Graflar üzerinde yeni Kirchhoff yapılarının tanıtılması

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI

Betül ACAR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Şubat-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Betül ACAR Tarih:11.02.2011

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Betül ACAR

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR) 2011, 50 Sayfa

Jüri

Doç. Dr. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR) Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVİK Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL

Bu çalışmada basit bağlantılı bir graf için literatüre ilk defa girecek olan Kirchhoff matris, yeni bir Kirchhoff indeks, Kirchhoff enerji ve Kirchhoff Estrada indeks kavramları tanımlanmış ve bunlara bağlı olarak çeşitli alt ve üst sınır değerleri elde edilmiştir. Bu sınırların örnekler üzerinde uygulaması Çizelge 3.1.1, Çizelge 3.1.2 ve Çizelge 3.1.3 de sunulmuş ve bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Kirchhoff matrisi, Kirchhoff indeksi, yeni bir Kirchhoff indeksi, Kirchhoff enerji, Kirchhoff Estrada indeksi

v ABSTRACT

MSC THESIS

INTRODUCING THE NEW KIRCHHOFF STRUCTURES OVER GRAPHS

Betül ACAR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Advisor: Assoc. Prof. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR) 2011, 50 Pages

Jury

Assoc. Prof. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR) Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVİK Prof. Dr. İsmail Naci CANGÜL

In this thesis it has been firstly defined and studied Kirchhoff matrix, a new Kirchhoff index, Kirchhoff energy and Kirchhoff Estrada index for a simple connected graph. Moreover it has been also investigated and so obtained some new bound values depend on these new parameters. The geometric configuration of these bounds are presented in the Figures 3.1.1, 3.1.2 and 3.1.3 as examples, and then some results did obtain related to them.

Keywords: Kirchhoff matrix, Kirchhoff index, a new Kirchhoff index, Kirchhoff energy, Kirchhoff Estrada index

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi, Doç. Dr. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR) yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışma 4 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konuların öneminden bahsedilmiş, graf tanımları, özdeğerleri ve uygulamaları ile çalışmada gerekli olan bazı tanımlara yer verilmiştir. İkinci bölümde ana teoremler verilmiş olup basit bağlantılı bir grafın Kirchhoff matrisi, yeni bir Kirchhoff indeksi, Kirchhoff enerjisi ve Kirchhoff Estrada indeksi tanımlanmış ve bu parametreler için sınırlar elde edilmiştir. Üçüncü bölümde bu parametrelere bağlı örnekler gösterilmiş, son olarak dördüncü bölümde sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

Çalışma boyunca her türlü desteği gösteren ve tüm kolaylığı sağlayan danışman hocam sayın Doç. Dr. A. Dilek MADEN (GÜNGÖR)’e ve yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Prof. Dr. A. Sinan ÇEVİK’e, ayrıca desteklerinden dolayı canım annem Hatice ACAR’a teşekkürlerimi sunarım.

Betül ACAR KONYA-2011

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii SİMGELER ... viii 1. GİRİŞ ...1

1.1. Graf Teori Ve Uygulama Alanları...1

1.2. Tanımlar Ve Parametreler ...3

1.2.1. Graf tanımı...3

1.2.2. Bir grafta yürüme ve yol ...5

1.2.3. Bir grafta bağlantılılık ...5

1.2.4. Tam, iki parçalı, düzenli ve ağırlıklı graflar...6

1.2.5. Grafta kullanılan bazı matrisler ve Kirchhoff indeksi ...8

1.2.6. Bir grafın enerjisi ve Estrada indeksi...11

1.2.7. Bazı lineer cebir tanımları ...14

1.2.8. Artan ve azalan fonksiyon ...15

1.2.9. Bazı reel sayı eşitsizlikleri...16

1.3. Kaynak Araştırması ...16

2. GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI ...19

2.1. Bir Grafın Kirchhoff Matrisi ve Yeni Bir Kirchhoff İndeksi...19

2.2. Bir Grafın Kirchhoff Enerjisi ...23

2.3. Bir Grafın Kirchhoff Estrada İndeksi ...30

3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA ...40

4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...46

4.1. Sonuçlar ...46

4.2. Öneriler ...47

KAYNAKLAR ...48

viii SİMGELER  Reel Sayılar ij _{n n} a   

  aij bileşenli bir A matrisi

A A matrisinin determinantı 1 A A matrisinin tersi T A A matrisinin transpozu

 

Ek A A matrisinin adjointi n

M n n tipindeki matrislerin kümesi

G Herhangi bir graf

 

V G G grafının nokta kümesi

 

V G V G

_{ }

kümesinin eleman sayısı

 

E G G grafının kenar kümesi

i j

v v v ve _i v_j noktalarına ait kenar

 

i

d v v noktasının derecesi _i

 

i

G V G grafının i inci bileşeni

n

K n noktalı tam graf

n

N Boş graf (Kenar içermeyen graf)

ij

w v v_{i j} kenarının ağırlığı

 

A G G grafının komşuluk matrisi

  _i A G

 

nin i inci özdeğeri

 D G

_{ }

G grafının nokta derecelerinin köşegen matrisi

 

L G G grafının Laplacian matrisi

  _i L G

 

nin i inci özdeğeri

R G grafının direnç mesafesi matrisi

ij

r v v_{i j} kenarına ait direnç mesafesi

 

ix

 

†

Kf G G grafı üzerinde yeni Kirchhoff indeksi

 

A

Kf G G grafı üzerinde yeni Kirchhoff matrisi

  _i KfA

 

G nin i inci özdeğeri

  Kf_A

 

G nin determinantının mutlak değeri

 K Kf_A

_{ }

G nin elemanlarının kareleri toplamı

 Kf_D

_{ }

G Esas köşegen üzerindeki elemanları Kf_A

_{ }

G nin satır toplamlarından oluşan köşegen matris

 

L

Kf G G grafının Kirchhoff Laplacian matrisi

  _i KfL

 

G nin i inci özdeğeri

 

E G G grafının enerjisi

 

LE G G grafının Laplacian enerjisi

 

EKf G G grafının Kirchhoff enerjisi

 

EE G G grafının Estrada indeksi

 

LEE G G grafının Laplacian Estrada indeksi

 

1. GİRİŞ

1.1. Graf Teori ve Uygulama Alanları

Graf teori konusunda bilinen ilk çalışma, 1736 yılında Euler tarafından yazılan ‘The Königsberg Bridge Problem’ (Königsberg köprü problemi) isimli makaledir. Bunu izleyen yıllarda graf teori konusundaki çalışmalar devam etmiş, 1847 yılında G. Kirchhoff elektrik devreleri üzerine çalışmalar yapmıştır.

Graf teori uygulamaları modern hayatın karmaşık ve geniş kapsamlı birçok problemin çözümü için kullanılmaktadır. Bu uygulamalar; ekonomi, yönetim bilimi, satış pazarlama, bilgi iletimi, taşıma planlaması gibi alanları kapsamaktadır. Ayrıca kimya, elektirik mühendisliği, mimarlık gibi sayısal alanlarda da uygulamaları vardır. Graf teorisi problemleri tanımlama ve yapısal olarak ilişkileri belirlemekte de faydalıdır. Basitçe bir graf; düğüm olarak adlandırılan noktalar ve her biri bu noktaları veya sadece noktanın kendisini birleştiren ve ayrıt olarak da adlandırılan kenarlar topluluğudur. Örnek olarak şehirleri nokta ve onları bağlayan yolları kenar olarak gösteren yol haritaları verilebilir. Bu kenarlar; kapasite, güç ve uzaklıkların gösteriminde kullanılabilirler ve yönlendirilebilirler.

Graf teorisi problemlerinin çok çeşitli türleri vardır. Mesela ünlü satış temsilcisi problemi; her bir noktadan geçerek grafın bir ucundan diğer ucuna en kısa yolu bulma problemidir. Küçük graflar için bu yöntem kolay gelebilir fakat nokta sayısı arttıkça bu problem çok zorlaşır. Problem, ismini problemin baş harflerinin birleşiminden alır. Fakat çok ilginçtir ki, bu problemin oldukça farklı alanlarda uygulandığı gözlenmiştir. Örneğin; Çok Büyük Ölçüde Çemberlerin Birleştirilmesi (ÇBÖÇB) gibi. Bir diğer problem ise bağlantılılık problemidir. Bu problem de; herhangi bir noktadan başka bir noktaya graf boyunca yürünmesi esnasında kaç tane kenar silinebileceğine dayanır.

Simetrik graf teoride lineer cebirin kullanım alanları oldukça yaygındır. Sadece simetrik graf teoride değil, graf teorinin diğer kısımlarında da lineer cebirin bu kullanımı yaygındır.

Graf teorinin en önemli alt dallarından biri spektral graf teoridir. Spektral graf teori, bilgisayar bilimleri, kimya ve kodlama teorisi gibi birçok alanda uygulanabilir olması açısından ayrık (diskrete) matematiğin önemli bir parçasıdır. Bu alanda grafın bazı matrislerinin özdeğerleri ve özvektörleri üzerine çalışılır. Bu çalışmada en önemli amaç,

grafın matrislerinden elde edilen spektral bilgiler sayesinde grafın belli başlı özellikleri hakkında bilgi edinmektir.

Bir grafın enerjisi ve Estrada indeksi parametreleri grafın özdeğerlerini ihtiva ettiğinden bu konular spektral graf teori alanına girmektedir. Bu parametreler kimyada çok önemli bir yere sahiptir.

Şimdi bir grafta enerji kavramının çıkış noktasını verip öneminden bahsedelim.

G grafı, n noktalı ve özdeğerleri  ₁, ₂,..., olan bir graf olsun. Bu taktirde _n G nin enerjisi

 

1 n i i E G   



şeklinde 1978 yılında Ivan Gutman tarafından ortaya atılmış ve teorik kimyadaki sonuçlardan esinlenilerek graf teoriye kazandırılmıştır.

Ivan Gutman tarafından 1978 yılında bir grafın enerjisi ortaya atıldıktan sonra 1998 yılına kadar grafın enerjisi üzerine hiçbir çalışma yapılmamış daha sonra bu durum değişmiş ve 2001 yılı ve sonrasında grafın enerjisi üzerine 150 den fazla çalışma yapılmıştır. Daha sonra grafın enerjisi tanımına benzer tanımlar ortaya çıkmıştır. Bunlardan başlıcaları; grafın Laplacian enerjisi, uzaklık enerjisi, Randic enerjisi ve Harary enerjisidir.

Şimdi bir grafta Estrada indeks kavramını verip uygulama alanından bahsedelim.

G grafı, n noktalı ve özdeğerleri  ₁, ₂,..., olan bir graf olmak üzere _n G nin Estrada indeksi

 

1 i n i EE G e  



şeklinde E. Estrada tarafından 2000 yılında organik moleküllerin 3D yapılarının belirli özelliklerini temsil edebilen yeni bir yapı tanımlayıcı olarak verilmiştir. Özellikle de proteinlerin ve diğer uzun zincirli biyopolimerlerin bağ derecelerinin karakterizasyonunda kullanılmıştır. Ayrıca Estrada indeksin biyokimya ve kompleks network teoride de uygulamalarının olduğu bilinmektedir. Bir grafın Estrada indeksi yanında Laplacian Estrada indeksi de tanımlanmış ve bunun üzerine çalışmalar yapılmıştır.

Bir grafın direnç mesafesi matrisi ise ilk olarak Klein ve Randic tarafından 1993 yılında yeni bir uzaklık fonksiyonu olarak tanımlanmış ve direnç mesafesi olarak isimlendirilmiştir. Çünkü bu terim fizikte kullanılmaktadır. Ggrafı n noktalı bağlantılı

bir graf olsun. Bir elektrik şebekesi G grafı olarak düşünülüp birim dirençlerin her biri

G grafının noktaları olarak ifade edilirse, v ve _i v_j noktaları arasındaki direnç mesafesi ij

r ile gösterilir. Direnç mesafesinin, ağlarla eşleştirilmiş bir grafa ait Laplacian matris ve normalize Laplacian matrisinin özdeğer ve özvektörleri ile bağlantısı vardır.

Aşağıda verilen kavram ve tanımlar için aksi belirtilmedikçe kaynağımız, Aldous ve ark., (2000) dır. Şimdi bu çalışmada yararlanılacak bazı temel kavramları örnekleri ile birlikte vererek, bunları teoremler eşliğinde kuvvetlendirelim.

1.2. Tanımlar ve Parametreler

1.2.1. Graf tanımı

Bir graf ; V boştan farklı bir küme ve E , her elemanı V nin elemanlarının oluşturduğu sıralı olmayan ikililerden oluşan bir küme olmak üzere V ve E kümelerinden meydana gelir ve G 



V E,



biçiminde gösterilir. V nin elemanlarına noktalar, E nin elemanlarına kenarlar denir.

Aşağıda Şekil 1.2.1 ile verilen 6 noktalı 5 kenarlı grafı göz önüne alırsak,

Şekil 1.2.1

bu grafın nokta kümesi ve kenar kümesi sırasıyla

  

, , , , ,



V G  a b c d e f ve E G

  

 ab ac bc bd ef, , , ,



biçiminde ifade edilir.

Bir grafta aynı nokta çiftini birleştiren iki ya da daha fazla kenara çoklu kenar, bir noktayı kendisiyle birleştiren kenara ilmek, çoklu kenar ve ilmeği olmayan grafa ise basit graf denir. Ayrıca çoklu kenar ve ilmeklere sahip basit grafa çoklu graf (multigraph) denir.

Aşağıda Şekil 1.2.2 ile gösterilen graf, çoklu kenar ve ilmek içeren bir graftır.

Şekil 1.2.2

Bir grafta herhangi bir v noktasının derecesi o noktaya komşu olan noktaların _i sayısıdır ve d v

_{ }

_i ile gösterilir. Derecesi sıfır olan noktaya izole nokta, derecesi 1 (bir) olan noktaya ise asılı (pendant) nokta denir. Bununla beraber bir grafta herhangi iki noktanın oluşturduğu bir kenar varsa bu noktalara komşu noktalar denir ve vi vj şeklinde gösterilir, aksi halde komşu değildir denir ve v _i v ile gösterilir. _j

Aşağıda herhangi bir G grafına ait noktaların dereceleri ve komşuluklarının bulunması ele alınmıştır:

w noktası; v ve s noktalarına komşu, s noktası; ,v u ve w noktalarına komşu, u noktası; s ve v noktalarına komşu, v noktası; , ,w s u ve t noktalarına komşu,

t noktası v noktasına komşu olup, pendant noktadır.

g noktasının hiçbir kenar bağlantısı olmadığı için nokta derecesi sıfırdır ve izole noktadır.

Burada w ve u noktaları aynı anda iki noktaya komşu oldukları için, dereceleri 2 dir. Aynı zamanda v noktası dört noktaya komşu olduğu için derecesi 4 ve s noktası üç noktaya komşu olduğu için derecesi 3 tür. Son olarak t noktası bir noktaya komşu

olduğu için derecesi 1 ve g nin kenar bağlantısı olmadığı için nokta derecesi 0 dır. Yani

d w

 

2,d s

 

3,d u

 

2,d v

 

4,d t

 

1,d g

 

 0 dir.

1.2.2. Bir grafta yürüme ve yol

Bir grafın nokta kümeleri V G

_{  }

 a a a₁, ₂, ₃,...,a_n1,a_n

_

olsun. Grafın herhangi i

a noktasından başlayıp ardı ardına k kenarın dizilmesiyle oluşan

1 3, 3 2, 2 1,..., n 1 n k

a a a a a a a a_



formuna, G de k uzunluğundaki bir yürüme denir. Aynı noktada başlayan ve biten bir yürümeye G de kapalı yürüme, eğer bu yürümede i  için j a_i a_j şartı sağlanıyorsa bu özel yürümeye de yol denir. Başlangıç ve bitiş noktaları hariç bütün noktaları farklı olan kapalı bir yürümeye ise G grafında bir devir denir.

Aşağıdaki gibi bir graf verilsin.

Bu grafta a a a a a_{2 3 2 5 4} yazımı beş uzunluğunda bir yürüme, a a a a a kapalı bir _{5 4 1 2 5} yürüme, son olarak a a a a a_{1 2 5 4 3} yazımı bir yol ve a a a a a ise bir devirdir. _{1 4 5 3 1}

1.2.3. Bir grafta bağlantılılık



,



G  V E grafının herhangi iki noktası arasında bir yol varsa, bu noktalara bağlantılı noktalar, bir grafın her nokta çifti arasında bir yol varsa bu grafa bağlantılı graf denir.



u v V u, ; v u ile v bağlantılı noktalardır, .



   

kümesini tanımlayalım. Bu küme V üzerinde bir bağıntı tanımlar. Ayrıca, kolayca gösterilebilir ki,  kümesi yine V üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

V _{nin denklik sınıfları,} V V1, ,...,2 Vr olmak üzere, G V G V   1 ,    2 ,...,G V    alt r graflarına G nin bileşenleri denir. Yukarıdaki zincirde r 1 olması özel olarak grafın bağlantılı olduğunu söyler. Aksi takdirde G grafı, r bileşene sahip bağlantısız bir graftır.

Aşağıdaki G1 grafı bağlantılı, G grafı, 2 G V G V G V

     

1 , 2 , 3 bileşenleri ile

bağlantısız bir graftır.

1.2.4. Tam, iki parçalı, düzenli ve ağırlıklı graflar

Farklı her bir nokta çifti komşu olan G grafına tam graf denir. n noktalı bir tam graf K_n ile gösterilir.

Aşağıda tam graf örnekleri verilmiştir.

Bir G grafının herbir noktası aynı dereceye sahipse bu grafa düzenli (regüler) graf denir. Eğer düzenlilik derecesi r ise r-düzenli graf (r-regüler graf) olarak adlandırılır.

Nokta kümesi X ve Y gibi iki alt kümeye ayrılmış olan ve kenarları da X deki bir noktayla Y deki bir noktanın birleştirilmesiyle elde edilen G grafına iki parçalı graf ve



X Y ikilisine de ,



G nin parçaları denir. İki parçalı bir G grafı için, E kenar kümesi olmak üzere, G



X Y E, :



gösterimi kullanılır. Ayrıca X  ve Yp  q olacak şekildeki iki parçalı tam graf , kısaca K ile gösterilir. Özel olarak _{p q,} K grafına _1,q ise star grafı adı verilir.

Aşağıda iki parçalı graf, iki parçalı tam graf ve star grafı örnekleri verilmiştir.

İki parçalı graf K_3,2 grafı K1,3 star grafı

Bir grafın her bir v v_{i j} kenarı, negatif olmayan reel sayı ile işaretli ise, bu grafa ağırlıklı graf denir. Verilen bu v v_{i j} kenarına ait ağırlık özel olarak w_ij ile gösterilir.

1.2.5. Grafta kullanılan bazı matrisler ve Kirchhoff indeksi

Şimdi graf teoride sıklıkla kullanılan basit bir grafın komşuluk, Laplacian, direnç mesafesi matrislerinin tanımlarını verelim.

G grafı, nokta kümesi V G

_{  }

 v v₁, ₂,...,vn

_

olan bir graf olsun. G nin komşuluk matrisi

_{ }

1 , , 0 , . i j ij v v A G a aksi takdirde    _{  }   (1.2.1)

şeklinde tanımlanan n n simetrik matristir.

Örnek 1.2.1. Aşağıdaki Şekil 1.2.5 deki graf verilsin.

Şekil 1.2.5

 

A G komşuluk matrisi olmak üzere Şekil 1.2.5 ile verilen grafın komşuluk matrisi;

 

0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 A G                 _ olur.

G grafı, n noktalı bir graf olmak üzere, bu grafın nokta derecelerinin (yani (1.2.1) ile verilen A G

_{ }

komşuluk matrisinin her bir satır değerinin toplamının) köşegen matrisi

 



   

1 , 2 ,...,

 

n



ile gösterilir. Şekil 1.2.5 grafının nokta dereceleri

 

1 3,

 

2 4,

 

3 1,

 

4 3,

 

5 3

d v  d v  d v  d v  d v 

olup, nokta derecelerinin köşegen matrisi

 

3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 D G                  dir.

Tüm bunlardan sonra, A G

_{ }

ve D G

_{ }

matrisleri yardımıyla, verilen bir G

grafının Laplacian matrisi

 

 

 

L G D G A G

olacak şekilde yine n n simetrik bir matris olarak tanımlanır. Aynı zamanda bu L G

 

matrisinin

_{ }

 

, , 1 , , 0 , . i i j i j ij d v v v ise L G v v ise diğer durumlarda    _     (1.2.2)

şeklinde de ifade edilebileceği açıktır.

(1.2.2) deki tanımı dikkate alarak, kenar ağırlığı w_ij 

  pozitif sayısı olan basit bağlantılı ve ağırlıklı bir G grafı için Laplacian matrisi

 

, , , , 0 , . i i i j ij i j ij d w v v ise L G w v v ise diğer durumlarda          biçiminde yazılır.

Şekil 1.2.5 ile verilen grafı tekrar göz önüne alırsak, bu grafın Laplacian matrisi

 

 

 

3 1 0 1 1 1 4 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 3 1 1 1 0 1 3 L G D G A G      _{   }                 _{  }    (1.2.3)

olarak elde edilir.

Aşağıda vereceğimiz direnç mesafesi matrisi ve Kirchhoff indeksi, Klein ve Randic tarafından 1993 yılında tanımlanmıştır.

G grafı, nokta kümesi V G

_{  }

 v v₁, ₂,...,v_n

_

olan bağlantılı bir graf olsun. Verilen bir X matrisi; J tüm elemanları 1 e eşit olan n n tipinde bir matris ve n 2

olmak üzere 1 1 ij _{n n} X x L J n       _{ } _  _  

şeklinde hesaplanan ters çevrilebilir bir kare matris ise bu şekilde hesap edilen X matrisinin elemanlarından oluşan matrise direnç mesafesi matrisi denir ve G nin herhangi v ve _i v_j elemanları arasındaki direnç mesafesi r_ij ile gösterilir.

Direnç mesafesi elemanları olan r_ij ler

r_ij x_iix_jj2x_ij (1.2.4) şeklinde hesaplanır. G nin direnç mesafesi matrisi, R   olacak şekilde simetrik  rij _{n n} bir matristir.

G grafının, direnç mesafesi elemanlarından oluşan ve uzaklık fonksiyonuna alternatif olarak tanıtılan indekse Kirchhoff indeks denir ve G grafının Kirchhoff indeksi (r_ij ler direnç mesafesi olmak üzere)

 

1 1 1 2 n n ij ij i j i j Kf G r r   

_



_

< biçiminde tanımlanır.

Direnç mesafesi matrisini ve Kirchhoff indeksini Şekil 1.2.5 ile verilen graf üzerinde hesaplarsak; (1.2.3) de verilen L G

_{ }

matrisi yardımıyla X matrisi

1 23 4 1 21 21 50 25 25 100 100 4 9 4 4 4 25 25 25 25 25 1 1 4 24 1 1 25 25 25 25 25 21 4 1 23 21 100 25 25 50 100 21 4 1 21 23 100 25 25 100 50 ij _{n n} X x L J n                     _{ }   _{ } _  _       _       _      olarak bulunur ve _ij n n X x   

   matrisinin elemanları ile elde edilen rij ler, (1.2.4) ile verilen eşitlik yardımıyla hesap edilirse, direnç mesafesi matrisi

1 3 1 1 0 2 2 2 2 1 1 1 0 1 2 2 2 3 3 3 1 0 2 2 2 1 1 3 1 0 2 2 2 2 1 1 3 1 0 2 2 2 2 ij _{n n} R r                  _{ }               

olarak elde edilir ve Şekil 1.2.5 ile verilen grafın Kirchhoff indeksi de

 

_ij 8.5

i j Kf G 

_

r 

<

olur. ▄ Şimdi çalışmamızda kullanacağımız bazı graf parametrelerini tanıtalım.

1.2.6. Bir grafın enerjisi ve Estrada indeksi

G grafı, komşuluk matrisi A G

_{ }

olan bir graf olsun. Bu taktirde A G

_{ }

nin özdeğerlerine G grafının özdeğerleri denir.

 

1 n i i E G   

_

ifadesine G grafının enerjisi denir (Gutman, 1978).

G grafı, n noktalı ve özdeğerleri  1, 2,..., olan bir graf olmak üzere n

 

1 i n i EE G e  

_

ifadesine G grafının Estrada indeksi denir. Ayrıca

 

 

1 n k k k i i M M G    

_

olmak üzere, e in seriye açılımından x

 

0 ! k k M EE G k   

_

eşitliği yazılabilir (E. Estrada, 2000). Örnek. 1.2.2.

Aşağıdaki Şekil 1.2.6 daki 2-düzenli G grafını göz önüne alalım.

Şekil 1.2.6

Bu grafın komşuluk matrisi

 

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 A G              olup, özdeğerleri 1 2, 2 3 0 ve 4 2        

dir. Ayrıca bu grafın enerjisi

 

4 1 4 i i E G   

_

 ve Estrada indeksi

 

4 1 9.52439 i i EE G e  

_



olarak elde edilir. ▄

G grafı, Laplacian matrisi L G

_{ }

olan bir graf olsun. Bu taktirde L G

_{ }

nin özdeğerlerine G grafının Laplacian özdeğerleri denir.

G grafı, n noktalı ve m kenarlı bir graf ve G nin Laplacian özdeğerleri

1, 2,..., n    olmak üzere

 

1 2 n i i m LE G n   





ifadesine G grafının Laplacian enerjisi denir.

G grafı, n noktalı bir graf ve G nin Laplacian özdeğerleri  ₁, ₂,..., olmak _n üzere

 

1 i n i LEE G e  

_

ifadesine G grafının Laplacian Estrada indeksi denir.

Şekil 1.2.6 daki 2-düzenli G grafını göz önüne alırsak, bu grafın Laplacian matrisi

 

2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2 L G     _{ }               ve Laplacian özdeğerleri 1 0, 2 3 2 ve 4 4       

dir. Ayrıca bu grafın nokta sayısı ve kenar sayısı n 4 ve m 4 olmak üzere, Laplacian enerjisi ve Laplacian Estrada indeksi sırasıyla

 

1 2 4 n i i LE G   



  ve

 

1 70.37626 i n i LEE G e  



 olarak hesaplanır.

1.2.7. Bazı lineer cebir tanımları

Tanım 1.2.7.1. (Bozkurt ve ark., 2003) A T: T lineer dönüşümü ve xT sıfırdan farklı bir vektör olmak üzere

Axx

eşitliğini sağlayan bir  sayısına A dönüşümünün özdeğeri, x vektörüne de  özdeğerine karşılık gelen özvektörü denir.

Özdeğer ve özvektörler için aşağıdaki özellikler vardır.

 

a A matrisi tekil ise, en az bir özdeğeri sıfırdır. A tekil değil ise tüm özdeğerleri sıfırdan farklıdır.

 

b Birim matrisin bütün özdeğerleri 1 dir.

 

c A köşegen bir matris ise, özdeğerler bu matrisin köşegen elemanlarıdır.

 

d A simetrik bir matris ise, tüm özdeğerleri reeldir.

 

e A Hermityen bir matris ise, tüm özdeğerleri reeldir.

 

f A1 matrisinin özdeğerleri, A nın özdeğerlerinin tersine eşittir.

 

g Reel simetrik bir matrisin tüm özvektörleri karşılıklı ortogonaldir.

 

h A veA matrislerinin özdeğerleri aynıdır. T

 

i Bir matrisin özdeğerlerinin toplamı o matrisin köşegen elemanları toplamına (izine) eşittir.

 

j Eğer bir A matrisinin  özdeğerine karşılık gelen özvektör v ise, c bir sabit olmak üzere cv de A matrisinin özvektörüdür.

jk _{n n}

A a



 

   biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersi A1 şeklinde gösterilir. Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır. A kare matrisinin tersi

 





1 1 . 0 A Ek A A A   

ile hesaplanır. (Ek A

 

ifadesi, A matrisinin adjoinitini (ek matrisini) göstermektedir). Teorem 1.2.7.1. (Zhang F., 1999) (Schur Teoremi)

jk _{n n}

A a



 

   tipinde bir matris ve A matrisinin özdeğerleri de  ₁, ₂,..., olsun. _n Bu durumda 2 2 1 1 1 n n n i jk i j k a     





olur.

1.2.8. Artan ve azalan fonksiyon

A sonlu veya sonsuz bir aralık olmak üzere :

f A   fonksiyonu verilsin. Her x x₁, ₂A ve x₁x₂ için

 

1

 

2

f x  f x

ise f x

 

fonksiyonuna A üzerinde monoton artan fonksiyon

 

1

 

2

f x  f x

ise kesin artan fonksiyon denir. Benzer şekilde, eğer her x x₁, ₂A ve x₁ x₂ için

 

1

 

2

f x  f x

ise f x

_{ }

fonksiyonuna A üzerinde monoton azalan fonksiyon

 

1

 

2

f x  f x

Bir aralığın tüm x noktalarında f

_{ }

x 0 ise fonksiyon bu aralıkta monoton artan, f

 

x 0 ise kesin artan fonksiyondur. Eğer bir aralığın tüm x noktalarında

 

0

f x  ise fonksiyon bu aralıkta monoton azalan, f

_{ }

x 0 ise kesin azalan fonksiyondur (Horn ve ark., 1985).

1.2.9. Bazı reel sayı eşitsizlikleri

Aşağıda çalışmada kullanacağımız reel sayı eşitsizlikleri verilmiştir.

Teorem 1.2.9.1. (Marshall ve ark., 1979) (Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği) Negatif olmayan n tane a a₁, ₂,...,a reel sayıları için _n

1 2 1 2 ... ... n n n a a a a a a n    

eşitsizliği sağlanır. Ancak tanımlanan bu eşitsizliğin eşitlik olabilmesi için gerek ve yeter şart a₁ a₂ ...a_n olmasıdır.

Teorem 1.2.9.2. (Cauchy-Schwartz Eşitsizliği) a a₁, ₂,...,a ve _n b b₁, ₂,...,b lerin her _n biri reel sayı olmak üzere

2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                       



 



 





eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliğin eşitlik olması için gerek ve yeter şart her bir 1 i n

için a_i rb_i olacak şekilde bir r   olmasıdır. 1.3. Kaynak Araştırması

I. Gutman ve B. Zhou (2006) çalışmalarında, n noktalı, m kenarlı bir G grafının Laplacian enerjisini tanımlamışlar daha sonra bu grafın enerjisi ve Laplacian enerjisi arasındaki bazı önemli farklar üzerinde durmuşlardır.

H. Chen ve F. Zhang (2007) çalışmalarında, bir G grafının normalize Laplacian matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri ile ifade edilebileceğini göstermiş, normalize

Laplacian matrisinin özdeğerleri ile yakından ilgili olan yeni bir indeks tanımlamışlardır. Son olarak bilinen Kirchhoff indeks ile yeni indeks arasında bir ilişki bulmuşlardır.

J. A. De La Pena ve arkadaşları (2007) çalışmalarında, n noktalı, m kenarlı bir G grafının Estrada indeksi için nokta sayısını ve kenar sayısını içeren bir alt ve bir üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca Estrada indeks için grafın enerjisini de içeren bazı üst sınırlar vermişlerdir.

H. S. Ramane ve arkadaşları (2008) çalışmalarında, n noktalı bir G grafının uzaklık enerjisi için bir alt ve bir üst sınır elde etmişlerdir.

I. Gutman (2008) çalışmasında, n noktalı, m kenarlı bir G grafının Estrada indeksi için nokta sayısını ve kenar sayısını ihtiva eden bazı alt sınırlar elde etmiştir.

A. Dilek Güngör ve Ş. Burcu Bozkurt (2009) çalışmalarında, n noktalı bir G

grafının uzaklık Estrada indeksi için nokta sayısını ihtiva eden alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir. Ayrıca uzaklık Estrada indeksi için grafın enerjisini de içeren bir üst sınır vermişlerdir.

B. Zhou ve I. Gutman (2009) çalışmalarında, n noktalı, m kenarlı ve derece dizisi



d d1, 2,...,dn



olan bir Ggrafının Laplacian-Estrada indeksi için nokta sayısını, kenar

sayısını ve grafın ilk Zagreb indeksi olan

 

2

1 n i i Z G d 



_

yi ihtiva eden bazı alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

C. Adiga ve M. Smitha (2009) çalışmalarında, yönlendirilmiş bir G grafının ters Laplacian enerjisini tanımlamışlar ve nokta sayısı ikiden küçük olmayan bu G grafı için nokta sayısını içeren bir alt ve bir üst sınır elde etmişlerdir.

C. Adiga ve M. Smitha (2009) çalışmalarında, yönlendirilmiş bağlantılı bir G

grafının ters Laplacian enerjisini tanımlamışlar ve nokta sayısı ikiden küçük olmayan bu

G grafının enerjisi için nokta sayısını ihtiva eden bir alt ve bir üst sınır elde etmişlerdir. J. Li ve arkadaşları (2009) çalışmalarında, n noktalı, m kenarlı, maksimum derecesi ve minimum derecesi olan bir G grafının Laplacian Estrada indeksi için nokta sayısı, kenar sayısı, maksimum ve minimum dereceye bağlı alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir. Ayrıca Laplacian Estrada indeksi için grafın Laplacian enerjisini içeren alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

A. Dilek Güngör ve A. Sinan Çevik (2010) çalışmalarında, bir G grafının Harary enerjisini ve Harary Estrada indeksini tanıtmış ve incelemişlerdir. Ayrıca yeni enerji ve indeks için ayrı ayrı alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

A. Dilek Güngör, A. Sinan Çevik, Eylem G. Karpuz, Fırat Ateş ve İ. Naci Cangül (2010) çalışmalarında, n mertebeli A hermityen matrisinin Estrada indeksi için iz A ( ) ifadesini içeren bir alt ve bir üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca bu A hermityen matrisinin Estrada indeks ve enerjisi arasında bir bağıntı elde etmişlerdir.

Kinkar Ch. Das, A. Dilek Güngör ve A. Sinan Çevik (2010) çalışmalarında, direnç mesafesinin enerjisini, direnç mesafe matrisinin özdeğerlerinin mutlak değerleri toplamı olarak tanıtılmış ve bu enerji için alt ve üst sınırlar elde edilmiştir.

Ş. Burcu Bozkurt, A. Dilek Güngör, I. Gutman ve A. Sinan Çevik (2010) çalışmalarında, Randic enerjiyi Randic matrisinin özdeğerlerinin mutlak değerleri toplamı olarak tanıtmışlar ve bazı özelliklerini saptayarak bu enerji için alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

2. GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI

Bu bölüm üç alt bölümden oluşmaktadır. Özet kısmında da yazıldığı üzere, aksi belirtilmedikçe, bu bölümde verilen tüm tanım, teorem ve önerme gibi kavramlar, tarafımızdan ilk defa literatüre kazandırıldığı için, bunlar ile ilgili herhangi bir referans tez içinde kullanılmamıştır.

İlk olarak verilen bir G grafının Kirchhoff matrisi ve bu matrise bağlı olarak yeni bir Kirchhoff indeksi tanımlanacak (bknz. Alt Bölüm 2.1), daha sonra Kirchhoff enerjisi ve Kirchhoff Estrada indeksi tanımlanarak (bknz. Alt Bölüm 2.2, 2.3), bu parametreler için bazı sınır değerleri elde edilecektir.

2.1. Bir Grafın Kirchhoff Matrisi ve Yeni Bir Kirchhoff İndeksi

Bu bölümde basit bağlantılı bir graf ele alınarak, Kirchhoff matrisi tanımlanmış ve tanımlanan bu matris yardımıyla yeni bir Kirchhoff indeksi çeşidi tanımlanıp, bunun üzerinde bazı sınırlar bulunmuştur.

Bu bölümün ana temasını oluşturan temel kavramları, aşağıdaki tanımlar ile verebiliriz:

Tanım 2.1.1. Kirchhoff matrisi

G basit bağlantılı, n elemanlı bir graf olsun. G nin Kirchhoff matrisi

 

A ij _{n n} Kf G k      

ile gösterilen n n formunda simetrik bir matris olup, bu matrisin elemanları

, , 0 , ij i j ij r v v k diğer durumlarda       

_

2.1.1

_

şeklindedir.

Tanım 2.1.2. Kirchhoff Laplacian matrisi

G basit bağlantılı, n elemanlı bir graf olsun. Bu durumda esas köşegen üzerindeki elemanları Kf_A

_{ }

G matrisinin satır toplamlarından oluşan yeni bir köşegen matris

 

1 2 1 1 1 , ,..., n n n D j j nj j j j Kf G diag k k k       _{ } 







 (2.1.2)

ile gösterilsin. Burada (2.1.2) ile verilen matris tanımından,

1 n i ij j k k  

_

olmak üzere, kısaca Kf_D

_{ }

G diag k k

_

₁, ₂,...,k_n

_

olarak da yazılabileceği açıktır. Buna ek olarak, G nin Kirchhoff Laplacian Matrisi

 

 

 

L D A

Kf G Kf G Kf G

olacak şekilde n n tipinde bir simetrik matris tanımlandığında, verilen bu Kf_L

_{ }

G

matrisini

 

, , , , 0 , . i i j L ij i j k v v ise Kf G r v v ise diğer durumlarda     _    (2.1.3)

şeklinde de ifade etmek mümkündür.

(2.1.3) ile verilen Kirchhoff Laplacian matrisi nin (diğer bir değişle Kf_L

_{ }

G

matrisinin) özdeğerleri,  ₀, ₁,..., olarak gösterilsin. _n KfL

 

G Kirchhoff Laplacian

matrisi nin en küçük özdeğeri olan  özdeğerine karşılık gelen özvektör, ₀ j 



1,1,...,1



dir. Bununla beraber, özel olarak, G grafı bağlantılı bir graf ise  özdeğerinin katlılığı ₀ 1 olacaktır. Ayrıca (2.1.3) ile verilen Kf_L

_{ }

G matrisi simetrik bir matris olduğundan, özdeğerleri reel değerli olup sıralıdır. Yani, kısaca

₀ 0₁ ... _n (2.1.4) biçimindedir.

Tanım 2.1.3. Yeni bir Kirchhoff indeksi

Basit bağlantılı bir G grafının Kirchhoff matris elemanları olan k_ij ler, iki nokta arasındaki direnç mesafesi olan r_ij ler ile hesaplanmak üzere, bu matrisin elemanlarıyla elde edilen yeni Kirchhoff indeksi Kf†

 

G ile gösterilir ve

 

† i j ij v v Kf G k  

_

şeklinde hesaplanır.

Bu noktada, verilen herhangi bir G grafı için tanımlanacak olan keyfi bir B matrisi üzerinde spektrum tanımını hatırlatalım:

T bir lineer dönüşüm olsun. Bu dönüşümün minimal polinomunun sıfırlarına, karakteristik kökleri (özdeğerleri) ve bu köklere karşılık gelen vektörlere de dönüşümün karakteristik vektörleri (özvektör) denir. Karakteristik köklerin oluşturduğu kümeye T dönüşümünün spektrumu denir ve spek(T) ile gösterilir (Jones, 1973).

Şimdi (2.1.4) deki sıralama ile verilen özdeğerlerin katlılığının, sırası ile

0 1, 1, 2, ... , b

s  s s s ve



1 b n



olduğunu kabul edelim. Ayrıca yukarıda hatırlatma olarak verdiğimiz “spektrum” ve Tanım 2.1.3 de verdiğimiz “Yeni bir Kirchhoff indeks” tanımlarını göz önünde bulundurarak; aşağıda, bu bölümün ana sonuçlarından birini verebiliriz:

Teorem 2.1.1. G grafı basit bağlantılı bir graf ve G nin Kf_L

 

G matrisinin spektrumu

 







1 1



0 , 1 ,..., b s s L b Spek Kf G    

olsun. O halde G grafının  özdeğerleri _l



1 l b



ile Kf†

_{ }

G indeksi için

 

i †

 

1 1 2 b l l l Kf G s  





2.1.5



 

ii



1



₁ †

 



1



2 2 b n n Kf G      



2.1.6



bağıntıları vardır.

İspat.

 

i G grafının Kirchhoff matrisi

 

12 13 1 21 23 2 1 2 3 0 0 0 n n A n n n k k k k k k Kf G k k k                     

olup, (2.1.3) gereği, Kirchhoff Laplacian matrisi

 

 

 

  12 13 1 12 1 21 21 23 2 2 1 2 1 2 1 ... ... ... n n n n L D A n n n n n n k k k k k k k k k k Kf G Kf G Kf G k k k k k _                                       

olur. (2.1.3) ile verilen Kf_L

_{ }

G matrisinin özdeğerlerinin toplamı, bu matrisin köşegen elemanlarının toplamına eşit olacağından (bknz Alt Bölüm 1.2.7)

 





1 b l l L l m iz Kf G  



yazılabilir. Ayrıca,

 



L



12 13 ... 1n 21 23 ... 2n n1 n2 ... n n 1 iz Kf G k k  k k k  k k k  k _ , 2k₁₂k₁₃...k_{n n 1}  , †

_{ }

1 2 2 i j b ij l l v v l k Kf G s   

_

 

_

olup, buradan da



2.1.5



eşitliği elde edilir.

 

ii (2.1.4) de gösterildiği üzere,   dır. Şimdi kalan ₀ 0 n 1 tane özdeğerin her birisinin ayrı ayrı  e eşit olduğunu kabul edelim. O halde ₁



2.1.4



eşitliğinden





 

1 † 1 2 n Kf G   

olur. Şimdi yine aynı n 1 tane özdeğerin  ye eşit olduğunu kabul edelim. O halde _b



2.1.5



eşitliğinden

 





† 1 2 b n Kf G    elde edilip





 





† 1 1 1 2 2 b n n Kf G      



2.1.6



eşitsizliğine ulaşılır.

Tüm bunlar ise aranan sonuçların doğruluğunu gösterir. ▓

2.2. Bir Grafın Kirchhoff Enerjisi

Bu bölümde basit bağlantılı bir grafın Kirchhoff matrisinin özdeğerlerine bağlı Kirchhoff enerjisi tarafımızdan ilk defa tanımlanmış olup, bu enerjiye bağlı sınırlar elde edilmiştir.

Tanım 2.2.1. Ggrafı, n noktalı ve m kenarlı bir graf olsun. Bu grafın Kirchhoff matrisi

_

2.1.1

_

de tanımlanan matris olsun ve Kf_A

_{ }

G ile gösterilsin. Kf_A

_{ }

G

matrisinin özdeğerleri

1 2 ... n    

olsun. Bu takdirde G grafının Kirchhoff enerjisi

 

1 n i i EKf G   





2.2.1



biçiminde tanımlanır.

Aşağıda, Tanım 2.2.1 yardımı ile Kirchhoff enerjiye bağlı sınır değerleri elde edilecektir.

Teorem 2.2.1. G grafı, n 2 noktalı bir graf olsun.  sembolü , KfA

 

G matrisinin

elemanlarının kareleri toplamını göstermek üzere

EKf G

 

 n



2.2.2



İspat. Yukarıda verilen



2.2.1



yardımıyla, Cauchy-Schwartz eşitsizliğinden 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1. 1 n n n i i i i i                      



 



 



 ,





1 1 2 2 2 2 n n i i i i n                 



 



 ,

 





_

2 2

_

1 n 2 1 n EKf G    n    ,

 





_

2 2

_

1 n 2 1 n EKf G     n   eşitsizliklerini yazmak mümkündür. 1 x ve n y     seçimi ile









_

2 2

_

, 2 0, 0 f x y xy n x y x> y>

fonksiyonu elde edilir. Burada amaç, f x y



,



fonksiyonunun maximum değerini bulmaktır. f x y

_

,

_

fonksiyonunun x ve y değerleri doğrultusunda birinci dereceden türevleri





















2 3 2 2 2 2 _{2 2 2} 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 , , 2 2 x y xx xy yx yy y n x n y n f f f x y x y _{x y} x n xy n f f ve f x y x y    _                  _{ }             olur. Buradan 0 x y f f x y n       ve x y n    için













2 2 2 3 2 2 2 0, 0 xx xx yy xy n x y f f f f x y           

elde edilir. Yukarıda bulunan değerlere bakılarak x y n 

  için f x y

_

,

_

fonksiyonunun maximum değeri



,



2



2



2 f x y n n n         _  _  ,



,



2



2



2



f x y n n n n       ,



,





2 2



f x y n n n      

olarak bulunur. O halde f x y

_

,

_

fonksionunun maximum değeri için Kirchhoff enerjisinin üst sınırı

 

EKf G  n

olup

_

2.2.2

_

ifadesi elde edilir. ▓

Aşağıda ispatı ile birlikte verilen Lemma 2.2.1, bu bölümde verilecek sınır değerlerinin ispatında yardımcı rol oynamaktadır.

Lemma 2.2.1. G grafı, n noktalı m kenarlı bir graf olsun ve Kf_A

_{ }

G matrisinin özdeğerleri 1 2 ... n     olsun. O halde

 

1 2 2 1 1 0 2 n i i n i ij i i j n k          _      









2.2.3



dir.

İspat. Bir matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin köşegen elemanlarının toplamına (yani izine) eşit olup, Kf_A

_{ }

G matrisinin köşegen elemanlarının toplamı 0 olduğundan

 





1 1 0 n n i A ii i i iz Kf G k      





yazılır. Ayrıca Kf_A

 

G simetrik bir matris olduğundan i1, 2,...,n olmak üzere

 

2

A Kf G

 

  nin

 

i i, elemanları için

 

2 1 1 n n ij ji ij j j k k k   





ifadesi elde edilir. Sonuç olarak

2

_{ }

2

 

2

 

2 1 1 1 1 2 n n n i A ij ij i i j i j n iz Kf G k k         _ _  







olup böylece (2.2.3) ifadelerinin doğruluğu gösterilmiş olur. ▓ Yukarıda verilen Lemma 2.2.1 yardımı ile, Tanım 2.2.1 de tanımlanan Kirchhoff enerji için çeşitli sınır değerleri aşağıda elde edilmiştir.

Teorem 2.2.2. G grafı, n noktalı m kenarlı bağlantılı bir graf olsun. O halde

 

2

_{ }

 

2 1 1 2 _ij 2 _ij i j n i j n k EKf G n k        





_

2.2.4

_

dir.

İspat. Cauchy-Schwartz eşitsizliğinden

2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                 



 



 





yazılır. Burada a_i 1 ve b_i _i dersek,

2 2 2 1 1 1 .1 1 n n n i i i i i                   



 



 



 ,

 

2 2 1 1 n n i i i i n              



 



 ,

 

2

_{ }

2 1 2 _ij i j n EKf G n k    

_

,

_{ }

 

2 1 2 _ij i j n EKf G n k    

_

(2.2.5)

olup buradan üst sınır elde edilmiş olur. Şimdi EKf G

_{ }

için alt sınırı bulalım.

 

2

EKf G için, (2.2.1) ifadesi göz önünde bulundurulursa

 

_{ }

2 2 2 2 1 1 1 2 n n i i ij i i i j n EKf G   k        _{ }   









,

_{ }

 

2 1 2 _ij i j n EKf G k    

_

(2.2.6)

olduğu görülür ve gerekli düzenlemelerle (2.2.6) ifadesi kolaylıkla elde edilir. (2.2.5) ve (2.2.6) ifadelerinden

 

2

 

 

2 1 1 2 _ij 2 _ij i j n i j n k EKf G n k        





sonucu elde edilir.

Ayrıca burada üst sınır için ikinci bir ispatı aşağıdaki gibi verebiliriz:

 

A

Kf G matrisinin tüm özdeğerlerinin mutlak değerleri farkının kareleri toplamı M ile gösterilsin, yani





2 1 1 n n i j i j M     

_



olsun. Basit bir hesapla

2 1 1 1 2 2 n n n i i j i i j M n          _{  }  







(2.2.7) yazılabilir.

(2.2.7) ile verilen ifadenin,



2.2.1



ve



2.2.3



de verilen ifadeler yardımıyla

 

2

 

2 1 4 _ij 2 i j n M n k EKf G    

_



olduğu açıktır. M toplamının tanımlanışından , M 0 olacağından

 

2

 

2 1 2 4 _ij i j n M EKf G n k     

_

,

 

2

 

2 1 2 4 _ij i j n EKf G n k    

_

,

 

 

2 1 2 _ij i j n EKf G n k    

_

işlemleri ile üst sınır elde edilmiş olur. ▓ Teorem 2.2.3. Ggrafı, n noktalı m kenarlı bağlantılı bir graf ve  sembolü, Kf_A

_{ }

G

matrisinin determinantının mutlak değerini göstermek üzere

 

2

_

_

2

_{ }

1 2 1 n ij i j n k n n EKf G       



_

2.2.8

_

dir.

İspat.

_

2.2.1

_

ve

_

2.2.3

_

ile verilen Kirchhoff enerji tanımından

 

2 2 2 1 1 1 2 n n i i i j i i i j n EKf G            _{ }   









,

 

2 1 1 2 _ij 2 _{i j} i j n i j n k         

_



_

,

 

2 1 2 _{ij i j} i j n i j k       

_



_

_

2.2.9

_

eşitlikleri yazılabilir. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği yardımıyla





  1 1 1 1 n n i j i j i j i j n n             



_



_ ,     1 1 2 1 1 n n n n i i          



 , 2 1 n n i i   

_

, _{ }2n

sonucu elde edilir. Buradan

_

1

_

2n i j i j n n      



_

2.2.10

_

sınırına ulaşılır.

_

2.2.9

_

ve

_

2.2.10

_

ile verilen ifadelerden

 

2

 

2





2 1 2 1 n ij i j n EKf G k n n    

_

   ,

 

2





2

 

1 2 1 n ij i j n k n n EKf G       



bulunur. ▓ Teorem 2.2.4. G grafı, n noktalı m kenarlı bağlantılı bir graf olsun. O halde

_{ }

 

_

_

 

 

2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ij ij ij i j n i j n i j n EKf G k n k k n       n     _{ }       _{  }  _{ }   







_

2.2.11

_

eşitsizliği vardır.

İspat.



1,1,...,1



ve



₂ ,₃ ,...,_n



olacak şekilde tanımlı,



n 1



bileşenli 2 vektör alır bu vektörlere Cauchy-Schwartz eşitsizliğini uygularsak,

2 2 2 2 2 2 .1 1 n n n i i i i i                   



 



 



 ,





2 2 2 2 .1 1 n n i i i i n               



 



 ,

 





2





 

2 2 1 1 1 1 2 _ij i j n EKf G  n k          _  _ 



 ,

 

₁





 

2 ₁2 1 1 2 _ij i j n EKf G  n k          _  _ 



 (2.2.12) eşitsizliği elde edilir. x₁ denirse, aşağıdaki (2.2.13) fonksiyonu yazılır

_{ }

_

_

 

2 2 1 1 2 _ij i j n f x x n k x         _  _ 



 (2.2.13)



2.2.3



ile verilen eşitlik kullanılarak

 

2 2 2 1 1 2 _ij i j n x  k     

_