Noise enhanced detection in multiple-access environments

(1)

Çoklu Eris¸imli Ortamlarda G ür ült ü ile Gelis¸tirilmis¸ Sezim

Noise Enhanced Detection in Multiple-Access Environments

Suat Bayram, Sinan Gezici

Elektrik ve Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü

Bilkent ¨

Universitesi, Bilkent, Ankara 06800, T¨urkiye

{sbayram,gezici}@ee.bilkent.edu.tr

¨

Ozetc¸e

Stokastik rezonans (SR) diye adlandırılan etki sayesinde, optimal olmayan sezicilerin performansını belirli kos¸ullar altında gürültü ekleyerek gelis¸tirmek mümkündür. Bu çalıs¸mada, SR olayının çoklu eris¸imli ortamlarda çalıs¸an sezi-ciler üzerine etkileri incelenmektedir. ˙Ilk olarak, sezicinin hata oranının azaltılabilmesi ve azaltılamaması durumları için gerek kos¸ullar elde edilmektedir. Daha sonra, gürültü ile gelis¸tirilen seziciler analiz edilmekte ve elde edilebilecek en yüksek perfor-mans artıs¸ı üzerine bir sınır çıkarılmaktadır. Sayısal örnekler sunularak kuramsal çalıs¸malar desteklenmektedir.

Abstract

Under certain conditions, addition of noise can enhance performance of suboptimal detectors, which is called the stochastic resonance (SR) effect. In this paper, the effects of SR are investigated for conventional detectors in the presence of multiple-access interference. First, conditions under which probability of error performance of the detector can or can-not be improved are obtained. Then, performance of noise enhanced detectors are analyzed, and an upper bound on the amount of performance improvement that can be obtained via SR is derived. Numerical examples are presented to support the theoretical analysis.

1. Giris¸

Stokastik rezonans (SR), do˘grusal olmayan sistemlere gürültü eklenerek sistem çıktılarının gelis¸tirilmesine verilen addır [1]-[3]. Sistem çıktılarının gelis¸mesi, sinyalin gürültüye oranının artması s¸eklinde olabildi˘gi gibi [1]-[3], sezicinin hata olasılı˘gının azalması [4] veya sezim olasılı˘gının artması [5], [6] s¸eklinde de tanımlanabilmektedir. SR etkisi ilk olarak [1] nu-maralı çalıs¸mada incelenmis¸, daha sonra çes¸itli optik, manyetik ve elektronik sistemlere uygulanmıs¸tır [3].

Son zamanlarda SR etkisi, hipotez testi problemlerinde de incelenmektedir [4]-[12]. Sisteme eklenen SR gürültüsü sayesinde, optimal olmayan sezicilerin performansını artırmak bazı durumlarda mümkün olmaktadır. [5] numaralı çalıs¸mada, optimal olmayan bir sezicinin performansının sisteme beyaz Gauss gürültüsü eklenerek artırılabilece˘gi bir örnek aracılı˘gıyla gösterilmis¸tir. Genel olarak, SR gürültüsü kullanarak sezici-lerin performansını Bayes [4] ve Neyman Pearson (NP) [5], [6] gibi ölçütlere göre artırmak mümkün olabilmektedir. [6] numaralı çalıs¸mada, optimal olmayan sezicilerin, NP ölçütüne göre, SR gürültüsü kullanılarak, gelis¸tirilip gelis¸tirilemeyece˘gi

kuramsal olarak çalıs¸ılmıs¸tır. Ayrıca eklenmesi gereken opti-mal SR gürültüsünün istatistiksel da˘gılımı belirlenmis¸tir. Bayes ölçütüne göre SR etkilerinin incelendi˘gi ilk çalıs¸ma ise [4] nu-maralı makalede gerçekles¸tirilmis¸ ve optimal SR gürültüsünün sabit bir de˘ger oldu˘gu ispatlanmıs¸tır. Ancak Bayes ölçütüne göre SR gürültüsünün hangi durumlarda sistem performansını artırabildi˘gi ve bu artıs¸ın sınırları henüz çalıs¸ılmamıs¸tır.

Bu makalede SR gürültüsünün çoklu eris¸imli ortamlarda çalıs¸an is¸aret sezicileri üzerine etkileri incelenmektedir. Bayes ölçütünün bir versiyonu olan en düs¸ük hata olasılı˘gı ölçütü baz

alınarak, SR gürültüsünün sezici performansını gelis¸tirebilece˘gi ve gelis¸tiremeyece˘gi durumlar çalıs¸ılmaktadır. Ayrıca SR gürültüsü ile gelis¸tirilmis¸ sezicilerin performans analizleri sunulmakta ve SR gürültüsü ile elde edilebilecek kazanımların sınırları belirlenmektedir. Ayrıca sayısal örnekler vasıtasıyla, elde edilen kuramsal çalıs¸malar desteklenmektedir.

2. Sinyal Modeli ve Optimal SR G ür ült üs ü

Toplam K + 1 kullanıcının bulundu˘gu bir çoklu eris¸imli or-tamda elde edilen ölçüm, as¸a˘gıdaki s¸ekilde ifade edilmektedir.

x = A₀b₀+

K

:

k=1

A_kb_k+ n (1) Burada bi ∈ {±1} kullanıcılardan gelen bitleri, Ai

de˘gerleri kullanıcı sinyallerinin genliklerini ve n ise ölçüm gürültüsünü simgelemektedir. Kullanıcılardan gelen bitlerin +1 ve −1 de˘gerlerini alma olasılıkları es¸it kabul edilmekte ve çalıs¸manın genelli˘gini bozmayacak s¸ekilde A0 > 0 varsayımı yapılmaktadır. Ayrıca ölçüm gürültüsü, sıfır ortalamaya ve σ standart sapmasına sahip bir Gauss gürültüsü olarak modellen-mekte ve n∼ N (0, σ2) s¸eklinde ifade edilmektedir.

Sezicinin amacı, denklem (1)’deki ölçümü kullanarak, b0 bitini tahmin etmektir. Burada di˘ger K kullanıcıdan gelen sinyaller, çoklu eris¸im giris¸imi (“multiple-access interference”, MAI) olus¸turmaktadır [13]. Bu çalıs¸mada, düs¸ük karmas¸ıklı˘gı sebebiyle sıkça tercih edilen is¸aret sezicisi (“sign detector”) kul-lanılmaktadır [14].

φ(x) =

1 , x ≥ 0

0 , x < 0 (2)

Bazı durumlarda denklem (1)’deki ölçüme gürültü ek-lenerek, sezici performansını artırmak mümkün olabilmektedir. Eklenen gürültü c ile ifade edildi˘ginde, as¸a˘gıdaki yeni ölçüm elde edilmektedir.

y = x + c (3)

(2)

Burada c, SR gürültüsü diye de adlandırılmaktadır.

Herhangi bir sezicinin hata oranını en aza indirmek için kullanılması gereken SR gürültüsünün sabit bir de˘ger oldu˘gu [4] numaralı çalıs¸mada ispanlanmaktadır. Bu optimal de˘ger as¸a˘gıdaki s¸ekilde hesaplanmaktadır.

c_opt= arg max

c

Z _∞

−∞

φ(y + c) [p_W(y − A) − p_W(y + A)] dy

(4) Burada W = PK_k=1Akbk+ n, sistemdeki toplam gürültüyü

simgelemekte ve pW(·) da bu gürültünün olasılık yo˘gunluk

fonksiyonunu ifade etmektedir. Gürültü n,N (0, σ2) s¸eklinde modellendi˘ginden dolayı, toplam gürültünün olasılık yo˘gunluk fonksiyonu as¸a˘gıdaki s¸ekilde elde edilmektedir.

p_W(t) = 1 2K X b∈{±1}K 1 √ 2π σexp 8 < : 1 2σ2 t− K X k=1 A_kb_k !29₌ ; (5) Bu ifadedeb vektörü, çoklu eris¸im giris¸imine sebep olan kul-lanıcılardan gelen tüm bitleri simgelemekte veb = [b1. . . bK]

s¸eklinde ifade edilmektedir. Her bir bit es¸it olasılıkla ±1 de˘gerlerini alabilece˘gi içinb vektörünün her muhtemel de˘geri 1/2K_{olasılıkla gözlemlenmektedir.}

Denklem (5)’te elde edilen olasılık yo˘gunluk fonksiyonu ve (2)’deki sezici, denklem (4)’teki ifadede kullanıldı˘gında, opti-mal SR gürültüsü için as¸a˘gıdaki formül elde edilebilir.

c_opt= arg max

c X b∈{±1}K " Q −c − A0− f(b) σ − Q −c + A0− f(b) σ # (6)

Bu ifadede f (b) =PK_k=1A_kb_kolarak tanımlanmıstır. Ayrıca

Q(x) = √1

2π R_∞

x e−t

2_/2

dt, Q fonksiyonunu ifade etmektedir.

Denklem (6)’da belirtilen optimal SR gürültüsü kul-lanıldı˘gında, [4] numaralı çalıs¸madaki sonuca göre, ortalama hata olasılı˘gı PSR= 1 2 − 1 2K+1 X b∈{±1}K " Q −copt− A0− f(b) σ − Q −copt+ A0− f(b) σ # (7) s¸eklinde ifade edilebilir. SR gürültüsünün kullanılmadı˘gı du-rumlarda ise ortalama hata oranı

Pconv= 1 2 − 1 2K+1 X b∈{±1}K " Q −A0− f(b) σ − Q A₀− f(b) σ # (8) olarak hesaplanmaktadır. E˘ger PSR < Pconv kos¸ulu sa˘glanıyorsa, sezici gelis¸tirilebilir (“improvable”) olarak nite-lenmekte, PSR = Pconv (copt = 0) durumunda ise sezici

gelis¸tirilemez (“non-improvable”) olarak sınıﬂandırılmaktadır.

Hangi kos¸ulun sa˘glanaca˘gı, MAI ve gürültü parametrelerine (A1, . . . , AKve σ) ve ana kullanıcının genli˘gine (A0) ba˘glıdır.

3. G ür ült ün ün Sezim Üzerine Etkileri

Bu bölümde, SR olayının MAI ve gürültülü ortamlarda çalıs¸an is¸aret sezicisi üzerine etkileri incelenmektedir. ˙Ilk olarak, sezicinin performansının gelis¸tirilebilece˘gi ve gelis¸tirilemeyece˘gi durumlar açıklanmakta ve daha sonra elde edilebilecek kazanımlar nicelenmektedir.

3.1. Gelis¸tirilebilme ve Gelis¸tirilememe Kos¸ulları

SR gürültüsünün sistemi gelis¸tirme imkanı oldu˘gu veya ol-madı˘gı durumların önceden bilinmesi, (6) numaralı den-klemdeki optimizasyon probleminin çözülmesine gerek olup ol-madı˘gına karar verilmesi açısından önem tas¸ımaktadır.

¨

Onerme 1: Denklem (1)’deki ölçüm modeli as¸a˘gıdaki

kos¸ulu sa˘gladı˘gında, denklem (2) ile ifade edilen is¸aret sezicisi gelis¸tirilebilir bir sezicidir.

X b∈{±1}K (A0+ f(b)) exp −(A0+ f(b))_2σ₂ 2 < 0 (9)

˙Ispat: Sezicinin gelis¸tirilebilir olması için c = 0 de˘gerinin, denklem (6)’nın çözümü olmaması gerekmektedir. Bunu sa˘glamak için bu denklemdeki ifadenin birinci ve ikinci türevlerinin c = 0’daki de˘gerleri kontrol edilebilir. Hesapla-malar yapıldı˘gında birinci türevin c = 0’daki de˘gerinin sıfır oldu˘gu bulunmaktadır.1 Bu durumda ikinci türevin c = 0’daki de˘gerinin pozitif olması, c = 0’ın denklem (6)’daki optimiza-syon problemi için bir (lokal) minimum de˘geri verece˘gini is-patlayacak ve copt = 0 sonucuna ulas¸ılmasını sa˘glayacaktır. Hesaplamalar sonucu ikinci türevin c = 0’daki de˘geri

2−K √ 2π σ3 X b∈{±1}K h − (A0+ f(b)) e−(A0+f(b))22σ2 − (A0− f(b)) e−(A0−f(b))22σ2 i (10) s¸eklinde elde edilmektedir. Denklemdeki toplama is¸lemi t¨um muhtemelb de˘gerleri ¨uzerinden yapıldı˘gından ve f(−b) = P_K

k=1Ak(−bk) = −f(b) oldu˘gundan, ¨onermede verilen

kos¸ul altında, (10)’daki ifadenin her zaman pozitif oldu ˘gu g¨osterilebilmektedir.

¨

Onerme 1’de sunulan sonuca göre, (9) numaralı den-klemdeki ifadenin negatif oldu˘gu durumlarda optimal SR gürültüsü hesaplanarak, sistem performansının artırılması sa˘glanabilir. Ote yandan,¨ sezicinin hangi durumlarda gelis¸tirilemeyece˘gini bilmek de sistemde SR gürültüsünün kul-lanılmasına gerek olmadı˘gını bilmek açından önemlidir.

¨

Onerme 2: Denklem (1)’deki ölçüm modelinde ana sinyalin genli˘gi, MAI teriminin alabilece˘gi en büyük de˘gerden küçük de˘gilse, yani

A₀≥

K

X

k=1

|Ak| (11)

kos¸ulu sa˘glanıyorsa, (2) ile ifade edilen is¸aret sezicisi gelis¸tirilemez bir sezicidir.

˙Ispat: Sezicinin gelis¸tirilemez oldu˘gu durumun ispatı ic¸in,

c = 0 de˘gerinin denklem (6)’daki optimizasyon probleminin

1_{Sayfa sınırlamasından dolayı hesaplamaların detayları}

sunulma-maktadır.

(3)

tek maksimum noktası oldu˘gu ispatlanacaktır. Bu optimizasyon probleminin birinci dereceden gerek kos¸ulu hesaplandı˘gında

: b∈{±1}K e−(c+A0+f(b))22σ2 − e−(c−A0−f(b))22σ2 = 0 (12) es¸itli˘gi elde edilmektedir. Onermedeki kos¸ul altında, A¨ 0 +

f (b) > 0 ve −A₀−f(b) < 0 ∀b es¸itsizlikleri sa˘glanmaktadır.

Bu durumda, c > 0 için (12) numaralı denklemde kös¸eli paran-tez içindeki ilk terim, ikinci terimden daima daha küçük ol-makta ve es¸itlik sa˘glanmaol-maktadır. Benzer s¸ekilde, c < 0 için ikinci terimler hep daha küçük olmaktadır. Es¸itli˘gin sa˘glandı˘gı tek senaryo ise c = 0 durumudur. Bu sonuca ilave olarak, (10) numaralı denklemden c = 0’daki türevin, önermedeki kos¸ul altında daima negatif oldu˘gu görülmektedir. Böylece copt= 0 sonucuna ulas¸ılmaktadır.

Yukarıdaki sonuçlara ek olarak, denklem (1)’deki Gauss gürültüsünün standart sapmasının çok büyük oldu˘gu durum-larda (σ → ∞), denklem (2)’deki sezicinin gelis¸tirilemez oldu˘gunu ispatlamak mümkündür.2 Di˘ger bir ifadeyle, gürültünün ortalama gücü, MAI terimlerine oranla çok büyük oldu˘gunda, SR gürültüsü kullanarak hata olasılı˘gını azaltmak mümkün de˘gildir.

3.2. G ür ült ü ile Gelis¸tirilmis¸ Sezicinin Performans Analizi Bu bölümde, SR gürültüsü kullanılmasının sezici perfor-mansına yapaca˘gı katkılar nicelenmektedir. ˙Ilk olarak, SR gürültüsü kullanan sezicinin performansının, ölçümdeki Gauss gürültüsünün standart sapması azaldıkça monoton olarak gelis¸ti˘gi ispatlanmaktadır.

¨

Onerme 3: Denklem (7)’deki hata olasılı˘gı, σ

parametre-sine g¨ore monoton artan bir fonksiyondur.

˙Ispat: Denklem (7)’deki hata olasılı˘gının σ’ya g¨ore t¨urevi alındı˘gında, birtakım is¸lemlerden sonra, as¸a˘gıdaki ifade elde edilmektedir. dPSR(σ) dσ = − 2−(K+1)_c opt √ 2π σ : b∈{±1}K [g(A0) − g(−A0)] +2√−(K+1) 2π σ2 : b∈{±1}K [h(A₀) − h(−A0)] (13) Bu ifadede g(z) = exp{−(copt + z + f(b))2/(2σ2)} ve

h(z) = (c_opt+z +f(b))g(z) olarak tanımlanmaktadır. Ayrıca c_opt , coptteriminin σ’ya g¨ore t¨urevini simgelemektedir.

Optimal SR gürültüsü copt, (12) numaralı denklemdeki kos¸ulu sa˘glayaca˘gı için, (13) numaralı denklemdeki birinci terim sıfıra es¸ittir. Benzer s¸ekilde, (6) numaralı denklemdeki ifadenin c’ye göre ikinci türevinin coptnoktasındaki de˘gerinin negatif olma kos¸ulu kullanılarak, (13) numaralı denklemdeki ik-inci terimin daima pozitif oldu˘gu gösterilebilir. Bu durumda

dPSR(σ)/dσ > 0 sonucu elde edilmektedir. ¨

Onerme 3’te elde edilen sonuç, SR gürültüsü kul-lanılmasının kazandırdı˘gı önemli özelliklerden biridir. SR gürültüsü kullanılmayan durumlarda, Gauss hatasının standart sapmasındaki azalmalar bazen hata oranının artmasına neden olabilmektedir (örne˘gin, S¸ekil 1’deki birinci senaryo). Hal-buki SR gürültüsü kullanıldı˘gında, standart sapmadaki azal-malar hiçbir zaman hata oranı artısına neden olmamaktadır.

Son olarak, sistemdeki temel hata kayna˘gının MAI oldu˘gu durumlarda, SR gürültüsünün sa˘glayaca˘gı en yüksek perfor-mans gelis¸im oranı as¸a˘gıdaki önermede hesaplanmaktadır.

2_{Sayfa sınırlamasından dolayı ispat sunulmamaktadır.}

¨

Onerme 4: Denklem (1)’deki ölçüm modelinde Gauss

gürültüsünün ihmal edildi˘gi durumlarda, SR gürültüsü kul-lanılarak elde edilebilecek en büyük gelis¸im oranı as¸a˘gıdaki s¸ekilde ifade edilmektedir.

max

A0,A1,...,AK

Pconv PSR

= 2 (14)

˙Ispat: Gauss ölçüm gürültüsünün ihmal edildi˘gi durum-larda, SR gürültüsü kullanmayan sezicinin hata olasılı˘gı, (8) numaralı denklemin σ → 0 de˘geri için as¸a˘gıdaki s¸ekilde elde edilebilir.3 Pconv= 1 2 − |Sconv_| 2K+1 (15) Sconv_{= { b ∈ {±1}}K _{: |f(b)| < A} 0} (16)

Burada|Sconv|, Sconvkümesindeki eleman sayısını ifade etmek-tedir. Benzer s¸ekilde, (7) numaralı denklemden σ→ 0 durumu için as¸a˘gıdaki ifade çıkarılabilir.

PSR= 1 2 − 1 2K+1max_c |S SR c | (17) SSR c = { b ∈ {±1}K : − A0− c < f(b) < A0− c} (18) (15)-(18) numaralı denklemlerde verilen hata olasılı˘gı ifadeleri, her bir SR gürültü de˘geri c’nin, [−A0, A0] aralı˘gını sa˘g ya da sol tarafa kaydırdı˘gını ve elde edilen [−A0 −

c, A₀ − c] aralı˘gında kalan MAI de˘gerlerinin (f(b)’lerin)

sayısına göre PSR de˘gerinin belirlendi˘gini göstermektedir. Bu nedenle, en yüksek gelis¸im oranının sa˘glanabilmesi için [−A0−c, A0−c] aralı˘gında, [−A0, A0] aralı˘gındaki tüm f(b) de˘gerlerinin yanı sıra, c’nin neden oldu˘gu kayma yönündeki tüm f (b) de˘gerlerinin de bulunması gerekmektedir. O du-rumda, [−A0, A0] aralı˘gındaki eleman sayısı 2Nfise, [−A0−

c, A₀− c] aralı˘gında 2N_f + (2K− 2N_f)/2 = 2K−1+ N_f

eleman bulunacaktır. (15) ve (17) numaralı denklemler kul-lanıldı˘gında ¨onermedeki sonuc¸ elde edilmektedir.

Pconv PSR = 12−22NK+1f 1 2−2K+11 (2K−1+ Nf) = 2 (19) ¨

Onerme 4’teki sonuca göre, sistemdeki temel hata kayna˘gının MAI oldu˘gu durumlarda, SR gürültüsü kullanarak, is¸aret sezicisinin hata olasılı˘gını yarı yarıya azaltmak mümkün olmaktadır.

4. Sayısal Sonuc¸lar

Bu bölümde, önceki bölümdeki kuramsal çalıs¸maların sonuçları bazı sayısal örnekler üzerinde incelenmektedir. ˙Ilk senaryoda, toplam altı kullanıcılı bir sistem tasarlanmıs¸ ve A0 = 10,

A1 = 1.1, A2 = 1.5, A3 = 1.8, A4 = 2 ve A5 = 4 de˘gerleri kullanılmıs¸tır. S¸ekil 1’de, ölçüm hatasının standart sapması de˘gis¸tirilerek, SR gürültüsü kullanan ve kullanmayan (“orijinal”) seziciler için hata olasılıkları farklı A0/σ2de˘gerleri için çizdirilmis¸tir (Senaryo 1).

S¸ekilde görüldü˘gü üzere, SR gürültüsü sistem hata olasılı˘gını düs¸ük σ de˘gerleri için önemli derecede azaltabilmek-tedir. Yüksek σ de˘gerleri için ise sezici gelis¸tirilemez hale gelmektedir. Bu durumu daha detaylı incelemek amacıyla, Senaryo 1 için denklem (6)’daki optimal SR gürültü de˘geri ve denklem (9)’daki gelis¸tirilebilirlik fonksiyonu S¸ekil 2’de

3_A

0de˘gerinin t¨umf(b)’lerden farklı oldu˘gu varsayılmaktadır.

(4)

gösterilmektedir. Önerme 1’de belirtildi˘gi gibi, gelis¸tirilebilirlik fonksiyonu negatif oldu˘gunda, sezicinin gelis¸tirilmesi mümkün olmaktadır. Bu, aynı zamanda copt de˘gerinin sıfırdan farklı de˘gerler almasından da anlas¸ılmaktadır.

0 5 10 15 20 25 30 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 A/σ2 (dB) H at a O la sı lı˘gı Orijinal SR Senaryo 2 Senaryo 1

S¸ekil 1: SR gürültüsü kullanan ve kullanmayan sezicilerin

c¸es¸itli A/σ2de˘gerleri ic¸in hata olasılıkları. Senaryo 1’de A0= 10, Senaryo 2’de ise A0= 10.5 de˘gerleri kullanılmıs¸tır.

0 5 10 15 20 25 30 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 A/σ2 (dB) c_opt Denklem (9)

S¸ekil 2: S¸ekil 1’deki Senaryo 1 ic¸in denklem (6)’daki

opti-mal SR gürültü de˘geri ve denklem (9)’daki gelis¸tirilebilirlik fonksiyonunun A/σ2de˘gerlerine göre grafikleri.

S¸ekil 1’den çıkarılacak bas¸ka bir sonuç ise, SR gürültüsü kullanan sistemde hata olasılı˘gının, σ azaldıkça monoton olarak azalmasıdır ( Önerme 3). Ancak SR gürültüsü kul-lanılmayan durumlarda, bu monotonluk özelli˘gi kaybola-bilmektedir. Ayrıca, Senaryo 1 için elde edilen sonuçlar in-celendi˘ginde, A/σ2 = 30 dB noktasında, PSR = 0.0156 ve Pconv = 0.0312 de˘gerleri elde edilmekte ve Önerme 4’te bahsedilen üst sınıra ulas¸ılmaktadır (Pconv/PSR= 2).

Senaryo 2’de, yukarıda bahsedilen parametrelerden farklı olarak yalnızca A0 = 10.5 de˘geri kullanılmaktadır. S¸ekil 1’de görüldü˘gü üzere, bu durumda sezicinin gelis¸tirilmesi hiçbir σ de˘gerinde mümkün olmamaktadır. Bu durum Önerme 2’de be-lirtilen A0≥2K_k=1|Ak| kos¸ulunun bir sonucudur. Bu

senary-oda, tüm A/σ2de˘gerleri için copt = 0 elde edilmekte ve den-klem (9)’daki gelis¸tirilebilirlik fonksiyonu hiçbir zaman negatif olmamaktadır.

5. Sonuc¸lar

Bu makalede, SR olayının çoklu eris¸imli ortamlarda çalıs¸an is¸aret sezicilerinin performansına olan etkileri incelenmis¸tir. SR gürültüsünün sezici performansını gelis¸tirebilece˘gi ve gelis¸tiremeyece˘gi durumlar, sinyal genlikleri ve Gauss gürültü parametreleri cinsinden belirlenmis¸tir. Ayrıca, SR gürültüsünün seziciye kazandırdı˘gı monotonluk özelli˘gi ispatlanmıs¸ ve ölçümdeki standart sapmanın düs¸ük oldu˘gu durumlarda, SR gürültüsü sayesinde hata olasılı˘gının yarı yarıya azaltılabilece˘gi gösterilmis¸tir.

6. Kaynakc¸a

[1] R. Benzi, A. Sutera and A. Vulpiani, “The mechanism of stochastic resonance,” J. Phys. A: Math. General, vol. 14, pp. L453–L457, 1981.

[2] P. Makra and Z. Gingl, “Signal-to-noise ratio gain in non-dynamical and non-dynamical bistable stochastic resonators,”

Fluctuat. Noise Lett., vol. 2, no. 3, pp. L145–L153, 2002.

[3] L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, and F. Marchesoni, “Stochastic resonance,” Rev. Mod. Phys., vol. 70, no. 1, pp. 223–287, Jan. 1998.

[4] S. M. Kay, J. H. Michels, H. Chen, and P. K. Varshney, “Reducing probability of decision error using stochastic resonance,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 13, no. 11, pp. 695–698, Nov. 2006.

[5] S. M. Kay, “Can detectability be improved by adding noise?,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 7, no. 1, pp. 8–10, Jan. 2000.

[6] H. Chen, P. K. Varshney, S. M. Kay, and J. H. Michels, “Theory of the stochastic resonance effect in signal de-tection: Part I–Fixed detectors,” IEEE Trans. on Signal

Processing, vol. 55, no. 7, pp. 3172–3184, July 2007.

[7] H. Chen, P. K. Varshney, S. M. Kay, and J. H. Michels, “Theory of the stochastic resonance effect in signal detec-tion: Part II–Variable detectors,” IEEE Trans. on Signal

Processing, vol. 56, no. 10, pp. 5031–5041, Oct. 2007.

[8] H. Chen, P. K. Varshney, J. H. Michels, and S. M. Kay, “Approaching near optimal detection performance via stochastic resonance,” Proc. IEEE International

Con-ference on Acoustics, Speech and Signal Processing, vol.

3, May 14–19, 2006.

[9] S. Zozor and P.-O. Amblard, “On the use of stochastic resonance in sine detection,” Signal Processing, vol. 7, pp. 353–367, Mar. 2002.

[10] A. Asdi and A. Tewﬁk, “Detection of weak signals using adaptive stochastic resonance,” Proc. IEEE International

Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing,

vol. 2, pp. 1332–1335, May 1995.

[11] S. Zozor and P.-O. Amblard, “Stochastic resonance in lo-cally optimal detectors,” IEEE Trans. on Signal

Process-ing, vol. 51, no. 12, pp. 3177–3181, Dec. 2003.

[12] D. Rousseau and F. Chapeau-Blondeau, “Stochastic res-onance and improvement by noise in optimal detection strategies,” Digital Sig. Proces., vol. 15, pp. 19–32, 2005. [13] S. Verdu, Multiuser Detection, Cambridge University

Press, Cambridge, UK, 1998.

[14] H. V. Poor, An Introduction to Signal Detection and

Esti-mation, Springer-Verlag, New York, 1994.