Modeling interaction of fluid, fabric, and rigid objects for computer graphics

Sivi,

KumaE ve Kati

Cisim

Etkileqimlerinin

Bilgisayar

Grafi'i Isin

Modellenmesi*

Modeling Interaction of Fluid, Fabric, and Rigid Objects for Computer

Graphics

Serkan

Bayraktar,

Ugur

Giidiukbay,

Bulent Ozgii

Bilgisayar

Miihendisligi

Boliimii

Bilkent Universitesi

serkan@cs.bilkent.edu.tr, gudukbay@cs.bilkent.edu.tr, ozguc@bilkent.edu.tr

Ozet,e

ilgilidir. Dordiunci boliumde

sivi

govdesiyle kuma,

ve kati

Sivi,

kuma*

vekati cisimler

gibi

giinliik hayatta kar*imiza qikan

cisimleri etkile,imi

anlatilmaktadir.

Sonu,lar be,inci

boliumde

nesnelerin

davrani*larinin

ve birbirleriyle olan etkile,imlerinin

sunulmu,tur.

modellenmesi ve goriintiulenmesi yillardir bilgisayar grafigi

disiplininin

onemli

ilgi alanlarindan birisidir. Bu makalede

soz

2.

Par,acik

Tabanli

Sivi Modelleme

konusu modellemeleri

gerqekqi

bir

*ekilde

ba*armnaya

y6nelik

Sivilarin

sayisal

olarak

modellenmesinde

temel olarak

iki

farkli

teknikler kisaca anlatilmakta ve bu tekniklerinuygulanmasiyla

y.ntem

kullanilmaktadir. Bunlardan

bin

Lagrangian

Mode-eldeedilen

sonuqlar

sunulmaktadir.

lidir

[2]. Bumodelde

belirli

aralikla

yerle*tirilmi*

noktalardaki

Abstract sivi ozellikleri

(yogunluk,

aki*kanlik,

sicaklikgibi) belirli za-man

aralilarinda hesaplanir. Sivilarin

hareketlerini tanimlayan Simulatingeveryday phenomenasuch asfluid, rigid objects,or

denklelersnlu

far(fnite diffren

veyansonlulan

cloth and their interaction has been achallengefor the computer

(fini

elemlen

gibi

yark(initemdifferenceseyial sonla

..lece

graphics community for decades. In this article techniques to

bi(imde

ifade edilirler.

model such interactions are explained briefly and some of the

Eulerian Mdeli[

r n b r result of

applying

these

tecniques

are

presented.

Euera Mdl 2oarkdanilnbaabrmdee

rise sivi

zellikleri

par,aciklara

atanir

ve bu

par,aciklar

ben-zetimi yapilan uzayda izlenip siviyi tanimlayan

degerler

bu 1. Giri, parcaciklarinbulundugu noktalardahesaplanirlar. Bu makalede Sivilarin

davrani*larinin gerqekqi

bir* ekilde modellenmesi

kisaca a,iklanacak

olan modelleme

teknigi

bir

par,acik

sistemi

uygulamali

fiziin ye

miihendisligin

6.nemli

ilgi

alanlarindan olan

Diizle,tirilmi, Parcacik

Hidrodinamigi

(Smoothed

Particle

birisidir. Bu alanlarda

.ali*ma

yapan

ara*tirmacilar

bir

qok

Hydrodynamics)

yontemini

kullanmaktadir. sayisal model geli,tirilmi,lerdir. Heme kadar bu modeller

miihendislik

ve uygulamali

fizigin

ama,lari i,in uygun ol- 2 N

salar da, bilgisayar

grafigi

alaninda kullanilmak i,inyava, ve

Siki*tirilamayan

sivilarin

serbest uzayda hareketini iki

denk-gereginden

fazlaayrintilidirlar. Buna

ragmen

bilgisayar

grafigi

lemin birlikte ,czulmesiyle a,iklamak miimkiindiir. Bu alaninda

qali*an ara*tirmacilar

bu modelleri basitle,tirerek denklemlerden birincisi Navier-Stokes denklemleri olarak ad-kendi alanlarina uygun, yani yeterince kolay uygulanabilen, landirilir

ve

momentumun korunumu ilkesini ifade eder. Kisa hizli,vegorselolarak tatmin edici halegetirmektedirler. haliyle

yazildiginda

Navier-Stokes denklemleri

a*akidaki

gibi

Sivilarin modelenmesinde kullanilansayisal yontemlerden

goriuliurler:

bir kismi Navier-Stokes [1] denklemleri olarak adlandirilan

kismi tiurevsel denklemleri kullanir. Bu denklemler sayisal

p(-+v.VV

_VP+pg+,_V2V(

olarak ifade edilip, ,cziulerek

siki*tirilamayan

ve

aki*kanliki

(t J (

sabit sivilarin modellenmesinde kullanilirlar. Bu sayisal Bu denklemlerde p sivi

yogunlugunu,

p sivi

basincini,

1t

yontemlerden bir tanesi par,aciklarin

kullanildiki yontemdir.

aki,kanligi

ye

g

siviya

etki eden

di,

kuvvet

alanini

sembolize Bu makalede anlatilan sivi modelleme

teknigi

bu tiir bir etmektedir. v

sivinin hizini

ifade eden

vektorel

bir

alandir.

parcaciksisteminedayanmaktadir.

Navier-Stokes

denklemlerini ,czerek

ula*ilmaya qali*ilan

deger

Yazininikinci

boliumiinde

par,aciktabanlisivimodelleme

&v/&t,

yani

hizdaki anlik

degi,meyi

ifade eden

degerdir.

kisaca anlatilmaktadir.

Uciinca

bhlim kuma, benzetimiyle

Siki*tirilamayan

sivilari

modellerken gerekli olan ba,ka bir

*Bu

9al,-ma

Avrupa

Toplulugu

6.

C,ereve

Programi

tarafindan

ko,ul

da

kiutlenin

korunumudur. Bu

ko,ul a$agidaki

gibi

ifade

511568 No'lu proje kapsaminda (3DTV: Integrated 3D Television: edilir.

Capture, Transmission, and Display) desteklenmektedir. V.v=0, (2)

Budenklemde v sivinin hizini ifade eden vektorel alandir. Bu

tiir

(siki*tirilamayan,

sabit

aki*kanlika

sahip)sivilarin hareket- ..| lerini

dogru

olarak modellemek i,in bu iki denklem beraber

q6ile

lidir.aililr 1>n u ltrt

2.2. DfizlelfirilmisParlclik

Hidrodinamigi

(DPH)

DPHilkolarak astrofizik

alaninda,

birbirleriyle

karpi*an

galak-silerin hareketlerini modellemek izere

kullanilmi*tir.

Son-ralari

yapilan

bazi desiaikliklerle

sikiytirilamayan

sivilarin

davrani*larinm

modellemede

kullanilmaya

ba*lanmi*tir

[4].

Bu

ydntemin

ana fikri belirli

sayida

parqaciga

hesaplanmak

istenilen sivi dzelliklerinin atanmasi ye

parqaciklarin

ara-larinda kalan alanlarda bu dzelliklerin

kom*u parqaciklardaki

degerlerin aradegerlendirilmesiyle

hesaplanmasidir.

DPH her

(a)

parqacigin

etrafina sanal bir kiire

yerle*tirir

ye bu kiirenin i,cinde kalan her

par,cac.k

kom,su

par,.ac.k

olarak kabul edilir. Navier-Stokes denklemleri par,caciklarin etrafindaki alanlarda

kultie

korunumunuayricadikkate almaya gerek yoktur.

Ayrica_

palr.ackla siii hareketiye siiriiklendikler cluini

Navier-Par,cacik

sistemleri kullanilarak yapilan SiVi benzetimlerinin_

belirlenmecsi

ye

go5rsel gerc,eklenmesidir.

Bu amacla kul-lanilabilecek bilgiler

par,caciklarin

uzaydakikonumlari, sivinin

basinci ye yogunlugudur.

Literatuirde

bu durumdakullanilacak (b) birka,c

yo5ntem

vardir. Bu

yo5ntemlerden

bir tanesi "Marching

Cubes" [3] olarakadlandirilan algoritmadir. Bu algoritma ben- $ekil 1: Sivi

go5vdesinin parc,acik

olarak (a) ye

yuizeyi

zetimuzayini e,sit

buiyukluikte kulpiere

ayirir ye

kuip

koselerine olus,turulduktansonraki (b)

go5rsel

ger,ceklenmesi.

belirli bir deger verir. Bu deger kom,su

par,cacilarin

kos,eye ortalama uzakliklari, o noktadaki SiVi yogunlugu ye basinci kullanilarak hesaplanir. Algoritma sonu,c olarak u,cgenlerden

olus,an bir SiVi

yuizeyi

yaratir. Bu

yuizey

daha sonra bilinen da benzetimin daha yava,s is,lemesine yol a,car. Bu sorunu

yo5ntemlerle

(is,in

izieme gibi)

go5rsel

ger,ceklenebilir. $ekil 1 ,cozmeninbirden ,cokyoluvardir. Buyazida anlatilansistemde SiVi

parc,aciklarini

ye yukaridaki

yo5ntemle

olu,sturulan SlVl kullanilan

yo5ntem

sonradan

duizeltme

olarak tanimlanabilir.

yuizeyini

gostermektedir. Bu yontemde yay kuvvetleri ye diger kuvvetlerin etkisiyle

kuitleler

hareket ettirilmeden

o5nce

fazia uzayan veya kisalan

3.

Kuma~

Modelleme

yaylarin

bagli oldugu kuitlelerin

posizyonlari, hiziari ye ivmeleri

T

r

.. * *

r *

r r

r * r

r *

r *

r -bu

buiyuk

deformasyonu engelleyecek

,sekilde

duizeltilir

[7]. Kuma tun ciimlrin odelenesi zunsureen en blgia-

Cok

basit

go5runse

de bu

yo5ntem

gorsel

olarak

tatminkar

yar grafigi camiasinin ilgi konusudur. Kuma,s

davranin,sinin

sonu,clarvermektedir($ekil2'de

goruildugui

gibi).

Tuimle,stirme

modellenmesinde en,cokkullanilan

yo5ntemlerden

bini kuitle-yay

..neiid~~ieekht

eilr aa i~i eeeioa sistemleridir. Bu sistem basit olarak belirli

agirligi

olan nok- bi yntm euarmliz anrlkaiklamkzmn talarin birbirlerine yaylarla

baglanmasiyla

olu,sur.

Bu

yo5ntem,

aliarnsyslkrriiibomdnbytmezelnk

uygulanmasindaki basitlikyeistenilen etkiyi yaratacak ,sekilde s~a.B m~aElrmtd eieRneKtavy kolayca degi,stirilebilmesinden dolayi ara,stirmacilar tarafindan V.le tfmltrm yntmrndnbnklaibir[5.V.r tercih edilmektedir.

Kuma,si

bu ,sekilde modellemenin

ba,slica

le..ml~im

.~ntm

Rug-ut neiekysadh dezavantaji kuitleleri birbirne baglayan yaylarin sabitlerinin koa uyulnbii yeElry5tmn dedh iyi a yeterince

buiyuk olmadiginda kuma,sin

gerc,ek,ciligi ihlal ede- maarlkrniulnaiziinvi.Veettmetrm cek oranlarda

esnemesidir.

Ote yandan

buiyuk

yay sabitleri

..neihspaaahzaikulnaiidnhzy

ou kullanmak

sayisal

kararliligi

kolayca

bozmaktadir.

Bu du- mubiireye eindereraasasbbomz.Vrt

rum

o5zellikle

Euler

tuimle,stirme

yontemi

kullanildigi

zaman . .

ortaya

,cikar.

Bunun sebebi Euler

yo5ntemindeki

hata terim- timetmeynembatoarkufrmleiadeiir[] lerinin

yuiksek

dereceden

olmasidir.

Bunu engellemek

i,cin

(a)

(b)

$ekil 3:

Ince

bir kuma,

par,asi

iki silindirin

uistane

birakilmasinin go5runtuilenmesi.

$ekil

2: Birkuma, par,asinin (a) sonradan diuzeltme uygula-narak daha gercek,igoriintiulenmesi(b).

$ekil

3'de ince bir kuma, par,asinin iki silindirin iizerine

3.1.

(~arpi~ma

Sezimi birakilmasinin animasyonundan kareler goriulmektedir. Bu

benzetimde

ku,atan

kutular kullanilarak

qarpi*ma

sezimi Kuma, tuiriu cisimlerin kati cisimlerle etkile,mesi kuma,

hizlandirilmi*tir.

modellemenin onemli bir kismini te,kil eder. En cok

uizererinde

durulan ise

kuma*in

kati cisimlerle

qarpi*masini

4.

Sivilarin

Kumas

ve

Kati

Cisimler ile saptamak ve bu

carpi*manin

ger,ekci bir ,ekilde model-

Etkilemesi

lenmesini

saglamakdir.

Basit olarak a,iklamak gerekirse,

qarpi*ma

sezimi

kuma*i

olu,turan iiugenlerin ortamdaki kati Sistemimizde

kuma*in

ve

kati

cisimlerin modellenmesinde cisimleri olu,turan iiugenlerle kesi,ip kesi,medikleri bire bir de sivi

par,acilari kullanilmaktadir.

Kuma*in

kiutle noktalari

sinanmasiyla ger,ekle,tirilir. Ancak, bu yontem iiugensayisi

ve

kati

cisimleri ,okgen ko,elerinde sivi

parCaciklarindan

arttik,aolanaksiz hale gelir. Bu zorlugu

a*manin

yollarindan

olu*turulmaktadir.

Bu

par,aciklar

tipki

serbest sivi

biri benzetim uzayini kiiuiik hacimlere boliup sadece ayni govdesindekiler gibi diger

par,aciklarla

etkile,ime girerler. An-hacimde bulunan iiugenleri sinamaktir. Bir diger yontem ise cak

bunlarin

hareketleri

kuma*in

veya

kati

cisimin ozellikleri ortamdaki

turm

cisimlerin etrafina onlari

ku*atan

kutu veyakiire goz

oniune alinarak hesaplanir.

Sistemdeki

turm

cisimlerin ,eklinde cisimleryerle,tirmektir. Buku,atan cisimlerin birbir-

(sivi

govdesi,

kati

cisimler

ve

kuma,)

ayni

tiir par,aciklarla

leriyle

qarpi*ma

sinamalari (,ekillerinin

basitliginden

dolayi)

olu*turulmasinin

bir ka,

avantaji vardir.

Bunlardan

biri

cisim-daha basit

oldugundan,

iiugen tabanli

qarpi*ma

sinamalari lerin

yakinlik sinamalarinin

kolayca

yapilabilmesidir.

Ornegin

yapilmadanoncebu cisimlerin

qarpi*malari

sinanir.

kuma*in

kati

cisimlerle

qarpi*ip qarpi*madigi

veya

sivinin

Kuma, tiiriu cisimler soz konusu

oldugunda

goz oniine hangikati cisimeyakinoldugu gibisinamalar par,acik sistemi alinmasigereken ba,kabir

qarpi*ma

tiirii

de

kuma*i

olu,turan sayesinde kolayca yapilabilir. Sivilarin modellenmesinde iiugenlerin birbirleriyle yaptiklari

qarpi*malardir.

Dogru

olarak kullanilan par,acik sistemi, her

par,acigin

kom*ularini

her ,czulmedigi durumlarda bu tar

qarpi*malar kuma*in

kendi zaman

araliginda

bulur. Bu sayede

kuma*in

kati cisimlere

i,ine girmesi gibi ger,ekli

i bozan durunlara yol a,arlar. Bu

yakinliki

sinanirken

kuma*i

olu,turanpar,aciklarin

kom*ulari

tiir

qarpi*malarin

saptanmasinda da kati cisimlerle

qarpi*ma

arasinda kati cisimleri olu,turan par,acik aramak yeterlidir. sinamalarinda kullanilanlara benzeryontemler uygulamakver- Ayni ,ekildesiviparcaciklarin katicisimlerle olan

yakinliki

da imlilik a,isindan zorunludur.

Ornegin

birbirlerine kuma, ayni

kom*uluk

bilgisikullanilarakkolaycasinanabilir. Kisacasi

jizerinde

kom*u

olan

iiugenlerin birbirleriyle

sinanmamalari

tilm

sistemdeki cisimlerin birbirlerine olanyakinlik sinamalari gerekir. Ayrica yiizey normalleri arasindakiacibelli bir

degerin

parcacik sisteminin

sagladigi

kom,uluk bilgisi yardimiyla altinda olaniiugenlerde sinamakapsami

di*inda

birakilabilirler. daha ,abuk

ve

verimli bir ,ekilde yapilabilir. Sistemdekitulm Kesi,en veya kesi,mesi olasi olan iiugenlerin hizlari ve cisimlerin sivi par,aciklariyla modellenmesinin bir yarari da ivmeleri ke,ismeyi onleyecek sekilde

degi,tirilmelidir.

Buna cisimler arasindaki etkile,melerin en azindan bir kisminin ek olarak

eger

bir

kuma*i

olu,turan iiugenlerden bir kismi parcaciktabanli olarakuygulanabilmesidir. Bunaornek olarak kati cismin i,ine girdiyse bu iiugenlerin pozisyonlari bunu kuma, ile sivinin arasindaki etkile,meyi gosterebiliriz. Bu

kesismeye

giderecek sekilde yeniden atanir. Unutulmamasi etkilesme SIVI

parcaciklari

ile kumasi olusturan

parcaciklarin

gereken nokta bu

tuir ,carpi,sma

(temas) sinamalari benzetimin aralarindaki kuvvetler ayarlanarak istenilen ,sekile getir-her zaman

adiminda yapilmasi gerektigidir.

ilebilir.

Par,caciklar

arasindaki kuvvetlerin hesaplanmasinda

(a)

$ekil

5:

Suyu ge,cirmeyen

kalin bir kuma,sa

yakindan

su

gercekqi

bir

gorulnum

verecek ve makul bir hizda

qali*acak

gunumuzekadar bir cokSIVI vekumasmodeli

bilgisayar grafigi

=

w } _

~~~~~~~~~~~alanina

uyarlanmi,stir.

Bu

yazida boyle

bir model kullanilarak

w t~~~~~~~~~~~~~~~~i i a i u m a* en' erm ad el reet e e_g a i

(b)

[2] Young, D.F., Munson, B.R,

and

Okiishi, T.H.,

ABrief

In-$ekil4: Hfif a)dahaagir(b)v uma*parqaari ivi

qinetroduction

toFluid

Mechanics,

John

Wiley

and

Sons, Inc.,

$eki 4:Hafi (avedahaag1 (b)kum,s ar,clar SlV

i,ine2000.

birakiliyor.

~~~~~~~~~~~~[3]

Lorensen,

W.E.,

Cline, H.E.,

"Marching

cubes: A

high

resolution 3D surface construction

algorithm",

Proceed-ings

of the 14th Annual Conferenceon

Computer

Graph-kullanilan

parametrelerle oynamak

bu olanagi bize

saglar.

ics

an1987.

ieTchius(SGRP

'7,13

Ornegin par,cacilarin duragan yogunluklari, agirliklari

veya

16,197

parc,aciklarin

etrafinda olu,sturulan kulresel alanlarin

yari,caplari

[4] Muiller, M.,

Charypar,

D.,

and

Gross,

M.,"Particle-based

gibi

parametreler

bize

etkile,smeyi istedigimiz

yonde

degi,stirme

fluidsimulation for interactive

applications", Proceedings

olanagi verir. Bu

parametreleri degi,stirerek,

siviyabirakilan ofthe ACM SIGGRAPH/

Eurographics Symposium

on

hafif veya

agir

($ekil 4),

veyasu

akintisiyla

hareket edenkuma,s

Computer Animation,

154-

159,

2003.

parc,alarini

modellemek olasi hale

gelir.

$ekil

5 ikikos,esinden

[5] Witkin, A., Baraff,

D., and Kass

M.,

"Anintroductionto

sallanmaya

birakilan bir kuma,s

par,casina

bir musluktan su

physically

based

modeling.",

SIGGRAPH Course

Notes,

akitilmasini

gostermektedir.

Bubenzetimde kuma,s suyudiger #

32,

1994.

tarafaeqirmeecek*kilde

mdelleni*tir.[6]

Verlet, L., "Computer

experiments

on classical

flu-5.

SonuVIar

~ ~~~~~~ids:

thermodynamical properties

ofLennard-Jones

mole-5.

Sonuvlar

~~~~~~~~cules",

Phys.

Rev.,

159, 98-103,

1967.

Sivivekuma,s

gibi guinlulk

hayatimizda

sik,ca kar,simiza ,cikan

[7]

Provot,

X.,

"Deformation constraints in a

mass-spring

nesnelerin

ger,cek,ci

bir

gorulntul

verecek ,sekilde modellen- model to describe

rigid

cloth

behavior",

Proceedings

of mesi

bilgisayar grafigi

alaninda ,cali,smayapanara,stirmacilarin the

Graphics

Interface

'95,

147-154,

1995.

ba,slica hedeflerinden biri olagelmi,stir. Mulhendislik ve fizik alna1l kie(ib lnad ulnlnmdle a1a