¢- fonksiyonları yardımıyla tanımlanan bazı dizi uzayları

T.C.

SAKARYA ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

ϕ

-

FONKSĐYONLARI YARDIMIYLA TANIMLANAN

BAZI DĐZĐ UZAYLARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

R. Zafer BEŞOLUK

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Metin BAŞARIR

Temmuz 2009

ii

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın her aşamasında bana zaman ayırıp ilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen hocam Sayın Prof. Dr. Metin BAŞARIR’ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bu çalışmada bana yardımcı olan Arş. Gör. Selma ALTUNDAĞ’a teşekkür ederim.

R. Zafer BEŞOLUK

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

TEŞEKKÜR ………. ii

ĐÇĐNDEKĐLER ……… iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ ……….. v

ÖZET ………... vi

SUMMARY ………. vii

BÖLÜM 1. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER………. 1

BÖLÜM 2.

ϕ −

FONKSĐYONLARI ĐLE TANIMLANAN BAZI DĐZĐ UZAYLARI……….. 7

2.1. Giriş ………. 2.2. ^Sλ0

(

^A,ϕk,∆mu

)

^- Đstatistiksel Yakınsaklık ……….. 7 14 BÖLÜM 3.

ϕ −

FONKSĐYONLARI TARAFINDAN TANIMLANAN LACUNARY KUVVETLĐ ∆-YAKINSAK DĐZĐUZAYLARI………. 19

3.1. Giriş ………. 3.2. ^Sθ0

(

^A,ϕk,∆mu

) ^-

Đstatistiksel Yakınsaklık ………. 19 26 BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER………... 29

KAYNAKLAR .………... 33

iv

ÖZGEÇMĐŞ .………... 35

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

N : Doğal sayılar kümesi

R : Reel sayılar kümesi

c : Yakınsak diziler uzayı c 0 : Sıfıra yakınsak diziler uzayı

w : Tüm reel veya kompleks sayı dizileri uzayı

( )

∆

X : Fark

X

dizi uzayı Δ^mxk _:

( ) x

k dizisinin m. farkı

( )

ank

A= : Sonsuz matris n,k=1,2,3,….

) (f_n

f = : Modülüs fonksiyonlarının dizisi )

(ϕ_k

ϕ = :

ϕ

fonksiyonlarının dizisi

Nθ : Kuvvetli yakınsak lacunary diziler uzayı θ = k^r : Lacunary dizisi

Λ : λ =(λ_n) dizilerinin kümesi

vi

ÖZET

Anahtar Kelimeler: ϕ−fonksiyonu, modülüs fonksiyonu, de la Vallee-Poussin ortalaması, lacunary dizisi, istatistiksel yakınsaklık.

“ϕ−Fonksiyonları Yardımıyla Tanımlanan Bazı Dizi Uzayları” isimli bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Bu bölümlerde daha önce yapılmış olan çalışmalar derlenmiştir. Özellikle Metin Başarır ve Selma Atundağ [13], [24]

tarafından yapılan çalışma üzerinde durulmuştur.

Birinci bölümde sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verildi.

Đkinci bölümde ϕ−fonksiyonları dizisiyle tanımlı bazı fark dizi uzayları verildi.

Üçüncü bölümde “ϕ−fonksiyonları dizisi yardımıyla lacunary kuvvetli ∆−yakınsak dizi uzayları’’ çalışıldı.

Son bölümde ise ikinci ve üçüncü bölümden elde edilen sonuçlar verilmiştir.

vii

SOME DIFFERENCE SEQUENCE SPACES DEFINED BY A

SEQUENCE OF ϕ − FUNCTIONS

SUMMARY

Key words: ϕ−functions, modulus function, de la Vallee-Poussin mean, lacunary sequence, statistical convergence.

This study which is entitled “Some sequence spaces defined by ϕ−functions”

contains four chapters. The first three chapters are composed of a compilation of some studies, especially Altundağ and Başarır [13], [24] on this subject.

In the first chapter, some basic definitions and theorems which are used in the following chapters are given.

In the second chapter, some sequence spaces defined by ϕ−functions are given.

In the third chapter, lacunary strongly ∆−convergent sequences according to the sequences of ϕ− functions sequences are studied.

The last chapter gives some general results which are obtained from second and third chapter.

BÖLÜM 1. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER

1.1 Temel Kavramlar ve Teoremler

Bu bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan tanımlar ve teoremler verilecektir.

Tanım 1.1.1.

X

boş olmayan bir küme ve

K

, reel veya kompleks sayılar cismi olsun.

( )

^{XxXx,y Xx y .:KxX}

( )

^{,x X .x}

:

α

α →

+

→

→

→ +

ikili işlemleri aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X kümesine K üzerinde bir lineer (vektör) uzay adı verilir [1].

∈K

∀α^,β ^ve ∀^x,^y,^z∈^X için

1- x+ y= y+x

2-

(

^x+^y

)

+^z= ^x+

(

^y+^z

)

3- ∀x∈X için x+e=e+x=x olacak şekilde bir e∈X vardır.

4- ∀x∈X için ^x+

( ) ( )

−^x = −^x +^x olacak biçimde −x∈X vardır.

5- 1.x=x

6- α^.

(

^x+^y

)

=α^.x+α^.y 7-

(

α+β

)

^.x=α^.x+β^.x 8- α^.

( ) ( )

β^.x = α^.β ^.x

X bir lineer uzay ve M de X ’in bir alt kümesi olsun. x,y∈M ve α ^,β ^skaler olmak üzere α.x+β.y∈M ise M ye X ’in bir lineer alt uzayı denir [1].

Tanım 1.1.2. X , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun . :X →R fonksiyonu, aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa . fonksiyonuna X üzerinde bir norm ve

(

^{X, .}

)

çiftine de bir normlu lineer uzay denir. ∀x,y∈X ve ∀α∈K ^için

1- x ≥0

2- x =0⇔ x=0 3- α.x =α.x

4- x+y ≤ x + y ^{dir [2].}

Tanım 1.1.3.

(

^{X, .}

)

bir normlu uzay ve x=

( )

xn de X uzayında bir dizi olsun.

Eğer ∀ε >0 ^için ∀n>n0 iken x_n−x0 <ε olacak şekilde bir ⁿ0

( )

ε ^∈N sayısı varsa x=

( )

xn dizisi

x

₀’a yakınsaktır denir. x=

( )

xn dizisi x ’a yakınsak ise ₀

0 lim _n =

n x veya x_n →x₀ şeklinde yazılır [2].

Tanım 1.1.4.

(

^{X, .}

)

bir normlu uzay ve x=

( )

xn de X uzayında bir dizi olsun.

Eğer ∀ε >0 ^için ∀m,n>n0iken xm−xn <ε olacak şekilde ⁿ0 ⁼ⁿ0

( )

^{ε ∈N} sayısı varsa x=

( )

xn dizisine bir Cauchy dizisi denir [2].

Tanım 1.1.5.

(

^{X, .}

)

normlu uzayında her Cauchy dizisi yakınsak ise bu normlu uzaya tam normlu uzay veya Banach uzayı denir [2].

3

Tanım 1.1.6. x=

( )

xk

(

^k=1,2,3,...

)

şeklindeki reel veya kompleks terimli bütün sınırlı veya sınırsız dizilerden oluşan uzay

w

ile gösterilsin. ^x=

( )

^xk , ^y=

( )

^yk ∈^w ve

λ

bir sabit sayı olmak üzere

(

xk yk

)

y

x+ = + , λx=

( )

λxk

şeklinde tanımlanan işlemler altında w bir lineer uzaydır. Đyi bilinen c , ₀ c, l_∞ dizi uzayları sırasıyla, sıfıra yakınsayan diziler uzayı, yakınsak diziler uzayı ve sınırlı diziler uzayı, w dizi uzayının alt uzayıdır ve . =sup_k x_k normuyla birer Banach uzayıdırlar.

{

= <∞

}

∞ = x xk k xk

l :sup

sınırlı diziler uzayı,

{

x xk ^:limkxk ^mevcut

}

c= =

yakınsak diziler uzayı ve

{

^{:lim 0}

}

0 = x=xk kxk = c

sıfıra yakınsak diziler uzayıdır.

Tanım 1.1.7. θ =

( )

kr pozitif tam sayıların bir dizisi olmak üzere 1- k₀ =0

2- 0<kr <kr₊₁

3- h_r =k_r −k_r+1→∞

(

r→∞

)

şartlarını sağlasın. Bu durumda

θ

ya Lacunary dizisi denir [3]. Burada θ ^ile belirlenen aralıklar Ir =

(

kr₋₁,kr

]

^ve

−1 r

r

k

k oranı da q_r ile gösterilir. Lacunary

dizisinin toplam formu

∑ ∑

∈ −+

=

r

r

I r

n

k

k k

n x

x

1 1

şeklindedir.

Tanım 1.1.8. x = (x_k ) kompleks veya reel terimli bir dizi olsun.

{

^{≤ − ≥ε}

}

= k n x L

K : _k olmak üzere eğer her ε >0 ^{için lim}_→∞¹

( )

^{K =0}

n

n µ ^ise

) (x_k

x= dizisine L sayısına istatistiksel yakınsak denir ve st−limx=L olarak gösterilir. Burada µ

( )

^K , K kümesinin eleman sayısını gösterir [4] .

Tanım 1.1.9. λn₊₁≤λn+1 ^ve λ1=¹ olmak üzere azalmayan, sonsuza giden bir pozitif sayı dizisi λ=

( )

λn olsun. Bu dizilerin kümesi Λ ile gösterilsin. Genelleştirilmiş de la Vallee-Poussin ortalaması, ^In =

[

ⁿ−λn +1, ⁿ

]

olmak üzere

( )

¹

∑

^(1.1)

∈

=

In

k k n

n x x

t λ

şeklinde tanımlanır. Eğer n→∞ iken ^tn

( )

^x →^l oluyorsa bir x=

( )

xk dizisi l sayısına

( )

^V,λ - toplanabilirdir denir [5]. Eğer λ_n =n ^ise,

( )

^V,λ - toplanabilirlik ve kuvvetli

( )

^V,λ - toplanabilirlik sırasıyla

( )

^C,1 - toplanabilirlik ve

[ ]

^{C,1 -}

toplanabilirliğe indirgenir.

Tanım 1.1.10. ^f:

[

^0,∞

)

^→

[

^0,∞

)

olsun. Aşağıdaki özellikleri sağlayan f fonksiyonuna modülüs fonksiyonu denir.

1- f

( )

x =⁰⇔ x=⁰

2- f

(

x+y

) ( ) ( ) (

≤ f x + f y x≥^0,y≥⁰

)

3- f , artan

4- f , 0 da sağdan süreklidir [6].

( ) ( )

^{x f y f}

(

^{x y}

)

f − ≤ − olduğundan 4 şartından f ’nin

[

0,∞

)

da sürekli olduğu çıkar. Đlaveten her n∈N için ^f

( )

ⁿ.^x ≤^nf

( )

^x dir.2 şartını kullanırsak

( )

^



 



≤ 



 



= 

n nf x nxn

f x

f 1

veya

( )

^



 



≤  n f x x n f 1

5

elde edilir.

Bir modülüs fonksiyonu sınırlı veya sınırsız olabilir. Örneğin ^f

( )

^{x =xp, 0< p≤1}

için sınırsızdır, ama

( )

+1

= x x x

f sınırlıdır. Ruckle [7] ve Maddox [8], bazı dizi uzaylarını oluşturmak için modülüs fonksiyonlarını kullandılar. Ayrıca modülüs fonksiyonları [9], [10], [11], [12] ve pek çok diğer kaynaklarda çalışılmıştır.

Tanım 1.1.11. v≥0 için tanımlı, sürekli, azalmayan, ϕ

( )

⁰ =^0, v>⁰ için ϕ

( )

v >⁰ ve v→∞ için ϕ

( )

v →∞ şartlarını sağlayan fonksiyona ϕ−fonksiyonu denir.

Tanım 1.1.12. ϕ=

( )

ϕk ve ψ =

( )

ψk ϕ−fonksiyonları dizileri olsun. Eğer yeterince (büyük veya küçük)

v

değerleri için ^cψk

( )

^lv ≤^bϕk

( )

^nv eşitsizliğini sağlayacak şekilde c,b,n,l >0 sabitleri varsa ϕ ^, ψ ’den .daha zayıf değildir denir ve ψ ≺ϕ ( veya her

k

için ψ_k ≺ϕ_k ) şeklinde gösterilir.

Tanım 1.1.13. ϕ=

( )

ϕk ve ψ =

( )

ψk iki ϕ−fonksiyonu dizisi olsun. Eğer yeterince büyük veya küçük v için ^b1ϕk

( )

^k1^v ≤^cψk

( )

^lv ≤^b2ϕk

( )

^k2^v eşitsizliğini sağlayan

l k k c b

b₁, ₂, , ₁, ₂, .pozitif sabitleri varsa ϕ ^ve ψ birbirine denktir denir ve ϕ ^~ψ (veya her k için ϕ_k ^~ψ_k ) şeklinde gösterilir.

Tanım 1.1.14. Bir ϕ=

( )

ϕk fonksiyon dizisi verilsin. Eğer her k için ϕk

( )

2^v ≤^lϕk

( )

^v

eşitsizliğini sağlayacak şekilde l >1 sayısı varsa ( her büyük veya küçük v için ) ϕ dizisine ∆2 −şartını sağlar denir.

Eğer bir ϕ−fonksiyonu ∆₂ −şartını sağlar ise yeterince büyük

v

için

( )

^{cv L} k

( )

^{v (1.2)}

k ϕ

ϕ ≤

olacak şekilde L>0 sayısı bulunabilir. Ayrıca her c>0 için c≤2^s ve yeterince büyük

v

için

( )

^cv

( )

^{2 v l} k

( )

^{v (1.3)}

s s k

k ϕ ϕ

ϕ ≤ ≤

olacak şekilde bir s tam sayısı vardır.

BÖLÜM 2. ϕ − FONKSĐYONLARI ĐLE TANIMLANAN BAZI

DĐZĐ UZAYLARI

2.1. Giriş

Bu bölümde Başarır ve Altundağ [13] tarafından tanımlanan bazı dizi uzayları çalışılacaktır. w tüm reel ve kompleks sayı dizilerinin uzayı ve l_∞, c ve c sırasıyla ₀ sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsak x=

( )

xk dizilerinin _k

k

x

x =sup normuna göre Banach uzayları olsun.

Fark dizi uzayı ^X

( )

^∆ Kızmaz [14] tarafından X =l_∞, c ve

c

₀ ve ∆x_k =x_k−x_k+1

(

^k∈^N

)

olmak üzere

( ) {

^x

( )

^{x w}

( )

^{x X}

}

X ∆ = = _k ∈ : ∆ _k ∈

şeklinde tanımlandı. Ayrıca fark dizi uzayları Et ve Çolak [15] tarafından X =l_∞, c ve

c

₀ için ∆⁰x_k =x_k ve her k∈N için ∆^mx_k =∆^m−1x_k −∆^m−1x_k+1 olmak üzere aşağıdaki gibi genelleştirildi,

( ) {

^x

( )

^{x w}

( )

^{x X}

}

X ∆^m = = _k ∈ : ∆^m _k ∈ .

Bu uzaylar Et ve Başarır [16] tarafından ^X =^l∞

( )

^{p , c}

( )

^{p ve c}0

( )

^p alınarak paranormlu uzaylara genelleştirildi. Genelleştirilmiş farkın binom temsili, her k∈N için

( )

^{1 (2.1)}

0

v k m

v

v k

m x

v

x m ₊

=

∑









− 

=

∆

şeklindedir. Ayrıca fark dizi uzayları çeşitli yazarlar tarafından çalışıldı.

[17], [18], [19], [20], [21] de ϕ−fonksiyonu kullanılarak tanımlanan bazı dizi uzayları tanımlandı. Bu bölümde ϕ−fonksiyonları dizisi ve modülüs fonksiyonları dizisi kullanılarak tanımlanmış fark dizi uzaylarının bazı özellikleri verilecektir.

( )

^∈Λ

= λn

λ ^, ϕ=

( )

ϕk ve f =

( )

fn sırasıyla ϕ−fonksiyonları dizisi ve modülüs fonksiyonları dizisi ve m bir pozitif tam sayı olsun. Her k için u_k ≠0 olmak üzere

( )

uk

u= dizisi alalım. Ayrıca A=

( )

ank matrisi

1-

A

negatif değildir, başka bir ifadeyle a_nk ≥0 n,k =1,2,3,... dir,

2- Herhangi bir n ( ya da k ) pozitif tam sayısı için bir k₀ ( ya da n₀ ) pozitif tam sayısı vardır öyleki sırasıyla 0

0 ≠

ank ( ya da 0

0k ≠

an ) dır.

3- k=1,2,... için lim nk =0

n a limiti vardır.

4-

∑

^∞ = <∞

=

K a

k nk

n 1

sup ,

5- a_nk → k→∞

n

0 sup

şartlarını sağlasın. Aşağıdaki dizi uzayını tanımlayalım.

( )

( ) ^{( )} ( )











 =



 



 ∆

∈

=

=

∆

∑ ∑

∈

∞

j = I

n k

k m

u k nk n

j j k

n m u

k f x x w f a x

A

V 1 0

lim : ,

, ,

1

0 ϕ

ϕ λ

λ .

Burada

( )

k n k n

m

n n k

m

u u x

n

x m _{+ +}

= 







− 

=

∆

∑

0

1 , ∆⁰uxk=

( )

ukxk ^ve ∆_ux_k =

(

u_kx_k−u_k+1x_k+1

)

olmak

üzere

(

1

)

1 1 1

− +

− − + ∆

∆

=

∆

=

∆^m_ux_k u_k ^mx_k u_k ^m x_k u_k ^m x_k dir. Ayrıca f =

( )

fn modülüs fonksiyonları dizisi ^limsup

( )

⁰

0₊ =

→ f_n v

v n

şartını sağlasın.

Şimdi bu uzayın bazı özel durumlara karşılık gelen dizi uzayları verilecektir.

1- Her x ve k için ϕk

( )

^x =^x ve her k için u_k =1 olduğunda

9

( )

( ) ( )











 =



 



 ∆

∈

=

∆

∑ ∑

∈

∞

j = I

n k

k m nk n

j j n

m f x w f a x

A

V 1 0

lim : ,

,

1 0

λ λ

dizi uzayı elde edilir.

2- Her x ve n için ^fn

( )

^x =^x ve her k için uk =1 alınırsa

( ) ( )











 =



 



 ∆

∈

=

∆

∑ ∑

∈

∞

j = I

n k

k m k nk j j

m

k x w a x

A

V 1 0

lim : ,

,

1

0 ϕ

ϕ λ

λ

olur.

3- A=I ve her k için uk =1 olduğunda

( )

( ) ( ( ) )











 ∈ ∆ =

=

∆

∑

∈Ij

n

n m n n j j

n m

n f x w f x

I

V 1 0

lim : ,

,

0 , ϕ

ϕ λ

λ

uzayı elde edilir.

4- A=I, her x ve k için ϕk

( )

^x =^x ve her k için uk =1 olduğunda

( )

( ) ( )











 ∈ ∆ =

=

∆

∑

∈Ij

n

n m n j j

n

m f x w f x

I

V 1 0

lim : ,

0 ,

λ λ

uzayı elde edilir.

5- Eğer A=I, her x ve k için ϕk

( )

^x =^x ve her k için uk =1, her n için f_n = f alınırsa Et, Altın ve Altınok [22] tarafından tanımlanan

( )

( ) ( )











 ∈ ∆ =

=

∆

∑

∈Ij

n

n m

j j

m f x w f x

I

V 1 0

lim : ,

0 ,

λ λ

dizi uzayı elde edilir.

6- A=I, her x ve k için ϕk

( )

^x =^{x, her x ve n için f}n

( )

^x =^x ve her k için

=1

uk alınırsa

( ) ( )











 ∈ ∆ =

=

∆

∑

∈Ij

n

n m

j j

m x w x

I

V 1 0

lim :

0 ,

λ λ

dizi uzayı elde edilir.

7- A=

( )

ank matrisi







<

= ≥

ise ,

0

ise 1,

k n

k n n

a_nk

şeklinde tanımlanırsa

( )

( ) ( )











 =



 



 ∆

∈

=

∆

∑ ∑

∈Ij = n

n

k

k m

u k n

j j n

m u

k x

f n w

x f C

V 1 1 0

lim : ,

, ,

1

0 ϕ

ϕ λ

λ

dizi uzayı elde edilir.

Şimdi şu teoremi verelim.

Teorem 2.1.1. ϕ=

( )

ϕk ve ψ =

( )

ψk iki ϕ−fonksiyonları dizisi olsun. Bu durumda 1- ψ ≺ϕ ve ϕ=

( )

ϕk yeterince büyük v için ∆2 −şartını sağlar ise

( )

(

^{A k mu fn}

)

^V

( (

^{A k mu}

)

^fn

)

Vλ⁰ ,ϕ ,∆ , ⊂ λ⁰ ,ψ ,∆ , dir.

11

2- Yeterince büyük v için

(

ϕk

( )

^v

)

^ve

(

ψk

( )

^v

)

dizileri denk ve her ikisi de

−

∆2 şartını sağlar ise

( ( ) ) ( ( )

n

)

m u k n

m u

k f V A f

A

V_λ⁰ ,ϕ ,∆ , = _λ⁰ ,ψ ,∆ , ^dir.

Đspat: 1-

( ) ( ( )

n

)

m u k

k V A f

x

x= ∈ _λ⁰ ,ϕ ,∆ , ^olsun. ψ ≺ϕ olduğundan b,c,v₀ >0 ve v0

x_k > şartını sağlayan her k için

( )

k k

(

k

)

^(2.2)

k x bϕ c x

ψ ≤

dır. x dizisini x=x′+x′′olarak gösterelim. Burada her m için x′=∆^m_ux′_k, ∆^m_ux_k <v₀ için ∆^m_ux′_k =∆^m_ux_k ve k ’nın diğer değerleri için∆^m_ux′_k =0 olarak tanımlansın.

( )

(

n

)

m u

k f

A V

x′∈ λ⁰ ,ψ ,∆ , olduğunu görmek kolaydır. L sabiti f ve ϕ−fonksiyonunun özellikleri ile bağlantılı olmak üzere kabulden ve (2.2) eşitsizliğinden,

( ) ( )

( )

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∈

∞

=

∞

=

∈

∈

∞

=



 



 ∆ ′′

≤





 



 ∆ ′′

≤





 



 ∆ ′′

j j j

I

n k

k m

u k nk n

j

k m

u k k

nk I

n n I j

n k

k m u k nk n

j

x a

L f

x c a b f x

a f

1 1 1

1 1

λ ϕ λ ϕ λ ψ

elde edilir. ∆2−şartını sağlayan bir ϕ−fonksiyonunun (1.2) ve (1.3) özelliklerini sağlayacağını hatırlatalım. Sonuç olarak ^x′′=

( )

^{xk′′ ∈V}λ⁰

( (

^A,ψk,∆mu

)

^,fn

)

olur ve

( )

(

^{A k mu fn}

)

V

x∈ _λ⁰ ,ψ ,∆ , elde edilir.

2- ^Vλ⁰

( (

^A,ϕk,∆mu

)

^{, fn}

)

^=Vλ⁰

( (

^A,ψk,∆mu

)

^,fn

)

eşitliği aynı şekilde ispatlanır.

Teorem 2.1.2. Her k ve yeterince büyük v için ∆2 −şartını sağlayan ϕ − fonksiyonları dizisi ϕ =

(

ϕk

( )

^v

)

olsun. Bu taktirde

( ( )

n

)

m u

k f

A

V_λ⁰ ,ϕ ∆ , lineer uzaydır.

Đspat: Đlk olarak x=

( )

xk ∈^Vλ⁰

( (

^A,ϕk∆mu

)

^{, fn}

)

ve α keyfi bir sayı olmak üzere

( )

(

n

)

m u

k f

A V

x , , ,

. ∈ ⁰ ϕ ∆

α _λ olduğunu gösterelim. 0<α <1 ^için

( ( ) )

^_^{≤ }_^

(

^∆

)

^_^



 ∆

∑ ∑

∑ ∑

^∞

=

∈

∈

∞

= k

m u k k

nk I

n n I j

n k

k m

u k nk n

j

x a

f x

a f

j j

λ ϕ α

λ 1 ϕ 1

1 1

dir.

Eğer α >1 ^ise α <^2s olacak şekilde pozitif bir s sayısı vardır ve d ve L , ϕ ^{ve f} fonksiyonları ile bağlantılı sabitler olmak üzere

( ( ) ) ( )

( )

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∈

∞

=

∞

=

∈

∈

∞

=



 



 ∆

≤



 



 ∆

≤



 



 ∆

j j j

I

n k

k m

u k nk n

j

k m

u k k

nk s I

n n I j

n k

k m

u k nk n

j

x a

L f

x a

d f x

a f

1 1 1

1 1

λ ϕ λ ϕ α

λ ϕ

elde edilir. ∆2 −şartını sağlayan ϕ−fonksiyonu (1.2) ve (1.3) yi gerektirir. Böylece

( )

(

^{A k mu fn}

)

V

x∈ ⁰ ,ϕ ,∆ ,

α λ elde edilir.

Đkinci olarak ^x,y∈Vλ⁰

( (

^A,ϕk,∆mu

)

^{, fn}

)

ve α ^, β keyfi sabitler olsun.

( )

(

n

)

m u

k f

A V y

x+β ∈ ⁰ ,ϕ ,∆ ,

α _λ olduğunu gösterelim. L₁, L₂ yukarıdaki gibi tanımlanan sabitler olmak üzere

( )

( ) ( )

( )

^_^



 ∆

+



 



 ∆

≤



 



 ∆ +

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∞

=

∈

∈

∞

=

∞

=

∈

k m

u k k

nk I

n n j

I

n k

k m

u k nk n

k j

k k m

u k nk I

n n j

y a

L f

x a

L f y

x a

f

j j j

λ ϕ λ ϕ β

α λ ϕ

1 2

1 1

1

1

olur. ^αx+βy∈Vλ⁰

( (

^A,ϕk,∆mu

)

^{, fn}

)

elde edilir.

Şimdi teorem 2.1.3’ün ispatı için gerekli önermeyi verelim.

Önerme 2.1.1. f bir modülüs fonksiyonu ve 0<δ <1 olsun. Her v≥δ için

( )

^{v f}

( )

^v

f ≤2 1δ⁻¹ dir [23].

Teorem 2.1.3. ϕ =

( )

ϕk ve f =

( )

fn , sırasıyla ϕ−fonksiyonlarının ve modülüs fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Bu taktirde

( ) ( ( )

n

)

m u k m

u

k V A f

A

V_λ⁰ ,ϕ ,∆ ⊂ _λ⁰ ,ϕ ,∆ , dir.

13

Đspat: ^x∈Vλ⁰

(

^A,ϕk,∆mu

)

ve ^fn

( )

^M

n

= 1

sup olsun. ε >0 verilsin. Her x∈

[ ]

^0,δ ve her n için f_n

( )

x <ε olacak şekilde 0<δ <1 ^seçelim.

( )

^{1 2}

1

1 f a x S S

k

k m

u k nk I

n n

j j

+

=



 





∑

∆

∑

^∞

=

∈

λ ϕ

yazalım. Burada

( )

^



 



 ∆

=

∑ ∑

^∞

=

∈ 1

1

1

k

k m

u k nk I

n n j

x a

f S

j

λ ϕ

ile verilir ve

( )

^δ

ϕ ∆ ≤

∑

^∞

=1 k

k m

u k

nk x

a

üzerinden toplam alınır.

( )

^



 



 ∆

=

∑ ∑

^∞

=

∈ 1

2

1

k

k m

u k nk I

n n j

x a

f S

j

λ ϕ

ile verilir ve bu toplam da

( )

^δ

ϕ ∆ >

∑

^∞

=1 k

k m

u k

nk x

a

üzerinde alınır. f modülüs fonksiyonunun tanımından

( )

^δ _λ

( )

^{λ ε ε}

λ ^{< =}

≤

∑

∈ j

I j n

n

j j

f

S 1 1

1

ve Önerme 2.1.1’den

( )

∑∑

∈

∞

=

∆

≤

Ij

n k

k m

u k nk j

x a

M S

1 2

1

2 1 ϕ

λ δ

elde edilir. Sonuç olarak ^x∈Vλ⁰

( (

^A,ϕk,∆mu

)

^{, fn}

)

dir.

Teorem 2.1.4. ϕ =

( )

ϕk ve f =

( )

fn sırasıyla ϕ−fonksiyonlarının ve modülüs fonksiyonlarının bir dizisi olsun. Eğer _liminf

( )

_>0

∞

→ v

v f_n

n

v ise

( )

(

n

) (

k ^mu

)

m u

k f V A

A

V_λ⁰ ,ϕ ,∆ , = _λ⁰ ,ϕ ,∆ dir.

Đspat: Eğer _liminf

( )

_>0

∞

→ v

v f_n

n

v ise her v>0 ve n∈N için ^fn

( )

^v >^cv olacak şekilde bir c>0 sayısı vardır. ^x∈Vλ⁰

( (

^A,ϕk,∆mu

)

^{, fn}

)

olsun. Açık olarak

( ) ^{∑ ∑} ( ) ^∑∑ ( )

∑ ∑

∈

∞

=

∈

∞

=

∈

∞

=

∆

=



 



 ∆

≥



 



 ∆

j j

j n I

k m

u k k

nk I j

n

k m

u k k

nk I j

n k

k m

u k nk n

j

x c a

x a

c x

a

f ϕ

ϕ λ ϕ λ

λ 1 1 1

1 1

dır. Böylece ^x∈Vλ⁰

(

^A,ϕk,∆mu

)

dir. Teorem (2.1.3) kullanılarak ispat tamamlanır.

2.2. S⁰λ

(

A,ϕ^k,∆^mu

)

- Đstatistiksel Yakınsaklık

( )

ank

A= sonsuz matris, ^x=

( )

^xk ∈^w, ϕ =

( )

ϕk ϕ −fonksiyonları dizisi olsun ve

>0

ε pozitif sayısı verilsin.

( )

( )

( ) ( )







 ∈ ∆ ≥

=

∆

∑

^∞

=1

: ,

, ,

k

k m

u k nk j

m u k

j A n I a x

Kλ ϕ ε ϕ ε

alalım. ^µ

(

Kλ^j

( ( (

A,^ϕ_k,∆^m_u

)

,^ε

) ) )

, Kλ^j

( ( (

A,^ϕ_k,∆^m_u

)

,^ε

) )

’a ait eleman sayısını belirtmek üzere eğer her ε >0 ve her k için

15

( )

( )

( )

(

^{, , ,}

)

⁰

lim 1 µ ϕ ∆ ε =

λ ^λ

m u k j

j j K A

ise x dizisi sıfır sayısına

(

^A,ϕk,∆mu

)

-istatistiksel yakınsaktır denir. Sıfıra

(

^A,ϕk,∆mu

)

^-

istatistiksel yakınsak olan x=

( )

xk dizilerinin kümesi ^Sλ⁰

(

^A,ϕk,∆mu

)

ile gösterilir.

Yani

( ) ^{( )} ( ( ( ( ) ) ) )











 = ∆ =

=

∆ 1 , , , 0

lim : ,

0 , µ ϕ ε

ϕ λ λ

λ k ^mu

j

j j k m

u

k x x K A

A S

dir.

n =n

λ ^{alınırsa Sλ0}

(

^A,ϕk,∆mu

)

^{uzayı S0}

(

^A,ϕk,∆mu

)

uzayına indirgenir.

Eğer A=I ve her k ve x için ϕk

( )

^x = ^{x ise S}λ⁰

(

^A,ϕk,∆mu

)

uzayı

( ) ( ) { ( ) }











 = ∈ ∆ ≥ =

=

∆ 1 : 0

lim

0 : µ ε

λ λ k

m u j j j

k m

u x x k I x

S

uzayına indirgenir.

Teorem 2.2.1. ϕ =

(

ϕk

( )

^v

)

ve ψ =

(

ψk

( )

^v

)

ϕ−fonksiyonlarının iki dizisi olsun.

1- Eğer ψ ≺ϕ ve yeterince büyük v ve her k için ϕ_k ∆2 −şartını sağlarsa

(

^{A k mu}

)

^S

(

^{A k mu}

)

Sλ⁰ ,ψ ,∆ ⊂ λ⁰ ,ϕ ,∆ dir.

2- Eğer ϕ ^~ψ ve yeterince büyük v ve her k için ϕ_k ^ve ψk ∆2 −şartını sağlarsa

( ) (

k ^mu

)

m u

k S A

A

S_λ⁰ ,ψ ,∆ = _λ⁰ ,ϕ ,∆ dır.

Đspat: 1- ^x∈Sλ0

(

^A,ψk,∆mu

)

olsun. Kabulden ^ψk

( )

^{∆muxk ≤bϕk}

(

^c∆muxk

)

^ve L sayısı ϕ fonksiyonunun özellikleri ile bağlantılı olmak üzere b,c>0 ve her m için