Test 69 Analitik Geometri II

www

.krakademi.com

1.

Bilgi:

ax + by + c = 0 olan bir doğru denklemi A(xa, ya

)nok-tasından geçiyorsa bu nokta doğru denklemini sağlar. Yani, a·xa + b·ya + c = 0 olacaktır.

• Denklemi ax – 3y – 3 = 0 olan doğru (3, –2) nok-tasından geçiyorsa, x yerine 3, y yerine –2 yazılır. ( , ) ( ) . ax y a a a a dir 3 2 3 3 0 3 3 2 3 0 3 6 3 0 3 3 1 x y " $ - - - = - - - = + - = = = -69 Cevap: D

2.

Bilgi:

Analitik düzlemde iki doğru birbirine paralel veya üst üste (çakışık) değilse bir noktada kesişir.

x d2 0 d1 K(x, y) y

Şekilde d1 ve d2 doğrularını kesişim noktası K(x, y)

noktası ortak çözüm yapılarak bulunur.

• d1 : x + 5 = 0 ve d2 : 2x + y = 2 doğrularının kesim

noktasının K(x, y) olsun. Kesim noktasının x ve y değerini bulmak için ortak çözüm yapılırsa,

: d x x d 5 & 5 + = = -: ( ) . x y y y y y dir 0 2 2 2 5 2 10 2 10 2 12 1 2 + = & $ - + = - + = = + =

• Kesim noktası K(–5, 12) dir. Kesim noktasının orjine (0, 0) noktasına olan uzaklığı,

( ) ( ( )) ( ) ( ) . KO birim bulunur 12 5 12 5 144 25 169 13 13 02 0 2 2 2 2 = - + -= + = + = = = Cevap: A

www

.krakademi.com

3.

y = –x + 10, x = 3, x = 7 doğrularının x ekseni ara-sında kalan bölgenin alanını bulmak için doğruları analitik düzlemde yazılırsa,

• , y x x i in y do rusu izilirse y y i in x x 10 0 0 10 10 0 0 10 10 ç € ç ç = - + = = - + = = = - + = x (3, 7) 3 7 10 10 y = –x + 10 y _{x = 3 x = 7} (7, 3) 4 7 3 0

• x = 3 ve y = –x + 10 doğrularının kesim noktasının koordinatları bulmak için ortak çözüm yapılırsa, x = 3 ise y = –x + 10 = –3 + 10 = 7 dir.

• x = 7 ve y = –x + 10 doğrularının kesim noktasının koordinatları bulmak için ortak çözüm yapılırsa, x = 7 ise y = –x + 10 = –7 + 10 = 3 tür. Bilgi: Yamuğun alanı, A b h D a C B ( ) ( ) A ABCD a b h 2 $ = +

• Analitik düzlemde oluşan yamuğun alanı,

( ) › Alan br 2 7 3 4 2 10 4 ₂₀ 2 $ $ = + = = Cevap: C

4.

x 0 6 2 2 12 10 (6, 2) (6, 12) y x = 6 y = 2x y = x 3 6

• x = 6 ve y = 2x doğrularının kesim noktasının koordinatları bulmak için ortak çözüm yapılırsa, x = 6 ise y = 2x = 2·6 = 12 dir.

• x = 6 ve y x 3

= doğrularının kesim noktasının koordinatları bulmak için ortak çözüm yapılırsa, x = 6 ise y x dir.

3 3

6 ₂

= = =

Bilgi:

Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. B h A h C ( ) A ABCD h BC 2 $ = • . ›

Taral Alan Taban x Y kseklik

br bulunur 2 2 10 6 2 60 30 ü 2 $ = = = = Cevap: B

www

.krakademi.com

5.

x y –4 –2 0 9 a 2 4 3 12 12 B(b,0) a = 6 d1 d2 A(a,12)

• A noktasının x eksenini kestiği nokta a, y eksenini kestiği nokta 12 dir. Buna analitik düzlemde olu-şan üçgen benzerliklerinden yararlanarak a ve b değerleri bulunur. • Üçgen benzerliğinden, . a a a birim olur 2 3 9 3 2 6 3 $ = = =

• Üçgenlerin benzerliğinden, eşit açıların gördüğü kenarların oranı birbirine eşittir.

, . b b b b b b b b birim olur 6 12 4 3 6 3 6 4 6 1 5 3 - = = -+ = = =

• Buna göre, a – b = 6 – 1,5 = 4,5 birim bulunur. Cevap: C

6.

d1 : 2x + 3y + 6 = O doğrusu analitik düzlemde

çizilir-se, x y x i in y y y i in x x x 2 3 6 0 0 2 0 3 6 0 2 0 2 3 0 6 0 2 6 3 ç ç & $ $ + + = = + + = = -= + + = = = -y 3 = -6

d2 : x – y – 7 = O doğrusu analitik düzlemde çizilirse,

x y x i in y y i in x x 7 0 0 0 7 0 7 0 0 7 0 7 ç ç & - - = = - - = = - - = = y = -x x – y – 7 = 0 2x + 3y + 6 = 0 y 4 –3 –2 –4 –7 7 10

• Taralı üçgen alanını bulabilmek için doğruların kesim noktasının y değeri ortak çözüm ile bulu-nur. / x y x y x y x y y 2 3 6 0 2 3 6 0 2 7 0 2 2 14 0 5 20 0 20 & & + + = + + = - - - = - + + = + = + y 5 = -y= -4 Taralı Alan = br 2 10 4$ ₌₂₀ 2 _bulunur. Cevap: A

www

.krakademi.com

7.

• y – x = a doğru denklemi analitik düzlemde çizilirse

y = 0 için 0 – x = a x = –a x = 0 için y – 0 = a y = a

(–a, 0) ve (0, a) noktalarından geçen bir doğrudur. • y x+₃=a doğru denklemi analitik düzlemde

çizi-lirse,

y = 0 için _{0 3}+x =a x = 3a x = 0 için y+₃0=a y = a

(3a, 0) ve (0, a) noktalarından geçen bir doğrudur.

x y a a –a 3a 4a y – x = a _{y x a} 3 + = • y – x = a, y x+₃ =a denklemlerinin x ekseni arasında kalan bölgenin alanı 32 br2 _olduğunda

yukarıda analitik düzlemde üçgen alanı olduğu görülür. Buna göre, üçgen alanı taban ile yüksek-liğin çarpımının yarısına eşit olduğundan,

a a a a a 4 2 32 4 64 16 4 2 2 $ $ ! = = = =

• a pozitif gerçel sayı olduğundan a = 4 bulunur. Cevap: D

8.

Dik koordinat düzleminde A(1, 3) noktasına y = ax + b doğrusu üzerinde bulunan noktalardan en yakını B(2, 4) noktası dik olan mesafedir.

A(1, 3)

y = ax + b B(2, 4)

• [AB] doğrusu y = ax + b doğrusuna dik ise eğimler çarpımı –1 e eşittir. y = ax + b doğrusunun eğimi = a dır.

[AB] doğrusunun eğimi = dir. 2 1 4 3 1 1 ₁ -- _{= =} . a a bulunur 1 1 1 $ = =

-• B(2, 4) noktası y = –x + b doğrusu üzerindeyse bu nokta denklemi sağlar.

b=6 ( , ) B y x b b b 2 4 4 2 4 2 x y " = - + = - + + = U U

Buna göre, a + b = –1 + 6 = 5 bulunur.

Cevap: C

9.

Dik koordinat düzleminde, kenarlarından biri y = –x doğrusu, köşegenleri ise x = 2 ve y = 2 doğ-ruları üzerinde olan kare alanı bulmak için, doğrular analitik düzlemde yazılır.

x y y = 2 y = –x x = 2 0 2 2 2§2 2§2 4§2 45° 45° 45° 45°

Karenin alanı bir kenarının karesine eşit olduğundan, (4 2)2₌32 br2 _bulunur.

www

.krakademi.com

10.

Bilgi:

A(x0, y0) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru

denklemi y – ya = m0(x – x0) ile bulunur.

• 4x – 3y + 12 = 0 doğrusuna paralel olan doğru eğimleri eşit ise, bu doğrunun eğimi m

3 4 3 4 = -- = tür.

• A(–1, –3) noktasından geçen ağimi m 3 4 = olan doğru denklemi yazılırsa,

y x veya 3 -4 +5= ( ) y+3= x+1 ( , ) , ( ) ( ) ( ( )) . › A m ise y y m x x y x y x y x x y d r 1 3 3 4 3 3 4 ₁ 3 4 3 9 4 4 3 4 9 4 4 3 5 0 0 0 x y 0 0 0 0 $ $ - - = - = -- -- = -+ = + - + - = - - = 8 9 Cevap: E

11.

Bilgi:

Analitik düzlemde A(x, y) noktasının orjine göre simetriği A′(–x, –y) dir. Analitik düzlemde A(x, y) noktasının x – eksenine göre simetriği A′(x, –y) dir.

• A(4, –6) noktasının orjine göre simetriği alınırsa x ve y değerinin işareti değişir.

( , ) ( , )

A4 -6 Orjine g re simetri iö € B-4 6

• A(4, –6) noktasının x – eksenine göre simetriği alınırsa x değeri değişmez, y nin işareti değişir.

( , ) ( , )

A4 -6 x eksenine g re simetri i- ö € C 4 6

• Buna göre B(–4, 6) ve C(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık, ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) . BC y y x x O birim bulunur 6 6 4 4 8 8 8 2 12 2 12 2 2 2 2 2 = - + -= - + -= + = = Cevap: B

12.

Bilgi:

A(x, y) noktasının x – eksenine göre simetriği A′(x, –y) dir.

A(x, y) noktasının y – eksenine göre simetriği A′(–x, y) dir.

• A(-3 4, ) x eksenine g re simetri i- ö € B(-3,-4) • C( ,5 -2) y eksenine g re simetri i- ö € D(-5,-2) • B(–3, –4) ve D(–5, –2) noktalarının oluşturduğu

[BD] doğru parçasınının orta noktası (x0, y0)

olsun. D(–5, –2) (x0, y0) B (–3, –4) y x 2 4 2 2 6 3 2 5 3 2 8 ₄ 0 0 =- - =- = -=- - =- =

-Buna göre, orta noktanın apsis (x0) ve ordinatının (y0)

toplamı x0 + y0 = –3 –4 = –7 bulunur.

www

.krakademi.com

13.

Bilgi:

A(x, y) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a – x, 2b – y) dir.

• A(2, –3) noktasının B(–1, 1) noktasına simetriği,

'( ( ) , ( ) ( )) '( , ) '( , ) . A A A dir 2 1 2 2 1 3 2 2 2 3 4 5 $ - - $ -- -- +

-• A’(–4, 5) noktası 2 x + y – k = 0 doğrusu üzerin-deyse denklemi sağlar.

( ) k 2$ -4 + - =5 '( , ) . A x y k k k bulunur 4 1 2 8 5 3 0 0 x y " - - + - = - + = = -9 -9 Cevap: E

14.

• , . . € fl y x i in y x do rusu izilirse E itlik varsa d z izgi olur x i in y y i in x olur 3 3 3 3 0 0 ç ç ü ç ç ç . $ - = -= = = = 4 x y 3 y $ x – 3 –3 • , . € fl y x i in y x do rusu izilirse E itlik yoksa kesikli izgi x i in y y i in x olur 4 4 4 4 0 0 ç ç ç ç ç < . + = + = = = = - 4 x y < x + 4 y –4 4

• Bu iki doğru eşitsizlikleri birleştirilirse,

x y 3 –4 –3 4 Cevap: D