SERBEST UYARTIMILI BİR DC MOTORUN PI1DJ.L Hiz DENETiMLi VE KESİR DERECELi DENETLEYİCİLERİN PERFORMANS ANALİZİ

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, _ı 3. Cilt, _ı. Sayı, s. 34-41, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De M otorun PıADJ.L Hız Dene

timi

Ve Kesir Dereceli Denetleyicilerin Performans Analizi _{O. Atm}

SERBEST UYARTIMI�I BİR DC MOTORUN PI1DJ.L Hiz DENETiM

_i

VE

KESİR DERECELi DENETLEYİCİLERİN PERFO

S ANALİZİ

Özkan AT

_AN

ı

,Mustafa

TÜRK2,

Remzi TUN

TAŞ

ı

1 Yüzüncü Yıl Üniversitesi, Erciş MYO Van

2 Fırat Üniversitesi, Mühendislik Fakültes� Elektrik-Elektronik Mühendisligi Bölümü Elazığ oatan@yyu.edu.tr

ÖZET

Bu çalışmada, serbest uy_artımlı bir doğru _akım motorun kesir dereceli PI ve PID denetleyiciler ile kapalı çe_{vrim lm} denetimi _MA TLAB/S_IMULINK ortamında gerçekleştiTilerek kesir dereceli sistem yaklaşımlarının perforrnans analizleri incelenmiştir. PI). ve PP.Dıı denetleyici davranışları farklı, tamsayı olmayan integral ve tilrev dereceleri için incelendi. Elde edilen benzetim sonuçları incelendiğinde aşma miktan açısından oldukça iyi değerler elde edildiği gözlendi ve kesir dereceli sistemlerin analiz yöntemleri açısından en iyi perforınansı sağlayan yöntemin Crone yöntemi olduğu görülmüştür.

Anahtar Keliıneler: Serbest uyartınılı de motor, Kesir dereceli sistemler, PI).D� denetleyiciler.

PI1D� SPEED CONTROL OF A FREE-EXCITED DC MOTOR AND

PERFO

_{CE ANAL YSIS OF THE FRACTIONAL ORD ER}

CONTROLLERS

ABSTRACT

In this study, the closed loop control of a free-excited de motor with fractional order PI and PID controllers are simulated in MATLAB/SIMULINK environment and the perfoımance analysis of fractional order approaches are investigated. Behaviours of the PI). and Pll.D� controllers are investigated for different non-integer integral and derivate degrees. After analyzing the obtained simulated results, considerably good results has been observed _in teıms of overlapping. In contrast to fractional order analysis methods it has been observed that the Crone method was the best

perforınan ce.

Keywords: DC motor, Fractional order systems, Pll.Dıı Controllers.

ı.

GİRİŞ

Kontrol sistemlerinde, klasik tam sayı dereceli hesaplama yerine kesir dereceli durumlarm incelenmesi yeni bir _fıkir olmamakla beraber mühendislik uygulamalannda incelenmesi son yıllarda üzerinde oldukça fazla çalışılan konulardan birisi olmuştur [1, 2]. Özellikle otomatik kontrol uygulamalarında, klasik tam sayı dereceli denetleyicilerin genelleştirilmiş şekli olan kesir dereceli denetleyici kullanımıyla hem kusursuz hem de yüksek kontrol performansları elde edilmiştir [3, 4]. Kesir

34

dereceli denetleyicilerin kullanımıyla daha az kontrol

parametresi ile daha iyi sonuçlar elde etmek m_ümkündür.

Bu da kesir dereceli denetleyicileri kontrol uygulaınalarında oldukça güçlü bir araç haline getiı·ıuiştir.

Birkaç temel kesir dereceli denetleyici olmakla beraber bunlardan en çok kullanılanı ve tercih edileni kesir dereceli PID (Pll.Dıı) tipi denetleyicilerdir [ 5, 6].

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, 13. Cilt, 1. Sayı, s. 34-4 ı, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun PıADJ.L Hız Denetimi Ve

Kesir Dereceli Denetleyicilerin Perforınans Analizi Ö. Atan

Kes ir dereceli türev ve integral kavramı, 169 5 yılında Leibniz ve L'Hospital tarafından ortaya atılmıştır. Bu kadar eski o lmasına rağmen ilk çalışmalar, 19. yüzyılın ortalarında Liouville, Riemann ve Rolıngren tarafından yapılmıştır [7]. K esir dereceli sistemlerin hesabı için doğrudan bir model mevcut olmadığı için çeşitli yaklaşım yöntemleri vardır. Bu yöntemler, Grünwald-Letnikov (GL) ve Riemann-Liouville

(RL)

tarafından ortaya konulan yöntemlerdir [8]. Diğer bir önemli yöntem ise laplace dönüşümdür [9]. Laplace dönüşümü yapılan sistemin çözümü sayısal yöntemlerle gerçekleştirilir [1 O] . Laplace dönüşümü yapılan sistemin analizi için çeşitli yaklaşımlar vardır. Bunlar Crone, Carlson, Matsuda, Tustin ve Simpson yaklaşımlarıdır [11-13]. Bu yaklaşımlar, laplace operatörünün seri açılımı mantığına dayanır. Aynı şekilde bu yöntemlerle sayısal olarak kesir dereceli sistemlerin uygulaması yapılabilir ve bu prensibe dayalı denetleyiciler rahatlıkla tasarlanabilir.

Bu çalışmada, serbest uyartımlı bir DC motorun hız denetim işlemi PI).D� denetleyicilerle gerçekleştirilmiştir. Ayrıca, PI tipi denetleyiciyle serbest uyartımlı DC motorun hız denetimi gerçekleştirilerek iki denetleyici arasındaki fark, özellikle kesir derecesinin değişiminin etkisi ile farklı sayısal analiz yöntemleri kullanılarak çözülmüş ve bu yöntemler arasındaki farklar karşılaştırılmıştır.

l. KESİR DERECELi SİSTEMLER VE PIAD�

DENETLEYİCİLER

Kesir dereceli hesaplama, integrallerin ve türevlerin derecelerini reel ya da karmaşık sayı olarak keyfi bir biçimde kabul eden bir matematik dalıdır. Fizikte birçok sistem kes ir dereceli olarak bilinir ( elektromanyetik dalgalar, viskoelastisite v.s.). Kesir dereceli sistemlerin hesaplanmasında genel olarak kullanılan iki _tür yaklaşım vardır. Bunlar Grünwald-Letnikov (GL) ve Riemann­ Liouville

(RL)

yaklaşımlarıdır. GL yaklaşımının genel ifadesi ise Denklem (1)'deki gibidir.

Daf(t)=Lim

1

[<

ı�hlr(a+k)f(x-kh'

(1)

a 1

h)«)

r(a)ha � r(k+

1) :1

RL yaklaşımının genel ifadesi ise Denklem (2)'de verildiği gibidir [14]. Burada m-1 <a<m olup _r ise Gama fonksiyonudur.

ITJ(t)

-

I

!!_

mJı !{ı-}

dr

(2)

a 1

-f(m-a)

dt

_a

(t-r)i-{m-a)

B urada, h zaman artım oranı,

[

( t

-

a)

1

h]

işlemi ise bu

oranın tam kısmını temsil eder. Denklem (1) ve (2)'den görüldüğü üzere, kesir dereceli operatörler daha önce olan olayları saklayabilme ya da hafızasında tutabilme özelliğine sahip olduklarından, kalıtsallık ve hafıza etkilerinin modeliernesine uygundurlar. Diğer bir önemli

35

yaklaşım ise Denklem (3)'de verilen Laplace dönüşüm yöntemidir.

n-1

L

{

Da

f(t)

}

=

sa F(s)-

�::>

k Da-k-1 F(t)

_t:O

(3)

k=O

Başlangıç şartları gözönüne alınmazsa Denklem (3)'deki ifade daha basit bir forında Denklem ( 4) 'deki şekilde elde edilebilir.

L

{

Da

f(t)

}

=

sa F(s)

(4)

Laplace dönüşümü kesir dereceli kontrol sistemlerinin analizinde ve sentezinde oldukça önemli bir dönüşüm olarak kullanılmaktadır. Burada, doğrudan fonksiyonun Laplace dönüşümü alınarak kesir dereceli s-Laplace değişkeni ile çarpımından elde edilir.

Genel olarak kesir dereceli sistemler, Denklem (5)'deki gibi doğrusal zamanla değişmeyen kesir dereceli fark denklemleri formunda ya da Denklem (6)'daki gibi sürekli transfer fonksiyonu forınunda tanımlanır.

anDf"

y(t)

+ an-ıDf"-ı

y(t)

+

.

.

.. +

a0Dfo

y(t)

aı aı

₊

amA

(5)

aıs +a2s + ... ams

G(s)

= A (6)

b /3ı

₁

S

+

b

2S

Pı

+ +

• " ...

b

BmB

mB

S

Burada

(3m,

bm) _e9l, (aıru

�m)

_e9l ve meN'dir.

Laplace dönüşümünden faydalanılarak kesir dereceli

işlemleri sayısal olarak analiz edebilmek için bazı _Z­

dönüşüm yöntemleri vardır [11-13]. Bu dönüşümler kullanı larak k esir dereceli sistemlere dayalı denetleyiciler tasarlanabilir.

Crone yöntemi, kesir dereceli ifadelerin çözümünde en geniş kullanılan olan yaklaşımlardan biridir. Bu yaklaşımına göre, kesir dereceli sistemin s domenindeki dönüşümü Denklem (7)' deki gibidir.

C ( )

_

r

r-.1

C

ı

+ s

1

m1

S -S

r-.� o

r

₁

_+S/

(Oh r E

(0,1)

r (7) Crone yönteminde kesir dereceli ifadenin Z-dönüşümü Denklem (8)' deki gibidir.

Cr(s)

=

sr

�

C0

ı -z -ı

1

+ (

)/

m1

T

ı -z

-ı

1+(

)lmh

T

r

(8)

Calson yaklaşımına göre kesir dereceli sistem, Denklem (9)' daki gibi ifade edilir.

r

�(s)=sr =c;-ı(s

(q-m)(c;-ı(s)'/ +(q+m)s

(9)

(q-m)(Cz-ı(s)'f +(q-m)s

Denklem (9)' daki C' nin başlangıç iterasyonu değerleriyle _q ve m değerleri Denklem (lO)' da verilmiştir.

SA

ü.

Fen B ilimleri Dergisi, 13. Cilt, 1. Sayı,

s. 34-4 ı, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun Pl�nJJ Hız Denetimi Ve Kesir Dereceli Denetleyicilerin Performans Analizi

Ö.

ı

q

q=;, m=ı, C0(s)=1

₍₁₀₎

Matsuda yöntemine göre kesir dereceli ifadeler Denklem

(ll)

ve Denklem (12)'deki yaklaşımlarla çözülür [15].

s- s0 s- s

s- s

C (s) = a0 +

+

1 +

2 +

.

. .

(ll)

aı +

_{aı +}

_{aı +}

a. = v.(s.)

_{1 1 1} (12)

Tustin yöntemiyle dereceli sistemin gibidir.

Laplace ifadesi s ±q olan bir kesir

Z dönüşümü, Denklem (13)'deki

ı

±q

( )±q

_s

₌

( (

_(i)

_z

-l))±q

_{= -}

2 ı-z-

---T

1 + z-1

Denklem (13)' de O<q<l olup çözüm ( 14) 'deki yaklaşımdan faydalanılır.

s

q

�

(�)q

lim

An(z-l

,q) q

E

[-1,1]

T

n�«> An (z-1

,-q)

(13) için Denklem

(14)

Denklem (14)'daki ifadede verilen An değerleri Denklem (15) ve (16) ile hesaplanır.

An

_=An-ı

(z-ı

,r)

+ cnzn An-ı (z-ı

,r)

A0 (z-1,

r)

= 1

(15)

r

_{1 n,}

c =

n

O

'

n; tek

n;

çift

(16)

Simpson yönteminde, kesir dereceli ifadenin Z-dönüşümü yapılarak Taylor serisine açılır. Böylece kesir dereceli

• • ' • • • • o . .. 1A _{-·-·· 0.2S} 1.2 -. -.;.r-·-·-­ . -_.. .. -- _{..,. .,.,.} .--· _{_.,. �} -· -.- --- -o.a _--- - _-� -,. , ·" . .,. / --0.8 _{/- ,..} ,- / . / 1 . _.,r . _/ 1 _/ 0.4 i _J ; / ·-/ ! , 0.2 ,� o 1 •. .. .. .. .· . -.. ... .. • -· -o�2 o�--�.z�oo�--4�o�o--�eo�o��.�o�o---1�ooo . ..

-sistem analiz edilir. Kesir dereceli bir ifadenin Sim yöntemine göre çözümü Denklem (17) verilmiştir.

C(s)=s'=

2..(1-z-ı)(1+z-ı)

T

1+4z-1+z-2

r

Kesir dereceli türev ve integral ifadelerinin basamak girişine karşı verdiği cevap Şekil

gösterilmektedir. Integral operatörünün birim _{b�4o.&..f-IJ'}

girişine karşı gösterdiği cevap Şekil 1 a' da, operatörünün basamak girişine karşı verdiği eğrileri ise Şekil 1 b' de sunulmuştur. operatöründen anlaşıldığı üzere kesir derecesi cevap hızı artmaktadır.

PI).D� denetleyicilerin analizi içini kullanılan yaklaş� ... , ... l

benzer sonuçlar verse bile tam anlamıyla birbirinin _a)ırn�ı değildir. Farklı yaklaşımların birim basamak · · ·

karşı gösterdiği cevaplar Şekil 2. de toplanmıştır.

PI).D� tipi denetleyiciler oransal, integral ve

operatörlerinin birlikte kullanılmasıyla elde edilir.

denetleyicilerde türev ve integral dereceleri tamsayı--­ farklı reel sayılardan oluşur. Böyle bir denetleyiciye a genel matematiksel ifade denklem (18)'de veri..ıı...ır..L.&. .... �

[16].

Pll

D;ı

=K PE(s) + Ki.s-l E( s)+ Kn.sJJ

.E

(

s)

A,J.ı

ft

N' A,p

E

9t

1 o.a 0.6 0.4 0 • .2. ' .. �-. ... ,_ 1 ' -. -· . - o.zs ' . ' _---Q.5· "·\ o.7s · "-_{, ...} ' . ... ' ·-. ' . .._ ' ... � . ' _' --·-- .. -...�-·--... ... -- ---. -- - ---o ' .... o o • • .. • ••• • • • • .... . o • o • • o • • o • o . .. .

.

.... o . . .... . o ... o ... ...

.

... o • o • • • o o • -0..2 0�-- -%�00----.��-0----60�_{0----8�0----0} 1�000 b

Şekil _1. a) Fark�ı kesir derecesine sahip sistemlerin a) integral, b) türev cevaplan

.. 1 .. • ·' _· -.\ . -' .l "" � :"-,_ " ' ... "-· ' ... ... - - --.. _- --- -. _.. . -·---- SJD:ap•on -·-·-C...,.on ·. · · ' · .· · � · c::::::rone -- :ı.v.ı:auuda . . . ... � ... .. _{- ... -� . ... - ... ,. .......... . -..,} ---... ______ _ 0 �--����--����--��--�----L---�----�--�

q ıoo zoo 3oo .. oo �oo 6oo 7oo �oo 9�o ıooo

Şekil 2. Farklı kesir dereceli çözüm yöntemlerinin birim basamak girişine karşı gösterdi�i cevap eğrileri

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, 13. Cilt, 1. Sayı,

s. 34-4 ı, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun Pı"-DJ.l Hız Denetimi Ve

Kesir Dereceli Denetleyicilerin Performans Analizi

Ö.

Atan

PPD� tipi denetleyicide _Kp

K

ve _Kn katsayıları Ziegler­ Nichols yöntemiyle belirlenmiştir [17]. Denetim sistemlerinde kesir dereceli türev ve integral kullanılması, daha üstün perfonnans ve dayanım sağladığı son yıllardaki araştırınalarda ortaya çıkmıştır. B unun üzerine

Oransal-integral türev denetleyicilerin de kesir dereceli sistemlere uygulanmasına çalışılmıştır [ 4-6].

3. SERBEST UYAR'I'IMI41 DC MOTOR

Serbest uyartımlı DC motorlar endüstride hız denetim uygulamalarında en çok kullanılan motorların başında

gelir. Serbest uyartımlı DC motorlara ilişkin

matematiksel model denklem (18) ve ( 19) da verilmiştir.·

V

oc(t)

=

Ra.ia(t) +La.

dia(t) + e(t)

(18)

dt

(19)

DC motorun ürettiği moment ve döndürme momenti ile açısal hız arasındaki bağıntı denklem (20) ve denklem (21) de verilmiştir [18].

Tm

=

Km .i0 (f)

(20)

Tm

=

J.

dwm

+

B.wm

+TL

{21)

dt

4. SERBEST UY AR'fiMIJ BİR DC MOTORUNUN

PIAD� H IZ DENETİMİ

PIADıt tipi bir hız denetleyicisiyle serbest uyartımlı bir DC motorun hız denetiminde referans hız girişiyle gerçek hız değeri arasındaki fark, PIADıt denetleyicinirı girişine uygulanmaktadır. Bu şekilde, hız hatasına göre

denetleyici, çıkış değeri üretmektedir. PI'-Dıı tipi bir denetleyicisinin Matlab/Simulink ortamında oluşturulan modeli Şekil 3' de sunulmuştur.

Bu modelde kullanılan akım kontrolörü histeressiz akım kontrolü olup ölü bant değeri 2A'dir. DC motorun çektiği akımdaki dalgalanmaları azaltmak için filtre kullanılmıştır.

PI'-D� tipi denetleyicilerle yapılan hız denetirrı işlemirıde; farklı kesir derecesine sahip PI'D� denetleyiciler aşma miktarı açısından, klasik PID denetleyicilerle yapılan hız denetleyicilerine göre daha iyi performans sergiler. Serbest uyartımlı DC motorun hız zaman eğrisi Şekil 4' de görüldüğü gibi; hız ilk anda referans değeri olan

1 OOrad/s değerine hızla yükselmekte, yaklaşık olarak

3.25rad/s lik bir aşmadan sonra istenen değere doğru azalma yapmaktadır. Farklı k esir derecesine sahip PIADıt tipi denetleyici kullanılmasıyla aşma miktarı 2.lrad/s değerine kadar azalmaktadır. Ayrıca; motor çalışma esnasında referans hız lOOrad/s den 120rad/s değerine çıkarıldığında, PP· tipi denetleyicinin aşma miktarı klasik PI yöntemine göre daha az olduğu gözlenmektedir.

Farklı kesir derecesine sahip olan denetleyicinin akım

zaman grafiği Şekil _5' de verilmiştir. Bu grafikte akımın

kesir derecesinin artmasıyla kalkınma anındaki değerden (maksimum değer), sürekli durumdaki akım değerine geçişte dalgalanma (sıfır değerine doğru düşüş) olmadığı

görülmektedir. Moment değişimi Şekil 6' da görüldüğü

gibi akım değişimine benzer yapıdadır. Burada PIAD� tipi denetleyici Crone yöntemine göre analiz edilmiştir.

Yuk Momenti (N" m) DC Macbine Scope

4 _r _.._ _.. R efenma Eiı; PID Cikis .. Wtn ... -•

Irerrg

� " .. � ..

wref FPID CikU ..-- "

g

ı

�ı

• _.. la _k .Alcim r4 a den.etleyici Gto V

de-==-24ov

l

� ı .. r Ls

�

D

�

-:� 5HP

240V

TL ll

IA'-f(

de F' '-... :: 1

)}

vFi5oV

r-Iliz: m .. _r

Armatur .Alciıni .. _Filter

A L... r

F

... � ...

Şekil 3. Serbest uyartınılı OC Motorun PID/PI).D� tipi denetleyici ile hız kontrolünün Matlab/Siınulink modeli. 120 100 eo 40 20 ı • ı

--

,

,� ...

-

.

..

.

... - ·--.� . 1-ı· ı 1 .500 1000 1500 1 �r : ı 2000 Zaman(ma) • ı ı ı 250J '3000 ı " -. Ktasik"PI ---Kes ir. Derece _H Pl (1 _. 1) - ·- · • Kesir Dereceli Pl (1 .'2) . · · · · ·: · · ·Referans

Şekil _4. PI ve farklı kesir derecesine sahip (J..-1.1 ve 1.2 için) PI). denetleyiciler

37 ..

D

" • "

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, 13. Cilt, _ı. Sayı,

s. 34-4 ı, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun Pı"-Dıı Hız Denetim

!.

_Ve

K esir Dereceli Denetleyicilerin Performans Analizi _{O· At�}

40 � E �20 -r ı ı ı ı -.. _ . . ' ı ı ı

-\..

. . . -_ -t---·· _ ..

\..

� -ı"' . .

.

... -.... ·--... ·-···· ...

.

... ... r--.. ---�-... .. ""'"{"'""" .. .. .. ... I ' .... . - .. .. 60 -g: 40 E �20 60 �·-40 -� � 20 o -!"-! r-\.. 1"'"""' r

-\..

'. o ı 500 10C() 1500 ı ı ·' ı ı ı soo 1CXXl 1500 ı ı. ı i ı ı 500· 1 cn::ı 1500 1 :_{. .2501 3000} ı . ' ·� ı ..:...

-.

\.

.

1 1 ı r . 2500 3500 4000 _{. �} .ı ı ı ı -r-·

-�

ı ı ı ı ' ?(OJ 2500 3000 3500 4CXXl zaman '(ms)

Şekil 5. Farklı denetleyicilerin akım zaman değişim eğrisi a) klasik PI, b) pe-(A.-1.1) c) Pe· (A.-1.2)

ss· ,..---,..---,.---r---...,..---,---r---.---ı 50 45 -40 35 20 15 10 5 0o�---���. o --· -��1- o�oo�--�1s�oo�ı

--

�x�oo

�-

--

��--�

�

�---�

3�500�--

�

Zaman(ms)

Şekil 6 Farklı denetleyicilerin moment zaman değişim e�si (PI\ A.-1.2 )

Kesir dereceli ifadelerin, tam çözüm yöntemi olmadığı için analiz farklı yaklaşımlar kullanılarak gerçekleştirilir. PI). tipi denetleyicide bu yaklaşımların kullanılmasıyla elde edilen çıktılar farklı olur. Bu yaklaşımların kullanılmasıyla elde edilen PI). denetleyicisinin hız hatasının zamanla değişimi Şekil 7 'de gözlenmektedir. Burada en çok kullanılan beş farklı yöntem (Crone, Carlson, Matsuda, Tustin ve Simpson) karşılaştırılmıştır.

Şekil 7'de görüldüğü gibi Crone ve Carison

yaklaşımlarında, sürekli durum hatası oluşmazken Tustin

ve Sipson yönteminde, sürekli durum hatası

oluşmaktadır. Crone yönteminde ise Carison yöntemine göre, sürekli duruma daha hızlı geçtiği Carison

yönteminde ise aşma miktarının daha az olduğu

38

gözlenmektedir. En iyi performans ise Crone ve Carison yaklaşımlarında sağlanmıştır. En iyi sonuç _k esir derecesinin değeri _{ı .2'} de olması durumunda elde edilmiştir. Burada PIJ.Dıı denetleyicisine kes ir dereceli türev · operatörü eklenmesiyle PI).D� tipi denetleyici elde

edilir. PI).D� denetleyicisinde iki farklı kesir derecesi vardır. Bunlardan biri türev operatörünün kesir derecesi (Jl), diğeri ise integral operatörünün kesir derecesi (A.)' dir. _A, değeri 1.2 ve Jl değeri 0.1 iken PI).D� denetleyicisi

ile PI"' denetleyicisinin hız zaman değişim eğrisi Şekil

8'da ki gibidir. Tablo lde farklı yöntemlerin aşma m_iktarı

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, _13. Cilt, _1. Sayı,

s. 34-41, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun PıA.DJ.L Hız Denetimi Ve

Kesir Dereceli Denetleyicilerin Performans Analizi

Ö.

Atan

100.---,�-- -- --�,---��---�, ---�,--- --,,---r_-_ --_-C_ro_n_e-ı --- cinison - · -·

-

Simpson ··· · · · · · · · T ustin -:a _l! -

i

·u; _lliJ -_'<W . :X: N � 40 20

�

• J 1 tı .... \ ₁ -� ·ı . �· �

_�

-�\ _{' :•\.} �:' 1 --• .._ 1 -1 -• ...:. ... �:-... � . ... 1 -• -• -1 - .. -1 ... -. -1 -•

Jl :.

. ... -. -.. -. -. . - . - t ... - t -• -" - 1 -o � • -• _....;·.,.._ ._ 1 -1 -• -• -.. . . .

.

. '. .· .

"

.

l '

. .. . . . .. '

t�

"·• • • j _• • 1 1 t t t t 1 , ı t 1 ., 1 t 1 1 1 1 •1 1 1 '1" 1 1 t 1 i' 1 1 ı· t t 1 t ı 1 t t 1 t c 1 '1 t 1 r 1 1 r

,

r' 1 ' J. ı 1 1 · 1 ı 1 ı ı 1 ı ı t ı ı lı. • ' '' � ...:" ' ' ..,., .• • ,'•. t • ; t • • • \ !, • • • • • t • • 1 • • • • • • • • " f .• 1 • 'iı • ''J • •, � ' 1 t • t • • ; 1 .i 1 t i. • 1 • • ' �, • ;, • ; 1 • • • • • • o '-

.

' . ' . ' . _{""'"-....... �} -_,-... ____ -' ____ ..._ _____ --1 .... .... _ ' _{... ---�·� ...} . .. -t ·;-- �-.... �.- ' •• -� �---�' ----��J---.�l- �---�'�.---���---�i ______ �r�· · -- ----�

o 5(() 1(Q) 1 500 . 2ClJO. . :2500 3JOO' 35CXJ .tr:oo

�

Zaman(ms)·

Şekil 7. Farklı yaklaşırnlara göre PI" denetleyicisinin referans hızı ile gerçek hız arasındaki farkın zamana göre değişim eğrisi.

1 1 1 ı ı ı ı 1- • .

'

. · .. � 120 : ; �,. ... .... - -100 80 � 40 f-· --·· - ··----· r 500 ·-·---- --·----... ,. ___ i .. j '1000 1500 ____ ... -·-···· ı 2000 Zaman ·(ms) ı 25(() ' ... ______

,,

____ ı " 3JOO'

Şekil 8. Klasik PL PI" ve PI"DIA tipi denedeyicilerin hız değişim eğrileri

·:· · •.: · · ... R.�fer.ans ... ·Kta.sik _{. . Pl} " -· --·--kesliDereceiiPI

;... .. -···'·Kfi�'ir ·D�re c�ii _:PID

3500 .40CO

Tablo _1. PI"D� için referans klasik PID olarak alındığında elde edilen aşma miktarı ve oturma zamanı

YÖNTE

•

AŞMA _MIKTARI

(%)

_{OTURMA ZAMANI} (MS)

M _Jl==A-==0.9

Jl=A-=1.1 ı.ı=A-=1.2 J..t=A-=0.9 J.t=A-=1.1 J.t==A-= 1.2

Crone _{3.5 2.45 2.1 1800 1500 1400}

Carison _{3.7 2.3 2 1900 2000 2200}

Matsuda _{3.7 2.6 2.3 1700 1600 1500}

Tustin _{3.6* 2.2* 2* 90 86 85}

Simpson _3.25* 2. 1 _{* 2* 98 84 82}

*sürekli durum hatası oluşuyor.

SAÜ. Fen Bilimleri Dergisi, 13. Cilt, 1. Sayı,

s. 34-41, 2009

Serbest Uyartıınlı Bir De Motorun PıAD� Hız Denetimi Ve

Kesir Dereceli Denetleyicilerin Perfoıınans Analizi

Ö.

Atan

S. SONUÇLAR

Bu çalışmada, klasik PI denetleyicisi ve pıxn� tipi denetleyici kullanılarak serbest uyartımlı bir DC motorun hız denetim benzetimi Matlab/Simulink:'te modellenerek yapılmıştır. Bu şekilde bu iki farklı denetleyici arasındaki fark gözlendi. PI).D11 tipi denetleyicinin kesir derecesi değiştirilerek farklı de�erlerde gösteımiş olduğu perfoıınanslar karşılaştırılmış ve denetleyicinin perfoı ınans üzerine farklı çözüm yöntemlerinin etkisi araştırılmıştır.

Sonuç olarak, PI).D� tipi denetleyicilerin PI ve PI>- tipi denetleyicilere göre aşma değeri açısından oldukça iyi perforınans gösterdiği görülmektedir. PI).D� tipi denetleyicilerin ttirev derecesinin 0.1, integral derecesinin 1.2 olduğunda en iyi sonuç elde edildiği bulunmuştur. Kesir dereceli sistemlerin analizi için farklı yaklaşımlar var olduğu (Crone, Carlson, Matsuda, Tustin ve Simpson) ve bu yöntemler içersinde en iyi sonuca Crone yöntemi ile yaklaşıldığı görülmüştür. Bu yönteme göre analiz edilen, integral derecesi 1.2 ve ttirev derecesi 0.1 olan bir PI).DJ! denetleyicisinin performansı oldukça iyidir

Bu çalışmadan da görüldüğü üzere en iyi yaklaşımı bulabilmek için henüz ortaya konulmuş bir yöntem yoktur. Bu nedenle ileriki çalışmalarda, amaçlanan hedeflere ulaşabilmek için yapay sinir ağları ile karınaşık kesir derecelerinin hesaplanması ve genetik algoritma yaklaşımı en iyi ya da optimum sonuçların alınabileceği bir yöntem üzerinde çalışılması düşünülmektedir.

SERBEST UY ARTIMLI DC MOTORUN

PARAMETRELERİ

Re=0.50, La= 10m.H, Rr2400, L[=120H, Lm=1.976H, Ls= lOmH

J=0.02215kg.m2, B=0.002953 N.m.s., V oc=240V

KAYNAKLAR

[1]. Jun-Yi Cao, Bing-Gang Cao., Design of Fractional order Controller Based on Practicle Swarm

Optimization, International Journal of Control,

Automation, and Systems, 4(6), 775-781, 2006.

[2]. A. Kilbas, H.M. Srivastava ve J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations,

Netherlands, Elsevier, ss.525, 2006.

[3]. Y.Q. Chen, D. Xue ve H. Dou, Fractional calculus and biomimetic control, IEEE Int. Conf. On Robotics and Biomimetics (ROBIO 04), China, 2004.

[4]. M. Axtell, M.E. Bise, Fractional Calculus Applications in Control Systems. Aerospace and

40

Electronics Conference, NAECON'90, Proceedings

of

the IEEE, 2, 563-566, 1990.

[5]. H. Fan, Y. Sun ve X. Zhang, Research on

Fractional

Order Controller in Servo Press, International Conference on Control System Mechatronics and

Automation,

ICMA'07, 2934-2938, 2007.

[6]. D.Xue, C. Zhao ve Y.Chen, Fractional order PID control of a DC-motor with elastic shaft: a case study, American Control Conference, 3182·3187, 2006.

[7]. K. B. Oldham ve J. Spanier, The fractional calculus, Academic Press, USA, 1974.

[8]. D. Xue ve YangQuan Chen, A comparative introduction of four fractional order controllers, Proceedings of the 4th World Congress on Intelligent

Control and Automation, 3228- 3235, 2002.

[9]. I. Podlubny, Fractional-order Systems and Fractional-order Controllers, The Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, UEF03-94, Kosice, Slovak Republic, 1994.

[10]. T. T. Hartley, C. F. Lorenzo, ve H. K. Qammer,

Chaos in a Fractional Order Chua's System, IEEE

Transactions On Circuits And Systems� 1: Fundamental

Theory And Applications, 42 (8), 485-490, 1995.

[ l l ]. D. Valerio, J. S. Costa, Time-Domain Implementation of Fractional Order Controllers, Control Theory and Applications, lEE Proceedings 152 (5),

539-552, 2005.

[12]. Vinagre, B., Podlubny, I., Hemandez, A., ve Feliu,

V., _{Some Approximations of Fractional Order Operators}

Used in Control Theory and Applications, Fract. Calc. Appl. Anal, 3 (3), 231-248, 2000.

[13]. M. Aoun, R Malti, F. Levron ve A.Oustaloup,

Nurnerical simulation of fractional systems, ASME 2003 Design Engineering Tecnical Conference Chicago, Illinois, USA, 2003.

[14]. B.M. Vinagre, I. Petra§, I. Podlubny ve Y.Q. Chen, Using Fractional Order Adjustment Rules and Fractional Order Reference Models in _{Model-Reference Adaptive} Control, Nonlinear Dynamics, 29, 269-279, 2002.

[15]. I. Podlubny, I. Petras, B. M. Vınagre, P. Oleary, L. Dorcak, Analogue Realizations of Fractional-Order Controllers, Nonlinear Dynamics, 29,281-296,2002.

SAÜ_{. Fen Bilimleri Dergisi, 13. Cilt, ı. Sayı,}

s. 34-41, 2009

Serbest Uyartımlı Bir De Motorun Pı"'D� Hız Denetimi Ve

Kesir Dereceli Denetleyicilerin Perfoınıans Analizi

Ö.

Atan

[16]. I. Podlubny, Fractional-Order Systems and PPDJl Controllers, IEEE Transactıons On Automatıc Control 44

(1),

208-214, 1999.

[ 1 7]. J. G. Ziegler ve N. B. Nichols, Optimum Settings for Automatic Controllers, Traıısactions of the ASME 64, 759-765, 1942.

[18]. N.N. Hancock, Matrix Analysis of Electrical Machinery, Elsevier, USA, 1974.