DERSİMİZİ ŞU ANA BAŞLIKLAR
HALİNDE İNCELEYECEĞİZ.
1.
2.DERECE DENKLEM TANIMI
2.
2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN
DENKLEMLER
3.
2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
4.
3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
5.
KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN
2.DERECE DENKLEM TANIMI
a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve
a = 0 olmak üzere;
a x
2+ b x + c = 0
biçimindeki eşitliklere
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
İkinci derece denklemin köklerinin
varlığı araştırılırken;
Δ = b
2- 4ac
ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece
denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir
.
Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.
1. > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır. Bu kökler;
a
2
b
2. = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır. Bu kökler;
a
2
b
x
x
1
2
’dır.3. < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.
ÖRNEK:
3x
2-10x+3=0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM : a=3 , b= -10 , c=3 veΔ=b2-4ac eşitliğinden;
Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.
Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;
6 8 10 3 . 2 64 10 a 2 b x 1,2 3 1 6 2 x ve 3 6 18 x 1 2 bul unur . Ö yle ys e; 3 1 , 3 Ç o l ur .
2.DERECE DENKLEME
DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER
Bu tür denklemlerde değişkendeğiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim.
ÖRNEK: x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm
kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2-5u+4=0 haline dönüşür.
u2-5u+4=0 (u-4)(u-1)=0
u=4 ve u=1 olur. Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından
x= 2 ve x= 1 bulunur. Ç=-2,-1,1,2 ’dir.
ÖRNEK: (x2-5x)2 -2 (x2-5x) -24=0
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : x2-5x=u dönüşümü yapılırsa;
u2 -2u -24=0 olur ki;
(u-6)(u+4)=0
u=6 ve u=-4 bulunur. Öyleyse; x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından x2-5x-6=0 (x-6)(x+1)=0 x=6 ve x=-1 olur. x2-5x+4=0 (x-4)(x-1)=0 x=4 ve x=1 olur. Ç=-1,1,4,6 ’dir.
ÖRNEK: 4m+2m-6=0 denkleminin
çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : 2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2+u-6=0 haline dönüşür.
u2+u-6=0 (u+3)(u-2)=0
u=-3 ve u=2 olur. Öyleyse; 2m=-3 çözüm yoktur.
ve 2m=2 m=1 olacağından
2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden
denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere;
a
c
x
.
x
a
b
x
x
2 1 2 1
ÖRNEK: xtoplamını bulunuz.2 - 6x +8 = 0 denkleminin kökler
ÇÖZÜM : x1+x2= - b /a olduğundan
x1+x2= 6 bulunur.
ÖRNEK: -3x2 - 8x +1 = 0 denkleminin kökler
çarpımını bulunuz.
ÇÖZÜM : x1.x2= c /a olduğundan
3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü derecedendenkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere;
a
d
x
x
x
a
c
x
x
x
x
x
x
a
b
x
x
x
3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 1.
.
bulunur.KÖKLERİ VERİLEN BİR
DENKLEMİN KURULUŞU
ikinci dereceden bir denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere, denklem;
x2 - (x
ÖRNEK: Kökleri -2 ve 3 olan ikinci
derece denklemi bulunuz.
ÇÖZÜM : x1+x2= (-2)+3=1 x1+x2= (-2).3=-6 bulunur. x2 - (x 1+x2)+x1.x2=0 x2 - (1)x+(-6)=0 x2 - x - 6 = 0 bulunur.
