Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

1.1 Kümeler . Matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır. Okuyucunun küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kabul ediyoruz. Bununla beraber, kümelerle ilgili önemli tanım ve gösterimleri özet olarak sunacağız.

Küme denince iyi tanımlı bir nesneler topluluğu anlaşılır. Burada “iyi tanımlı” deyiminin anlamı şudur: Herhangi bir küme söz konusu olduğunda herhangi bir nesnenin o kümeye, yani nesneler topluluğuna ait olup olmadığı kuşkuya yer bırakmayacak biçimde bilinmelidir. Kümeye, yani nesneler topluluğuna ait olan nesnelerden her birine kümenin bir elemanı denir.

Genellikle kümeler alfabedeki büyük harflerle, elemanlar da küçük harflerle gösterilir. Buradaki alfabe sözcüğü Türkçe alfabe ile sınırlı değildir, kümeleri veya elemanları göstermek için Türkçe alfabeden olduğu kadar İngilizce, Yunanca ve başka alfabelerden harfler de kullanılır.

K bir küme, a ve b nesneler olsun. Eğer a, K

Hiç elemanı bulunmayan kümeye boş küme denir ve boş küme, ∅ ile gösterilir.

A ve B kümeler, A nın her elemanı B nin de elemanı ise, A kümesi B nin altkümesidir denir. A, B nin altkümesi ise, A ⊆ B yazılır.

Elemanları aynı olan iki kümeye eşit kümeler denir ve bu durumda alışkın olduğumuz üzere, A = B yazılır. A = B ⇔ A ⊆ B ve B ⊆ A olduğu açıktır.

Kümeler, elemanları { ve } işaretleri arasına listelenerek veya elemanları tanımlanarak gös-terilir. Örneğin,

• Türkçe alfabedeki ilk dört küçük harften oluşan küme : {a,b,c,ç} ; • 1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi : {1,2,3,4,5} ;

• 5 ten büyük 1 den küçük olan doğal sayıların kümesi : ∅.

Her biri Ö(x) özelliğini sağlayan x nesnelerinden oluşan küme, {x : Ö(x)} ile gösterilir. Örneğin, 1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi,

{x : x doğal sayı ve 1 ≤ x ≤ 5} ile gösterilir.

Şimdi, A ve B kümeleri için yukarıdaki küme gösterimini de kullanarak, birleşim, kesişim ve fark işlemlerini tanımlayalım.

• A ve B nin birleşimi, A∪B ={x : x∈A veya x∈B};

• A ve B nin kesişimi, A ∩B ={x : x∈A ve x∈B} ; • A ve B nin farkı , A \ B ={x : x∈A ve x ∉ B} olarak tanımlanır.

Kümeler üzerindeki tartışmaları kolaylaştırmak için Venn Çizelgeleri denilen çizelgeler kullanılır. Şöyle ki, bir küme kapalı bir eğrinin, örneğin bir dikdörtgenin veya bir çemberin sınırladığı alanla gösterilir ve o alan içindeki noktaların da kümenin elemanlarını gösterdiği düşünülür.

Yukarıdaki çizelgeye göre, A ⊆ K, a∈A ve b∉A dır. Kümeler için yukarıda tanımladığı-mız üç işlemin Venn çizelgeleri ile görünümü aşağıdaki gibi olacaktır.

K A a b A B A \ B B A A∩B A A∪B B

1.2. Sayılar. Matematiğin temel kavramlarından biri de sayı kavramıdır. Okuyucuların sayı kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel özellikleri bildiğini kabul ediyoruz. Şimdi, ders içinde kullanacağımız gösterimleri tanıtacağız ve bu vesileyle sayılarla ilgili temel özelliklerden bazılarını hatırlayacağız.

• N : doğal sayılar kümesi. 1 , 2 , 3 , . . .

• Z : tam sayılar kümesi . . . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . • Q : rasyonel sayılar kümesi. -3, ,

7 5 , 2 1 − ve 1,33 100 133 = gibi. • R : reel sayılar kümesi .

• R\Q : irrasyonel sayılar kümesi. 2,π,3 5,e gibi.

1.3. Reel Sayılarda Sıralama. Herhangi bir reel sayının ya pozitif, ya negatif ya da sıfır olduğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildiğinde, eğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y den küçüktür denir ve x < y yazılır. Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y sayısı x den büyüktür denir. x < y veya x = y ise, x ≤ y ( veya y ≥ x ) yazılır.

x , y , z ∈ R için

• x < y ve y < z ise, x < z dir.

• x < y , x = y ve y < x ten bir ve yalnız biri geçerlidir. • x < y ise, x + z < y + z dir.

• x < y ve 0 < z ise, x z < y z dir. • x < y ve 0 > z ise, x z > y z dir.

x reel sayısı a dan büyük ve b den küçük ise, a < x < b yazılır. Bu durumda, x sayısı a ile b arasındadır da denir. Böylece, {x : x doğal sayı ve 1 < x < 5} kümesinin elemanları {2,3,4} biçiminde listelenebilir. {x : x doğal sayı ve 1≤ x ≤ 5} kümesinin elemanlarının nasıl listeleneceği yukarıda gösterilmişti.

1.4. Mutlak Değer. x ∈ R nin mutlak değeri , x ≥ 0 ise x , x < 0 ise -x olarak tanımlanır ve |x| ile gösterilir. Bu tanım,

⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = 0 , 0 , x x x x x

biçiminde de ifade edilebilir. Örnek olarak

. 4 3 4 3 4 3 , 2 2 , 2 2 = − = = − =

Mutlak değer ile ilgili bazı özellikleri aşağıda listeliyoruz:

• Her x ∈ R için x ≥0, x =0⇔ x =0.

• Her x, y ∈ R için xy = x y. • Her x, y ∈ R için x+y ≤ x + y. • Her x, y ∈ R için x−y ≥ x − y .

Son iki eşitsizlik üçgen eşitsizlikleri olarak bilinir.

1.5. Denklemler ve Eşitsizlikler. Yukarıdaki ifadelerde de görüldüğü gibi, herhangi bir sayıyı veya daha genel olarak bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için x, y, z, ... gibi harfler veya semboller kullanırız. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir değişken denir. Bundan böyle, aksi belirtilmedikçe, değişkenler reel sayılar için kullanılacaktır. Derslerimizde,

örneklerinde olduğu gibi, değişkenler içeren denklem veya eşitsizlikler üzerinde çalışmamız gerekecektir.

Bir denklem veya eşitsizliği sağlayan her sayıya o denklem veya eşitsizliğin bir çözümü denir. 12 2 3 ; 2 1 2 3 2 2_{− = + − < +} x x x x

Örneğin, 5 sayısı yukarıda verilen denklemin; 2 sayısı da oradaki eşitsizliğin bir çözümü-dür:

Bir denklem veya eşitsizliğin tüm çözümlerinin oluşturduğu kümeye o denklem veya eşit-sizliğin çözüm kümesi denir. Örneğin, x2-3=2x+12 denkleminin çözüm kümesi {-3, 5} tir. Eğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir.

Bir denklemi çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen denklem, kendisine denk olan öyle bir dizi denklemle değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin çözüm kümesinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir. Benzer şekilde, bir eşitsizliği çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen eşitsizlik, kendisine denk olan öyle bir dizi eşitsizlikle değiş-tirilir ki, bu dizideki son eşitsizliğin çözüm kümesinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir. Bir denkleme veya eşitsiziliğe denk denklem veya eşitsizlikler yazarken reel sayıların sıralama özelliği gibi özelliklerinden ve mantık kurallarından yararlanılır.

Örnek. x2-3=2x+12 denkleminin çözümü :

x2_{-3=2x+12 ⇒ x}2_{-2x-15=0 ⇒ (x+3)(x-5) =0.}

Yukarıdaki denklemler dizisindeki her denklem kendisini izleyen denkleme denktir ve son denklemin çözüm kümesinin {-3, 5} olduğu açıktır.

Lise bilgilerinizden, bu örnekte ele alınan türden denklemlere ikinci dereceden denklemler dendiğini anımsayınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c ∈ R olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümleri aşağıdaki formülle elde edilir:

. 2 4 2 a ac b b x=− m −

Bundan önceki örnekte verilen denklem bu formülle de çözülebilir:

5 veya 3 2 64 2 1 2 ) 15 .( 1 . 4 ) 2 ( ) 2 ( 2 = − = ⇒ = ⋅ − − − − − = x x x m m .

Eşitsizliklerin çözümünü daha sonra ele alacağız.

. 12 2 . 2 3 2 ; 2 1 5 . 2 3 52_{− = +} 2_{− < +}

1.6. Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi R , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Başka bir deyişle, reel sayılar sistemini, bir doğru üzerinde her noktaya bir reel sayı karşılık getirerek koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokta(orijin , merkez) ve bir birim uzunluk işaretlendiği takdirde, doğru üzerindeki noktalar ile reel sayılar sistemi arasında bire-bir bir eşleme elde edilir.

Orijin olarak işaretlenen nokta 0 (sıfır) sayısı ile, orijinin sağına doğru bir birim uzaklıktaki nokta 1 (bir) sayısı ile eşlenir.

Üzerinde orijin ve birim uzunluk işaretlenmiş doğruya sayı ekseni denir. Sayı ekseni, orijinden 1 sayısının eşlendiği noktaya doğru yönlendirilmiş kabul edilir ve bu yön bir ok işareti ile gösterilir.

Sayı ekseni üzerinde bir a pozitif reel sayısı ile eşlenen nokta, orijinin sağına doğru orijinden a birim uzaklıktaki nokta; bir b negatif reel sayısı ile eşlenen nokta da orijinin soluna doğru orijinden -b birim uzaklıktaki noktadır.

Sayı ekseni üzerinde bir noktanın eşlendiği sayıya o noktanın koordinatı denir.

Böylece, orijinin koordinatı 0; orijinin sağ tarafında ve orijinden bir birim uzaklıktaki noktanın koordinatı 1 dir. Yukarıda, sayı ekseni üzerinde, koordinatları -3, -1, -1/2, 1/2, 5/2 ve 3 olan noktalar işaretklenmiştir.

Sasyı ekseni üzerinde koordinatı x olan noktaya bazen “x noktası” da denir. Örnek olarak, sayı ekseni üzerinde

3 8

noktası denince aşağıdaki şekilde görülen nokta anlaşılır.

Sayı ekseni kullanılarak her reel sayı kümesi sayı ekseni üzerinde noktalar kümesi olarak gösterilebilir. Bunlardan en çok karşılaşacağımız küme türleri aralıklardır.

0 1 3 -1 -3 2 1 − 2 1 2 5 sayı ekseni 0 2 3 -3 1 3 8

1.7. Aralıklar. Aşağıda, aralıkların tanımlarını ve sayı ekseni üzerinde gösterilişlerini veriyoruz: a ve b reel sayılar, a < b olmak üzere

(a,b)={x:a< x<b} [a,b)={x:a≤ x<b} (a,b]={x:a <x≤b} [a,b]={x:a≤ x≤b}

Böylece tanımlanan aralıklardan ilkine açık aralık, sonuncusuna kapalı aralık, diğer ikisine de yarıaçık aralıklar denir.

Örnek 1. Sayı ekseni üzerinde

(

)

(

]

⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ − ,4 2 7 , 2 , 3 , 3 , 2 3 , 1 , 1 aralıklarını işaretleyelim:

Reel sayılar sistemi R ye her reel sayıdan büyük olduğu kabul edilen ∞ (sonsuz) sembolü ve her reel sayıdan küçük olduğu kabul edilen -∞ (eksi sonsuz) sembolü katılarak sonsuz aralıklar tanımlanır:

(a,∞)={x:x>a} [a,∞)={x:x ≥a} (−∞,a)={x:x<a} (−∞,a]={x:x≤a}

(

−

∞

,

∞

) {

=

x :

−∞

<

x

<

∞

}

Reel sayılar ile ilgili olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin standart yöntemini daha önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bazı örnekler vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden nasıl ifade edilebildiğini göreceğiz

Örnek 2. 2x + 1 < 0 eşitsizliğini düşünelim.

2x + 1 < 0 ⇔ 2x < -1 ⇔ x < -1/2.

Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-∞ , -1/2) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Örnek 3. x2-3 < 2x+12 eşitsizliğinin çözümü :

x2-3 < 2x+12 ⇔ x2-2x-15 < 0 ⇔ (x+3)(x-5) < 0

Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-3 , 5) aralığıdır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken aşağıdaki tablodan yararlanılabilir:

Bazı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudan doğruya tablodan yararlanılarak bulunabilir. x -3 0 5 x + 3 - - - 0 + + + + + + + + + + + + + 8 + + + x - 5 - - - - - 8 - - - 0 + + + ( x + 3)( x -5) + + + + 0 - - - 0 + + + 0 1 2 1 − -3 0 5

Örnek 4. 0 1 1 ≤ + − x x eşitsizliğini düşünelim.

Tablodan, çözüm kümesinin (-1 , 1] aralığı olduğu görülür ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir(Tablodaki ? işaretini yorumlayınız):

Mutlak değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zaman aralıklara karşılık gelir. Örneğin

1.8. Kartezyen Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını genişleterek düzlemde ve uzayda noktalar için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını tanımlamak için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yatay diğeri de düşey olarak seçilir; yatay olan eksene x-ekseni , düşey olan eksene de y-ekseni denir.

x -1 0 1 x - 1 - - - - -2 - - - -1 - - - 0 + + + + x + 1 - - - 0 + + + + + 1 + + + + + 2 + + + + 1 1 + − x x + + + ? - - - -1 - - - 0 + + + + c x c c x < ⇔ − < < - c 0 c c a x c a c a x− < ⇔ − < < + a a- c a+c 1 -1 ₀ y x

Kartezyen Koordinat Sistemi O

Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Kartezyen Koordinat Sistemi , eksenlerin kesim noktasına da bu sistemin orijini denir ve genellikle O harfi ile gösterilir. x- ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem ya da kadran denir. Çeyrek düzlemler şekilde görüldüğü gibi numaralanırlar.

Kartezyen Koordinat Sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri arasında bire-bir bir eşleme olduğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta karşılık geldiği gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri

R2 = R × R = {(a , b ) : a , b ∈ R} kümesinin elemanlarıdır.

Düzlemde bir noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi şöyle belirlenir: (Şekilden izleyiniz) Verilen noktadan her iki eksene birer dikme indirilir. x-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir a sayısına, y-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir b sayısına karşılık gelir. Verilen noktaya karşılık gelen reel sayı ikilisi (a,b) dir. a sayısına o noktanın x-koordinatı veya apsisi; b sayısına da o noktanın y-koordinatı veya ordinatı denir.

x O 1 II III IV I y 1 x y a b _(a,b) (0,0) _(1,0) (0,1) (1,1)

Verilen bir (a,b) sıralı reel sayı ikilisine karşılık gelen noktayı bulmak için yukarıdaki işlem tersine işletilir. Daha açık bir ifadeyle, önce x-ekseni üzerinde a noktası ve y-ekseni üzerinde b noktası bulunur ve sonra her iki noktadan ait oldukları eksene birer dikme çıkılır; bu dikmelerin kesim noktası, apsisi a ve ordinatı b olan noktadır.

Bundan böyle, Kartezyen Koordi- nat Sistemi seçilmiş bir düzlemde bir noktayı o noktaya karşılık ge- len sıralı reel sayı ikilisi ile özdeş- leyeceğiz; yani (a,b) noktası de- nince, apsisi a ve ordinatı b olan noktayı anlayacağız. Üze- rinde bir Kartezyen Koordinat Sistemi seçilmiş olan düzleme Kartezyen Düzlem denir. Bazı noktaların Kartezyen Düzlem’de yerleştirilişleri yandaki şekilde görülmektedir.

Düzlemde Kartezyen Koordinat Sistemi seçmek ne işe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel yöntemlerle çözmemize ve karşıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik olarak yorumlamamıza yardımcı olur. Bunu, çoğunlukla, iki değişkenli denklem veya eşitsizliklerle gerçekleştiririz.

Örneğin, düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlar yardımıyla kolayca hesap-lanabilir:

Yukarıdaki şekilden ve ünlü Pisagor Teoremi’nden yararlanarak (a , b) ve (x , y) noktaları arasındaki uzaklık için 2 _{( )}2 _{( )}2

b y a x

d = − + − veya buna denk olan

formülü elde edilir.

2 2 _{( )} ) (x a y b d = − + − (2,3) (-2,3) (-2,-3) (2,-3) (3,0) (0,-1) x y (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) x y (0,0) (a,b) (x ,y) d x - a y - b a b x y

Örnek 1. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık:

İki değişkenli bir denklem; örneğin x2 + y2 = 1 , verildiğinde, bu denklemi sağlayan reel sayı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sağlayan tüm (x , y) sayı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0) , (0,1) ,

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 , 2 1 , 5 4 , 5 3

den her biri x2 + y2 = 1 denkleminin bir çözümüdür . Bir denklemin çözüm kümesi Kartezyen Düzlemde bir nokta kümesi olarak düşünülünce elde edilen şekle o denklemin grafiği(grafik) denir.

Örnek 2. x2 + y2 = 1 denkleminin grafiği, orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekildir ki buna Kartezyen Düz- lem’de birim çember denir.

Her hangi bir denklem veya bağıntı verildiğinde, o denklem veya bağıntının grafiğini çizmek için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya bağıntıyı sağlayan –mümkün olduğunca çok- noktalar bulup o noktaları Kartezyen Düzlem’de işaretlemektir. İşaretlenen noktalar yardımıyla, grafik tahmin edilmeğe çalışılır.

Örnek 3. y = 10 - x2 denkleminin grafiğini çizmek için bazı çözümler bulalım ve Kartezyen düzlemde işaretleyelim.

. 5 9 16 )) 2 ( 1 ( ) 1 5 ( ₋ 2_{+ − −} 2 _{= + =} = d y (1,0) x y y =10 - x2 (0,10) (1,9) (3,1) (-3,1) (-1,9) x (0,0) (-2,6) (2,6)

Örnek 4. x2 + y2 < 1 in grafiği

1.10. Yakınlık ve Yaklaşık Değerler. Bir a ve bir x reel sayısı verilmiş olsun. Eğer a ile x arasındaki farkın mutlak değeri önceden belirlenmiş pozitif bir sayıdan küçük ise, x sayısı a ya yakındır veya a nın bir yaklaşık değeridir denir.

Tanımdan da anlaşılacağı üzere, yakın veya yaklaşık değer kavramları tamamen göreceli kavramlardır.

Örnek 1. Tanımda sözü edilen önceden belirlenmiş pozitif sayı 0.02 ise, 0.99 sayısı 1 e yakındır; ancak 0.95 sayısı 1 e yakın değildir.

Eğer |a-x1| < |a-x2| ise, x1 sayısı a ya x2 den daha yakındır denir.

Örnek 2. 0.0001 sayısı 0 sayısına 0.001 den daha yakındır.

Eğer x sayısı a ya yakın ve x < a ise, x sayısı a ya soldan yakındır denir. Benzer şekilde, x sayısı a ya yakın ve x > a ise, x sayısı a ya sağdan yakındır denir.

Örnek 3. 0.99 sayısı 1 e soldan; 0.0001 sayısı da 0 a sağdan yakındır. x y

(0,0) (1,0)

x2+ y2 = 1 x2 + y2 < 1

Yukarıda tanımlanan kavramlar sayı ekseni üzerinde izlenince daha iyi anlaşılacaktır.

Bu şekle göre, x sayısı 0 a sağdan, u sayısı 1 e soldan yakındır.

Bir a sayısı civarında değerler alan bir x değişkeni, a ya istenildiği kadar yakın değerler alabiliyorsa, x, a ya yaklaşıyor denir ve x → a yazılır. Eğer x in aldığı değerlerin hepsi a dan küçük ise, o takdirde x, a ya soldan yaklaşıyor denir ve x → a- _{yazılır; x}

in aldığı değerlerin hepsi a dan büyük ise, o takdirde x, a ya sağdan yaklaşıyor denir ve x → a+ _yazılır.

Örnek 4. Eğer x değişkeni

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − _N k k : 10 1

kümesi içinde değerler alırsa, x → 0 yazabiliriz. Çünkü, bu kümede 0 sayısına istenildiği kadar yakın sayılar vardır. Daha açık bir ifadeyle, 0 a yakın olduğunu düşündüğünüz her sayı için bu küme içinde 0 sayısına düşündüğünüz sayıdan daha yakın bir sayı bulunur. Örneğin, 0.0001 sayısını sıfıra yakın olarak düşünürsek, 5 10 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

sayısı 0 a 0.0001 den daha yakındır. k sayısı büyüdükçe

k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 10 1

sayısı 0 a daha yakın olur. Bu örneğimizde, x değişkeninin aldığı değerler 10 1 − un kuvvetleridir. 10 1 −

un tek kuvvetlerinin 0 a soldan yaklaştığına, çift kuvvetlerinin ise 0 a sağdan yaklaştığına dikkat ettiniz mi? Başka bir ifade ile, eğer x değişkeni

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + _N k k : 10 1 2 1

kümesi içinde değerler alırsa, x → 0-_{; eğer x değişkeni}

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − _N k k : 10

1 2 _{kümesi içinde değerler alırsa, x → 0}+ _olur.

Eğer x değişkeni her pozitif sayıdan daha büyük değerler alabiliyorsa, yani x in aldığı değerler sınırsız olarak artıyorsa, o takdirde x sonsuza ıraksıyor denir ve x → ∞ yazılır. Benzer şekilde, eğer x değişkeni her nagatif sayıdan daha küçük değerler alabiliyorsa, yani x in aldığı değerler sınırsız olarak azalıyorsa, o takdirde x eksi sonsuza ıraksıyor denir ve x → - ∞ yazılır.

Yukarıda tanımlananlar bağlamında, bir değişkenin belli bir sayıya yaklaşması, ya da sonsuza veya eksi sonsuza ıraksaması durumunda o değişken cinsinden yazılmış bir ifadenin de belli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığı sorusu ayrıca önem kazanmaktadır. Eğer x sayısı a ya yaklaşırken x cinsinden yazılmış f (x) ifadesi b ye yaklaşıyorsa,

x → a için f (x) → b

1 u

x 0.5

yazılır. Okuyucunun bu tanımda gerekli değişiklikleri yaparak, “x → a- _{için f (x) → b”,}

“x → a+ _{için f (x) → b” , “x → ∞ için f (x) → b” , “x → - ∞ için f (x) → b” ,}

“x → a için f (x) → ∞” ve benzerlerini tanımlayabileceğine inanıyoruz.

Örnek 5. 1 1 ) ( 2 − − = x x x

f ifadesi x = 1 için tanımsızdır. Ancak, x in 1 e yakın, fakat 1 den farklı değerleri için

1 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 ) ( 2 + = − + − = − − = x x x x x x x f olduğundan x → 1 için 1 1 ) ( 2 − − = x x x f → 2.

Çünkü, x in 1 e yakın değerleri için onun bir fazlası olan x + 1 in 2 ye yakın olacağı açıktır.

Örnek 6.

x x

f( )= ifadesi x = 0 için tanımsızdır. x in 0 a yakın değerleri için 1 x 1 nasıl değerler alır? Bu sorunun cevabı, aşağıdaki tabloların incelenmesiyle de görülebileceği üzere, x in sıfıra soldan veya sağdan yakın oluşuna göre değişir.

Tablolardan görüldüğü gibi, x sıfıra soldan yaklaştıkça x 1

sınırsız olarak küçülen negatif değerler almakta, x sıfıra sağdan yaklaştıkça

x 1

sınırsız olarak büyüyen pozitif değerler almaktadır. Dolayısıyla, x → 0- için x 1 → - ∞ ve x → 0+ _için x 1 → ∞. x x 1 -0.1 -10 -0.01 -100 -0.001 -1 000 -0.0001 -10 000 x x 1 0.1 10 0.01 100 0.001 1 000 0.0001 10 000

Örnek 7. Aşağıdaki tabloları inceleyerek, x → - ∞ için x 1 → 0 ve x → ∞ için x 1 _{→ 0 olduğunu görebilirsiniz.}

Örnek 8. x sıfıra soldan veya sağdan yaklaştığında 1₂

x sınırsız olarak büyüyen pozitif değerler alır. Dolayısıyla, x → 0 için 1₂

x → ∞ . Örnek 9. x → ∞ için 5 3 2 4 2 2 2 + + + + x x x x _→ 2 1 . Bu sonuca ) 5 3 2 ( ) 4 2 1 ( ) 5 3 2 ( ) 4 2 1 ( 5 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + +

ifadesinde, x in çok büyük pozitif değerleri için 2, 3, 4₂, 5₂ x x x

x den her birinin sıfıra yakın değerler aldığını gözlemleyerek ulaşılabilir.

Örnek 10. x → - ∞ için 4 3 2 5 4 3 2 2 + + + + x x x x → 2 3 olduğu şöyle görülür: 2 3 ) 4 3 2 ( ) 5 4 3 ( ) 4 3 2 ( ) 5 4 3 ( 4 3 2 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 → + + + + = + + + + = + + + + x x x x x x x x x x x x x x . x x 1 -10 -0.1 -100 -0.01 -1 000 -0.001 -10 000 -0.0001 x x 1 10 0.1 100 0.01 1 000 0.001 10 000 0.0001

Problemler 1

1. A = {-1, 0, 1, 2} ve B = {-2, -1, 0, 1} kümeleri veriliyor. Aşağıda ... ile gösterilen yerlere ∈ , ∉, ⊆ veya ⊄ işaretlerinden uygun olanını yerleştiriniz:

-1 ... A , -1 ... B , -2 ... A , -2 ... B , 2 ... A , 2 ... B {0, 1} ... A , {0, 1, 2} ... A , {0, 1, 2} ... B , {-2, 2} ... A 2. Önceki problemde verilen A ve B kümeleri için aşağıdakileri belirleyiniz:

a) A ∪ B b) A ∩ B c) A \ B d) B \ A

3. Aşağıda ... ile gösterilen yerlere < , > veya = işaretlerinden uygun olanını yerleştiriniz: -2 ... –5 , -2 ... 5 , 2 ... –5 , 2 ... 5 , 6-1 ... 3+2 , 2/3 ... 0,66 -3 ... 0 , 3 ... 0 , 4 ... 2 , 4 ... -2 , 7-2 ... 3+2 , 3/2 ... 1,5 110 462 ... 4,2 , 3 2 4 3 − ... 15 1 , 2 ... 1,4 , 25− 16 ... 9 , π ... 7 22

4. Aşağıdaki ifadelerin eşitini mutlak değer gösterimi kullanmadan yazınız: |3-7|=? , |-3|+|-7|=? , ||3|-|7||=? , ? | |− = − 1 1 , |(-3)2_{|=? , | − 50. |=?} 2 1 ? | |2− 4 = , -|-3|=? , |-3.5|=? , | − 2|=? 2 3 _{, |-2π|=? , |4-1|=?} 5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 3x – 5 = 2x + 1 b) x2 – 3 = 2x – 4 c) 2x2 – 9 x +7 = 0 d) 5 + x = 9

6. Aşağıdaki sayılardan her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) 7 b) -7 c) 3 1 ç) 3 2 − d) 3 4 e) 2 3 1 f) –3 5 1 g) 1,35 ğ) –1,45 h) 2

7. Aşağıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) {x : |x - 1| = |x - 2| } b) {x : |x - 1| = |2x - 1| } c) {x : |x2

– 3 | = 1 }

ç) {x : |x2

8. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 3x – 4 > 5 b) 3x – 4 < 1 c) 3x + 2 < 5x – 8 ç) 5x - 4 ≥2x + 5 d) x2 _{– 3}

≤

9. Aşağıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz: a) {x : |x| < 7} b) {x : |x - 2| < 7} c) {x : |3x - 2| < 5 } ç) {x : |3 – 2x| < 1 } d) {x : 1 < x - 2 < 3 } e) {x : x(x – 1)

≤

10. Aşağıdaki noktalardan her birini Kartezyen düzlemde yerleştiriniz: a) (1 , 2 3 ) b) (0 , 2) c) (-1 , 2 3 ) ç) (0 , -1 2 1 ) d) (-1 ,-1) e) (1 , 2 ) f) (1,25 , 2,5) g) (-3 , 2 1 ) 11. Aşağıdaki nokta çiftleri arasındaki uzaklıkları bulunuz:

a) (1 , 2 3 ) , (3 , -2 3 ) b) (0 , 2) , (1 , 2 3 ) c) (0 , 2) , (-1 , 2) ç) (1 , -2 3 ) , (3 , -2 3 ) d) (0 , 2 1 ) , (1 , 2 3 ) e) (0 , 2) , (- 2, 2) 12. Aşağıdaki denklemlerin grafiklerini çiziniz:

a) x = 1 b) y = -4 c) y = x ç) y = -x d) x + y = 1

e) x2 _{+ y}2

= 9 f) y = x2 – 9 g) (x-1)2 + (y-3)2 = 9 h) x - y=1

13. Aşağıdaki eşitsizliklerin grafiklerini çiziniz:

a) x > 1 b) y < 0 c) xy < 0 ç) x > y d) x2 _{+ y}2 _{> 1}

14. Soru işaretlerinin yerine uygun sayı veya sembolleri yazınız. a) x → 1 için 2 ₊2 x → ? b) x → 2 için 2 4 2 − − x x → ? c) x → 2- _için 2 1 − x → ? ç) x → 2 + _için 2 1 − x → ? d) x → -∞ için 2 1 + x → ? e) x → ∞ için 2 1 + x → ? f) x → 2 için ₂ ) 2 ( 1 − x → ? g) x → 2 için ( 2)3 1 − x → ?