Kısmi Metrik Uzayda Zayıf Büzülmeler

yazılır. olduğundan

elde edilir

(Matthews, 1994).

4.2. Kısmi Metrik Uzayda Zayıf Büzülmeler

Tezin bu bölümünde kısmi metrik uzaylarda zayıf büzülme ve zayıf büzülme tanımları verilecek, bu büzülmeler yardımıyla yapılan sabit nokta teoremleri incelenecektir.

Tanım 4.2.1. bir kısmi metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için

(4.21) olacak şekilde ve varsa ye )-zayıf büzülme denir

(Altun ve Acar, 2012).

Kısmi metriğin simetri özelliğinden (4.21) eşitsizliği

(4.22) biçiminde elde edilir. O halde verilen bir dönüşümünün )-zayıf büzülme olduğunu göstermek için (4.21) ve (4.22) eşitsizliklerinin her ikisinin de sağlandığını gösterilmelidir.

Açıktır ki, kısmi metrik uzayda her Banach büzülme )-zayıf büzülmedir. Şimdi Kannan ve Chatterjea büzülmelerin de bir )-zayıf büzülme olduklarını gösterilecektir.

Önerme 4.2.1. bir kısmi metrik uzay ve bir Kannan dönüşümü olsun. Yani her için

olacak şekilde sayısı var olsun. Bu durumda , )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).

Ġspat: Üçgen eşitsizliği ve (4.5) eşitsizliklerini kullanarak

yazılır. Buradan { } = { = (4.24) elde edilir. Böylece elde edilen eşitsizlik düzenlenirse

(4.25)

bulunur. Sonuç olarak; ve için Kannan büzülme bir )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).

Önerme 4.2.2. bir kısmi metrik uzay ve bir Chatterjea dönüşümü olsun. Yani her için

olacak şekilde b sayısı var olsun. Bu durumda , )-zayıf büzülmedir.

Ġspat:

eşitsizliği ile (4.26) eşitsizlikleri kullanılarak

elde edilir. Bu son eşitsizlik düzenlenirse

{ }

olup, buradan

(4.27)

bulunur. Sonuç olarak; ve için Chatterjea büzülme bir )-zayıf büzülmedir (Altun ve Acar, 2012).

Tanım 4.2.2. bir kısmi metrik uzay ve bir dönüşüm olsun. Her için

(4.28) olacak şekilde kıyaslama fonksiyonu ve varsa ye )-zayıf büzülme

Kısmi metriğin simetri özelliğinden (4.28) eşitsizliğini

(4.29) biçiminde de yazılır. O halde verilen bir dönüşümünün )-zayıf büzülme olduğunu göstermek için (4.28) ve (4.29) eşitsizliklerinin her ikisinin de sağlandığını gösterilmelidir.

Teorem 4.2.1. bir -tam kısmi metrik uzay ve kıyaslama

fonksiyonu olmak üzere bir )-zayıf büzülme olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).

Ġspat: ve her için olsun. )-zayıf büzülme

olduğundan ve için = olup, buradan (4.30)

elde edilir. Tümevarım yöntemi kullanılarak her için

bulunur. için, üçgen eşitsizliğinden

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )

elde edilir. kıyaslama fonksiyonu olduğundan ∑ serisi yakınsak olup, { } dizisi bir Cauchy dizisidir. tam olduğundan { } dizisi bir noktasına yakınsar ve

dır. Diğer tarftan olduğunu göstermek için aksi kabul edilirse, yani olsun. kıyaslama fonksiyonu olduğundan, her için dir. Ayrıca

olduğundan, öyle bir vardır ki, her için

sağlanır. Böylece

olup, için limit alınırsa

(4.32) olur ki, bu bir çelişkidir. O halde kabul yanlıştır yani dır. Sonuç olarak bulunur.

Her zayıf büzülme zayıf büzülme olduğundan, aşağıdaki sonuç verilebilir (Altun ve Acar, 2012).

Sonuç 4.2.1. bir -tam kısmi metrik uzay ve )-zayıf büzülme olsun. Bu durumda bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).

Örnek 4.2.1. ve

{ { }

ile verilsin. Açıktır ki; , üzerinde bir kısmi metriktir ve bir tam kısmi metrik uzaydır. Ayrıca dir.

{

dönüşümünü ele alınırsa, ve için nin )-zayıf büzülme olduğunu gösterilecektir. O halde her için

{ } (4.33) olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için aşağıdaki altı durumu göz önüne alınmalıdır.

Durum 1: olsun. Bu durumda olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır. Durum 2: ve [ ) olsun. Bu durumda olup, (4.33)

eşitsizliği sağlanır.

Durum 3: ve [ ) olsun. Bu durumda

{ }

{ }

{ }

olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır.

Durum 4: [ ) ve olsun. Bu durumda

{ }

{ }

olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır. Durum 5: [ ) ve olsun. Bu durumda

{ } { { } { }}

{ }

{ }

olup, (4.33) eşitsizliği sağlanır. Durum 6: [ ) ve [ ) olsun. Bu durumda { }

{ }

{ }

Böylece Sonuç 4.2.1. in tüm koşulları sağlanmış olup, bir sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012). Dikkat edilmelidir ki,

(4.34)

olup, Banach büzülme şartı sağlanmaz. Sonuç olarak Matthews in sonucu bu örnek için sağlanmaz.

Teorem 4.2.2. bir -tam kısmi metrik uzay ve zayıf büzülme

olsun. kıyaslama fonksiyonu ve olmak üzere, her için aşağıdaki şartı sağlasın.

( ) (4.35) Bu durumda bir tek sabit noktaya sahiptir (Altun ve Acar, 2012).

Ġspat: Farz edelim ki; , ve gibi iki sabit noktaya sahip olsun. Eğer ise dır. Kabul edelim ki, olsun. (4.34) eşitsizliğinde ve alınırsa ( ) ( ) (4.36) olur ki, bu bir çelişkidir. O halde kabul yanlış olup, sabit nokta tektir (Altun ve Acar, 2012).

KAYNAKLAR

Altun, I. ve Acar, Ö., 2012, Fixed point theorems for weak contractions in the sense of Berinde on partial metric spaces, Topology and its Applications, 159 (10-11), 2642-2648.

Banach, S., 1922, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fund. math, 3 (1), 133-181.

Berinde, V., 2003a, Approximating fixed points of weak ϕ-contractions using the Picard iteration, Fixed Point Theory, 4 (2), 131-147.

Berinde, V., 2003b, On the approximation of fixed points of weak contractive mappings, Carpathian Journal of Mathematics, 7-22.

Berinde, V., 2004, Approximating fixed points of weak contractions using the Picard iteration, Nonlinear Analysis Forum, 43-54.

Chatterjea, S., 1972, Fixed-point theorems, Dokladi na Bolgarskata Akademiya na Naukite, 25 (6), 727.

Kannan, R., 1968, Some results on fixed points, Bull. Cal. Math. Soc., 60, 71-76.

Kocak, M., 2009, Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar, Furkan Ofset, Eskişehir, 2009.

Matkowski, J.,1977, Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point, Proc. Amer. Math. Soc. 62, 344–348.

Matthews, S. G., 1994, Partial metric topology, Annals of the New York Academy of Sciences, 728 (1), 183-197.

Rus, I. A., 1983, Generalized Contractions, Seminar on fixed point theory, Univ. Cluj- Napoca, Preprint 3, 1130, 1983.

Soykan, Y., 2008, Fonksiyonel Analiz, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara.

Zamfirescu, T., 1972, Fix point theorems in metric spaces, Archiv der Mathematik, 23 (1), 292-298.

ÖZGEÇMĠġ

KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : Forat Mohammed Taha TAHA

Uyruğu : Irak

Doğum Yeri ve Tarihi : Kerkük – 1990 Telefon : 0545 870 5441

Faks :

e-mail : firattaha9@gmaıl.com

EĞĠTĠM

Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı

Lise : El-Waleed lisesi, Kerkük, Irak 2007-2008

Üniversite : Tikrit Üniversitesi, Tikrit, Irak 2012-2013

Yüksek Lisans :

Doktora :

Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi