T.C.
KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
METRİK TAMLIĞI KARAKTERİZE EDEN BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ
Ali ERDURAN
2012 KIRIKKALE
Matematik Anabilim Dalında Ali Erduran tarafından hazırlanan METRİK TAMLIĞI KARAKTERİZE EDEN BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı
Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.
Yrd. Doç. Dr. İshak ALTUN Danışman
Jüri Üyeleri
Başkan : Prof. Dr. Kerim KOCA ___________________
Üye (Danışman) : Yrd. Doç. Dr. İshak ALTUN ___________________
Üye : Yrd. Doç. Dr. Hakan ŞİMŞEK ___________________
18/01/2012 Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
i ÖZET
METRİK TAMLIĞI KARAKTERİZE EDEN BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ
ERDURAN, Ali Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Yrd. Doç. Dr. İshak ALTUN
Ocak 2012, 111 sayfa
Bu tez çalışmasında, Banach büzülme prensibinin metrik uzayın tamlığını karakterize eden bir genellemesi verildi. Ardından, Kannan, Chatterjea gibi bazı genelleştirmeleri incelendi. Daha sonra, Suziki sabit nokta teoreminin kapalı bağıntı yardımıyla bir genellemesi verildi.
Anahtar kelimeler: Tam Metrik Uzay, Büzülme dönüşümü, Sabit Nokta
ii ABSTRACT
SOME FİXED POİNT THEOREMS THAT CHARACTERİZES METRİC COMPLETENESS
ERDURAN, Ali Kırıkkale University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematic, M. Sc. Thesis Supervisor: Asst. Prof. Dr. İshak ALTUN
January 2012, 111 pages
In this study, a generalized Banach contraction principle that characterizes metric completeness is given. Then, some generelized versions, such as Kannan and Chatterjea were analyzed. After then we were given a fixed point theorem for single valued map in a complete metric space using implicit relation
Key Words: Complete Metric Space, Contraction mapping, Fixed Point
iii TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanmasında her türlü bilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen tez danışmanım Sayın Yrd. Doç Dr. İshak ALTUN’a, çalışmam boyunca desteğini benden esirgemeyen aileme teşekkürü bir borç bilirim.
iv
İÇİNDEKİLER DİZİNİ
Sayfa
ÖZET ... i
ABSTRACT... ii
TEŞEKKÜR ... iii
İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv
1. GİRİŞ ... 1
1.1. Kaynak Özetleri ... 5
1.2. Çalışmanın Amacı ... 6
2. MATERYAL VE YÖNTEM ... 7
2.1. Bazı Temel Tanımlar ve Kavramlar ... 7
3. ARAŞTIRMA BULGULARI ... 20
3.1. Metrik Uzaylarda Bazı Sabit Nokta Teoremleri ... 20
3.2. Suzuki Tip Sabit Nokta Teoremi ve Bazı Genelleştirmeleri ... 28
4. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 104
KAYNAKLAR ... 105
1 1. GİRİŞ
Sabit nokta teori çalışmaları bir dönüşümün sabit noktasının varlığı, varsa tekliğini ve nasıl bulunacağını inceler. boş olmayan bir küme ve , ten e tanımlı bir dönüşüm olsun. = olacak şekilde in noktalarına nin sabit noktası denir. Örneğin; = [0,1], : → , = şeklinde tanımlı fonksiyonunun
= 0, = 1 noktaları sabit noktasıdır. = (0,1], : → , = şeklinde tanımlı fonksiyonunun sabit noktası yoktur. = [0,1], : → , =
şeklinde tanımlı fonksiyonunun = 0 noktası sabit noktasıdır.
Örneklerden de anlaşılacağı üzere bir dönüşümün sabit noktasının varlığı kümenin yapısına bağlı olduğu gibi dönüşümün niteliğine de bağlıdır.
Matematiğin çeşitli dallarında = 0 veya = tipindeki denklemlerle sıkça karşılaşılır. Bu denklemleri çözmek başlı başına bir problemdir. Bunun için bazıları tam sonucu bazıları da yaklaşık sonucu veren metotlar vardır. Sabit nokta teoride bu metotlardan biridir.
Örneğin; − 10 + 16 = 0 denklemini göz önüne alalım. = 2, = 8 bu denklemin kökleridir. Bu denklemi = şeklinde de yazabiliriz. =
denirse = denklemi elde edilir. Böylece = 2, = 8, nin sabit noktalarıdır.
Bu durumda = 0 gibi bir denklemin çözüm problemi ile = − şeklinde verilen dönüşümünün sabit noktasını bulmak aynıdır.
‘ : [ , ] → [ , ] sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda = olacak şekilde en az bir ∈ [ , ] vardır.’ Teoremini Brouver 1912 yılında -boyutlu Euclid uzayına genişletmiştir. ‘ , ℝ ’de kapalı bir yuvar, : → sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda , de bir sabit noktaya sahiptir.’
2
Matematikte yukarıda bahsedilen problemler genel olarak sonsuz boyutlu uzaylarda özellikle fonksiyon uzaylarında karşımıza çıkmaktadır. Brouver’ın bu teoremi bazı ek şartlarla birlikte 1930 yılında Schauder tarafından sonsuz boyutlu uzaylara genişletilmiştir. ” bir Banach uzayı, , in kompakt, konveks altkümesi ve : → sürekli bir dönüşüm olsun. Bu durumda , de bir sabit noktaya sahiptir.”
üzerindeki kompaktlık kuvvetli bir şarttır. Metrik uzaylarda kompakt kümeler kapalı ve sınırlıdır fakat bunun tersi sonlu boyutlu uzaylarda geçerlidir. Sonsuz boyutlu uzaylarda ise kapalılık ve sınırlılık kompaktlığa yetmemektedir. Buna örnek olarak fonksiyon uzaylarında kapalı, sınırlı ve eş sürekli kümeler kompakttır. Bu nedenle yukarıdaki teoremde küme üzerindeki kompaktlık şartı Schauder’ın teoreminin ikinci versiyonu ile biraz hafifletilmiştir. “ bir Banach uzayı, , in konveks altkümesi : → sürekli ve kompakt dönüşüm olsun. Bu durumda , de bir sabit noktaya sahiptir.”
( , ) bir metrik uzay : → bir dönüşüm olsun. Her , ∈ için
( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ≥ 0 sayısı varsa, ye Lipschitz dönüşümü denir. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük sayısına nin Lipschitz sabiti denir. Lipschitz dönüşüm için,
< 1 ise dönüşümüne büzülme dönüşümü, = 1 ise Lipschitz dönüşümüne genişlemeyen dönüşüm denir. ≠ olacak şekilde ki her , ∈ için ( , ) <
( , ) oluyorsa ye büzülebilir dönüşüm denir.
Bu tanımları göz önüne aldığımızda şu sonuçları çıkarabiliriz. Her büzülme dönüşümü büzülebilir dönüşümdür. Her büzülebilir dönüşüm genişlemeyen dönüşümdür.
3
Örneğin; = [0, ∞) ve alışılmış metrik olsun. : → , = denirse her , ∈ için ( , ) = ( , ) dır. O halde bir Lipschitz dönüşümüdür.
Üstelik = < 1 olduğundan büzülme dönüşümüdür. Ayrıca büzülebilir
dönüşümdür. Eğer dönüşümünü : → , = √ + 1 şeklinde tanımlarsak.
≠ olacak şekildeki her , ∈ için
( , ) = + 1 − + 1
= √ √
√
=
√ = | || |
√
< | − | = ( , )
olduğundan büzülebilir dönüşümdür fakat büzülme değildir.
: → , = + 1 şeklinde tanımlı dönüşümü ( , ) = ( , ) olduğundan genişlemeyen dönüşümdür.
Banach sabit nokta teoremi çok önemlidir. Çünkü lineer olmayan analizde çok kuvvetli bir araçtır. Kannan sabit nokta teoremi de çok önemlidir. Çünkü Subrahmanyam 1975’te Kannan teoreminin metrik tamlığını karakterize ettiğini göstermiştir, yani tamdır ancak ve ancak üzerinde tanımlı her Kannan dönüşümü sabit noktaya sahiptir. Diğer yandan, Connell 1959 da uzayı tam olmayıp üzerinde tanımlı her büzülme dönüşümü sabit noktaya sahip olan örnek vermiştir. Bu
4
durumda Banach sabit nokta teoremi metrik tamlığını karakterize etmez. Bu yüzden Kannan teoremi bu açıdan Banach teoreminden daha kuvvetlidir.
Metrik tamlığını karakterize eden dönüşümlerden biri de Suzuki tipi dönüşümlerdir.
Tomanari Suzuki 2008 de Metrik tamlığını karakterize eden Banach büzülme prensibinin bir genellemesini şu şekilde vermiştir; “( , ) bir tam metrik uzay ve
: → bir dönüşüm olsun. : [0,1) → , 1 artmayan fonksiyonunu
( ) =
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 1 , 0 ≤ ≤ √5 − 1 2 (1 − )
, √5 − 1
2 ≤ ≤ 1
√2 1
1 + , 1
√2≤ < 1 şeklinde tanımlayalım. Her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ∈ [0,1) varsa bir tek ∈ sabit noktasına sahiptir ve her
∈ için { } dizisi ∈ noktasına yakınsar.” Ayrıca bu makalesinde Suzuki ( ) nın büzülmeyi sağlayan en iyi sabit olduğunu göstermiştir. Burada şunu da göreceğiz ki Suzuki tipi büzülme ile Kannan dönüşümleri birbirinden bağımsızdır. Yani, Kannan dönüşümü olmasına rağmen Suzuki büzülme koşullarını sağlamayabilir, aksine T dönüşümü büzülme koşulunu sağlarken Kannan dönüşümü olmayabilir. Bundan sonra Kikkawa ve Suzuki bu teoremin Kannan versiyonunu vermiştir. Daha sonra Ovidiu Popescu Chatterjea versiyonunu vermiştir. 2009 da Yusuke Enjouji, Masoto Nakanishi ve Suzuki Kannan sabit nokta teoreminin bazı genellemelerini vermiştir.
5 1.1. Kaynak özetleri :
Metrik uzay, topolojik uzay ve fonksiyonel analiz ile ilgili temel kavramları için Koçak’ın Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar, Turgut Başkan, Osman Bizim, İsmail Naci Cangül ün “Metrik Uzaylar ve Genel Topolojiye Giriş” adlı kitabı ile Soykan’ın “Fonksiyonel Analiz” adlı kitabı kullanılmıştır [1,2,3]. Banach sabit nokta, Kannan sabit nokta ve Chatterjea sabit nokta teoremleri için Agarwal, O’Regan ve Sahu’nun “Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications” adlı kitabı temel alınmıştır [4]. Daha sonra tezin asıl amacını oluşturan Suzuki sabit nokta teoremi için Suzuki’nin “A Generalized Banach Contraction Principle That Characterizes Metric Completeness” adlı makalesi temel alınmıştır [5]. Ayrıca Suzuki sabit noktanın Kannan versiyonunu Kikkawa ve Suzuki’nin
“Some similarity Between Contractions and Kannan Mappings” adlı makalesi incelenmiştir [6]. Son olarak Suzuki sabit nokta teoreminin bazı genelleştirmeleri için Kikkawa ve Suzuki’nin “Three fixed point theorems for generalized contractions with constants in complete metric spaces” adlı makalesi, Enjouji, Nakanishi, Suzuki’nin “A Generalization of Kannan’s Fixed Point Theorem” adlı makalesi, Popescu’nun “Two Fixed Point Theorems For Generalized Contractions With Constans In Complete Metric Space” ve “Fixed Point Theorems In Metric Spaces”
adlı makaleleri, Nakanishi, Suzuki’nin “An Observation On Kannan Mappings” adlı makalesi ve bu makalelerden yola çıkarak Ishak ve Ali’nin Suzuki Type Fixed Point incelenmiştir. [7, 8, 9, 10, 11,12].
6 1. 2. Çalışmanın Amacı
Tomanari Suzuki, 2008 yılında yayınladığı bir makalesinde aşağıdaki teoremi ispatlamıştır: ( , ) bir tam metrik uzay ve : → bir dönüşüm olsun. : [0,1) → ( , 1] artmayan fonksiyonunu
( ) =
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 1 , 0 ≤ ≤ √5 − 1 2 (1 − )
, √5 − 1
2 ≤ ≤ 1
√2 1
1 + , 1
√2≤ < 1 şeklinde tanımlayalım. Her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ∈ [0,1) varsa bir tek ∈ sabit noktasına sahiptir ve her ∈ için { } dizisi ∈ noktasına yakınsar. Daha sonra Suzuki’nin bu teoremi pek çok yazar tarafından genelleştirilmiş, uygulamaları yapılmış, farklı uzaylarda ispatları yapılmıştır. Bu tez çalışmasında, yapılan bu çalışmaları irdeleyerek yeni çalışmaların yapılması amaçlanmıştır.
7
2. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu bölümde ileride kullanılacak bazı tanım ve kavramlara değinilecektir.
2.1 Bazı Temel Tanımlar ve Kavramlar
2.1.1 Tanım: boş olmayan bir küme olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan bir : × → ℝ fonksiyonuna metrik, bu fonksiyonla birlikte ( , ) ikilisine de bir metrik uzay denir.
1. ∀ , ∈ için ( , ) = 0 ⇔ = , 2. ∀ , ∈ için ( , ) = ( , ),
3. ∀ , , ∈ için ( , ) ≤ ( , ) + ( , ).
Bu aksiyomlardan, 0 = ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) olduğundan her , ∈ için ( , ) ≥ 0 dır. O halde pozitif tanımlı bir fonksiyondur.
2.1.2 Tanım: (X, ) bir metrik uzay, ∈ ve > 0 bir reel sayı olsun.
B( , ) = { ∈ : ( , ) < }
kümesine merkezli yarıçaplı açık yuvar,
( , ) = { ∈ : ( , ) ≤ }
8
kümesine merkezli yarıçaplı kapalı yuvar,
( , ) = { ∈ : ( , ) = }
kümesine merkezli yarıçaplı yuvar sınırı denir.
2.1.3 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ve ⊂ olsun. Eğer ∈ için ( , ) ⊂ olacak şekilde bir ( , ) açık yuvar bulunuyor ise noktasına kümesinin bir iç noktası denir.
2.1.4 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ⊂ olsun. Her ∈ için B( , ) ⊂ olacak şekilde > 0 varsa ya -açık küme denir. Bir başka ifadeyle her noktası iç nokta olan kümeye açık küme denir.
2.1.1. Teorem: Her ( , ) metrik uzayında, ( , ) açık yuvarı bir açık kümedir.
İspat: ∈ ( , ) olsun. Bu durumda ( , ) < dur. Öyleyse : = − ( , ) >
0 olmak üzere ( , ) ⊂ ( , ) olduğunu iddia ediyoruz. ∈ ( , ) olsun. Bu durumda ( , ) < = − ( , ). Buradan
( , ) + ( , ) <
9 ve böylece
( , ) <
olduğundan ∈ ( , ) olur.
2.1.5 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ⊂ olsun. ∖ kümesi açıksa ya kapalı küme denir.
2.1.2. Teorem: Her ( , ) metrik uzayında, ( , ) kapalı yuvarı bir kapalı kümedir
İspat: = { ∈ : ( , ) > } kümesi, ( , ) = { ∈ : ( , ) ≤ } kapalı yuvarının tümleyenidir. ∈ olsun. Bu durumda ( , ) > olduğundan =
( , ) − > 0 dır. ( , ) ⊂ olduğunu iddia ediyoruz. ∈ ( , ) olsun.
Öyleyse
( , ) < = ( , ) −
olur.
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
10 < ( , ) +
olduğundan
( , ) − < ( , )
ve buradan
< ( , )
elde edilir ki bu durumda ∈ dur ve dolayısıyla ( , ) ⊂ dur. Bu durumda açık ve tümleyeni ( , ) kapalıdır.
2.1.6 Tanım: Bir ( , ) metrik uzayındaki tüm açık altkümelerinin
= { ⊂ : , − çı }
ailesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye metrik topoloji adı verilir.
2.1.7 Tanım: Bir ( , ) topolojik uzayı verilsin. Eğer metrik topolojisi olacak şekilde üzerinde bir metrik varsa bu topolojisine metriklenebilir denir.
2.1.8 Tanım: ( , ) bir metrik uzay, ∈ ve , ⊆ olsun.
11
( , ) = { ( , ): ∈ }
değerine noktasının kümesine olan uzaklığı,
( , ) = { ( , ): ∈ , ∈ }
değerine ve kümeleri arasındaki uzaklık ve
( ) = { ( , ): , ∈ }
değerine de kümesinin çapı denir. Çapı sonlu olan kümeye sınırlı küme, çapı sonlu olmayan kümeye de sınırsız küme denir.
2.1.9 Tanım: ( , ) bir metrik uzay, ( ) terimleri de olan bir dizi ve ∈ olsun. Eğer verilen her > 0 sayısına karşılık, > özelliğindeki her bir doğal sayısı için ( , ) < olacak biçimde bir ∈ ℕ varsa ( ) dizisi ∈ noktasına yakınsar denir ve
→ = veya ( ) → şeklinde gösterilir.
2.1.1 Önerme: Metrik uzayda yakınsak bir dizinin limiti tektir.
12
2.1.10 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ve ( ) de de bir dizi olsun. ≤ olmak üzere ( ) dizisine ( ) dizisinin bir alt dizisi denir.
2.1.2 Önerme: Bir ( , ) metrik uzayında bir ( ) dizisi yakınsak ise her ( ) alt dizisi de aynı noktaya yakınsar.
2.1.11 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ve ( ) de de bir dizi olsun. Eğer her > 0 için , > olduğunda ( , ) < olacak şekilde bir ∈ ℕ varsa ( ) dizisine bir Cauchy dizisi denir.
2.1.3 Önerme: Bir ( , ) metrik uzayında yakınsak olan bir ( ) dizisi Cauchy dizisidir.
2.1.4 Önerme: ( , ) metrik uzayındaki her bir Cauchy dizisi sınırlıdır.
2.1.5 Önerme: ( , ) bir metrik uzay ( ), de bir dizi ve ∑ ( , ) < ∞ olsun. Bu durumda ( ) bir Cauchy dizisidir.
İspat: , ∈ ℕ, > için
13
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , )
= ∑ ( , )
≤ ∑ ( , )
olur. ∑ ( , ) verilen serinin kalan terimi olduğundan
→ ( , ) = 0
elde edilir ki bu ( ) dizisinin Cauchy dizisi olduğunu gösterir.
2.1.1 Örnek: = (0,1), = olarak alırsak ( ) dizisi Cauchy dizisi fakat yakınsak değildir.
2.1.12 Tanım: Bir ( , ) metrik uzayındaki her Cauchy dizisi yakınsak ise bu uzaya tam metrik uzay denir.
2.1.13 Tanım: ( , ) herhangi bir metrik uzay ve = { : ⊂ } ailesi verilsin.
G ⊂ olmak üzere G ⊂ ∪
∈ oluyor ise ailesine G kümesinin bir örtüsü,
14
ailesinin her bir öğesi açık küme ise ailesine G kümesinin bir açık örtüsü denir.
Eğer ailesi sonlu ise ailesine sonlu örtü denir.
2.1.14 Tanım: ( , ) bir metrik uzay ⊂ olsun. Eğer altkümesinin her bir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü var ise kümesine kompakt küme denir. Özel olarak kompakt ise ( , ) ikilisine de kompakt metrik uzay denir.
2.1.6 Önerme: ( , ) bir metrik uzay olsun. Eğer kompakt ise ⊂ kapalı kümesi kompakttır.
2.1.15 Tanım: ( , ) bir metrik uzay, ( ) de bir dizi olsun. Her , ∈ ℕ için ( , ) < olacak şekilde > 0 sayısı varsa ( ) dizisine sınırlıdır denir. Bu tanıma denk olarak aşağıdaki ifade verilebilir.
( ) sınırlı dizidir ⟺ = { : ∈ ℕ} kümesi sınırlıdır.
2.1.4 Önerme: ( , ) bir metrik uzay ve ⊆ olsun. kapalıdır ancak ve ancak ( ), da bir dizi ve ( ) → ise ∈ dır.
15
2.1.16 Tanım: ( , ), ( , ) metrik uzaylar, : → bir fonksiyon ve ∈ olsun. Eğer ( ) noktasının her ( ( ), ) açık komşuluğu için ( ( , )) ⊆ ( ( ), ) olacak şekilde noktasının bir ( , ) açık komşuluğu varsa fonksiyonu noktasında süreklidir denir. Eğer : → fonksiyonu in her noktasında sürekli ise ye üzerinde bir sürekli fonksiyon denir.
2.1.17 Tanım: ( , ) ve ( , ) iki metrik uzay, : → herhangi bir fonksiyon ve
∈ olsun. içinde herhangi bir ( ) dizisi e yakınsak iken, içindeki ( ( )) dizisi ( ) e yakınsak ise fonksiyonuna noktasında dizisel sürekli denir.
2.1.18 Tanım: ( , ) ve ( , ) metrik uzaylar olmak üzere bire bir ve örten bir : → fonksiyonu verilsin. Eğer her , ∈ için ( , ) = ( ( ), ( )) ise fonksiyonuna bir izometri, ( , ) ve ( , ) ye de fonksiyonuna göre izometrik uzaylar denir.
2.1.19 Tanım: boş olmayan bir küme ve reel veya kompleks sayılar cismi olsun. Eğer her , , ∈ ve her , ∈ için
i. + ∈ ,
ii. + ( + ) = ( + ) + ,
16
iii. + = + = olacak şekilde ∈ var,
iv. + (− ) = (− ) + = olacak şekilde − ∈ var,
v. + = + ,
vi. ∈ ,
vii. ( + ) = + ,
viii. ( + ) = + ,
ix. ( ) = ( ),
x. 1 = 1 = . (Burada 1, nın birim elemanıdır.)
şartları sağlanıyorsa e cismi üzerinde bir Lineer uzay veya Vektör uzayı denir.
2.1.20 Tanım: , ℝ cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Her ∈ elemanını bir
‖ ‖ ∈ ℝ elemanına eşleyen ve ∈ olmak üzere,
a) ‖ ‖ = 0 ⇔ = , b) ‖ ‖ = | |‖ ‖,
c) ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖. (Üçgen eşitsizliği)
şartlarını sağlayan ‖. ‖: → ℝ fonksiyonuna bir norm ve ( , ‖. ‖) ikilisine de bir normlu uzay denir.
17
2.1.21 Tanım: Bir ( , ‖. ‖) normlu uzayında her , ∈ için ( , ) = ‖ − ‖ şeklinde tanımlanan metriğe norm metriği ve bu metrikle üretilen topolojiye de norm topolojisi denir. O halde her normlu uzay bir metrik uzay, dolayısıyla bir topolojik uzaydır.
2.1.22 Tanım: ve , boş olmayan kümesi üzerinde farklı iki metrik olsun. Eğer metriğine göre açık olan bir küme metriğine göre de açık ve metriğine göre açık olan bir küme metriğine göre açık ise ve metriklerine denk metrikler denir.
2.1.23 Tanım: Bir vektör uzayı üzerinde ‖. ‖ ve ‖. ‖ normları verilsin. Eğer bu normlar tarafından elde edilen metrikler denk ise bu normlara denk normlar denir.
2.1.24 Tanım: normlu lineer uzay olsun. Eğer norm metriğine göre tam ise uzayına Banach uzayı denir.
2.1.25 Tanım: ℝ negatif olmayan reel sayılar, ; aşağıdaki koşulları sağlayan : ℝ → ℝ sürekli fonksiyonlarının sınıfı olsun.
i. ( , , ⋯ , ) fonksiyonu , , ⋯, değişkenlerine göre artmayan, ii. ( , , , , + , 0) ≤ 0 veya
18 ( , , 0, + , , ) ≤ 0 veya ( , , , , , ) ≤ 0
ise ≤ olacak şekilde ∈ [0,1) vardır.
iii. > 0 için ( , 0,0, , , 0) > 0 sağlanır.
2.1.2 Örnek: ( , , ⋯ , ) = − , ∈ [0,1), şeklinde tanımlı fonksiyonu sürekli ve üsteki (i) − (iii) koşullarını sağladığından ∈ dir.
2.1.3 Örnek: ( , , ⋯ , ) = − ( + ), ∈ 0, şeklinde tanımlı fonksiyonu sürekli ve üsteki (i) − (iii) koşullarını sağladığından ∈ dir.
2.1.4 Örnek: ( , , ⋯ , ) = − { , }, ∈ 0, şeklinde tanımlı fonksiyonu sürekli ve üsteki (i) − (iii) koşullarını sağladığından ∈ dir.
2.1.5 Örnek: ( , , ⋯ , ) = − − , , ∈ 0, şeklinde tanımlı fonksiyonu sürekli ve üsteki (i) − (iii) koşullarını sağladığından ∈ dir.
2.1.26 Tanım: boş olmayan bir küme , : → iki fonksiyon olsun. Her ∈ için = ise ve fonksiyonlarına değişimli denir.
19
2.1.27 Tanım: boş olmayan bir küme , : → iki fonksiyon olsun.
= olacak şekildeki ∈ noktalarına çakışık nokta denir.
20
3. ARAŞTIRMA BULGULARI
3.1. Metrik Uzaylarda Bazı Sabit Nokta Teoremleri
3.1.1 Tanım: ( , ) bir metrik uzay : → bir dönüşüm olsun. Her , ∈ için
( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ≥ 0 sayısı varsa, ye Lipschitz dönüşümü denir. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük sayısına nin Lipschitz sabiti denir. Lipschitz dönüşüm için < 1 ise dönüşümüne büzülme dönüşümü, = 1 ise Lipschitz dönüşümüne genişlemeyen dönüşüm denir.
≠ olacak şekilde ki her , ∈ için ( , ) < ( , ) oluyorsa ye büzülebilir dönüşüm denir.
3.1.1. Teorem: ( , ) bir tam metrik uzay ve : → , Lipschitz sabitine sahip bir büzülme dönüşümü olsun; bu durumda bir tek ∈ sabit noktasına sahiptir, üstelik herhangi bir ∈ için { } dizisi nin bu sabit noktasına yakınsar ve ( , ) ≤ ( , ) eşitsizliği sağlanır.
21 İspat: ∈ keyfi başlangıç noktasını seçelim.
, = , = = , ⋯ , = =
şeklinde tanımlı iterasyon dizisini göz önüne alalım, bu durumda her ∈ ℕ için
( , ) = ( , )
≤ ( , )
⋮
≤ ( , )
olur. O halde > için
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , )
≤ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , )
= [ + + ⋯ + ] ( , )
= [1 + + L + ⋯ + ] ( , )
= ( , ) ∑
22 =
( , )
≤ ( , )
elde edilir. 0 ≤ < 1 olduğundan → ∞ iken limit alınırsa ( ) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu görülür. ( , ) bir tam metrik uzay olduğundan ( ) dizisi içinde bir ∈ noktasına yakınsaktır. Şimdi elemanının nin bir sabit noktası olduğunu gösterelim.
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
= ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
olup → ∞ iken limit alınırsa ( , ) = 0 elde edilir ve buradan = bulunur.
Şimdi bu sabit noktanın tek olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki ≠ olmak üzere = olacak şekilde bir ∈ var olsun. Bu durumda,
0 < ( , ) = ( , ) ≤ ( , ) < ( , )
olur ki 0 ≤ < 1 olmasıyla çelişir. Öyleyse nin sabit noktası tektir.
23
1968 de R. Kannan aşağıdaki sabit nokta teoremini ifade ve ispat etmiştir.
3.1.2. Teorem: ( , ) bir tam metrik uzay ve : → bir dönüşüm olsun. Eğer her , ∈ için
( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]
olacak şekilde 0 ≤ < sayısı varsa bir tek sabit noktaya sahiptir. Üstelik her
∈ için { } dizisi nin bu sabit noktasına yakınsar.
İspat: ∈ keyfi bir nokta olmak üzere, = = dizisini göz önüne alalım. O halde = 1,2,3, … için
( , ) = ( , )
≤ [ ( , ) + ( , )]
= [ ( , ) + ( )]
ve buradan
( , ) ≤ ( , )
24
elde edilir. = denirse, 0 ≤ < 1 dir. Böylece = 1,2, ⋯ için
( , ) ≤ ( , )
veya
( , ) ≤ ( , )
bulunur. Diğer taraftan , ∈ ℕ ve > için
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , )
≤ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , )
= (1 + + + ⋯ + ) ( , )
=
( , )
≤ ( , )
olduğundan ( ) bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan → olacak şekilde
∈ vardır. Böylece, = 1,2, ⋯ için
( , ) = ( , )
25
≤ [ ( , ) + ( , )]
= [ ( , ) + ( , )]
olur ki → ∞ için limit alınırsa , nin sabit noktası olduğu görülür. Şimdi ve , nin sabit noktaları ise,
( , ) = ( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )] = 0
elde edilir ki buradan = dir. O halde nin sabit noktası tektir. Teoremin ispatından da anlaşılacağı üzere her ∈ için ( ) dizisi nin sabit noktasına yakınsar.
3.1.3. Teorem: ( , ) bir tam metrik uzay ve : → bir dönüşüm olsun. Eğer her , ∈ için
( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]
olacak şekilde 0 ≤ < sayısı varsa bir tek sabit noktaya sahiptir.
26
İspat: ∈ keyfi bir nokta olsun. = = , = 1,2, ⋯ şeklinde tanımlı ( ) dizisini göz önüne alalım.
( , ) = ( , )
= [ ( , ) + ( , )]
= [ ( , ) + ( , )]
≤ [ ( , ) + ( , )]
olup buradan,
( , ) ≤
1 − ( , )
bulunur. Yani = < 1 olmak üzere = 1,2, ⋯ için
( , ) ≤ ( , )
≤ ( , )
⋮
≤ ( , )
27 elde edilir. Bu ise,
→ ( , ) = 0
olduğunu gösterir. ( ) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu Banach ya da Kannan teoreminde olduğu gibi gösterilebilir. tam olduğundan
→ =
olacak şekilde ∈ vardır. Yine
( , ) = ( , )
≤ [ ( , ) + ( , )]
= [ ( , ) + ( , )]
olup → ∞ için limit alınırsa,
( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )] = ( , )
olur ki bu ise ( , ) = 0 olmasıyla mümkündür. Yani , nin bir sabit noktasıdır.
Sabit noktanın tekliğini görmek kolaydır.
28
Aşağıdaki teoremlerde Suziki Banach büzülme prensibinin bir genellemesini vermiş ve metrik tamlığını karakterize etmiştir.
3.1.4. Teorem: ( , ) bir tam metrik uzay ve : → bir dönüşüm olsun.
: [0,1) → ( , 1] artmayan fonksiyonunu
( ) =
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 1 , 0 ≤ ≤ √5 − 1 2 (1 − )
, √5 − 1
2 ≤ ≤ 1
√2 1
1 + , 1
√2≤ < 1
şeklinde tanımlayalım. Her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ∈ [0,1) varsa bir tek ∈ sabit noktasına sahiptir ve her
∈ için { } dizisi ∈ noktasına yakınsar. [5]
İspat: ( ) ≤ 1 olduğundan her ∈ için ( ) ( , ) ≤ ( , ) olup hipotezimizden her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (1)
29
elde edilir. Sabit bir ∈ noktasını göz önüne alalım ve üzerinde = şeklinde bir ( ) dizisi tanımlayalım. Bu durumda (1) den
( , ) = ( , ) ≤ ( , )
≤ [ ( , )]
= ( , )
⋮
≤ ( , )
elde edilir. Böylece ∑ ( , ) < ∞ olduğundan ( ) bir Cauchy dizisidir.
tam olduğundan ( ) dizisi bir ∈ noktasına yakınsar. Şimdi her ∈ ∖ { } için
( , ) ≤ ( , ) (2)
olduğunu gösterelim. ∈ ∖ { } için ( , ) > 0 ve → olduğundan ≥ için ( , ) ≤ ( , ) olacak şekilde bir ∈ ℕ vardır. Bu durumda
( ) ( , ) ≤ ( , ) = ( , )
≤ ( , ) + ( , )
30
≤ ( , ) = ( , ) − ( , )
≤ ( , ) − ( , )
≤ ( , )
elde edilir ki hipotezimizden ≥ için
( , ) ≤ ( , ) (3)
bulunur. → ∞ için limit aldığımızda
( , ) ≤ ( , )
elde edilir. Yani, (2) yi göstermiş oluruz. Şimdi sabit noktanın varlığını gösterelim.
Her ∈ ℕ için ≠ olduğunu kabul edelim. Bu durumda (2) den ∈ ℕ için
, = ( , )
≤ ,
⋮
31
≤ ( , )
elde edilir. Şimdi üç durum incelemeliyiz.
i. 0 ≤ ≤√ olsun. Bu durumda + − 1 ≤ 0, 2 < 1 dir. Böylece ( , ) < ( , ) olduğunu kabul edersek,
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
< ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
≤ ( + ) ( , )
≤ ( , )
bulunur ki bu bir çelişkidir. Öyleyse ( , ) ≥ ( , ) = ( , ) dir.
Hipotezimiz ve (2) den
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
32
≤ ( , ) + ( , )
≤ 2 ( , )
< ( , ).
elde edilir ki bu bir çelişkidir.
ii. √ ≤ ≤
√ olsun. Bu durumda 2 < 1 dir. ( , ) < ( ) ( , ) olduğunu kabul edersek
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
< ( ) ( , ) + ( , )
≤ ( ) ( , ) + ( , ) = ( , )
elde edilir ki bu bir çelişkidir. Öyleyse ( , ) ≥ ( ) ( , ) dır. Bir önceki durum gibi ( , ) ≤ 2 ( , ) < ( , ) dır. Bu da bir çelişkidir.
iii.
√ ≤ < 1 olsun. Şimdi her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , )
33 veya
( ) ( , ) ≤ ( , )
sağlandığını iddia edelim. Kabul edelim ki ( ) ( , ) > ( , ) ve ( ) ( , ) > ( , ) olsun. Bu durumda
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
< ( ) ( , ) + ( ) ( , )
≤ ( )( ( , ) + ( , ))
≤ ( , )
olur ki bu bir çelişkidir. Her ∈ ℕ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) veya ( ) ( , ) ≤ ( , )
olduğundan
( , ) ≤ ( , ) veya ( , ) ≤ ( , )
vardır. ( ) dizisi ∈ noktasına yakınsak olduğundan üsteki eşitsizlikten ( ) dizisinin ye yakınsak bir alt dizisi vardır. Bu = olmasını gerektirir. Bu bir
34
çelişkidir dolayısıyla en az bir ∈ ℕ için = dır. ( ) dizisi Cauchy dizisi olduğundan = dır. Sabit noktanın tekliğini görmek (2) den kolaydır.
Aşağıdaki teorem her ∈ [0,1) için ( ) nin en iyi sabit olduğunu gösterir.
3.1.5. Teorem: Teorem 3.1.4 deki fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda her
∈ [0,1) için bir ( , ) tam metrik uzayı ile her , ∈ için
( ) ( , ) < ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , )
özelliğini sağlayan ve hiçbir sabit noktaya sahip olmayan bir : → dönüşümü vardır. [5]
İspat:
i. 0 ≤ ≤√ olsun. ℝ öklid uzayının = {−1,1} alt uzayının tam olduğu
açıktır. üzerinde fonksiyonunu her ∈ için = − şeklinde tanımlayalım. Bu durumda sabit noktaya sahip değildir ve her , ∈ için
( ) ( , ) = 2 ≥ ( , ) dir.
ii. √ ≤ ≤
√ olsun ve = 0, = 1, = 1 − , ≥ 3 için = (1 − − )(− ) olmak üzere ℝ Öklid uzayının = { : ∈ ℕ ∪ {0}}
şeklindeki bir tam alt uzayını göz önüne alalım. Ayrıca her ∈ ℕ ∪ {0} için
= şeklinde tanımlı fonksiyonu üsteki tüm koşulları sağlar.
35 iii.
√ ≤ < 1 olsun. Her ∈ ℕ ∪ {0} için = (1 − )(− ) olacak şekilde ℝ Öklid uzayının = {0,1} ∪ { : ∈ ℕ ∪ {0}} tam alt uzayını göz önüne alalım.
0 = 1, 1 = , her n ∈ ℕ ∪ {0} için = şeklinde fonksiyonunu tanımlayalım.
= 0, = 1 olarak alırsak
( 0, 1) = ( − 1) = 1 − ( − 1) = = (0,1)
elde edilir.
Her ∈ ℕ ∪ {0} için = 0, = olarak alırsak
( ) (0, 0) ≥ ( ) ( , ) = (0, )
elde edilir.
Her , ∈ ℕ ∪ {0} için = , = olarak alırsak
( , ) = ( , ).
Ayrıca her ∈ ℕ ∪ {0} için = 1, = olarak alırsak
36
( 1, ) − (1, ) = 1 − 2 − 2(− ) − 2(− )
≤ 1 − 2 + 2 − 2( )
= 1 − 2 + 2 (1 − )
≤ 1 − 2 + 2 (1 − )
= 1 − 2 ≤ 0.
Bu durumda ispat tamamlanır.
Suziki tip büzülme dönüşümleri alışılmış büzülmeyi sağlar, fakat Suziki tip büzülmeler ve Kanan dönüşümleri bağımsızdır. Aşağıdaki buna örnektir.
3.1.1. Örnek: = {(0,0), (4,0), (0,4), (4,5), (5,4)} üzerinde metriğini
( , ), ( , ) = | − | + | − |
şeklinde tanımlayalım. ( , ) metrik uzayının tam olduğu açıktır. üzerinde fonksiyonunu
( , ) = ( , 0) , ≤ (0, ) , >
37
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda Teorem 3.1.4 deki koşulları sağlar fakat Kannan dönüşümü değildir. [5]
İspat: Eğer ( , ) ≠ (4,5), (5,4) ve ( , ) = ((4,5), (5,4)) ise ( , ) ≤ ( , ) dir. Her ∈ [0,1) için ( ) (4,5), (4,5) > > 2 = ((4,5), (5,4)) ve ( ) (5,4), (5,4) > ((5,4), (4,5)) olduğundan Teorem 2 de ki koşulu sağlar fakat,
(5,4), (4,5) = 8 > 5 =1
2( ((4,5), (4,5)) + ((5,4), (5,4)))
olduğundan Kannan dönüşümü değildir.
3.1.2. Örnek: = {−1, 0, 1, 2} üzerinde alışılmış metrik ile birlikte tam metrik uzay olmak üzere üzerinde fonksiyonunu
= 0 , ≠ 2
−1 , = 2
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda Kannan dönüşümüdür fakat, Teorem 3.1.4 deki koşulları sağlamaz. [5]
38 İspat: Her ∈ için
( , 2) ≤ 1 =1
3 ( 2,2) ≤1
3[ ( , ) + ( 2,2)]
olduğundan Kannan dönüşümüdür. Fakat her ∈ [0,1) için
( ) ( 1,1) ≤ 1 = (2,1)
ve
( 1, 2) = 1 = (1,2)
olduğundan Teorem 3.1.4 deki koşulları sağlamaz.
3.1.1. Lemma: ( , ) bir metrik uzay ve : → bir fonksiyon olsun. ∈ , bir
∈ [0,1) için ( , ) ≤ ( , ) sağlansın. Bu durumda ∈ için ( , ) ≤ ( , ) veya ( , ) ≤ ( , ) vardır.
İspat: ( , ) > ( , ) ve ( , ) > ( , ) sağlandığını iddia edelim. Bu durumda
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
39
< ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , ) = ( , ) elde edilir ki bu bir çelişkidir.
3. 1.6 Teorem: ( , ) tam metrik uzay ve , üzerinde tanımlı bir dönüşüm olsun.
: [0,1) → ( , 1] artmayan fonksiyonunu
( ) =
⎩
⎨
⎧ 1 , 0 ≤ < 1
√2 1
1 + , 1
√2≤ < 1
şeklinde tanımlayalım ve ∈ 0, için ≔ ∈ [0,1) olarak alalım. Her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]
ise bir tek ∈ sabit noktasına sahiptir ve her ∈ için
→ =
sağlanır. [6]
İspat: ( ) ≤ 1 olduğundan ( ) ( , ) ≤ ( , ) sağlanır. Bu durumda kabulümüzden
40
( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]
≤ ( , ) = ( , )
elde edilir ki buradan her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (4)
elde edilir. ∈ noktasını göz önüne alalım. = , her ∈ ℕ için = şeklinde ( ) dizisini tanımlayalım. (4) ten
( , ) = ( , ) ≤ ( , )
≤ ( , )
⋮
≤ ( , ) = ( , )
elde edilir. ∑ ( , ) ≤ ∑ ( , ) < ∞ olduğundan ( ) dizisi Cauchy dizisidir. tam olduğundan → olacak şekilde ∈ vardır. Şimdi
∈ ∖ { } için
( , ) ≤ ( , ) (5)
41
olduğunu göstereceğiz. ( , ) > 0 ve → olduğundan her ∈ ℕ, ≥ için ( , ) ≤ ( , ) olacak şekilde bir ∈ ℕ vardır.
( ) ( , ) ≤ ( , ) = ( , )
≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ) = ( , ) − ( , )
≤ ( , ) − ( , ) ≤ ( , )
ve dolayısıyla her ∈ ℕ, ≥ için
( , ) ≤ [ ( , ) + ( , )]
elde edilir. Bu durumda ∈ ∖ { } için
( , ) =
→ ( , ) =
→ ( , )
≤
→ [ ( , ) + ( , )]
= ( , )
42 dır. Şimdi = olduğunu gösterelim.
i. 0 ≤ <
√ olsun. Kabul edelim ki T ≠ . Bu durumda (5) ten
( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
ve dolayısıyla
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
= ( , )
< ( , ) = ( , )
elde edilir ki bu bir çelişkidir. Bundan dolayı = dir.
ii. √ ≤ < 1 olsun. Lemma 3.1.1 den her ∈ ℕ için
( ) ( , ) ≤ ( , )
veya
43
( ) ( , ) ≤ ( , )
sağlanır. Bu durumda ( ) nin ( ) alt dizisi vardır ve her ∈ ℕ için
( ) ( , ) ≤ ( , )
sağlanır. Kabulümüzden
( , ) =
→ ( , )
≤
→ , + ( , )
= ( , )
< 1 olduğundan = elde edilir. Böylece her iki durum içinde , nin sabit noktası olur. Sabit noktanın tekliği (5) ten açıktır.
Aşağıdaki teorem her için ( ) nin en iyi sabit olduğunu gösterir.
3. 1.7 Teorem: Teorem 3.1.6 deki gibi fonksiyonunu tanımlayalım. Her
∈ [0, ) için = olarak alalım. Her ∈ [0,1) için bir ( , ) tam metrik uzayı ile
( ) ( , ) < ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , ) + ( , ).
44
özelliğini sağlayan ve hiçbir sabit noktası olmayan bir : → dönüşümü vardır. [6]
İspat:
i. 0 ≤ ≤
√ olsun. ℝ öklid uzayının = {−1,1} alt uzayının tam olduğu açıktır.
üzerinde fonksiyonunu her ∈ için = − şeklinde tanımlayalım. Bu durumda sabit noktaya sahip değildir ve her , ∈ için
( ) ( , ) = 2 ≥ ( , )
sağlanır.
ii. √ ≤ ≤ 1 olsun. Her ∈ ℕ ∪ {0} için = (1 − )(− ) şeklinde ℝ Öklid uzayının = {0,1} ∪ { : ∈ ℕ ∪ {0}} tam alt kümesini tanımlayalım. 0 = 1, 1 = , her ∈ ℕ ∪ {0} için = şeklinde fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır.
= 0, = 1 olarak alırsak
( 0, 1) = = ( 0,0) + ( 1,1)
sağlanır.
45
Her ∈ ℕ ∪ {0} için = 0, = olarak alırsak,
( ) (0, 0) ≥ ( ) ( , ) = (0, )
sağlanır.
Her , ∈ ℕ ∪ {0} için = , = olarak alırsak,
( , ) ≤ (0, ) + (0, )
= , , + ( , )
elde edilir. Ayrıca her ∈ ℕ ∪ {0} için = 1, = olarak alırsak,
( 1, ) ≤ (0, 1) + (0, )
olduğundan eşitsizliğin her iki yanından [ ( 1,1) + ( , )] çıkarılırsa
( 1, ) − [ ( 1,1) + ( , )] ≤ (0, 1) − ( 1,1)
= ≤ 0
elde edilir.
46
Şimdi Teorem 3.1.6 nın daha genel bir halini vereceğiz.
3. 1.8 Teorem: Teorem 3.1.4 deki gibi fonksiyonunu tanımlayalım. ( , ) tam metrik uzay ve , üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Her , ∈ için
( ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
olacak şekilde ∈ [0,1) varsa bir tek ∈ sabit noktaya sahiptir ve her ∈ için
→ = dir. [6]
İspat: ( ) ( , ) ≤ ( , ) olduğundan hipotezimiz gereği
( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
ve dolayısıyla her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (6)
elde edilir. Bir = noktasını göz önüne alalım. Her ∈ ℕ için = olacak şekilde bir ( ) dizisi tanımlayalım. Teorem 3.1.6 nin ispatındaki gibi ( ) dizisinin bir ∈ noktasına yakınsadığı ispatlanabilir. Her ∈ ∖ { } için
47
( , ) ≤ ( , ) (7)
olduğunu gösterelim. → olduğundan yeterince büyük ler için
( ) ( , ) ≤ ( , )
sağlanır. Dolayısıyla kabulümüzden ∈ ∖ { } için
( , ) =
→ ( , ) =
→ ( , )
≤
→ { ( , ), ( , )}
= ( , ).
Şimdi nin nin bir sabit noktası olduğunu gösterelim.
i. 0 ≤ ≤
√ olsun. Bu durumda ( ) ≤ sağlanır. ≥ 2 olacak şekilde ki
∈ ℕ için
( , ) ≤ ( , ) (8)
olduğunu tüme varım yoluyla gösterelim. = 2 için
48
( , ) ≤ ( , ) (9)
olduğundan (6) gereği (9) vardır. ≥ 2 olacak şekildeki bazı ∈ ℕ için
( , ) ≤ ( , )
olduğunu kabul edelim.
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
olduğundan
( , ) ≤ 1
1 − ( , )
elde edilir. Dolayısıyla
( ) ( , ) ≤1 −
( , )
≤ ( , )
≤ (1 − ) ( , ) ≤ ( , )
49 olduğundan hipotezimiz gereği
( , ) ≤ { ( , ), ( , )} = ( , ).
Böylece tüme varım yöntemiyle (8) in var olduğunu göstermiş olduk. ≠ olduğunu kabul edelim. Öyleyse her ∈ ℕ için (8) den ≠ dir. Bu durumda (7) den
( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
elde edilir. Bu → olmasını gerektirir ki bu durum (8) ile çelişir. Öyleyse kabulümüz yanlıştır. Yani = dir.
ii. √ ≤ < 1 olsun. Teorem 3.1.7 ispatında olduğu gibi ∈ ℕ için
( ) ( , ) ≤ ( , )
olacak şekilde ( ) nin bir ( ) alt dizinin var olduğu gösterilebilir.
Kabulümüzden
( , ) =
→ ( , )
≤
→ , , ( , )
50 = ( , )
elde edilir. < 1 olduğundan üsteki eşitsizlik = olmasını gerektirir.
Böylece her iki durum içinde sabit noktanın varlığını göstermiş olduk. Sabit noktanın tekliğini (7) den görmek kolaydır.
Aşağıdaki teorem ( ) nin en iyi sabit olduğunu gösterir.
3. 1.9 Teorem: Teorem 3.1.4 deki fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda her
∈ [0,1) için bir ( , ) tam metrik uzayı ile
( ) ( , ) < ( , ) ⇒ ( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
özelliğini sağlayan ve hiçbir sabit noktaya sahip olmayan bir : → dönüşümü vardır. [6]
İspat: 0 ≤ ≤√ veya
√ ≤ < 1 durumunda ( ) = ( ) olduğundan tüm sonuçlar gösterilmiştir. Bu yüzden √ < <
√ durumunu kabul edelim. ℝ Öklid
uzayının = 0, = 1, = 1 − , ≥ 3 için = (1 − − )(− ) ,
= { : ∈ ℕ} şeklinde tanımlı altkümesinin tam olduğu açıktır. üzerinde ∈ ℕ için = şeklinde fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda aşağıdaki ifadeler vardır.
51
= , = aldığımızda
( , ) = | − | = |1 − (1 − )| =
= ( , ) = { ( , ), ( , )}
= , = aldığımızda
( ) ( , ) ≥ ( ) ( , ) =1 −
|1 − − (1 − − )|
= (1 − ) = ( , )
= , = aldığımızda ≥ 3 için
( ) ( , ) ≥ ( ) ( , ) =1 −
|(1 − − )(− ) (1 + )|
= [(1 − 2 − )(− ) )]
= (1 − − )(− )
= ( , )
dır.
52
= , = aldığımızda
( , ) = | − | = |1 − − (1 − − )| = = ( , )
≤ ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
olduğundan aşağıdaki ifadeler vardır.
= , = aldığımızda ≥ 3 için
( , ) = | − | < ( , ) = |1 − − (1 − − )|
= = ( , ).
= , = aldığımızda ≥ 3 için
( , ) − ( , ) ≤ ( , ) − = 2 − 1 ≤ 0.
= , = aldığımızda 3 ≤ < için
( , ) ≤ ( , ) = ( , ).
Böylece ispat tamamlanır.
53
3. 1.2 Lemma: ≤ , ≤ olacak şekilde dört reel sayı olsun. Bu durumda
+ ≤ + dir. [7]
İspat: ≤ ⇒ 0 ≤ − dir. ≤ eşitsizliğinin her iki yanını − ile çarpalım bu durumda
( − ) ≤ ( − )
⇒ − ≤ −
⇒ + ≤ + .
△= {( , ): ≥ 0, ≥ 0, + < 1} üçgensel bölgesini
△ = {( , ) ∈△: ≤ , + + < 1}
△ = {( , ) ∈△: ≥ , + + < 1}
△ = {( , ) ∈△: ≥ , + + ≥ 1}
△ = {( , ) ∈△: ≤ , + + ≥ 1}
54
bölgelere bölebiliriz. Bu durumda yukarıda verdiğimiz Teoremi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
3.1. 10 Teorem: :△→ ( , 1] artmayan fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.
( , ) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 1 , ( , ) ∈△
1 , ( , ) ∈△
1 − , ( , ) ∈△
, ( , ) ∈△
(10)
, ( , ) metrik uzayı üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Her , ∈ için
( , ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
sağlayan ( , ) ∈△ varsa dönüşümü ∈ sabit noktasına sahiptir. Üstelik her
∈ için
→ = dir. [7]
İspat: ≔ ∈ [0,1), ≔ ∈ [0,1) (11) şeklinde alalım. ( , ) ≤ 1 olduğundan her ∈ için
( , ) ( , ) ≤ ( , )
olup hipotezimizden
55
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , )
sağlanır ve dolayısıyla her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (12)
elde edilir. ( , ) ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) olduğundan
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , )
elde edilir buradan her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (13)
dır. Bir ∈ noktasını göz önüne alalım ve her ∈ ℕ için = şeklinde bir ( ) dizisi tanımlayalım. Bu durumda (12) den
( , ) = ( , ) ≤ ( , )
56 ≤ ( , )
⋮
≤ ( , )
elde edilir. Buradan da
( , ) ≤ ( , ) < ∞
olduğundan ( ) Cauchy dizisidir. tam olduğundan → olacak şekilde z ∈ vardır. Şimdi her ∈ ∖ { } için
( , ) ≤ ( , ) (14)
olduğunu göstereceğiz. ( ) yakınsak olduğundan yeterince büyük ler için
( , ) ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
ve dolayısıyla = , = alarak ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) olur ki bu yüzden her ∈ ∖ { } için
( , ) =
→ ( , ) =
→ ( , )
57 ≤
→ ( , ) + ( , ) = ( , )
(14) ile
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
ve buradan her ∈ ∖ { } için
(1 − ) ( , ) ≤ ( , ) (15)
elde edilir. Şimdi ∈ noktasının nin sabit noktası olduğunu gösterelim
i. ( , ) ∈△ ve ≠ olsun. Bu durumda
( , ) ≤ ( , ) < ( , ) =
→ ( , )
elde edilir. Öyleyse yeterince büyük ∈ ℕ için
( , ) ( , ) = ( , ) ≤ ( , )
sağlanır ve dolayısıyla
( , ) =
→ ( , )
58 ≤
→ [ ( , ) + ( , )]
= ( , )
elde edilir. Bu durumda
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ (1 + ) ( , )
≤ (1 + ) ( , )
= ( , )
< ( , )
bu bir çelişkidir. Buradan = dır.
ii. ( , ) ∈△ ve ≠ olsun. Öyleyse
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ (1 + ) ( , )
59
≤ (1 + ) ( , )
= ( , )
< ( , )
bu bir çelişkidir. Bu yüzden = dir.
iii. ( , ) ∈△ durumunda aşağıdaki iki durumu kabul edelim.
1. = olacak şekilde en küçük iki tane doğal sayısı vardır.
2. Yeterince büyük ler için ≠ dir.
1. Durumu: ≠ olduğunu kabul edelim. Öyleyse ( ) Cauchy değildir. Bu durumda = olur.
2. Durumu: (15) ile yeterince büyük ∈ ℕ ler için ( , ) ( , ) ≤ ( , ) dir. Kabulümüzden
( , ) =
→ ( , )
≤ → ( , ) + ( , )
= ( , ).
< 1 olduğundan = dir.
60
iv. ( , ) ∈△ ve bu bölgede ( ) = olsun. Lemma 3.1.1 ile her ∈ ℕ için
( , ) ( , ) ≤ ( , ) veya ( , ) ( , ) ≤ ( , )
Bu durumda ( ) nin ( ) alt dizisi vardır öyle ki ∈ ℕ için
( , ) ( , ) ≤ ( , )
elde edilir. Kabulümüzden
( , ) =
→ ( , )
≤
→ , + ( , )
= ( , )
< 1 olduğundan = dır. Bu durumda tüm durumlar için nin nin sabit noktası olduğunu göstermiş olduk. (14) ten sabit noktanın tekliği kolayca görülür.
Bu kısımda her ( , ) ∈△ için ( , )nın en iyi sabit olduğunu ispatlayacağız.
3.1. 11 Teorem: Teorem 3.1.10 deki gibi fonksiyonu tanımlayalım. Her ( , ) ∈△
için bir ( , ) tam metrik uzayı ile her , ∈ için
( , ) ( . ) < ( , ) ⇒ ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
61
özelliğini sağlayan ve hiçbir sabit noktaya sahip olmayan bir : → dönüşümü vardır. [7]
İspat: ve yi (11) deki gibi alalım.
i. ( , ) ∈△ ∪△ olsun. ℝ Öklid uzayının = {−1,1} şeklinde tanımlı altkümesinin tam olduğu açıktır. üzerinde fonksiyonunu her ∈ için
= − şeklinde tanımlayalım. sabit noktaya sahip değildir ve , ∈ için
( , ) ( , ) = 2 ≥ ( , ) sağlanır.
ii. ( , ) ∈△ ve ≔ ∈ (0,1) olarak alalım. Bu durumda ( , )(1 + ) = 1
dır. ℝ Öklid uzayının = { : ∈ ℕ ∪ {0}}, ∈ ℕ ∪ {0} için = (1 − )(− ) şeklinde tanımlı altkümesinin tam olduğu açıktır. kümesi üzerinde 0 = 1, 1 = , her ∈ ℕ ∪ {0} için = şeklinde fonksiyonunu tanımlayalım. Öyleyse
= 0, = 1 olarak alırsak
( , ) (0, 0) < (0,1)
olduğundan
( 1, 0) = = ( 1,1) + ( 0,0) ≤ ( 0,0) + ( 1,1)
62 elde edilir.
Her ∈ ℕ ∪ {0} için = 0, = alırsak
( , ) (0, 0) > ( , ) ( , )
= (1 − ) = (0, )
elde edilir
( , 1) − [ ( , ) + ( 1,1)]
= (1 − ) 1 − (− ) − −
≤ (1 − ) 1 − + (1 − ) 1 −
≤ 0
bu durumda ∈ ℕ ∪ {0} için
( , 1) ≤ ( , ) + ( 1,1) ≤ ( 1,1) + ( , )
elde edilir. , ∈ ℕ ∪ {0} < için
63
( , ) − [ ( , ) + ( , )]
= (1 − )(|(− ) − (− ) | − − )
≤ (1 − )( + − − ) ≤ 0
olduğundan
( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
elde edilir.
iii. ( , ) ∈△ olsun. Bu durumda ( , )(1 + ) = 1 ve ≥ 2 > dır. ℓ∞; ℕ den ℝ ye tanımlı tüm fonksiyonların sınıfı olsun. ‖ ‖ ≔ sup| ( )| < ∞ normu
ile birlikte (ℓ∞, ‖. ‖) Banach uzayıdır. ℓ∞ un kanonik tabanı { } olsun. ℓ∞ uzayının her ∈ ℕ ∪ {0} için = (1 − ) [ − ], = {0, } ∪ : ∈ ℕ ∪ {0} şeklinde tanımlı altkümesinin tam olduğu açıktır. Bu durumda her , ∈ ℕ ∪ {0}, < için
( , ) = (1 − ) , + 1 =
(1 − ) , + 1 <
64
sağlanır. Ayrıca 0 = , = , her ∈ ℕ ∪ {0} için = şeklinde üzerinde fonksiyonunu tanımlayalım. Öyleyse
( 0, ) = = ( 0,0) + ( , )
≤ ( , ) + ( 0,0)
elde edilir. ∈ ℕ ∪ {0} için
( , ) ( 0,0) > ( , ) ( , ) = (1 − ) = (0, ).
( , ) − [ ( , ) + ( , )] = (1 − )(1 − 2 ) ≤ 0
olduğundan
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
dır. + + ≥ 1 olduğundan ∈ ℕ için
( , ) = 1 − ≤ = ( , )
< ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
65 elde edilir. Her ∈ ℕ ∪ {0} için
( , ) = (1 − ) = ( , ) + ( , )
≤ ( , ) + ( , )
dır. , ∈ ℕ ∪ {0}, + 1 < için
( , ) ( , ) = (1 − ) = ( , ),
( , ) − [ ( , ) + ( , )] < ( , ) − ( , )
= (1 − ) − (1 − )
= (1 − )( − ) ≤ 0.
olur ki bu ispatı tamamlar.
△= [0,1) alalım. △ nın bir çok alt kümesini tanımlayabiliriz.
△ = {( , ) ∈△: + < 1 + < 1}
△ = {( , ) ∈△: ≥ ,√ ≤ ≤
√ }
66 △ = {( , ) ∈△: ≥ ,
√ ≤ < 1}
△ = {( , ) ∈△: ≤ ,√ ≤ ≤
√ , ≤ − + 1}
△ = {( , ) ∈△:√ ≤ ≤
√ , − + 1 ≤ ≤ 1 − }
△ ∗= {( , ) ∈△:√ ≤ ≤
√ , 1 − ≤ }
△ ∗∗= {( , ) ∈△: ≤ ,
√ ≤ < 1}
△ =△ ∗∪△ ∗∗
3.1. 12 Teorem: :△→ ( , 1] artmayan fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.
( , ) =
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧ 1 , ( , ) ∈△
(1 − )
, ( , ) ∈△
1
1 + , ( , ) ∈△
(1 − )
, ( , ) ∈△
(1 − )
, ( , ) ∈△
1
1 + , ( , ) ∈△
Biçimlendirilmiş: Yazı tipi: 12 nk
67
, ( , ) tam metrik uzayı üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Her , ∈ için
( , ) ( , ) ≤ ( , ) ⇒ ( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
olacak şekilde ( , ) ∈△ varsa bir tek ∈ sabit noktaya sahiptir ve her
∈ için
→ = dır.
İspat: ≔ { , } ∈ [0,1) olarak alalım. ( , ) ≤ 1 olduğundan ( , ) ( , ) ≤ ( , ) sağlanır. Hipotezimizden
( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
elde edilir. Buradan her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (16)
olur.
( , ) ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
olduğundan
68
( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
olur ve buradan her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (17)
elde edilir. (16), (17) den her ∈ için
( , ) ≤ ( , ) (18)
elde edilir. Şimdi ∈ noktasını göz önüne alalım, ∈ için = olarak alırsak (18) den
( , ) ≤ ( , ) < ∞
elde ederiz ki ve buradan ( ), üzerinde bir Cauchy dizisi olduğunun görürüz.
tam olduğundan → olacak şekilde bir ∈ vardır. Şimdi ∈ ∖ { } için
( , ) ≤ ( , ) (19)
olduğunu gösterelim. → olduğundan yeterince büyük ∈ ℕ için
( , ) ( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
69 sağlanır ve buradan
( , ) ≤ { ( , ), ( , )}
elde edilir. Bu durumda her ∈ ∖ { } için
( , ) =
→ ( , ) =
→ ( , )
≤
→ { ( , ), ( , )}
= ( , ).
Böylece her ∈ ∖ { } için (19) un olduğunu göstermiş olduk. Şimdi ∈ in nin sabit noktası olduğunu gösterelim.
i. ( , ) ∈△ ve ≠ olsun. Bu durumda + < 1 dir. Öyleyse
( , ) ≤ ( , ) < ( , ) =
→ ( , )
sağlanır. Yeterince büyük ∈ ℕ için
( , ) ( , ) ≤ ( , )
dır ve buradan
70
( , ) =
→ ( , )
≤
→ { ( , ), ( , )}
= ( , )
(19) u ve bu eşitsizliği kullanarak,
( , ) ≤ ( , )
elde ederiz. Buradan
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ (1 + ) ( , )
≤ ( + ) ( , ) < ( , )
olur ki bu bir çelişkidir. Bu yüzden = olur.
ii. ( , ) ∈△ olsun. ∈ ℕ, ≥ 2 için
( , ) ≤ ( , ) (20)
71
olduğunu tümevarım metoduyla gösterelim. = 2 olduğunda, (17) den (20) vardır. ≥ 2 olacak şekildeki bazı ler için (20) in var olduğunu kabul edelim.
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ 1
1 − ( , )
olduğundan
( , ) ( , ) =1 −
( , ) ≤1 −
( , )
≤ (1 − ) ( , ) ≤ ( , )
elde edilir. Kabulümüzden
( , ) ≤ { ( , ), ( , )} = ( , )
elde ederiz. Bu durumda = + 1 olduğunda (20) vardır. Böylece ≥ 2 için (20) in var olduğunu tümevarım yoluyla göstermiş olduk. ≠ olduğunu kabul edelim. Öyleyse (20) den ≠ dır. (19) u kullanarak,
( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , )
elde ederiz ki bu
→ = olmasını gerektirir. Bu da (20) ile çelişir. Öyleyse
= dir.
72
iii. ( , ) ∈△ ∪△ olsun. Bu durumda ( , ) = { , } sağlanır. ∈ ℕ ≥ 3 için (20) in var olduğunu tümevarım yoluyla gösterelim. (16) yı kullanırsak
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ 1
1 − ( , )
sağlanır. Buradan
( , ) ( , ) ≤1 −
( , ) ≤ (1 − ) ( , ) ≤ ( , )
elde ederiz. Kabulümüzden
( , ) ≤ { ( , ), ( , )} = ( , )
dır. Bu durumda = 3 için (20) vardır. ≥ 3 olacak şekildeki bazı ler için (20) nin var olduğunu kabul edelim. Bu durumda
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
≤ ( , ),
( , ) ( , ) ≤1 −
( , )
73
≤ (1 − ) ( , )
≤ (1 − ) ( , ) ≤ ( , )
elde edilir. Kabulümüzden
( , ) ≤ { ( , ), ( , )} = ( , )
dır. Bu durumda = + 1 içinde (20) in var olduğunu gösterdik. Öyleyse ( , ) ∈△ durumunda olduğu gibi = olduğunu gösterebiliriz.
iv. ( , ) ∈△ ∪△ olsun. Bu durumda ( , ) = dir. Lemma 3.1.1 den her
∈ ℕ için ( , ) ( , ) ≤ ( , ) veya ( , ) ( , ) ≤
( , ) vardır. Buradan her ∈ ℕ için ( , ) ( , ) ≤ , olacak şekilde ( ) nin ( ) altdizisi vardır. Kabulümüzden
( , ) =
→ ,
≤
→ , , ( , )
= ( , ).
74
elde edilir ki < 1 olduğundan = dir. (19) dan nin bir tek olduğu kolayca görülür.
Bu kısımda her ( , ) ∈△ için ( , ) nın en iyi sabit olduğunu göstereceğiz.
3.1. 13 Teorem: Teorem 3.1.12 deki gibi fonksiyonu tanımlayalım. Her ( , ) ∈△
için ( , ) tam metrik uzayı ile
( , ) ( , ) < ( , ) ⇒ ( , ) ≤ { ( , ), ( , )}.
özelliğini sağlayan ve hiçbir sabit noktaya sahip olmayan bir : → fonksiyonu vardır.
İspat: Teorem 3.1.4 kullanılarak, ( , ) ∈△∖△ ∪△ ∗ durumundaki sonuçlar ispatlanabilir. Bu yüzden ( , ) ∈△ ∪△ ∗ olduğunu kabul edelim. Bu durumda1 ≤
+ ve + < 1 sağlanır. Ayrıca ( , ) = , dır.
=
+ − 1
1 − , ( , ) ∈△
, ( , ) ∈△ ∗
olarak alalım. ≤ ve ( , )(1 + )=1 dır.
0 = (0,0,0), = (1,0,0), = (1 − , 0, ) ve
75
= (1 − ) , (1 − ) , 0 , ç (0, (1 − ) , 0) ,
olacak şekilde ℝ ün = {0, , } ∪ { : ∈ ℕ ∪ {0}} alt kümesi üzerinde
( , , ), ( , , ) = { − : = 1,2,3}
şeklinde tanımlı metriği ile birlikte tam olduğu açıktır. üzerinde fonksiyonunu
0 = , = , = , her ∈ ℕ ∪ {0} için = şeklinde
tanımlayalım. Bu durumda
( , 0) = = { ( 0,0), ( , )} < { ( , ), ( 0,0)}
( , 0) = = { ( , ), ( 0,0)},
( , ) ( 0,0) = ( , ) ≥ 1
1 + > = (0, , )
ve her ∈ ℕ ∪ {0} için
( , ) ( 0,0) > ( , ) ( , ) = ( , )(1 + )(1 − ) = (0, )
dır. Ayrıca
( , ) = = { ( , ), ( , )}
76
< { ( , ), ( , )}
ve her ∈ ℕ ∪ {0} için
( , ) = = { ( , ), ( , )}
< { ( , ), ( , )}
dır. ∈ ℕ ∪ {0} için (1 − )(1 + ) ≤ olduğundan
( , ) ≤ ( , ) = (1 − )(1 + )
≤
= { ( , ), ( , )}
< { ( , ), ( , )}
elde edilir. Son olarak , ∈ ℕ ∪ {0}, < için
( , ) ≤ ( , ) = (1 − ) (1 + )
≤ (1 − ) (1 + )
= { ( , ), ( , )}
77
< { ( , ), ( , )}
Bu durumda ispat tamamlanır.
3.1.3 Örnek: = (0,0), = (2,0), = (−18,0), = (−6,0), = (2,18),
= (0,3), = { , , , , , } olacak şekilde ℝ nin tam alt kümesini tanımlayalım. üzerinde ki metriğini ( , ), ( , ) = | − | +
| − | şeklinde tanımlayalım. üzerindeki fonksiyonunu da = ,
= , = , = , = , = şeklinde tanımlayalım. Bu
durumda aşağıdaki ifadeler vardır.
i. = 0.6, = 0.9 ile birlikte (1) sağlanır.
ii. Her ∈ [0,1) için ( , ) ∈ vardır öyle ki (2) sağlanmaz.
İspat: Dikkat edelim ki (0.6,0.9) = 1 dir. = 0.6, = 0.9 ile birlikte (a) nın sağlandığı kolayca görülür. Kabul edelim ki bazı ∈ [0,1) için (2) sağlansın.
( ) ( , ) = 0 ≤ ( , ) olduğundan
18 = ( , ) ≤ { ( , ), ( , )} = 20
ve dolayısıyla ≥ 0.9. Bu durumda ( ) ≤
. < 0.6. ( ) ( , ) < 0.6 × 19 < 18 = ( , )olduğundan
