrisi için temel yapı teoremi vereceğiz. S kümesi çarpan kapalı olduğunda, S üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisinin determinantını ve tersini hesaplayacağız. Burada aksi belirtilmedikçe, S  {x1 , x 2 , ..., x n }. kümesinin elemanları. x1  x 2  ...  x n olarak kabul edilecektir. S kümesinin elemanlarının herhangi bir dizilişi ile elde edilen küme üzerinde tanımlanan GCD–Reciprocal LCM matrisi ile S kümesinin elemanlarının x1  x 2  ...  x n şeklinde sıralanışı ile elde edilen küme üzerinde tanımlanan GCD–Reciprocal LCM matrisi, benzer matrisler olacağından kabulümüz genelliği bozmayacaktır.. Tanım 3.2. S  {x1 , x 2 , ..., x n } birbirinden farklı pozitif tamsayıların sıralı kümesi olmak üzere, S kümesi üzerinde tanımlı, ij-yinci elemanı aij . ( xi , x j ). olan. [ xi , x j ]. n  n tipindeki [ A]  (a ij ) matrisine GCD-Reciprocal LCM matrisi denir. Aşağıdaki teorem, GCD-Reciprocal LCM matrisinin yapısını ortaya koyar.. Teorem 3.3.. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif. tamsayıların bir kümesi ve S  d 1 , d 2 ,..., d m  , S kümesini kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun. O zaman, n  n [A] GCD-Reciprocal LCM matrisi, bir n  m F matrisi ile F matrisinin transpozunun çarpımı şeklinde yazılabilir. İspat: n  m tipindeki F  ( f ij ) matrisi,  J 2 (d j )   xi f ij    0  . d j | xi. ,. (3.9) ,. aksi halde. ile tanımlansın. O zaman, FF T matrisinin ij-yinci elemanı, m.  k 1. f ik f jk =. . d k | xi dk |x j. J 2 (d k ) xi. J 2 (d k ) xj. dir. Böylece ispat tamamlanır.. . 1 xi x j. . d k |( xi , x j ). J 2 (d k ) . ( xi , x j ) 2 xi x j. . ( xi , x j ) [ xi , x j ].  a ij.

(36) 29. Teorem 3.4.. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif. tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S çarpan kapalı ise n. det [ A]   k 1. J 2 ( xk ) xk. (3.10). 2. dir. İspat: S kümesi çarpan kapalı olduğundan, Teorem 3.3 de S =S alalım. Teorem 3.3 den GCD-Reciprocal LCM matrisi, [ A]  FF T şeklinde yazılabilir. 1 Burada F  ( f ij ) köşegeni   x1. J 2 ( x1 ) ,. 1 x2. J 2 ( x 2 ) , ...,. 1 xn.  J 2 ( x n )  olan . bir alt üçgen matris olup n. det F   k 1. J 2 ( xk ) xk. dır. Buradan n. det [ A]   k 1. J 2 ( xk ) x k2. olarak bulunur. Böylece ispat tamamlanır.. Örnek 3.3. S  {1, 3, 5,15} kümesini alalım. S kümesi üzerinde tanımlanan 4  4 tipinde GCD-Reciprocal LCM matrisi,. 1 1 1   1 3 5 15  1 1 1   1 3 15 5   [A] = 1 1 1 1  5 15 3 1 1 1  1  15 5 3  dir. S kümesi çarpan kapalıdır ve. J 2 (1)  1, J 2 (3)  8, J 2 (5)  24, J 2 (15)  192 dir. Buradan 4. det [ A]   k 1. J 2 ( xk ) xk. 2. . J 2 (1).J 2 (3).J 2 (5).J 2 (15) 4096 .  5625 12 .3 2 .5 2 .15 2.

(37) 30. x1  x 2  ...  x n. Teorem 3.5.. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif. olmak üzere. tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S çarpan kapalı ise det[A] > 0. (3.11). dır. İspat: Teorem 3.4 den, n. det [ A]   k 1. J 2 ( xk ) x k2. ve Teorem 2.12 gereği,. J 2 ( xk )  xk. 2. 1.  (1  p. 2. ). p| x k. olup,  x k  Z  için J 2 ( x k )  0 olduğu açıktır. Böylece det[ A]  0 elde edilir.. Sonuç. 3.6.. x1  x 2  ...  x n. olmak. üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n }. pozitif. tamsayıların bir kümesi ve S  d 1 , d 2 ,..., d m  , S kümesini kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun. Teorem 3.3 de verilen F matrisi, F  HL1 / 2 şeklinde yazılabilir. Burada L , köşegeni  J 2 (d1 ), J 2 (d 2 ),..., J 2 (d m )  olan m  m tipinde bir köşegen matris ve n  m tipindeki H  (hij ) matrisi de. 1 x  i hij   0  . ,. d j | xi , (3.12). ,. aksi halde. şeklinde tanımlı olsun. O zaman n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi [A],. [ A]  FF T  ( HL1 / 2 )( HL1 / 2 ) T  HLH T. (3.13). olarak yazılabilir. Şimdi de S  {x1 , x 2 , ..., x n } kümesinin çarpan kapalı olmadığı durumda, S kümesi üzerinde tanımlanan GCD-Reciprocal LCM matrisinin determinantı ile ilgili aşağıdaki teoremi verelim..

(38) 31. Teorem 3.6.. x n 1  x n  2  ...  x n  s ve. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere. S  x1 , x 2 ,..., x n ,..., x n  s  kümesi, S  {x1 , x 2 , ... , x n } kümesini kapsayan en küçük. çarpan kapalı küme olsun. [ A] , S kümesi üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisi ise. det [ A] .  det H. . 2. , ,..., k n ) J 2 ( x k1 ) J 2 ( x k 2 )...J 2 ( x k n ). ( k1 k 2. (3.14). 1 k1  k 2 ... k n  n  s. dir. Burada H ( k1 ,k 2 ,..., k n ) , H matrisinin k1, k2 ,…,kn-inci sütunlarından oluşan alt matrisidir. İspat: Teorem 3.3 den GCD-Reciprocal LCM matrisi, [ A]  FF T şeklinde yazılabilir. Cauchy-Binet formülü gereğince.  det F. det [ A]  det( FF T ) . . 2. ( k1 , k 2 ,.. ..., k n ). 1 k1  k 2 ... k n  n  s. dir. Burada. det F( k1 , k 2 ,..., k n )  J 2 ( x k1 ) J 2 ( x k 2 )...J 2 ( x k n ) det H ( k1 , k 2 ,..., k n ) olduğundan. det[ A] .  det H. J 2. ( k1 , k 2 ,..., k n ). 2. ( x k1 ) J 2 ( x k 2 )...J 2 ( x k n ). 1 k1  k 2 ... k n  n  s. olarak bulunur.. Örnek 3.4. S  {2, 5,10} kümesi üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisi,. 1   1 10 1 [A] =  1 10 1 1  5 2. 1 5 1  2 1  . dir. S kümesi çarpan kapalı değildir, S kümesinin çarpan kapanışı S  1,2,5,10 kümesidir. Sonuç 3.6 da verilen H matrisi.

(39) 32. 1 1  2 2 0 0 1  1 H  0 0 5 5  1 1 1 1 10 10 10 10  olur. Teorem 3.6 dan.  det H. det[A] =. J 2. ( k1 , k 2 , k3 ). 2. ( x k1 ) J 2 ( x k 2 ) J 2 ( x k3 ). 1 k1  k 2  k3  4. dır. Buradan 2. 1 1 0 2 2 1 1 det[ A]  0 J 2 (1).J 2 (2).J 2 (5)  5 5 1 1 1 10 10 10. 1 2. 2. 1 0 0 2 1 1 0 J 2 (1).J 2 (5).J 2 (10)  5 5 1 1 1 10 10 10. 2. 2. 1 1 0 2 2 1 1  0 0 J 2 (2).J 2 (5).J 2 (10)  0 0 J 2 (1).J 2 (2).J 2 (10) 5 5 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 0. 0. elde edilir. Burada. J 2 (1)  1, J 2 (2)  3, J 2 (5)  24, J 2 (10)  72 olduğundan det[ A] . 18 25. olarak bulunur.. Teorem 3.7.. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif. tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise, o taktirde S kümesi üzerinde tanımlanan [A] GCD-Reciprocal LCM matrisinin tersi, elemanları. nij  xi x j. J. xi | xk x j | xk. x x 1  ( k ) ( k ) xi xj 2 ( xk ). (3.15).

(40) 33. ile verilen bir N  (nij ) matrisidir. İspat: Teorem 3.5 den, det[A]  0 olduğunu elde ederiz. O zaman GCDReciprocal LCM matrisi ters çevrilebilirdir. Şimdi, GCD-Reciprocal LCM matrisinin tersini hesaplayalım. H  (hij ) ve L Sonuç 3.6 da tanımlanan matrisler ve G  ( g ij ) ,. xi  x  ( ) j  xj  g ij    0  . ,. x j | xi. (3.16) ,. aksi halde. şeklinde tanımlanmak üzere, HG çarpımının ij-yinci elemanı,. xj x 1 ( HG ) ij   hik g kj   x j  ( k )  xj xi k 1 xk | xi x i n. x j | xk. 1  x  ( xd )   0 xd | i xj . ,. xi  x j. ,. xi  x j. olur. Buradan G  H 1 olarak bulunur. Sonuç 3.6 kullanılarak. [ A]  HLH T [ A] 1  ( H T ) 1 L1 H 1  ( H 1 ) T L1 H 1  G T L1G  (nij ). elde edilir. Buradan n. nij   k 1. x x x x 1 1 1 g ki g kj   xi  ( k ) x j  ( k )  xi x j   ( k ) ( k ) J 2 ( xk ) xi xj xi xj xi | xk J 2 ( k ) xi | xk J 2 ( x k ) x j | xk. x j | xk. olur. Böylece ispat tamamlanır.. Örnek 3.5.. S  {1, 3, 5,15 } üzerinde tanımlanan 4  4 tipinde GCD-. Reciprocal LCM matrisi. 1 1 1   1 3 5 15  1 1 1   1 15 5  [A] =  3 1 1 1 1  5 15 3 1 1 1  1  15 5 3 .

(41) 34. dir. S kümesi çarpan kapalıdır. Teorem 3.7 ye göre, [A] matrisinin tersinin elemanlarını hesaplayalım.. J 2 (1)  1, J 2 (3)  8, J 2 (5)  24, J 2 (15)  192 olmak üzere  1  75 1 1 1 n11 1.1  (1)  (1)   (3)  (3)   (5)  (5)   (15)  (15)   , J 2 (3) J 2 (5) J 2 (15)  J 2 (1)  64  1   25 1 n12  1.3  (3)  (1)   (15)  (5)   , J 2 (15) 64  J 2 (3)   1   15 1 n13  1.5  (5)  (1)   (15)  (3)   , J ( 5 ) J ( 15 ) 64 2  2   1  5 n14  1.15  (15)  (1)   ,  J 2 (15)  64  1  75 1 n22  3.3  (1)  (1)   (5)  (5)   , J 2 (15)  J 2 (3)  64  1  5 n23  3.5  (5)  (3)    J 2 (15)  64. ,. n24  3.15. 1  15  (5)  (1)  J 2 (15) 64.  1  75 1 n33  5.5  (1)  (1)   (3)  (3)   , J 2 (15)  J 2 (5)  64  1   25  1  75 , n44  15.15 n34  5.15  (3)  (1)    (1)  (1)   64  J 2 (15)   J 2 (15)  64. elde edilir. Ayrıca [A]-1 matrisi simetrik olduğundan.  75  64   25  1 [ A]   64   15  64  5   64 elde edilir..  25 64 75 64 5 64  15 64.  15 64 5 64 75 64  25 64. 5  64   15   64   25  64  75   64 .

(42) 35. Şimdi de, en büyük ortak bölen kapalı S  {x1 , x 2 , ..., x n } kümesi üzerinde tanımladığımız GCD-Reciprocal LCM matrisinin yapısını inceleyip determinantını ve tersini hesaplayacağız.. Teorem. x1  x 2  ...  x n. 3.8.. ve. z1  z 2  ...  z m. olmak. üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif tamsayıların bir kümesi ve S  z1 , z 2 ,..., z m  , S kümesini kapsayan en büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme olsun. O taktirde, S kümesi üzerinde tanımlanan [A] GCD-Reciprocal LCM matrisi, bir n  m R matrisi ile R matrisinin transpozunun çarpımı şeklinde yazılabilir. İspat: S  z1 , z 2 ,..., z m  , pozitif tamsayıların S  {x1 , x 2 , ..., x n } kümesini kapsayan en büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme olmak üzere n  m tipindeki R  (rij ) matrisinin elemanları.  B( z j )   xi rij    0  . z j | xi. ,. (3.17) ,. aksi halde. şeklinde tanımlansın. Burada B( z j )   J 2 (d ). (3.18). d |z j d | zt t j. şeklinde tanımlı bir aritmetik fonksiyondur. O halde, RR T matrisinin ij-yinci elemanı, m.  rik r jk =  k 1. z k | xi zk | x j. B( z k ) xi. B( z k ) xj. . 1 xi x j. . z k |( xi , x j ). B( z k ) . ( xi , x j ) 2 xi x j. . ( xi , x j ) [ xi , x j ].  aij. dir. Böylece ispat tamamlanır. Teorem 3.8 de verilen R matrisi, R= DY 1 / 2 şeklinde yazılabilir. Burada Y , köşegeni.

(43) 36. B( z1 ), B( z 2 ),..., B( z m ) . (3.19). olan m  m tipinde bir köşegen matris ve n  m tipinde D  (d ij ) matrisi de. 1 x  i d ij   0  . z j | xi ,. ,. (3.20). aksi halde,. ,. şeklinde tanımlı olsun. O zaman n  n GCD-Reciprocal LCM matrisi [A],. [ A]  RR T  ( DY 1 / 2 )( DY 1 / 2 ) T  DYD T. (3.21). olarak yazılabilir.. Teorem 3.9.. x1  x 2  ...  x n. olmak üzere. S  {x1 , x 2 , ..., x n } pozitif. tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S en büyük ortak bölen kapalı ise n. det [ A]  . B( xk ) xk. k 1. (3.22). 2. dir. İspat: S kümesi en büyük ortak bölen kapalı olduğundan, Teorem 3.8 de. S  S alalım. Teorem 3.8 den GCD-Reciprocal LCM matrisi, [ A]  RR T şeklinde yazılabilir. 1 Burada R  (rij ) köşegeni   x1. B( x1 ) ,. 1 x2. B( x 2 ) , ...,. alt üçgen matris olup n. det R   k 1. B( xk ) xk. dır. Buradan n. det [ A]  det R  det R T   k 1. olarak bulunur. Böylece ispat tamamlanır.. B( xk ) x k2. 1 xn.  B( x n )  olan bir .

(44) 37. Örnek 3.6. S = {5,15,30} kümesini alalım. S üzerinde tanımlanan 3 3 GCD-Reciprocal LCM matrisi. 1 3.  1 1 [A] =  3 1  6. 1 1 2. 1 6 1  2 1  . dir. S kümesi en büyük ortak bölen kapalı ve. B(5)  J 2 (1)  J 2 (5)  25, B(15)  J 2 (3)  J 2 (15)  200 B(30)  J 2 (2)  J 2 (6)  J 2 (10)  J 2 (30)  675 olmak üzere 3. det[ A]   k 1. B( xk ) xk. 2. . B(5).B(15).B(30) 2  3 5 2 15 2 30 2. elde edilir.. Teorem. 3.10.. z1  z 2  ...  z m. x1  x 2  ...  x n. ve. olmak. üzere. S  z1 , z 2 ,..., z m  kümesi, pozitif tamsayıların bir S  {x1 , x 2 , ..., x n } kümesini. kapsayan en büyük ortak bölen kapalı en küçük küme olsun. O taktirde S kümesi üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisinin determinantı,. det [ A] .  det D. . 2. , ,..., k n ) B( x k1 ) B( x k 2 )...B( x k n ). ( k1 k 2. (3.23). 1 k1  k 2 ... k n  m. dir. Burada D( k1 ,k 2 ,..., k n ) , D matrisinin k1,k2,…,kn-inci sütunlarından oluşan alt matrisidir. İspat: Teorem 3.8 den GCD-Reciprocal LCM matrisi, [ A]  RR T şeklinde yazılabilir. Cauchy-Binet formülü gereğince. det [ A]  det ( RR T ) .  det R. . 2. ( k1 , k 2 ,.. ..., k n ). 1 k1  k 2 ... k n  m. olur. Burada. det R( k1 , k 2 ,..., k n )  B( x k1 ) B( x k 2 )...B( x k n ) det D( k1 , k 2 ,..., k n ) olduğundan.

(45) 38.  det D. det [ A] .  B( x 2. ( k1 , k 2 ,..., k n ). k1. ) B( x k 2 )...B( x k n ). 1 k1  k 2 ... k n  m. olarak bulunur.. Örnek 3.7. S = {3,8,15} kümesi üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisi. 1 1   1 24 5  1 1   [A] =  1 120   24 1 1 1   5 120  dir. S kümesi en büyük ortak bölen kapalı değildir, S kümesini kapsayan, en büyük ortak bölen kapalı, en küçük küme S  1,3,8,15 kümesidir. (3.20) ile verilen D matrisi,. 1 1 3 3 1 D = 0 8 1 1 15 15.  0  1 0 8  1 0 15  0. olur. Teorem 3.10 dan,.  det D. det [ A] .  B( x 2. ( k1 , k 2 , k3 ). k1. ) B( x k 2 )...B( x k3 ). 1 k1  k 2  k3  4. dir. 1 1 3 3 1 det[ A]  0 8 1 1 15 15 1 3  0 1 15. 2. 0 1 8 0. 2. 1 1 0 3 3 1 B(1).B(3).B(8)  0 0 B(1).B(3).B(15)  8 1 1 1 15 15 15. 2. 1 3 1 1 0 B(3).B(8).B(15)  8 8 1 1 0 15 15 0. 0. 2. 0. 0. 1 8. 0 B(1).B(8).B(15). 0. 1 15.

(46) 39. olur. Burada B(1)=J2(1)=1, B(3)=J2(3)=8, B(8)=J2(2)+J2(4)+J2(8)=63, B(15)=J2(5)+J2(15)=216 olduğundan det[ A] . 23 24. olarak bulunur.. Teorem 3.11. x1  x 2  ...  x n olmak üzere S  {x1 , x 2 ,..., x n } pozitif tamsayıların bir kümesi olsun. Eğer S kümesi en büyük ortak bölen kapalı ise o taktirde S kümesi üzerinde tanımlanan GCD-Reciprocal LCM matrisinin tersi, elemanları. u ik u jk. vij .  B( x. xi | x k x j | xk. k. (3.24). ). ile verilen bir V  (vij ) matrisidir. İspat: Y , (3.19) ile verilen matris, D  (d ij ) (3.20) ile verilen matris ve U  (u ij ) matrisi de.   (d ). u ij  xi. veya xi. dxi | x j dxi | xt xt  x j. (. xj xi. bir tamsayı değilse, d,. xj xi.   (d ) d|. (3.25). xj. xi xt xi xt  x j. d |. nin bir böleni değildir) şeklinde tanımlanmak üzere,. DUT çarpımının ij-yinci elemanı, n T. ( DU ) ij   d ik u jk k 1. xj 1   x j   (d )  xi xk | xi x i dx j | xk dx j | xt xt  xk. 1   (d )    (d )    xi d | xi dx j | xi 0 xj  xj. olur. Buradan D-1= UT olarak bulunur. (3.21) den. [ A]  DYD T [ A] 1  ( D T ) 1 Y 1 D 1  ( D 1 ) T Y 1 D 1  UY 1U T  (vij ). elde edilir. Buradan. ,. xi  x j. ,. xi  x j.

(47) 40. vij . u ik u jk.  B( x. xi | x k x j | xk. k. ). olur. Böylece ispat tamamlanır.. Örnek 3.8. S = {5,15,30} kümesi üzerinde tanımlı GCD-Reciprocal LCM matrisi.  1 1 [A] =  3 1  6. 1 3 1 1 2. 1 6 1  2 1  . dir. S kümesi en büyük ortak bölen kapalıdır. Fakat çarpan kapalı değildir. Teorem 3.11 gereğince, S kümesi üzerinde tanımlanan [A] GCD-Reciprocal LCM matrisinin tersi, V  (vij ) matrisidir. Burada u11= 5, u12 = -5, u13 = 0, u21=0, u22=15, u23=15, u31=0, u32=0, u33=30 olur. Buradan v11=. u2 u112 u2 9  12  13  B(5) B(15) B(30) 8. 2 2 u 23 u 22 35   v22= B(15) B(30) 24. , v12 =. u u u12 u 22 u13 u 23  3   , v13= 13 33  0 B(15) B(30) 8 B(30). u 23 u 33  2 u 332 4   , v23= , v33= B(30) 3 B(30) 3. olarak bulunur. Simetrik bir matrisin tersi de simetrik olduğundan,.  9  8  3 V=   8  0  matrisi elde edilir.. 3 8 35 24 2 3.  0   2  3  4  3 .

(48) 41. 4.SONUÇ VE ÖNERİLER. Bu çalışmada, GCD-Reciprocal LCM matrisinin yapısı önce S  1,2,..., n kümesi, sonra elemanları pozitif tamsayılar olan S  {x1 , x2 ,..., xn } kümesi üzerinde, S nin FC (çarpan kapalı) olması ve S nin GCDC (en büyük ortak bölen kapalı) olması durumunlarında incelenmiştir. Bu matrislerin determinant ve terslerini aritmetik fonksiyonlar yardımıyla hesaplayabileceğimiz bağıntılar elde edilmiştir. Çalışmamızda incelediğimiz GCD-Reciprocal LCM matrisleri ile, N. Tuğlu tarafından incelenen LCM-Reciprocal GCD matrisleri birbirinden tamamen farklı matrisler olup, orjinal olarak bulduğumuz sonuçlardan görebileceğimiz gibi, GCDReciprocal LCM matrislerinin determinant ve terslerinin elemanlarını Jordan’ın toplam fonksiyonu ve  Möbius fonksiyonunu kullanarak elde ettik. GCUD Reciprocal LCUM matrislerinin yapıları ile ilgili çalışmalarımız devam etmektedir. Bu matrislerin yapıları incelendikten sonra GCD-Reciprocal LCM matrisleri. ile. GCUD-Reciprocal. LCUM. matrislerinin. determinantlarını. karşılaştırılabiliriz. Ayrıca bu matrislerin, permanentleri, özdeğer, singüler değer ve normlarının incelenmesi ile yeni çalışma sahaları oluşturulabilir. Bu konularla ilgili çalışmalarımız devam etmektedir..

(49) 42. KAYNAKLAR. Apostol Tom M., Aritmetical Properties of Generalized Ramanujan Sums, Pasific Journal of Mathematics, 41:281-293 (1972). Apostol T. M., An Introduction to Analytic Number Theory, 1st Ed. New York: Springer-Verlag, 1976.. Beslin Scott, Reciprocal GCD Matrices and LCM Matrices, Fibonacci Quarterly, 29: 271-274 (1991).. Beslin Scott and Ligh Steve, Greatest Common Divisor Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 118:69-76 (1989).. Beslin Scott and Ligh Steve, Another Generalisation of Smith’s Determinant, Bull. Austral. Math. Soc., 40: 413-415 (1989).. Beslin Scott and Ligh Steve, GCD-Closed Sets and the Determinants of GCD Matrices, Fibonacci Quarterly, 30:157-160 (1990).. Bhat Rajarama, On Greatest Common Divisor Matrices and Their Applications, Linear Algebra and Its Applications, 158:77-97 (1991).. Bourque Keith and Ligh Steve, On GCD and LCM Matrices, Linear Algebra and Its Applications,174:65-74 (1992).. Bourque Keith and Ligh Steve, Matrices Associated with Classes of Arithmetical Functions, Journal of Number Theory, 45:367-376 (1993)..

(50) 43. Bourque Keith and Ligh Steve, Matrices Associated with Multiplicative Functions, Linear Algebra and Its Applications, 216:267-275 (1995).. Gantmacher, F.R., The Theory of Matrices vol. 1, New York: Chelsea Publishing Company, 1960.. Haukkanen Pentti, Higher-Dimensional GCD Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 170:53-63 (1992).. Haukkanen Pentti, On Meet Matrices on Posets, Linear Algebra and Its Applications 249:111-123 (1996).. Haukkanen Pentti, Wang Jun and Sillanpaa Juha, On Smith’s Determinant, Linear Algebra and Its Applications, 258:251-269 (1997).. Hong Shaofang, Bounds for Determinants of Matrices Associated with Classes of Arithmetical Functions, Linear Algebra and Its Applications, 281:311-322 (1998).. Hong Shaofang, On the Bourque-Ligh Conjecture of Least Common Multiple Matrices, Journal of Algebra, 218:216-228 (1999). Hong Shaofang, On the factorization of LCM matrices on gcd-closed sets, Linear Algebra and Its Applications, 345:225-233 (2002).. Korkee Ismo and Haukkanen Pentti, Bounds for determinants of meet matrices associated with incidence functions, Linear Algebra and Its Applications, 329:77-88 (2001).. Li Zhongshan, The Determinants of GCD Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 134:137-143 (1990)..

(51) 44. Li Zhongshan, A Determinantal Description of GCD-Closed Sets and k-Sets, Linear and Multilinear Algebra, 31: 245-250 (1992).. Lindström Bernt, Determinants of Semilattices, Proc. American Mathematical Soc., 20:207-208 (1969).. Long Calvin, Elementary Introduction to Number Theory, Boston: D. C. Heath and Company, 1967. Lütkepohl Helmut, Handbook of Matrices, New York: John Wiley and Sons, 1996.. McCarthy P. J., A Generalization of Smith Determinant, Canad. Math. Bulletin 29:109-113 (1986). Robbins Neville, Beginning Number Theory, England: Wm. C. Brown Publishers,1992. Sivaramakrishnan R., Classical Theory of Arithmetic Functions, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 126, Marcel Dekker, Inc. (1989).. Taşçı Dursun, Altınışık Ercan, On The Almost Hilbert-Smith Matrices, Fibonacci Quarterly (to appear).. Taşçı Dursun, Tuğlu Naim, On the LCM-Reciprocal GCD Matrices, Far East Journal of Mathematical Sciences, 6:91-95, 2002.. Wall C. R., Analogs of Smith’s Determinant, Fibonacci Quarterly, 25:343-345 (1987).. Wilf Herbert S., Hadamard Determinants, Möbius Functions, and the Chromatic Number of a Graph, Bull. Amer. Math. Soc. 74:960-964 (1968)..

(52) 45.

(53)