K. mertebeden periyodik katsayılı lineer x(n+k)=A(n)x(n)fark denklem sisteminin çözümünün hareketi

(1)

T.C.

NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

. MERTEBEDEN PERİYODİK KATSAYILI LİNEER ( + ) = ( ) ( ) FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜNÜN HAREKETİ

Fırat Çağlar KÜÇÜK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

(2)

TEZ KABUL VE ONAYI

Fırat Çağlar KÜÇÜK tarafından hazırlanan “ . Mertebeden Periyodik Katsayılı Lineer ( + ) = ( ) ( ) Fark Denklem Sisteminin Çözümünün Hareketi” adlı tez çalışması 15/09/2020 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Jüri Üyeleri İmza

Başkan

Prof. Dr. Kemal AYDIN ………..

Danışman

Dr. Öğr. Üyesi Ahmet DUMAN ………..

Üye

Dr. Öğr. Üyesi Ayşegül KETEN ………..

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun …./…/20.. gün ve …….. sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. S. Savaş DURDURAN FBE Müdürü

(3)

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

İmza

Fırat Çağlar KÜÇÜK Tarih:

(4)

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

. MERTEBEDEN PERİYODİK KATSAYILI LİNEER ( + ) = ( ) ( ) FARK DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜNÜN HAREKETİ

Fırat Çağlar KÜÇÜK

Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Dr. Öğr. Üyesi Ahmet DUMAN 2020, 55 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. Kemal AYDIN Dr. Öğr. Üyesi Ahmet DUMAN Dr. Öğr. Üyesi Ayşegül KETEN

Bu çalışmada, Schur kararlı k. mertebeden ( + ) = ( ) ( ) periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri için hangi pertürbeler altında Schur kararlı kaldığını belirleyen Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de verilen ( , ) Schur kararlılık parametresine bağlı süreklilik teoremleri ve sistemin

∗_{Schur kararlılığı üzerine sonuçların ispatlarının nasıl yapıldığı açıklandı. Ayrıca Schur kararlı k.}

mertebeden ( + ) = ( ) ( ) periyodik katsayılı lineer fark denklem sisteminin çözümünün yeni üst sınırı elde edildi. Verilen sonuçların, yapılan nümerik örnekler ile etkinliği gösterildi.

(5)

v ABSTRACT MS THESIS

BEHAVIOUR OF SOLUTIONS OF THE − ORDER LINEAR DIFFERENCE EQUATION WITH PERIODIC COEFFICIENTS ( + ) = ( ) ( )

Fırat Çağlar KÜÇÜK

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF NECMETTİN ERBAKAN UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE

Advisor: Asist. Prof. Dr. Ahmet DUMAN 2020, 55 Pages

Jury

Prof. Dr. Kemal AYDIN Asist. Prof. Dr. Ahmet DUMAN Asist. Prof Dr. Ayşegül KETEN

In this thesis, contunuity theorems related to ( , ) Schur stability parameter given by Çelik Kızılkan and Duman in 2020, which determines under which perturbations remain Schur stable for th order ( + ) = ( ) ( ) linear difference equations with periodical coefficients and how to prove the results on the ∗− Schur stability of the system were explained. In addition a new upper bound for the solution of Schur stable th order ( + ) = ( ) ( ) linear difference equations with periodical coefficient was obtained. The effectiveness of the results with numerical examples was shown.

(6)

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans Tezi olarak hazırlanmıştır. Çalışmanın gerçekleşmesinde desteğini esirgemeyen danışmanım Dr. Öğr. Üyesi Ahmet DUMAN ve aileme teşekkür ederim.

Fırat Çağlar KÜÇÜK KONYA-2020

(7)

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii

KULLANILAN SEMBOLLER ... viii

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Literatür Özeti ve Problemin Tanıtımı ... 1

1.2. Tezin Yapısı ... 2

2. LİNEER FARK DENKLEM SİSTEMLERİ ... 4

2.1. Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemleri ... 4

2.1.1. Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Schur Kararlılığı ... 4

2.1.2. ( + 1) = ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı ... 6

2.2. Periyodik Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemleri ... 6

2.2.1. Periyodik Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Schur Kararlılığı .... 7

2.2.2. Süreklilik Teoremleri ... 8

2.2.3. ( + 1) = ( ) ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı ... 10

3. . MERTEBEDEN PERİYODİK KATSAYILI LİNEER FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARARLIĞI ... 11

3.1. Periyodik Katsayılı . Mertebeden ( + ) = ( ) ( ) Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Hassasiyeti ... 13 3.1.1. Semboller ... 13 3.2. ( + ) = ( ) ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı ... 18 4. NÜMERİK ÖRNEKLER ... 23 5. KAYNAKLAR ... 53 ÖZGEÇMİŞ ... 55

(8)

viii

KULLANILAN SEMBOLLER

( ) : matrisinin inci öz değeri

∗_{: matrisinin eşlenik transpozu}

= ∗ > 0 : matrisi simetrik pozitif matris ( ) : matrisinin özdeğerlerinin en büyüğü

‖ ‖ : matrisinin ‖ ‖ = | ( ∗ _{)| ile verilen spektral normu}

( ) : Sabit katsayılı lineer fark denklem sistemleri için Schur kararlılık parametresi ( ) : Periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemlerinin monodromi matrisi

( , ) : Periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri için Schur kararlılık parametresi

( , ) : k. mertebeden periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri için Schur kararlılık parametresi

(9)

1. GİRİŞ

Bir problemi çözmeden, problemin çözümünün nasıl davrandığını bilmek ve problemin giriş elemanlarında yapılan hangi değişimler için problemin karakterinin değişmediğini bilmek uygulama alanlarında çok önemlidir. Verilen bir problemin girdilerinde yapılan değişimin sonuca olan etkisinin belirlenmesi hassasiyet problemi olarak adlandırılır. Hassasiyetin bilinmesi, girdilerde çözümün davranışını değiştirmeyecek değişiklikler yapmaya imkân verir. Böylece problemin uygulama alanına göre; para, zaman, iş gücü ya da can kayıpları ile karşılaşılması önlenmiş olur. Problemin hassasiyeti genellikle literatürde süreklilik teoremi olarak bilinen teoremler ile verilmektedir (Aydın ve ark. 2001, Duman ve Aydın 2011, Duman ve ark. 2016).

1.1. Literatür Özeti ve Problemin Tanıtımı

Problemin hassasiyetini belirleyen koşulları veren teoremler süreklilik teoremleri olarak bilinmektedir. Süreklilik teoremleri, verilen problemin giriş elemanlarında ne kadar değişim olduğunda problemin karakterini koruduğunu vermektedir. Süreklilik teoremleri, denklem teorisinin neredeyse tüm alanlarında kullanılmaktadır. Örneğin diferensiyel ve fark denklemlerin hassasiyetinin incelenmesi süreklilik teoremleri ile verilmektedir.

Diferensiyel ve fark denklem sistemlerinin kararlılığının hassasiyetinin incelenmesi uygulama alanlarında önemli bir problem olmuş ve bu konuda birçok çalışma yapılmıştır. Çalışmamız periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri üzerine olduğundan şimdi bu sistemler için literatürde verilen bazı süreklilik teoremlerinden bahsedelim.

( ) = ( + ), boyutlu periyodik ( periyotlu) karesel bir matris olmak üzere

( + 1) = ( ) ( ), ∈ ℤ

periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemini ele alalım. Bu sistem Schur kararlı olmak üzere acaba hangi şartlar altında Schur kararlı kalmaya devam edecektir? Yani yukarıda verilen sistem Schur kararlıyken

(10)

( + 1) = ( ( ) + ( )) ( ), ∈ ℤ

pertürbe sistemi hangi ( ) pertürbe matrisleri için Schur kararlı kalmaya devam edecektir? Bu problemle ilgili literatürde çeşitli süreklilik teoremleri yazılmıştır. Bu süreklilik teoremlerinden bazıları;

− Verilen periyodik katsayılı fark denklem sistemi Schur kararlı (verilen sistemin monodromi matrisi ( ) Schur kararlı) olsun. Bu durumda

‖ ( ) − ( )‖ < ‖ ( )‖ + 1

( , )− ‖ ( )‖

eşitsizliğini sağlayan ( ) pertürbe matrisleri için pertürbe edilmiş sistem de Schur kararlıdır. Burada ( ), pertürbe sisteminin monodromi matrisidir (Aydın ve ark. 2001).

− Verilen periyodik katsayılı fark denklem sistemi Schur kararlı olmak üzere

‖ ( )‖ < ‖ ( )‖ + 1 ( , )− ‖ ( )‖ , ‖ ( , )‖ 1 + ( − 1) ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ + 1 ( , )− ‖ ( )‖

şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisleri için pertürbe edilmiş sistem de Schur kararlıdır (Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

Çalışmamızda literatürde verilen 1. mertebeden ( + 1) = ( ) ( ) periyodik katsayılı fark denklem sistemleri için verilen süreklilik teoremlerini . mertebeden ( + ) = ( ) ( ) periyodik katsayılı fark denklem sistemlerine genişleten Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de verilen süreklilik teoremlerinin ispatlarının nasıl yapıldığı açıklanmış ve . mertebeden ( + ) = ( ) ( ) periyodik katsayılı fark denklem sisteminin çözümünün yeni bir üst sınırı elde edilmiştir. Ayrıca bu sonuçların etkinliklerini gösteren örnekler yapılmıştır.

1.2. Tezin Yapısı

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır.

(11)

2. bölümde sabit katsayılı ve periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri ile bu sistemlerin Schur Kararlılığı ve Süreklilik Teoremlerine yer verilmiştir.

3. bölümde k. mertebeden periyodik katsayılı fark denklem sistemleri, bu sistemlerin Schur kararlılığı ve hassasiyeti ile ilgili Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de verilen teoremler ve k. Mertebeden periyodik fark denklem sistemlerinin çözümünün yeni bir üst sınırı elde edilmiştir.

4. bölümde özellikle Schur kararlı k. mertebeden periyodik katsayılı fark denklem sisteminin çözümünün yeni üst sınırı ile ilgili nümerik örnekler yapılmıştır.

(12)

2. LİNEER FARK DENKLEM SİSTEMLERİ

Bu bölümde sabit katsayılı lineer fark denklem sistemleri ile periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri, bu sistemlerin Schur kararlılığı ve Schur kararlılığının hassasiyeti ile ilgili temel kavramlar verilmiştir.

2.1. Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemleri

, boyutlu karesel sabit katsayılı bir matris olmak üzere

( + 1) = ( ), ∈ ℤ (2.1)

sistemini ele alalım. Bu sistem sabit katsayılı lineer fark denklem sistemi olarak, (0) = ∈ ℝ başlangıç şartı altında

( + 1) = ( ), (0) = , ≥ 0 (2.2)

sistemi de sabit katsayılı lineer fark Cauchy problemi olarak adlandırılmaktadır. birim matris ve singüler olmayan bir matris olmak üzere

( + 1) = ( ), (0) = , ≥ 0

Cauchy probleminin çözümü ( )= matrisine (2.1) sisteminin fundamental matrisi denir. (2.2) sisteminin çözümü ( )= şeklindedir (Aydın 1995, Akın ve Bulgak 1998, Elaydi 1999, Aydın ve ark. 2000, Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

2.1.1. Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Schur Kararlılığı

Literatürde fark denklem sistemlerinin asimtotik kararlılığı Schur kararlılık, diferensiyel denklem sistemlerinin asimtotik kararlılığı Hurwitz kararlılık olarak kullanılmaktadır (Wang and Michel 1993, Rohn 1994, Aydın 2004, Voicu and Pastravanu 2006). Bu çalışmada fark denklemlerinin asimtotik kararlılık kavramı için Schur kararlılık kavramı kullanılacaktır.

Spektral kritere göre; (2.1) sisteminin (veya matrisinin) Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart | ( )| < 1, ( = 1,2, … , ) olması yani (2.1) sisteminin Schur

(13)

kararlı olması için gerek ve yeter şart matrisinin bütün özdeğerlerinin birim diskin içine düşmesidir (Akın ve Bulgak 1998, Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

Simetrik olmayan matrisler için özdeğer problemi kötü konulmuş bir problem olduğu bilinmektedir (Wilkinson 1965, Bulgak 1999). Dolayısıyla (2.1) sisteminin, Schur kararlılığını özdeğer kullanmaksızın lineer cebirsel bir matris denkleminin çözümü ile belirleyen Lyapunov teoremini ve Schur kararlılığın kalitesini belirleyen Schur kararlılık parametresini tanıtalım.

Lyapunov Teoremi: ( + 1) = ( ) sisteminin ( ) ≡ 0 aşikar çözümünün (veya matrisinin) Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart

∗ ₋ ₊ _{= 0,} ₌ ∗ _{> 0}

olarak bilinen Lyapunov fark matris denkleminin = ∑ ( ∗) , = ∗> 0

çözümünün olmasıdır (Aydın 1995, Akın ve Bulgak 1998, Bulgak 1999, Elaydi 1999, Duman 2008).

Not 2.1. (2.1) sisteminin bir çözümü Schur kararlı ise tüm çözümleri Schur kararlıdır. Yani (2.1) sisteminin Schur kararlığını araştırmak için (2.1) sistemin ( ) ≡ 0 aşikar çözümünün Schur kararlı olup omadığını incelemek yeterlidir (Akın ve Bulgak 1998).

= ( birim matris) olarak alınırsa Lyapunov Teoremi;

“ ( + 1) = ( ) sisteminin ( ) ≡ 0 aşikar çözümünün (veya matrisinin) Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart

∗ ₋ _{+ = 0}

olarak bilinen Lyapunov fark matris denkleminin = ∑ ( ∗₎ _, ₌ ∗ _{> 0}

çözümünün olmasıdır”

şeklinde ifade edilebilir. = olarak alınarak elde edilen Lyapunov fark denkleminin simetrik pozitif tanımlı çözümü varsa Schur kararlılığın kalitesini gösteren parametre ( ) = ‖ ‖ olarak tanımlanır. Eğer Lyapunov fark denkleminin simetrik pozitif

(14)

tanımlı çözümü yoksa ( )= ∞ olarak seçilir (Bulgakov ve Godunov 1988, Akın ve Bulgak 1998, Bulgak 1999, Duman 2008).

2.1.2. ( + ) = ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı

Mühendislik problemlerinde bir sistemin çözümünü elde etmeden, çözümün nasıl hareket ettiği hakkında bilgi sahibi olmak önemlidir. Şimdi (2.2) Cauchy probleminin çözümünün davranışı hakkında bilgi veren aşağıdaki teoremi verelim.

Teorem 2.1. (2.2) Cauchy problemi Schur kararlı olsun. (2.2) Cauchy probleminin çözümünün üst sınırı

‖ ( )‖ ≤ ( )(1 − 1

( )) ‖ ‖, ³ 0 ve

‖ ( )‖ ≤ ( ) ( )_{‖ (0)‖}

dir (Bulgak ve Godunov 1988, Akın ve Bulgak 1998, Bulgak 1999).

2.2. Periyodik Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemleri

( ) = ( + ), boyutlu periyotlu karesel bir matris olmak üzere

( + 1) = ( ) ( ), ∈ ℤ (2.3)

sistemini ele alalım. (2.3) periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemi (0) = ∈ ℝ başlangıç şartı altında

( + 1) = ( ) ( ), (0) = , ≥ 0 (2.4)

periyodik katsayılı lineer fark Cauchy problemi olarak adlandırılır. birim matris olmak üzere

( + 1) = ( ) ( ), (0) = , ≥ 0 Cauchy probleminin çözümü olan

(15)

( ) = ∏ ( ) = ( − 1). ( − 2) … (0) matrisine (2.3) sisteminin fundamental matrisi ve

( ) = ∏ ( ) = ( − 1). ( − 2) … (0)

matrisine (2.3) sisteminin monodromi matrisi denir (Aydın 1995, Akın ve Bulgak 1998, Elaydi 1999, Agarwal 2000, Aydın ve ark. 2000, Duman 2008).

(2.4) Cauchy probleminin çözümü ( )= ( ) ve = + , 0 ≤ < olmak üzere (2.4) sisteminin çözümü

( + ) = ( ) ( ) (2.5)

olarak ifade edilebilir (Aydın 1995, Aydın ve ark. 2000, Duman 2008).

2.2.1. Periyodik Katsayılı Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Schur Kararlılığı

(2.5) eşitliğinden, (2.4) sisteminin Schur kararlı olması ile sistemin ( ) monodromi matrisinin Schur kararlı olmasının denk olduğu açıkça görülmektedir. Böylece Spektral Kritere göre (2.4) sisteminin Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart | ( ( ))| < 1, ( = 1,2, … , ) olmasıdır (Aydın 1995, Akın ve Bulgak 1998, Elaydi 1999, Aydın ve ark. 2000, Duman 2008).

Simetrik olmayan matrisler için özdeğer problemi kötü konulmuş bir problem olduğundan özdeğer kullanmaksızın (2.4) sisteminin Schur kararlılığını belirleyen Lyapunov teoremi aşağıda verilmiştir.

Teorem 2.2. (Lyapunov Teoremi) (2.4) sisteminin monodromi matrisi ( ) matrisinin Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart her = ∗_{> 0 matrisi için}

∗_{( )} _{( ) −} ₊ _{= 0}

Lyapunov matris denkleminin

= ∑ ∗( ) ( ( )) , = ∗ > 0 tek çözümüne sahip olmasıdır.(Aydın ve ark. 2000)

(16)

= olması durumunda Lyapunov denklemi

∗_{( )} _{( ) −} _{+ = 0}

olur. Lyapunov matris denkleminin tek çözümü

= ∑ ∗( ) ( ( )) , = ∗ _{> 0} _(2.6)

olmaktadır. (2.6) matris serisinin yakınsak olması ( ) monodromi matrisinin Schur kararlı olmasına denktir.

(2.4) sistemi için literatürde Schur kararlılığının kalitesini veren parametreler mevcuttur. Bunlardan birisi ( , ) parametresi;

( , ) = ‖ ‖; = ∑ ∗_{( ) ( ( )) ,} ∗_{( )} _{( ) −} _{+ = 0; =} ∗ _{> 0}

olarak tanımlanmaktadır. Burada birim matris, ∗ matrisi matrisinin adjoint matrisi, matrisinin spektral normu ‖ ‖= ‖ ‖ ‖ ‖ ve = ( , , … , ) vektörünün

öklid normu ‖ ‖ dır. Eğer ( , ) parametresi hesaplanabiliyor ise (2.4) sistemi Schur kararlıdır. Aksi takdirde sistem Schur kararlı değildir ve ( , ) = ∞ olarak seçilir.

Fiziksel problemin türüne göre kullanıcı tarafından girilen ∗ 1 den büyük bir sayı ( ∗ > 1) olmak üzere ( , ) ≤ ∗_{eşitsizliği sağlanıyorsa (2.3) sistemi (veya}

( ) monodromi matrisi) pratik Schur kararlı ( ∗_{−Schur kararlı) olarak adlandırılır.}

Aksi takdirde (2.3) sistemine (veya ( ) monodromi matrisine) ∗-Schur kararsız denir (Akın ve Bulgak 1998, Bulgak 1999, Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

2.2.2. Süreklilik Teoremleri

Bu kısımda periyodik katsayılı lineer (2.3) sistemi Schur kararlı iken hangi pertürbeler altında Schur kararlı kaldığını belirleyen, literatürde verilmiş bazı süreklilik teoremlerini verelim. Süreklilik teoremlerini vermeden önce (2.3) sisteminin pertürbe sistemini tanıtalım.

( ) = ( + ) ve ( ) = ( + ) matrisleri boyutlu periyodik( - periyotlu) karesel matrisler olmak üzere

( + 1) = (( ( ) + ( )) ( ) ∈ ℤ (2.7)

(17)

Teorem 2.3. (2.3) sistemi Schur kararlı olmak üzere ‖ ( ) − ( )‖ < ‖ ( )‖ +

( , )− ‖ ( )‖

eşitsizliğini sağlayan ( ) pertürbe matrisi için (2.7) pertürbe sistemi de Schur kararlıdır (Aydın 2001).

Teorem 2.4. ( ) ve ( ) sırasıyla (2.3) ve (2.7) sistemlerinin monodromi olmak üzere

‖ ( ) − ( )‖ ≤ ‖ ( )‖( + ‖ ( , 0)‖

+ ( + ‖ ( , 0)‖ + ‖ ( )‖ ∑ ∑ !

!( )!( ‖ ( )‖)

eşitsizliği doğrudur. Burada

( , ) = ∏ ( ), ( , ) = ∏ ( ), = ( − 1) ‖ ( , )‖,

= ‖ ( , )‖(1 + ( − 1) ‖ ( , 0)‖,

= ‖ ( , )‖ ‖ ( )‖ ∶ ‖ ( )‖ ≤ 1

( ‖ ( )‖) ∶ ‖ ( )‖ > 1

şeklindedir. Üstelik (2.3) sistemi Schur kararlı olmak üzere

‖ ( )‖( + ‖ ( , 0)‖ + ( + ‖ ( , 0)‖ +

‖ ( )‖ ∑ ∑ !

!( )!( ‖ ( )‖) < ‖ ( )‖ + ( , )−

‖ ( )‖ eşitsizliğini sağlayan ( ) pertürbe matrisleri için (2.7) sistemi de Schur kararlıdır (Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

Teorem 2.5. ( ) ve ( ) sırasıyla (2.3) ve (2.7) sistemlerinin monodromi matrisleri ve ( − 1) _, ‖ ( , )‖ ‖ ( )‖ < 1 olmak üzere

‖ ( ) − ( )‖ ≤ , ‖ ( , )‖(1 + ( − 1) ‖ ( )‖)

1 − ( − 1) , ‖ ( , )‖ ‖ ( )‖

‖ ( )‖

(18)

‖ ( )‖ <

‖ ( )‖ + _{( , )}1 − ‖ ( )‖

, ‖ ( , )‖[1 + ( − 1) ‖ ( )‖ + ‖ ( )‖ + 1

( , )− ‖ ( )‖ ]

şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisleri için (2.7) sistemi de Schur kararlıdır. Burada ( , ) = ∏ ( ) şeklinde verilmiştir (Duman 2008, Duman ve Aydın 2011).

Teorem 2.6. (2.4) sistemi ∗-Schur kararlı bir sistem ( ( , )≤ ∗) olmak üzere

) ‖ ( )‖ + ‖ ( , 0)‖ + ‖ ( )‖ ∑ ∑ ! !( )! ‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ + ∗_∗ ( , ) ( , ) − ‖ ( )‖ ii) ‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ ∗ _{( , )} ∗ _{( , )} ‖ ( )‖ , ‖ ( , )‖ ( ) ‖ ( )‖ ‖ ( )‖ ∗ _{( , )} ∗ _{( , )} ‖ ( )‖

şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisi için (2.7) sistemi de ∗_{-Schur kararlıdır (Duman}

2008, Duman ve ark. 2016).

2.2.3. ( + ) = ( ) ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı

Sabit katsayılı lineer fark denklem sistemlerinin çözümünün üst sınırına benzer olarak periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemlerinin çözümünün üst sınırı literatürde aşağıdaki şekilde ifade edilmiştir.

Teorem 2.7. (2.4) Cauchy problemi Schur kararlı olsun. = + , 0 ≤ ≤ − 1 olmak üzere (2.4) Cauchy probleminin çözümünün üst sınırı

‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ 1 − 1

( , ) ( , ) ‖ ‖ dir (Bulgak ve Godunov 1988, Akın ve Bulgak 1998, Bulgak 1999).

(19)

3. . MERTEBEDEN PERİYODİK KATSAYILI LİNEER FARK DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARARLIĞI

1. mertebeden periyodik katsayılı ( + 1) = ( ) ( ) lineer fark sisteminin Aydın ve ark. 2001, Duman ve Aydın 2011, Duman ve ark. 2016’da ( , ) parametresi üzerine verilen süreklilik teoremleri dikkate alınıp, Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de bu teoremleri . mertebeden periyodik katsayılı ( + ) = ( ) ( ) lineer fark denklemi için yeni ( , ) kararlılık parametresi tanımlayıp, süreklilik teoremlerini yeniden ifade etmişlerdir. Ayrıca Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de . mertebeden periyodik katsayılı ( + ) = ( ) ( ) lineer fark denkleminin çözümü bulunmuş ve formülüze edilmiştir. Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de . mertebeden periyodik katsayılı ( + ) = ( ) ( ) lineer fark denklemi için verilen süreklilik teoremlerinin ispatları 1. mertebeden sistemlerin ispatları adım adım takip edilerek yapıldığından tekrara düşmemek açısından verilmemiştir. Bu bölümde Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de ispatları verilmeyen süreklilik teoremlerinin ispatlarının nasıl yapıldığı açıklanmış ve . mertebeden periyodik katsayılı ( + ) = ( ) ( ) lineer fark denklemi için ( , ) parametresi kullanılarak literatürde bulunmayan çözümün üst sınırı hesaplanmıştır.

( ) = ( + ), boyutlu T periyotlu karesel bir matris ve ( ), boyutlu vektör olmak üzere

( + ) = ( ) ( ), ( ) = ( = 0,1,2, … , − 1) (3.1)

. mertebeden Cauchy problemini ele alalım. Burada = 1 olması durumunda (3.1) sistemi

( + 1) = ( ) ( ), (0) = , = 0,1,2, … Cauchy problemine dönüşür.

s = 0,1,2, … , − 1 için

( + 1) = ( ) ( ), (0) = , ≥ 0

Cauchy probleminin çözümü ( ) = ∏ ( + ), k. mertebeden periyodik katsayılı (3.1) sisteminin fundamental matrisi, = alınarak elde edilen, çözümün

(20)

karakterini belirleyen ( ) monodromi matrisini ve monodromi matrislerini eleman kabul eden

= { ( )| = 0,1,2, … , − 1}

monodromi matris ailesidir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020). (3.1) Cauchy probleminin çözümü,

( ) = ( − ) ( − 2 ) … ( + ) ( )

dir. Burada = + , 0 ≤ ≤ − 1, 0 ≤ ≤ − 1 ve , , ∈ ℤ olmak üzere;

( ) = ( + − ) … ( + 1) + ( + )

× ( − 1) + … ( − 1) + 1 + ( − 1) + × … × (2 − 1) + … ( + 2) + ( + 1) + ( + ) × (( − 1) + ) … (2 + ) ( + ) ( )

şeklinde de yazılabilir. = + olarak alınır ise (3.1) sisteminin çözümü

( ) = ∏ ( + ) (∏ ( + ))

veya

( ) = ( ) ( )

şeklinde ifade edilebilir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020). . mertebeden (3.1) periyodik katsayılı lineer denklem sisteminin Schur kararlı olması ile sistemin = { ( )| = 0,1,2, … , − 1} matris ailesindeki her bir matrisin Schur kararlı olmasına denktir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020). Böylece, (3.1) sisteminin Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart matris ailesindeki her bir matrisin özdeğerlerinin birim diskin içine düşmesi gerekir yani ∀ = 0,1,2, … , − 1 için | ( ( )| < 1 , ( = 1,2, … , ) olmasıdır (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

(3.1) sisteminin; Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de tanımlanan Schur kararlılığın kalitesini belirleyen Schur kararlılık parametresini tanıtalım.

(21)

Lyapunov teoremine göre (3.1) sisteminin ( matris ailesindeki her bir matrisin) Schur kararlı olması için gerek ve yeter şart ∀ = 0,1,2, … , − 1 için ( ) matrisinin

∗_{( )} _{( ) −} _{+ = 0}

Lyapunov fark matris denkleminin

= ∑ ∗( ) ( ( )) , = ∗ > 0 tek çözümüne sahip olmasıdır’ olarak ifade edilebilir.

(3.1) sisteminin Schur kararlılığının parametresi;

( , ) = ‖ ‖,

şeklinde tanımlanmıştır (Çelik Kızılkan ve Duman 2020). Buna göre ( , ) < ∞ ise verilen sistem Schur kararlı, aksi takdirde Schur kararlı değildir ve ( , ) = ∞ olduğu kabul edilir.

3.1. Periyodik Katsayılı . Mertebeden ( + ) = ( ) ( ) Lineer Fark Denklem Sistemlerinin Hassasiyeti

Schur kararlılığının hassasiyetini gösteren süreklilik teoremlerini vermeden önce çalışma için gerekli olan bazı gösterimleri tanıtalım.

3.1.1. Semboller

Bu çalışmada kullanılan semboller aşağıda tanıtılmıştır.

− = ∑ ∗( ) ( ) − = ‖ ( , )‖(1 + ( − 1) ‖ ( , 0)‖) − = ( − 1) ‖ ( , )‖ − = ‖ ( , )‖ × ‖ ( + )‖; ‖ ( + )‖ ≤ 1 ( ‖ ( + )‖) ; ‖ ( + )‖ > 1 − ( , ) = ∏ ( + ) − Ψ ( , ) = ∏ ( + )

(22)

− ∆ = ( ) − ( ) = ∑ ∏ ( + ) ( + ) ( ) − ∆ = ‖ ( )‖2₊ 1 1( , )−‖ ( )‖ − ∆ = ‖ ( + )‖ + ‖Ψ ( , 0)‖ + ∑ ∑ ! !( )!( ‖ ( + )‖) − ∆ = , || ( , )||( ( ) || ( )||) ( ) , || ( , )|| || ( )|| max || ( + )|| − ∆ ,∗= || ( )|| + ∗_∗ ( , ) ( , ) − || ( )||

Tablo 3.1. Bazı Semboller

Bu bölümde Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de . mertebeden periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemleri için verilen süreklilik teoremlerinin ispatlarının nasıl yapıldığı açıklanacaktır. Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de verilen süreklilik teoremlerini verebilmek için önce . mertebeden periyodik katsayılı lineer fark denklem sistemi (3.1) sisteminin pertürbe sistemini tanıtalım.

( ) = ( + ), boyutlu T periyotlu karesel matris olmak üzere (3.1) periyodik katsayılı lineer fark denklem sisteminin pertürbe sistemi olarak adlandırılan

( + ) = ( ) + ( ) ( ), ∈ ℤ (3.2)

sistemini ele alalım. (3.2) sistemi Schur kararlı ise

∗_{( )} _{( ) −} _{+ = 0}

Lyapunov denklemini sağlayan

= ∑ ( ∗( )) ( ( )) , = ∗ > 0

çözümü var ve ( + , ) = dir. (3.2) sisteminin Schur kararlı olması

(23)

= { ( )|s = 0,1,2, … , k − 1}

matris ailesindeki her bir matrisin Schur kararlı olmasına denktir. Burada ( ) = ∏ [ ( + ) + ( + )] dır (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

Aşağıda verilen teoremler, Schur kararlı olan (3.1) sisteminin hangi pertürbeler altında Schur kararlı kaldığını, başka bir deyişle hangi ( ) pertürbe matrisi için (3.2) sisteminin Schur kararlı kaldığını gösteren süreklilik teoremleridir.

Teorem 3.1. (3.1) . mertebeden fark denklem sistemi Schur kararlı ( ( , ) < ∞) olsun. Bu takdirde eğer, ( ) matrisi için

‖∆ ‖ < ∆

eşitsizliği sağlanırsa (3.2) sistemi de Schur kararlıdır. Burada ∆ ve ∆ sembolleri kısım 3.1.1. de tanıtıldığı gibidir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

İspat. Teorem 3.1; 1. mertebeden periyodik katsayılı (2.3) sistemi için Aydın ve ark. 2001’de verilen Teorem 2.3’ün . mertebeden periyodik katsayılı (2.3) sistemine genişletilmesidir. Dolayısıyla sırasıyla ( ) ve ( ) yerine ( ) ve ( ) alınıp Aydın ve ark. 2001’de verilen Teorem 2.3’ün ispatını adım adım takip edilerek Teorem 3.1’in ispatı yapılabilir.

Gerçekten; Teorem 3.1’de verilen eşitsizlikten = 1 − (2‖ ( )‖‖ ( ) − ( )‖ + ‖ ( ) − ( )‖ )‖ ‖ > 0 olarak alalım.

(3.2) sisteminin fundamental matrisi ( ) ve boyutlu vektör,

( + 1) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) − ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ≥ 0)

olarak ifade edilebilir. Buradan

〈 ( + 1) , ( + 1) 〉 = 〈 ( ) , ( ) 〉 −

〈 ( ) , ( ) 〉

(24)

+ ( ) − ( ) ∗ ( ) − ( ) ( ) , ( ) yazılır. Böylece

〈 ( + 1) , ( + 1) 〉 ≤ (1 − ‖ ( )‖‖ ( ) _{‖ ‖}( )‖ ‖ ( ) ( )‖ ‖ ‖

× 〈 ( ) , ( ) 〉

eşitsizliği bulunur. Bu eşitsizliğinin sağ tarafı için arka arkaya iterasyon uygulandığında

〈 ( ) , ( ) 〉 ≤ 1 −_{‖ ‖} 〈 , 〉

eşitsizliği elde edilir. pozitif tanımlı olduğundan → ∞ için ‖ ( ) ‖ = ( ) → 0

bulunur. Bunun anlamı (3.2) sisteminin ( ) matrisinin tüm öz değerlerinin birim diskin içinde olması, yani ( ) < 1, ( = 1, 2, … , ) dir. Dolayısıyla ( ) monodromi matrisi, dolayısıyla (3.2) pertürbe edilmiş periyodik katsayılı sistemi Schur kararlıdır.

Teorem 3.2. s = 0,1,2, … , k − 1 için ( ) ve ( ) sırasıyla, (3.1) ve (3.2) sistemlerinin monodromi matrisleri olsun. Bu takdirde,

|∆ | < ∆

eşitsizliği sağlanır. Burada ∆ ve ∆ sembolleri kısım 3.1.1. de tanıtıldığı gibidir. Ayrıca, eğer (3.1) sistemi Schur kararlı ise bu takdirde ∆ < ∆ eşitsizliğini sağlayan ( ) pertürbe matrisi için (3.2) pertürbe sistemi Schur kararlıdır (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

(25)

Teorem 3.3. = 0,1,2, … , k − 1 için ( ) ve ( ) sırasıyla, (3.1) ve (3.2) sistemlerinin monodromi matrisleri ve

( − 1)

, || ( , )|| | ( + )| < 1

olmak üzere |∆ | < ∆

eşitsizliği doğrudur. Burada ∆ ve ∆ sembolleri kısım 3.1.1. de tanıtıldığı gibidir Ayrıca, eğer (3.1) sistemi Schur kararlı ise bu takdirde

‖ ( )‖ < Δ

, ‖ ( , )‖[1 + ( − 1)( ‖ ( )‖ + Δ

şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisleri için (3.2) sistemi de Schur kararlıdır. Burada Δ ve Δ , kısım 3.1.1. de tanımlandığı gibidir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

Teorem 3.4. (3.1) sistemi Schur kararlı ( ( , ) < ∞) olsun. ‖ ( )‖ <

, ‖ ( , )‖[1 + ( − 1)( ‖ ( )‖ + )]

şartını sağlayan ( ) pertürbe marisi için, ( + , ) ≤ _| _{( )|}( , )

∆ ∆ ( , ); | − | ≤

( | ( )| ∆ )∆ ( , )

eşitsizlikleri doğrudur. Burada ve kısım 3.1.1 de tanımlandığı gibidir (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

Not 3.1. ≤ şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisi için Teorem 3.1’in ifadesindeki eşitsizlikler için de geçerlidir.

∗ ₌ _‖ _{( )‖ +} ∗ ( , )

∗ _{( , )} − ‖ ( )‖

olmak üzere Teorem 3.2 ve 3.3’ün ∗-Schur kararlığa uygulaması niteliğinde olan teoremi verelim.

(26)

Teorem 3.5. (3.1) sistemi ∗-Schur kararlı bir sistem ( ( , ) ≤ ∗_{olmak üzere} ) ∆ ≤ ∆ ,∗ ) ‖ ( )‖ ≤ ∆ ,∗ , | ( , )| [( ( ) | ( )| ∆ ,∗ _]

şartını sağlayan ( ) pertürbe matrisi için (3.2) sistemi de ∗-Schur kararlıdır (Çelik Kızılkan ve Duman 2020).

Not 3.2. Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de verilen Teorem 3.2. – 3.5.’in ispatları Teorem 3.1’in ispatını verdiğimiz gibi 1. mertebeden periyodik katsayılı (2.3) sistemi için Duman ve Aydın 2011, Duman ve ark. 2016’da verilen Teoremlerin ispatlarında sırasıyla ( ) ve ( ) yerine ( ) ve ( ) alınıp adım adım takip edilerek yapılabilir.

Not 3.3. (3.1) sisteminde = 1 olması durumunda Teorem 3.1. - 3.5., Aydın ve ark. 2001, Duman ve Aydın 2011, Duman ve ark. 2016’da bulunan (2.3) sistemi için yazılan ilgili teoremlere dönüşmektedir. Ayrıca = 1 ve = 1 ise ( , ) = ( , ) =

( ) yani bu durumda (3.1) sistemde 1. mertebeden sabit katsayılı sistem ve Teorem 3.1 - 3.5. ise 1. mertebeden sabit katsayılı sistem içi yazılan sonuçlar ile örtüşmektedir. Bu ise Teorem 3.1. – 3.5.’in literatür bilgisi ile olan uyumunu göstermektedir.

3.2. ( + ) = ( ) ( ) Sisteminin Çözümünün Üst Sınırı

Bu bölümde Schur kararlı k. mertebeden ( + ) = ( ) ( ) periyodik katsayılı fark denklem sisteminin çözümünün üst sınırı Çelik Kızılkan ve Duman 2020’de tanımlanan ( , ) kararlılık parametresine bağlı olarak bulunacaktır. Bulunan üst sınır literatürde bulunmamakta ve uygulama alanlarında sistemi çözmeden sistemin davranışı hakkında bilgi verdiği için önemlidir.

Akın ve Bulgak 1998’de ( + 1) = ( ) sabit katsayılı lineer fark denklem sistemi için verilen üst sınırının ispatı ( + ) = ( ) ( ) sistemi için adım adım takip edilerek Teorem 3.6’da verilen çözümün üst sınırı elde edilmiştir.

(27)

Teorem 3.6. = + , ∈ ℤ, 0 ≤ ≤ − 1,0 ≤ ≤ − 1, , ∈ ℤ ve = olmak üzere (3.1) denklem sisteminin çözümünün üst sınırı

‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ ( , ) 1 − _{( , )} ‖ ‖

ve

‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ ( , ) ( , ) _{‖ ‖}

şeklinde ifade edilebilir.

İspat. Şimdi Akın ve Bulgak 1998’de ( + 1) = ( ) sabit katsayılı lineer fark denklem sistemi için verilen üst sınırının ispatını ( + ) = ( ) ( ) sistemi için adım adım takip ederek yapalım.

(3.1) Cauchy problemi Schur kararlı ( ( , ) < ∞) olsun. Bu durumda ∀ s = 0,1,2, … , k − 1 için

∗_{( )} _{( ) −} _{+ = 0}

Lyapunov fark matris denkleminin simetrik pozitif tanımlı bir = ∗ > 0 çözümü vardır. ∀ s = 0,1,2, … , k − 1 için (3.1) sistemi Schur kararlı iken Schur kararlı olan

( + 1) = ( ) ( ) (3.3)

sabit katsayılı fark denklem sistemini ele alalım. (3.3) sistemi için

( + 1), ( + 1) − ( ), ( ) = ∗( ) ( ) ( ), ( )

olduğundan

( + 1), ( + 1) − ( ), ( ) = − ( ), ( )

ifadesi sağlanır. = ∗ > 0 simetrik pozitif tanımlı matris olduğundan 0 < ( ) = ≤ ≤ ⋯ ≤ = ( ) ve Rayleigh Ritz oranına göre

( ) ( ), ( ) ≤ ( ), ( ) ≤ ( ) ( ), ( ) dir. Buradan

(28)

( ), ( ) ≥ _{( )} ( ), ( )

yazabiliriz. Böylece

( + 1), ( + 1) − ( ), ( ) ≤ − _{( )} ( ), ( )

buradan

( + 1), ( + 1) ≤ 1 − _{( )} ( ), ( )

yazabiliriz. İterasyon uygularsak

( + 1), ( + 1) ≤ 1 − _{( )} (0), (0)

Rayleigh Ritz oranından

( ) ( ), ( ) ≤ 1 − 1

( ) (0), (0)

≤ 1 − _{( )} ( ) (0), (0)

elde ederiz. Buradan

‖ ( )‖ ≤ _{( )}( ) 1 − _{( )} ‖ (0)‖ ve ‖ ( )‖ ≤ _{( )}( ) 1 − _{( )} ‖ (0)‖ yazabiliriz. = ∑∞ ∗( ) ( ) _olduğundan ( ), ( ) = ∑ ∗( ) ( ) ( ), ( ) = ∑ ∗( ) ( ) ( ), ( )

(29)

= ∑ ( ) ( ), ( ) ( )

= ∑ ( ) ( ) = ‖ ( )‖ + ∑ ( ) ( )

olup buradan

( ), ( ) ( ), ( ) > 1

yazma imkanı tanır. Buradan ( ) = _{( ), ( )}( ), ( ) > 1 ve ( ) =

( ), ( )

( ), ( ) > 1 dolayısıyla 0 < ( )< 1 dir. Böylece

1 − ( ) ≤ ( ) ve 1 − _{( )} ≤ ( ) olur. Böylece ‖ ( )‖ ≤ _{( )}( ) ( )_{‖ (0)‖}

yazabiliriz. ( ) = _{( ), ( )}( ), ( ) > 1 olduğunu kullanırsak

‖ ( )‖ ≤ ( ) 1 − _{( )} ‖ (0)‖

ve

‖ ( )‖ ≤ ( ) ( )_{‖ (0)‖}

elde ederiz. = ∗ > 0 simetrik pozitif tanımlı matris olduğundan ‖ ‖ = ( ) dir. Böylece

(30)

ve ‖ ( )‖ ≤ ‖ ‖ ‖ ‖_{‖ (0)‖ ise}‖ ( )‖ ‖ ( )‖ ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ yazılabilir. ( )= ( ) (0), buradan ( ) = ‖ ( )‖ ( ) ( ) ‖ ( )‖ olduğundan ( ) ≤ ‖ ‖ 1 −_{‖ ‖} ve ( ) ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ elde edilir. = + , ∈ ℤ, 0 ≤ ≤ − 1,0 ≤ ≤ − 1, , ∈ ℤ ve = olmak üzere ( ) = ( ) ( ) olduğundan ‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ ( , ) 1 − _{( , )} ‖ ‖ ve ‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ ( , ) ( , ) _{‖ ‖} elde edilir.

(31)

4. NÜMERİK ÖRNEKLER

Bu bölümde Schur kararlı k. mertebeden periyodik katsayılı fark denklem sisteminin çözümünün Teorem 3.6 ile verilen yeni üst sınır ile ilgili nümerik örnekler yapılmıştır. Örnek 4. 1. ( + 3) = 0.75 0 4 ( ) ( ), = 1 0 , = 1 1 , = 0 1 periyodik katsayılı lineer Cauchy problemini ele alalım.

Verilen sistem için ( , 2) parametresini hesaplayalım.

= 3 ve = 2 olduğundan 0 ≤ ≤ 2 olur. ( ) = ∏ ( + ) olduğundan = 0 için

(1) = (0) = 0.75 0 4 0.5

(2) = (3) (0) = (1) (0) = 0.5625 0

1 −0.25

olur. ∗(2) (2) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü = 2.63849 −0.23379 −0.23379 1.06667 ve ‖ ‖ = 2.67252 olarak bulunur. = 1 için (1) = (1) = 0.75 0 4 −0.5 (2) = (0) (1) = 0.5625 0 5 −0.25

olur. ∗(2) (2) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü = 30.8536 −1.16895

−1.16895 1.06667 ve ‖ ‖ = 30.8994 olarak bulunur.

(32)

= 2 için

(1) = (2) = (0) = 0.75 0 4 0.5

(2) = (5) (2) = (1) (0) = 0.5625 0

1 −0.25

olur. ∗(2) (2) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü = 2.63849 −0.23379

−0.23379 1.06667 ve ‖ ‖ = 2.67252

olarak bulunur. Böylece verilen sistemin Schur kararlılık parametresi ( , 2) = ‖ ‖ = 30.8994

olarak hesaplanır. ( , 2) < ∞ olduğundan verilen 3. mertebeden periyodik katsayılı lineer sistem Schur kararlıdır.

Şimdi 3. bölümde Teorem 3.6 ile verilen yeni üst sınırı verilen örnek için hesaplayalım.

= 1 için = 0, = 1, = 1 olur. = = 0 olur. (1)’in çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (1)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1.41421, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1.41421. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (1)‖ = 1.41421 ≤ 7.86122 olarak bulunur.

= 2 için = 0, = 2, = 2 olur. = = 0 olur. (2)’nin çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

(33)

‖ (2)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (2)‖ = 1 ≤ 7.86122 olarak bulunur.

= 3 için = 0, = 3, = 0 olur. = = 1 olur. (3)’ün çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (3)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖. (1) = (0) = 0.75 0 4 0.5 olduğundan ‖ (1)‖ = 4.09928. (1) = (1) = 0.75 0 4 −0.5 olduğundan ‖ (1)‖ = 4.09928. (1) = (2) = 0.75 0 4 0.5 olduğundan ‖ (1)‖ = 4.09928. Bu durumda ‖ (1)‖ = 4.09928; ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1.41421, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1.41421. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (3)‖ = 4.06971 ≤ 32.2253 olarak bulunur.

‖ (4)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

(34)

‖ (1)‖ = 4.09928 olduğunu bulmuştuk.

‖ (4)‖ = 3.57946 ≤ 32.2253 olarak bulunur.

‖ (5)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (5)‖ = 0.5 ≤ 32.2253 olarak bulunur.

= 6 için = 1, = 0, = 0 olur. = = 0 olur. (6)’nın çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (6)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (6)‖ = 1.14735 ≤ 7.73295 olarak bulunur.

(35)

‖ (7)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (7)‖ = 4.78319 ≤ 7.73295 olarak bulunur.

‖ (8)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (8)‖ = 0.25 ≤ 7.73295 olarak bulunur.

= 9 için = 1, = 3, = 0 olur. = = 1 olur. (9)’un çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (9)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(36)

Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında ‖ (9)‖ = 2.78217 ≤ 31.6995

olarak bulunur.

‖ (10)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (10)‖ = 0.440005 ≤ 31.6995 olarak bulunur.

‖ (11)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (11)‖ = 0.125 ≤ 31.6995 olarak bulunur.

(37)

‖ (12)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (12)‖ = 0.444712 ≤ 7.60679 olarak bulunur.

‖ (13)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (13)‖ = 1.65552 ≤ 7.60679 olarak bulunur.

‖ (14)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

(38)

olarak bulunur.

‖ (15)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (15)‖ = 1.44154 ≤ 31.1824 olarak bulunur.

‖ (16)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (16)‖ = 0.51503 ≤ 31.1824 olarak bulunur.

‖ (17)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(39)

‖ (17)‖ = 0.03125 ≤ 31.1824 olarak bulunur.

‖ (28)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (28)‖ = 0.127041 ≤ 30.1732 olarak bulunur.

‖ (32)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(0) = (0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (32)‖ = 0.000976 ≤ 7.24052 olarak bulunur.

(40)

= 40 için = 6, = 4, = 1 olur. = = 1 olur. (40)’ın çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (40)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (40)‖ = 0.00005 ≤ 29.1967 olarak bulunur.

Yukarıda elde ettiğimiz değerleri bir tablo ile gösterelim.

‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) ‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) 1 1.41421 7.86122 11 0.125 31.6995 2 1 7.86122 12 0.444712 7.60679 3 4.06971 32.2253 13 1.65552 7.60679 4 3.57946 32.2253 14 0.0625 7.60679 5 0.5 32.2253 15 1.44154 31.1824 6 1.14735 7.73295 16 0.51503 31.1824 7 4.78319 7.73295 17 0.03125 31.1824 8 0.25 7.73295 28 0.127041 30.1732 9 2.78217 31.6995 32 0.000976 7.24052 10 0.440005 31.6995 40 0.00005 29.1967

(41)

Örnek 4.2. ( + 2) = cos 0.7 0.3 0.4 ( ), = 1 0 , = 0 1 periyodik katsayılı lineer Cauchy problemini ele alalım.

= 2 ve = 3 olduğundan 0 ≤ ≤ 1 olur. ( ) = ∏ ( + ) olduğundan = 0 için (1) = (0) = 1 0.7 0.3 0.4 (2) = (2) (0) = −0.29 −0.07 0.42 0.37 (3) = (4) (2) (0) = (1) (2) (0) = 0.439 0.294 0.081 0.127 olur. ∗(3) (3) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü

= 1.26476 0.190111 0.190111 1.14194 ve ‖ ‖ = 1.40313 olarak bulunur. = 1 için (1) = (1) = −0.5 0.7 0.3 0.4 (2) = (3) (1) = (0) (1) = −0.29 0.98 −0.03 0.37 (3) = (5) (3) (1) = (2) (0) (1) = 0.124 −0.231 −0.099 0.442 olur. ∗(3) (3) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü

= 1.03129 −0.0953836

−0.093836 1.3354 ve ‖ ‖ = 1.36284 olarak bulunur. Böylece verilen sistemin Schur kararlılık parametresi

(42)

( , 3) = ‖ ‖ = 1.40313

= 0 için = 0, = 0, = 0 olur. = = 0 olur. (0)’ın çözümünün üst sınırını bulalım. Teorem 3.6’dan

‖ (0)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1; ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (0)‖ = 1 ≤ 1.18454 olarak bulunur.

‖ (1)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1 ≤ 1.18454 olarak bulunur.

(43)

‖ (2)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖. (1) = (0) = 1 0.7 0.3 0.4 olduğundan ‖ (1)‖ = 1.31111. (1) = (1) = −0.5 0.7 0.3 0.4 olduğundan ‖ (1)‖ = 0.878836. Bu durumda ‖ (1)‖ = 1.31111; ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (2)‖ = 1.04403 ≤ 1.55306 olarak bulunur.

‖ (3)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1.31111 olduğunu bulmuştuk. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (3)‖ = 0.806226 ≤ 1.55306 olarak bulunur.

(44)

‖ (4)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 − ( , )) ‖ ‖. (2) = (2) (0) = −0.29 −0.07 0.42 0.37 olduğundan ‖ (1)‖ = 0.621774. (2) = (3) (1) = (0) (1) = −0.29 0.98 −0.03 0.37 olduğundan ‖ (1)‖ = 1.08496. Bu durumda ‖ (2)‖ = 1.08496; ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1 olur. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (4)‖ = 0.510392 ≤ 1.28518 olarak bulunur.

‖ (5)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (5)‖ = 0.967988 ≤ 1.28518 olarak bulunur.

‖ (6)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(45)

‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (6)‖ = 0.44641 ≤ 0.634925 olarak bulunur.

‖ (7)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (7)‖ = 0.462819 ≤ 0.634925 olarak bulunur.

‖ (8)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (8)‖ = 0.522156 ≤ 0.832457 olarak bulunur.

(46)

‖ (9)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1.31111olduğunu bulmuştuk. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (9)‖ = 0.406703 ≤ 0.832457 olarak bulunur.

‖ (10)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (10)‖ = 0.252249 ≤ 0.688868 olarak bulunur.

‖ (11)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (2)‖ = 1.08496 olduğunu bulmuştuk. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1.

(47)

Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında ‖ (11)‖ = 0.487677 ≤ 0.688868 olarak bulunur.

‖ (12)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (12)‖ = 0.221335 ≤ 0.340327 olarak bulunur.

‖ (13)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (13)‖ = 0.23494 ≤ 0.340327 olarak bulunur.

(48)

‖ (14)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (14)‖ = 0.26221 ≤ 0.446206 olarak bulunur.

‖ (15)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (15)‖ = 0.20626 ≤ 0.446206 olarak bulunur.

‖ (16)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(49)

olarak bulunur.

‖ (17)‖ ≤ ‖ (2)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (17)‖ = 0.258765 ≤ 0.369241 olarak bulunur.

‖ (24)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (24)‖ = 0.0557701 ≤ 0.097785 olarak bulunur.

‖ (32)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 3)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1.31111 olduğunu bulmuştuk. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1.

(50)

Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında ‖ (32)‖ = 0.0332542 ≤ 0.687157 olarak bulunur.

‖ (43)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 3)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (43)‖ = 0.0081652 ≤ 0.0150579 olarak bulunur.

‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) ‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) 1 1 1.18454 11 0.487677 0.688868 2 1.04403 1.55306 12 0.221335 0.340327 3 0.806226 1.55306 13 0.23494 0.340327 4 0.510392 1.28518 14 0.26221 0.446206 5 0.967988 1.28518 15 0.20626 0.446206 6 0.44641 0.634925 16 0.126494 0.369241 7 0.462819 0.634925 17 0.258765 0.369241 8 0.522156 0.832457 24 0.0557701 0.097785 9 0.406703 0.832457 32 0.0332542 0.687157 10 0.252249 0.688868 43 0.0081652 0.0150579

(51)

Örnek 4.3. ( + 2) = ( ) 0 0.1 1 0.7 0.5 0 0.2 0.4 ( ), = 1 0 0 , = 0 0 1

periyodik katsayılı lineer Cauchy problemini ele alalım. Verilen sistem için ( , 2) parametresini hesaplayalım.

= 2 ve = 2 olduğundan 0 ≤ ≤ 1 olur. ( ) = ∏ ( + ) olduğundan = 0 için (1) = (0) = 0.5 0 0.1 1 0.7 0.5 0 0.2 0.4 (2) = (2) (0) = (0) (0) = 0.25 0.02 0.09 1.2 0.59 0.65 0.2 0.22 0.26

olur. ∗(2) (2) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü

= 11.5945 4.89987 6.1834 4.89987 3.2937 2.88179 6.1834 2.88179 4.63558 ve ‖ ‖ = 17.4869 olarak bulunur. = 1 için (1) = (1) = −0.5 0 0.1 1 0.7 0.5 0 0.2 0.4 (2) = (3) (1) = (1) (1) = 0.25 0.02 −0.01 0.2 0.59 0.65 0.2 0.22 0.26

=

1.60145 0.837561 0.917608 0.837561 2.38787 1.53239 0.917608 1.53239 2.69339

ve ‖ ‖ = 4.59604

(52)

( , 2) = ‖ ‖ = 17.4869 olur.

‖ (1)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1 ≤ 4.18173 olarak bulunur.

‖ (2)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖. (1) = (0) = 0.5 0 0.1 1 0.7 0.5 0 0.2 0.4 olduğundan ‖ (1)‖ = 1.40893 (1) = (1) = −0.5 0 0.1 1 0.7 0.5 0 0.2 0.4 olduğundan ‖ (1)‖ = 1.38727 Bu durumda ‖ (1)‖ = 1.40893. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1.

(53)

Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında ‖ (2)‖ = 1.11803 ≤ 5.89177

olarak bulunur.

‖ (3)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (3)‖ = 0.648074 ≤ 5.89177 olarak bulunur.

‖ (4)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (4)‖ = 1.24197 ≤ 4.06041 olarak bulunur.

(54)

‖ (5)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (5)‖ = 0.700143 ≤ 4.06041 olarak bulunur.

‖ (11)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (11)‖ = 0.534135 ≤ 5.55485 olarak bulunur.

‖ (12)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(55)

olarak bulunur.

‖ (18)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (1)‖ = 1.40893 olduğunu bulmuştuk. ‖ ‖ = 1, ‖ ‖ = 1 olduğundan ‖ ‖ = 1 olur. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (18)‖ = 0.965693 ≤ 5.23719 olarak bulunur.

‖ (25)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (25)‖ = 0.29848 ≤ 3.50457 olarak bulunur.

(56)

Yukarıda elde ettiğimiz değerleri bir tablo ile gösterelim. ‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) ‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) 1 1 4.18173 11 0.534135 5.55485 2 1.11803 5.89177 12 1.102 3.82821 3 0.648074 5.89177 18 0.965693 5.23719 4 1.24197 4.06041 25 0.29848 3.50457 5 0.700143 4.06041 Örnek 4.4. ( + 3) = ( ) 0.5 0.4 0.2 ( ), = 2 3 , = 3 4 , = 1 1 periyodik katsayılı lineer Cauchy problemini ele alalım.

= 3 ve = 2 olduğundan 0 ≤ ≤ 2 olur. ( ) = ∏ ( + ) olduğundan = 0 için

(1) = (0) = 0.5 0.5 0.4 0.2

(2) = (3) (0) = (1) (0) = −0.05 −0.15 0.28 0.24

= 1.08553 0.0766556 0.0766556 1.08118 ve ‖ ‖ = 1.15994 olarak bulunur. = 1 için (1) = (1) = −0.5 0.5 0.4 0.2

(57)

(2) = (0) (1) = −0.05 0.35 −0.12 0.24

olur. . ∗(2) (2) − + = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü = 1.01902 −0.049293 −0.049293 1.18479 ve ‖ ‖ = 1.19834 olarak bulunur. = 2 için (1) = (2) = (0) = 0.75 0 4 0.5 (2) = (5) (2) = (1) (0) = −0.05 −0.15 0.28 0.24

olur. ∗₍₂₎ _{(2) −} _{+ = 0 Lyapunov matris denkleminin çözümü}

= 1.08553 0.0766556

0.0766556 1.08118 ve ‖ ‖ = 1.15994 olarak bulunur. Böylece verilen sistemin Schur kararlılık parametresi

( , 2) = ‖ ‖ = 1.19834

‖ (1)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

(58)

Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında ‖ (1)‖ = 5 ≤ 5.47344

olarak bulunur.

‖ (2)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

(0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ ‖ = 3.60555, ‖ ‖ = 5, ‖ ‖ = 1.41421 olduğundan ‖ ‖ = 5. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

‖ (2)‖ = 1.41421 ≤ 5.47344 olarak bulunur.

‖ (3)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖. (1) = (0) = 0.5 0.5 0.4 0.2 olduğundan ‖ (1)‖ = 0.827895. (1) = (1) = −0.5 0.5 0.4 0.2 olduğundan ‖ (1)‖ = 0.728202. (1) = (2) = 0.5 0.5 0.4 0.2 olduğundan ‖ (1)‖ = 0.827895. Bu durumda ‖ (1)‖ = 0.827895; ‖ ‖ = 3.60555, ‖ ‖ = 5, ‖ ‖ = 1.41421 olduğundan ‖ ‖ = 5. Buradan elde edilen değerler yerine yazıldığında

(59)

‖ (3)‖ = 2.86531 ≤ 4.53143 olarak bulunur.

‖ (4)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

( , )) ‖ ‖.

‖ (4)‖ = 2.06155 ≤ 4.53143 olarak bulunur.

‖ (8)‖ ≤ ‖ (0)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

(0) = (0) = olduğundan ‖ (0)‖ = 1;

‖ (8)‖ = 0.557136 ≤ 2.22677 olarak bulunur.

‖ (16)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 −

(60)

‖ (16)‖ = 0.0960802 ≤ 4.53143 olarak bulunur.

‖ (39)‖ ≤ ‖ (1)‖ ( , 2)(1 − _{( , )}) ‖ ‖.

‖ (39)‖ = 0.000006 ≤ 0.205459 olarak bulunur.

‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) ‖ ( )‖ Üst Sınır (Teorem 3.6) 1 5 5.47344 8 0.557136 2.22677 2 1.41421 5.47344 16 0.960802 4.53143 3 2.86531 4.53143 39 0.000006 0.205459 4 2.06155 4.53143