Modlar toplama yöntemi ile sonsuz silindirdeki kuantum boşluk enerjisi

T.C

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MODLAR TOPLAMI YÖNTEMİ İLE SONSUZ SİLİNDİRDEKİ

KUANTUM BOŞLUK ENERJİSİ

SEMA BAĞDU MİNEZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI

Tez yöneticisi: Prof..Dr. GÜL MİRZA KERİMOV

ÖZET

Bu çalışmada a yarıçaplı iletken sonsuz bir silindir için elektromagnetik alanın

kuantum boşluk enerjisi tartışıldı. Casimir enerjisinin anlaşılmasını kolaylaştırmak için bir örnek verildi. Bu örnekte tek boyutta iki levha arasında kütlesiz skaler alanın periyodik sınır şartları ile kuantum boşluk enerjisi ele alındı. Daha sonra Casimir enerjisi için genel bir integral gösterimi ele alındı. Sonraki bölümde silindirik koordinatlarda Maxwell denklemleri çözülerek frekanslar bulundu. Elektromagnetik dalga hızının v olduğu ve elektromagnetik alanın özelliklerinin ε₁μ₁ =ε₂μ₂ =v−2 koşuluna uyduğu varsayıldı ve ε₁, μ₁ sırasıyla silindirin permitivi ve permabilitesi,

2 2, μ

ε silindirin permitivi ve permabilitesidir. Bu koşullar sağlandığında silindirin içindeki ve dışındaki modlar arasındaki ıraksamalar Zeta fonksiyonu tekniği

kullanılarak ortadan kaldırıldı. Son olarak 2

2 1 2 2 1 2 _{( ε ε ) /(ε ε )} ξ = − + olmak üzere 1 2 _<<

ξ ve _ξ2 ₌1 _{olduğundaki durumlar göz önüne alınarak silindiriksel kabuğun} Casimir enerjisi hesaplandı.

SUMMARY

The quantum vacuum energy of the electromagnetic field for a conducting cylinder of radius a was discussed. An example was given in order to make

understanding of Casimir Energy easier. In this example, periodic boundary condition of massless scalar field φ( xt, ) and quantum vacuum energy were studied. Afterwards, a general integral representation for the Casimir energy was studied. In the next step, Maxwell equations were solved in cylindrical coordinates and frequencies were obtained. It was assumed that the electromagnetic characteristics were suitable for the

condition 2 2 2 1 1 − = =ε μ v μ

ε where v is the speed of the electromagnetic wave and, the

permittivity and permeability of the cylinder material are (ε₁,μ₁)and of the surroundings are (ε₂,μ₂).When these conditions were created the divergences between the modes inside and outside the cylinder were eliminated by using Zeta function technique. Finally, Casimir energy of cylindrical shell was calculated considering the

cases _ξ2 ₌ 2 2 1 2 2 1 ) /( ) (ε −ε ε +ε and _ξ2 _<<1 _{and ξ}2 _=1. ii

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımda bana yardımcı olan ve her an yeni bir bakış açısı kazandıran değerli hocam Prof. Dr. Gül Mirza KERİMOV’ a , değerli hocalarıma,desteğini benden hiçbir zaman esirgemeyen eşim Berk MİNEZ’e ve aileme teşekkürlerimi bir borç bilirim.

İÇİNDEKİLER

Özet i

Summary ii

1. GİRİŞ 1

2. CASİMİR ETKİSİ VE MODLAR TOPLAMA YÖNTEMİ 5

2.1. Kütlesiz Skaler Alanın Kuantum Boşluk Enerjisi 5

2.2. Casimir Enerjisinin Yol İntegrali ile Hesaplanması 14

3.SİLİNDİRİK DALGALAR 21

3.1. Silindirik Koordinatlarda Maxwell Denklemlerinin Çözümleri 21

3.2. Silindirik Fonksiyonlar ve Onların Özellikleri 28

3.3. Çembersel Silindirde İlerleyen Elektromanyetik Dalgalar 31

4.SONSUZ BİR SİLİNDİRİN CASİMİR ENERJİSİ 36

4.1.Sonsuz Bir Silindirin Casimir Enerjisi için İntegral Temsil 36

4.2. Sonsuz bir Silindirin ε₁μ₁ =ε₂μ₂ Koşulu altında Casimir Enerjisi 38

4.3 Dilute Compact Silindir ve İdeal İletken Silindirik Kabuk 51

SONUÇ 55 Kaynaklar

Özgeçmiş

1

1 GİRİŞ

Kuantum alanının boşluk enerjisi son yıllarda oldukça ilgi çeken bir konudur. Bu konuya ilişkin olarak öncelikle ‘boşluk enerjisi’ terimine değinelim. Kuantum alan teorisine göre elektromanyetik alan, sonsuz sayıda harmonik salınıcılar topluluğu olarak düşünülebilir. Kuantum mekaniğinden bilindiği gibi harmonik salınıcın enerji düzeyleri

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 1 n n ω

ε _h şeklindedir. Burada n=0,1,2,... ve h plank sabitidir. Buna göre taban

durumunda harmonik salınıcın enerjisi

2

0

ω

ε = h ‘ dir. Bir başka değişle elektromanyetik alanın en düşük enerjisi (boşluk enerjisi) sıfırdan farklıdır.

∑

= } { 0 2 p p E h ω (1.1)

Bu en düşük enerji sıfır nokta enerjisi olarak bilinmektedir. }{p (kesikli ve sürekli) kuantum sayıların kümesi olup ele alınan problemin simetrisine uygun olarak seçilir.

Casimir kuvveti boşluktaki (vakum) salınımların en çok tanınmış mekanik etkisidir. Bunu ilk olarak 1948 yılında Hollandalı fizikçi Hendrick Casimir ideal iletken nötr paralel levhaların boşlukta birbirini çektiğini ve bu çekici kuvvetin levhalar belli mesafedeyken elektromanyetik alanın sıfır nokta enerjisindeki değişimden kaynaklandığını düşünmüştür [Casimir, 1948]. Casimir, iki paralel levhanın belirli bir mesafedeyken birbirini çektiğini dolayısıyla, iki paralel levha arasındaki kuvvetin negatif yani çekici bir kuvvet olduğunu gördü. Bu çekici kuvvet

4 2 240d c A F ₌₋ π _h (1.2)

şeklindedir. [(2.1.42) ile karşılaştırınız.] Burada cışık hızı ve dlevhalar arasındaki

2

etki eder(bkz.şekil-1). Bölüm 2’de Casimir enerjisi ile ilgili geniş bir bilgi sunulacaktır. Burada (1.2) bağıntısına kısaca değinelim. (1.1) serisi ıraksak bir seridir. Kuantum alan teorisinde zaman zaman fiziksel büyüklükler ıraksak seriler olarak karşımıza çıkar. Bu durumlarda bile regularizasyon işlemi ile ıraksak seriyi (veya integral) sonlu hale dönüştürür. Renormalizasyon işlemi ise fiziksel bir argümana dayanarak sonlu kısmı sonsuz kısımdan ayrıştırır. Enerji toplanabilir (additive) korunan bir büyüklük olduğu için yalnız bir sabit farkı ile tanımlanabilir. Buna göre tüm fiziksel enerjiler hiçbirşeyin bulunmadığı uzayda (Minkowski uzayında) vakum enerjisi referans alınarak hesaplanabilir. Bir başka değişle Minkowski uzayındaki vakum enerjisini sıfır alabiliriz. Bu argümana dayanarak Casimir (ideal iletken nötr) paralel levhalar bulunduğu durumdaki enerjiyi renormalize ederek (1.2) bağıntısını elde etmiştir.

d F

Şekil-1 Paralel levhalar

Casimir kuvveti birkaç metre uzaklıktaki levhalar için son derece küçük olarak gözlenirken, uzaklık mikron düzeyindeyken ölçülebilir basamaktadır. Örneğin, alanı

2

1cm ve aradaki uzaklık 1μm olan iki levha yaklaşık 10−7N’luk bir Casimir kuvvetine sahiptir, ki bu kuvvet çapı yarım milimetre olan bir su damlasının ağırlığı kadardır. Casimir etkisiyle ilgili birçok deney vardır. Bunlardan ilki 1958 yılında Sparnaay tarafından deneysel olarak yapılmış 1 2

cm alanında ve a=0,5μm levhalar için bu kuvvet 0,2 dyn olarak bulunmuştur [Sparnaay, 1958]. Böylelikle Casimir etkisinin gerçek olduğu anlaşılmıştır. Daha sonra 1968 yılında Boyer’in küresel kabuk için yaptığı hesaplamalarda bu çekici kuvvetin tersine itici kuvvet anlamına gelen ve yalnızca kabuğun yarıçapına bağlı pozitif bir sonuç bulunmuştur [Boyer, 1968]. Bu sonuç 1972 yılında B. Davies tarafından yapılan küresel kabuk için Casimir enerjisi

3

hesabı ile de desteklenmiştir [Davies, 1972]. 1978 yılında ise K. A. Milton, L. L. DeRaad ve J. Schwinger tarafından Green fonksiyon yöntemi ile doğrulanmıştır [Milton at all, 1978]. 70’inci yıllardan başlayarak her yıl bu konuyla ilgili yüzlerce makale yazılmıştır. Casimir enerjisi ile ilgili yayınlanan makalelerin büyük bir kısmı M. Bordag, U. Mohideen, V. M. Mostapanenko [Bordag et al, 2001] K. A. Milton [Milton, 2004] ve [Milton, 2006] derlemelerinde yer almaktadır.

Silindir geometrisine yönelik ilk çalışma 1981 yılında ideal iletken silindirik kabuk için L. L. DeRaad ve K. A. Milton tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada ‘Green fonksiyonu’ kullanılarak Casimir enerjisi hesaplanmıştır [DeRaad and Milton, 1981]. Burada regülarizasyon yöntemi olarak ‘kesilim’ faktörü kullanılmıştır. Daha sonra 1998 yılında ideal iletken ve sonsuz silindiriksel yüzeyin boşluk enerjisi Godzinsky ve Romeo tarafından hesaplanmıştır[Godzinsky and Romeo, 1998]. Burada regülarizasyon yöntemi olarak zeta fonksiyon yöntemi kullanılmıştır. 1999 yılında K. A. Milton, A. V. Nesterenko ve V. V. Nesterenko tarafından yapılan çalışmada sonsuz bir silindirin elektromagnetik sıfır nokta enerjisi mod toplama yöntemi ile hesaplanmıştır. Bu çalışmada Casimir enerjisi için genel bir gösterim ele alındıktan sonra

2 1 1 1 1 − = =ε μ c μ

ε koşulunda silindirin içinde ve dışındaki modlar arasındaki ıraksamalar Zeta fonksiyonu tekniği kullanılarak ortadan kaldırılmış ve _ξ2 _<<1_{, 1ξ}2 _{= olduğu}

durumlar ele alınarak silindiriksel kabuğun Casimir enerjisi hesaplanmıştır [Milton et al, 1999]. İnez Cavero Pelaez ve K. A. Milton’ın 2004 yılında yayınlanan çalışmalarında dielektrik-diamagnetik silindirin içinde ve dışında farklı hızlara sahip (yani ε₁μ₁ ≠ε₂μ₂ koşulu) bir durum ele alarak Casimir Enerjisini hesaplamışlardır[Pelaez and Milton, 2004]. Bu çalışmada Green fonksiyonu yöntemi kullanılmıştır. 2006 yılında V. V. Nesterenko ve I. G. Pirhozenko sınırlandırılmamış uniform bir ortamda sonsuz compact silindirin Casimir Enerjisini ışık hızı yüzeyden geçerken süreklilik koşulu altında (yani

2 −

= c

εμ koşulu) araştırılmış ve bu çalışmada mod toplama metodu kullanılmıştır [Nesterenko and Pirhozenko, 2006]. G. Lambiase, V. V. Nesterenko ile M. Bordag 2006 yılındaki çalışmalarında Zeta fonksiyon tekniğini silindir ve küre için uygulayarak Casimir enerjisini hesaplamışlardır[Lambiase et al, 2006]. August Romeo ve K. A. Milton 2006 yılında Dilute dielektrik silindir için Casimir enerjisini Zeta fonksiyon regularizasyonuyla birlikte mod toplama metodunu kullanarak hesaplamışlardır [Romeo and Milton, 2006].

4

Casimir enerjisi hesaplarında birkaç yöntem kullanılmaktadır. Bunlardan en basiti mod toplama yöntemidir. Mod toplama yönteminde Casimir enerjisi ω_pklasik öz frekanslı üzerinden bir toplam olarak gösterilmektedir. Buna göre bu tür hesaplamalarda ilk adım klasik öz frekansların bulunmasıdır. İkinci adım ise regülarizasyon ve renormalizasyon işlemleri kullanılarak sonlu ifadelerin elde edilmesidir.

Bu çalışmada mod toplama metoduyla sonsuz bir silindirin Casimir enerjisini ele alacağız.

İkinci bölümde Casimir etkisinin ve mod toplama yönteminin anlaşılmasını kolaylaştıracak bir örnek olarak tek boyutta iki levha arasında kütlesiz skaler alanın periyodik sınır şartları ile kuantum boşluk enerjisini hesaplayacağız [Bordag et al, 2001]. Ayrıca mod toplama yöntemi kullanılarak Casimir enerjisinin integral gösterimi elde edilecektir.

Üçüncü bölümde silindirik koordinatlarda Maxwell denklemlerinin çözümlerini, silindirik fonksiyonlar ve onların özelliklerini, çembersel silindirde ilerleyen elektromanyetik dalgalar ele alınacaktır.

Dördüncü bölümde elektromanyetik özellikleri 2 2 2 1 1 − = =ε μ v μ ε koşullarına

bağlı olduğunu kabul edeceğiz. Bu koşullar sağlandığında silindirin içinde ve dışındaki modlar arasındaki ıraksamaları ortadan kaldıracağız. Bu ıraksamaları zeta fonksiyon tekniği kullanılarak ayrıştıracağız. Daha sonra 2

2 1 2 2 1 2 _{( ε ε ) /(ε ε )} ξ = − + olmak üzere 1 2 _<<

ξ ve _ξ2 ₌1 _{olduğundaki durumlar göz önüne alarak dilute compact silindirin ve} silindiriksel kabuğun Casimir enerjisi hesaplanacaktır.

5

2. CASİMİR ETKİSİ VE MODLAR TOPLAMA YÖNTEMİ

Bu bölümde tek boyutta iki levha arasında kütlesiz skaler alanın, periyodik sınır şartları ile kuantum boşluk enerjisini hesaplayacağız [Bordag,et al,2001]. Ayrıca Mod toplama yöntemi kullanarak Casimir enerjisinin integral gösterimini elde edeceğiz.

2.1.Kütlesiz Skaler Alanın Kuantum Boşluk Enerjisi

Casimir etkisini silindir geometrisinde hesaplamaya geçmeden önce daha basit bir problemi inceleyerek Casimir etkisinin daha kolay anlaşılmasını sağlayabiliriz. Bunun için tek boyutta iki ‘levha’ arasında kütlesiz φ( xt, ) skaler alanın kuantum boşluk (vakum) enerjisini hesaplayalım. Levhalar arasındaki uzaklık a olsun. Buna

göre periyodik sınır şartları

0 ) 0 , (t = (2.1.1) 0 ) , (t a = (2.1.2)

olur. Tek boyutta φ( xt, ) skaler alanı

0 ) , ( ) , ( 1 2 2 2 2 2 _∂ = ∂ − ∂ ∂ x x t t x t c φ φ (2.1.3)

Klein-Gordon [Sakurai, 1967], [Itzykson and Zuber , 1987] denklemini sağlar. Kuantum alan teorisinde 0 vakum sistemin taban durumu olarak tanımlanır.

0 0 =

n

6

Burada a ve n+ a sırasıyla yaratıcı ve yok edici operatörlerdir. Bu operatörler aşağıdaki n

komütasyon bağıntılarını sağlarlar.

[

, '

]

_, ' n n n n a a + =δ ,

[

, '

] [

= , '

]

=0 + + n n n n a a a a (2.1.5)

Böylece, φ( xt, ) kuantum skaler alanın yaratıcı ve yok edici operatörler cinsinden seri açılımını

[

]

∑

− ₊ + + = n n n n n t x a t x a x t, ) ( , ) (, ) ( _φ( ) _φ( ) φ (2.1.6)

şeklinde yazabiliriz. Burada ( )( , ) x t n − φ ve ( )( , ) x t n + φ Klein-Gordon denkleminin (2.1.1) ve (2.1.2) sınır şartlarını sağlayan ve

∫

∗ _{∂ − ∂} ∗ = a t tg f g f dx c i g f 0 ] ) ( ) ( [ ) , ( (2.1.7)

iç çarpımına göre ortanormal olan çözümlerdir. ( )( , ) x t

n −

φ eksi frekanslı çözümler iken ) , ( ) ( x t n +

φ artı frekanslı çözümlerdir

x k e a c x t n t i n n n sin ) , ( 2 1 ) ( ω ω φ ± ± ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = . (2.1.8) ' ' ) , ( ( ) ( ) nn n n φ δ φ ± ± =_{m , (} ( )_, ( )_{) 0} ' = ± _m n n φ φ (2.1.9) Burada n n =ck ω (2.1.10) ve

7 ... , 2 , 1 , = = n a n kn π (2.1.11)

şeklindedir. Belirtelim ki , (2.1.11) bağıntısı (2.1.2) sınır şartından bulunur. Dolayısıyla

a n c n π ω = frekansları 0 sin = c a ω (2.1.12)

denkleminden elde edilir.

Skaler alan için çizgisel Hamiltonyen yoğunluğu

[

] [

]

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{∂ + ∂} = 2 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 ) , ( t x t x c c x t H h _tφ _xφ (2.1.13)

olarak tanımlanır. Skaler alanın (2.1.6) ifadesi burada yerine yazılır ve (2.1.5) bağıntısı göz önünde bulundurulursa ) 14 . 1 . 2 ( 1 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + + + + + + + + − + − + + − + − − − − −

∑∑

x x t t c a a x x t t c a a x x t t c a a x x t t c a a x x t t c c H I I I I I I I I I I I I I I I I n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n φ φ φ φ δ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ h

elde edilir. Şimdi vakum durumunda 0 H(t,x)0 enerji yoğunluğunu hesaplayalım. Sonuç olarak

∑

∞ = + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 0 ) , ( 0 n n n n n x x t x x t t x t t x t c c x t H h φ φ φ φ (2.1.15)

8

bulunur. Burada (2.1.4) bağıntısını kullandık. ( )( , ) x t

n ±

φ ’in (2.1.8) ifadesini (2.1.15)’de yerine yazarsak çizgisel enerji yoğunluğunu

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

n n n n n n n n x k k a c x k a c c c x t H 1₂ 2sin2 2cos2 2 0 ) , ( 0 ω ω ω h _(2.1.16) veya

∑

∞ = = 1 2 0 ) , ( 0 n n a x t H h ω (2.1.17)

elde ederiz. Dolayısıyla çizgisel enerji yoğunluğu ( yani birim uzunluğa düşen enerji ) noktadan noktaya değişmez olup (2.1.17) bağıntısıyla verilmektedir. Buna göre ( a 0, ) aralığındaki E toplam boşluk enerjisi

) 18 . 1 . 2 ( 2 0 ) , ( 0 ) ( 1

∑

∞ = = = n n x t H a a E ω h

olarak bulunur. E(a)’nın sonsuz olduğu açıkça görülmektedir. Burada

a n c n π ω = alınırsa

∑

∞ = = 1 2 ) ( n n a c a E π h (2.1.19)

olur. (2.1.18) serisini _e−αωngibi bir test fonksiyonu ile regülarize edelim.

∑

∞ = − = 1 2 ) , ( n n a c reg ne a c a E απ π α h (2.1.20)

9

Burada α renormalizasyon parametresidir. Oran testinden serinin α >0 değerleri için yakınsak olduğu rahatça görülebilir. (2.1.20) bağıntısındaki toplamı bulmak için

∑

∞ = − 1 n n a c e απ

geometrik serisi için iyi bilinen

a c a c n n a c e e e _απ απ απ − − ∞ = − − =

∑

1 1 (2.1.21)

bağıntısının α ’ya göre türevini hesaplayalım. Sonuç

a c ne n n a c 2 sinh 4 1 2 1 απ απ =

∑

∞ = − (2.1.22)

olarak belirlenir. Buna göre

a c a c a Ereg 2 sinh 8 ) , ( _{α = h}π −2απ _(2.1.23)

elde ederiz. Doğal olarak α →0limitinde boşluk enerjisi sonsuz olarak bulunur. )

, (aα

Ereg ’yı α ’ya göre seriye açalım. Bunun için

) 1 (cosh 2 1 2 sinh2 δ _{= δ −} ve .... ! 4 ! 2 1 coshδ = +δ2 +δ4 +

bağıntılarını kullanabiliriz. Sonuçta

) 24 . 1 . 2 ( 24 2 3 1 4 8 ) , ( ' 2 ' 2 2 2 2 kuvvetleri pozitif ın n a a c c a kuvvetleri pozitif ın n a c a a c a Ereg ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = α π α π α α π π α h h h

10

olarak bulunur. Şimdi ‘levhaların’ olmadığı durumda yani boş Minkowski uzayında vakum enerjisini hesaplayalım. Bu durumda (2.1.3) Klein-Gordon denkleminin

∫

∞ ∞ − ∗ ∗_{∂ − ∂} = 1 [( ) ( ) ] ) , ( dx f g f g c g f _{t t} (2.1.25)

iç çarpımına göre ortonormal olan artı ve eksi frekanslı çözümleri

) ( 2 1 ) ( 4 ) , ( i t kx k e c x t ± − ± _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ω πω φ , (2.1.26) k c = ω , −∞<k <∞ (2.1.27)

olarak bulunur. φ( xt, ) alan operatörü ise

[

]

∫

∞ ∞ − + + − ₊ = k t x ak k t x ak dk x t (, ) ( , ) 2 ) , ( _φ( ) _φ( ) π φ (2.1.28)

şeklinde tanımlanır. Yaratıcı ve yok edici + k a ve a operatörleri _k+

[

,

]

( ') k k a a_{k k}I = − + _{δ ,}

[

_,

] [

₌ +_, +

]

₌₀ I I _{k k} k k a a a a (2.1.29)

bağıntısını sağlamaktadır. Bu operatörler 0 _M vakum durumuna etkisi aşağıdaki gibidir. 0 0 0 0 = + = k M M k a a (2.1.30)

Burada 0 _M bir sınır koşulu olmayan Minkowski uzayındaki vakumdur. (2.1.28) bağıntısı (2.1.13) bağıntısında yerine yazılırsa Hamiltonyen yoğunluğu için

11 ) 31 . 1 . 2 ( 1 ) ( 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ' ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ' ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + + + + + + + + − + − + + − + − − − − − ∞ ∞ − ∞ ∞ −

∫

∫

x x t t c k k a a x x t t c a a x x t t c a a x x t t c a a x x t t c dk dk c H I I I I I I I I I I I I I I k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k φ φ φ φ δ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ h

bulunur. H( xt, )’in vakum durumu için beklenen değeri hesaplanırsa (2.1.30) bağıntısından dolayı yaratıcı ve yok edici operatörleri içeren terimlerden bir katkı gelmez. Yalnız (2.1.31)’in son teriminden katkı gelir ve sonuç olarak

∫

∞ ∞ − + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = x x t x x t t x t t x t c dk c x t H k k k k M M ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 0 ) , ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 φ φ φ φ h _(2.1.32)

bulunur. Burada (2.1.26) bağıntısı yerine yazılırsa vakumun çizgisel enerji yoğunluğunu

∫

∞ ∞ − = dk x t H M M _π ω 4 0 ) , ( 0 h veya

∫

∞ = 0 2 0 ) , ( 0 ω ω πc d x t H _M M h _(2.1.33)

şeklinde bulunacağı kolayca görülebilir.

Belirtelim ki (2.1.33) ifadesi (2.1.18)’den a→∞ limitinde elde edilebilir, yani

0 ) , ( 0 lim 0 ) , ( 0 H t x H t x a M M = _→∞ (2.1.34) şeklindedir. Gerçekten (bkz. (2.1.10) ve (2.1.11))

12 a nc n π ω = ve a c n n π ω ω ω = − = Δ ₋₁ (2.1.35)

bağıntıları göz önünde bulundurulursa (2.1.17) ifadesini

∑

∞ = Δ = 0 2 0 ) , ( 0 n n c x t H ω ω π h _(2.1.36)

şeklinde yazabiliriz. (n=0 için ω_n =0 ) Şimdi 0H(t,x)0 ’ı a→∞ limitinde

hesaplayalım. a→∞ limitinde Δω →0 olacağından

) 37 . 1 . 2 ( 0 ) , ( 0 2 lim 2 0 ) , ( 0 lim 0 0 0 M M n n a x t H d c c x t H = = Δ =

∫

∑

∞ ∞ = → Δ ∞ → ω ω π ω ω π ω h h

şeklinde bulunur ki bu da (2.1.34) bağıntısının doğru olması demektir. Burada belirli integralin tanımını kullandık.

Böylece ‘levhaların’ olmadığı durumda a aralığına düşen EM toplam enerji

) 38 . 1 . 2 ( 2 0 ) , ( 0 0

∫

∞ = = ω ω πc d a x t H a E_M h

olarak bulunur. Iraksak olan bu integrali aynı test fonksiyonu ile regularize edersek

) 39 . 1 . 2 ( 2 2 ) ( 2 0 α π ω ω π α αω c a d e c a E_Mreg h h = = ∞

∫

−

13

elde ederiz. Not: (2.1.34) bağıntısından dolayı (2.1.39) sonucunu (2.1.24) bağıntısında ∞

→

a alarak da hesaplayabilirdik. Dolayısıyla

) 40 . 1 . 2 ( ) , ( ) , ( lim ) ( α α α ∞ → = = ∞ → a E a E E reg reg a reg M

elde edilir. Deneylerde enerji farkı ölçülmektedir. Örneğin, deneyci fizikçiler F Casimir kuvvetini aşağıdaki gibi gözlerler.

a E F ∂ ∂ − =

Doğal olarak hiçbir şeyin bulunmadığı uzayda (Minkowski uzayında) vakum enerjisini sıfır almak en mantıklı seçim olacağından, levhaların arasındaki renormalize edilmiş

ren E vakum enerjisini ) 41 . 1 . 2 ( )] , ( ) , ( [ lim )] , ( ) , ( [ lim ) ( 0 0 α α α α α α ∞ → − = − = → → a E a E a E a E a E reg reg reg M reg ren

olarak tanımlarız. Buna göre

) 42 . 1 . 2 ( 24 2 ) ' ( 24 2 lim ) ( _{2 2} 0 a c c a kuvvetleri pozitif nin a c c a a Eren h h h h π α π α π α π α − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− + −} = →

elde ederiz. Burada eksi işareti levhaların birbirlerini çektiklerini gösterir. Levhalar arasındaki çekici kuvvet F

2 0 24 ) ( a c a a E F ren h π = ∂ ∂ − = (2.1.43)

14

olarak bulunur. Bu kuvvet Casimir kuvveti olarak, bu fenomen ise Casimir etkisi olarak bilinir. (2.1.41) sonucu test fonksiyonundan bağımsız olarak da hesaplanmıştır[Bordag, et al, 2001].

2.2. Casimir Enerjisinin Yol İntegrali ile Hesaplanması

Casimir enerjisinin hesaplanmasında sık sık başvurulan yöntemlerden biri Modlar toplama yöntemidir. Bu yöntemde renormalize edilmiş E Casimir enerji yoğunluğunun (2.1. bölümünde de görüldüğü gibi)

, ) ( 2 1 } {

∑

− = p p p E ω ω (2.2.1)

şeklindeki tanımı kullanılmaktadır [(2.1.41) bağıntısı ile karşılaştırın]. Burada ve daha sonra _h= c =1 olarak tanımlanmış doğal birimleri (natural units) kullanacağız. Yukarıdaki ifadede ωp sınır şartları bulunurken klasik öz frekanslar, ωp ise sınır

koşulları bulunmayan ortamdaki klasik öz frekanslardır. }{p (kesikli ve sürekli) kuantum sayıların kümesi olup ele alınan problemin simetrisine uygun olarak seçilir. (2.2.1)’deki her iki seri ıraksaktır. Bundan dolayı Casimir enerjisini (2.2.1) bağıntısından hesaplamadan önce bir regularizasyon kullanılması gerekir. Genelde öz frekanslar 0 ) , ( a = f ω (2.2.2)

denkleminin kökleri olarak bulunur. Burada a sınır koşulunu betimleyen bir

parametredir. Ayrıca ωp frekansı a→∞ limitinde elde edilir, yani

0 ) , (ω ∞ =

15

denkleminin kökleri olarak bulunur.(bkz. (2.1.34)) önceki bölümde ele aldığımız örnekte c a sin a) , f(ω ≡ ω (2.2.4)

ve (2.2.2) denkleminin kökleri kolayca bulunur.

a cn

n

π

ω = (2.2.5)

Fakat çoğu durumda (2.2.2) denkleminin köklerinin bulunması neredeyse imkansızdır. Böyle durumlarda Casimir enerjisini f fonksiyonu cinsinden göstermek oldukça elverişlidir[Nesterenko and Pirozhenko, 1997]. f(z) , z =b_n noktalarında birinci mertebeden sıfıra sahip ve kutup noktaları olmayan analitik bir fonksiyon olsun. O halde

∑

∫

= n n C b dz z f z f z i ( ) ) ( 2 1 / π (2.2.6)

Burada C kapalı yolu b noktalarını içine alacak şekilde tanımlanır. _n Bu önermeyi doğrulayalım. Yukarıdaki varsayıma göre z=b_n noktaları

) ( ) ( / z f z f z

fonksiyonunun kutup noktalarıdır. Bu kutup noktalarına karşı gelen rezidüler ise [Bayın, 2000], [Karaoğlu, 1994] z z f z f b z b z f z f z s n b z n n ( ) ) ( ) ( lim , ) ( ) ( Re / / − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ → (2.2.7)

16 ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim / n n n b z n b z _{z b} f b b f z f b z z f n n = − − = − → → (2.2.8)

elde ederiz. Burada

0 ) (b_n =

f (2.2.9)

olduğunu kullandık. Buna göre (2.2.7) bağıntısından

n n b b z f z f z s _⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ , ) ( ) ( Re / (2.2.10)

olarak bulunur. Diğer taraftan rezidü teoremine göre [Karaoğlu, 1994], [Bayın, 2000]

) 11 . 2 . 2 ( 2 , ) ( ) ( Re 2 ) ( ) ( / /

∑

∫

∑

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = n n C n n b i b z f z f z s i dz z f z f z π π

elde edilir ki, bu da (2.2.6) bağıntısının doğru olduğunu gösterir.

Şimdi (2.2.6) bağıntısını önceki kısımda ele aldığımız kütlesiz skaler alan için (2.1.41) Casimir enerjisinin hesaplanmasında kullanalım. Bu durumda f fonksiyonu (2.2.4) bağıntısı ile verilir.

Iraksak serileri regülarize etmek için sonlu toplam alırız. Bunu

ω ω ω ω π ω d a a i a a E N n C n reg

∑

∫

= = ≡ 1 sin( ) ) cos( 4 2 1 ) ( (2.2.12)

şeklinde yazarız. Burada C kapalı yolu

0

17

denkleminin yalnız ilk N terimini içermektedir.(bkz. Şekil-2)

Şekil-2 Kompleks Düzlemdeki Kontur İntegrasyonu

İntegrand’ın tekil noktaları reel eksende bulunduğu için C yolunu deforme ederek C′

yoluna dönüştürebiliriz. Böylece Λ yarıçapı regülarizasyon parametresi rolünü oynar. Buna göre (2.2.12) bağıntısını

∫

= Λ I C reg d a a i a a E ω ω ω ω π sin( ) ) cos( 4 ) , ( (2.2.14)

şeklinde yeniden yazarız. (2.1.41) bağıntısını ise

)] , ( ) , ( [ lim ) ( = Λ − →∞ Λ ∞ → Λ E a E a a

Eren reg reg (2.2.15)

şeklinde yazarız.

Böylece Casimir enerjisini (2.2.15) bağıntısında hesaplamak için önce sabit Λ değeri için Ereg(a,Λ)’nin a→∞ asimtotunu bulmak gerekir.

Fakat C′yolunun Λ yarıçaplı yarım çember kısmında integrandın asimptotu

kendisi olacağından yarım çember üzerinden integrasyon sonuçları (2.2.15)’deki her iki terim için aynı olur. Buna göre bu sonuçlar birbirlerini götürür ve (2.2.15) ifadesine

18

yarım çember üzerinden integrasyondan bir katkı gelmez. Buna göre (−iΛ,iΛ) aralığı üzerinden integrali ele almak yeterlidir.

) 17 . 2 . 2 ( )] [ln(sinh 2 1 ) 16 . 2 . 2 ( ) sinh( ) cosh( 4 ) , ( 0

∫

∫

Λ Λ Λ − − = − = Λ ay yd dy ay ay y a a Ereg π π Burada ya iya) cosh cos( = ya i iya) sinh sin( =

bağıntılarını kullandık. )Eren(a,Λ ’nın asimptotunu bulmak için (2.2.17) kısmi integrasyon uygulayalım.

[

]

[

]

[

]

_∫

[

]

∫

Λ Λ Λ + Λ Λ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = Λ 0 0 0 ) 19 . 2 . 2 ( ) sinh( ln 2 1 ) sinh( ln 2 ) 18 . 2 . 2 ( ) sinh( ln ) sinh( ln 2 1 ) , ( ay dy a ay dy ay y a Ereg π π π

Burada (y=0 sınırı için) L’Hospital kuralını [Balcı, 1997] kullandık. Şimdi (2.2.19)’de ∞ → a alırsak ) 20 . 2 . 2 ( ] ] 2 ln[ 2 1 ) ln[sinh( 2 ) , ( 0

∫

Λ + Λ Λ − = Λ ∞ → a e dy a E ay reg π π

19 ) 21 . 2 . 2 ( ) 1 ln( 2 1 lim 2 1 ] 2 1 ln[ 2 1 )] ln[sinh( 2 1 lim ) ( 0 2 0 0 0

∫

∫

∫

∫

∞ − Λ − ∞ → Λ Λ Λ ∞ → Λ − = − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = ay ay ay ay ay ren e dy e e e dy e dy ay dy a E π π π

olarak bulunur. Burada kısmi integrasyon uygularsak (2.2.21) bağıntısını

∫

∞ − − − − = 0 2 2 1 ) ( dy e ye a a E _ay ay ren π (2.2.22)

şeklinde yeniden yazabiliriz. Bu integral ise ζ Riemann Zeta fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir. Gerçekten

∑

∞ = = − 1 1 n n u u u (2.2.23)

seri açılımının yardımıyla (2.2.22) ifadesi

∑∫

∞ = ∞ − − = 1 0 2 ) ( n any ren dy ye a a E π (2.2.24)

şeklinde bulunur. Burada

any

t =2 (2.2.25)

20 ) 26 . 2 . 2 ( 1 ) 2 ( 4 1 1 4 1 ) ( 1 2 1 0 2

∑

∑ ∫

∞ = ∞ = ∞ − Γ − = − = n n t ren n a dt e n a a E π π

olarak bulunur. Burada Γ gamma fonksiyonunun [Bayın, 2000]

∫

∞ − − = Γ 0 1 ) (z e ttz dt (2.2.27)

tanımını kullandık. Böylece

) 2 ( 4 1 ) ( ζ π − = a Eren (2.2.28)

Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu [Bell, 1967]

∑

∞ = = 1 1 ) ( n s n s ζ (2.2.29) şeklinde tanımlanmaktadır. 6 ) 2 ( π

ζ = olduğu göz önünde bulundurulursa Casimir enerjisini a a Eren 24 ) ( =− π (2.2.30)

olarak buluruz. Bu da beklenen sonuçtur (bkz. (2.1.42)). Burada _h= c=1 birimleri kullanmaktadır.

21

3.SİLİNDİRİK DALGALAR

Bu bölümde silindirik koordinatlarda Maxwell denklemlerinin çözümlerini, silindirik fonksiyonlar ve onların özelliklerini ve çembersel silindirde ilerleyen elektromanyetik dalgaları ele alarak frekans denklemini elde edeceğiz.

3.1 Silindirik Koordinatlarda Maxwell Denklemlerinin Çözümleri

Yük ve akım bulunmayan madde içinde Maxwell denklemleri (MKSA biriminde) [Jackson, 1962] ) 1 . 1 . 3 ( ) ( 0 . ) ( ) ( 0 . ) ( ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ = × ∇ Ι = ∇ ΙΙ ∂ ∂ − = × ∇ ΙΙΙ = ∇ Ι → → → → → → → → → → t D H V B t B E D

biçiminde yazılır. Burada Er elektrik alan, Hr manyetik indüksiyonu ve Dr’de yer değiştirme alanıdır. Eğer ortam lineer ise

E

Dr =εr , Hr Br μ 1 =

dir. Burada ε ortamın elektriksel geçirgenliği (permitivity) μ ise manyetik geçirgenliğidir (permability). Homojen ortam için ε ve μ sabitleri bir noktadan diğerine değişmez. Bu durumda (3.1.1) denklemleri şöyle olur.

22 ) 2 . 1 . 3 ( ) ( 0 . ) ( ) ( 0 . ) ( ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ = × ∇ Ι = ∇ ΙΙ ∂ ∂ − = × ∇ ΙΙΙ = ∇ Ι → → → → → → → → → → t E H V H t H E E ε μ

(III) denkleminin her iki tarafının rotasyoneli alınır ve (I), (IV) denklemleri göz önünde bulundurulursa 0 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ t E E r r r _εμ (3.1.3)

olarak elde edilir. Burada her Vr vektörü için

V V Vr r r r r r _{×(∇× )=∇(∇. )−∇}2 ∇

bağıntısını kullandık [Arfken, 1970]. Benzer şekilde

0 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ t H H r r r _εμ (3.1.4)

olarak bulunur. Dolayısıyla Er ve Hr aynı temel vektör dalga denklemini sağlar

0 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ t V V r r r _εμ . (3.1.5)

Alanın zamandan bağımlılığının i t

e−ω harmonik çarpan şeklinde olduğunu varsayacağız. Buna göre z yönünde ilerleyen silindirik dalga için (yani z ekseni silindirin simetri eksenidir) ωsalınım frekansı olmak üzere elektrik alan ve magnetik alanı t i z ik_z e y x E t z y x Er( , , , )= r( , ) + −ω (3.1.6) t i z ik_z e y x H t z y x Hr( , , , )= r( , ) + −ω (3.1.7)

şeklinde yazarız. Burada Er( yx, )ve )Hr( yx, sırasıyla (3.1.3) ve (3.1.4) denklemlerinden bulunur. Bunun için (3.1.3) ve (3.1.4) denklemlerini silindirik koordinatlarda yazalım.

23

Silindirik koordinatlarda Er elektrik alanın er , ve _ρ er_φ er_z birim vektörlerine açılımı

[Arfken, 1970]

Şekil-3- Silindirik koordinatlar

z z z t e E e t z E e t z E t z Er(ρ,φ, , )= _ρ(ρ,φ, , )r_ρ + _φ(ρ,φ, , )r_φ + (ρ,φ, , )r (3.1.8) dir. Laplasyen ise

2 2 2 2 2 2 1 1 z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ φ ρ ρ ρ ρ ρ , (3.1.9)

dir. (3.1.8) ve (3.1.9) bağıntısı (3.1.5) dalga denkleminde yerine yazılır ve [Arfken, 1970] ρ φ φ ρ φ φ e e e er _r r _r − = ∂ ∂ = ∂ ∂

, (diğer benzer türevler sıfırdır) (3.1.10)

bağıntısı göz önünde bulundurulursa (3.1.3) vektör dalga denklemi aşağıdaki üç skaler denklemi şeklinde yeniden yazılabilir

) 13 . 1 . 3 ( . 0 ) 12 . 1 . 3 ( , 0 2 1 ) 11 . 1 . 3 ( , 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − ∇ t E E t E E E E t E E E E z z εμ εμ φ ρ ρ εμ φ ρ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ ρ

24

Benzer biçimde (3.1.4) denklemini

) 16 . 1 . 3 ( . 0 ) 15 . 1 . 3 ( , 0 2 1 ) 14 . 1 . 3 ( , 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − − ∇ t H H t H H H H t H H H H z z εμ εμ φ ρ ρ εμ φ ρ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ ρ

şeklinde yazabiliriz. Böylece (3.1.13) ve (3.1.16) denklemleri ayrık iken (3.1.11), (3.1.12), (3.1.14), (3.1.15) denklemleri çiftlenimli denklemlerdir. Buna göre

φ ρ φ

ρ E H H

E , , , bileşenlerini (3.1.11), (3.1.12), (3.1.14) ve (3.1.15) denklemlerinden elde etmek zordur. Fakat (3.1.2) denklemini kullanarak bu bileşenleri Ez ve

z

H cinsinden yazabiliriz. Bunun için (3.1.2)’deki (III) ve (IV) Maxwell denklemlerini

silindirik koordinatlarda yazalım. Her Vr vektörü için[Arfken, 1970]

z z V V V z e e e V φ ρ φ ρ ρφ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ r r r r r 1 (3.1.17)

olduğu göz önüne alınırsa

z z z e E E e z E E e z E E Er r r r r ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ φ φ ρ ρ φ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = × ∇ (3.1.18) z z z e H H e z H H e z H H Hr r r r r ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ φ φ ρ ρ φ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = × ∇ (3.1.19)

bulunur. Bu bağıntılar (3.1.2)’deki (III) ve (IV) Maxwell denklemlerinde yerine yazılırsa aşağıdaki bağıntılar elde edilir.

t H z E Ez ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ φ _μ ρ φ ρ 1 (3.1.20)

25 t H E z E _z ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ _{ρ φ} μ ρ (3.1.21) t E z H H_z ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ φ _ε ρ φ ρ 1 (3.1.22) t E H z H _z ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ _{ρ φ} ε ρ (3.1.23) Burada [bkz (3.1.6) ve (3.1.7) bağıntılarına] t i z ikz e E t z E_ρ(ρ,φ, , )= _ρ(ρ,φ) −ω (3.1.24) t i z ik_z e E t z E_φ(ρ,φ, , )= _φ(ρ,φ) −ω (3.1.25) t i z ik_z e H t z H_ρ(ρ,φ, , )= _ρ(ρ,φ) −ω (3.1.26) t i z ikz e H t z H_φ(ρ,φ, , )= _φ(ρ,φ) −ω (3.1.27)

bağıntıları göz önünde bulundurulursa bu denklemler aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir. ρ φ εω φ ρ ik H i E H z z − =− ∂ ∂ 1 (3.1.28) φ ρ _ρ iεωE H H ik z z =− ∂ ∂ − (3.1.29) ρ φ μω φ ρ ik E i H E z z − = ∂ ∂ 1 (3.1.30) φ ρ _ρ iμωH E E ik z z _∂ = ∂ − (3.1.31)

Bu denklemleri E_ρ,E_φ,H_ρ ve H ’ye göre çözersek _φ

ρ λ φ ρ λ ωμ ρ _∂ ∂ + ∂ ∂ = i Hz ikz Ez E _{2 2} (3.1.32)

26 ρ λ ωμ φ ρ λ φ _∂ ∂ − ∂ ∂ = ikz Ez i Hz E _{2 2} (3.1.33) ρ λ φ ρμω λ ρ _∂ ∂ + ∂ ∂ − = ik Ez ikz Hz H ₂ 2 2 1 (3.1.34) ρ μωλ φ ρ λ φ _∂ ∂ + ∂ ∂ = ikz Hz ik Ez H ₂ 2 2 (3.1.35)

olarak buluruz. Burada 2 2 z k k − = λ ve 2 _=εμω2 k şeklindedir. (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34), (3.1.35) bağıntılarından görüldüğü gibi E_ρ,E_φ ,H_ρ,H_φ ’yi Ez ve

z

H cinsinden yazılabilir. Şimdi Ez ve Hz için dalga denklemlerini çözelim. (bkz

denklem (3.1.13) ve (3.1.16) 0 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ t E E z z εμ (3.1.36) 0 2 2 2 ₌ ∂ ∂ − ∇ t H H z z εμ (3.1.37)

Öncelikle (3.1.36) denkleminden Ez için dalga denklemini

0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 _∂ = ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ t E z E E E_{z z z εμ z} φ ρ ρ ρ ρ ρ (3.1.38)

şeklinde yeniden yazabiliriz. Burada (3.1.6) ve (3.1.7) bağıntıları göz önünde bulundurulduğunda Ezve Hz t i z ik z z z e E t z E (ρ,φ, , )= (ρ,φ) −ω (3.1.39) t i z ik z z z e H t z H (ρ,φ, , )= (ρ,φ) −ω (3.1.40)

şeklinde yazılabilir. (3.1.39) bağıntısını göz önünde bulundurduğumuzda (3.1.38) aşağıdaki gibi yazılabilir.

0 ) ( 1 1 2 2 2 2 2 _∂ + − = ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ z z z z E k k E E φ ρ ρ ρ ρ ρ (3.1.41)

27

Burada 2 _=εμω2

k şeklindedir. (3.1.41) denklemini değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözersek Ez(ρ,φ)= R(ρ)Φ(φ) olarak aldığımızda

0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 2 2 2 2 + − = Φ Φ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ z k k d d d dR d d R φ φ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (3.1.42)

elde edilir. Burada Φ(φ) ve R(ρ) için

0 ) ( ) ( 2 2 2 = Φ + Φ _φ φ φ p d d 0 ) ( ] ) [( ) ( ₊ 2 ₋ 2 2 ₋ 2 ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{ρ ρ} ρ ρ ρ ρ ρ k k p R d dR d d z (3.1.43)

şeklinde iki denklem elde edilir. Burada 2

p bir ayrılma sabitidir. E_z’nin tek değerli

olabilmesi için Ez(ρ,φ+2π,z,t)= Ez(ρ,φ,z,t) olmalıdır. Bu koşulun sağlanabilmesi

için p değerinin sıfır veya tamsayı olması gerekir, yani p= , n ... 2 , 1 , 0± ± =

n şeklindedir. (3.1.43) denklemi ise Bessel denklemidir

0 1 1 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + R y n dy dR y dy R d . (3.1.44)

Burada y=λρ değişken değişimi yaptık. Böylelikle (3.1.39) özel çözümü

t i in z ik n z z e Z t z E (ρ,φ, , )= (λρ) + φ−ω (3.1.45)

olarak elde edilir. Burada 2 2 z

k k − =

λ şeklindedir. Burada Z Bessel denkleminin bir _n özel çözümüdür ve daha sonra tanımlayacağız. Benzer şekilde Hz için

t i in z ik n z z e Z t z H (ρ,φ, , )= (λρ) + φ−ω (3.1.46) elde edilir.

28

3.2 Silindirik Fonksiyonlar ve Onların Özellikleri

Bu kısımda ilk olarak Bessel fonksiyonları ile ilgili bazı bilgiler vereceğiz [Bell, 1967], [Arfken,1970]. Daha sonra söz konusu Z özel çözümünü elde edeceğiz. n

Bessel denklemini 0 1 1 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + p _p p Z p d dZ d Z d ρ ρ ρ ρ (3.2.1)

şeklinde yazabiliriz. p ’nin tamsayı olmadığı durumlarda Jp(ρ)ve J−p(ρ) birinci tür

Bessel fonksiyonları (3.2.1)denkleminin iki lineer bağımsız çözümleridir. Bessel fonksiyonu ( p ’nin ve ρ’nun hem reel hem de kompleks değerleri için)

∑

∞ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + Γ − = 0 2 2 ) 1 ( ! ) 1 ( ) ( m m p m p m p m J ρ ρ (3.2.2)

şeklinde tanımlanır. p ’nin tamsayı değerler aldığı zaman ise iki çözüm birbirine

) ( ) 1 ( ) (ρ n ρ n n J J₋ = − (3.2.3)

ilişkisi ile bağlıdır. Bessel denkleminin iki bağımsız çözümü p ’nin tüm değerleri için )

(ρ

p

J Np(ρ) ile verilebilir. İkinci türden Np(ρ) Bessel fonksiyonu da aşağıdaki

bağıntıyla belirlenir. )] ( cos ) ( [ sin 1 ) ( ρ π ρ π ρ _{p p} p J p J p N = − ₋ (3.2.4)

29 ) 6 . 2 . 3 ( . 4 1 2 sin 2 ) ( 1 ) 5 . 2 . 3 ( , 4 1 2 cos 2 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ≅ >> ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ≅ π ρ πρ ρ ρ π ρ πρ ρ n N n J n n

şeklindedir. 0ρ → limitinde ise

n n n J ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≅ 2 ! 1 ) (ρ ρ (3.2.7) n n n N − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≅ 2 )! 1 ( ) ( ρ π ρ (3.2.8)

şeklindedir. Üçüncü tür Bessel fonksiyonları da denilen Hankel fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır. ) ( ) ( ) ( ) 1 ( _{ρ ρ ρ} n n n J iN H = + (3.2.9) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( _{ρ ρ ρ} n n n J iN H = − (3.2.10)

ρyeterince büyük olduğunda yani ρ →∞için

) 12 . 2 . 3 ( , 2 ) ( 1 ) 11 . 2 . 3 ( , 2 ) ( 4 1 2 ) 2 ( 4 1 2 ) 1 ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ≅ >> ≅ π ρ π ρ πρ ρ ρ πρ ρ n i n n i n e H e H

şeklindedir.Son olarak belirtelim ki (3.2.6) bağıntısından Bessel fonksiyonunun sonsuz sayıda kökü olacağı açıktır.

30 0 ) ( _nl = n J ρ , l =1,2,3,...

Burada ρnl, n. dereceden Bessel fonksiyonunun .l kökünü göstermektedir. Şimdi

(3.1.44) denklemine dönelim. Bu denklemin ρ <a (y<λa) bölgesi için ve )

(y a

a λ

ρ > > bölgesi için özel çözümleri bulalım. Denklemin genel çözümlerini

λρ = + = AJ y BN y y y R( ) _n( ) _n( ) , (3.2.13)

olarak yazabiliriz. ρ <a bölgesi ρ =0 noktasını içerdiğinde (3.2.8), (3.2.9)bağıntılarına göre bu bölgede sonlu çözüm B=0 koşulunu gerektirir. Dolayısıyla

a AJ

R(λρ)= _n(λρ) ρ< (3.2.14)

a >

ρ bölgesi için çözümü elde etmek için (3.2.13) bağıntısının ρ →∞ limitinde davranışını inceleyelim. (3.2.5) ve (3.2.6) bağıntıları göz önüne alınırsa

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + = λρ π λρ π πρ λρ 4 1 2 sin 4 1 2 cos 2 ) ( A n B n R (3.2.15)

elde edilir. Burada

∞ → ρ λρ_)~ λρ _, ( i e R iken (3.2.16)

sınır koşulu göz önüne alınırsa B=iA olarak bulunur. Buna göre (3.2.13) bağıntısından

a CH R(λρ)= n (λρ) , ρ > ) 1 ( _{için (3.2.17)}

31

3.3. Çembersel Silindirde İlerleyen Elektromanyetik Dalgalar

Bölüm 3.2.de elde edildiği gibi ρ <a bölgesi için (3.1.44) denkleminin çözümü

n

J ile ifade edilirken ρ >a bölgesi için ise H_n(1) ile ifade edilir. Sonsuz homojen bir ortama sonsuz uzunlukta ve a yarıçaplı çembersel bir silindiri yerleştirilmiştir. Silindirin

dalga sayısı k₁ ve dış ortamınki de k₂’dir. Öyleyse (3.1.45) ve (3.1.46) denklemindeki n Z [Stratton, 1941] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = a H a J Z j n j n j n ρ ρ λ ρ ρ λ ρ λ ) ( ) ( ) ( ₍₁₎ (3.3.1)

şeklindedir. Dolayısıyla bunu göz önünde bulundurup i z e z i z E H E , , ve H genel olarak ze yazdığımızda

∑

∞ −∞ = − + = n t i in z ik j n i n i z z e J a t z E (ρ,φ, , ) (λ ρ) φ ω ρ <a , (3.3.2)

∑

∞ −∞ = − + = n t i in z ik j n e n e z z e H a t z E (ρ,φ, , ) (1)(λ ρ) φ ω ρ >a , (3.3.3)

∑

∞ −∞ = − + = n t i in z ik j n i n i z z e J b t z H (ρ,φ, , ) (λ ρ) φ ω ρ <a , (3.3.4)

∑

∞ −∞ = − + = n t i in z ik j n e n e z z e H b t z H (ρ,φ, , ) (1)(λ ρ) φ ω ρ >a , (3.3.5)

elde edilir. Burada i

Er silindirin iç kısmındaki Ere ise silindirin dış kısmındaki elektrik alanı, i

Hr silindirin iç kısmındaki ve Hresilindirin dış kısmındaki magnetik alanı temsil eder. Bunları (3.1.32), (3.1.33), (3.1.34) ve (3.1.35) bağıntılarında yerine yazarsak

ρ φ

ρ E H

32

( )

( )

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = n n i n n n i n n z i h b J n h a J ik E λ ρ ρ λ ω μ ρ λ λ ρ 2 1 1 1 1 ' 1 , (3.3.6)

( )

( )

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = n n i n n n i n n z i h b J i h a J nk E λ ρ λ ω μ ρ λ ρ λ φ ' 1 1 1 1 2 1 , (3.3.7)

( )

∑

∞ −∞ = = n n i n n i z J a h E λ₁ρ , (3.3.8)

( )

( )

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = n n i n n z n i n n i h b J ik h a J nk H λ ρ λ ρ λ ωλ ρμ ρ 1 ' 1 1 2 1 1 2 1 _{, (3.3.9)}

( )

( )

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = n n i n n z n i n n i h b J nk h a J ik H λ ρ ρ λ ρ λ ωλ μ φ 2 1 1 1 ' 1 1 2 1 _{, (3.3.10)}

( )

∑

∞ −∞ = = n n i n n i z J b h H λ₁ρ , (3.3.11) Burada h n t i in z ik n z e h = + φ−ω (3.3.12)

şeklinde tanımlanır. Hatırlatalım ki i

Er silindirin iç kısmındaki Ere ise silindirin dış kısmındaki elektrik alanı temsil eder. Aynı şekilde i

Hr silindirin iç kısmındaki ve

e

Hr silindirin dış kısmındaki magnetik alanı temsil eder. Silindirin iç kısmındaki ortamın permitivi ve permabilitesi ε₁,μ₁ ve dış kısmının ki deε₂,μ₂ dir. Aynı şekilde ρ >aiçin

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = n n e n n n e n n z e h b H n h a H ik E λ ρ ρ λ ω μ ρ λ λ ρ 2 ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ' (3.3.13)

33

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = n e n n e n n z e b H i a H nk E λ ρ λ ω μ ρ λ ρ λ φ 2 )' 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 (3.3.14)

(

)

∑

∞ −∞ = = n n e n n e z H a h E (1) λ₂ρ (3.3.15)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = n n e n n z n e n n e h b H ik h a H nk H λ ρ λ ρ λ ρ ωλ μ ρ (1)' 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 _(3.3.16)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = n n e n n z n e n n e h b H nk h a H ik H λ ρ ρ λ ρ λ ωλ μ φ 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 ' _(3.3.17)

(

)

∑

∞ −∞ = = n n e n n e z H b h H (1) λ₂ρ (3.3.18)

elde edilir. Burada ki e n e n i n i n b a b

a , , , katsayıları sınır koşulundan elde edilir. Sınır koşulu ise

(

−

)

=0 × e i _=a E E nr r r _ρ (3.3.19)

(

−

)

=0 × e i _=a H H nr r r _ρ (3.3.20)

şeklindedir.ρ =a sınırında Erve Hr ’ın tanjantyel bileşenleri süreklidir ve (3.3.19), (3.3.20) şeklindedir. (3.3.19) ve (3.3.20)’den 0 = − i e E E_{φ φ} , E_ze −E_zi =0 , 0 = − i e H H_{φ φ} , − zi =0 e z H H

34 ) 21 . 3 . 3 ( . 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 1 2 1 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′ = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _′ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ′ i n n e n n i n n z i n n e n n z e n n i n n e n n i n n i n n z e n n e n n z b a J b a H b a J a nk a a J a ik b a H a nk a a H a ik a a J a a H b a J a i a a J a nk b a H a i a a H a nk λ λ λ λ λ ωλ μ λ λ λ ωλ μ λ λ λ λ ω μ λ λ λ λ ω μ λ λ Burada J ′ ve n ′ ) 1 ( n

H ρ’ya göre türevi ifade eder. Dolayısıyla e n e n i n i n b a b a , , , katsayıları (3.3.21) homojen lineer bağıntı sistemini sağlar. Bu sistem yalnızca (3.3.21) denkleminin determinantının sıfır olduğu durumda e

n e n i n i n b a b

a , , , katsayıları için sıfırdan farklı bir çözüm elde edilir. Yani

0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 ' 1 2 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ' 1 1 2 ' ' = − − a H a J a H nk a H ik a J u nk a J u ik a H a J a H i a H nk a J u i a J u nk n n n z n n z n n n n n z n n z λ λ λ γ λ ωγ μ λ λ ω μ λ λ λ γ ω μ λ γ λ ωμ λ determinantından 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 )' 1 ( 2 2 2 2 1 1 ' 1 1 2 1 2 ) 1 ( 2 )' 1 ( 2 2 1 1 ' 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − a a k n a H a H a k a J a J a k a H a H a a J a J a _n z n n n n n n n λ λ λ λ λ μ λ λ λ μ λ λ λ μ λ λ λ μ (3.3.22)

denklemini elde ederiz. Bu ifadeyi ortak paranteze alıp düzenlediğimizde

0 ) , , (k a = f_{n z} ω (3.3.23)

35

[

]

2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ( a, a) ( a, a) n k ( ) J ( a)H ( a) f_n =λ λ ΔTE_n λ λ ΔTM_n λ λ − ω _z ε μ −ε μ _n λ _n λ (3.3.24) şeklindedir. TE n TM n Δ Δ , aşağıdaki gibidir. ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( (1) ₂ 1 1 2 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1a a a Jn a Hn a a Jn a Hn a TM n λ λ ε λ λ λ ε λ λ λ ′ − ′ = Δ , (3.3.25) ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( (1) ₂ 1 1 2 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1a a a Jn a Hn a a Jn a Hn a TE n λ λ μ λ λ λ μ λ λ λ ′ − ′ = Δ (3.3.26)

verilen her kz ve n değeri için (3.3.23) denkleminin sonsuz sayıda kökleri mevcuttur.

36

4.SONSUZ BİR SİLİNDİRİN CASİMİR ENERJİSİ

Bu bölümde elektromanyetik özelliklerin 2 2 2 1 1 − = =ε μ v μ ε koşuluna bağlı

olduğu durumu yani silindirin içinde ve dışında elektromanyetik dalgaların hızının aynı

olduğu durumu, 2 2 1 2 2 1 2 _{( ε ε ) /(ε ε )}

ξ = − + olmak üzere _ξ2_〈〈1 _{ve ξ}2 _{=1 durumlarını}

ele alacağız [DeRaad and Milton, 1981], [Godzinsky and Romeo, 1998], [Milton et al, 1999], [Pelaez and Milton, 2004], [Nesterenko and Pirhozenko, 2006], [Lambiase et al, 2006], [Romeo and Milton, 2006].

4.1.Sonsuz Bir Silindirin Casimir Enerjisi için İntegral Temsili

Bu bölümde aşağıdaki problemi ele alacağız. Yarıçapı a olan çembersel silindir sınırsız

tek biçimli (uniform) ortama koyulmuştur. Silindir maddesinin permitivi ve permabilitesi, sırasıyla ε₁ ve μ₁, ortamın permitivi ve permabilitesi sırasıyla ε₂ ve μ₂ olsun. Her iki ortamın öz iletkenliğinin sıfır olduğunu düşünelim. Biz bu silindirin birim boyutuna düşen E Casimir enerjisini mod toplamı yöntemi ile (bkz. bölüm 2.2) hesaplamak istiyoruz.

∑

− = } { ) ( 2 1 p p p E ω ω (4.1.1)

Burada ωp silindirin bulunduğu durum için frekanslar iken ωp silindirin bulunmadığı

durum için frekanslardır. ω_p frekansları (3.3.23) denkleminden, yani 0 ) , , (k a = f_{n z} ω (4.1.2)

denkleminden elde edilir. Burada

[

]

2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ( a, a) ( a, a) n k ( ) J ( a)H ( a) f z n n TM n TE n n =λ λ Δ λ λ Δ λ λ − ω ε μ −ε μ λ λ (4.1.3)

37 olarak tanımlanmaktadır. TE n TM n Δ Δ , aşağıdaki şekildedir ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ' ₂ 1 1 2 2 1 ' 2 1 2 1a a a Jn a Hn a a Jn a Hn a TM n λ λ = ε λ λ λ − ε λ λ λ Δ (4.1.4) ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( (1) ₂ 1 1 2 2 1 ' 2 1 2 1 ' a H a J a a H a J a a a _{n n n n} TE n λ λ = μ λ λ λ − μ λ λ λ Δ . (4.1.5) Burada 2 2 z i i =k −k λ , ,...2 ₌ 2, ₌1,2 , ₌0,_±1,_±2 n i k_i ε_iμ_iω (4.1.2) denkleminin

kökleri )ωnl(kz olduğundan p olarak kz,n,l almak gerekir. Burada kz,n ve l

aşağıdaki değerleri almaktadır.

∞ < < ∞

− k_z , n=0,±1,±2,... , l =1,2,3 (4.1.6)

Buna göre (4.1.1) bağıntısı

[

]

∫

∑ ∑

∞ ∞ − ∞ −∞ = ∞ = − = n l z nl z nl z k k dk E 1 ) ( ) ( 2 2 1 _{ω ω} π (4.1.7)

şeklini alır. Burada ω_nl(k_z) frekansları a→∞ limitinde hesaplanır. (2.2.6) bağıntısı göz

önüne alınarak (4.1.7) bağıntısını

∫

∑

∫

∞ ∞ − ∞ −∞ = ∞ = n C n z z n z k f a k f d i dk E ) , , ( ) , , ( ln 2 1 2 1 2 2 1 ω ω ω π π ω (4.1.8)

şeklinde yazarız. Burada

) ( ln ) ( ) ( z F d dz z F z F = ′

bağıntısını kullandık. Kompleks ω düzlemindeki C =C₋ +C₊ yolu iki kısımdan

oluşmaktadır: C₋ yolu (4.1.2) denkleminin eksi köklerini saat ibrelerinin dönme