Sirkülant matrislerin keyfi pozitif kuvvetleri

SİRKÜLANT MATRİSLERİN KEYFİ

POZİTİF KUVVETLERİ

Hatice GEZ

Yüksek Lisans Tezi

Matematik Anabilim Dalı

T.C

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

SIRKULANT MATRİSLERİN KEYFİ POZİTİF KUVVETLERİ

Hatice GEZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 18.10.2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Doç. ArHîl^i BERKSOY (Danışman)

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT (Üye)

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE (Üye)

Yüksek lisans tezi olarak yapılan bu çalışma bir derlemedir.

Sirkülant matrisler, özel bir matris türüdür. Bu nedenle bu matrislerin öğrenilmesi önem taşımaktadır.

Bu çalışmada ilk olarak sirkülant matrislerle ilgili gerekli tanımlar verilmiş, bu sayede bu matrislerin tanınması sağlanmıştır. Daha sonra bu matrisler için özel bir durum olan bazı fark ve diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan tek mertebeli simetrik sirkülant matrislerin keyfi pozitif değerlerinin bir tipinin hesaplanması incelenmiştir.

Tez konusunun seçilmesi ve yürütülmesi konusundaki yardımları ve yakın ilgisinden dolayı sayın hocam Prof. Dr. Durmuş BOZKURT a, yardım ve desteği için Arş. Gör, Ozan ÖZKAN ve danışman hocam Doç. Ahmet Hilmi BERKSOY'a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Hatice GEZ

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

SİRKÜLANT MATRİSLERİN KEYFİ POZİTİF KUVVETLERİ

Hatice Gez

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. A. Hilmi BERKSOY

2006,

Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT

Doç. A. Hilmi BERKSOY

Yard. Doç. Dr. Hasan KÖSE

Bu çalışmada ilk olarak sirkülant matrislerle ilgili gerekli tanımlar verilmiş, bu

matrislerin tamnması sağlanmıştır. Daha sonra ise bu matrisler için özel bir durum

olan bazı fark ve diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan tek mertebeli

simetrik sirkülant matrislerin keyfi pozitif kuvvetlerinin bir tipinin hesaplanması

incelenmiştir. Matrisin Jordan formu, Öz vektörlerin, dönüşüm matrislerin ve onlarm

terslerinin ifadesi verilmiştir

Anahtar Kelimeler: Sirkülant matrisler, sağ-sol-ters sağ-ters sol sirkülant matrisler,

Chebyshev polinomu, simetrik sirkülant matris, dönüşüm matrisi, Jordan formu.

Master Thesis

THE ARBITRARY POSITIVE POWER OF CİRCULANT MATRİCES

Hatice GEZ

Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisior: Doç. A. Hilmi BERKSOY

2006,

Jury: Doç. A. Hilmi BERKSOY

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT

Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE

in this study, first we gave definitions about circulant matrices which help us

to introduce these matrices. TTıen we study on computing of arbitrary positive integer

powers for one type of odd order symmetric circulant matrices which are a special

station for these matrices andare used some difference and differential equations

solutions. Expressions of eigenvectors and Jordan's form of the matrix and its

inverse are given,too.

Keyvvords: Circulant matrices, right-left-skew right-skew left circulant matrices,

Chebyshev polynomial, symmetric circulant matrix, transforming matrix, Jordan's

form.

İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ 1 1.1 .Amaç ve Kapsam 1 1.2.Literatür Özeti 1 2. TEMEL KAVRAMLAR... 3 2.1. Genel Bilgiler 3 2.2. Sirkulant Matrisler 5 3. BİRİNCİ TİP TEK MERTEBELİ SİMETRİK SİRKULANT MATRİSLERİN

KEYFİ POZİTİF TAMSAYI KUVVETLERİNİN

HESAPLANMASI 13

3.1. Giriş 13

3.2. Problemin Formüle Edilmesi 13

3.3. B Matrisinin Öz Vektörleri ve T Dönüşüm Matrisi 16

3.4. Sayısal Hesaplamalar. 30 4. GENEL SONUÇ VE ÖNERİLER 31

5. KAYNAKLAR 32

1. GİRİŞ

1.1. Amaç ve Kapsam

Sirkülant matrisler özel bir matris tipi olduğu için bu matrisler hakkında daha fazla bilgiye sahip olmak gerekmektedir. Bu çalışmada sirkülant matrislerle ilgili kavramları inceleyecek ve uygulayacağız.

Bazı fark ve diferansiyel denklemlerin çözümünde, karesel matrisin keyfi pozitif tamsayı kuvvetlerini hesaplamamızın gerekliliğıyle karşılaşırız. Bu çalışmada simetrik sirkülant matrislerin tek mertebesi için keyfi pozitif tamsayı kuvvetleri için genel bir ifade elde edilmiştir.

1.2. Literatür Özeti

Bozkurt, D., Türen, B.; bu çalışma öğrencilere lineer cebir konularının en iyi şekilde aktarılmasını ve kavratılmasını sağlamaktadır. Bununla birlikte son üç bölüm yüksek lisans ve doktora seviyesindeki öğrencilerin yararlanabilecekleri makalelerden derlenmiş bir bölümdür. Ayrıca Maple V Release 5 paket programının lineer cebir paketinin kullanımı da verilmiştir.

Davis, P. J.; bu çalışmada sirkülant matrislerle ilgili bilgiler verilmiştir. Öncelikle geometrik uygulamalar, matrislerle ilgili önemli bilgiler verilmiş daha sonra sirkülant matrisin tanımı ve bazı özelikleri verilmiştir. İfadeleri biraz daha genişleterek bazı geometrik sirkülantlar, sirkülantların genelleştirilmesi verilmiştir.

Rimas, J.; çalışmasında simetrik sirkülant matrislerin n = 2p + l(pe N) mertebeden bir tipi için / (l eN) inci kuvvetinin bir genel ifadesini elde etmiştir[ 12].'

2

Rimas, J.; [13] de, [12] deki makalesini genelleştirmiştir. Simetrik tek mertebeden sirkülant matrislerin bir tipi için (/ e N) / inci kuvvetin genel bir açıklaması verilmiştir. Bu çalışmada bu genel ifadenin türetilmesini tamamlamak için sunulmuştur. Matrisin Jördan formu, öz vektörlerin, dönüşüm matrislerin ve onların terslerinin ifadesi de verilmiştir.

Kamer, H., Schneid, J. ve Ueberhuber, C.W.; çalışmasında spektral ayrışımlar tanıtılmıştır. Yani, reel sirkülant matrislerin dört değişik türünün öz değer ayrışımları ve singüler değer ayrışımları verilmiştir. Ters sağ ve ters sol sirkülant olarak bilinen sağ ve sol sirkülant matrisler analiz edilmiştir.

Pollock, D. S. G.; sirkülant matrislerin spektral ayrışımını Fourier matrisi yardımıyla elde etmiştir. Buna ek olarak simetrik sirkülant matrisleri tammlamış ve bu matrisin Fourier dönüşümlerini incelemiştir.

Rojo, O. ve Rojo, H.; çalışmasında spektrumu verilmiş negatif olmayan simetrik bir sirkülant matisin varlığı için kolaca hesaplanabilir yeterli şart türetilmiş, ispatı verilmiştir. Buradan E bir stokastik simetrik sentrosimetrik bir matris, sl = \E olmak üzere; (\)k=K üzerinde bir düzeltme şartı türetilmiştir. Bunlar FFT kullanımı üzerine inşa edilmiştir.

Lind, D. A.; sirkülant ve ters sirkülant matrisi; Fibonacci sayısı ile tanımlayarak, bu matrislerin determinantlarını birimin n. dereceden primitif kökünü kullanarak elde etmiştir.

Geller, D., Kra, I., Popescu, S. Ve Simanca, S.; sirkülant matrislerin determinantını ve karakteristik polinomunu, birimin n. dereceden primitif kökünü kullanarak elde etmişlerdir. Sirkülant matrisler uzayının sonlu boyutlu değişmeli bir cebir yapısında olduğunu göstermişlerdir. Sirkülant matrislerin düzgün olması için gerek ve yeter şartlar verilmiştir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

2.1. Genel Bilgiler

Tanım 2.1.1. [4]

A ve B kare matrisler ve B=P~lAP

olacak şekilde P düzgün matrisi varsa Ave B matrislerine benzer matrisler P* ye de dönüşüm matrisi denir.

Tanım 2.1.2. [4]

AA(X)- det(/U"-Â) polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir.

AÂ(X)-0 denkleminin köklerine^ matrisinin öz değerleri denir. Bu denklemde sıfır olmayan x çözümüne A nın X öz değerine karşılık gelen öz vektörü denir.

Tanım 2.1.3. [4]

A, «-kare matris olmak üzere AT = A ise A matrisine simetrik matris (her ij için a{j ~arı) denir.

Tanım 2.1.4. [11]

|ı - j\ > 1 olacak şekildeki her /, j için a^ = 0 ise A - [ ai} ] e Mn matrisine üç köşegen matris veya üçlü bant denir. Yani;

~a„ an 0

A= ai2

0 «...-i «.., _

Tanım 2.1.5. [4]

t a = tH olacak şekildeki Tn = \fsy. matrisine Toeplitz matrisi denir.

Bu matrisi açık olarak yazarsak

T. = >0

h

h

'*-! ' - 1 * ' o ' ' . • tn-2 • " t-n+7 " >-„+3 '' ^-«+4 - '. '-*+, t-n+2 '-„+3 'o olur. Tanım 2.1.6. [4]

Ha ~ [hı+j-ıİ -i Şeklinde tanımlanan matrise Hankel matrisi denir. Bu matrisi açık olarak yazarsak

H. =

K

*.

K

V,

*.

K

h

K

K

h,

K

*„«

h * .

fc„

+1 hn-2 olur. Tanım 2.1.7. [1]

r

0

(*)=ı

Tl(x) = x Tn+l{x) = 2xTn{x)-Tn_](x)

Bu polinomun trigonometrik ifadesi ise; Tn(cos($)) = cos(nO) Tn (x) = cos(« arccos(x)) şeklindedir. Tanım 2.1.8. [1] U0(x) = \ Ul(x) = 2x

Ua+x{x) = 2xUm(x)-U_l{x) ifadesine 2.Tür Chebyshev Polinomu denir.

Bu polinomun trigonometrik ifadesi ise;

u

n

(

C

os(e)) =

sin(in+l)9) nK V JJ sinO TT ı \ sin((/î + l)arccosx) Un (x) = — ^ £ L sın arccos x şeklindedir. 2.2. Sirkülant Matrisler Tanım 2.2.1. [11]

C =

a. a. La2 a3 a. Sj-1 ln-2 Û , veya C = circ(cltc2t...,c„)

6

şeklindeki CeMn matrisine sirkülant matris denir. C nin her bir satınnın elemanları; bir önceki satınn elemanlan ile aynıdır.

Tanım 2.2.2. [13]

a'eR" ve a =(aQ}al>...,an_l)T olsun.

c*M=

a0 a{ ... a an-\ ao n-\ ln-2 \ a\ ü2 '•• a0 J

şeklindeki matrise sağ sirkülant matris (basit sirkülant matris) denir. Herbir satır sağa kayarak devreder. CR (a), sağ sirkülant matrisde Teoplitz matrisinin özel durumudur. Matrisin 1. satın (yada sütunu) bilinirse matrisin bütün elemanlan belirlenir.

Tanım 2.2.3. [13]

C

L

{ah

«o «ı a, a. \a„-\ ao a n-l û0 *n-2j

şeklindeki matrise sol sirkülant (yada anti sirkülant veya (-l)sirkülant) matris denir. Herbir satır soldan yukandaki satınn bir kaydınlmışıdır. CL(a), özel bir Hankel matrisidir. Tanım 2.2.4. [13]

s*(*h

a. -a n-\ <3, v- « , -a. a n-\ a B-2 'o j

matrisine ters sağ sirkülant matrisi denir. Bu matris Toeplitz matrisin özel bir halidir. Ters sağ sirkülant matrisler aynı zamanda (-1) çarpan sirkülant matristir.

Tanım 2.2.5. [13]

^ W =

'Oo « 1

A-ı

öl ' « 2 • " « O * • « - ^ • ~ao • ~an-2j

matrisine ters sol sirkülant matris matris denir. Bu matris Hankel matrisinin bir özel durumudur.

Teorem 2.2.1. [13]

A ve B sirkülant matrisleri (sağ, sol, ters sağ, ters sol):

i) A + B ve A — B sirkülanttır, ii) AT sirkülanttır, üi) AB sirkülanttır, iv) aA sirkülanttır, k

l

v) ^C;Ak sirkülant,

vi) Ters sol sirkülant matris simetriktir,

özelliklerini sağlar.

Tanım 2.2.6. [5]

circ(cltc2,...,cn) nin determinantı; değişkenleri clic2i...,cll olan n. dereceden bir homojen polinomdur.

Sirkülant matrislerin determinantlanmn hesabı için basit formüller yoktur. İlk dört durumun;

n=l için det tireye^ ) = c, «=2 için det c«r(c,, c2) = cf - c. rc=3 için detc/>c(cl,c2,c3) = c13 +c\ +c\ -3cxc2c2 n=4 için detcirc(c{,c2>c3,c4) = c,4 —c\ +c\-c\ -2cf(cJ +2c2c4J

+

4c,(c2c3 +c3C4)+2c2C4 - 4 c2c3c „ olduğunu görürüz. Tanım 2.2.7.

C sirkülant matris olsun. Eğer C = CT oluyorsa bu matrise simetrik sirkülant matrisi denir.

C =

c, c2

c2 c3

c„ c,

matrisi bir simetrik sirkülant matristir.

Tanım 2.2.8. [9]

w , birimin n. primitif kökü olmak üzere ij - elemam

/:. = 4=w

0

'"

l)O

'-

,)

Jıj / —w şeklinde tammlanan

F = 1 1 1 1 ÜJ LJ2 1 UJ2 LÜ4 1 ... w""1 ... w2<-!> n-1 , ,2(ıı-l) 1 LJ"-1 İÜ ÜJ in-lY

matrisine Fourier matrisi denir. Aynı zamanda u nin özellikleri kullanılarak bu matris F = 1 1 1 ÜJ 1 ÜJ ÜJ 1 ÜJ2 uf ÜJ 1 n-l ıı-2 n-l . .«-2 1 OJ"-1 ÜJ ÜJ şeklinde de yazılabilir.

C(d) sirkülant matrisinin öz değerleri ve öz vektörleri, C(a)y = Xy

denkleminin ya da

/-ı /ı-l

ZA-y+tJ'* + !£fl*-P'* = MJ 7 = 0,1,...,»—1

A=0

fark denkleminin kökleridir. Burada toplamların sınırlarında değişiklik yapılırsa

n-l-J

E

k=0

n-\

H

a

ty^j+ Yİ

a

kyk~

{

n~j)=^yp ; = o,ı,...,»-ı

t=n—7

(2.2.1)

elde edilir. Denklem sabit katsayılı lineer bir denklem olduğu için yk = pk dir.

yk = pk (2.2.1) denkleminde yerine yazılırsa

10.

elde edilir, p birimi n. dereceden primitif kökü olup, C{a) sirkülant matrisinin öz değerleri

ve bu öz değerlere karşılık gelen Öz vektörler ise

dir. LÜ = e~2™j/n —ÜJ~J olarak seçilirse y = 0,l,...,n-l için C(a) sirkülant matrisinin

öz değerleri

A,(C(a)) = g < ¥ ^ *

ve bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörler

dir.

Teorem 2.2.2. [13]

C(a), nxn tipinde bir sirkülant matris ve

Ay(C(o)) = 2 o4w - * 4=0,1 n-1

k=0

C(d) nın öz değerleri olsun. O zaman

A ( C ( Ö ) ) = diag{\(C(a)\ A,(C(a)),.„, Xa_,(C(a))) ve F Fourier matrisi olmak üzere

dir.

Dikkat edilecek olursa tüm sirkülant matrislerin öz vektörlerinin kümesi birbirine eşittir.

Teorem 2.2.3. [15]

C{a), nxn tipinde bir sirkülant matris ve birimin n. dereceden primitif kökü

w = e2h,i/" olsun. J=0,7, ...,«-7 için

det(C(a)) = n

n

*=0 n-1

dir.

Teorem 2.2.4. [5]

n x n tipinde bir A matrisinin sirkülant matris olması için gerek ve yeter şart

7T = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 •• 0 •• 0 •• 0 •• 0 •• 0

permütasyon matrisi olmak üzere

AIY = 7TA

şartının sağlanmasıdır.

Sonuç 2.2.1.

A matrisinin sirkülant olması için gerek ve yeter şart^* matrisinin de sirkülant

olmasıdır.

12

A ve B, nxn tipinde sirkülant matrisler ise AB matrisi de sirkülanttır.

İspat.

A sirkülant matris ise Teorem 2.2.4 den

AK = TTA

dir. Eşitliğin her iki yanı sağdan .B matrisi ile çarpılırsa

AırB = 7rAB

olur. B matrisi de sirkülant olduğu için Bn = nB dir. Dolayısıyla

AB-K = -KAB

olur. AB matrisi Teorem 2.2.4 den sirkülant matristir.

Aynca aynı mertebeli sirkülant matrisler değişmelidir. Dolayısıyla bu özellik ve Sonuç 2.2.1 den sirkülant matrislerin normal matrisler olduğu sonucuna varılabilir. Yani, A sirkülant matris ise

AA*=A*A

3. BİRİNCİ TİP TEK MERTEBELİ SİMETRİK SİRKÜLANT MATRİSLERİN KEYFİ POZİTİF TAMSAYI KUVVETLERİNİN HESAPLANMASI

Bu kısımda n = 2p + \ (peN) mertebeli birinci tip sirkülant matrisin /. (/ e N) kuvveti için genel bir ifade elde edeceğiz.

3.1. Giriş

Bazı fark ve diferansiyel denklemlerin çözümünde, karesel matrislerin keyfi pozitif tamsayı kuvvetlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Burada simetrik sirkülant matrislerin birinci tipinin /. kuvveti için genel bir ifade elde edeceğiz[5].

Kare matrisin keyfi pozitif tamsayı kuvvetini hesaplamak için gerekli diferansiyel ve fark denklemlerinin bazılarını çözerken bazılarını sonraya bırakacağız [3,19]. Burada tek mertebeli. simetrik üçlü bant matrislerin birinci tipinin /. kuvvetinin bir genel ifadesini bulacağız[20].

3.2. Problemin Formüle Edilmesi

"0 1 1" 1 0 1

1 0 1 1 1 0_

şeklindeki n. mertebeden simetrik sirkülant B matrisini ele alalım.

Matrisin / inci kuvvetini Bl =TJ'T~[ ifadesini kullanarak buluruz[6]. Burada

J, B matrisin Jordan formu ve T ise dönüşüm matrisidir. J ve T matrisleri B

matrisinin öz değer ve öz vektörleri bilindiği takdirde bulunabilir. B matrisinin öz değerleri

14

\B-AE\ = 0 (3.2.2)

karakteristik denklem ile tanımlanır.

a e R için

A,(«)=

a 1 1 1 a 1 1 ar 1 1 a 1 1 1 a . A » = ÛT 1 0 1 o; 1 1 a 1 1 0 a 1 1 a olsun. (3.2.3) \B-XE\ = Dn{-X) (3.2.4) olur. (3.2.3) den Dn=aAn_1-2An_2-2(-l)n (3.2.5) ve K =<xAn.l-An^2 ( A2= a2- 1 , A , =or,A0=l) (3.2.6)

ifadeleri elde edilir. Burada Dn = Dn(a) ve A„ = An(a) dir. (3.2.6) fark denklemini çözersek f ~.\ An(a)=Un ~ ,Dn(a) = Un \2s -U a ~2 n-l \ *-/ - 2 ( - l ) " ; \*J

elde ederiz. Burada Un(x)> n. dereceden ikinci tür Chebyshev polinomudur. Yani, - l < ; t < l olmak üzere

rr . . sin((H + l)arccos;c) Vn(x) = — ^ sın arccos x dir.

T

n

(x) = ±(U

n

(x)-U

n

_

2

(x))

eşitliğini kullanarak f / ~ \ (3.2.7)

^W=2k(|]-(-l)"

eşitliğini elde ederiz[7]. Burada Tn(x) n. dereceden birinci tür Chebyshev polinomudur. Yani, -1 < x < 1 olmak üzere

(rn(x))= COS(H arccos ;c) (3.2.8)

dir. Tn(x) polinomunun bütün sıfırları [-l,l] aralığında olup bulunan bağıntı kullanılarak £ = 1,2, ,n için

^ = c o s i ^ i V

(3

.

2

.

9)

2n

bulunabilir. (3.2.9)'u ele alarak Tn(y)-{-\f polinomunun sıfırlarını da k-1,3,5,...,n tek tamsayılar ve k=0,2,4, ...,n çift tamsayılar için

Ynk=cos— (3.2.10)

n

olarak elde ederiz.

n değerini ( n, B matrisinin mertebesi) tek tamsayı olarak alalım. (3,2.4), (3.2.7) ve

(3.2.10)'u ele alarak (3.2.2) karakteristik denkleminin köklerini

kn

^ = - 2 c o s — , J f c = 1,3,5, ,« (3.2.11)

16

olarak bul uruz[9].

A(.(/ = l,3,...,«-l) öz değeri katlı (li = 2 ) iken Xn Öz değeri basittir (/„ =1). Burada /., X{ öz değerinin katilliğim belirtmektedir.

J matrisi, B matrisinin Jordan formu olsun. J matrisinde Xn basit öz değerine tek Jordan blok karşılık gelir.

r(B-XiE) = n-2 ve n~r{B~XiE) = 2 (7=7,3,5,...,n-2) [6]

olduğundan J matrisinde Xt (/. = 2 ) katlı öz değerine ^(A,.) 2 x 2 Jordan bloğu ve

Xn öz değerine Jx(Xn) 1x1 Jordan bloğu karşılık gelir. Buna göre B matrisinin Jordan formunu yazarsak

J = {diag{X,\XzX, Xn_2Xn_2X„)) (3.2.12)

olur.

3.3. B Matrisinin Öz Vektörleri ve T Dönüşüm Matrisi

J = T~İBT (BT = TJ) bağıntısını göz önüne alalım. Burada B (3.2.1) deki n. mertebeden matris (n = 2p + \,p e N), J, B nin Jordan formu ve T dönüşüm matrisidir. Şimdi T dönüşüm matrisini bulabiliriz.

Tj\J = 1,w), T nin j. sütununu göstersin, T = (7] T2...Tn) ve

{BTX BT2 ... BTn ) = {TlAl T2X, T3X, T4A3 ...Tn_2Xn_2 T„_,Xn_2 T„Xn) dir. Buradan BT2 = T2\ BT, = T3\ BTA = T,\ BT , = T ,A„ , n—Z n—Z n—i. BT .-T ,A„ , n—1 n—ı n—l BT = TX n n n

(3.3.1)

Tj = \

TJA> J=2P~l>

Tj-ıa* j = 2p(peN,j = \^î)

(3.

olarak tanımlar ve (3.3.1) sisteminin çözümünü bulursak;

T = U0 v2 , U n-2

'V

K*J s j=î,3,5,...,n-2>

(3-TJ2 = U n-3

. 2 ,

u,

'V

u

v

2

,

v

2

.

V2.

0

n-2 \

v

2

„

,j=lt3,5,...,n-2,

(3.

T;

=

T*

ı

1

(3

vV

18

Uk{x)=sm((k + l)aIcoosx)i _ ^ x ^ sın arccos x

(3.3.6)

şeklinde ikinci tür k. dereceden Chebyshev polinomudur[7].

(3.3.3)-(3.3.5)ve

c 1 ^ U _n-2

v 2 , = - l ( / = l,3,5,...,«-2), (3.3.7)

bağıntısı göz önünde tutulursa T* dönüşüm matrisi;

T = r t \

u.

u

x £/„

i

2

i

\2) ( 1 \

4

\ J r i ^ r i ^ U, _n-3

K

u.

n-A

u.

\2j v 2 , n-5 ^ - 4 2 v 2y -1 0 Ut \ *- / v 2 j / 1 "\ ^ 0

'i'

i

2

'i'

v 2 , z' 1 >

u,.,

_\2j

^

t/,

_/ı-4 ^ 3

t/.

_n-S

t/.

A

v 2 / O - 1 (•} ^

t/,

_n-4

4

v 2y U. _/ı-3

4»

-ı

v 2 , \ A /

^

u,

. 2 ,

'i'

O - 1 Un

u,

u.

'2 > A.-2 v 2 j V-2 v 2 y

'İL'

v 2 y

t/,

_zı-3 £/,

2

\ *• y

a. ^

fl-4

t/.

_n-5 " ^ - 4 V-2 v 2 y £/, _n-3 A 7ı-2 \ *• ) -1 2 v 2 / \ *• j

t/,

a

An-2

2 J

'n-2 v 2 j O - 1 (3.3.8) -i

şeklinde yazılır. Şimdi de T ters matrisi bulalım.

H

^ / i "\

T~x ters matrisinin/ sütununu — T~x =—(rlr2...Tn) ile gösterelim ve

ve T , -2ö

»->-\ i r y

X [ U ( 2 \ \ * / + 2Ü " / * I o * J + XSÜ K-*Vn-,-l ı «-;-:| 2 I 2

h.

2

h.

2

i l

2 21/ _{n - y - 2} , j=\,n-2i (3.3.9) T*-ı =

r _

2

^

- 2

- 2

- 2

-X _n-2 T_ =

- 2

-A

- 2

-4

- 2

- 2 . 1 y (3.3.10)

20

7 - 1

n

*JJ±

+m

*L

% hW4

t2 2

-Vi

'/M

*W4

'i

2

2 ^ l f l

+

^

^y^j+^^ı ^

2

^

¥HT)

2t/

v ^ y

^ V K ^

-V4

'4

N >2<

fi

2

+4K

'n-3 M

+W

'n-2 \

<waV

+ 2 ^ V

-2 - 4

~\ -2

-2 .-4

-4 -2

% l -2 -4-,

•2a

PL

v * y 1 1 1 (3.3.11)

olarak yazabiliriz. (3.3,8) ve (3.3.11) uygulanarak keyfî tek mertebe

n (n = 2p + \}p e N) (3.2.1) matrisinin T dönüşüm matrisi ve tersi bulunmuş olur.

r 7 \ Örneğin, n=3 için \ = - 1 , Ut

K

v 2 , = 1 ve T =

f

-1

0

V

U

0

0

-1

1

1

1

)

f

V

1 1 1^ - 1 0 1 0 - 1 1

3

(A,+2)t/0 1 e i *s

_A

v 2 , v 2 ; - 2 - • * . 1

- A

- 2

1

J

/ _ 1 ~ 3 V - 2 1 ^ 1 - 2 1 1 olur.

H=\5ıçın, ^ = 2 0 0 3 — = - a , /Lj=-2cos— = 6; a = 2cos—, o = 2 c o s — ;

c/.

';o

= M = 1,3; t/, z' o N V ^ ^ X, \* J = 4 , / = 1 , 3 ; t/3

2J

z' 1 "\ = a, U, *, v 2 ; = -6 ve T = r i ~s £/,

4

t/.

-ı

u.

v 2 y

u.

/" 1 "\ V 2 ; O - 1

u,

v 2 y V 2 ; - 1 f •} "\

u.

tfl

a

^ 3 V 2 y v 2 v 2 ; O - 1 1 a 1 -b 1 - a - a fc ö 1 a 1 -fc 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 - 1 1 5 f -i ^ ^ t /2

A

v 2 y / 1 \ + 2t/. 21/, J3I/. 2£/„

4

v 2 /

'i'

v 2 , ^ 1 ~\

+W

C + 2U, ^ v 2 y v 2 , v 2 ;

'i'

v 2y f 1 "\ + ^ t /c 1

4

\ A /

(A +2)C/,

U+2)t/,

(^ + 2)C/, 1 r 1 "\ 2 v 2 ;

4

v 2 ; v 2 , V A /

\u

{ r 1 \ _\ + 2İ7, 2Ur

W

0 2Ur v 2 y

'V

v 2 , v 2 , + ^C/2 + 2£A

A

v2

"i

v 2

'V

v 2 ;

'V

v 2y - 2

- A

- 2 1 -2 - 2 1 —b —b a ~2 a a -b -b a -2 a a ~b -2 -b —b a a —b —2 1 1 1 1 1 elde edilir.

B' matrisini elde edelim.

Tmn i. satırını L,\f = 1,«) ile gösterirsek (bkz (3.3.8)),

ve

r =

ü, =

AT

"AT:

A¥

"AT

AT-"AT

y . * - 4 (-1 TJ I -Jn-4 U n-l-2 U i-\ « / . - M 2 n-2

L 2

, / = !,«-2;

iT = - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 TT -0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 1 (3.3.13)

(burada T sembolü matrisin transpozudur).

B' =TJlT~l ve j' = diag(\lXX>xi>->K-2>K-2>K) ifadelerinden

H-V*,-4

f 1 > \ V ^ / / 1 \ r i ~\

4

4

4

4

2C/

_»->-2

2

^ 3 / 0 "\ v 2 / \ * S r i ^ ^

v 2 ,

+v,-.

6

v 2 ;

v 2 „

A' _{>ı-2 ^ ^ - ; - 2} \-2 \-* J

+ 2U„

X n-2

M.

n-2 IV n-j-2 Sı-2 + V2^ - 1 v 2 y

\

2 ,

A'

24

%UM f i \

x

_x

+ 4^-,-=

V ^ J y 2 y W_j_s 2U„.j.2 r -i \

2

f 1 \ 2 + 2 ^ _ , v ^ y \ *• ; 1

%u

M r i > _A3 \ *• ) W„_j_2 \ * J

2

v 2 ; + 2Uj_, \ *• J y 2 y + ^ . - , - 2 ^ i ~s v 2 y 21/ n-j-2 f i ^ v * y Z' 1 \ + A3t/._, ^ 3 v 2 y (3.3.14)

+ ... + İ ^„

2

t/

M v 2 , V2^ - y - 2 Sı-2 v 2 j r -j Y + 2C/,,, X n-2 \ Z /

+ 4,-2^-,-2

X

V/ı-2 \ ^ J Wn_j_2 \-2 \ * J + K-ıUjs r -ı N n-2 X v 2 j + —, ı,y = l , H - 2 ; 1 J'.0«-ı> « ' "-1 « - 2 A ; -2A( - 2 A : „2 -A/ + 1 A n- 2 A

1

n

1

TÎ ...

Ku

ı-l

V

+ A,'+,C/„ _-ı-2

*)l

\*) • u;j

2A&-.

1

_2A

\ _{+ A '} + ,^ _ «

.2)

*-J>

j-1 f A ^ A/>-2

i 2 J

+ A

v

.2.

£t>

. B-l-2 A n- 2

i 2 j,

A' + -*-, i = l , n - 2 ; (3.3.15) \B!} =-LnXfri ^ Hn-\)J n "-1 i

( 1 \

X?U \k]

+2

^j(k

n-j-2 \ 2 J r 1 -s ^ v 2 y # - 2 ^ - , - 2 \-2 \ *• J + 2AL2^y-, S>-2 V A / A' + - * - , y = l,/ı-2; (3.3.16) n n - 2 ^ -A _•n-2 -2A'. _n-2 V ^ J r -t N ]/+! ^ M

4

v 2 , + 2 ^ - , - ; <" i N

A

V * / f 1 N v 2 ; f 1 ~N

# ' I /

W

İ

+

2^„_,_

2

İ

v 2y ] W « :2I / M An-2 \ 2 J + 2lJ n_2Un_i_2 \-2 \ * J % (3.3.17)

26

K=V'r,

f 1 N

24£/„-;-J^W

l

î/,-

l \ ^ / f 1 "\

4

^ 3 v 2 / K*S ^[.2U„_J_2 + %IUJ_, ^ y ^ j '•n-l , 1J+1

+ W-.

v 2 y

X-+ - i , y = l,»-2;

Al

(3.3.18) (3.3.19)

A'

{*<} =~L

n

J'r

n

^ = I ( r + A<

+

' + ...+>£) A; (3.3.20)

l i(n-\),n n *• -'"•(""O;

{*'] =Ii,/r„={B'}

l Jnn ^ " " l J (/ı-l),(n-l) olur. (3.3.14)-(3.3.22) ifadelerini 1 J

y « « s

^ - 1 \ A - I •+2üy-. -*2*-l

+£/„_,-2

V , ^ - , - 2 -\zA-l n-i-2 2U. 2 \k-\ n-j-2

+Wy-ı

\k-\

, ij = \,n\

(3.3.21) (3.3.22) (3.3.23)

şeklinde yazabiliriz. Burada Xx (i = 1,3,5,...,«), 5 matrisinin ((3.2.3) de tanımlanan)

öz değerleri n = 2p + l(p e N), B matrisinin mertebesi ve Uk(x) ikinci tür fc.

(3.2.1) deki B matrisi ve onun kuvvetleri sirkülant matrislerdir [5]. B matrisinin /. kuvveti B1 =TJ'T~] = -n a, a2 a3 a2 ax a1 a2 a3 aA a„^ a. a. 2 2 2 an-l an+l an+\ 2 2 2 OL.,' « + [ "/>-1 " n - 3 a. a. 2 2 2 û4 û3 û2 a5 aA a3 a2 a2 ax ; (3.3.24)

olarak yazılır. Burada

«y(0 ={*'}„»

n-l

=4+2XM

*=1 ^lk-\

t/

n-J-2 ^ 2 * - l + £/ \ *• J j-l ^2k-\ V ^ J

u

n - 3 \ *• J) f i N +

2£/,_,

^ A -^ ı >\

+ ^

v * y Kk- U _n-j-2 \ * J ^ f c - 1 \ *• JJ j = l w + l (3.3.25) •" i ~\

(V.

^7k+ n-\ \ * J = 1, k -1, şeklinde değerlendirilir.)

(3.3.25) daki form göz önüne alınıp basitleştirilirse

^ 2 A - l + 2 U _n-j-7 ^2k-v 2 , + U ^lk~\ y-ı rt-3 K 2 , U = 2 ^ ( 1 \ K 2 j + U _n-3 v 2 ,

t/

n - j - 2 v 2 y j ^ 2 * - l v * y

, , «-1 .

1

« + ı

(3.3.26)

28

Tn (x) = cos rcarccosx —1 < x < 1 (3.3.27)

şeklinde ikinci tür n. derece Chebyshev polinomudur[7]. k ve j nin gösterdiği değerler ile (3.3.26) bağıntısını ispatlayabiliriz.

Örneğin; k=l ve j=l ( n tek ve Xt ,(3.2.3) den belirli) ise ;

\ f-= 2T0

elde ede riz.

3

A

{2}

+ ^„-3

M

[ 2 )

+ 2U

0

M

L 2 J

+ ^„-3

M

.2. ^ „ - 3

. 2 J

_(3.3.28)

/iU.fiU

(0l Y j = uoi Y j = ıdir(bkz.(3.3.6)ve(3.3.27)).

M*

yi bulalım. (3.3.6) ve (3.2.3) göz önüne alınarak,

f - 3

A,

A 7T

sin(n — 2) arccos-1 sin(w — 2) arccos(— cos—)

2 n_ A,

sın arccos — 2

7T.

sin arccos(- cos—)

n i n ( n - 2 ) sın arccos cos 7T TT n sın

(„-2)

7T TC sın arccos cos 7T 7T S i n 7T sın rm — 27T — ( » - 2 ) 7 r " _{sın «7T — 7T H} 27Tİ « —sın 2TT tVK-\

« J

. 7T sın — sın— . 7T /i . 7T sın— yazarız. H tek sayı olduğundan

f 1 \ U _n-3

4

s ı n — 2 sın—cos — ;r v ^ y n «. '* — = 2 C 0 S — = sın— sın— n n

-K

elde ederiz. r i \

_K

r 1 "\ = C/r V ^ ^

A

V 2 ; z' i ~\

= 1 ve U n-3 \ = -A, değerleri (3.3.28) de yerine konulduğunda,

v ^ y

bu ifadenin sağ ve sol uzantısı ortaya çıkar. (3.3.26) bağıntısı k=l J=l, tek n ve X, değerleri için (3.2.3) aracılığıyla tanımlanmıştır.

Benzer şekilde k vej nin bütün diğer değerleri için bağıntı kontrol edilebilir. Böylece (3.3.26) daki ifade (3.3.25) de yerine yazılırsa:

n-l

«,« = A:+2XX_,:r

y

_,

\k-\

k=\

/ = !.

« + 1

(3.3.29)

değeri elde edilir.

'X ^

(3.3.29) da TM -*• = 7\_,(l) = l

v 2y

j = l, n-l ifadesi yerine konulursa:

n+l

«y(0 = £4i-ı^-|î)-ı

\ * - 1

A=l

y = ı,

»+ı

(3.3.30)

ifadesini elde ederiz (Burada /., Xi öz değerinin katilliğidir).

(3.3.30) daki toplamın yönü değiştirilirse;

2 üAl) = 2J^—2*+2Ai-2Jfc+27}-l

(X

k=l 'n-2k+2

; = ı ,

»+ı

(3.3.31) elde edilir.

30 3.4. Sayısal Hesaplamalar

Elde edilen ifadeleri kullanarak n inci mertebeden (3.2.1) deki matrisin keyfi pozitif tamsayı kuvvetlerini bulabiliriz.

Örneğin, n=3 ise, J = diag(Xx, A,, Xy) = diag{-1,-1,2),

B'-1 -3 fax a2 a^ a-, a, a, \a2 aı a\ j dir. ûl

(/) = 2

/

+ 2(-iy,

Û2

(/) = 2

/

-(-l)

/

w=J ise cr = 2cos— , o = 2 c o s — olmak uzere 5 5

ve

J' = diag{\9\t\,\,\) = diag(-a,a,b,b,2)

a]{l) = 2'+2bl+2{-a)!

a2(l) = 2l+blb + {-a)l{-a)

a,(l) = 2l+bl(-a) + {-a)lb

olmak üzere 5 ax a2 a3 a3 a2 a2 ci\ a2 az a3 a3 a2 Ü, a2 a3 cr3 #3 a2 a{ a2 a2 <3 3 o3 a2 al dir.

4. GENEL SONUÇ VE ÖNERİLER

Sirkülant matrisler için Özel bir durum olan, bazı fark ve diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan tek mertebeli simetrik sirkülant matrislerin keyfi pozitif kuvvetlerinin bir tipinin hesaplanması incelenmiştir.

Öncelikle konuyla ilgili temel kavramlar hatırlatılıp kullanılacak olan sirkülant matrislerin özelliklerine bakılmıştır.

Simetrik sirkülant matrislerin n = 2p + \(p e N) mertebeden bir tipi için /(/ e N) inci kuvvetinin bir genel ifadesini elde etmek için ilk olarak öz değer ve öz vektörler bulunmuştur. Bunlar yardımıyla dönüşüm matrisi ve Jordan formu bulunarak matrisin /. kuvveti elde edilmiştir. Buradaki dönüşüm matrisi Chebyshev Polinomu kullanılarak elde edilmiştir.

32

5. KAYNAKLAR

[I] Abramowitz, M., Stegun, I. A., eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972

[2] Accettlla, C. J., Del Coorso,G. M. And Manzini, G., Inversion of two level circulant matrices över Zp, Linear Algebra and Applications 366 (2003) 5-23

[3] Aganval, R.P., Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, 1992 [4] Bozkurt, D., Türen, B., Lineer Cebir, Sel-Ün Vakfı Yayınları.

[5] Davis, P.J., Circulant Matrices, John Wiley and Sons, New York, 1979.

[6] El-Sayet, S. M., A direct method for solving circulant tridiagonal block systems of linear equations, Applied Mathematics and Computation, 2004

[7] Fox, L., Parke J.B., Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis, Oxford University Press, London, 1968.

[8] Geller, D., Kra, I., Popescu, S. and Simanca, S., On Circulant Matrices, http:\\www.math.sunysb.edu\: sorin\eprints\circulant.pdf.

[9] Gray, R. M., Teoplitz and Circulant Matrices: A review, (2002), http:\\ee.stanford.edu\: gray\teopIitz.pdf.

[10] Horn, P., Johson, Ch., Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1986. [II] Horn R.A., Johnson, C.R, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York, 1985.

[12] James, G., Advanced Modern Engineering Mathematics, Addison-Wesley,1994 [13] Karner, H., Schneid, J. Ueberhuber,C.W., Spectral decomposition of real circulant matrices, Linear Algebra and Applications 367 (2003) 301-311.

[14] Lehmer, D. H., Some Properties of Circulants, Journal of Num. Theory 5(1): (1973)43-54

[15] Lind. D. H., A Fibonacci Circulant, The Fibonacci Quarterly December (1970): 449-455.

[16] Maze, G., Partitions modulo n and circulant matrices, Discrete Mathematics 287 (2004) 77-84

[17] Oturanç, G., Kurnaz, A., Kiriş, M. E., Sayısal Analiz,Dizgi Ofset Matbaacılık, 2003.

[18] Pollock, D. S. G., Circulant Matrices and Time-Series Analysis, Int. J. Math. Educ. Scı. Technol. 33(2): (2002) 213-230

[19] Resta, G. and Sburlati, G., On the number of different permanents of some sparse (0,l)-circulant matrices, Linear Algebra and Applications 375 (2003) 197-209 [20] Rimas, J., Investigation of the dynamics of mutually synchronized systems, Telecommunications and Radio Engineering 32(1997) 68-79.

[21] Rimas, J., On computing of arbitrary positive integer powers for one type of symmetric odd order circulant matrices-l,Appl. Math. Comput,in press.

[22] Rimas, J., On computing of arbitrary positive integer powers for one type of symmetric odd order circulant matrices-2, Appl. Math. Comput,in press.

[23] Rojo, O., Rojo, H., Some results on symmetric circulant matrices and on symmetric centrosymmetric matrices, Linear Algebra and Applications, 2004.

[24] Solak, S., On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers, Applied Mathematics and Computation, 2004

[25] Taşçı, D., Lineer Cebir, SEL-ÜN Vakfı Yayınları,Konya, 1999.

[26] Zellini, P., On Some Properties of Circulant Matrices, Lin. Alg. Appl. 26: (1979)31-43

[27] Zellini, P. and Mach, A., On Some Theorems on Circulant Matrices, Lin. Alg. Appl. 41: (1981) 137-149.

[28] Zhang, F., Matrix Theory Basic Results and Techniques, Springer-Verlag, New York.

[29] Zhang, S., Jiang, Z. and Liu, S., An application of the GrÖbner basis in computation for the minimal polynomials and inverses of block circulant matrices, Linear Algebra and Applications 347(2002) 101-114