• Sonuç bulunamadı

Hemen hemen yarı kosimplektik manifoldların geometrisi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Hemen hemen yarı kosimplektik manifoldların geometrisi"

Copied!
65
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

HEMEN HEMEN YARI KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLARIN

GEOMETRİSİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

RAMAZAN TAŞ

KASIM 2015

(2)

Ramazan TAŞ tarafından hazırlanan Hemen Hemen Yarı Kosimplektik Manifoldların Geometrisi isimli lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 19.10.2015 tarih ve 2015/934 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Üye (Tez Danışmanı) Prof. Dr. Nesip AKTAN Necmettin Erbakan Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA Düzce Üniversitesi

Üye

Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ Afyon Kocatepe Üniversitesi

Tezin Savunulduğu Tarih : 05.11.2015

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Ramazan TAŞ’ın Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onaylamıştır.

Prof. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(3)

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

05 Kasım 2015 Ramazan TAŞ

(4)
(5)

i

TEŞEKKÜR

Yüksek Lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanması süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. Nesip AKTAN’ a en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme, eşime ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(6)

ii

İÇİNDEKİLER

Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI ... i

İÇİNDEKİLER... ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ ... iii

ÖZET ... 1

ABSTRACT ... 2

EXTENDED ABSTRACT ... 3

1. GİRİŞ ... 6

2. MATERYAL VE YÖNTEM ... 8

2.1.YARIRİEMANNMANİFOLDLAR ... 8

2.2.HEMENHEMENDEĞMEMANİFOLDLAR ... 14

2.3.ALTMANİFOLDLAR ... 19

3. BULGULAR VE TARTIŞMA ... 22

3.1.HEMENHEMENYARIKOSİMPLEKTİKMANİFOLDLAR ... 22

3.2.TENSÖRALANLARIVEÖZELLİKLERİ ... 37

3.3.EĞRİLİKÖZELLİKLERİ ... 40

3.4.PARALELTENSÖRALANLARI ... 44

4. ÖRNEKLER ... 51

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 54

KAYNAKLAR ... 55

(7)

iii

SİMGELER VE KISALTMALAR

Değme dağılımı

Divergens operatörü

Hemen hemen kompleks yapı İkinci temel form

Levi-Civita konneksiyonu

Lie türev operatörü üzerindeki vektör alanları uzayı

üzerindeki tanjant demeti

Nijenhuis tensör alanı

Riemann eğrilik tensörü

(8)

1

ÖZET

HEMEN HEMEN YARI KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLARIN GEOMETRİSİ

Ramazan TAŞ Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. Nesip AKTAN Kasım 2015, 61 sayfa

Bu tez çalışmasında hemen hemen yarı kosimplektik manifoldlar olarak adlandırılan değme manifoldların geniş bir sınıfı ele alınmıştır. Öncelikle hemen hemen yarı kosimplektik manifoldların genel eğrilik özelliklerine yer verilerek bu tip manifoldlara ait önemli bağıntılar elde edilmiştir. Ayrıca çeşitli tensör özellikleri altında bu manifoldların yapısı incelenmiştir.

Anahtar sözcükler: Değme manifold, hemen hemen kosimplektik manifold, hemen

(9)

2

ABSTRACT

THE GEOMETRY OF ALMOST PSEUDO COSYMPLECTIC MANIFOLDS

Ramazan TAŞ Düzce University

Institute of Science and Technology, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. Nesip Aktan November 2015, 61 pages

In this thesis, we consider a wide subclass for almost contact metric manifolds which is called almost pseudo cosymplectic manifolds. Firstly, we give the concept of almost pseudo cosymplectic manifolds and state general curvature properties. We derive several important formulas on almost pseudo cosymplectic manifolds. These formulas enable us to find the geometrical properties of almost pseudo cosymplectic manifolds. Also, several tensor conditions are studied for such type of manifolds.

Key Words: Almost Cosymplectic Manifold, Almost Pseudo Cosymplectic Manifold,

(10)

3

EXTENDED ABSTRACT

THE GEOMETRY OF ALMOST PSEUDO COSYMPLECTIC MANIFOLDS

Ramazan TAŞ Duzce University

Institute of Science and Technology, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. Nesip Aktan November 2015, 61 pages

1. INTRODUCTION

The class of almost contact metric manifolds which are called almost cosymplectic manifolds , were firstly introduced by Kenmotsu. These manifolds appear for the first time in (Kenmotsu 1972), where they have been locally classified. Kenmotsu defined a structure closely related to the warped product which was characterized by tensor equations.

Contact metric structures have been intensively studied by several authors. The recent monograph of (Blair 2002) gives a wide and detailed overview of the results obtained in this framework. Contact pseudo-metric structures , where η is a contact one-form and g a pseudo-Riemannian metric associated to it, are a natural generalization of contact metric structures. Contact structures equipped with pseudo-Riemannian metrics were first introduced and studied by (Takahashi 1969), who focused on the Sasakian case. Since then, up to our knowledge, most of the research devoted to the topic was concerned with Sasakian pseudo-Riemannian metrics (see for instance Duggal 1990; Bejancu and Duggal 1993). On the other hand, a systematic study of general contact pseudo-metric manifolds has undertaken by (Calvaruso and Perrone 2010). The authors provide the technical apparatus needed for further investigations, prove some general classification results and exhibit several explicit examples.

In (Boeckx 2006), the authors showed that a locally symmetric contact metric space is either Sasakian with the constant curvature or locally isometric to the unit tangent

(11)

4

sphere bundle of an Euclidean space. Following these works, Cho et all investigated the -parallelity of the torsion tensor of a contact metric manifold . The tensor field was firstly introduced by Hamilton and Chern. They defined by the torsion tensor field for any vector fields and on as follows:

( )

Cho showed that a non-Sasakian contact metric manifold with the -parallel torsion tensor is a -contact manifold.

2. MATERIAL AND METHODS:

In this section, we introduce some fundamental concept of manifold theory. In the first subsection, we give pseudo-Riemannian manifolds and some basic properties. In the second subsection, we introduce some fundamental concept of pseudo almost contact metric manifolds. In the second subsection, we give submanifolds.

3. RESULTS AND DISCUSSIONS:

In this section, we define a wide subclass of almost contact metric manifolds which is called almost pseudo cosymplectic manifold. Firstly, we give the concept of almost pseudo cosymplectic manifolds and state general curvature properties. We derive several important formulas on almost pseudo cosymplectic manifolds. These formulas enable us to find the geometrical properties of almost pseudo cosymplectic manifolds with -parallel tensors and . We also examine the tensor field on . Then we give some propositions and theorems on η-parallelity, cyclic parallelity, Codazzi condition and -cyclic parallelity. Finally, we give two extensive examples on almost pseudo cosymplectic manifolds.

4. CONCLUSION AND OUTLOOK:

In this study, we have a generalization of almost cosymplectic manifolds and some curvature properties. Submanifolds of pseudo almost cosymplectic manifolds and

(12)

5

(13)

6

1. GİRİŞ

Manifold teorisinde hemen hemen değme manifoldları çok önemli bir yere sahiptir. -boyutlu bir sınıfından diferensiyellenebilir manifoldunun tanjant demetlerinin grup yapısı tipine indirgenebiliyorsa ye hemen hemen değme manifold denir. İlk olarak 1959 yılında J. Gray tek boyutlu manifoldlar üzerinde yaptığı çalışmada yapısal grubunun bir indirgenmesiyle hemen hemen değme yapıları tanımlamıştır (Gray 1959). Buna göre, -boyutlu bir hemen hemen değme yapısı

denklemlerini sağlayan -tipli bir tensör alanı , bir vektör alanı ve bir 1- form olan ile oluşturulan üçlüsüyle ifade edilir. Daha sonra 1960 yılında Sasaki hemen hemen değme yapısı üzerine

eşitlikleriyle verilen uygun bir metriği tanımlayarak hemen hemen değme metrik yapıyı ifade etmiştir (Sasaki 1960). 1961 yılında Sasaki ve Hatakeyema hemen hemen değme manifoldlar için normallik şartının kompleks yapısının integrallenebilmesi olduğunu ispatlamıştır (Sasaki ve Hatakeyema 1961).

1969 yılında Goldberg ve Yano hemen hemen değme metrik manifoldlar üzerinde yeni bir karakterizasyon ve sınıflama ortaya koymuştur. Bu sınıflama kosimplektik manifold olarak adlandırılmıştır. (Goldberg ve Yano 1969). 2012 yılında Yıldırım ve Aktan hemen hemen değme yapılarını ele aldığı çalışmalarında hemen hemen kosimplektik

(14)

7

manifoldları genişleterek hemen hemen -kosimplektik manifoldları tanımlamışlardır. (Yıldırım ve Aktan 2012).

, -boyutlu bir hemen hemen değme yapısı ve

şartlarını sağlıyor ise bu manifoldlara hemen hemen kosimplektik manifold denir. Normallik koşulu altında ise kosimplektik manifold olarak adlandırılır.

İkinci bölümde, manifoldlar ve altmanifoldlar ile ilgili temel kavramlar tanıtılacaktır. Bu bölümün ilk kısmında, manifold teorisi ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. İlk kısım iki alt kısımdan oluşmaktadır. Birinci alt kısımda, Riemann manifoldları ve bazı temel özellikleri tanıtılmıştır. İkinci alt kısımda, hemen hemen değme metrik manifoldlar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir. İkinci kısımda, altmanifoldlar teorisi hakkında temel kavramlar tanıtılmıştır.

Üçüncü bölümde, hemen hemen yarı kosimplektik manifoldlar ile ilgili genel sonuçlar elde edilmiştir. Özellikle, paralel tensör alanlarını göz önüne alarak bu tür manifoldları ayrıntılı bir şekilde araştırılmıştır. Bu bölümün ilk kısmında, hemen hemen yarı kosimplektik yapılar tanıtılmıştır. İkinci kısımda, bazı özel tensör alanlarının temel özellikleri verilmiştir. Üçüncü kısımda, Riemann eğrilik tensörü özellikleri verilmiş hemen hemen kosimplektik ile ilgili temel özellikler genişletilmiştir. Son kısımda, bazı paralel tensör alanları ve tensörleri yardımıyla yeni sonuçlara ulaşılmıştır. Özellikle, bu kısımda tensör alanının -paralellik koşulu önemli yer kaplamaktadır.

(15)

8

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.1. YARI RİEMANN MANİFOLDLAR Tanım 2.1.1. V bir reel vektör uzayı olsun.

dönüşümü ve için,

özelliklerine sahip ise dönüşümüne reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.2. reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun.

ise simetrik bilineer formuna pozitif tanımlı, ise simetrik bilineer formuna negatif tanımlı, ise simetrik bilineer formuna pozitif yarı-tanımlı, ise simetrik bilineer formuna negatif yarı-tanımlı

denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.3. bir reel vektör uzayı ve , üzerinde simetrik bilineer form olsun. olmak üzere için

(16)

9

ise simetrik bilineer formuna üzerinde dejeneredir denir. Aksi durumda ye non-dejeneredir denir.

Buradan görülür ki , nin non-dejenere olması için gerek ve yeter şart için

olmasıdır (Duggal 1996).

Tanım 2.1.4. bir reel vektör uzayı ve , üzerinde simetrik bilineer form olsun. |

negatif tanımlı olacak şekildeki en büyük boyutlu altuzayının boyutuna simetrik bilineer formun indeksi denir ve ile gösterilir (O’Neill 1983).

Teorem 2.1.5. bir reel vektör uzayı ve üzerinde simetrik bilineer form olsun. Bu

durumda,

( )

olacak şekilde nin { } bazı vardır (Duggal 1996).

Tanım 2.1.6. reel vektör uzayı üzerinde non-dejenere simetrik bilineer forma reel vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpım (yarı-öklid metriği) denir. üzerindeki bir skalar çarpma ise ikilisine de skalar çarpım uzayı (yarı-öklid uzayı) denir. Eğer pozitif tanımlı ise o zaman bir iç çarpım (Öklid metriği) olur ve de Öklid uzay olarak adlandırılır. Eğer nin indeksi ise ye Lorentz (Minkowski) metriği ve yede Lorentz (Minkowski) uzayı denir. Eğer dejenere ise o zaman vektör uzayına ye göre lightlike (dejenere) vektör uzayı denir (Duggal 1996).

(17)

10

Teorem 2.1.7. bir yarı-öklid uzay ve da bu uzayın bir lightlike altuzayı olsun. Bu

durumda , boyunca uzayının bir quasi-ortonormal bazı vardır. (Duggal 1996).

Tanım 2.1.8. manifold olsun. noktasındaki tanjant uzay olmak üzere

|

( ) | ( ) ( )

biçiminde tanımlı sabit indeksli, simetrik, bilineer, non-dejenere tensör alanına üzerinde metrik tensör alanı denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.9. manifold olsun. , bir metrik tensörü ile donatılmışsa, ye yarı-Riemann manifoldu denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.10. Bir yarı-Riemann manifoldu üzerinde metrik tensörünün indeksine yarı-Riemann manifoldunun indeksi denir ve ile gösterilir.

Eğer indeks ise dir. Özel olarak, ise için | üzerinde pozitif tanımlı bir iç çarpım olduğundan, bir Riemann manifoldu olur. ve olması durumunda ise, ye bir Lorentz manifoldu denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.11. n-boyutlu manifold olsun. üzerinde

şeklinde tanımlı dönüşümüne boyutlu dağılım ve için ise vektör alanına da ye aittir denir. Eğer her noktası için de tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var ise dağılımına diferensiyellenebilir denir (Duggal 1996).

(18)

11

Tanım 2.1.12. bir diferensiyellenebilir manifold olsun ve de üzerinde herhangi bir tensör alanı olsun. Bu durumda ve X olmak üzere

ile tanımlanan diferensiyel operatörüne vektör alanına göre Lie türevi denir. Burada ,

[ ] şeklinde tanımlı bir dönüşümdür (Duggal 1996).

Teorem 2.1.13. bir diferensiyellenebilir manifold ve de manifold üzerinde tanımlı Lie türevi olsun. O zaman için

[ ]

üzerinde tipinde bir tensör alanı olmak üzere

( ) [ ] [ ] dir (Duggal 1996).

Tanım 2.1.14. bir n-boyutlu manifold ve , üzerinde -boyutlu bir dağılım olsun. Eğer için [ ] ise dağılımına involutivedir denir (Duggal 1996).

Tanım 2.1.15. { } üzerinde doğal koordinatlar olsun. ve ∑ üzerinde vektör alanları iseler

(19)

12

Tanım 2.1.16. bir manifold olsun. üzerindeki bir konneksiyonu

şartlarını sağlayan ve

şeklinde tanımlanan bir fonksiyondur (O’Neill 1983).

Teorem 2.1.17. Bir yarı-Riemann manifoldu üzerinde için

[ ]

olacak şekilde nin bir tek Levi-Civita konneksiyonu vardır ve bu konneksiyon

[ ] [ ] [ ] Koszul formülü ile karakterize edilir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.18. bir manifold ve , üzerinde bir lineer konneksiyon olsun. Eğer için

ise dağılımına paraleldir denir (O’Neill 1983).

Tanı . . 9. , Levi-Civita konneksiyonu olan bir yarı-Riemann manifoldu olsun. n

(20)

13

[ ]

biçiminde tanımlanan üzerinde tipindeki R fonksiyonuna nin Riemann eğrilik tensörü denir (O’Neill 1983).

Teorem 2.1.20. bir yarı-Riemann manifoldu ve , nin Riemann eğrilik tensörü

olsun. O zaman, n dir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.21. Eğer manifoldu sabit bir c eğrisine sahipse nin eğrilik tensörü n

{ } şeklindedir (O’Neill 1983).

Tanım2.1.22. bir yarı-Riemann manifold ve , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. { } nin bir ortonormal bazı olmak üzere

( ) ( ) ∑ veya ( ) { }

(21)

14

şeklinde tanımlı Ricci tensörüne yarı- Riemann manifoldunun Ricci eğrilik tensörü ve ( ) değerine de Ricci eğriliği denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.23. yarı-Riemann manifoldu ve , nin Riemann eğrilik tensörü olsun. { } nin bir ortonormal bazı olmak üzere

değerine yarı-Riemann manifoldunun skalar eğriliği denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.1.24. bir yarı-Riemann manifold ve de nin eğrilik tensörü olsun. Eğer, ise ye lokal flat ve ise ye lokal simetrik uzay denir. (Hacısalihoğlu H. H. 2003).

2.2. HEMEN HEMEN DEĞME MANİFOLDLAR

Bu kısımda, hemen hemen değme manifoldlar ile ilgili temel kavramlar verilmiştir.

Tanım 2.2.1. , -boyutlu bir manifold da üzerinde, sırasıyla, - tipinde bir tensör alanı, bir vektör alanı ve 1-form olsunlar. Eğer için, üzerinde herhangi bir vektör alanı olmak üzere,

.

eşitlikleri sağlanıyorsa o zaman, üçlüsüne üzerinde bir hemen hemen

değme yapı ve bu yapı ile birlikte ye bir hemen hemen değme manifold denir

(Yano ve Kon 1984).

Tanım 2.2.2. , hemen hemen değme yapısı ile verilsin. üzerinde

(22)

15

.

şartlarını sağlıyorsa metriğine üzerinde hemen hemen değme

metrik, yapısına hemen hemen değme metrik ve yapısı ile

ye de hemen hemen değme metrik manifold denir (Yano ve Kon 1984).

Sonuç 2.2.1. , hemen hemen değme metrik manifold verilsin. Bu durumda,

. dir (Yano ve Kon 1984).

Tanım 2.2.3. üzerinde bir hemen hemen değme manifold olmak üzere,

. şeklinde tanımlı dönüşümüne hemen hemen değme manifoldun temel 2-formu denir (Yano ve Kon 1984).

Tanım 2.2.4. bir Riemann manifold ve nin lokal korrdinatları olsun. √| | ise ye üzerindeki bir hacim form denir. Bu arada , üzerindeki kotanjant uzayda 1-formlar ve | | , üzerindeki metrik tensörün determinantıdır (Spivak 1965).

Tanım 2.2.5. bir Riemann manifoldu olsun. üzerinde bir hacim form mevcut ise ye yönlendirilebilirdir denir (Gallot, Hulin, Lafontaine 2004).

Sonuç 2.2.2. temel 2-formu ters simetrik ve Tanım 2.2.3. yardımıyla dır. Böylece Tanım 2.2.5. gereğince hemen hemen değme manifoldu yönlendirilebilirdir (Gonzalez 1990).

Tanım 2.2.6. bir manifold olsun. Eğer 1-form ise, keyfi vektör alanları için,

(23)

16

( ) ( ) [ ] dır. Eğer 2-form ise,

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

dır (Yano ve Kon 1984).

Önerme 2.2.1. bir hemen hemen değme manifold ve Riemann

konneksiyonu olsun. Keyfi vektör alanları için,

eşitlikleri geçerlidir. Burada vektör alanları üzerinden alınan devirli toplamı göstermektedir.

Ayrıca, { } olmak üzere, nin açık bir alt cümlesi

üzerinde tanımlanan bir lokal ortonormal baz olsun. O zaman, operatörü

∑{( ) ( ) }

şeklinde elde edilir (Gonzalez 1990).

Tanım 2.2.7. bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer nin noktası için olacak şekilde tanjant uzayının bir endomorfizması mevcut ise, o zaman üzerindeki tensör alanına bir hemen hemen kompleks yapı adı verilir. Bir

(24)

17

hemen hemen kompleks yapısı ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks manifold denir (Yano ve Kon 1984).

üzerinde bir hemen hemen pseudo yapısı ile verilsin. O zaman, üzerinde herhangi bir vektör alanı

şeklinde tanımlanır. Burada X, manifolduna teğet bir vektör alanı; nin bir koordinatı ve üzerinde bir fonksiyondur.

üzerinde bir hemen hemen değme manifold olsun. Böylece üzerindeki bir hemen hemen kompleks yapı

(

) ( . )

biçiminde tanımlanır. Kolayca elde edilir (Yano ve Kon 1984).

Tanım.2.2.8. bir diferensiyellenebilir manifold olmak üzere , üzerinde tipli bir tensör alanı olsun. için,

[ ] [ ] [ ] [ ]

şeklinde tanımlı tensör alanına tensör alanına göre Nijenhuis torsiyon tensörü denir (Yano ve Kon 1984).

üzerinde bir hemen hemen kompleks yapı olsun. Tanım 2.2.8 yardımıyla üzerinde tensör alanına Nijenhuis torsiyon tensörü

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] şeklindedir (Yano ve Kon 1984).

(25)

18

Tanım 2.2.9. hemen hemen kompleks manifold olsun. O zaman, ise

dönüşümüne integrallenebilirdir denir (Yano ve Kon 1984).

Tanım 2.2.10. Eğer üzerindeki bir hemen hemen kompleks yapısı integrallenebilir ise hemen hemen değme yapısına normaldir denir (Yano ve Kon 1984).

Önerme 2.2.2. üzerinde hemen hemen değme yapısının normal olması

için gerek ve yeter koşul

eşitliğinin sağlanmasıdır. Burada tensör alanına göre Nijenhuis torsiyon tensörüdür (Yano ve Kon 1984).

Tanım 2.2.11. hemen hemen kompleks manifold olsun. üzerinde

vektör alanları için,

şeklinde verilen Riemann metriğine Hermit metriği denir. Hermit metriği ile verilen bir hemen hemen kompleks manifolda bir hemen hemen Hermit manifoldu denir. Hermit metriği ile verilen kompleks manifolda ise Hermit manifoldu denir (Blair 2002).

Tanım 2.2.12. bir hemen hemen Hermit manifoldu olsun. vektör

alanları için,

eşitliği ile tanımlanan 2-formuna hemen hemen Hermit yapısının temel 2-formu denir. Eğer ise yapısına hemen hemen Kaehler manifoldu denir. Bir Kaehler yapı ile verilen kompleks manifolda Kaehler manifoldu denir. Bir Hermit manifoldunun bir Kaehler manifold olması için gerek ve yeter koşul eşitliğinin sağlanmasıdır (Blair 2002).

(26)

19

2.3. ALT MANİFOLDLAR

Bu kısımda, altmanifoldlar teorisinin hakkında bazı temel kavramlar verilmiştir.

Tanım 2.3.1. ̃ Riemann manifoldunun bir alt cümlesi olsun. ̃ üzerindeki metrik

̃ olmak üzere,

̃ dahil etme dönüşümü için noktasındaki

|

̃

| ̃

türev ve ek dönüşümleri için,

( ( ̃ )) ( ) ̃ ( ( ) ( ))

eşitliği ile tanımlanan ̃ dönüşümü üzerinde bir metrik ise ye ̃ nın bir Riemann altmanifoldu denir (O’Neill 1983).

Tanım 2.3.2. ̃ ̃ Riemann manifoldunun bir Riemann altmanifoldu

olsun. ̃ sırasıyla, ̃ manifoldlarının Levi-Civita konneksiyonları

olsun. O halde, Gauss ve Weingarten eşitlikleri, sırasıyla,

̃ . ̃ .

şeklinde tanımlıdır. Burada ye nin ikinci temel formu denir ve , üzerinde bir normal vektör alanıdır. Eğer için, ise manifolduna total geodeziktir denir (Chen 1973).

(27)

20

İkinci temel form şekil operatörü arasında baza göre yazılım

Eşitliği şeklindedir. Burada altmanifolduna dik olan vektör alanları, de altmanifoldunun normal konneksiyonudur. Kolayca

( ) eşitliği elde edilir (Chen 1973).

Tanım 2.3.3. ̃ ̃ Riemann manifoldunun bir alt manifoldu olsun. O

zaman,

şeklinde tanımlanan vektör alanına nin ortalama eğrilik vektör alanı denir. Eğer ise altmanifolduna minimaldir denir. ortalama eğrilik vektörünün normuna nin ortalama eğriliği denir. Burada { } üzerinde bir lokal ortonormal bazdır (O’Neill 1983).

Tanım 2.3.4. ̃ ̃ Riemann manifoldunun bir altmanifoldu olsun.

olmak üzere,

eşitliği sağlanıyorsa ye total umbilik altmanifold denir (Chen 1973).

Tanım 2.3.5. ̃ ̃ Riemann manifoldunun bir alt manifoldu olsun.

ikinci temel formu için, nin yönündeki kovaryant türevi ̅ ( )

(28)

21

şeklinde tanımlıdır. ̅ -tipli bir tensör alanıdır ve altmanifoldunun üçüncü temel formu olarak adlandırılır. Ayrıca, ̅ ya Van der Waerden-Bortolotti konneksiyonu adı verilir. Eğer ̅ ise altmanifoldu paralel ikinci temel formludur denir (Chen 1973).

ikinci temel formunun ̅ ikinci kovaryant türevi ̅ ̅ ̅

( ̅ ) ̅

̅ ̅ ̅ . şeklinde tanımlıdır (Chen 1973).

Tanım 2.3.6. ̃ ̃ Riemann manifoldunun bir alt manifoldu olsun. O

zaman,

[ ] .

şeklinde tanımlı dönüşümüne nin normal yöndeki eğrilik tensörü denir (O’Neill 1983).

. . eşitlikleri yardımıyla

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ .

(29)

22

3. BULGULAR VE TARTIŞMA

Bu bölümde, hemen hemen değme metrik manifoldların geniş bir alt sınıfı olan hemen hemen yarı kosimplektik manifoldlar incelenmiştir. Bu bölüm orijinal sonuçlar içermektedir.

3.1. HEMEN HEMEN YARI KOSİMPLEKTİK MANİFOLDLAR

Bu kısımda öncelikle hemen hemen yarı kosimplektik yapılar tanıtılarak, gerekli literatür bilgisi verilmiştir.

Tanım 2.2.2. , hemen hemen değme yapısı ile verilsin. üzerinde

bir yarı Riemann metriği

şartlarını sağlıyorsa yarı Riemann metriğine üzerinde hemen hemen değme

yarı Riemann metrik, yapısına hemen hemen yarı değme metrik yapı ve yapısı ile ye de hemen hemen yarı değme metrik manifold denir.

Burada dir. (Calvaruso and Perrone 2010).

Tanım 3.1.1. -boyutlu bir hemen hemen yarı değme metrik manifold olsun. üzerinde

eşitlikleri sağlanıyorsa ye hemen hemen yarı kosimplektik manifold denir.

Yardımcı Teorem 3.1.1. manifoldunun bir hemen hemen değme

(30)

23

( ) . ( )

dir. Burada tensör alanları, sırasıyla,

.

.

dir (Calvaruso and Perrone 2010).

Önerme 3.1.1. bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

O zaman, için, ( ) . . . . . .9 . dir.

İspat ve : Koszul formülünden

(31)

24 yazılabilir. Bu eşitlikte alınırsa

( ) ( )

eşitliği elde edilir.

. . ile verilen de yazılırsa;

[ ] [ ]

ve

[ ]

yazılır. Bu değerler kullanılarak

( ) ( ) ( ( ) ) [( ) ] (( ) ) (( ) ) (( ) ) (( ) ) [ ] [ ] ( ( ) [ ]) (( ) ) [ ] [ ] (( ) )

elde edilir. Eğer ( ) olarak tanımlanır ise simetrik bir operatör olup, ( )

(32)

25 dir ve buradan

bulunur.

. eşitliğinde alınır ise;

olduğu kolayca görülür. Ayrıca

eşitliği göz önüne alınır ve Koszul formülünde alınır ise;

(( ) ) ( ) yazılabilir. olduğundan dır. için, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

(33)

26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

yazılabilir. Dolayısı ile . eşitliği elde edilir. için dır. Dolayısı ile . ispat edilmiş olur. ve eşitlikleri . ’den açıktır.

Yardımcı Teorem 3.1.2. bir hemen hemen değme manifold olsun.

(34)

27

( ) ( ) dir (Blair 2002).

Önerme 3.1.2. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

O zaman, için Levi-Civita konneksiyonu

( ) .

koşulunu sağlar.

İspat: . eşitliğinden yararlanılarak;

( ) ( )

yazılabilir. Bu eşitlikte yazılırsa;

(( ) ) ( )

bulunur. Elde edilen her iki eşitlik toplanırsa;

( ( ) ) ( ) ⁄ ( ) . elde edilir. toplanacak olursa [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

(35)

28 ifadelerinden [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )

(36)

29 ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dır. Yani;

(37)

30 olarak bulunur. Ayrıca

( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =0 dır. Bu ifadeler . eşitliğinde yerine yazılırsa

( ( ) ) olarak bulunur. Bu son eşitlikten

(38)

31

( )

dir. Bu ise . in ispatıdır.

Sonuç: , hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. için, ( ) . dir. İspat: için, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafına eklenirse;

( ) ( )

olup . eşitliği kullanılarak,

( )

(39)

32

( )

bulunur. Bu ise ispatı tamamlar.

Önerme 3.1.3. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

O zaman için,

( ) ( ) ( ) ( ) . )

eşitliği sağlanır.

İspat: Riemann eğrilik tensörü simetrik olduğundan dır. . eşitliğinin kullanılmasıyla ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) elde edilir. ( ( ) ) ( ( ) )

şeklinde tanımlanır ise

( ( ) ) ( ( ) )

(40)

33 yazılabilir. + ( ( ) ) – ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) olacağından . şeklinde elde edilir. Öte yandan

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) (( ) ) ( ( ) ) ( ) (( ) ) (3.16) ve (3.17)

(41)

34 (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Olarak elde edilen . . ve . ifadelerinin yanı sıra . . eşitlikleri de ’de yerine yazılırsa

( ( ) ) ( (( ) ) ( ) ) (( ) ) ( ( ) ( ) ) (( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) (( ) ) ( ( ) )

(42)

35 ( ( ) ) (( ) ) [ ] (3.19) eşitliği elde edilir. Bu ifadeler kullanılarak . eşitliği

şeklinde yeniden yazılarak

ve

eşitlikleri göz önüne alınarak ispat tamamlanır.

Tanım 3.1.2. bir manifold olsun. Keyfi bir noktası için nin -boyutlu altuzayı ve nin bir koleksiyonu { } olmak üzere, noktasını ihtiva eden nin bir açık altcümlesi üzerinde sınıfından lineer bağımsız { } vektör alanları nun her noktasında hala nin bir bazı oluyorsa ye üzerinde bir -boyutlu dağılım ve { } cümlesine üzerinde için bir lokal baz denir (Sharpe 1997).

Tanım 3.1.3. bir manifold ve nin bir -boyutlu dağılımı olsun. nin bir haritası olmak üzere, { } cümlesi dağılımı için bir baz oluşturuyorsa haritasına dağılımına göre düzlemseldir denir. Eğer nin her

(43)

36

noktasında tanımlı olan dağılımı için bir düzlemsel harita bulunabiliyorsa dağılımına integrallenebilirdir denir (Sharpe 1997).

Tanım 3.1.4. bir manifold ve nin bir -boyutlu bağlantılı altmanifoldu nin bir -boyutlu dağılımı olsun. Her için, ise ye nin -boyutlu integral altmanifoldu denir (Sharpe 1997).

Önerme 3.1.4. bir manifold ve üzerinde bir 1-form olsun. nin her noktası için sabit ise üzerinde bir -boyutlu dağılımdır (Sharpe 1997).

Teorem 3.1.1. (Frobenius Teoremi) bir manifold ve nin bir -boyutlu dağılımı olsun. dağılımının integrallenebilmesi için gerek ve yeter koşul her için [ ] olmasıdır (Sharpe 1997).

Önerme 3.1.5. bir manifold ve üzerinde bir 1-form olsun. nin her noktası için sabit olsun. Böylece

{ } dağılımının integrallenebilmesi için gerek ve yeter koşul için olmasıdır (Sharpe 1997).

Uyarı 3.1.1. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

için,

{ }

ve { } olmak üzere, olduğundan Önerme 3.1.4. gereğince nin bir -boyutlu dağılımı olur. Diğer yandan, bir hemen hemen yarı

kosimplektik manifold olduğundan olup, Önerme 3.1.5. yardımıyla dağılımı integrallenebilirdir. Böylece dağılımına -boyutlu integral altmanifoldları karşılık gelir.

Önerme 3.1.6. , değme dağılımının integral altmanifoldları Kaehler

olacak şekilde bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. O zaman, nin

(44)

37

İspat: Herhangi bir vektör alanı olmak üzere, eşitliği yazılır. Bu nedenle, yapının normal olduğunu kabul edersek için, elde edilir. olduğundan bulunur ve . ifadesi eşitliğini gerektirir. . ifadesi yardımıyla eğer ise dır. O halde, keyfi vektör alanları için dır. hemen hemen kompleks yapı olsun. Bu durumda her için dır. Böylece dağılımının integral manifoldları Kaehler yapıdadır.

Sonuç 3.1.1. 3-boyutlu bir hemen hemen yarı kosimplektik manifoldu şartını sağlıyorsa bir kosimplektik manifolddur.

İspat: Boyutun 3 olması durumunda, dağılımının integral altmanifoldları boyutu olan hemen hemen Kaehler yapıdadırlar. Böylece Önerme 3.1.8. den dolayı ispat tamamlanır.

3.2. TENSÖR ALANLARI VE ÖZELLİKLERİ

Bu kısımda belli tensör koşulları sağlayan tensör alanları incelenmiştir.

Yardımcı Teorem 3.2.1. bir hemen hemen yarı kosimplektik

manifold olsun. üzerinde -tipli tensör alanı, şeklinde tanımlansın. Bu durumda, için,

simetriktir,

(45)

38 eşitlikleri sağlanır.

İspat: üzerinde herhangi vektör alanları için,

dır. Böylece simetriktir. Özel olarak, için elde edilir. Benzer olarak, tensör alanının simetrik olduğu kolayca elde edilir.

tensör alanının tanımı göz önüne alındığında ve yazılabilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa

eşitliği bulunur.

tensör alanının tanımından

ve dir. . eşitliğinden

(46)

39 elde edilir. eşitliğinden yararlanılırsa; ve

şeklinde bulunur. Böylece yukarıdaki iki eşitlik taraf tarafa toplanarak elde edilir. ∑ ∑ ∑ ∑

(47)

40 ∑ ∑ elde edilir.

Önerme 3.2.2. Bir hemen hemen yarı kosimplektik manifoldun dağılımının integral altmanifoldlarının Kaehler yapıda olması için gerek ve yeter koşul için, . dır. Burada her vektör alanı için, dır.

İspat: (Pastore ve Falcitelli 2006) önerme 2.2 s=1 için kolayca görülür.

3.3. EĞRİLİK ÖZELLİKLERİ

Bu kısımda, Riemann eğrilik tensörü yardımıyla bazı eğrilik özellikleri incelenmiştir

Önerme 3.3.1. bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Bu durumda için,

.

eşitliği sağlanır.

İspat: Riemann eğrilik tensörü tanımından

[ ] elde edilir.

(48)

41

Önerme 3.3.2. bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Bu durum ( ) . ( ) . . ( ) . . eşitlikleri geçerlidir.

İspat : . eşitliğinde yazılır ise;

( ) olarak bulunur. Bu ifadede yer alan

( ) değerleri ve ( ) ( )

(49)

42

( ) ( )

şeklinde olacaktır. Bu değerler yerine yazılır ise

( ) olarak bulunur. olsun, ( ) ( ) (( ) ) ve (( ) ) (( ) ) ( ( ) ) olacağından ( ) dır.

. ifadesinde yerine alınırsa

( ) . eşitliği bulunur. . ve . ifadeleri göz önüne alındığında

( ) [ ( ) ] ( ) ( )

(50)

43 olup dir. . ifadesinden ∑ ∑ ∑ ∑[ ] ∑[ (( ) ) (( ) )] ∑ (( ) ) [ ]

şeklinde . eşitliği elde edilir. . eşitliğinde alnırsa

[ ] dır. Bu ifadede yer alan ( ) hesaplanırsa

(51)

44 ( ) ∑ (( ) ) ∑ [ ] ∑

olacağından . eşitliğinde alınarak

( ) elde edilir. Böylece . eşitliği ispatlanmış olur.

3.4. PARALEL TENSÖR ALANLARI

Bu kısımda, hemen hemen yarı kosimplektik manifoldlar üzerinde -paralellik, Kodazzi, devirli paralellik ve devirli -paralellik tensör koşulları incelenmiştir.

Tanım 3.4.1. , bir hemen hemen değme metrik olsun. { } olmak üzere

( ) . koşulu sağlıyorsa ye -paraleldir denir (Boeckx 2005).

Tanım 3.4.2. bir Riemann manifoldu olsun. üzerinde herhangi simetrik - tipli tensör alanı olmak üzere, herhangi vektör alanları için

. 9 ise ye Kodazzi tensör alanı denir (Blair 2002).

(52)

45

Tanım 3.4.3. bir Riemann manifoldu olsun. üzerinde herhangi simetrik - tipli tensör alanı olmak üzere, herhangi vektör alanları için

( ) ( ) ( ) . eşitliği sağlanıyorsa ye devirli paralel tensör alanı denir (Cho 2008).

Tanım 3.4.4. , bir hemen hemen değme metrik olsun.

{ } olmak üzere üzerindeki herhangi simetrik - tipli

tensör alanı

( ) ( ) ( ) . eşitliği sağlanıyorsa ye devirli -paralel tensör alanı denir (Cho 2008).

Tanım 3.4.5. , bir değme metrik manifold olsun. vektör

alanları için,

( )

eşitliği ile verilen tensör alanına torsiyon tensör alanı denir (Cho 2008). Bu tanımlamaya göre aşağıdaki önerme verilebilir.

Önerme 3.4.1. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

O zaman, manifoldu için torsiyon tensör alanı

. dır.

İspat: tensör alanının tanımından üzerindeki tüm vektör alanları için,

(53)

46

elde edilir. . kullanılarak istenen sonuca ulaşılır.

Önerme 3.4.2. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold

olsun. Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, için

[ ] [ ]

. eşitliği sağlanır. Burada . . dır.

İspat: tensör alanı -paralel olsun. Her vektör alanı için

alınırsa ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) )

eşitliği elde edilir. Yukarıdaki eşitlik sadeleşirse

(54)

47

denklemi elde edilir. . . . denklemleri yardımıyla . Eşitliği bulunur.

Önerme 3.4.3. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, her vektör alanları için,

[ ]

[ ] . eşitliği geçerlidir.

İspat: tensör alanının -paralel olsun. Bu durumda

( ) (( ) ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) )

denklemi yazılır. Bu denklem düzenlenirse

( ) (( ) ) ( ) elde edilir. . . denklemleri kullanılarak

( ) [ ]

( )

(55)

48

Önerme 3.4.4. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, her vektör alanları için,

. dir.

İspat: . denklemi kullanılarak

[ ] [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] elde edilir. . ifadesinden ispat tamamlanır.

Böylece Ricci operatörü ile ilgili aşağıdaki sonucu verebiliriz.

Teorem 3.4.3. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, vektör alanı üzerinde

operatörünün özvektörüdür.

İspat: { }, tanjant uzayın herhangi bir noktasındaki ortonormal bazı olmak üzere . eşitliğinden

∑ ∑ [ ]

olup bu eşitlikte alınarak

(56)

49

. dır. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 3.4.4. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Eğer

veya tensör alanları Kodazzi şartlarını sağlıyorsa bu durumda, vektör alanları için 'nin integral alt manifoldları total umbuliktir.

İspat: tensör alanı Kodazzi şartını sağlasın. O halde, vektör alanları için, ( ) ( ) . eşitliği sağlanır. . eşitliğinden

yazılır. seçilerek

. denklemine ulaşılır. . eşitliğinin her iki tarafına uygulanıp, . eşitliği kullanıldığında

elde edilir. Sonuç olarak, dır. Bu nedenle, Önerme 3.1.6 ve Önerme 3.1.7 den ispat tamamlanacaktır.

Önerme 3.4.5. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun. Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, vektör alanları için,

( ) ( ) . 9 denklemi geçerlidir.

(57)

50

İspat: Hipotez gereğince tüm tanjant vektörleri için, ( )

eşitliği sağlanır. tensör alanının tanımı kullanılır ve olarak seçilirse ( ) ( ) . . . ( ) ( ) . denklemleri elde edilir. . , . denklemleri . ve . eşitliklerinde yerine yazılarak, bu iki denklem birbirine eşitlenirse . 9 denklemi bulunur.

Teorem 3.4.5. , bir hemen hemen yarı kosimplektik manifold olsun.

Eğer tensör alanı -paralel ise o zaman, vektör alanı üzerinde Ricci

operatörünün özvektörüdür.

İspat: . denklemi kullanılarak

( )

( ) . yazılır. . . . eşitlikleri göz önüne alındığında

bulunur.

(58)

51

4. ÖRNEKLER

Örnek 4.1. in standart koordinatlarını ve { . . . { } . . . { } | } tarafından tanımlanan

-boyutlu manifoldunu alalım. nin bir bazı ( √ ) ( √ ) şeklinde olsun. Eğer

∑ ( ( √ ) ( √ ) ) ( ) √ √ ( ) √ √

olarak alınırsa üzerindeki hemen hemen değme metrik yapısının sağlandığı görülür. Üstelik koşulunun sağlandığı aşikârdır. Öte yandan,

(59)

52

( ) dışındaki tüm ler sıfırdır, bu nedenle

olup, dış türevi dır. Sonuç olarak, nin Nijenhuis torsiyon tensörünün sıfır olmaması nedeniyle, manifold hemen hemen yarı kosimplektik manifolddur.

Örnek 4.2. in standart koordinatlarını ve { . . . { } . . . { } | } tarafından tanımlanan

-boyutlu manifoldunu alalım. nin bir bazı

( √ ) ( √ ) şeklinde olsun. Eğer

∑ ( ( √ ) ( √ ) ) ( ) √ √ ( ) √ √

olarak alınırsa, üzerindeki hemen hemen değme metrik yapısının sağlandığı görülür. Üstelik koşulunun sağlandığı aşikârdır. Öte yandan

( ) dışındaki tüm ler sıfırdır. Bu nedenle

(60)

53

nin Nijenhuis torsiyon tensörünün sıfır olması nedeniyle, manifold yarı kosimplektik manifolddur.

(61)

54

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER

Bu çalışmada değme manifoldların yeni bir sınıfı olan hemen hemen yarı kosimplektik manifoldlar tanımlanarak bu manifoldların bazı temel özellikleri elde edilmiştir. Bu yapılan çalışmalar sonunda hemen hemen yarı kosimplektik - uzayları için genel bir sınıflandırma problemi açıktır. Ayrıca, Ricci simetrik, Ricci yarı-simetrik, yarı simetrik gibi özel tensör şartları altında hem hemen hemen yarı kosimplektik hem de - uzayları için ilginç sonuçlar bulunabilir. Bundan başka ve eşitlikleri bu tür uzaylar için açık uçlu problemlerdir.

(62)

55

KAYNAKLAR

Alsancak D., Hemen hemen yarı Kenmotsu manifoldlar, Yüksek Lisans Tezi, Düzce Üniversitesi, (2013).

Bejancu A., Duggal K.L., Real hypersurfaces of indefinite Kaehler manifolds, Int, J.

Math. Math. Sci. 16 (1993) 545-556.

Blair D.E., Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds, Progress in Mathematics, 203. Birkhauser, Boston., (2002).

Boeckx E., Cho J.T., η-parallel contact metric spaces, Differential Geometry and its

Application, 22 (2005) 275-285.

Boeckx E., Cho J.T., Locally symmetric contact metric manifolds, Monatshefte für

Mathematik, 148(4) (2006) 269-281.

Calvaruso G., Perrone D., Contact pseudo-metric manifolds, Differential Geometry and

its Applications, 28 (2010) 615-634.

Chen B., Geometry of submanifolds, New York, M. Dekker, (1973).

Chern S., Hamilton S., On Riemannian Metrics Adapted Too Three-Dimensional Contact Manifolds, Lecture Notes in Math (1985) 279-305

Chinea D., Gonzalez C., A classification of almost contact metric manifolds, Annali

di Matematica pura ed applicata, 156(4) (1990) 15-36.

Cho J.T., Sharma R., Ghosh A., Contact metric manifolds with η -parallel torsion tensör, Annals of Global Analysis and Geometry, 34(3) (2008) 287-299.

Duggal K.L., Space time manifolds and contact structures, Int. J. Math. Math. Sci. 13 (1990) 545-554.

Duggal K.L., Bejancu, A. , Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifold and

(63)

56

Falcitelli M., Pastore A.M., Almost Kenmotsu f-manifolds, Mediterranean Journal Of

Mathematics 3 (2006) 549-564.

Gallot S., Hulin D., Lafontaine J., Riemann Geometry, 3rd ed., ΧVI, 322 p., Springer Universitext, ISBN: 9783540204930, (2004).

Goldberg S.I. , Yano K., Integrability Of Almost Cosymplectic Structures, Pacific

Journal Of Mathematics, 31(2) (1969).

Gray J., Some global properties of contact structures, Annals of Mathematics, 69 (1959) 421-450.

Hacısalihoğlu H. H. , Ekmekçi N. , Tensör Geometri, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, (2003).

Janssens D., Vanhecke L., Almost contact structures and curvature tensors, Kodai Math.

J., 4(1981) 1-27.

Kenmotsu K., A class of contact Riemannian manifold, Tohoku Math. Journal 24 (1972) 93-103.

Kim T. W., Pak H. K., Canonical foliations of certain classes of almost contact metric structures, Acta Math. Sinica, Eng. Ser. Aug., 21(4) (2005) 841-846.

O’neill B., Semi Riemannian Geometry, A. Press, London, (1983).

Olszak Z., On almost cosymplectic manifolds, Kodai Math, 4(2) (1981) 239-250.

Sasaki S, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I, Tohoku Math. J., 2 (1960) 459-476.

Sasaki S., Hatakeyema Y., On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II, Tohoku Math. J., 2 (1961) 281-294.

Sharpe R.W., Differential Geometry, Cartan’s generalization of Klein’s Erlangen program, Graduate Texts in Mathematics 166, Springer, (1997).

Spivak M., Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts, W.A. Benjamin, Inc., ISBN:97800805390219, (1965).

Takahashi T., Sasakian manifold with pseudo-Riemannian metrics, Tohoku Math. J. , 21 (1969) 271-290.

(64)

57

Yano K., Kon M., Structures on manifolds, Series in Pure Mathematics, 3.World Scientific Publishing Corp., Singapore, (1984).

Yıldırım M., f-Kosimplektik manifoldlar, Yüksek Lisans Tezi, Düzce Üniversitesi,

(65)

58

ÖZGEÇMİŞ

Kişisel Bilgiler

Soyadı, adı : TAŞ, Ramazan Uyruğu : T.C.

Doğum tarihi ve yeri : 01.06.1985 / Düzce Telefon : 553 297 97 35

E-posta : tas-ramazan@hotmail.com

Eğitim

Derece Eğitim Birimi Mezuniyet tarihi

Yüksek Lisans Düzce Üniversitesi/Matematik ABD 2015 Lisans Gazi Üniversitesi/Matematik Bölümü 2008 Lise Düzce Lisesi (Y.D.A.) 2003 İş Deneyimi

Yıl Yer Görev

2008-2010 Anahtar Dershaneleri(Ankara) Matematik Öğrt. 2010-2011 Jale Tezer Dershanesi(Ankara) Matematik Öğrt. 2012-2013 Sarıdere - Kemeryanı İlköğretim O. Matematik Öğrt. 2013-Devam Düzce Defterdarlığı Muh. Md. V.H.K.İ.

Yabancı Dil

Referanslar

Benzer Belgeler

Elde edilen sonuçlardan incelenen agrega ocaklarına ilişkin agregaların granülometrik dağılımının uygun olmadığı, diğer özelliklerinin ise beton üretimi

By using the new Wired-AND Current-Mode Logic (WCML) circuit technique in CMOS technology, low- noise digital circuits can be designed, and they can be mixed with the high

During the 1905 revolution, a nationalist-revolutionary movement emerged among the Crimean Tatar intelligentsia, whose members were called the "Young Tatars."

Şekil 3.1 Taguchi kalite kontrol sistemi. Tibial komponent için tasarım parametreleri. Ansys mühendislik gerilmeleri analizi montaj tasarımı [62]... Polietilen insert

Tablo Tde de gi\rlildiigii gibi IiI' oram arttlk<;a borulardaki su kaybulda azalma olmaktadlL $ekil 2'de IiI' oranlanna bagh olarak beton borularda meydana gelen su

Injury in the muscularis mucosa was detected in 2 rats in group C and in 5 rats in group M. In the model group rats, neutrophils and necrosis accompanied by tissue damage

Bu tez çalıĢması, son zamanlarda üzerinde oldukça fazla araĢtırma yapılan ve sektörel olarak çok geniĢ bir yelpazede kullanım alanı bulunan kompozit metal

Araştırmada hastalar için kullanılan kişisel bilgi formu; hastaların sosyo-demografik özelliklerini (yaş, cinsiyet, eğitim durumu, medeni durum, çalışma durumu,