Matris normları ve aritmetik, geometrik, harmonik eşitsizlikler

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATRİS NORMLARI VE ARİTMETİK, GEOMETRİK, HARMONİK EŞİTSİZLİKLER Mine AYTEKİN YÜKSEK LİSANS TEZİ

İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI Konya 2007

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATRİS NORMLARI VE ARİTMETİK, GEOMETRİK, HARMONİK EŞİTSİZLİKLER Mine AYTEKİN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI

Bu tez 13/ 04 / 2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Eşref HATIR Doç. Dr. Cengiz ÇINAR (Üye) (Üye)

Yard. Doç. Dr. Süleyman SOLAK (Danışman)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

MATRİS NORMLARI VE ARİTMETİK, GEOMETRİK, HARMONİK EŞİTSİZLİKLER

Mine AYTEKİN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İlköğretim Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Programı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Süleyman SOLAK 2007, sayfa 36

Jüri:

Prof. Dr. Eşref HATIR Doç. Dr. Cengiz ÇINAR

Yard. Doç.Dr. Süleyman SOLAK

Bu çalışmada elemanları aritmetik, geometrik ve harmonik ortalama şeklinde tanımladığımız matrislerin bazı normlarını inceledik.

Anahtar Kelimeler: Norm, aritmetik ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama.

ABSTRACT

Ms Thesis

MATRIX NORMS AND ARITHMETIC, GEOMETRIC , HARMONIC MEAN INEQUALITIES

Mine AYTEKİN

Selçuk University

Graduate School of Natural Applied Sciences Department of Elementary Education Program of Mathematics Teacher

Supervisor: Asssit. Prof.Dr. Süleyman SOLAK

2007, pages 36 Jury:

Prof. Eşref HATIR Assac. Prof. Dr. Cengiz ÇINAR Asssit. Prof.Dr. Süleyman SOLAK

In this study, we have examined some norms of matrices which entries in arithmetic, geometric, harmonic mean form.

Key Words: Norm, arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean.

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Yard. Doç. Dr. Süleyman SOLAK tarafından yönetilerek Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur. Çalışma süresince yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli aileme ve değerli hocam Yard. Doç. Dr. Süleyman SOLAK’a en içten teşekkür ve saygılarımı sunarım.

Mine AYTEKİN 2007 v

İÇİNDEKİLER ÖZET………....iii ABSTRACT……….iv ÖNSÖZ………..v 1. GİRİŞ……….1 2. TEMEL KAVRAMLAR………...………...3

3. ELEMANLARI ARİTMETİK, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA ŞEKLİNDE TANIMLANAN MATRİSLERİN EUCLİDEAN NORMLARI……...…....10

4. ELEMANLARI ARİTMETİK, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA ŞEKLİNDE TANIMLANAN MATRİSLERİN SPEKTRAL NORMU………20

5. NÜMERİK SONUÇLAR……….…...31

6. SONUÇ VE ÖNERİLER……….……….…..35

KAYNAKLAR……….…36

1.BÖLÜM

GİRİŞ

,a b∈R+ olmak üzere bu sayıların aritmetik, geometrik ve harmonik ortalaması sırasıyla, 2 a b+ , ab ve 1 1 1 2 a b −   +    

şeklinde tanımlıdır. Aritmetik-geometrik-harmonik ortalama eşitliksizliği matematiğin değişik alanlarında karşımıza çıkmaktadır.

Bhatia (2006), çalışmasında Heinz ve Heron ortalamalarını dikkate alarak, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğine benzer eşitsizlikler elde edilmiş ve bu eşitsizliklerin operatör versiyonunu bulmuştur. Bazı durumlarda ise bu eşitsizlikleri operatör anlamda genişletmenin mümkün olamayacağını basit örneklerle göstermiştir. Mathias (1993), xi> , 0 q≥ p≥ olmak üzere nxn 0

i j i j x x x x     +     , 1 1 i j i j x x x x − −  ₊        ve p p i j q p i i x x x x  ₊    +    

matrislerini tanımlayarak aritmetik-geometrik-harmonik ortalamaların eşitsizliklerini incelemiştir.

Biz bu çalışmada ise elemanları satır ve sütun numaralarının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalaması şeklinde tanımladığımız

2 nxn i j A_{= } + _   , G=

(

i j.

)

nxn, 2 n x n ij H i j   =   +  

matrislerin Euclidean ve spektral normları ile ilgili bazı eşitsizlikler elde ettik.

Çalışmamız genel olarak Euclidean ve spektral normları üzerine kurulu olduğundan bu iki kavramın tanımı ve bunlarla ilgili temel bilgiler ikinci bölümde verilmiştir.

Beşinci bölümde, üçüncü ve dördüncü bölümde verilen teoremler için nümerik örnekler yer almaktadır.

Son bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.

2. BÖLÜM

2.1. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalışmamızda yer alan bazı kavramlara yer verilmiştir.

Tanım 2.1.1. x1, x2, x3, ...,xn sayılarının aritmetik ortalaması, bu sayıların

toplamının n ile bölümü olup

A.O. 1 2 3 1 2 3 ... ( , , ,..., ) n n x x x x x x x x n + + + + = şeklinde gösterilir.

Özel olarak x v e x1 2 gibi iki tane sayının aritmetik ortalaması,

A.O. 1 2 1 2 ( , ) 2 x x x x = + dir.

Tanım 2.1.2. x1,x2,x3, ...,xn sayılarının hepsi pozitif olmak üzere bu sayıların

geometrik ortalaması,

G.O.( , , ,... )_{1 2 3} n ₁. . ..._{2 3}

n n

x x x x = x x x x

şeklinde tanımlıdır.

Özel olarak x v e x1 2 gibi iki tane sayının geometrik ortalaması(orta orantısı),

G.O.( , )x x1 2 = x x1. 2 dir.

Tanım 2.1.3. x1,x2,x3, ...,xn sayılarının hepsi pozitif olmak üzere bu sayıların

harmonik ortalaması da,

H.O. _{1 2 3} 1 2 3 ( , , ,... ) 1 1 1 1 ... n n n x x x x x x x x = + + + +

şeklinde olup, eğer özel olarakx v e x1 2 gibi iki tane sayı alınırsa bu iki sayının harmonik ortalaması, H.O.

(

1 2

)

1 2 1 2 1 2 2 . 2 ( , ) 1 1 x x x x x x x x = = + + dir. Dolayısıyla 2 ( . .) . . . . G O H O A O = dır.

Bu çalışmada aritmetik ortalamayı A.O., geometrik ortalamayı G.O. ve harmonik ortalamayı da H.O. ile göstereceğiz.

Tanım 2.1.4. M_n(F), elemanları F cisminden alınan n×n matrislerin kümesi olsun. ∈ B A, M_n(F), α∈F olmak üzere, N1) A ≥0 ve A =0⇔A=0 N2) αA =α. A (α∈F) N3) A+B ≤ A + B N4) AB ≤ A.B aksiyomları sağlayan . :M_n(F)→
+ ∪

{ }

0 (2.1) dönüşümüne matris normu denir. Bir A matrisinin normu genel anlamda A ile

gösterilir.

Eğer bu aksiyomlardan N1, N2 ve N3 sağlanıyorsa norma genelleştirilmiş

matris normu denir. O halde her matris normu, genelleştirilmiş matris normudur diyebiliriz. Aynı zamanda matris normları, vektör normlarının geliştirilmişidir.

Tanım 2.1.5. A=(aij)m×n ve

∗

A , A’nın eşlenik transpozesi olmak üzere A∗A

matrisinin öz değerlerinin kareköküne A’nın singüler değerleri denir ve σ(A)={ λi :λi,A A

∗

nın öz değerleri} (2.2) olarak gösterilir.

Şimdi yukarıdaki norm aksiyomlarını sağlayan bazı matris normlarını şu şekilde verebiliriz (Zielke 1988):

A, m×n tipinde bir matris olmak üzere;

∑

= ≤ ≤ = m i ij n j a A 1 1

1 max sütun normu,

∑

= ≤ ≤ ∞ = n j ij m i a A 1 1

max satır normu,

           = = =         =

∑

∑∑

= = = rank r A AA iz A A iz a A r i i m i n j ij E : ) ( ) ( ) ( 1 2 * * 1 1 2 σ

Euclidean (veya Frobenius veya Schur) normu,

) ( ) ( max * max 2 A A A

A = λ =σ spektral norm (veya 2 norm).

Burada ( * )

max A A

λ , *

A A (veya AA*) nın maksimum öz değeri ve σmax(A) da A matrisinin maksimum singüler değeridir.

Tanım 2.1.6. A, m× n tipinde bir matris ve p,q∈{1,2,E,∞}olsun. A _p ve A _q

herhangi iki norm, c1(p,q) ve c2(p,q) pozitif sabitler olmak üzere p q p A c A A c₁ ≤ ≤ ₂ (2.3) eşitsizliği var ise bu iki matris normu denktir denir (Zielke 1988).

Bu tanımla birlikte matris normları arasındaki bağıntıları şu şekilde verebiliriz. Bir A=(aij)m×n matrisi için rank(A)=r ve . 1, . ∞, . E, . 2 sembolleri sırayla A matrisinin sütun, satır, Frobenius (Euclidean) ve spektral normlarını göstermek üzere aşağıdaki bağıntılar geçerlidir. Bizim burada çalışmamız için esas teşkil eden . ₂ (spektral norm) normunu içeren aralıkları vermemiz yeterli olacaktır (Zielke 1988, Sun 1996).

1 A₁ A ₂ n A₁ m ≤ ≤ , ∞ ∞ ≤ A ≤ m A A n 2 1

ve rank(A)=r olmak üzere r≤min(m,n) olacağından,

_E A _E A A _E r A n m ≤ ≤ 2 ≤ 1 ) , min( 1 (2.4) vardır. (2.4) eşitsizliği;

∑

∑∑

= = = = = = r i i m i n j ij E r A A iz r a r A r 1 2 * 1 1 2 1 ) ( 1 1 1 σ 2 max 2 max A r r = = ≤ σ σ ve _E r i i A A ≤

∑

= =1 2 2 σ olduğundan A_E A A _E r ≤ 2 ≤ 1 (2.5) eşitsizliği kolayca görülebilir.

Tanım 2.1.7.A=(aij)m×n matrisinin lp normu,

p m i n j p ij p a A / 1 1 1         =

∑∑

= = (1≤ p<∞) (2.6) şeklinde tanımlanır.

Yukarıdaki tanımda p= olması durumunda norm sütun normu, 1 p= 2 olması durumunda norm Euclidean (veya Frobenius veya Schur) normu ve p = ∞ olması durumunda da, norm satır normu olarak kabul edilir.

Tanım 2.1.8. GAMMA fonksiyonu,

∫

∞ − − = Γ 0 1 ) (x e ttx dt (2.7) olmak üzere dx d x Psi x = = Ψ( ) ( ) {ln

[

Γ(x)

]

} (2.8)

şeklinde tanımlı fonksiyona psi (veya digamma) fonksiyonu denir. Psi fonksiyonunun

n. türevine de polygamma fonksiyonu denir ve

Ψ( , )= ( )= _ ln

[

Γ(x)

]

_ dx d dx d x Psi dx d x n _{n n} (2.9)

şeklinde gösterilir. Burada n +

∈ Z dır. Eğer n=0 ise dx d x Psi x = = Ψ(0, ) ( ) {n

[

Γ(x)

]

} (2.10) olur. Ayrıca 1 1 ( ) lim 1 n n m m k nk nm n k n γ + →∞ =   = _ − _ + 

∑

 l l (2.11)

eşitliği ile tanımlanan fonksiyon gamma fonksiyonu olup n=0 için (0) 0,5772γ ≅

değeri Euler sabiti olarak bilinir.

Özellik 2.1.1. ∆f(x)= f(x+1)− f(x) fark operatörü ve

∑

− = − = ∆ 1 0 1 ) ( ) ( x i i f x f ters fark

operatörü olmak üzere

Ψ( , )=

(

ln

[

Γ(x+1)

]

)

dx d x

eşitsizliğinin her iki tarafına ileri fark operatörünü uygularsak, ∆Ψ( , )= ∆

(

ln

[

Γ(x+1)

]

)

dx d x m _m m m m m m x m x dx d x dx d x x dx d ) 1 ( )! 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ln( ) 1 ( ) 2 ( ln 1 1 + − − =       + = + = + Γ + Γ = − −

olur. Şimdi de her iki yana ters fark operatörünü uygularsak,

_      + ∆ − − =       + − − ∆ = Ψ − − − − m m m m x m x m x m ) 1 ( 1 )! 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )! 1 ( ) 1 ( ) , ( 1 1 1 1

elde edilir. Buradan da

( , ) )! 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 x m m x m m Ψ − − =       + ∆ − − (2.12)

yazılır. Ters fark operatörü

∑

− = − = ∆ 1 0 1 _{( )} x ₍₎ i i f x

f şeklinde tanımlı olduğu için (2.12)

ifadesi bir asimptotik serinin polygamma fonksiyonu cinsinden değerini ifade eder (Moenck 1977).

Özellik 2.1.2. ∈a _+ , b herhangi bir sayı ve ∈n _+ olmak üzere

limΨ( , + )=0 ∞

→ a n b

n (2.13)

dir (Bozkurt 1998).

Tanım 2.1.8. A=( )aij mn olsun. A nın Hadamard inversi

o1 1 ij _mn A a −   = _ _   (2.14) eşitliği ile tanımlıdır.

Tanım 2.1.9. A=( )a_{ij mxn} ve B=( )b_{ij mxn} olsun.

A Bo =(a b_{ij ij mxn}) _(2.15) şeklinde tanımlanan çarpıma A ve B matrislerinin Hadamard çarpımı denir.

Tanım 2.1.10. A=( )a_{ij mxn} matrisi verilsin. 1 2 2 1 ( ) n i ij j r A a =   =   

∑

 i=1, 2,3,...,m ve 1 2 2 1 ( ) m j ij i c A a =   =   

∑

 j=1, 2,3,...n

şeklinde tanımlanan normlara sırasıyla A matrisinin Euclidean satır ve sütun

normları denir.(Horn, Johnson 1991) Eğer ve 2 1 1 2 1 1 ( ) max ( ) max n ij i j m ij j i r A a c A a = = = =

∑

∑

şeklinde maksimum satır ve maksimum sütun normları alınırsa bu durumda,

A=B Co _{olmak üzere} A ₂≤r B c C1( ). ( )1 (2.16) dir.(Mathias,1990)

3. BÖLÜM

3.1. ELEMANLARI ARİTMETİK, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA ŞEKLİNDE TANIMLANAN MATRİSLERİN EUCLİDEAN NORMLARI

Teorem 3.1.1. A matrisi elemanları satır ve sütun numaralarının aritmetik ortalaması olarak 2 _nxn i j A_{= } +    (3.1) şeklinde tanımlanan bir matris ise bu durumda

2 7 12 5 24 E n n A =n + + . İspat. 2 nxn i j A_{= } + _

  matrisini açık olarak yazarsak, A= 2 3 4 1 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 2 2 4 5 6 3 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 nxn n n n n n n n +       +       +            _{+ + +}      L L L M M M M M L olur. Euclidean normu tanımından

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 1 2 3 ... 1 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 ... 1 2 2 2 E n n A n n n n n n n  ₊            =_{  } +   +   + + −   +               + +        + −   + −   + +         _{ } yazılır.

(

)

2 ₁ 2 2 1 1 1 1 2 2 E n n s s s n s A s n s − = = + + +     = _{ } + − _{ }    

∑

∑

(3.2) yazabiliriz. Bu eşitlikte

(

)

2 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 16 24 16 24 n s s s n n n n = +   = + + + − + − +    

∑

ve 2 1 4 3 2 1 1 11 5 11 5 ( ) 2 48 24 48 24 n s n s n s n n n − = + +   − _{ } = + − −  

∑

olup bu değerleri (3.2) de yerine yazarsak,

2 1

(

)

4 1

(

)

3 1

(

)

2 11 4 5 3 11 2 5 1 1 1 16 24 16 48 2 48 24 E A = n+ + n+ − n+ + n + n − n − 1 2

(

2

)

7 12 5 24n n n = + +

elde edilir. Son eşitliğin her iki yanının karekökü alınırsa 2 7 12 5 24 E n n A =n + +

elde edilir. Böylece teorem ispatlanır. Teorem 3.1.2. G matrisi

(

.

)

nxn

G= i j (3.3) şeklinde elemanları satır ve sütun numaralarının geometrik ortalaması olarak tanımlansın. O zaman, ( 1) 2 E n n G = + İspat.

(

.

)

nxn G= i j matrisini oluşturalım:

2 3 1 2 6 2 2 4 3 6 9 3 2 3 nxn n n G _n n n n n         =           L L L M M M M M L .

Euclidean normu tanımından, 2 2 2 ₂ 1 1 1 ( ) ( 2 ) ... ( ) n n n E s s s G s s n s = = = =

∑

+

∑

+ +

∑

yazılır. Eşitliğin sağ tarafını düzenlersek

2 1 1 1 1 2 3 ... n n n n E s s s s G s s s ns = = = = =

∑ ∑

+ +

∑

+ +

∑

1 1 1 1 1 1 2 3 ... (1 2 3 ... ) n n n n s s s s n s s s s n s n s = = = = = = + + + + = + + + +

∑

∑

∑

∑

∑

2 2 2 ( 1) ( 1) . 2 2 ( 1) 2 n n n n n n + + = + =

şeklinde yazabiliriz ve her iki tarafın karekökü alınırsa

( 1 )

2

E

n n

G = +

elde edilir ki teorem ispatlanmış olur.

Teorem 3.1.3. H matrisi elemanları satır ve sütun numaralarının harmonik ortalaması olarak 2 n x n ij H i j   =   +   (3.4) şeklinde tanımlanırsa, bu matrisin Euclidean normu için

1 2 ( 1)(2 1) 3 E H n n n n ≤ + + eşitsizliği geçerlidir. İspat. H matrisi 2 4 2 2 6 3 1 2 4 4 8 12 4 3 4 5 2 12 18 6 6 5 6 3 4 2 4 6 2 1 2 3 2 nxn n n n n n H n n n n n n n n n     +       +     =   +             + + +   L L L M M M M M L

olmak üzere Euclidean normu 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 H ... 1 2 n n n E s s s s s ns s s n s = = =       = _{ } + _{ } + + _{ } + + +      

∑

∑

∑

. (3.5)

(3.5) eşitliğinin sağ tarafındaki her toplamı sıra ile,

2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 4 2 2 n s n s n n s s X s s X s ns X n s = = =   = _{ } +     = _{ } +     = _{ } +  

∑

∑

∑

M M olarak adlandırırsak, 2 1 2 3 n E H =X +X +X K+X

olur. Buradaki her X_i ( i=1,2,3,…n) nin değeri 2 2 1 1 1 2 4 1 1 n n s s s s X s s = =     = _{ } = _{ } + +    

∑

∑

1 2 4 1 (1, 2) 2 ( 2) 2 6 n ψ n ψ n π γ   = _ + − + − + + − _  , 2 2 2 2 1 1 4 2 16 16 1 4 (1, +3)-4 ( +3)+ 4 2 2 3 n n i i s s X n n n s s ψ ψ π γ = =       =   =   =  + − −  + +      

∑

∑

, . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 4 4 (1,2 +1)-2 (2 +1) + (1, +1)+2 ( +1) n n n i i ns s X n n n n n n n n s n s n n n n ψ ψ ψ ψ = =     _ = _{ } = _{ } = _ − + +     

∑

∑

dir. Buradan 1 2 lim 4 lim 16 lim n n n n X n X n X n → ∞ → ∞ → ∞ = = → ∞ M M olmak üzere

(

)

2 1 2 1 1 lim _E lim _n n→∞_n H =n→∞_n X +X + +X K _{4 16 .... 4} 2 _... n = + + + + _{4(1 4 9 ...} 2 _...) n = + + + + + 2 1 4 s s ∞ = =

∑

2 1 ( 1)(2 1) 6 n n s n n n S s = + + =

∑

= olup lim1 2 2 ( 1)(2 1) 3 E n→∞_n H → n n+ n+ elde edilir. Dolayısı ile,

1 2 lim1 2 E _n E H H n ≤ →∞n olduğundan, 1 2 2 ( 1)(2 1) 3 E H n n n n ≤ + +

olur ki, her iki tarafında karekökü alınırsa,

1 2 ( 1)(2 1) 3 E H n n n n ≤ + + .

Teorem 3.1.4. (3.1) ile tanımlı A matrisinin Hadamard inversinin Euclidean normu

1 1 ₂ 2 2 ( 2) 2( 1) (1, 2) (2 1) (2 1) (1, 2 1) 6 o E A− = Ψ n+ + n+ Ψ n+ − Ψ n+ − n+ Ψ n+ + −γ π olur. İspat. o1 2 nxn A i j −   =   +

  olmak üzere bu matrisi oluşturalım:

1 2 2 2 2 3 1 2 4 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 2 2 5 6 3 4 2 2 2 2 1 2 3 2 o nxn n n A n n n n n −     +      ₊      =  ₊            + + +   L L L M M M M M L . 1 o

1 2 2 2 2 2 2 2 2 _{2 2 2 2 2 2 2} 2. ... ( 1). . ( 1). ( 2). ... 1. 2 3 1 2 3 2 o E A n n n n n n n n n −               =  +   + + −   +   + −   + −   + +   + + +              

olup sağ taraf toplam olarak,

1 2 ₁ 2 2 1 1 2 2 . ( ). 1 1 n n o E _{s s} A s n s s n s − − = =     =   + −   + + +    

∑

∑

şeklinde yazılır. Eşitliğin sağ tarafındaki toplamlar Gamma ve Polygamma fonksiyonlarına bağlı olarak ifade edilirse

1 2 2 ₂ 8 ( 2) 8( 1) (1, 2) 4 (2 1) (8 4) (1, 2 1) 4 3 o E A− = Ψ n+ + n+ Ψ n+ − Ψ n+ − n+ Ψ n+ + γ − π olur. Eşitliğin her iki tarafının karekökü alınırsa,

1 1 2 2 2 ( 2) 2( 1) (1, 2) (2 1) (2 1) (1, 2 1) 6 o E A− = Ψ n+ + n+ Ψ n+ − Ψ n+ − n+ Ψ n+ + −γ π

elde edilir ki, bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.5. (3.3) ile tanımlı G matrisinin Hadamard inversi 1 1

. o G i j − = olmak üzere, o1 ( 1) E G − = Ψ n+ +γ

dır. Burada γ Euler sabitidir.

İspat. Önce _Go−1 _{matrisini açık olarak yazarsak}

1 0 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 6 2 2 4 1 1 1 1 3 6 9 3 1 1 1 1 2 3 nxn n n G n n n n n −               =                   L L L M M M M M L olur. Euclidean normu tanımından

1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 n n n n o E _{s s s s} G s s s ns − = = = =         =   +   +   + +          

∑

∑

∑

∑

1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 n n n n s= s s= s s= s s= ns =

∑ ∑

+ +

∑

+ +

∑

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 n n n n s= s s= s s= s n s= s =

∑

+

∑

+

∑

+ +

∑

1 1 1 1 1 1 ... 2 3 n s n = s   =_ + + + + _  

∑

1 1 1 1 n n s= s s= s     =     

∑

 

∑

 2 1 1 n s= s   =   

∑

 o1 2 _{( ( 1) )}2 E G − = Ψ n+ +γ

elde edilir ve bu eşitliğin her iki tarafının karekökü alınırsa; o1 ( 1)

E

G − = Ψ n+ + γ

elde edilir ki bu ispatı tamamlar.

Teorem 3.1.6. (3.4) ile tanımlı H matrisinin Ho−1 Hadamard inversi için

1 2 1

[

]

₂ (1, 1) ( 1) 2 12 2 o E n n H − = Ψ n+ − + π + Ψ n+ +γ   olur.

1 2 4 1 2 3 6 2 2 4 4 2 3 5 8 4 4 12 4 5 6 3 6 12 18 6 1 2 3 2 2 4 6 2 o nxn n n n n n H n n n n n n n n n − +       +       +   =          _{+ + +}      L L L M M M M M L şeklinde yazarız. o1

H − matrisinin Euclidean normu, 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 ... 2 4 6 2 n n n n o E _{s s s s} s s s n s H s s s ns − = = = = + + + +         =   +   +   + +          

∑

∑

∑

∑

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 ... 4 16 36 4 n n n n s s s s s s s n s s s s n s = = = = + + + +         =   +   +   + +          

∑

∑

∑

∑

.

Bu eşitliğin sağ tarafını

2 1 1 2 2 1 1 1 , 4 1 2 , 16 n s n s s X s s X s = = +   = _{ }   +   =    

∑

∑

2 3 1 2 2 1 1 3 , 36 1 4 n s n n s s X s n s X n s = = +   =     +   =    

∑

∑

M M M M olmak üzere

(

)

1 2 1 2 3 o n E H − = X +X +X +K+X

2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 (1, 1) 2 ( 1) 2 , 4 6 1 2 4 (1, 1) 4 ( 1) 4 , 16 3 1 3 9 (1, 1) 6 ( 1) 6 , 36 2 1 1 (1, 1) 2 ( 1) 2 4 6 n X n n n X n n n X n n n X n n n n n n n n π γ π γ π γ π γ   = _ − Ψ + + Ψ + + + _     = _ − Ψ + + Ψ + + + _     = _ − Ψ + + Ψ + + + _     =  − Ψ + + Ψ + + +    M M M dir. Dolayısıyla 1 2 2 2 2 1 1 (1, 1) 2 ( 1) 2 (2 ) 6 n o E _s s H n s n s n s s π γ − =   =  − Ψ + + Ψ + + +   

∑

[

]

2 2 1 (1, 1) ( 1) 2 12 2 n n n   π n γ = Ψ + _− _+ + Ψ + +  

olur. Eşitliğin her iki tarafın da karekökü alınırsa

1

_[

_]

2 2 1 (1, 1) ( 1) 2 12 2 o E n n H − = Ψ n+ − + π + Ψ n+ +γ   elde edilir.

4.BÖLÜM

4.1. ELEMANLARI ARİTMETİK, GEOMETRİK VE HARMONİK ORTALAMA ŞEKLİNDE TANIMLANAN MATRİSLERİN SPEKTRAL NORMU

Teorem 4.1.1. (3.1) de tanımlanan A matrisinin spektral normu için

₂ 1 2

(

2 1 (7

)

2 1)2 24 (2 1)(7 1)(1 2) 24 A ≤ n n+ n+ + n n+ n+ −n eşitsizliği geçerlidir. İspat. 2 nxn i j A_{= } + _

  matrisi açık olarak

A= 2 3 4 1 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 2 2 4 5 6 3 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 nxn n n n n n n n +       +       +            _{+ + +}      L L L M M M M M L

şeklindedir. Hadamard çarpımı tanımından A B C= o _{olacak şekilde B ve C matrislerini} aşağıdaki gibi belirleyelim. Buna göre,

2 3 4 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 4 5 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 5 6 3 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 nxn 1 1 1 1 nxn n n n A n n n n +             +             +     =                  _{+ + +}            L L L L o L L M M M M M M M M M M L L

olsun. Maksimum satır normu tanımından B matrisinin maksimum satır normu,

2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 ( ) 2 2 2 2 n n n n r B =_ + _ +_ + _ +_ + _ + +_ _       L  

3 2 7 3 1 12 8 24 1 (2 1)(7 1) 24 n n n n n n = + + = + +

olur. Son eşitliğin her iki yanının karekökü alınırsa

₁( ) 1 (2 1)(7 1) 24

r B = n n+ n+ . (4.1)

Maksimum sütun normu tanımından ,

2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 n n n n c C =_ + _ +_ + _ +_ + _ + +_ − _ +       L   3 2 2 7 5 1 1 12 8 24 1 (2 1)(7 1) 24(1 ) 24 n n n n n n n = − + +   = _ + + + − _

elde edilir. Eşitliğin her iki tarafının karekökü alınırsa

2 1 1 ( ) (2 1)(7 1) 24(1 ) 24 c C = _n n+ n+ + −n _{ . (4.2)} Buna göre, A2≤r B c C1( ). ( )1 olacağından 2 2 1 1 (2 1)(7 1). (2 1)(7 1) 24(1 ) 24 24 A ≤ n n+ n+ _n n+ n+ + −n _ 1 2_{(2 1) (7}2 ₁₎2 _{24 (2 1)(7 1)(1} 2₎ 24 n n n n n n n = + + + + + −

elde edilir ki teorem ispatlanmış olur.

Sonuç 4.1.1. (3.1) ile tanımlanan A matrisinin spektral normu için,

(

3 2

)

2 2 2 2

2

1 1

7 12 5 (2 1) (7 1) 24 (2 1)(7 1)(1 )

eşitsizliği geçerlidir.

Teorem 4.1.2. (3.2) de tanımlanan G matrisinin spektral normu için

4 2

2 ₂ 2 2

n

G ≤ n −n + n+

eşitsizliği geçerlidir.

İspat. G=( . )i j nxn matrisi açık olarak

2 3 1 2 6 2 2 4 3 6 9 3 2 3 nxn n n G _n n n n n         =           L L L M M M M M L .

Hadamard çarpımından G=B Co _{olacak şekilde B ve C matrisleri}

2 1 1 1 1 _{1 2 3} 2 4 1 1 1 1 6 2 3 6 9 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 _nxn nxn n n G _n n n n n   _{ }   _{ }   _{ }   _{ } =   _{ }   _{ }   _{ }     _{ }   L L L _L o L _L M M M M M _{M M M M M} L L

olarak belirleyelim. Maksimum satır normu tanımından, 2 2 2 2 2

1 ( ) ( ) ( 2 ) ... ( )

r B = n + n + + n

yazılır. Eşitliğin sağ tarafını düzenlersek,

2 2 1 ( ) 2 3 ... r B = +n n+ n+ +n 1 2 1 ( 1) 2 n s sn n n = = = +

∑

2 1 1 ( ) ( 1) 2 r B = n n+ (4.3)

elde edilir. Maksimum sütun normu tanımından,

2 2 2 2

(

)

2 2 1 ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( 1) 1 c C = n + n + n + + n n− + 1 1 3 2 2 2 3 ... ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ( 1) 2) 2 n s n n n n n sn n n n n − = = + + + + − + = + = − + = − +

∑

şeklinde yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alırsak,

2 1 1 ( ) ( ( 1) 2) 2 c C = n n− + (4.4)

elde edilir. Buradan da G ₂≤r B c C1( ). ( )1 şeklinde yazılacağından 2 2 2 4 2 1 ( 1)( ( 1) 2) 2 2 2 2 G n n n n n n n n ≤ + − − = − + +

elde edilir ki teorem ispatlanmış olur.

Sonuç 4.1.2. G matrisinin spektral normu için,

3 2 4 2 2

2

1 1

2 ( 1) 2 ( 1)

2 n + n +n≤ G ≤2 n n − + n n+

şeklinde alt ve üst sınır vardır.

2 2 2 2 4 2 (2 1) (1, 1) 2 ( 1) H ≤ n n n− − nΨ n+ +n Ψ n+ + nΨ n+ 2 2 2 1 (1, 2 ) 2 (2 ) 1 (1, 1) 2 ( 1) 4 n n n n n n n n n n Χ − Ψ − Ψ − + Ψ + + Ψ + + eşitsizliği geçerlidir.

İspat. (3.3) te ki H matrisi açık olarak

2 4 2 2 6 3 1 2 4 4 8 12 4 3 4 5 2 12 18 6 6 5 6 3 4 2 4 6 2 1 2 3 2 nxn n n n n n H n n n n n n n n n     +       +     =   +             + + +   L L L M M M M M L

olduğuna göre H =B Co _{olacak şekilde B ve C matrislerini aşağıdaki gibi belirleyelim.}

2 2 4 6 2 2 1 1 1 _{1 3 4 1} 4 8 12 4 3 4 1 1 1 1 5 2 6 12 18 6 3 1 1 1 5 6 4 1 2 4 6 2 1 1 1 1 1 2 3 2 _nxn nxn n n n n n H n n n n n n n n n   _{ }   _{ } +   _{ }   _{ }   _{ } +   _{ }   _{ } =   _{ + }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ } + + +   L _L L L o L L M M M M M M M M M M L L

Öyleyse B matrisinin maksimum satır normu 2 2 2 2 ₂ 2 1 2 4 6 2 ( ) 1 2 3 2 n n n n r B n n n n         =  +  +  + +   + + +         L olur. Eşitliğin sağ tarafını düzenlersek,

2 2 2 2 2 1 ( ) 4 16 36 1 2 3 n n n r B n n n n       =   +   +   + + + + +       L 2 1 2 4 3 2 4 3 4 4 ( 1) (1, 2 1) 2 (2 1) (1, 1) 2 ( 1) n s ns n s n n n n n n n n n n n =   =   +     = _ + − Ψ + − Ψ + − + Ψ + + Ψ + _

∑

olur. Eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alacak olursak

2 2

1( ) 2 (1, 2 1) 2 (2 1) (1, 1) 2 ( 1)

r B = n n n− Ψ n+ − nΨ n+ +n Ψ n+ + nΨ n+ . (4.5)

C matrisinin maksimum sütun normu ise,

2 2 2 2 2 2 1 2 4 6 2 ( 1) ( ) 1 1 2 3 2 1 n n n n n c C n n n n −         =  +  +  + +  + + + + −       L   2 2 2 2 ( 1) 4 16 36 4 1 1 2 3 2 1 n n n n n n n n n −         =   +   +   + +   + + + + −       L   2 1 1 4 1 n s ns n s − =   =   + +  

∑

₄ 3 4 _{(1, 2 ) 2} 3 _{(2 )} 2 4 _{(1, 1) 2} 3 _{( 1) 1} n n n n n n n n n n   = _ − Ψ − Ψ − + Ψ + + Ψ + _+

olur. Son eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alacak olursak

2 2 1 2 1 ( ) 2 (1, 2 ) 2 (2 ) 1 (1, 1) 2 ( 1) 4 c C n n n n n n n n n n n = − Ψ − Ψ − + Ψ + + Ψ + + . (4.5) Dolayısıyla H ₂ ≤r B c C1( ). ( )1 olduğundan 2 2 2 2 4 2 (2 1) (1, 1) 2 ( 1) H ≤ n n n− − nΨ n+ +n Ψ n+ + nΨ n+ 2 2 2 1 (1, 2 ) 2 (2 ) 1 (1, 1) 2 ( 1) 4 n n n n n n n n n n Χ − Ψ − Ψ − + Ψ + + Ψ + + elde edilir.

Teorem 4.1.4. A matrisinin Hadamard inversinin spektral normu için

1 2

o

A − ≤n

İspat. 1 2 2 2 2 3 1 2 4 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 2 2 5 6 3 4 2 2 2 2 1 2 3 2 o nxn n n A n n n n n −     +      ₊      =  ₊            + + +   L L L M M M M M L

Hadamard çarpımı tanımından o1

A− =B Co _{olacak şekilde B ve C matrisleri}

1 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 4 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 5 2 2 2 2 2 5 6 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1 1 1 1 o nxn nxn n n A n n n n n −         +            ₊          =    ₊                      + + +     L L L L o L L M M M M M M M M M M L L

olsun. Buna göre B matrisinin maksimum satır normu 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 2 r B =   + + + +   L n.1 n = =

olur. Eşitliğin her iki tarafının da karekökü alınırsa

r B1( )= n . (4.7)

C matrisinin maksimum sütun normunu alırsak,

2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 c C = + + +L+ n.1 n = =

c C1( )= n (4.8)

elde edilir. Buna göre,

1 1 1 2 ( ). ( ) o A − ≤r B c C olduğundan 1 2 o A − ≤ n n =n=n

olur, bu ise ispatı tamamlar.

Sonuç 4.1.3. (3.1) de tanımlanan A matrisinin Hadamard inversi olan Ao−1 matrisinin

spektral normu için alt ve üst sınır 1 2 2 1 1 2 2 ( 2) 2( 1) (1, 2) (2 1) (2 1) (1, 2 1) 6 o n n n n n n A n n γ π −   Ψ + + + Ψ + − Ψ + − + Ψ + + − ≤ ≤     şeklindedir.

Teorem 4.1.5. (3.3) ile tanımlı G matrisinin Hadamard inversi olan o1

G − matrisinin

spektral normu için

1 2 o G − ≤n dir. İspat. o1 G − matrisi, 01 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 6 2 2 4 1 1 1 1 3 6 9 3 1 1 1 1 2 3 nxn n n G n n n n n −               =                  L L L M M M M M L

olduğundan o1

G − =B Co _{olacak şekilde B ve C matrisleri aşağıdaki gibi} belirleyelim. 1 2 1 _{1 1 1} 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 6 2 1 1 1 1 3 3 6 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 o nxn nxn n n G n n n n n −   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ } =  _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }       _{ }   L _L L L o L L M M M M M M M M M M L L

Maksimum satır normu tanımından, 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 r B =_ _ + + + +   L n.1 n = =

olur. Eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alırsak

r B1( )= n (4.9) olur. Maksimum sütun normu tanımından,

2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 c C = + + +L+ n.1 n = =

olur. Eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alırsak

c C1( )= n (4.10) elde edilir. Buradan

1 1 1 2 ( ). ( ) o G − ≤r B c C den 1 2 o G − ≤ n n

2 . n n n n ≤ ≤ ≤ olur.

Sonuç 4.1.5. (3.3) de tanımlanan G matrisinin Hadamard inversi olan o1

G − matrisinin spektral normu,

(

)

1 2 1 ( 1) o n G n n γ − Ψ + + ≤ ≤ eşitsizliğine sahiptir.

Teorem 4.1.6. (3.3) de tanımlanan H matrisinin Hadamard inversi olan o1

H − matrisinin spektral normu için,

1 2 o H − ≤n eşitsizliği geçerlidir. İspat. o1 H − matrisi, 1 2 4 1 2 3 6 2 2 4 4 2 3 5 8 4 4 12 4 5 6 3 6 12 18 6 1 2 3 2 2 4 6 2 o nxn n n n n n H n n n n n n n n n − +       +       +   =          _{+ + +}      L L L M M M M M L

1 2 4 1 2 3 6 2 2 1 1 1 1 4 4 2 3 5 8 4 4 1 1 1 1 12 4 5 3 6 12 1 1 1 1 1 6 1 2 3 2 2 4 6 2 1 1 1 1 o nxn nxn n n n n n H n n n n n n n n n − +             +             +     =                  _{+ + +}            L L L L o L L M M M M M M M M M M L L

Maksimum satır normu tanımından B matrisinin maksimum satır normu,

2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 2 r B = _{ } + + + +   L n.1 n = =

olur. Eşitliğin her iki tarafının da karekökünü alırsak

r B₁( )= n. (4.11) Maksimum sütun normu tanımından,

2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 c C = + + +L+ n.1 n = = bulunur. Dolayısıyla 1 1 1 2 ( ). ( ) o H − ≤r B c C eşitsizliğinden 1 2 o H − ≤ n n= n elde edilir ki bu ise ispatı tamamlar.

Sonuç 4.1.5. (3.3) de tanımlanan H matrisinin Hadamard inversi olan _Ho−1_matrisinin

spektral normu için alt ve üst sınır,

1 2 1

[

]

2 1 (1, 1) ( 1) 2 12 2 o n n n n H n n π γ −     Ψ + _− _+ + Ψ + + ≤ ≤       şeklindedir.

5.BÖLÜM

5.1. NÜMERİK SONUÇLAR

Bu bölümde, önceki bölümlerde verdiğimiz bazı teoremlerdeki matrislerin normları ile bu normlar için bulduğumuz sınırların aldığı nümerik değerler tablolar halinde verildi. Örnek 5.1.1. 1

(

₇ 3 ₁₂ 2 ₁₅

)

24 n n n α = + + ve 1 2

(

)

2 2 2 2 1 (7 1) 24 (2 1)(7 1)(1 ) 24 n n n n n n n β = + + + + + −

olmak üzere, n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için Sonuç 4.1.1’ün sayısal değerlerinin

tablosu: n α 2 A β 1 1 1 1 2 2,18 3,08 4,51 3 3,61 6,24 14,72 4 5,24 10,48 35,21 5 7,06 15,79 69,47 10 18,55 58,52 569,60 20 50,40 224,79 4613,69 30 81,23 498,79 15632,79 40 139,65 880,53 37126,89 50 194,24 1370,00 72595,00 60 254,45 1967,21 125540,10 70 320,04 2672,15 199459,21 80 390,76 3484,83 297853,32 90 465,35 4405,25 424222,42 100 544,69 5433,39 582066,53

Örnek 5.1.2.n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için Sonuç 4.1.2.’ nin sayısal değerlerinin tablosu: n 1 _{3 2} 2 2 n + n + n G ₂ 1 4

₍

2

₎

2 1 2 ( 1) 2 n n − + n n+ 1 1 1 1 2 2,13 3 4,24 3 3,47 6 13,42 4 5 10 31,62 5 6,70 15 61,85 10 17,41 55 498,05 20 46,98 210 3995,52 30 84,85 465 13493,01 40 129,75 820 31990,51 50 180,34 1275 62483,01 60 236,13 1830 107985,51 70 296,89 2485 171483,01 80 362,42 3240 255980,51 90 431,51 4095 364478,00 100 505 5050 499975,50 Örnek 5.1.3.

(

)

2 2 2 2 2 2 4 (1, 2 1) 2 (2 1) (1, 1) 2 ( 1) 1 (1, 2 ) 2 (2 ) 1 (1, 1) 2 ( 1) 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n α = − Ψ + − Ψ + + Ψ + + Ψ +   Χ  − Ψ − Ψ − + Ψ + + Ψ + +   

olmak üzere, n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için Teorem 4.1.3’ün sayısal değerlerinin tablosu: n 2 H

α

1 1 1 2 2,92 4,01 3 5,79 12,38 4 9,61 28,97 5 14,37 56,50 10 52,49 453,46 20 200,18 3635,27 30 443,15 12274,99 40 781,41 29101,50 50 1214,95 56843,75 60 1743,77 98230,69 70 2367,88 155991,24 80 3087,26 232854,36 90 3901,94 331548,91 100 4811,89 454803,91

Örnek 5.1.4. 2 1 1 2 2 ( 2) 2( 1) (1, 2) (2 1) (2 1) (1, 2 1) 6 n n n n n n n

α

= _ Ψ + + + Ψ + − Ψ + − + Ψ + + −

γ

π

_  

olmak üzere, n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için, Sonuç 4.1.3’ün sayısal değerlerinin tablosu:

Örnek 5.1.5. n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için Sonuç 4.1.4’ün sayısal değerlerinin tablosu: n 1

₍

₎

(n 1) n Ψ + +γ 1 2 o G − n 1 1 1 1 2 1,060 1,500 2 3 1,058 1,833 3 4 1,040 2,083 4 5 1,018 2,283 5 10 0,927 2,928 10 20 0,805 3,598 20 30 0,728 3,995 30 40 0,677 4,279 40 50 0,636 4,499 50 60 0,604 4,680 60 70 0,577 4,832 70 80 0,556 4,965 80 90 0,535 5,082 90 100 0,519 5,197 100 n

α

1 2 o A− n 1 1 1 1 2 1,04 1,46 2 3 1,02 1,75 3 4 0,98 1,96 4 5 0,95 2,11 5 10 0,83 2,58 10 20 0,68 2,99 20 30 0,60 3,21 30 40 0,54 3,35 40 50 0,50 3,46 50 60 0,47 3,54 60 70 0,45 3,61 70 80 0,43 3,67 80 90 0,41 3,72 90 100 0,39 3,76 100

Örnek 5.1.6. 1 (1, 1) 2 1

[

( 1)

]

2 2 12 2 n n n n n π α= Ψ + − + + Ψ + +γ     

olmak üzere, n=1,2,3,4,5,10,20,…,100 için Sonuç 4.1.5’ ın sayısal değerlerinin

tablosu: n

α

1 2 o H − n 1 1 1 1 2 1,089 1,54 2 3 1,113 1,93 3 4 1,119 2,23 4 5 1,119 2,50 5 10 1,097 3,43 10 20 1,059 4,62 20 30 1,035 5,47 30 40 1,019 6,16 40 50 1,007 6,76 50 60 0,998 7,28 60 70 0,991 7,76 70 80 0,985 8,20 80 90 0,980 8,61 90 100 0,975 8,99 100

6. BÖLÜM

SONUÇ VE ÖNERİLER

Çalışmamızda elemanları satır ve sütun numaralarının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalaması şeklinde tanımlanan matrislerin Euclidean ve spektral normlarını içeren eşitsizlikler bulunmuştur.

Bu matrislerin determinantları ve inversleri inceleneceği gibi, herhangi bir dizinin elemanlarının ortalaması şeklinde tanımlanan matrislerin bazı özellikleri de incelenebilir. Ayrıca bu çalışma diğer bazı ortalamalar cinsinden ele alınabilir. (Örneğin Heinz, Heron gibi )

KAYNAKLAR

Bozkurt, D., On the l_{p norms of Cauchy-Toeplitz matrices. Linear and multilinear}

algebra. 44:341-346, 1998.

Bhatia, R., Interpoling the aritmetic-geometric mean inequality and its operator version. 413,(2-3) p:355-363, 2006

Horn, R.A., Johnson, C.R., Topics in matrix analysis, Cambridge Univ.Press. 1991. Mathias, R., The Spectral Norm of a Nonnegative Matrix. Lineer Alg. And Its Appl., 131,269-284, 1990.

Mathias, R., An Aritmetic-Geometric-Harmonic Mean Inequality Involving Hadamard Products. Lineer Alg. And Its Appl. 184:71-781, 1993.

Moenck , R., On computing closed forms for summations, in: Proceedings of the Macsyma Users Conference, pp.225-236, 1977.

Sun, J., On the variation of the spectrum of a normal matrix. Linear algebra and its applications 246:215-223, 1996.

Zielke, G., Some remarks on matix norms, condition numbers and error estimates for linear equations. Linear algebra and its applications 110:29-41, 1988.