T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
KISMĠ METRĠK UZAYDA ZAYIF BÜZÜLMELER ĠÇĠN SABĠT NOKTA TEOREMLERĠ
Forat Mohammed Taha TAHA YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı
TEMMUZ-2019 KONYA Her Hakkı Saklıdır
Forat Mohammed Taha TAHA tarafından hazırlanan “ KISMĠ METRĠK UZAYDA ZAYIF BÜZÜLMELER ĠÇĠN SABĠT NOKTA TEOREMLERĠ” adlı tez çalışması
26/07/2019 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS olarak kabul edilmiştir.
Jüri Üyeleri Ġmza
BaĢkan
Doç. Dr. Özlem ACAR ………..
DanıĢman
Doç. Dr. Özlem ACAR ………..
Üye
Dr. Öğr. Üyesi Osman ALAGÖZ ………..
Üye
Dr. Öğr. Üyesi Muhammed Talat SARIAYDIN ………..
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. Mustafa YILMAZ FBE Müdürü
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.
İmza
Forat Mohammed Taha TAHA
iv
ÖZET
YÜKSEK LĠSANS
KISMĠ METRĠK UZAYDA ZAYIF BÜZÜLMELER ĠÇĠN SABĠT NOKTA TEOREMLERĠ
Forat Mohammed Taha TAHA
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç. Dr. Özlem ACAR
2019, 36 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Özlem ACAR Dr. Öğr. Üyesi Osman ALAGÖZ
Dr. Öğr. Üyesi Muhammed Talat SARIAYDIN
Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır. İkinci bölüm kaynak araştırması olup, tez için yapılan literatür taramasını ve kaynakları kapsamaktadır. Üçüncü bölümde ise metrik uzay ile ilgili temel tanımlar, kavramlar ve teoremler verilmiştir. Dördüncü bölüm iki alt bölümden oluşmaktadır. İlk alt bölümde kısmi metrik uzay kavramına giriş yapılmış olup bu uzay ile ilgili tanımlar, kavramlar verilmiştir. Ayrıca yine bu bölümde kısmi metrik uzayda yapılan bazı önemli teoremler incelenmiştir. İkinci alt bölümde ise kısmi metrik uzayda zayıf büzülme kavramı verilip, bu büzülme yardımı ile yapılan teoremler detaylı bir biçimde incelenmiştir.
v
ABSTRACT
MS
FIXED POINT THEOREMS FOR WEAK CONTRACTIONS ON PARTIAL METRIC SPACE
Forat Mohammed Taha TAHA
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE / DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MECHANICAL ENGINEERING
Assoc. Prof. Dr. Özlem ACAR
2019, 36 Pages
Jury
Assoc. Prof. Dr. Özlem ACAR Assist. Prof. Dr. Osman ALAGÖZ
Assist. Prof. Dr. Muhammed Talat SARIAYDIN
This thesis consists of four parts. The first section is reserved for entry. The second part is the literature research and covers the literature review and sources for our thesis. Basic definitions, concepts and theorems related to metric space are given in the third chapter. The fourth part consists of two sub-sections. In the first sub-section, the concept of partial metric space was introduced and definitions and concepts related to this space were given. In addition, some important theorems in partial metric space were investigated in this section. In the second sub-section, the concept of weak shrinkage in partial metric space was given and the theorems made with this shrinkage were examined in detail.
vi
ÖNSÖZ
Çalışmalarım boyunca; bilgi ve desteğini her daim esirgemeyen, tecrübe ve katkıları ile beni yönlendiren değerli hocam, Sayın Doç. Dr. Özlem ACAR a, çalışmalarım esnasında beni daima destekleyen Selçuk Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Desteğini hiçbir zaman eksik etmeyen sevgili eşim Tülin TAHA ya ve tüm hayatım boyunca en büyük desteği ve sevgiyi vererek, her zaman yanımda olan annem Nasrin TAHA ve babam Mohammed TAHA başta olmak üzere tüm aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım
FORAT MOHAMMED TAHA TAHA KONYA-2019
vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii
SĠMGELER VE KISALTMALAR ... viii
1. GĠRĠġ ... 1
2. KAYNAK ARAġTIRMASI ... 2
3. METRĠK VE TOPOLOJĠK KAVRAMLAR ... 5
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA ... 16
4.1. Kısmi Metrik Uzay ... 16
4.2. Kısmi Metrik Uzayda Zayıf Büzülmeler ... 27
KAYNAKLAR ... 35
viii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Simgeler
Metrik uzay Kısmi metrik uzay
den e bir dönüşüm Sabit
Kıyaslama fonksiyonu
Merkezli r yarıçaplı açık yuvar (metrik uzay) Merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar (metrik uzay) Merkezli r yarıçaplı yuvar yüzeyi (metrik uzay) A ve B kümeleri arasındaki uzaklık
x noktasının A kümesine olan uzaklığı A kümesinin çapı
{ } İterasyon dizisi
Merkezli yarıçaplı açık yuvar (kısmi metrik uzay) ̅̅̅ Merkezli yarıçaplı kapalı yuvar (kısmi metrik uzay)
Tarafından üretilen metrik Tarafından üretilen metrik
1. GĠRĠġ
boştan farklı bir küme ve bir fonksiyon olsun. olacak şekilde varsa noktasına nin bir sabit noktası denir. Yani, dönüşümü altında değişmeyen noktaya nin sabit noktası denir. Örneğin;
, ,
olarak alalım. noktası nin sabit noktası olurken, nin sabit noktası yoktur. Yine alınırsa nin de bir sabit noktasının olmadığı aşikardır. O halde verilen bir dönüşümün sabit noktasının varlığı, dönüşümün tanımına bağlı olduğu kadar tanımlandığı kümenin yapısına da bağlıdır. Bu nedenle sabit nokta teori çalışmaları bir dönüşümün sabit noktasının hangi koşullar altında var olduğu, varsa tek olup olmadığı, tek ise nasıl bulunabileceği sorularına cevap aramaktadır.
Tam metrik uzaylar üzerinde sabit nokta teori çalışmaları Banach ile başlamıştır. Banach sabit nokta teoremi, dönüşümün sabit noktasının varlığını garanti ettiği gibi, bu sabit noktanın tekliğini ve nasıl bulunabileceğini de göstermektedir.
Sabit nokta teori çalışmaları tam metrik uzaylarda sınırlı kalmayıp, normlu uzaylar, sıralı Banach uzayları, düzgün uzaylar, fuzzy metrik uzaylar vb. uzaylarda da yapılmıştır.
Sabit nokta teori, diferensiyel denklemlerin, integral denklemlerin, kısmi diferensiyel denklemlerin ve diğer ilgili alanların varlık teorisinde çok kullanılmaktadır. Yine sabit nokta teori, sınır değer problemleri ve yaklaşım problemlerinde olduğu kadar özdeğer problemlerde de çok verimli uygulamalara sahiptir.
2. KAYNAK ARAġTIRMASI
Sabit nokta teori nonlineer analizin en güçlü ve etkin araçlarından biri olup, matematiğin birçok dalında özellikle diferensiyel denklemlere, integral denklemlere, kısmi diferensiyel denklemlere birçok uygulaması olmakla birlikte, diğer ilgili alanların varlık teorisinde çok kullanılmaktadır. Yine sabit nokta teori, sınır değer problemleri ve yaklaşım problemlerinde olduğu kadar özdeğer problemlerde de çok verimli uygulamalara sahiptir. Sabit nokta teorinin en iyi bilinen sonucu ve teorinin başlangıcı olarak kabul edilen teorem (Banach, 1922) tarafından aşağıdaki biçimde verilmiştir:
bir tam metrik uzay ve her için
(2.1) olacak şekilde bir büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda birtek sabit noktasına sahiptir."
Her büzülme dönüşümü süreklidir. Doğal olarak, büzülme şartını sağlayan fakat sürekli olmayan bir dönüşümün varlığı sorusu akla gelebilir. Bu sorunun ilk çözüm metodu (Kannan, 1968), tarafından büzülme şartı olmak üzere
(2.2) ile değiştirilerek verilmiştir. Takiben (Chatterjea, 1972), olmak üzere (2.3) büzülme şartı ile yeni bir sabit nokta teoremini ispatlamıştır.
Bu üç bağımsız şart kullanılarak, bazı araştırmacılar çeşitli genelleştirmeler yapmışlardır. 1972 yılında ise (Zamfirescu, 1972) de Banach, Kannan ve Chatterjea tipli büzülmeleri birleştirerek aşağıdaki teoremi vermiştir:
bir tam metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için olmak üzere öyle reel sayıları vardır ki aşağıdakilerden en az biri sağlanır ise bir tek sabit noktaya sahiptir.
i. ,
ii.
iii. "
Yukarıda bahsedilen büzülmelerde eşitsizliklerin sağ tarafındaki katsayı veya katsayılar toplamı 1'den küçüktür. Fakat şimdi, verilecek büzülmede bu katsayının veya katsayılar toplamının 1 veya 1'den büyük olabileceği görülecektir. Bu büzülme Vasile Berinde (Berinde, 2003a; 2003b; 2004) tarafından her için ve olmak üzere
(2.4) ile tanımlanmış ve hemen hemen büzülme adı verilmiştir.
Daha sonra Berinde her Banach, Kannan, Chatterjea ve Zamfirescu dönüşümlerinin birer hemen hemen büzülme dönüşümü olduğunu göstermiştir.
(Matkowski,1977) de kıyaslama fonksiyonu kullanarak, Banach Büzülme Prensibinin bir başka genelleştirmesini vermiştir. Bu genelleştirmeye göre bir kıyaslama fonksiyonu ve her için dönüşümü
(2.5) şartını sağlamak üzere, tam metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatlamıştır.
(Berinde, 2004) de, monoton artan, her için
şartlarını sağlayan kıyaslama fonksiyonunu olmak üzere aşağıdaki genelleştirilmiş sabit nokta teoremini ispatlamıştır.
bir tam metrik uzay ve , kıyaslama fonksiyonu ile bir hemen hemen büzülme dönüşümü olsun. Yani bir kıyaslama fonksiyonu olmak üzere her için
olacak şekilde var olsun. Bu durumda bir sabit noktasına sahiptir." Kısmi metrik kavramı boş olmayan bir X kümesi üzerinde (Matthews, 1994), tarafından tanımlanmıştır. Kısmi metrik uzayın en önemli özelliklerinden biri noktanın kendine olan uzaklığının sıfır olmayabileceğidir. Bu tez çalışmasında ise kısmi metrik uzay üzerinde (Altun ve Acar, 2012), tarafından tanımlanan zayıf büzülmeleri incelenecek, kısmi tam metrik uzay üzerinde verilen bazı sabit nokta teoremleri irdelenecektir.
3. Metrik ve Topolojik Kavramlar
Tanım 3.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere fonksiyonu her için
i)
ii)
iii) (3.1)
koşullarını sağlıyorsa d ye X üzerinde bir metrik, ikilisine de bir metrik uzay denir (Kocak, 2009).
Örnek 3.1. Boş olmayan herhangi bir kümesi verilsin. den ye tanımlanan
{
fonksiyonu üzerinde bir metriktir. Bu metriğe ayrık metrik denir (Kocak, 2009).
Tanım 3.2. herhangi bir metrik uzay olsun. Bir ve reel sayısı
verildiğinde
{ } (3.2) kümesine merkezli r yarıçaplı açık yuvar,
{ } (3.3) kümesine merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar,
kümesine merkezli r yarıçaplı yuvar yüzeyi denir (Kocak, 2009).
Tanım 3.3. bir metrik uzay ve da X in boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer her için olacak biçimde bir sayısı varsa kümesine d-açıktır denir (Kocak, 2009).
Tanım 3.4. Bir metrik uzayında bir alt kümesi için açık ise, ya d-kapalı küme denir (Kocak, 2009).
Önerme 3.1. bir metrik uzay olsun. Bu durumda i) içindeki her açık yuvar d-açıktır
ii) içindeki her kapalı yuvar d-kapalıdır. (Kocak, 2009).
Tanım 3.5. bir metrik uzay, A ve B de X’in boş olmayan iki alt kümesi olsun. Bu durumda
{ } (3.5) sayısına A ve B kümeleri arasındaki uzaklık denir. olmak üzere
{ } (3.6) sayısına x noktasının A kümesine olan uzaklığı,
{ } (3.7) sayısına A kümesinin çapı denir (Kocak, 2009).
Eğer ise A kümesine sınırlı küme, eğer ise A kümesine sınırsız küme denir (Kocak, 2009).
Tanım 3.6. bir metrik uzay ve { }, de bir dizi olsun. Her sayısına karşılık her için olacak biçimde bir doğal sayısı varsa { } dizisi x noktasına yakınsar denir. Kısaca ile gösterilir (Soykan, 2008).
Önerme 3.2. Metrik uzayda yakınsak bir dizinin limiti tektir (Kocak, 2009).
Tanım 3.7. bir metrik uzay ve de de bir dizi olsun. olmak üzere dizisine dizisinin bir alt dizisi denir (Soykan, 2008).
Önerme 3.3. bir metrik uzay olsun. dizisi yakınsak ise her alt dizisi de aynı noktaya yakınsar (Soykan, 2008).
Önerme 3.4. bir metrik uzay ve olsun. A nın d-kapalı olması için gerekli ve yeterli koşul { } olacak biçimdeki her { } dizisi için olduğunda olmasıdır (Soykan, 2008).
Tanım 3.8. Bir metrik uzayında herhangi bir dizi { } olsun. Eğer her sayısına karşılık için olacak biçimde bir doğal sayısı var ise { } dizisine bir Cauchy dizisi denir. Eğer metrik uzayı içindeki her Cauchy
dizisi bu uzayda bir noktaya yakınsıyor ise ikilisine tam metrik uzay denir (Soykan, 2008).
Önerme 3.5. Bir metrik uzayında yakınsak olan bir dizisi Cauchy dizisidir (Soykan, 2008).
Önerme 3.6. metrik uzayındaki her bir Cauchy dizisi sınırlıdır (Soykan, 2008).
Önerme 3.7. bir metrik uzay, de bir dizi ve
∑
Ġspat. için ∑ ∑ olur. ∑
verilen serinin kalan terimi olduğundan
(3.9)
elde edilir ki bu dizisinin Cauchy dizisi olduğunu gösterir (Soykan, 2008).
Tanım 3.9. ve metrik uzaylar, herhangi bir fonksiyon ve olsun. T fonksiyonunun x noktasında sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul X içinde herhangi bir { } dizisi e yakınsak iken, Y içindeki { } dizisinin Tx e yakınsak
olmasıdır (Soykan, 2008).
Metrik uzay ile ilgili temel kavramlardan sonra, metrik uzaylarda tanımlanmış bazı büzülme tiplerine ve bu büzülmeler kullanılarak yapılmış bazı sabit nokta teoremlerine verilecektir.
(3.10)
olacak biçimde sayısı varsa, ye Lipschitz dönüşümü denir. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük sayısına nin Lipschitz sabiti denir. Lipschitz dönüşümü için ise dönüşümüne büzülme dönüşümü, ise Lipschitz dönüşümüne genişlemeyen dönüşüm denir. olacak biçimdeki her için
(3.11) oluyorsa ye büzülebilir dönüşüm denir (Banach, 1922).
Her Lipschitz fonksiyonu süreklidir. Çünkü her için iken
(3.12) olup Lipschitz fonksiyonu süreklidir (Banach, 1922).
Teorem 3.1. (Banach Sabit Nokta Teoremi) bir tam metrik uzay ve
bir büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda nin de bir tek sabit noktası vardır (Banach, 1922).
Tanım 3.11. bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için
(3.13)
olacak şekilde [ ) sayısı varsa ye Kannan dönüşümü denir (Kannan, 1968).
Örnek 3.2. üzerinde alışılmış metrik tanımlı olsun.
{ [ )
olarak tanımlanan dönüşüm bir Kannan dönüşümüdür. Burada dir. Gerçekten nin bir Kannan dönüşümü olduğunu göstermek için her için
| | {| | | |} (3.15) olduğunu göstermeliyiz. Eğer [ ) veya [ ] | | olacağından Kannan şartı sağlanır. Şimdi [ ) ve [ ] olsun. Bu durumda
| | | | | | | | ve | | | | olup, buradan | | {| | | |} [ ] (3.16)
olur yani için bir Kannan dönüşümüdür (Kannan, 1968).
Teorem 3.2. bir tam metrik uzay ve bir Kannan dönüşümü olsun. Yani
her için
(3.17)
olacak şekilde [ ) sayısı olsun. Bu durumda birtek sabit noktasına sahiptir. Üstelik herhangi bir için { } iterasyon dizisi bu sabit noktaya yakınsar (Kannan, 1968).
Lemma 3.1. Her büzülme dönüşümü sürekli olduğu halde Kannan dönüşümü sürekli
olması gerekmez (Kannan, 1968).
Örneğin ve üzerinde alışılmış metrik tanımlı olsun.
{ [ )
[ ] (3.18)
ile tanımlansın. nin sürekli olmadığı açıktır. Ancak için bir Kannan dönüşümüdür (Kannan, 1968).
Tanım 3.12. bir metrik uzay ve bir dönüşümü olsun. Her için
(3.19)
olacak şekilde [ ) sayısı varsa ye Chatterjea dönüşümü denir (Chatterjea, 1972).
Örneğin, üzerinde ayrık metrik tanımlı olsun.
{ [ )
[ (3.20)
ile tanımlı , sabiti ile bir Chatterjea dönüşümüdür (Chatterjea, 1972).
Teorem 3.3. bir metrik uzay ve bir Chatterjea dönüşümü olsun.
Yani her için
olacak şekilde [ ) sayısı olsun. Bu durumda bir tek sabit noktasına sahiptir. Üstelik herhangi bir için { } iterasyon dizisi bu sabit noktaya yakınsar (Chatterjea, 1972).
Tanım 3.13. bir metrik uzay ve bir dönüşümü olsun. Her için
{ } (3.22) olacak şekilde varsa ye quasi büzülme dönüşümü denir (Rus, 1983).
Örneğin, üzerinde alışılmış metrik tanımlı olsun
{
(3.23) ile tanımlı , sabiti ile bir quasi büzülme dönüşümüdür (Rus, 1983).
Teorem 3.4. bir tam metrik uzay ve bir quasi büzülme dönüşümü
olsun. Yani her için
{ } (3.24) olacak şekilde olsun. Bu durumda bir tek sabit noktasına sahiptir (Rus, 1983).
Dikkat edilmelidir ki, şimdiye kadar verilen büzülmelerde eşitsizliklerin sağ tarafındaki katsayı veya katsayılar toplamı 1 den küçüktü. Fakat bundan sonra verilecek büzülmede bu katsayının veya katsayılar toplamının 1 veya 1 den büyük olacağını görülecektir. Bu tipteki büzülmeler Vasile Berinde (Berinde, 2003b) tarafından tanımlanmıştır.
Tanım 3.14. bir metrik uzay ve bir dönüşümü olsun. Her için
(3.25) olacak şekilde ve varsa ye hemen hemen büzülme dönüşümü denir (Berinde, 2003b).
Metriğin simetri özelliğinden (3.25) eşitsizliğini
(3.26) biçiminde de yazılabilir. O halde verilen bir dönüşümünün hemen hemen büzülme olduğunu göstermek için (3.25) ve (3.26) eşitsizliklerinin her ikisinin de sağlandığını gösterilmelidir. Örneğin, { [ ) [ ] (3.27)
ile tanımlanan dönüşümü ve için bir hemen hemen büzülmedir. Ayrıca bu dönüşümün sabit noktaları 0 ve 1 dir (Berinde, 2003b).
Teorem 3.5. bir tam metrik uzay ve bir hemen hemen büzülme olsun.
Yani her için
(3.28) olacak şekilde ve olsun. Bu durumda de bir sabit noktaya sahiptir (Berinde, 2003b).
Burada dikkat edilmelidir ki, yukarıda verdiğimiz büzülmelerde sabit noktanın tekliği garanti idi. Fakat hemen hemen büzülmelerde yukarıdaki örnekte de görüldüğü gibi sabit nokta tek olmayabilir. Bu tekliği sağlamak için hemen hemen büzülme şartına benzer bir ek şart ekleyerek tekliği garanti edebiliriz.
Teorem 3.6. bir tam metrik uzay ve bir hemen hemen büzülme olsun.
Ayrıca her için
(3.29) olacak şekilde ve varsa , de bir sabit noktaya sahiptir
(Berinde, 2003a).
Daha sonra Berinde büzülmeler arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi açıklamıştır.
Lemma 3.2. Her Banach, Kannan, Chatterjea dönüşümü hemen hemen büzülmedir
(Berinde, 2003a).
Lemma 3.3. [ ) için her quasi büzülme hemen hemen büzülmedir
(Berinde, 2003a).
Tanım 3.15. bir tam metrik uzay olsun. Eğer dönüşümü hem (3.25) hem de (3.29) eşitsizliklerinin her ikisini birden sağlarsa T ye kesin hemen hemen büzülme denir (Berinde, 2003a).
Örneğin, üzerinde alışılmış metrik tanımlı olsun. dönüşümü her için
{ [ )
[ ) (3.30)
ile tanımlansın. Bu durumda , ve ile bir hemen hemen büzülme iken, ve sabitleri ile de kesin hemen hemen büzülmedir (Berinde, 2003a).
Berinde (Berinde, 2004) de monoton artan, her için =0 kıyaslama fonksiyonunu kullanarak lineer olmayan tipde bir
büzülmeyi aşağıdaki gibi tanımlamıştır.
Tanım 3.16. bir metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. bir kıyaslama fonksiyonu olmak üzere her için
(3.31)
olacak şekilde varsa ye hemen hemen - büzülme dönüşümü denir (Berinde, 2004).
Açıktır ki, her hemen hemen büzülme hemen hemen - büzülme dönüşümüdür (Berinde, 2004).
Tanım 3.17. monoton artan ve her için ∑ serisinin yakınsak olma şartlarını sağlarsa ye kıyaslama fonksiyonu denir (Berinde, 2004).
Teorem 3.7. bir tam metrik uzay ve , kıyaslama fonksiyonu ile bir
hemen hemen büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir (Berinde, 2004).
4. ARAġTIRMA SONUÇLARI VE TARTIġMA
4.1. Kısmi Metrik Uzay
Kısmi metrik kavramı boş olmayan bir kümesi üzerinde Matthews tarafından tanımlanmıştır. Kısmi metrik uzayın en önemli özelliklerinden biri noktanın kendine olan uzaklığının sıfır olmayabileceğidir. Buna göre kısmi metrik uzayın tanımı ve bu uzayın özelliklerini verilebilir.
Tanım 4.1.1. boş olmayan bir küme ve bir fonksiyon olsun. Her için
şartları sağlanırsa ikilisine kısmi metrik uzay denir (Matthews, 1994).
Eğer ise ve özeliklerinden olduğu görülür. Fakat ise sıfır olmayabilir (Matthews, 1994).
Örnek 4.1.1. Her metrik uzay bir kısmi metrik uzaydır (Matthews, 1994).
Örnek 4.1.2. , { } ile tanımlı fonksiyon bir kısmi metriktir. Gerçekten; ise
dir.
ise bulunur. Böylece sağlanır. { } olup sağlanır.
{ } { } yani simetri özelliği de sağlanır. Son olarak
olduğunu gösterilmelidir. Eğer ise
olup sağlanır. Eğer ise
olup sağlanır. Eğer ise
olup sağlanır. Böylece , üzerinde bir kısmi metriktir (Matthews, 1994).
Örnek 4.1.3. olmak üzere tüm aralıklarının bir kümesi olsun. ,
, { } { } (4.1) ile tanımlanan fonksiyon üzerinde bir kısmi metriktir (Matthews, 1994).
Örnek 4.1.4. ve { } biçiminde tanımlanırsa ikilisi bir
kısmi metrik uzaydır (Matthews, 1994).
Tanım 4.1.2. herhangi bir kısmi metrik uzay olsun. Bir ve her reel sayısı verildiğinde
{ } (4.2)
kümesine merkezli yarıçaplı açık yuvar,
̅̅̅ { } (4.3) kümesine ise merkezli yarıçaplı kapalı yuvar denir (Matthews, 1994).
Not 4.1.1. bir kısmi metrik uzay olsun. Her için
{ } (4.4) açık yuvarlar ailesini taban kabul ederek üzerinde bir topolojisi oluşturulabilir. Bu topoloji topolojisidir (Matthews, 1994).
Örnek 4.1.5. ve { } olarak alınırsa biliyoruz ki bir kısmi metrik uzaydır. Şimdi metriğine göre in elemanlarının herhangi bir için açık komşuluklarını aşağıdaki gibi bulunulabilir.
{ } { { } }
olarak elde edilir. Böylece bu açık yuvarlardan elde edilen taban { }
biçimindedir. O halde
{ } { }
olarak elde edilir (Matthews, 1994).
Önerme 4.1.1. , üzerinde bir kısmi metrik ise
(4.5)
biçiminde tanımlı fonksiyon de bir metriktir (Matthews, 1994).
Ġspat. Her için
dir. Çünkü ve dir. ve ise olduğu gösterilecektir. Buna göre
ve
olup bu olduğunu gösterir ki buradan elde edilir.
yani simetri özelliği de sağlanır. Son olarak
olduğu gösterilecektir. Buna göre
olup , üzerinde bir metriktir.
Ayrıca , üzerinde bir kısmi metrik ise ,
{ } (4.6) ile tanımlı fonksiyon da üzerinde bir metriktir (Matthews, 1994).
Önerme 4.1.2. bir kısmi metrik uzay olsun. Bu takdirde ile metrikleri denk metriklerdir (Matthews, 1994).
Ġspat. metriğinin tanımı gereği
(4.7) yazılır. Ayrıca nın tanımından
{ }
{ } { }
(4.8) yazılır. Böylece ve eşitsizliklerinden
(4.9)
elde edilir (Matthews, 1994).
Önerme 4.1.3. bir kısmi metrik uzay ve { }, de bir dizi olsun. { } dizisinin bir noktasına yakınsak olması için gerek ve yeter koşul
(4.10)
olmasıdır (Matthews, 1994).
Ġspat. Kabul edelim ki olsun. O halde her için en az bir sayısı vardır öyle ki her için dır.
bulunur. Her için bu eşitsizlik doğru olduğu için
dır. Tersine;
ise her için en az bir sayısı vardır öyle ki her için
olur. Böylece her için en az bir sayısı vardır öyle ki her için olur. Bu da demektir (Matthews, 1994).
Tanım 4.1.3. bir kısmi metrik uzay olsun.
i) { }, de bir dizi olmak üzere, eğer limiti var ve sonlu ise { } dizisi de bir Cauchy dizisidir.
ii) deki her Cauchy dizisi de yakınsak ise yani için
(4.11)
Not 4.1.2. Kısmi metrik uzaylarda yakınsak bir dizinin Cauchy dizisi olması gerekmez
(Matthews, 1994).
Örnek 4.1.5. kümesi üzerinde { }
kısmi metriği alınırsa ikilisi bir kısmi metrik uzaydır. Buna göre { }
bu uzayda bir dizi olmak üzere
{ }
olup { } dizisi e yakınsar. Fakat limiti yoktur. Buradan { }
dizisinin Cauchy dizisi değldir (Matthews, 1994).
Aşağıdaki lemma ile arasındaki ilişkiyi vermekte olup sabit nokta çalışmaları için sonuç elde etmekte önemli bir rol oynar.
Lemma 4.1.1. kısmi metrik uzay olsun.
i) { } dizisinin de bir Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter koşul { } nin de bir Cauchy dizisi olmasıdır,
ii) nin tam olması için gerek ve yeter koşul nin tam olmasıdır (Matthews, 1994).
Ġspat. ile metrikleri birbirine denk olduğundan ispat için verilecektir.
i) { } dizisi de bir Cauchy dizisi olsun. Böylece her için vardır öyle ki iken | | olacak biçimde vardır. Buradan her için
{ }
{ } | | | { }|
(4.12)
elde edilir ki buradan { } de bir Cauchy dizisidir. Şimdi { }, da bir Cauchy dizisi ve olsun. Her için olacak biçimde vardır. Böylece
| ( )| ( ) ( ) ( )
( ) (4.13) elde edilir ki { } dizisi de sınırlıdır. Böylece vardır öyle ki { ( )} alt dizisi ya yakınsar. Diğer taraftan { }, da bir Cauchy dizisi olduğundan için vardır öyleki iken olur. Buradan
| | (4.14)
elde edilir ki { } dizisi de bir Cauchy dizisidir. Böylece olur. Ayrıca
| { } |
| { } | (4.15)
olduğu kullanılırsa bulunur ki { } de bir Cauchy
dizisidir (Matthews, 1994).
ii) tam metrik uzay olsun. { }, de bir Cauchy dizisi ise da bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan vardır öyle ki dır. { }, de bir Cauchy dizisi olduğundan
olduğunu göstermek ispat için yeterli olacaktır. olsun. Bu durumda vardır öyle ki iken olur. Böylece
| | { } { } { { { } { }}} { } { } { } (4.16) elde edilir ki tamdır.
Tersine tam iken tam metrik uzay olduğunu göstrilecektir. { }, da bir Cauchy dizisi ise de bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan
olacak biçimde vardır. Böylece ve her için
{| | | |} (4.17)
olacak biçimde vardır. Sonuç olarak her için { }
| { }|
(4.18) olur ki tam metrik uzaydır (Matthews, 1994).
Tanım 4.1.4. bir kısmi metrik uzay olsun.
i) { }, de bir dizi olmak üzere, eğer ise { }
dizisine de bir Cauchy dizisi denir.
ii) deki her Cauchy dizisi de a yakınsak ise yani için
ise ye tam kısmi metrik uzay denir (Matthews, 1994).
Lemma 4.1.2. kısmi metrik uzay olsun. Her için
, (4.19) ile tanımlı fonksiyon metrik uzayında alttan yarısüreklidir (Matthews, 1994).
Ġspat: Kabul edelim ki, olsun. Bu durumda
yazılır. olduğundan
elde edilir
(Matthews, 1994).
4.2. Kısmi Metrik Uzayda Zayıf Büzülmeler
Tezin bu bölümünde kısmi metrik uzaylarda zayıf büzülme ve zayıf büzülme tanımları verilecek, bu büzülmeler yardımıyla yapılan sabit nokta teoremleri incelenecektir.
Tanım 4.2.1. bir kısmi metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için
(4.21) olacak şekilde ve varsa ye )-zayıf büzülme denir
(Altun ve Acar, 2012).
Kısmi metriğin simetri özelliğinden (4.21) eşitsizliği
(4.22) biçiminde elde edilir. O halde verilen bir dönüşümünün )-zayıf büzülme olduğunu göstermek için (4.21) ve (4.22) eşitsizliklerinin her ikisinin de sağlandığını gösterilmelidir.
Açıktır ki, kısmi metrik uzayda her Banach büzülme )-zayıf büzülmedir. Şimdi Kannan ve Chatterjea büzülmelerin de bir )-zayıf büzülme olduklarını gösterilecektir.
Önerme 4.2.1. bir kısmi metrik uzay ve bir Kannan dönüşümü olsun. Yani her için
olacak şekilde sayısı var olsun. Bu durumda , )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).
Ġspat: Üçgen eşitsizliği ve (4.5) eşitsizliklerini kullanarak
yazılır. Buradan { } = { = (4.24) elde edilir. Böylece elde edilen eşitsizlik düzenlenirse
(4.25)
bulunur. Sonuç olarak; ve için Kannan büzülme bir )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).
Önerme 4.2.2. bir kısmi metrik uzay ve bir Chatterjea dönüşümü olsun. Yani her için
olacak şekilde b sayısı var olsun. Bu durumda , )-zayıf büzülmedir.
Ġspat:
eşitsizliği ile (4.26) eşitsizlikleri kullanılarak
elde edilir. Bu son eşitsizlik düzenlenirse
{ }
olup, buradan
(4.27)
bulunur. Sonuç olarak; ve için Chatterjea büzülme bir )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).
Tanım 4.2.2. bir kısmi metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için
(4.28) olacak şekilde kıyaslama fonksiyonu ve varsa ye )-zayıf büzülme
Kısmi metriğin simetri özelliğinden (4.28) eşitsizliğini
(4.29) biçiminde de yazılır. O halde verilen bir dönüşümünün )-zayıf büzülme olduğunu göstermek için (4.28) ve (4.29) eşitsizliklerinin her ikisinin de sağlandığını gösterilmelidir.
Teorem 4.2.1. bir -tam kısmi metrik uzay ve kıyaslama
fonksiyonu olmak üzere bir )-zayıf büzülme olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).
Ġspat: ve her için olsun. )-zayıf büzülme
olduğundan ve için = olup, buradan (4.30)
elde edilir. Tümevarım yöntemi kullanılarak her için
bulunur. için, üçgen eşitsizliğinden
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )
elde edilir. kıyaslama fonksiyonu olduğundan ∑ serisi yakınsak olup, { } dizisi bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan { } dizisi bir noktasına yakınsar ve
dır. Diğer tarftan olduğunu göstermek için aksi kabul edilirse, yani olsun. kıyaslama fonksiyonu olduğundan, her için dir. Ayrıca
olduğundan, öyle bir vardır ki, her için
sağlanır. Böylece
olup, için limit alınırsa
(4.32) olur ki, bu bir çelişkidir. O halde kabul yanlıştır yani dır. Sonuç olarak bulunur.
Her zayıf büzülme zayıf büzülme olduğundan, aşağıdaki sonuç verilebilir (Altun ve Acar, 2012).
Sonuç 4.2.1. bir -tam kısmi metrik uzay ve )-zayıf büzülme olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).
Örnek 4.2.1. ve
{ { }
ile verilsin. Açıktır ki; , üzerinde bir kısmi metriktir ve bir tam kısmi metrik uzaydır. Ayrıca dir.
{
dönüşümünü ele alınırsa, ve için nin )-zayıf büzülme olduğunu gösterilecektir. O halde her için
{ } (4.33) olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için aşağıdaki altı durumu göz önüne alınmalıdır.
Durum 1: olsun. Bu durumda olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır. Durum 2: ve [ ) olsun. Bu durumda olup, (4.33)
eşitsizliği sağlanır.
Durum 3: ve [ ) olsun. Bu durumda
{ }
{ }
{ }
olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır.
Durum 4: [ ) ve olsun. Bu durumda
{ }
{ }
olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır.
Durum 5: [ ) ve olsun. Bu durumda
{ } { { } { }} { }
{ }
olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır.
Durum 6: [ ) ve [ ) olsun. Bu durumda
{ }
{ }
{ }
Böylece Sonuç 4.2.1. in tüm koşulları sağlanmış olup, bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012). Dikkat edilmelidir ki,
(4.34)
olup, Banach büzülme şartı sağlanmaz. Sonuç olarak Matthews in sonucu bu örnek için sağlanmaz.
Teorem 4.2.2. bir -tam kısmi metrik uzay ve zayıf büzülme
olsun. kıyaslama fonksiyonu ve olmak üzere, her için aşağıdaki şartı sağlasın.
( ) (4.35) Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).
Ġspat: Farz edelim ki; , ve gibi iki sabit noktaya sahip olsun. Eğer ise dır. Kabul edelim ki, olsun. (4.34) eşitsizliğinde ve alınırsa ( ) ( ) (4.36) olur ki, bu bir çelişkidir. O halde kabul yanlış olup, sabit nokta tektir (Altun ve Acar, 2012).
KAYNAKLAR
Altun, I. ve Acar, Ö., 2012, Fixed point theorems for weak contractions in the sense of Berinde on partial metric spaces, Topology and its Applications, 159 (10-11), 2642-2648.
Banach, S., 1922, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fund. math, 3 (1), 133-181.
Berinde, V., 2003a, Approximating fixed points of weak ϕ-contractions using the Picard iteration, Fixed Point Theory, 4 (2), 131-147.
Berinde, V., 2003b, On the approximation of fixed points of weak contractive mappings, Carpathian Journal of Mathematics, 7-22.
Berinde, V., 2004, Approximating fixed points of weak contractions using the Picard iteration, Nonlinear Analysis Forum, 43-54.
Chatterjea, S., 1972, Fixed-point theorems, Dokladi na Bolgarskata Akademiya na Naukite, 25 (6), 727.
Kannan, R., 1968, Some results on fixed points, Bull. Cal. Math. Soc., 60, 71-76.
Kocak, M., 2009, Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar, Furkan Ofset, Eskişehir, 2009.
Matkowski, J.,1977, Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point, Proc. Amer. Math. Soc. 62, 344–348.
Matthews, S. G., 1994, Partial metric topology, Annals of the New York Academy of Sciences, 728 (1), 183-197.
Rus, I. A., 1983, Generalized Contractions, Seminar on fixed point theory, Univ. Cluj-Napoca, Preprint 3, 1130, 1983.
Soykan, Y., 2008, Fonksiyonel Analiz, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara.
Zamfirescu, T., 1972, Fix point theorems in metric spaces, Archiv der Mathematik, 23 (1), 292-298.
ÖZGEÇMĠġ
KĠġĠSEL BĠLGĠLER
Adı Soyadı : Forat Mohammed Taha TAHA
Uyruğu : Irak
Doğum Yeri ve Tarihi : Kerkük – 1990 Telefon : 0545 870 5441
Faks :
e-mail : firattaha9@gmaıl.com
EĞĠTĠM
Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı
Lise : El-Waleed lisesi, Kerkük, Irak 2007-2008
Üniversite : Tikrit Üniversitesi, Tikrit, Irak 2012-2013
Yüksek Lisans :
Doktora :
Ġġ DENEYĠMLERĠ
Yıl Kurum Görevi
