Genelleştirilmiş Douglas Metrikli Kropina Uzayları

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ  FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

Salim CEYHAN

Anabilim Dalı : Matematik Mühendisliği Programı : Matematik Mühendisliği

ŞUBAT 2009

ŞUBAT 2009

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ  FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

Salim CEYHAN (509942074)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 24 Ekim 2008 Tezin Savunulduğu Tarih : 24 Şubat 2009

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Gülçin ÇİVİ (İTÜ)

Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Abdülkadir ÖZDEĞER(KHAS) Prof. Dr. Leyla Zeren AKGÜN (İÜ) Prof. Dr. Zerrin ŞENTÜRK (İTÜ) Doç. Dr. Uğur DURSUN (İTÜ)

¨

ONS ¨OZ

Tez c¸alıs¸mam s¨uresince yardımlarını esirgemeyen ve gec¸ saatlere kadar ¨ozverili bir s¸ekilde c¸alıs¸mamızda iyi niyetini g¨osteren de˘gerli hocam Yrd.Doc¸.Dr.G¨ulc¸in C¸ ivi’ ye sonsuz tes¸ekk¨ur ve minnet duygularımı burada belirtmeyi bir borc¸ bilirim. Ayrıca, tez c¸alıs¸ma raporlarımda c¸ok de˘gerli katkı ve ¨onerilerinden yararlandı˘gım de˘gerli hocalarım sayın Prof.Dr.Abd¨ulkadir ¨OZDE ˘GER ve sayın Doc¸.Dr.U˘gur DURSUN ’a c¸ok tes¸ekk¨ur ederim.

˙IC¸˙INDEK˙ILER

S¸EK˙IL L˙ISTES˙I . . . .vi

SEMBOL L˙ISTES˙I . . . .vii

¨ OZET . . . .ix

SUMMARY . . . .xiii

1. G˙IR˙IS¸ . . . .1

1.1 Finsler Geometrisinin Tarihsel S¨ureci . . . 1

1.2 Minkowski Normları . . . 2

1.3 Finsler Metrikleri . . . 3

1.4 (α, β)−Metrikli Finsler Uzayları . . . 4

1.5 Finsler Metriklerinin Spreyleri . . . 5

1.6 Riemannian E˘grilik ve Flag E˘grilik . . . 7

1.7 Projektif D¨uz Finsler Metrikleri . . . 9

1.8 Finsler Uzaylarının Projektif D¨on¨us¸ ¨um¨u . . . 10

2. KROP˙INA METR˙IKL˙I F˙INSLER UZAYLARI . . . .13

2.1 Douglas Metrikli Finsler Uzayları . . . 13

2.2 Genelles¸tirilmis¸ Douglas Metrikli Finsler Uzayları . . . 15

2.2.1 Genelles¸tirilmis¸ Douglas Metrikli Kropina Uzayları . . . 16

2.3 Finsler Uzaylarında R-E˘grilik Tens¨or¨u . . . 27

2.3.1 Skaler Flag E˘grilikli Kropina Uzayları . . . 28

2.4 Z−Projektif Finsler Uzayları . . . 39

2.4.1 Z−Projektif Kos¸ulu Altında ˙Invaryant Kalan B¨uy¨ukl¨ukler . . . 40

2.4.2 Z−Projektif Kropina Uzayları . . . 41

2.5 D−Rek¨urant Finsler Uzayları . . . 49

2.5.1 Genelles¸tirilmis¸ Douglas Metrikli D−Rek¨urant Kropina Uzayları 49 3. KROP˙INA D ¨ON ¨US¸ ¨UMLER˙I . . . .53

3.1 Finsler Uzaylarında Kropina D¨on¨us¸¨umleri . . . 53

4. SONUC¸ LAR VE TARTIS¸MA . . . .61

KAYNAKLAR . . . .63

¨ OZGEC¸ M˙IS¸ . . . .65

S¸EK˙IL L˙ISTES˙I

Sayfa No S¸ekil 1.1: Flag E˘grilik . . . .8 S¸ekil 1.2: Kesitsel Flag E˘grilik . . . .8

SEMBOL L˙ISTES˙I

M : n−boyutlu, diferansiyellenebilir manifold

F = F (x, y) : Finsler metrik fonksiyonu

Fn : n−boyutlu Finsler uzayı gij(x, y) : Finsler uzayının metrik tens¨or¨u

gy(u, v) : u, v vekt¨orlerinin ic¸ c¸arpımı α(x, y) : Riemann metri˘gi

β(x, y) : Diferansiyel 1−form

aij(x) : Riemann uzayının metrik tens¨or¨u δi

j : Kronecker deltası

hij(x, y) : Finsler uzayının ac¸ısal metrik tens¨or¨u G_F : F Finsler metri˘ginin spreyi

Gi_F(x, y) : F Finsler metri˘ginin sprey (geodezik) katsayıları

Ri

k(x, y) : Riemann e˘grilik tens¨or¨u

Ri_i : Ricci e˘grili˘gi veya Ricci skaleri

K(x, y) : Flag e˘grilik

P (x, y) : Projektif c¸arpan

Q0, Q1, Q2 : Projektif invaryantlar Wki : Weyl e˘grilik tens¨or¨u Dh

ijk : Douglas e˘grilik tens¨or¨u BΓ(Gi_Fjk, G

i

Fj, 0) : F Finsler metri˘ginin Berwald konneksiyonu Ri

ljk : R-e˘grilik tens¨or¨u

; : α Riemann metri˘ginin Berwald konneksiyonuna g¨ore

yatay kovaryant t¨urevi

| : F Finsler metri˘ginin Berwald konneksiyonuna g¨ore

yatay kovaryant t¨urevi

k : eF Finsler metri˘ginin Berwald konneksiyonuna g¨ore yatay kovaryant t¨urevi

GENELLES¸T˙IR˙ILM˙IS¸ DOUGLAS METR˙IKL˙I KROP˙INA UZAYLARI ¨

OZET

Bu c¸alıs¸ma ¨uc¸ b¨ol¨umden olus¸maktadır. Birinci b¨ol¨umde, ilk olarak, Finsler geometrisinin kısa bir tarihc¸esi verildi. Sonra, Finsler metriklerine ait temel tanımlar ve ¨ozellikler ve son olarak da projektif d¨on¨us¸¨umler altında invaryant kalan Douglas tens¨or¨u, Weyl tens¨or¨u ve Q−invaryantları adı verilen bazı b¨uy¨ukl¨ukler tanıtıldı. Bir V vekt¨or uzayında negatif olmayan bir F : V → [0, ∞) fonksiyonu herhangi y ∈ V ic¸in as¸a˘gıdaki ¨ozelliklere sahip ise bir Minkowski normudur:

1) F (y) ≥ 0 ve F (y) = 0 ⇔ y = 0 ,

2) λ > 0 ic¸in, F (λy) = λF (y), yani, F birinci dereceden pozitif y−homojen, 3) F, V \{0} ¨uzerinde C∞sınıfından ve V ¨uzerindeki

gy(u, v) = 1 2 ∂2 ∂s∂t h F2(y + su + tv)i t=s=0

simetrik bilineer formu bir ic¸ c¸arpımdır. gy ic¸ c¸arpımı, y do˘grultusundaki esas form ve

(V, F ) c¸ifti de bir Minkowski uzayı adını alır.

M , C∞ sınıfından n−boyutlu diferansiyellenebilir, ba˘glantılı bir manifold ve T M =

S

TxM, (x ∈ M ), M nin te˘get uzayı demeti olsun. Burada TxM, x ∈ M noktasındaki te˘get uzaydır. Bir F = F (x, y) : T M → [0, ∞) fonksiyonuna as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘gladı˘gında bir Finsler metri˘gi adı verilir:

a) F , T M0 = T M \{0} de C∞sınıfından,

b) herhangi bir x ∈ M noktasında, Fx(y) = F (x, y), TxM uzayında bir Minkowski normudur.

(M, F ) c¸iftine de bir Finsler uzayı denir. Lokal koordinatlarda, bir Finsler uzayının

gij = gij(x, y) metrik tens¨or¨u gij(x, y) = 1 2 ∂2 ∂yi_∂yjF 2 (x, y) ile verilir.

Finsler geometrisinde, Finsler metrikleri geometrik ¨ozelliklerine g¨ore c¸ es¸itli sınıflara ayrılır. Bir manifold ¨uzerinde gerekli kos¸ulları sa˘glayan bir c¸ok Riemann ve Riemannian olmayan Finsler metrikleri vardır.

φ(s), (−b0, b0) aralı˘gında C∞sınıfından

φ(s) − sφ0(s) + (b2− s2)φ00(s) > 0, |s| ≤ b0 (φ > 0)

es¸itsizli˘gini sa˘glayan pozitif bir fonksiyon olsun. Burada aij Riemann metrik tens¨or¨un¨un kontravaryant biles¸enlerini g¨ostermek ¨uzere, b2 _{= a}ij_(x)b

ibj = bibi, bi= bi(x) dir. Herhangi bir x ∈ M ic¸in k βx kα=

p aij_(x)b ibj ≤ b0 ise, F = αφ(s), s = β α,  α = α(x, y), β = β(x, y)  (1) fonksiyonu bir Finsler metri˘gidir. (1) ile tanımlanan Finsler metriklerine

(α, β)−metrikleri denir. Burada α(x, y) = paij(x)yiyj Riemannian bir metrik ve β(x, y) = bi(x)yidiferansiyel bir formdur.

Randers ve Kropina metrikleri, sırasıyla, F = α + β ve F = α 2

β formunda ¨ozel

(α, β)−metrikleridir.

Her F Finsler metri˘gi ve F metri˘ginin Gi_F sprey katsayıları, geodezikleri veren bir G_F = yi ∂

∂xi − 2G i F

∂

∂yi spreyini meydana getirir. Bir Finsler uzayı ¨uzerinde bir geodezik d2_xi dt2 + 2G i F(x, dx dt) = 0 diferansiyel denklem sistemi ile verilir. E˘ger Gi

F = G i

F(x, y) sprey katsayıları her x noktasındaki y ∈ TxM nin kuadratik fonksiyonları, yani,

Gi F = 1 2 Γ i jk(x) y j yk = 1 4g iln [F2]xk_ylyk − [F2]_xl o

ise, F Finsler metri˘gine bir Berwald metri˘gi adı verilir. (α, β)−metrikleri Berwald metriklerinin bir sınıfını olus¸turur.

Ry : TxM → TxM Riemann e˘grili˘gi, Berwald konneksiyonlu bir manifold ¨uzerinde

Ri_k = 2∂G i F ∂xk − y j ∂ 2_Gi F ∂xj_∂yk + 2G j F ∂2_Gi F ∂yj_∂yk − ∂Gi F ∂yj ∂Gj F ∂yk s¸eklinde tanımlanır.

Bir y ∈ TxM vekt¨or¨un¨u ic¸eren bir P ⊂ TxM te˘get d¨uzlemi ic¸in u ∈ P, ve P = span{y, u} olmak ¨uzere

K(P, y) = gy(Ry(u), u)

gy(y, y)gy(u, u) − [gy(y, u)]2

ile tanımlanan K = K(P, y) ya flag e˘grilik adı verilir. E˘ger K(P, y) = K(x, y) s¸eklinde bir skaler fonksiyon ise; F , skaler e˘grilikli, K(P, y) = sbt. ise F , sabit flag e˘griliklidir.

Fn = Fn(M, F ) ve eFn = Fen(M, eF ) iki Finsler uzayı olsun. Burada F ve

e

F , M ¨uzerindeki temel fonksiyonlardır. E˘ger Fn ¨uzerinde herhangi bir geodezik eFn uzayınında bir geodezi˘gi veya tersi de do˘gru ise, σ : F → eF d¨on¨us¸¨um¨une projektif d¨on¨us¸ ¨um adı verilir. σ d¨on¨us¸¨um¨un¨un projektif bir d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ul, as¸a˘gıdaki ilis¸kiyi sa˘glayan skaler bir P = P (x, y) fonksiyonunun var olmasıdır:

Gi e F = G i F + P y i .

Burada projektif c¸arpan adı verilen P , y nin birinci dereceden pozitif homojen fonksiyonudur.

˙Ikinci b¨ol¨umde, Douglas uzayı ve genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikleri tanıtıldı ve Kropina ve Riemann metriklerinin, sırasıyla, Gi_F ve Giα sprey katsayıları arasındaki

Gi_F = Gi_α − α 2 2βs i 0− α2_s 0+ βr00 α2_b2 y i +α 2_s 0+ βr00 2βb2 b i (2) ilis¸kisi elde edildi.

Bir Douglas metri˘gi

Gi_F = Gi_F(x, y) = 1 2Γ i jk(x)y j yk + P (x, y)yi

formundaki sprey katsayılarına sahip bir Finsler metri˘gidir. Bir Fn Finsler uzayının Douglas tens¨or¨u, e˘ger hp_iDi

jkl|my

m _{= 0 denklem sistemini sa˘glıyorsa Finsler uzayına} genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı adı verilir. Burada hpi = δ

p i −

yp F

∂F

∂yi dir. Bu c¸alıs¸mada, ¨oncelikle, bir Kropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli olması ic¸in gerek kos¸ullar aras¸tırılmıs¸tır. Bu amac¸la, (2) de Gi e F = G i α− α2_β−1 2 s i 0+ α2_β−1_s 0+ r00 2b2 b i

yazılarak eFnFinsler uzayı ve FnKropina uzayı arasındaki bir projektif d¨on¨us¸¨um¨u g¨osteren

Gi e F = G i F + P y i

ilis¸kisi bulundu. ”Genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayları projektif ilis¸kiler altında kapalıdır.” sonucunu kullanarak, genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli Kropina uzayları ic¸in gerek ve yeter kos¸ulu veren polinom denklemler

β5_A

2+ β4(α2B1+ B3) + β3(α4B0 + α2B2+ B4) + β2(α4C1 + α2C3+ C5)

+β(α4D2+ α2D4) + α6E1+ α4E3= 0

olarak elde edildi ve bu polinom denklemi sa˘glayan gerek kos¸ul bir teoremle ifade ve ispat edildi. Sonra, skaler flag e˘grilikli bir Kropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı olmasını sa˘glayan gerek ve yeter kos¸ulun elde edilmesi problemi g¨oz¨on¨une alındı. Ele alınan problem ic¸in ¨oncelikle, R−e˘grilik tens¨or¨u incelendi ve R−e˘grilik tens¨or¨u ic¸in Riemannian geometrideki birinci ve ikinci Bianchi ¨ozdes¸liklerine es¸de˘ger olan ¨ozdes¸likler ispat edildi. Ayrıca, skaler flag e˘grilikli Kropina uzayları karakterize edildi ve elde edilen t¨um sonuc¸lar kullanılarak, skaler flag e˘grilikli bir Kropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ul

olarak elde edildi. Daha sonra, projektif d¨on¨us¸¨um ¨uzerine P|i − P Pi = 0,  P|k = ∂P ∂xk − G r Fk ∂P ∂yr, Pi = ∂P ∂yi 

ile tanımlanan Z−projektiflik kos¸ulu g¨oz¨on¨une alınarak, bu kos¸ul altında invaryant kalan b¨uy¨ukl¨ukler incelendi ve

A5β4+ A4β3α2 + A3β2α4+ A2βα6+ A1α8 = 0

formundaki polinom denklemler c¸¨oz¨ulerek σ : F → F projektif d¨on¨us¸¨um¨une Z−projektif bir d¨on¨us¸¨um olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ullar bulundu. Ayrıca, D_jkl|mi ym = φ(x, y)Di_jkl, (φ = φ(x, y) : y nin birinci dereceden pozitif homojen fonksiyonu) kos¸ulunu sa˘glayan D− rek¨urant Kropina uzayı incelenerek D−rek¨urant bir Kropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ul

sij = 1 b2(bisj − bjsi),  sij = 1 2(bi;j − bj;i), sj = sijb i olarak elde edildi.

Bu b¨ol¨umde son olarak, D−rek¨urant ve zayıf Berwald metrikli bir Fn Kropina uzayı ic¸in as¸a˘gıdaki kos¸ulların es¸de˘ger oldu˘gu ispat edildi.

1) Fnbir Berwald uzayıdır.

2) Fnbir genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayıdır. 3) Fnic¸in skl = slbk − skbl

b2 dır. 4) Fnbir Douglas uzayıdır. ¨

Uc¸¨unc¨u b¨ol¨umde, F∗_{ve F metrikleri arasında} F∗(x, y) = F

2

(x, y)

β(x, y)

s¸eklinde tanımlanan ρ : F → F∗ _{Kropina d¨on¨us¸¨um¨u tanıtıldı. Projektif d¨uz bir F} Randers metri˘gi ile bir F∗Finsler metri˘gi arasında g¨oz ¨on¨une alınan b¨oyle bir d¨on¨us¸¨um altında, F∗Finsler metri˘ginin projektif d¨uz olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ulun

α β  xky k = 0

diferansiyel denkleminin sa˘glanması oldu˘gu ispatlandı.

Sonra, projektif d¨uz F metrikli bir Fn Randers uzayı ve projektif d¨uz F∗ _{metrikli bir} F∗

n Finsler uzayı arasındaki ρ : F → F

∗_{d¨on¨us¸ ¨um¨un¨un bir Kropina d¨on¨us¸¨um¨u olması} halinde Fn∗ Finsler uzayının flag e˘grili˘ginin

K∗ = β 2 (α + β)4  p2− yi ∂p ∂xi 

, (p: Randers metri˘ginin projektif c¸arpanı) oldu˘gu g¨osterildi. Bu b¨ol¨umde son olarak, bir F Finsler metri˘gi ile bir F∗zayıf Berwald metri˘gi arasındaki ρ : F → F∗ = F

2

β Kropina d¨on¨us¸¨um¨un¨un projektif d¨uz bir Finsler metri˘gini, skaler flag e˘grilikli ve genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli bir Kropina uzayının metri˘gine d¨on¨us¸t¨urmesi ic¸in gerek ve yeter kos¸ulun α

β

xky k

KROPINA SPACES WITH A GENERALIZED DOUGLAS METRIC SUMMARY

This work contains three chapters. In Chapter I, firstly, a brief history of Finsler geometry is given, and then the fundamental definitions and properties concerning Finsler metrics are presented. Next, the Douglas tensor, Weyl tensor and some quantities named as Q−invariants under the projecive changes are introduced.

A Minkowski norm on a vector space V is a non-negative function F : V → [0, ∞) with the following properties:

1) F (y) ≥ 0 for any y ∈ V, and F (y) = 0 ⇔ y = 0,

2) F (λy) = λF (y) for any λ > 0 and any y ∈ V , i.e, F is positively y−homogeneous of degree one,

3) F is C∞ on V \{0} such that for any y ∈ V \{0}, the following bilinear symmetric form gy on V is an inner product,

gy(u, v) = 1 2 ∂2 ∂s∂t h F2(y + su + tv)i t=s=0.

The inner product gy is called the fundamental form in the direction of y. The pair

(V, F ) is called a Minkowski space. Let M be a differentiable, connected manifold of

dimension n of class C∞_{and T M =} S_T

xM, (x ∈ M ) be the tangent bundle of M , where TxM is the tangent space at x ∈ M . A function F = F (x, y) : T M → [0, ∞) satisfying the following properties is called a Finsler metric

a) F is C∞_{on T M0 = T M \{0}}

b) for any x ∈ M, Fx(y) = F (x, y) is a Minkowski norm on TxM .

The pair (M, F ) is called a Finsler space. In a Finsler space, the metric tensor is given by gij(x, y) = 1 2 ∂2 ∂yi_∂yjF 2 (x, y).

In Finsler geometry, Finsler metrics are separated into several classes according to their geometric properties. And, there are many Riemannian and non-Riemannian Finsler metrics satisfying the necessary conditions on a manifold.

Let φ(s) be a positive C∞function on (−b0, b0) satisfying

where b2 = aij(x)bibj = bibi, bi = bi(x). If k βx kα=

p

aij_(x)b

ibj ≤ b0 for any x ∈ M then the function defined by

F = αφ(s), s = β α,  α = α(x, y), β = β(x, y)  (1) is a metric and it is called a (α, β)−metric, where α(x, y) = paij(x)yiyj is a Riemannian metric, β(x, y) = bi(x)yi_{is a 1−form.}

Randers and Kropina metrics are special (α, β)−metrics having the forms F = α + β and F = α

2

β , respectively.

Every Finsler metric F and Gi

F, the spray coefficients of F , induce a spray GF = y i ∂ ∂xi − 2G i F ∂

∂yi which determines the geodesics. A geodesic in a Finsler space are given by the system of differential equations

d2xi dt2 + 2G i F(x, dx dt) = 0.

If the spray coefficients Gi_F = Gi_F(x, y) are quadratic in y ∈ TxM at every point x, i.e., Gi F = 1 2 Γ i jk(x) y j yk = 1 4g iln [F2]xk_ylyk− [F2]_xl o ,

then the Finsler metric F is called a Berwald metric. The (α, β)−metrics are Berwald metrics.

The Riemann curvature Ry : TxM → TxM is defined by Ri_k = 2∂G i F ∂xk − y j ∂ 2 Gi F ∂xj_∂yk + 2G j F ∂2Gi F ∂yj_∂yk − ∂Gi F ∂yj ∂Gj F ∂yk on a manifold with a Berwald connection.

For a tangent plane P ⊂ TxM containing y ∈ TxM, K = K(P, y) given by K(P, y) = gy(Ry(u), u)

gy(y, y)gy(u, u) − [gy(y, u)]2

is called the flag curvature, where u ∈ P such that P = span{y, u}. If K(P, y) = K(x, y) is a scalar function, F is said to have a scalar curvature and if K(P, y) = const., F is said to have a constant flag curvature.

Let Fn = Fn(M, F ) and eFn = eFn(M, eF ) be two Finsler spaces, where F ve eF are fundamental functions on M . If any geodesic on Fn is also a geodesic on eFn and if the inverse is also valid, then the change σ : F → eF is called a projective change. A change from F to eF is a projective change if and only if there exists a scalar field P = P (x, y) such that Gi e F = G i F + P y i ,

where P (x, y) being a positively homogeneous of degree one in yi and is called the projective factor.

In Chapter II, The definitions of the Douglas and the generalized Douglas metrics are given and then the relation between the spray coefficients Gi

F and G i

α which belong to a Kropina metric and a Riemann metric ,respectively, is obtained as

Gi F = G i α − α2 2βs i 0− α2_s 0+ βr00 α2_b2 y i + α 2_s 0 + βr00 2βb2 b i . (2)

A Douglas metric is a Finsler metric having the spray coefficients in the form Gi_F = Gi_F(x, y) = 1 2Γ i jk(x) y j yk+ P (x, y)yi If hp_iDi jkl|my

m _{= 0 , the Finsler space F is called a generalized Douglas spaces, where} hpi = δ p i − yp F ∂F ∂yi.

In this work, firstly, the necessary and sufficient conditions for a Kropina space with generalized Douglas metric are studied.

For this aim, by substituting Gi e F = G i α − α2_β−1 2 s i 0+ α2_β−1_s 0+ r00 2b2 b i in the relation given by equation (2), it is obtained that

Gi e F = G i F + P y i

which characterizes a projective change between the Kropina space Fnand the Finsler space eFn. By using the fact that generalized Douglas spaces are closed under projective relations, the polynomial equation giving the necessary and sufficient conditions for Kropina space with generalized Douglas metric are obtained as

β5_A

2+ β4(α2B1+ B3) + β3(α4B0 + α2B2+ B4) + β2(α4C1 + α2C3+ C5)

+β(α4_D

2+ α2D4) + α6E1+ α4E3= 0 (3) and, then the necessary condition satisfying the polynomial equation (3) is introduced and stated as a theorem. Next, the R−curvature is studied and the identities analogue to the first and the second Bianchi identities in the Riemannian geometry are proved. Next, the Kropina spaces of the scalar flag curvature are characterized and by using all results which are obtained, it is proved that a Kropina space of scalar flag curvature is a generalized Douglas space if and only if

skl = 0.

Later, the Z−projective change which is defined as P|i − P Pi = 0,

 P|k = ∂P ∂xk − G r Fk ∂P ∂yr, Pi = ∂P ∂yi 

is considered and the quantities which are invariant under the Z−projective change are studied and the polynomial equations which are obtained in the form

are solved, and the necessary and sufficient conditions for which the projective change between a Kropina space Fnand a Finsler space eFnis a Z−projective change are proved by a theorem.

In addition, a D−recurrent Kropina space satisfying the condition D_jkl|mi ym = φ(x, y)Di_jkl where φ = φ(x, y) is a positively homogeneous function of degree one in y are studied and proved that a D−recurrent Kropina space carries a generalized Douglas metric if and only if the condition

sij =

1

b2(bisj − bjsi) holds, where sij = 1

2(bi;j− bj;i) and sj = sijb

i_.

In this chapter, finally it is proved that the following conditions are equivalent for a D−recurrent Kropina space Fnwith weak Berwald metric:

1) Fnis a Berwald space.

2) Fnis a generallized Douglas space. 3) for Fn,skl = slbk− skbl

b2 . 4) Fnis a Douglas space.

In Chapter III, The Kropina change ρ : F (x, y) → F∗(x, y) defined by

F∗(x, y) = F

2

(x, y)

β(x, y)

is considered and a such a change between the projective flat Randers metric F and the Finsler metric F∗ _{is studied, and it is proved that the Finsler metric F}∗ _{is projectively} flat under Kropina change if and only if the differential equation

α β  xky k = 0 is satisfied.

Next, it is shown that if a Kropina change ρ : F (x, y) → F∗_{(x, y) between a projective} flat Randers space Fn and a projective flat Finsler Fn∗, then the flag curvature of the Finsler space F∗ n is K∗ = β 2 (α + β)4  p2− yi∂p ∂xi 

, (p: the projective factor for the Randers metrics). In this chapter, finally, we considered the Kropina change ρ : F (x, y) → F∗(x, y)

between the projective flat Finsler metric F and the weakly Berwald metric F∗ _and, then we proved that the metric F∗ _{is a Kropina metric with the type of the generalized} Douglas of scalar flag curvature if and only if α

β



xky k

1. G˙IR˙IS¸

1.1 Finsler Geometrisinin Tarihsel S ¨ureci

M. ¨O. 300 de ¨Oklid, d¨uzlem geometriyi ¨unl¨u bes¸ aksiyomu ile tanımlamıs¸tır. ¨Oklidyen geometri, Rn de noktalar, do˘grular, d¨uzlemler, ac¸ılar gibi kavramları ve ¨Oklid geometrisinin aksiyomlarıyla olus¸turulmus¸ ¨onerme ve teoremleri baz alır (Pisagor teoremi, trigonometrik form¨uller,...). Do˘gayı anlamak ic¸in d¨uz olmayan uzaylar ¨uzerinde geometri ins¸a etmeye ihtiyac¸ vardır. ˙Ilk olarak Gauss bu amac¸la R3 _te

2−boyutlu y¨uzeyleri c¸alıs¸arak d¨uz olmayan uzayları tanımlamıs¸tır. Daha sonra, B. Riemann, 1854 de ¨Oklidyen uzaylara yerel olarak homeomorfik olan manifold tanımını vermis¸tir. Sonra bir manifold ¨uzerinde, vekt¨orler arasındaki ac¸ıları, iki nokta arasındaki uzaklı˘gı ve e˘grilerin uzunlu˘gunu ¨olc¸meyi sa˘glayan Riemann metri˘ginin tanımını vermis¸tir. Bununla birlikte, Riemann sonsuz k¨uc¸¨uk bir b¨uy¨ukl¨u˘g¨un verilmesiyle, genel d¨uzg¨un mesafe fonksiyonlarını ifade etme problemini de ortaya atmıs¸tır. P. Finsler tarafından bir Finsler manifoldu ¨uzerinde varyasyonlar hesabı y¨ontemleriyle, bu problem inceleninceye kadar yaklas¸ık 60 yıl s¨uren c¸alıs¸malardan somut bir sonuc¸ elde edilememis¸tir. Finsler’in 1918 deki doktora tezi c¸alıs¸ması bu do˘grultudaki ilk adım olmus¸ ve izleyen bir kac¸ yıl ic¸inde varyasyonlar hesabının notasyonları yerini tens¨or hesabı notasyonlarının kullanımına bırakmıs¸tır. 1925 te

Synge, Taylor ve Berwald hemen hemen es¸ zamanlı olarak bu yeni uzay ic¸in tens¨or hesabı metotlarını kullanmıs¸lardır. Tens¨or notasyonları ile bir Finsler uzayının metrik tens¨or¨un¨un biles¸enleri, Riemann geometrisindeki metrik tens¨ore es¸de˘ger olarak gij(x, y) =

1 2 h

F2i

yi_yj(x, y) s¸eklinde tanımlanmıs¸tır. Berwald 1926 da bir Finsler manifoldu ¨uzerinde Berwald konneksiyonu tanımını ve bazı Riemannian olmayan b¨uy¨ukl¨ukleri vermis¸tir. Daha sonraki yıllarda Cartan ve Chern kendi konneksiyonlarını Finsler uzayı ic¸in tanımlamıs¸lardır.

1.2 Minkowski Normları

Sonlu bir V vekt¨or uzayı ¨uzerinde bir F : V → [0, ∞) fonksiyonu herhangi bir y ∈ V ic¸in as¸a˘gıdaki kos¸ulları sa˘glıyorsa bir Minkowski normudur:

(a) F (y) ≥ 0 ve F (y) = 0 ⇔ y = 0,

(b) λ > 0 ic¸in F (λy) = λF (y), (F birinci dereceden pozitif y−homojen)

(c) F , V \{0} da C∞sınıfındandır ve gy(u, v) = 1 2 ∂2 ∂s∂t h F2(y + su + tv)i t=s=0 (1.1)

ile tanımlanan gy : V × V → R bilineer simetrik fonksiyoneli bir ic¸ c¸arpımdır [1].

Buna g¨ore, {ei}, V vekt¨or uzayının bir baz takımı ve y = (yi_{) ∈ V olmak ¨uzere y 6= 0} ic¸in bir ic¸ c¸arpım (1.1) den

gij(y) = gy(ei, ej) =

1 2 

F2_yi_yj(y), (i, j = 1, 2, 3, · · · , n) (1.2)

s¸eklindedir. Bu ic¸ c¸arpım yardımıyla bir Minkowski normu

F (y) =

q

gij(y)yiyj, y = yiei (1.3)

olarak tanımlanır. Bu tanıma g¨ore,

α(y) =√< y, y > =paijyiyj, y = yiei ∈ V, aij = D ei, ej E! Riemann metri˘gi ve |y| =√< y, y > = v u u t n X i=1 (yi₎2_{, (y}i_{) ∈ R}n_{, a} ij = δij ! ¨

Oklid normu birer Minkowski normudur. Burada aij, α Riemann metri˘ginin metrik tens¨or¨u ve δij Kronecker deltasıdır. Bir n−boyutlu manifold ¨uzerinde tanımlı bir Finsler metri˘gi, te˘get uzaylar ¨uzerindeki Minkowski normlarından meydana gelir [1].

1.3 Finsler Metrikleri

Bir n−boyutlu M manifoldu ¨uzerinde F : T M → [0, ∞) ile tanımlı bir

F = F (x, y) fonksiyonu

(a) F , T M \{0} da C∞ _{sınıfından ve}

(b) herhangi x ∈ M ic¸in Fx(y) = F (x, y), TxM ¨uzerinde bir Minkowski normu

olma ¨ozelliklerini sa˘glarsa, M ¨uzerinde bir Finsler metri˘gi adını alır.

Fn = Fn(M, F ) c¸iftine Finsler manifoldu veya Finsler uzayı denir. Buna g¨ore, TxM ¨uzerinde bir ic¸ c¸arpım

gij(x, y) =

1 2[F

2

]yi_yj (1.4)

dir. Buradan bir F Finsler metri˘gi,

F =

q

gy(y, y) =

q

gij(x, y)yiyj (1.5)

ic¸ c¸arpımı ile verilir[1].

Bir F Finsler metri˘ginin, metrik tens¨or¨un biles¸enleri e˘ger gij = gij(x) s¸eklinde ise Riemannian metrik veya gij = gij(y) s¸eklinde ise Minkowskian metriktir.

Finsler geometrisindeki oldukc¸a karıs¸ık is¸lemlerde, kolaylık sa˘gladı˘gı ic¸in homojen fonksiyonlara ait Euler teoremi kullanılır. Homojen fonksiyonlar ic¸ in Euler teoremine g¨ore, φ, Rn _{de reel de˘gerli ve ∀y 6= 0 noktasında t¨urevlenebilir bir fonksiyon olmak}

¨uzere,

• φ(λy) = λrφ(y), ∀λ > 0, (r inci derece pozitif homojenlik) ve • yi_φ

yi = rφ;

durumları birbirine es¸de˘gerdir.

Euler teoreminden yararlanılarak, (1.4) ten

1 2[F

2

ve

F2 = gij(x, y)yiyj (1.6)

yazılabilir [2].

n−boyutlu bir M manifoldu ¨uzerinde Riemannian ve Riemannian olmayan birc¸ok Finsler metri˘gi vardır [1, 2]. (α, β)−metrikleri Riemannian olmayan metriklerin

¨onemli bir sınıfını olus¸turur.

1.4 (α, β)−Metrikli Finsler Uzayları

TM ¨uzerinde, F = αφ(s), s = β α,  α = α(x, y), β = β(x, y)  (1.7)

s¸eklinde bir fonksiyon tanımlı olsun. Burada n−boyutlu bir M manifoldu ¨uzerinde α(x, y) = paij(x)yiyj, (aij = aij(x)) bir Riemann metri˘gi ve β(x, y) = bi(x)yi diferansiyel 1−formdur.

φ = φ(s), (−b0, b0) ac¸ık aralı˘gında C∞ sınıfından bir fonksiyon olsun. Burada herhangi bir x ∈ M ic¸in k β k_α (x) = paij_b

ibj < b0, (aij = aij(x), bi = bi(x)) ve b0 = sup_x∈M k β kx dir. E˘ger φ ve b0,

φ(s) > 0, (|s| ≤ b0) (1.8)

φ(s) − sφ0(s) + (b2− s2)φ00(s) > 0, (|s| ≤ b ≤ b0, b2 = bibi) (1.9) es¸itsizliklerini sa˘glarsa, (1.7) ile tanımlanan F fonksiyonu M manifoldu ¨uzerinde bir Finsler metri˘gi tanımlar[1]. Bu formdaki metriklere (α, β)−metrikleri adı verilir. (1.7) de φ(s) = 1 + s alınırsa, G. Randers tarafından 1941 de tanımlanan ve

(α, β)−metriklerinin ¨ozel bir sınıfını olus¸turan

F = α + β (1.10)

Randers metrikleri elde edilir. E˘ger (1.7) de φ(s) = 1

s alınırsa (α, β)−metriklerinin di˘ger bir ¨ozel sınıfını olus¸turan F = α

2

1.5 Finsler Metriklerinin Spreyleri

T M0 = T M \{0} ¨uzerinde her F Finsler metri˘gi, geodezikleri veren

G_F(x, y) = yi ∂ ∂xi − 2G i F ∂ ∂yi (1.11)

spreyini tanımlar. Bir Finsler uzayı ¨uzerinde bir geodezik

¨ xi(t) + 2 Gi F  x(t), ˙x(t)  = 0 (1.12)

diferansiyel denklem sistemi ile verilir. Burada tanımlanan Gi

F = G

i F(x, y) katsayılarına F Finsler metri˘ginin sprey katsayıları denir. Bir Finsler metri˘ginin sprey katsayıları Gi_F = 1 4 g il (x, y) ∂gjl ∂xk(x, y) + ∂glk ∂xj(x, y) − ∂gjk ∂xl (x, y) ! yjyk = 1 4 g il (x, y) ( [F2]xk_ylyk − [F2]_xl ) (1.13)

ile tanımlanan ikinci dereceden pozitif y−homojen fonksiyonlardır [1, 4, 5]. Buna g¨ore,

Gi_F(x, λy) = λ2Gi_F(x, y), λ > 0 (1.14)

dir. L. Berwald herhangi bir yerel koordinat sisteminde bir F Finsler metri˘ginin (1.13) ile verilen sprey katsayılarının

Gi Fj = ∂Gi F ∂yj , G i Fjk = ∂Gi Fj ∂yk (1.15) t¨urevleri yardımıyla BΓ(Gi Fjk, G i

Fj, 0) Berwald konneksiyonunu tanımlamıs¸tır [5, 6]. Burada Gi

Fjk = G i

Fjk(x, y) alt indislerine g¨ore simetriktir.

Bir F Finsler metri˘ginin (1.12) ile verilen sprey katsayılarına ba˘glı geodeziklerinin denklemi

¨

xix˙j − ¨xjx˙i+ 2Dij(x, ˙x) = 0, (i, j = 1, 2, · · · , n) (1.16) s¸eklinde de ifade edilebilir [5]. Burada

y = ˙x =dx i

dt

dır ve

Dij(x, y) = Gi_Fyj− Gj_Fyi, (i, j = 1, 2, · · · , n) (1.17) ile g¨osterilen Dij_{(x, y) fonksiyonları y = (y}i_{) nin ¨uc¸¨unc¨u dereceden pozitif homojen} fonksiyonudur [7]. Her x noktasındaki y ∈ TxM ic¸in bir F Finsler metri˘ginin Gi

F sprey katsayılarının

i) kuadratik, ii) Γijk = Γ

i

jk(x) ikinci cins Christoffel sembollerini g¨ostermek ¨uzere, Gi_F(x, y) = 1 2 Γ i jky j ykve iii) Gi Fjkl= 0

es¸de˘ger durumlarından birini sa˘glaması halinde, F Finsler metri˘gine bir Berwald metri˘gi adı verilir. Burada Gi

Fjkl =

∂3Gi_F

∂yj_∂yk_∂yl dır. Berwald metrikli bir Finsler uzayına Berwald uzayı denir.

Berwald metriklerini tanımlayan (iii) halinde ¨ozel olarak i = l alınarak elde edilen Gi

Fjki = 0 s¸artını sa˘glayan metriklere de zayıf Berwald metrikleri ve b¨oyle bir metri˘ge sahip Finsler uzaylarına da zayıf Berwald uzayları adı verilir [8].

E˘ger Fn bir Riemann uzayı ise, Fn uzayının F (x, y) = α(x, y) = √amnymyn Riemann metri˘ginin sprey katsayıları (1.13) de gij yerine aij alınarak

Gi F(x, y) = 1 4a iln F_x2k_yly k − F_x2l o = 1 4a iln∂amn ∂xk y m yn  yly k −∂amn ∂xl y m yn o = 1 4a iln∂amn ∂xk  δm_l yn+ δ_lnym− ∂amn ∂xl y m yno = 1 4a iln ∂aln ∂xm + ∂aml ∂xn − ∂amn ∂xl o ymyn Gi F(x, y) = 1 2 Γ i jk(x) y j yk (1.18)

s¸eklinde bulunur. Burada,

Γijk = 1 2a il ∂ajl ∂xk + ∂akl ∂xj − ∂ajk ∂xl ! , Γijk = Γ i kj (1.19)

dır. Buna g¨ore Riemann ve Minkowski uzayları Berwald uzaylarının birer ¨ozel sınıfını olus¸turur.

1.6 Riemannian E˘grilik ve Flag E˘grilik

Riemannian geometride Riemann tens¨or¨u uzayın bir noktasındaki e˘grili˘gini ¨olc¸en oldukc¸a ¨onemli bir b¨uy¨ukl¨ukt¨ur. ˙Ilk olarak, L.Berwald, Riemann tens¨or¨un¨u Finsler metriklerine genis¸letmis¸tir [1, 4]. Bu genis¸leme, Finsler geometrisi ic¸in bir d¨on¨um noktası olmus¸tur.

Riemann e˘grili˘gi te˘get uzaylar ¨uzerinde Ry = Rik

∂

∂xi ⊗ dx k

x∈M : TxM → TxM (1.20) s¸eklinde tanımlı lineer tasvirlerin bir ailesidir.

Riemann tens¨or¨un¨un Ri

k biles¸enleri, bir F Finsler metri˘ginin Berwald konneksiyonu ic¸in Rik = 2 ∂Gi F ∂xk − y j ∂ 2_Gi F ∂xj_∂yk + 2G j F ∂2_Gi F ∂yj_∂yk − ∂Gi F ∂yj ∂Gj F ∂yk (1.21)

ile ifade edilir ve

Riky k

= 0 (1.22)

kos¸ullarını sa˘glar [9].

Bir x ∈ M noktasının TxM uzayının P te˘get d¨uzleminin K = K(P, y) flag e˘grili˘gi K(P, y) = gy(Ry(u), u)

gy(y, y)gy(u, u) − [gy(y, u)]2

, (u ∈ P )

veya lokal koordinatlarda

K = Rjk(x, y)u j_uk F2_h

jk(x, y)ujuk

(1.23) olarak ifade edilir. Burada Rjk = gijRi_k ve hij = hij(x, y), hy(u, v) = hijuivj ac¸ısal formunun hij = gij − lilj,  li= ∂F ∂yi, l i = y i F  (1.24) ile tanımlanan biles¸enleridir [1].

K flag e˘grili˘gi, x ∈ M, y ∈ P ⊂ TxM ic¸in K(P, y) = K(x, y) ise skaler flag e˘grili˘gi, K(P, y) = sbt. ise de sabit flag e˘grili˘gi adını alır. S¸ekil: 1.1 de flag e˘grilik g¨osterilmis¸tir.

S¸ekil 1.1 : Flag E˘grilik

(1.21) es¸itliklerine g¨ore, Riemann tens¨or¨u sadece Finsler metri˘ginin sprey katsayılarına ba˘glıdır.

(1.23) den, Riemann tens¨or¨u ile skaler flag e˘grilikli bir FnFinsler uzayının flag e˘grili˘gi arasındaki ilis¸ki

Rik = KF 2

hik (1.25)

ile karakterize edilir [10, 11]. Burada hk_i = gjkhij dır. E˘ger herhangi bir y ∈ TxM ic¸in K(P, y) = K(P ) ise flag e˘grilik Riemannian geometrideki kesitsel e˘grili˘ge indirgenmis¸ olur. Bu anlamda Finsler geometrisindeki K(P, y) flag e˘grili˘gi Riemann geometrisindeki kesitsel e˘grili˘gin genelles¸tirilmis¸idir (S¸ekil: 1.2).

˙Iki boyutta, P = TxM te˘get d¨uzlemi ic¸in K(x, y) flag e˘grili˘gi, T M0 = T M \{0} da Gauss e˘grili˘gine indirgenmis¸ olur.

1.7 Projektif D ¨uz Finsler Metrikleri

Hilbert’in d¨ord¨unc¨u problemi, Rn in ac¸ık bir alt k¨umesindeki herhangi iki noktayı birles¸tiren en kısa mesafenin d¨uzg¨un do˘grular olmasını sa˘glayan mesafe fonksiyonlarını karakterize etmektedir [12]. Mesafe fonksiyonu olarak, Finsler metri˘gi alındı˘gında, Hilbert’in d¨ord¨unc¨u problemi d¨uzg¨un halde, Rn _{deki ac¸ık bir alt} k¨ume ¨uzerinde geodezikleri d¨uz do˘grular olan Finsler metriklerini karakterize etme problemine indirgenmis¸ olur. Bu s¸ekilde tanımlanan Finsler metriklerine projektif d¨uz Finsler metrikleri adı verilir. Bu problem ic¸in genel Finsler metriklerini karakterize etmek oldukc¸a zordur. Shen(2003), F = α + β Randers metriklerinin yerel projektif d¨uz olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ulun α nın yerel projektif d¨uz ve β nın kapalı olması oldu˘gunu belirlemis¸tir [10, 13].

Hamel(1993), Rnin ac¸ık bir alt k¨umesinde projektif d¨uz Finsler metri˘gini karakterize etmek ic¸in basit bir PDE sistemi elde etmis¸tir. Hamel’e g¨ore, Rn in ac¸ık bir alt k¨umesinde bir F Finsler metri˘ginin projektif d¨uz olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ul F metri˘ginin

Fxk_ylyk = F_xl (1.26)

kısmi t¨urevli diferansiyel denklem sistemini sa˘glamasıdır [14]. Bu kos¸ul altında (1.13) den projektif d¨uz bir Finsler uzayının sprey katsayıları ic¸in,

Gi_F(x, y) = 1 4g iln [F2]xk_ylyk− [F2]_xl o = 1 4g iln 2(F Fxk)_ylyk − 2F F_xl o = 1 2g iln (FylF_xk + F F_xk_yl)yk− F F_xl o = 1 2g il FylF_xkyk (1.27)

elde edilir ve Euler teoremi yardımıyla bulunan Fyj =

gijyi F

Gi F = Fxkyk 2F y i (1.28) olarak bulunur. Burada

P = Fxky k

2F (1.29)

denirse, bir M manifoldu ¨uzerinde tanımlı F Finsler metri˘ginin projektif d¨uz olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ulun

Gi_F = P yi (1.30)

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur [10]. Burada P = P (x, y) fonksiyonuna projektif c¸arpan adı verilir ve P pozitif birinci dereceden y−homojen bir fonksiyondur.

1.8 Finsler Uzaylarının Projektif D ¨on ¨us¸ ¨um ¨u

Bir M manifoldu ¨uzerinde tanımlı eFnve FnFinsler uzayları, e˘ger Fnuzayının herhangi bir geodezi˘gi eFn uzayınında bir geodezi˘gi ise(tersi de do˘gru), σ : F → eF metrik d¨on¨us¸¨um¨une projektif d¨on¨us¸¨um denir. D¨on¨us¸¨um¨un projektif olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ul P projektif c¸arpanı yardımıyla uzayların sprey katsayıları arasında

Gi e F = G i F + P y i (1.31)

ilis¸kisinin olmasıdır[4]. (1.31) deki es¸itli˘gin iki tarafı yj ve yk ya g¨ore t¨uretilirse, iki uzayın Berwald konneksiyonunun katsayıları arasındaki

Gi e Fjk = G i Fjk + Pjky i + Pjδik+ Pkδij (1.32)

ilis¸kisi elde edilir. Burada Pj = ∂P

∂yj dir.

(1.31) ile tanımlanan projektif d¨on¨us¸¨um altında Finsler uzayının invaryant kalan Q0, Q1ve Q2b¨uy¨ukl¨ukleri, sırasıyla, Qh = Gh F − 1 n + 1GFy h , (1.33) Qhi = G h Fi− 1 n + 1(GFiy h + G_Fδih), Q h i = ˙∂iQh, (1.34) Qhij = G h Fij − 1 n + 1(GFijy h + G_Fiδhj + GFjδ h i), Q h ij = ˙∂j∂˙iQh (1.35)

ile tanımlanmaktadır. Burada G_F = ˙∂rGr_F = Gr_Fr, GFi = G r Fri, GFij = G r Frij ve ˙ ∂i = ∂

∂yi dir. (1.31) d¨on¨us¸¨um¨u altında,

e Qh = Gh e F − 1 n + 1GFey h = Gh_F + P yh− 1 n + 1( ˙∂rG r F + Pyry r + P δrr)y h = Qh+P − 1 n + 1P − n n + 1P  yh (1.36) e Qh = Qh

dır. Benzer is¸lemler yapıldı˘gında

e Qhi = Q h i ve Qe h ij = Q h ij

elde edilir. (1.31) d¨on¨us¸¨um¨u altında invaryant kalan Qh, Qhi ve Q h

ij b¨uy¨ukl¨uklerine, sırasıyla, Q0, Q1 ve Q2 invaryantları denir. Q1 ve Q2 invaryantlarının tanımından

Qikj = Q i jk, Q i ij = Q i ji = 0 ve Q i i = 0 (1.37)

oldu˘gu kolayca g¨or¨ul¨ur [7].

(1.31) altında invaryant kalan di˘ger iki ¨onemli b¨uy¨ukl¨uk Wki Weyl(projektif) tens¨or¨u ve

2. b¨ol¨umde ele alınacak olan DijklDouglas tens¨or¨ud¨ur. Weyl tens¨or¨u W_ki = Ri_k− Rδ_ki − 1 n + 1 ∂ ∂ym(R m k − Rδ m k )y i (1.38)

ile tanımlanır[10, 13]. Burada

R = 1 n − 1R

m

m (1.39)

ve Rm

m Ricci e˘grili˘gi veya Ricci skaleridir. Projektif d¨on¨us¸¨um altında, (1.21) ve (1.31) den

e Rik = R i k+ (2P|k− Pk|0− P Pk)yi− (P|0− P 2 )δki (1.40)

elde edilir. Burada ”|”, FnFinsler uzayında Berwald konneksiyonuna g¨ore kovaryant t¨urev alınaca˘gını g¨ostermektedir ve P|k = ∂P

∂xk − G r Fk ∂P ∂yr, P|0= P|ky k dır. (1.40) da i = k alınırsa,

e Rmm = R m m+ (n − 1)(P 2 − P|0) (1.41) elde edilir. (1.40) ve (1.41) in (1.38) de yerine yazılmasıyla f W_ki = Rei_k−Rδe i_k− 1 n + 1 ∂ ∂ym( eR m k −Rδe m k )y i = Rik+ (2P|k− Pk|0− P Pk)yi− (P|0− P2)δki − Rδ i k− (P 2 − P|0)δik − 1 n + 1 n∂Rm k ∂ym + (2P|k·m − Pk|0·m− PmPk− P Pkm)y m + (2P|k − Pk|0 −P Pk)δmm− (P|0·m− 2P Pm)δkm− ∂R ∂ymδ m k − (2P Pm − P|0·m)δkm o yi = Wki + (2P|k− Pk|0− P Pk)y i − 1 n + 1 n (n + 1)(2P|k − Pk|0− P Pk) o yi f W_ki = W_ki (1.42)

bulunur. Burada ”.”, yi _{ye g¨ore kısmi t¨urevi g¨ostermektedir. Buradan, W}i k Weyl tens¨or¨un¨un projektif d¨on¨us¸¨um altında invaryant oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

Bu c¸alıs¸madaki bir kısım tens¨orel hesapların yapılması ve d¨uzenlenmesinde Maple programı kullanılmıs¸tır. Bu is¸lemlere ait Maple program kodları ekteki CD de verilmis¸tir.

2. KROP˙INA METR˙IKL˙I F˙INSLER UZAYLARI

S.Ba´cs´o tarafından tanımlanan Douglas metrikleri Berwald metriklerinin daha genel bir sınıfını olus¸turur. Bir Finsler metri˘ginin Gi_F = Gi_F(x, y) sprey katsayıları

Gi F = 1 2Γ i jk(x) y j yk+ P (x, y)yi (2.1)

s¸eklinde ise metrik, Douglas metri˘gi adını alır [15]. Douglas metrikli uzaylara da Douglas uzayı denir. Burada P (x, y), y nin birinci dereceden homojen fonksiyonudur. Bu kısımda, bir geodezik boyunca Douglas e˘grili˘ginin de˘gis¸im oranının geodezi˘ge te˘get kaldı˘gı genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli Finsler uzayları tanımlanmıs¸tır [16]. B¨oyle bir metri˘ge sahip Kropina uzayları incelenmis¸tir.

2.1 Douglas Metrikli Finsler Uzayları

Bir Fn= Fn(M, F ) Finsler uzayına ait F Finsler metri˘ginin Douglas tens¨or¨u

D_ijkh = Gh Fijk− 1 n + 1  yh∂GFij ∂yk + δ h iGFjk+ δ h kGFij + δ h jGFki  (2.2)

ile tanımlanır[15, 17]. Burada

Gh Fijk = ∂Gh_Fij ∂yk , GFij = G r Fijr (2.3)

dır. Bir Douglas metri˘gine sahip bir Finsler uzayı ic¸in Douglas tens¨or¨u sıfırdır [15, 7]. (1.33) ve (1.35) dikkate alınırsa, Douglas tens¨or¨u

Dhijk = ∂˙kQhij (2.4)

= ∂˙i∂˙j∂˙kQh

Qhij projektif d¨on¨us¸ ¨um altında invaryant oldu˘gundan Dhijk = ∂˙kQhij = ∂˙kQe h ij = eD h ijk (2.5)

dır. Buna g¨ore, Douglas tens¨or¨u projektif d¨on¨us¸ ¨um altında invaryanttır [7, 17]. Douglas tipli bir Finsler uzayı ic¸in

Dhijk = ˙∂kQhij = 0 oldu˘gundan

Qh_ij = Qh_ij(x) (2.6)

Q2−invaryantı yalnız x in fonksiyonudur. Tersine olarak, Qhij = Q h

ij(x) halinde Dh

ijk = 0 dır.

Ayrıca, (1.17) ile tanımlanan Dij_{, y nin ¨uc¸ ¨unc¨u dereceden bir polinomu ise, D}h ijk = 0 olaca˘gı ac¸ıktır. Di˘ger taraftan, (1.30) ile verilen projektif d¨uzl¨uk kos¸ulu (2.2) de yerine yazılır ve P (x, y) nin birinci dereceden y−homojen oldu˘gu dikkate alınırsa,

Dijkh = ∂˙i∂˙j∂˙k(P yh) − 1 n + 1 " yh(n + 1)Pijk + (n + 1)  δihPjk + δkhPij + δjhPki # = (Pkjiyh+ Pkjδhi + Pkiδjh+ Pjiδkh) −  yhPijk+ δhiPjk + δhkPij + δhjPki  = 0

bulunur. O halde, projektif d¨uz uzaylar Douglas uzaylarıdır. Buna g¨ore, bir Douglas uzayı ic¸in as¸a˘gıdaki teorem elde edilir.

Yardımcı Teorem 2.2.1: As¸a˘gıdaki kos¸ullardan herhangi birini sa˘glayan bir Finsler uzayı bir Douglas uzayıdır.

1) Qi jk = Q i jk(x), burada Q i jk = ˙∂j∂˙kQi, Qi = Gi_F − 1 n + 1GF y i , 2) Gi F(x, y) = P (x, y) y

i_{, (uzay projektif d¨uz)}

3) Dij_{(x, y) = G}i

F(x, y)y j_{− G}j

F(x, y)y

i_{, ¨uc¸ ¨unc¨u dereceden homojen polinomdur.} Burada 1) ve 3) s¸artları bir Finsler uzayının Douglas olması ic¸in gerek ve yeter kos¸ullardır. Fakat her Douglas uzayı projektif d¨uz metrikli olmadı˘gından 2) s¸artı yeter kos¸ul de˘gildir.

Q1 ve Q2nin (1.37) ile verilen ¨ozellikleri kullanılarak, D_ijkh = ∂˙kQhij = ˙∂kQhji = D h jik = ∂˙k∂˙i∂˙jQh = ˙∂iQhjk = D h jki, ve h = i alındı˘gında, D_ijki = ∂˙kQiij = ˙∂jQiki = 0, Dijki = D i jik = D i jki = 0

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Di˘ger taraftan, Douglas tens¨or¨u −1 inci dereceden y−homojen bir fonksiyon oldu˘gundan, homojen fonksiyonlar ic¸in Euler teoremi gere˘gince, Dh

ijk Douglas tens¨or¨un¨un yi, yj veya yk ile daraltılması sıfırdır. Buna g¨ore, Dh_ijk Douglas tens¨or¨u,

i) D_ijkh = Dh_jik = D_jkih , ii) D_ijki = Di_jik = D_jkii = 0,

iii) Dijkh y i = Dhijky j = Dhijky k = 0 kos¸ullarını sa˘glar.

2.2 Genelles¸tirilmis¸ Douglas Metrikli Finsler Uzayları

Bir FnFinsler uzayına ait Douglas tens¨or¨u hp_iDjkl|mi y m = 0, hp_i = δ_ip− lpli, lp = yp F, li = ∂F ∂yi = Fyi  (2.7) denklemlerini sa˘glarsa, Finsler uzayına genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı denir. (2.7), geometrik olarak bir geodezik boyunca Di

jkl Douglas e˘grili˘ginin de˘gis¸im oranının geodezi˘ge te˘get kaldı˘gını g¨ostermektedir [16]. Burada, Di_jkl|m, D_jkli Douglas tens¨or¨un¨un FnFinsler uzayının BΓ(Gi

Fjk, G i

Fj, 0) Berwald konneksiyonuna g¨ore yatay kovaryant t¨urevidir ve D_jkl|mi = ∂D i jkl ∂xm −G p Fm ∂Di jkl ∂yp +G i FpmD p jkl−G p FjmD i pkl−G p FkmD i jpl−G p FlmD i jkp (2.8) s¸eklinde tanımlanır [16, 18].

Kolayca g¨or¨ulece˘gi gibi, her Douglas uzayı bir genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayıdır ve Yardımcı Teorem 2.2.1 den dolayı as¸a˘gıdaki sonuc¸lar ac¸ıktır.

Sonuc¸ 2.2.1: Projektif d¨uz Finsler uzayları genelles¸tirilmis¸ Douglas uzaylarıdır. Sonuc¸ 2.2.2: Berwald uzayları genelles¸tirilmis¸ Douglas uzaylarıdır.

Bu c¸alıs¸mada ele alınan temel problem, Douglas uzaylarından farklı olarak, Kropina metrikli Finsler uzaylarının genelles¸tirilmis¸ Douglas olmasını sa˘glayan gerek ve yeter kos¸ulların elde edilmesidir.

2.2.1 Genelles¸tirilmis¸ Douglas Metrikli Kropina Uzayları

(α, β)−metrikleri ic¸in (1.7) de φ(s) = 1 s, s = β α alındı˘gında F = αφ(s) (2.9) = α 2 β Kropina metri˘gi elde edilir. Burada

α = α(x, y) = q aij(x)yiyj Riemann metri˘gi ve β = β(x, y) = bi(x)yi diferansiyel 1-formdur. α Riemann metri˘ginin Gi α = G i α(x, y) sprey ve Γ i jk = Γ i jk(x) Christoffel katsayıları, sırasıyla, Gi_α(x, y) = 1 2Γ i jky j yk, Γi_jk = 1 2a il  ∂ajl ∂xk + ∂akl ∂xj − ∂ajk ∂xl  (2.10)

dır [5]. Burada aij = aij(x) ve aij = aij(x), sırasıyla, Riemann metrik tens¨or¨un¨un kovaryant ve kontravaryant biles¸enleridir. Bir Finsler metri˘ginin sprey katsayılarını veren Gi_F = 1 4g iln [F2]xk_ylyk − [F2]_xl o ,  gil = gil(x, y), F = F (x, y)  (2.11)

ifadesinde F = αφ(s) ve (2.10) kullanılırsa, bir (α, β)−metri˘ginin Gi_F = Gi_F(x, y)

sprey katsayıları ile α Riemann metri˘ginin Gi_α sprey katsayıları arasındaki ilis¸ki, Gi F = G i α + αφ0 φ − sφ0s i 0+ φφ0_{− s(φφ}00_{+ φ}0_φ0₎ 2φ[(φ − sφ0_{) + (b}2 _{− s}2_)φ00_]  −2αφ0 φ − sφ0s0+ r00  ×  yi α + φφ00 φφ0_{− s(φφ}00_{+ φ}0_φ0₎b i  (2.12) olarak elde edilir [1, 4]. Burada bi;j, bi nin α Riemann metri˘gine g¨ore kovaryant t¨urevidir. bi;j nin simetrik ve anti-simetrik kısımları, sırasıyla,

rij = 1 2 bi;j + bj;i
, sij = 1 2 bi;j− bj;i
olmak ¨uzere sij = a ir srj, si0 = s i jy j , sj = sijbi, s0 = siyi, r00= rijyiyj, b2 = aijbibj dir.

Yardımcı Teorem 2.2.1.1 : Bir Kropina metri˘ginin Gi_F sprey katsayıları ile α Riemann metri˘ginin Gi

α sprey katsayıları arasındaki ilis¸ki Gi_F = Gi_α − α 2 2βs i 0− α2_s 0+ βr00 α2_b2 y i +α 2_s 0+ βr00 2βb2 b i (2.13) s¸eklindedir.

˙Ispat 2.2.1.1 : (2.9) ile tanımlanan F Kropina metri˘gi (2.12) de kullanılır ve gerekli hesaplar yapılırsa (2.13) bulunur. B¨oylece ispat tamamlanmıs¸ olur.

(2.13) es¸itli˘ginde Gi e F = G i α − α2β−1 2 s i 0+ α2β−1s0+ r00 2b2 b i (2.14) = Gi_α + Ωi,  Ωi = −α 2_β−1 2 s i 0+ α2_β−1_s 0+ r00 2b2 b i

denirse, FnKropina ve yeni bir eFnFinsler uzayının sprey katsayıları arasında Gi e F(x, y) = G i F(x, y) + P (x, y)y i (2.15)

ilis¸kisi yazılabilir. (2.15) ilis¸kisi iki Finsler uzayının projektif ilis¸kili oldu˘gunu g¨osterir [19, 20]. Burada P (x, y) projektif c¸arpandır ve bu problem ic¸in

P (x, y) = 1 b2  s0 + β r00 α2  (2.16) dir.

”Genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayları sınıfı projektif ilis¸kiler altında kapalıdır[18]” teoremi gere˘gince σ : F → eF projektif d¨on¨us¸¨um¨u altında Fn Finsler uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı olma kos¸ulları ile eFn Finsler uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı olma kos¸ulları es¸de˘gerdir.

Buna g¨ore, FnKropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli olma kos¸ullarını elde etme problemi ic¸in, eFn nin genelles¸tirilmis¸ Douglas uzayı olma kos¸ulunu elde etmek yeterli olacaktır. Buna g¨ore, ele alınan problem, (2.5) ve (2.6) kullanılmasıyla,

ehp iDe i jklkmy m = hpiD i jkl|my m = 0, (2.17)  hr i = δir− lrli, lr= yr F, li = ˙∂iF, y i li = F, yieli = eF 

denklem sisteminin c¸ ¨oz¨um¨un¨u elde etme problemine indirgenmis¸ olur. Burada

hp_i = δ_ip− lpli = δip− yp F ∂F ∂yi = δip− yp F  α2 β  yi = δ_ip− y p F  2yi_{β − α}2_b i β2  = δ_ip− 2y p_y i α2 + 1 βy p bi (2.18)

olup (2.17) de kullanılır ve gerekli tens¨orel hesaplar yapılırsa, Fn Kropina uzayının genelles¸tirilmis¸ Douglas metrikli olma kos¸ulu,

 δip− 2 yp_y i α2 + 1 βy p bi  e Djklkmi y m = 0 veya e Dp_jklkmym−2y p yi α2 De i jklkmy m + β−1ypbiDe i jklkmy m = 0 (2.19)

BΓ = (Gi e Fjk, G

i e

Fj, 0) Berwald konneksiyonuna g¨ore yatay kovaryant t¨urevi

e Di_jklkm = ∂ eD i jkl ∂xm − G p e Fm ∂ eDi jkl ∂yp + G i e FpmDe p jkl− G p e FjmD i pkl− G p e Fkm e Di_jpl− Gp e Flm e Di_jkp (2.20) s¸eklindedir. (2.20) de Gi e Fj = G i αj + Ω i j, Ω i j = ∂Ωi ∂yj ve Gi e Fjk = G i αjk+ Ω i jk, Ω i jk = ∂Ωij ∂yk yazılır ve (2.20) nin her iki tarafı ym ile daraltılırsa

e Djklkmi y m = ∂ eD i jkl ∂xm y m − 2(Gp_α+ Ωp)∂ eD i jkl ∂yp + (G i αp+ Ω i p) eD p jkl− (G p αj+ Ω p j) eD i pkl −(Gp αk+ Ω p k) eD i jpl− (G p αl+ Ω p l) eD i jkp = Dei_jkl;mym− 2Ωp∂ eD i jkl ∂yp + Ω i pDe p jkl− Ω p jDe i pkl − Ω p kDe i jpl− Ω p lDe i jkp(2.21) elde edilir. Burada, eD_jkli Douglas tens¨or¨u ve bu tens¨or¨un α Riemann metri˘gine g¨ore kovaryant t¨urevini g¨osteren eDijkl;m, sırasıyla,

e

D_jkli = ∂

3_Qei ∂yj_∂yk_∂yl

= ∂

3

∂yj_∂yk_∂yl

h Gi e F − 1 n + 1GFey ii = ∂ 3

∂yj_∂yk_∂yl

h Gi_α + Ωi− 1 n + 1  Gm_αm+ Ω m m  yi i = ∂ 3

∂yj_∂yk_∂yl

h Gi_α − 1 n + 1G m αm  −α 2 β−1 2 s i 0+ α2β−1s0+ r00 2b2 b i − 1 n + 1 s0+ r0 b2 y ii = ∂ 3

∂yj_∂yk_∂yl

h Qi_α− α 2_β−1 2 s i 0+ α2_β−1_s 0+ r00 2b2 b i₋ 1 n + 1 s0+ r0 b2 y ii (2.22) ve e D_jkl;mi = ∂ eD i jkl ∂xm −G p αm ∂ eDi jkl ∂yp +G i αmpDe p jkl−G p αmjDe i pkl−G p αmkDe i jpl−G p αmlDe i jkp (2.23) (aij;m = 0, α;m = 0) s¸eklindedir.

(2.22) deki Qi_α Riemannian terimi ile r00 b2 b i ve − 1 n + 1 s0 + r0 b2 y i terimleri y nin kuadratik fonksiyonları oldu˘gundan, y ye g¨ore ¨uc¸ ¨unc¨u t¨urevleri sıfırdır. Buna g¨ore, eFn Finsler uzayının (ve FnKropina uzayının) Douglas tens¨or¨u

e

Di_jkl = ∂

3

∂yj_∂yk_∂yl

 F  s0bi− b2si0 2b2  = ∂ 3

∂yj_∂yk_∂yl



F Ai0

 = Aim

∂3(F ym)

∂yj_∂yk_∂yl

= Ai_m(ymFjkl+ Fjkδlm+ Fjlδkm+ Fklδjm) (2.24) s¸ekline indirgenmis¸ olur. Burada,

Aim(x) = smbi− b2sim 2b2 , A i 0= A i my m = s0b i − b2si0 2b2 , (2.25) Fjk = 2β−2  ajkβ + α2β−1bkbj− (yjbk+ ykbj) ve Fjkl= −2β−3  (ajkbl+ aljbk + aklbj)β + 3α2β−1bjbkbl− 2(yjbkbl+ ylbjbk + ykblbj) dır. B¨oylece (2.19) da (2.22), (2.23), (2.24) ve (2.25) in kullanılmasıyla, 6b2bjbkbl ( s0sp+ sr₀(b2sp_r− srbp) ) α6+ ( − b2bp h skslj− sjslk i β3+ h 2bkbl(−b4sp_j;0+ b2_s jr p 0 − b 2_r j0sp− b2bprr0srj − b p_s js0− bpsjr0+ b2bpsj;0) + 2bjbk(−b4s p l;0+ b 2_s lr p 0 − b2rl0sp− b2bprr0sr_l − bpsls0− bpslr0 + b2bpsl;0) + 2bjbl(−b4sp_k;0+ b2skrp0 − b 2 rk0sp− b2bprr0srk − b p sks0− bpskr0+ b2bpsk;0) + 2b2(bjalk + blajk+ bkajl)(s0sp− sr0srbp+ b2_sr 0s p r) − b 2_bp_b l(sjsk0 − sksj0) i β2 ₊ h_2b2_b jbk(b2ypsrlsr0 − ypsls0 − 3b2sr0s p ryl + 3bp_sr 0sryl − 3sps0yl) + 2b2bjbl(b2ypsrksr0 − ypsks0 − 3b2sr0s p ryk + 3bpsr0sryk − 3sp_s 0yk) + 2b2bkbl(b2ypsjrsr0 − ypsjs0 − 3b2sr0s p ryj + 3bpsr0sryj − 3sps0yj) + 6bjbkbl(b2r00sp− b2bps0;0+ b4s p 0;0+ bps0r0− b2r p 0s0+ bps20+ 2b2ypsr0sr+ b2bpsr0rr0) i β + 6b2_yp_b jbkbl(b2sr0sr0 − s 2 0) ) α4 ₊ (_h 2b2_(2yp_b jbl + bpyjbl + bpylbj)srk + (2y p_b jbk + bp_y jbk + bpykbj)srl + (2y p_b kbl + bpykbl + bpylbk)srj  rr0 + 2b2(yjbl + ylbj)sprk0 + 2b2sp(ykbl + ylbk)rj0 + 2b2sp(yjbk + ykbj)rl0 + 2b2(ykajl + yjalk + ylajk)(bpsr0sr −