TARIM BILIMLERI DERGISI 2001, 7 (4) 91-95
Çoklu Uyum Analizi ve Bir Uygulamas
ı
Sıddık KESKİN1 Geli ş Tarihi: 17.06.2001
Özet : Çoklu uyum analizi; iki yanlı veya çok yanlı olarak düzenlenmiş tabloların analiz edilmesinde kullanılan, satır ve sütunlar arasındaki uyumun (uyuşmanın) bazı ölçülerini içeren bir istatistik tekniğidir. Çoklu uyum analizi, basit uyum analizinin değişken sayısı ikiden fazla olduğu durum için genellenmiş hali olarak dikkate alınabilir. Dolayısıyla çoklu uyum analizi; değişkenlerin seviyeleri (kategorileri), sütunlar olarak ve deney üniteleri de satırlar olarak alınan başlangıç (indicator, design matrix) matrisine uygulanan basit uyum analizidir.
Bu çalışmada, çoklu uyum analizi tanıtılmış ve konunun anlaşılmasını kolaylaştırabilmek için bir uygulama yapılmıştır.
Anahtar Kelimeler : Gösterge matrisi, Burt tablosu, kategorik değişken, tekil değer, değişim
Multiple Correspondence Analysis and its an Application
Abstract : Multiple correspondence analysis (MCA) is an exploratory (descriptive) technique designed to analyze simple two- way or multi-way tables containing some measurements of correspondence between the rows and columns. Multiple correspondence analysis may be considered to be an extension of simple correspondence analysis to more than two variables. Consequently, multiple correspondence analysis is a simple correspondence analysis carried out on an indicator (or design) matrix with cases as rows and categories of variables as columns.
In this study, multiple correspondence analysis was described by the application of method to facilitate comprehensive of the matter.
Key Words: Indicator (design) matrix, Burt table, categoric variable, singular value, inertia
Giriş
istatistik analizlerde üzerinde durulan değişkenleri
(özellikleri), genel olarak ölçülebilen değişkenler veya
ölçüm değişkenleri (measurement variables), sınıflanan
değişkenler ya da kategorik değişkenler (nominal
variables) ve sıralı değişkenler (ranked, ordinal variables)
olmak üzere üç grup altında incelemek mümkündür (Sokal
ve Rholf 1995). Ölçüm değişkenlerinden sürekli
değişkenler, belirli bir tanım aralığında mümkün olan tüm
değerleri alırken, kesikli değişkenler sadece tam sayı (1, 2, 3,...) değerler alırlar. Sütteki yağ miktarı, buğday verimi
gibi değişkenler sürekli değişkenlere, ailedeki çocuk
sayısı, bir bölgedeki işletme sayısı gibi değişkenler ise
kesikli değişkenlere örnek olarak verilebilir. Kategorik
değişkenlerde (categorical, nominal variables) rakamlar,
birey ya da nesnelere tamamen keyfi olarak verilir ve rakamların sırasının hiçbir önemi yoktur. Oysa ki, sıralı
(ranked, ordinal variables) değişkenlerde; rakamlar veya
sayılar, birey ya da nesnelere, üzerinde durulan özelliğe
sahip oluş derecelerine göre küçükten büyüğe doğru veya
büyükten küçüğe doğru sıralı bir şekilde verilirler. Böylece rakamların sırası önem kazanır. Örneğin; cinsiyet, ırk,
doğum tipi gibi değişkenler kategorik değişkenler
arasında, ailelerin gelir durumu (yüksek, orta, düşük) bir
testin zorluğu (çok zor , zor, kolay, çok kolay) gibi
değişkenler ise sıralı değişkenler arasında sayılabilir. Her
ne kadar kategorik değişkenlerle daha çok sosyal
bilimlerde karşılaşılmakta ise de, biyolojik olaylarda da
kategorik değişkenlere rastlamak mümkündür. Belirli bir
Ankara Üniv. Ziraat Fak. Zootekni Bölümü - Ankara
zararlı türünün ölüp ölmeme durumunun, kullanılan ilaç
dozlarına bağımlı olup olmadığının belirlenmesi, belirli bir
bölgedeki ağaç türleri kompozisyonunun, yüksekliğin
seviyelerine göre değişip değişmediğinin incelenmesi,
hayvanlarda döl verimini artırıcı yönde kullanılan dozların,
ırklarla olan ilişkisinin incelenmesi gibi konular biyolojik
olaylara örnek olarak verilebilir.
Kategorik değişkenlerin ya da kategorik şekle
dönüştürülebilen sürekli değişkenlerin özetlenmesinde
yanlı tablolar yaygın olarak kullanılmaktadır (Başpınar ve
Mendeş 2000). Yanlı tablolarda değişkenler arasındaki
ilişkileri belirlemede ise değişik istatistikler geliştirilmiştir.
Bunlar arasında Fisher' in kesin olasılık testi, Oran
karşılaştırması, Ki kare testi, G istatistiği ve Log —
doğrusal modeller sayılabilir. Ancak, gerek bu testlerin
uygulama zorluğu ve bazı ön şartlar gerektirmesi, gerekse
de analiz sonucunda fazla ayrıntılı bilgi edinilememesi gibi
nedenlerden dolayı bu testlere alternatif yeni metotlar
geliştirilmiştir. Bunlardan birisi de Uyum (correspondece )
analizidir.
Uyum analizi, negatif olmayan veri matrisinde
kategorik değişkenlerin yer aldığı yanlı tablolarda,
değişkenlerin seviyelerini (kategorilerini) genellikle iki
boyutlu uzayda nokta olarak gösteren ve bunlar hakkında
açıklayıcı bilgiler sunan analiz tekniklerinden birisidir
1 O O 1 O O 1 O 1 O O O 1 O 1 O
X
=
ı
ı
(1)O 1 O 1 O O 1 O
O O 1 O O 1 O 1
Çok değişkenli istatistik analiz tekniklerinden temel
bileşenler analizi (principal component analysis), faktör
analizi ve çok boyutlu ölçekleme (multidimensional
scaling) gibi analiz teknikleri ile yakından ilgili olan uyum
analizi, çok değişkenli yöntemlerle grafik yöntemlerin bir
kombinasyonu olarak değerlendirilebilir (Anderson 1990).
Bu nedenle ilgilenilen konu hakkında daha açıklayıcı bilgi
verir. Alternatif olarak kullanılabilecek tekniklere ( x2testi ,
G istatistiği, Fisher'in kesin olaslık testi, Oran
karşılaştırması) göre daha avantajlı olan uyum analizine
benzer analiz teknikleri, 1930' lu yıllardan itibaren farklı
araştırıcılar tarafından birbirinden bağımsız olarak;
simultaneous linear regression, dual scaling, optimal scaling, reciprocal averaging ve homogeneity analysis gibi farklı isimlerle çalışılmıştır. 1960'lı yıllarda bir grup Fransız
istatistikçi tarafından correspondence analysis olarak
çalışılmış ve 1980'li yıllardan itibaren yaygın olarak
kullanılmaya başlanmıştır (Lebert ve ark. 1984, Barnett
1990).
Uyum analizi; basit uyum analizi (simple
correspondence analysis) ve çoklu uyum analizi (multiple
correspondence analysis) olmak üzere iki farklı başlık
altında incelenmektedir. Basit uyum analizinde, sadece iki
kategorik değişken arasındaki ilişki yapısı incelenmektedir.
Diğer bir ifade ile basit uyum analizi sadece iki yanlı
çapraz tablolarda uygulanmaktadır (Chou 1994). Çoklu
uyum analizinde ise üç ya da daha fazla kategorik değişken arasındaki ilişki yapısı incelenir. Çoklu uyum
analizinin uygulandığı çok yanlı tablolarda ikiden fazla
değişken bulunmaktadır. Bu bağlamda; basit uyum
analizini, çoklu uyum analizinin, kategorik değişken
sayısının 2 olduğu durum için (p = 2) özel bir hali olarak
değerlendirmek mümkündür. Üzerinde durulan değişken
sayısının 2'den fazla olduğu durumlarda, değişkenler
arasındaki ilişki yapısını incelemede, her defasında
sadece 2 kategorik değişken alınarak Basit uyum analizi
kullanılabilir. Örneğin; meslek grupları tercihinin cinsiyete
göre değişip değişmediğinin belirlenmesi, sigara içip
içmemenin cinsiyete bağlı olup olmadığının belirlenmesi,
bir bölgedeki bitki türleri kompozisyonunun, yüksekliğin
seviyelerine göre değişip değişmediğinin belirlenmesi,
Türkiye'de bulunan koyun ırkları dağılımının bölgeden
bölgeye değişip değişmediğinin belirlenmesi veya
koyunlarda doğum tipinin ırklara göre değişip
değişmediğinin belirlenmesi gibi bir çok durumda basit
uyum analizi kullanılabilir. Ancak bazı durumlarda istenilen
bilgiyi edinebilmek için değişkenleri ikili olarak ele alıp
incelemek yeterli olmayabilir. Örneğin; yaş, cinsiyet ve
sigara içip içmeme durumu arasındaki ilişki, doğum yeri,
gelir düzeyi ve meslek grubu arasındaki ilişki, gelir düzeyi,
meslek grubu, doğum yeri ve tercih edilen otomobil türü
arasındaki ilişki, ırk, hormon dozu, ve doğum tipi
arasındaki ilişki gibi durumlarda ise basit uyum analizi
kullanılamaz. Bunun yerine, basit uyum analizinin genel bir
hali olan çoklu uyum analizi kullanılır. Çoklu uyum analizi,
sürekli değişkenler yerine kategorik değişkenleri
kullanarak, n adet bireyin p adet özelliğinden elde edilen
verilere uygulanan temel bileşenler analizi olarak
değerlendirilebilir (Greenacre 1998).
Bu çalışmada çoklu uyum analizi, en basit hali olan 3
kategorik değişken olduğu durum için tanıtılmıs, uygulama
adımları ve elde edilen sonuçların yorumlanması üzerinde
durulmuş ve konuyu açıklayıcı bir uygulama yapılmıştır.
Materyal ve Yöntem
Bu çalışmada uygulama materyali olarak;
akkaraman, sakız ve ivesi ırkı olmak üzere üç ırka ait 2
yaşlı, 3 yaşlı ve 4 yaşlı koyunlar kullanılmıştır. Bu
koyunlardan aynı doğum mevsiminde doğan koyunların
doğurma tipleri (tekiz ve ikiz) dikkate alınarak; ırk, yaş
seviyesi ve doğurma tipi arasındaki ilişki çoklu uyum
analizi ile incelenmeye çalışılmıştır. Çalışmada kullanılan
veriler Çizelge 1'de verilmiştir. (Not: Çalışmada yapay
veriler kullanılmıştır).
Çizelge 1'de, ırkın (ırk değişkeninin) akkaraman,
sakız ve ivesi olmak üzere 3 seviyesi (i = 3), yaşın; 2 yaşlı, 3 yaşlı ve 4 yaşlı analar olmak üzere yine üç seviyesi (j =
3) ve doğum tipinin de tekiz ve ikiz olmak üzere iki
seviyesi (k = 2) bulunmaktadır.
Çizelge 1. Üç ırka ait farklı yaştaki tekiz ve ikiz doğuran koyun
sayıları
2 yaşlı 3 yaşlı 4 yaşlı
Tekiz İkiz Toplam Irklar Tekiz İkiz Tekiz İkiz
Akkaraman 5 2 7 4 4 3 25
Sakız 5 5 3 7 2 8 30
İvesi 4 5 10 6 5 5 35
Toplam 14 12 20 17 11 16 90
Çoklu uyum analizinin uygulanabilmesi için öncelikle
yapay değişken kullanılarak başlangıç matrisi (indicator
matrix) veya dizayn matrisi (design matrix) olarak
adlandırılan bir matris oluşturulur. X ile gösterilen bu
matris;
şeklinde ifade edilir. (1) no' lu başlangıç matrisi, n x m
boyutlu bir matristir. bu matrisin sütunlarının sayısı,
kategorik değişkenlerin toplam seviyesi (m) kadar, (i = 3, j
= 3 ve k = 2 olmak üzere toplam 8 sütun) satırlarının
sayısı ise deney ünitesi (hayvan) sayısı kadardır.
Dolayısıyla, X matrisi 90 x 8 boyutlu bir matristir. (1) no'lu
başlangıç matrisi aslında bir matematik modeldir ve bu
KESKİN, S. "Çoklu uyum analizi ve bir uygulaması" 93
şeklinde yazılabilir ( DT= Doğurma Tipi). Başlangıç matrisi oluşturulurken; hayvanın ait olduğu ırk için "1" diğer ırklar için "0" yazılmıştır. Benzer şekilde hayvanın ait olduğu yaş grubu için "1" diğer yaş grupları için "0", hayvanın doğurma tipi ne ise onun için "1", diğeri için "O" yazılmıştır. Bu
durumda başlangıç matrisinde satır toplamları bir
değişkenin kategorileri içerisinde 1' e, tüm kategoriler
içerisinde ise değişken sayısına (p) eşit olacaktır.
Başlangıç matrisinin analiz edilmesinde çoğunlukla
iki yaklaşım kullanılmaktadır. Bunlardan birisi çoklu
regresyon yaklaşımıdır. Çoklu regresyon yaklaşımı ile
yapılacak çözüm doğrudan doğruya başlangıç matrisine
yöneliktir. Bu yaklaşımda; diğer kategorik değişkenler ile
ilişkisi incelenecek olan değişken, başlangıç matrisine
ilave (ek) sütunlar (supplementary columns) şeklinde
eklenir. Böylece bu değişkenin diğer değişkenlerin
fonksiyonu şeklinde açıklanabilmesi sağlanır. Bunun yanı
sıra, ilave değişken ile diğer değişkenler arasındaki
ilişkinin yönü de belirlenmiş olur. Diğer yaklaşım ise Burt tablolarının kullanımıdır. Bu çalışmada Burt tablolarından
yapılan hesaplama yöntemi kullanılmıştır. Burt tablosu ya
da Burt matrisi, başlangıç matrisinin iç çarpımlarından
oluşur. Diğer bir ifade ile başlangıç matrisinin iç
çarpımlarından oluşan matris, Burt matrisi olarak
adlandırılır. Buna göre Burt matrisi;
B=X'X (2.a)
eşitliği ile elde edilir. (2.a) no' lu eşitlikte, X' matrisi
gösterge matrisinin transpozudur. Burt matrisi daha açık
olarak; B = C F. AB F AC FAB C • F BC F AC FBC Ck (2.b)
şeklinde gösterilebilir. (2.b) no' lu Burt matrisinde FAB =
{fij.}, FAC = {fı.k} FBC = {f.jk} dır. Burada ırk değişkeni A, yaş
değişkeni B ve doğurma tipi değişkeni ise C olarak
alınmıştır. (2.b) no'lu Burt matrisinden hareketle CB
matrisi; CB=P Ci O O 0 C. 0 0 O Ck (3)
şeklinde yazılabilir. (3) no' lu eşitlikte p, üzerinde durulan
değişken adedidir. Bu çalışmada 3 adet kategorik
değişken bulunduğu için p = 3' tür. Böylece Burt
matrisinin (B) köşegen elemanları sırası ile 3 , 3 3
x_k değerlerinden oluşur. Bu durumda; Burt matrisinin
çözümü, tekil değer parçalanması (singular value
decomposition) olarak da bilinen özvektör yada özdeğer
parçalanması (eigenvalue / eigenvector decomposition)
yöntemi ile yapılır (Gifi 1990). Burt matrisinin öz değer
parçalanması;
CB-1BCB-1 = UAU' (4)
eşitliği ile elde edilir. (4) no' lu eşitlikte; A, köşegen
elemanları özdeğerler olan r boyutlu köşegen matris, U ise
m x r boyutlu sütunları öz vektörlerden oluşan bir matristir.
Burada r, Burt matrisinin rankıdır. (4) no' lu eşitlik
yardımıyla yapılan Burt matrisi için öz vektör yada öz
değer parçalanması, bütün değişkenlerin seviyeleri için
birlikte yada eşzamanlı çözüm (skor) değerleri kümesinin
elde edilmesini sağlar. Böylece, çoklu uyum analizinde
bütün değişkenlerin seviyeleri, aynı diyagramda
gösterilmiş olur. Diğer bir ifade ile tüm değişkenlerin
seviyeleri aynı diyagramda temsil edilmiş olur.
Bu çalışmada gerekli olan tüm hesaplamalar,
MINITAB for windows (ver 11.0) istatistik paket programında yapılmıştır.
Bulgular ve Tartışma
Başlangıç matrisinin iç çarpımları ile elde edilen Burt
tablosu Çizelge 2' de verilmiştir. Çizelge 2' de köşegende
yer alan değerler 3 değişkenin seviyelerine ait toplamları
göstermektedir. Her değişken için seviyelerde yer alan
değerler toplamı, toplam hayvan sayısına eşittir. Köşegen
dışında yer alan değerlerden örneğin, 2 yaşlı akkaraman
ırkı tekiz ve ikiz doğuran koyun sayısı 7' dir. Benzer
şekilde sakız ırkından 2, 3, ve 4 yaşlı koyunlardan tekiz doğuranların sayısı 10'dur.
Başlangıç matrisinin analiz sonuçları ise Çizelge
3' de verilmiştir. Başlangıç matrisinin analizi sonucunda,
Burt matrisinin rankı kadar boyut elde edilmiştir. Çizelge 3'
de inertia sütununda yer alan değerler, değişkenlerin
kategorileri için var olan değişimin ortalama ölçüsü olarak
değerlendirilen toplam değişim (inertia) içerisinde, her bir
boyuta düşen değişimin miktarlarını göstermektedir. Bu
değerler incelendiğinde, her bir boyutun katkısının
yaklaşık olarak bir birine yakın olduğu görülür.
Her bir boyutun toplam değişimi açıklamadaki payları
(yüzde miktarları) ise her boyuta ait olan inertia değerinin
toplam inertia değerine oranlanması ile bulunmuştur.
Dolayısıyla, en yüksek açıklama oranı % 26.2 değeri ile
birinci boyuta aittir. Diğer boyutlardan beşinci boyut
dışında kalan boyutların açıklama miktarları ise bir birine
yakın değerlerdir. Toplam değişimi açıklamadaki eklemeli
paylara bakıldığında; ilk iki boyutun toplam değişimi
açıklamadaki payının % 47.3 olduğu görülür. Diğer bir
ifade ile değişkenlerin seviyeleri arasında var olan
uzaklıklar, beş boyutlu uzaydan iki boyutlu uzaya
indirgenerek gösterilmek istendiğinde, toplam değişimin
sadece % 47.3' ü açıklanabilecektir. Bazı durumlarda; X
başlangıç matrisindeki toplam kategori sayısı (m) çok
olduğunda, boyutların değişimi açıklamadaki payları küçük
olabilmektedir. Bu durum uyum analizi diyagramında,
beklenmeyen sonucun veya yorumlanması güç olabilecek
sonucun elde edilmesine neden olabilir (Kaciak ve
Louviere 1990). Her ne kadar bu değişkenlere ait seviyeler
arasındaki ilişkiyi iki boyutlu uzayda göstermek, toplam
değişimi açıklayabilme bakımından yeterli değil ise de,
sonuçların yorumlanmasını gösterebilmek için sadece iki
boyut dikkate alınmış ve bu boyutların seviler ile olan
korelasyon katsayıları, her bir seviyenin boyuta olan
katkısı ve iki boyutlu uzaydaki koordinatı Çizelge 4' de
r3"
rD
Şekil 1. Çoklu uyum analizi diyagramı
1. Bileşen 2. Bileşen
İnertia Koordinat Korelasyon Katkı Koordinat Korelasyon Katkı
Akkaraman 0.144 -0.763 0.224 0.123 -0.664 0.169 0.116 Sakız 0.133 1.001 0.501 0.255 -0.383 0.074 0.047 İvesi 0.122 -0.313 0.062 0.029 0.803 0.410 0.238 2 Yaşlı 0.142 0.044 0.001 0.000 -1.200 0.585 0.395 3 Yaşlı 0.118 -0.491 0.168 0.076 0.573 0.230 0.128 4 Yaşlı 0.140 0.630 0.170 0.091 0.370 0.059 0.039 Tekiz 0.100 -0.747 0.557 0.213 -0.196 0.038 0.018 İkiz 0.100 0.747 0.557 0.213 0.196 0.038 0.018
Çizelge 2. Burt tablosu (matrisi)
Irk Yaş Doğum tipi
Akk. Sakız İvesi 2 yaşlı 3 yaşlı 4 yaşlı Tekiz İkiz
Akk. 25 0 0 7 11 7 16 9 Sakız 0 30 0 10 10 10 10 20 lvesi 0 0 35 9 16 10 19 16 2 yaşlı 7 10 9 26 0 0 14 12 3 yaşlı 11 10 16 0 37 0 20 17 4 yaşlı 7 10 10 0 0 27 11 16 Tekiz 16 10 19 14 20 11 45 0 İkiz 9 20 16 12 17 16 0 45
Çizelge 3. Başlangıç matrisinin analiz sonuçları
Boyutlar İnertia (Değişim)
Boyullann toplam değişimi açıklama oranları
Açıklama payı (%) Eklemeli pay (%)
1 0.437 26.2 26.2 2 0.351 21.1 47.3 3 0.329 19.7 67.0 4 0.308 18.5 85.5 5 0.243 14.6 100.1 Toplam 1.668
Çizelge 4 incelendiğinde; birinci boyuta olan katkısı
bakımından en yüksek katkının sakız ırkına ait olduğu,
Bunu eşit miktarda olan katkıları ile tekiz ve ikiz doğum
tipinin izlediği ve en düşük katkının 2 yaşa ait olduğu
görülür. Buna karşılık ikinci boyuta olan katkılardan en
yüksek olanı 2 yaş seviyesine aittir. Tekiz ve ikizin ikinci
boyuta olan katkısı ise en düşüktür.
Çizelge 4' de verilen sayısal değerler, bir diyagramda
gösterilmek istendiğinde; uyum analizi diyagramı Şekil 1'
deki gibi olur. Şekil 1' deki uyum analizi diyagramı
incelendiğinde; ikiz doğurmanın 4 yaşlı analarda olduğu,
diğer bir ifade ile 4 yaşlı anaların daha çok ikiz doğum
yapma eğilimde olduğu söylenebilir. 3 yaşlı anaların her
ne kadar ikiz ve tekiz doğum yapmaya eşit eğilimli
oldukları söylenebilirse de, bunların daha çok tekiz doğum
yapma eğilimde oldukları görülür. 2 yaşlı anaların ise tekiz
ve ikiz doğurma tipi ile aralarında bir ilişki olmadığı
görülmektedir.
Akkaraman ırkı koyunların sakız ve ivesi ırkına göre
daha çok tekiz doğum yapma eğiliminde olduğu, sakız ırk]
koyunların ise ivesi ırkı koyunlara göre daha çok ikiz
doğum yapma eğiliminde olduğu söylenebilir.
Yorumlanmasına gerek olmadığı halde; çalışmada 3 yaşlı
anaların daha çok ivesi ırkından olduğu görülmektedir.
KESKİN, S. "Çoklu uyum analizi ve bir uygulaması" 95
Sonuç
Ikiden fazla kategorik değişken arasındaki ilişkiyi
belirlemede; çoklu uyum analizinin hesaplama adımlarının
ve sonuçlarının yorumlanmasının daha kolay, ayrıca elde
edilen sonuçların da daha ayrıntılı olduğu söylenebilir.
Bunun yanı sıra, çoklu uyum analizi, SPSS ve MINITAB
gibi istatistik paket programlarında rahatlıkla
yapılabilmektedir. Bu nedenle daha çok pazar
araştırmalarında ve sosyal bilimlerde olmak üzere,
biyolojik çalışmalarda da sıkça karşılaşılan kategorik
değişkenlerin analiz edilmesinde ve bunlar arasındaki
ilişkilerin belirlenmesinde çoklu uyum analizinin
kullanılması önerilebilir.
Kaynaklar
Anderson, E. B. 1990. The Statistical Analysis of Categorical Data. p. 363-405, Heidelberg, New York, USA.
Başpınar E. ve M. Mendeş, 2000. İki yönlü tablolarda uyum
analizi tekniğinin kullanımı. Tarım Bilimleri Dergisi, 6 (2)
98-106.
Barnett, V. 1990. Interpereting Multivarate Data. p. 119-147, New York, USA.
Chou, R. J. 1994. Mulyivariate Analysis and Its Application, p. 194-210, USA.
Devillers, J. and W. Karcher, 1991. Applied Multivariate Analysis in SAR and Environmental Studies. p. 1-32, Dordrecht, Netherlands
Dunteman, G. H. 1989. Principal Components Analysis, Sage Publication, Inc. California, USA, 96 p.
Gifı, A. 1990. Nonlinear Multivariate Analysis. John Willey and
Sons Ltd. West Sussex, England, 579 p.
Greenacre, M. 1998. Visualization of Categorical Data. p. 107- 112, San Diego, USA.
Kaciak, E. J. and J. Louviere, 1990. Multiple correspondence analysis of multiple choice experiment data. JMR, (4) 455- 466.
Lebert, L., A. Morineu and K. M. Warwick, 1984. Multivariate Descriptive Statistical Analysis. p. 30-62, New York, USA. Sokal, R. R. and F. J. Rholf , 1995. Biometry. W. H. Freeman and.
