Topolojik uzaylarda bazı zayıf sürekli fonksiyonların dağılımları üzerine bir derleme

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TOPOLOJİK UZAYLARDA BAZI ZAYIF SÜREKLİ FONKSİYONLARIN DAĞILIMLARI ÜZERİNE BİR DERLEME

Murat VERGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ORTA ÖĞRETİM FEN VE MATAMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

TOPOLOJİK UZAYLARDA BAZI ZAYIF SÜREKLİ FONKSİYONLARIN DAĞILIMLARI ÜZERİNE BİR DERLEME

Murat VERGİLİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ORTA ÖĞRETİM FEN VE MATAMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

Bu tez 30 /06 /2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği/ oy çokluğu ile kabul edilmiştir.

……….. ………. ………

Prof.Dr. Eşref HATIR Y.Doç.Dr. Yusuf BECEREN Y.Doç.Dr. Aynur KESKİN (Danışman) (Üye) (Üye)

Yüksek Lisans Tezi

TOPOLOJİK UZAYLARDA BAZI ZAYIF SÜREKLİ FONKSİYONLARIN DAĞILIMLARI ÜZERİNE BİR DERLEME

Murat VERGİLİ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Orta Öğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim Dalı

Danışman : Prof. Dr. Eşref HATIR 2008, sayfa : 59 + v

Jüri : Prof. Dr. Eşref HATIR

Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKİN

Bu çalışma iki bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, α-açık [15], semi-açık [12], pre-açık [13], b-açık [4,6,7] ve β-açık kümeler [1] ve birbiri ile olan irtibatlarını inceleyip, bu kümelerden yararlanarak oluşturulan D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)- [6], D(c,s)-, D(α,s) [5], D(c,p)-, D(c,α)-, D(α,p)-kümeleri [20] ve bu D(α,p)-kümelerin bazı özelliklerini yorumladık.

İkinci bölümde, D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)- [6], D(c,s)-, D(α,s) [5], D(c,p)-, D(c,α)-, D(α,p)-sürekli [20] fonksiyonları inceleyip, birbirleriyle irtibatlarını yorumladık. Tanımlanan bu sürekli fonksiyonlarla elde edilen, sürekli, α-sürekli, pre-sürekli ve b-sürekli fonksiyonların dağılımlarını inceledik.

Anahtar Kelimeler : D(c,β)-, D(c,p)-, D(c,s)-, D(c,α)-, D(α,β)-, D(α,p)-, D(α,s)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)-sürekli fonksiyon.

Master Thesis

A COLLECTION ABOUT THE DECOMPOSITION OF SOME WEAK CONTINUOUS FUNCTIONS IN TOPOLOGICAL SPACES

Murat VERGİLİ Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Teaching

Supervisor : Prof. Dr. Eşref HATIR 2008, Pages : 59 + v

Jury : Prof. Dr. Eşref HATIR

Assist. Prof. Dr. Yusuf BECEREN Assist. Prof. Dr. Aynur KESKİN

This study consists of two chapters. In the first chapter, examining the α-open [15], semi-open [12], pre-open[13], b-open [4,6,7] and β-open-sets [1] and the connections with each other, we interpreted D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)- [6], D(c,s)-, D(α,s) [5], D(c,p)-, D(c,α)-, D(α,p)-sets [20] that are formed with the help of previously mentioned sets and some properties of these sets.

In the second chapter, examining D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)- [6], D(c,s)-, D(α,s) [5], D(c,p)-, D(c,α)-, D(α,p)-continuous [20] functions, we interpreted the connections with each other. We examined the decomposition of continuous, α-continuous, pre-continuous, b-continuous functions that were attained with the help of this b-continuous functions description of which is given.

Key Words : D(c,β)-, D(c,p)-, D(c,s)-, D(c,α)-, D(α,β)-, D(α,p)-, D(α,s)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)-continuous function.

Çalışmalarımı büyük bir sabır ve titizlikle yöneten ve hiçbir desteğini

esirgemeyen saygıdeğer hocam Prof. Dr. Eşref HATIR 'a sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Murat VERGİLİ Konya, 2008

İÇİNDEKİLER Sayfa No: Özet ………... i Abstract ………... ii Önsöz ………... iii İçindekiler ……….... iv Simgeler ……… v GİRİŞ ………. 1 1. BÖLÜM ……… 3 1.2. D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(c,s)-, D(c,p)-, D(c,α)- Küme ……… 10 1.3. D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(α,p)-, D(α,s)- Küme ………... 19 1.4. D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)- Küme ……….... 27 2. BÖLÜM ………... 37

2.2. Sürekli Fonksiyonun Dağılımları ………. 40

2.3. α-Sürekli Fonksiyonun Dağılımları ……….… 47

2.4. Pre-Sürekli ve b-Sürekli Fonksiyonların Dağılımları ………... 52

KAYNAKLAR ……… 58

SİMGELER

(X, τ) Topolojik uzayı ve bir A, B ⊂ X olsun.

A ¯ :A kümesinin kapanışı A º :A kümesinin içi o A)α ( :A kümesinin α-içi o s A) ( :A kümesinin semi-içi o P A) ( :A kümesinin pre-içi o b A) ( :A kümesinin b-içi o A)_β ( :A kümesinin β-içi

α(X) : X uzayındaki bütün α-açık kümelerin ailesi SO(X) : X uzayındaki bütün semi-açık kümelerin ailesi PO(X) : X uzayındaki bütün pre-açık kümelerin ailesi bO(X) : X uzayındaki bütün b-açık kümelerin ailesi βO(X) : X uzayındaki bütün β-açık kümelerin ailesi

Bu çalışmada, sürekli ve α-sürekli fonksiyonların dağılımını veren bazı çalışmaları özetle inceledik. Nijåstad[15] α-açık küme, Levine[12] semi-açık küme, Mashhour ve ark. [13] pre-açık küme, Abd. El-Monsef ve ark. [1] β-açık küme tanımlarını yaptılar. Andrijevic[4], Dontchev Przemski[6] ve El-Atik[7] , b-açık kümeyi farklı zamanlarda tanımladılar. Burada incelediğimiz kümelerin birbirleriyle olan irtibatlarını ve sağladıkları bazı özellikleri yorumladık.

Bu tanımları kullanarak Przemski[20] D(c,p)-, D(c,α)-, D(α,p)-kümeleri tanımlayıp, açık ve α-açık kümenin dağılımlarını 1.2.5. , 1.2.8. ve 1.3.2. Teoremlerle aşağıdaki şekilde vermiştir:

1) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve D(c,p)-küme olmasıdır.

A A

A

2) (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin α-açık ve D(c,α)-küme olmasıdır.

A A

A

3) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve D(α,p)-küme olmasıdır.

A A

A

Dontchev Przemski [6], D(c,β)-, D(c,s.p)-, D(α,β)-, D(α,s.p)-, D(p,β)-, D(p,b)-, D(b,β)-kümeleri tanımlayıp açık, α-açık, pre-açık, b-açık kümenin dağılımlarını 1.2.4., 1.2.7., 1.3.1., 1.4.2. , 1.4.3. ve 1.4.4. Teoremlerle aşağıdaki şekilde verdiler:

1) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin β-açık ve D(c,β)-küme olmasıdır.

A A

A

2) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin β-açık ve D(α,β)-küme olmasıdır.

A A

A

3) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin pre-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin β-açık ve D(p,β)-küme olmasıdır.

A A

4) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin pre-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin b-açık ve D(p,b)-küme olmasıdır.

A A

A

5) (X,τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin b-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin β-açık ve D(b,β)-küme olmasıdır.

A A

A

Beceren [5], D(c,s)- ve D(α,s)-kümeleri tanımlayıp, açık ve α-açık kümenin bir dağılımını 1.2.6. ve 1.3.3. Teoremlerle aşağıdaki şekilde vermiştir:

1) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin semi-açık ve D(c,s)-küme olmasıdır.

A A

A

2) (X, τ) topolojik uzayında ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin semi-açık ve D(α,s)-küme olmasıdır.

A A

A

Hatır ve ark. [9], C-küme tanımını yapıp, α-açık kümenin bir dağılımını 1.2.3. Teorem olarak aşağıdaki şekilde verdiler:

(X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin α-açık ve C-küme olmasıdır.

A A

A

Tong [21,22], A-küme ve B-küme tanımlarını verip, açık kümenin dağılımlarını 1.2.1. ve 1.2.2. Teoremler olarak aşağıdaki şekilde vermiştir:

1) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve A-küme olmasıdır.

A A

A

2) (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve B-küme olmasıdır.

A A

A

İkinci bölümde, yukarıda incelediğimiz kümelerle tanımlanan genelleştirilmiş sürekli fonksiyonları ve birbirleriyle olan irtibatlarını inceledik. Sürekli, α-sürekli, pre-sürekli, b-sürekli fonksiyonların dağılımlarını yorumladık.

1. BÖLÜM

Bu bölümde, çalışmamız için gerekli olan temel kavramlar ve küme tanımlarını inceleyeceğiz. Literatürde α-açık, semi-açık, pre-açık, b-açık ve β-açık küme olarak verilen küme çeşitlerini inceleyelim.

1.1.1. Tanım. (X, τ) topolojik uzayında A ⊂ X kümesi verilsin. Eğer a) A⊂ Aº¯º ise, A α-açık küme ([15]),

b) A⊂ Aº¯ ise, A semi-açık küme ([12]), c) A⊂ A¯º ise, A pre-açık küme ([13]),

d) A⊂ (A¯º∪Aº¯) ise, A b-açık küme ([4], [6], [7]), e) A⊂ A¯º¯ ise, A β-açık kümedir ([1]).

Bu küme çeşitlerinin birbiri ile olan irtibatlarının incelenip, yorumlanması çeşitli yazarlar tarafından şöyle verilmiştir.

1.1.1. Lemma [5,15]. Her açık-küme, α-açıktır.

İspat. A açık-küme ise , A = A° dir. A°⊂ Aº¯º olduğundan, A⊂ Aº¯º olur. O halde A kümesi α-açıktır.

1.1.1. Uyarı [5]. α-açık kümenin açık-küme olması gerekmez.

1.1.1. Örnek[5]. (X,

τ) topolojik uzayı X = {a, b, c} ve τ = { X, ∅, {b}}

şeklinde olsun. Bu takdirde α(X) = { X, ∅, {b}, {a, b}, {b,c}} olur. Buradan A = {b, c} kümesi, α-açık küme olup açık-küme değildir.

1.1.2. Lemma [5,15]. (X, τ) topolojik uzayı ve bir A ⊂ X kümesi verilsin. Bu takdirde, A ∈ α(X) olması için gerek ve yeter şart B∈ SO(X) için A ∩ B ∈ SO(X) olmasıdır.

İspat. ⇒ A ∈ α(X) olsun. Her B∈ SO(X), x ∈ A ∩ B noktası ve bir U∈ τ (x ∈ U ) kümesi verilsin. A ∈ α(X) olduğundan, A ⊂ Aº¯º olur. Buradan U ∩ Aº¯º kümesi açık bir kümedir ve x noktasını içerir. B ∈ SO(X) olduğundan, B ⊂ B°¯ ve

x ∈ B°¯ olur. Kapanış noktası tanımından, (U ∩ Aº¯º ) ∩ B° ≠ ∅ dır. V = ( U ∩ Aº¯º ) ∩ B° diyelim. V ⊂ A°¯ olduğundan, ∅ ≠ V ∩ A° = U ∩ (Aº∩B°)

elde edilir. Buradan x ∈ (Aº ∩ B° )¯ olur. O halde A ∩ B ⊂ (Aº ∩ B° ) = (A∩B)°¯ olur. Böylece A ∩ B ∈ SO(X) dir.

⇐ Her B ∈ SO(X) için A ∩ B ∈ SO(X) olsun. Bu takdirde A∈ SO(X) olur. A kümesinin α-açık olduğunu göstereceğiz. Varsayalım ki A kümesi α-açık olmasın. Bu takdirde bir x ∈ A ∩ ( X−A°¯° ) elemanı vardır. B = X−A°¯ diyelim. Buradan x ∈ B¯ olur. Dolayısıyla {x} ∪ B ∈ SO(X) olur. Böylece A ∩ ({x}∪B) ∈ SO(X) elde edilir. Diğer taraftan A ∩ ({x} ∪ B ) = {x} dir. O halde {x} kümesi açıktır. Böylece x ∈ A°¯ iken x ∈ A°¯° olur. Bu ise kabulümüzle çelişir. O halde A ⊂ A°¯° olur. Böylece A kümesi α-açıktır.

1.1.3. Lemma [5,15]. (X, τ) topolojik uzayı verilsin. Bu takdirde, bütün α-açık kümelerin ailesi X üzerinde bir topolojik yapıdır.

İspat. ] X, ∅ ∈ α(X) olduğu açıktır. a₁

2

a ] ∀ i ∈ I için ∈ α(X) olsun. Bu takdirde her i ∈ I için ⊂ °¯°

olur. Buradan ⊂ °¯° ⊂ (

_U

°)¯° ⊂ (

_U

)°¯° olur. O halde ∈ α(X) dir. i A Ai Ai

U

_{i I} Ai ∈

U

i I i A ∈ i I i A ∈ i I i A ∈

U

_{i I} Ai ∈ 3

a ] ve ∈ α(X) olsun. ∈ α(X) olduğundan, 1.1.2.Lemma

gereğince, her B ∈ SO(X) için ∩ B ∈ SO(X) olur. ∈ α(X) olduğundan 1.1.2. Lemmadan dolayı, ∩ ∩ B ∈ SO(X) elde edilir. Böylece B ∈ SO(X)

1 A A₂ A₁ 1 A A₂ 1 A A₂

için ( ∩ ) ∩ B ∈SO(X) olur 1.1.2.Lemma gereğince, ∩ ∈ α(X) olur. O halde α(X) ailesi X üzerinde bir topolojidir.

1

A A₂ A₁ A₂

1.1.4. Lemma [5,15]. Her α-açık küme, semi-açıktır.

İspat. A kümesi α-açık ise , A⊂ Aº¯º olur. Buradan A⊂ Aº¯ bulunur. O halde A kümesi semi-açıktır.

1.1.2. Uyarı [5]. Semi-açık kümenin α-açık küme olması gerekmez.

1.1.2. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c} ve τ = { X, ∅, {b}, {c}, {b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, b} kümesi, semi-açık olup α-açık küme değildir.

1.1.3. Uyarı [5]. Semi-açık kümeler ailesi genelde bir topolojik yapı oluşturmaz.

1.1.3. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c} ve τ = { X, ∅, {b}, {c}, {b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, b} ve B = {a, c} kümeleri, semi-açık kümeler olmalarına rağmen, A ∩ B = {a} kümesi semi-açık değildir.

1.1.5. Lemma [5,16]. Her α-açık küme, pre-açıktır.

İspat. A kümesi α-açık ise , A⊂ Aº¯º olur. Buradan A⊂ A¯° bulunur. O halde A kümesi pre-açıktır.

1.1.4. Uyarı [5,18]. Pre-açık kümenin α-açık küme olması gerekmez.

1.1.4. Örnek[5,18]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c} ve τ = { X, ∅, {b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, c} kümesi, pre-açık olup α-açık küme değildir.

1.1.5. Uyarı [5,18]. Pre-açık kümeler ailesi genelde bir topolojik yapı oluşturmaz.

1.1.5. Örnek[5,18]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, b, d} ve B = {a, c, d} kümeleri, pre-açık olmalarına rağmen A ∩ B = {a, d} kümesi pre-açık değildir.

1.1.6. Lemma [5,16]. (X, τ) topolojik uzayı ve A ⊂ X kümesi verilsin. A kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart A kümesinin semi-açık ve

pre-açık küme olmasıdır.

İspat. ⇒ A kümesi α-açık küme olsun. A°¯°⊂A°¯ ve A°¯°⊂A¯° olduğundan A kümesi semi-açık ve pre-açıktır.

⇐ A kümesi semi-açık ve pre-açık küme olsun. A kümesi semi açık küme olduğundan, A⊂ Aº¯ olur. A¯⊂ Aº¯¯ = Aº¯ ve dolayısıyla A¯°⊂ Aº¯º olur. A kümesi pre-açık olduğundan A⊂ A¯º olur. Bu da A⊂ Aº¯º demektir. O halde A kümesi α-açıktır.

1.1.7. Lemma [7]. Her semi-açık küme, b-açıktır.

İspat. A kümesi semi-açık ise , A ⊂ Aº¯ olur. Buradan A⊂ (A¯º ∪ Aº¯) bulunur. O halde A kümesi b-açıktır.

1.1.6. Uyarı [7]. b-açık kümenin semi-açık küme olması gerekmez.

1.1.6. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, b} kümesi, b-açık olup semi-açık küme değildir.

1.1.7. Uyarı [7]. b-açık kümeler ailesi genelde bir topolojik yapı oluşturmaz.

1.1.7. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, c, d} ve B = {b, c, d} kümeleri b-açık olmalarına rağmen, A ∩ B = {c, d} kümesi b-açık küme değildir.

1.1.8. Lemma [7]. Her pre-açık küme, b-açıktır.

İspat. A kümesi pre-açık ise, A⊂ A¯° olur. Buradan A ⊂ (A¯º ∪ Aº¯) bulunur. O halde A kümesi b-açıktır.

1.1.8. Uyarı [7]. b-açık kümenin pre-açık küme olması gerekmez.

1.1.8. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, d} kümesi, b-açık olup pre-açık küme değildir.

1.1.9. Lemma [7]. Her b-açık küme, β-açıktır.

İspat. A kümesi b-açık ise , A ⊂ (A¯º ∪ Aº¯) olur. Buradan A¯º ⊂ A¯°¯ ve Aº¯ ⊂ A¯°¯ bulunur. O halde A ⊂ A¯°¯ dir. O halde A kümesi β-açıktır.

1.1.9. Uyarı [7]. β-açık kümenin b-açık küme olması gerekmez.

1.1.9. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {c, d} kümesi, β-açık olup b-açık küme değildir.

1.1.10. Uyarı [1]. β-açık kümeler ailesi genelde bir topolojik yapı oluşturmaz.

1.1.10. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {a, d} ve B = {b, d} kümeleri, β-açık olmalarına rağmen A ∩ B = {d} β-açık küme değildir.

Yukarıda incelenen kümelerin birbiri ile olan irtibatları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir ([6]).

açık (a) α-açık (b) semi-açık

(c) (d)

pre-açık (e) b-açık (f) β-açık Şekil 1.1.1.

1.1.1.NOT. (a) 1.1.1.Lemma, (b) 1.1.4. Lemma, (c) 1.1.5. Lemma, (d) 1.1.7. Lemma, (e) 1.1.8. Lemma, (f) 1.1.9. Lemma gereğince görülür. Bu lemmaların ters gerektirmelerinin doğru olmadığı sırasıyla (a)1.1.1. Uyarı, (b) 1.1.2. Uyarı, (c) 1.1.4. Uyarı, (d) 1.1.6. Uyarı, (e) 1.1.8. Uyarı, (f) 1.1.9. Uyarı gereğince görülür.

Literatürde, bir kümenin α-içi, semi-içi, pre-içi, b-içi, β-içi sırasıyla

, , , ile gösterilmiştir ve aşağıdaki şekilde

tanımlanmıştır. o A)_α ( o s A) ( o P A) ( , o b A) ( o A)_β (

1.1.2. Tanım. (X, τ) topolojik uzayındaki herA ⊂ X kümesi için; a) A kümesinin α-içi ; o = ∩ º¯° ([2]) , A)_α ( A A b) A kümesinin semi-içi ; o= ∩ º¯ ([10],[11]) , s A) ( A A c) A kümesinin pre-içi ; (A)o_P= A ∩A ¯º ([13]) , d) A kümesinin b-içi ; o= ∩( ¯°∪ º¯) ([4]) , b A) ( A A A

1.1.1. Tanımdan, 1.1.1. Şekilde gösterildiği gibi aşağıdaki lemma elde edilmiştir.

1.1.10. Lemma [6]. (X,

τ) topolojik uzayında

⊂ X kümesi verilsin. Bu takdirde kümesi için;

A A o A) ( ⊂ o ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ve A)α ( o s A) ( o b A) ( o A)_β ( A o A) ( ⊂ o ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ A)_α ( o P A) ( o b A) ( o A)_β ( A bağıntıları sağlanır.

1.1.11. Lemma [5,19]. (X, τ) topolojik uzayında A,B ⊂ X kümesi verilsin. Eğer A kümesi α-açık ve B kümesi pre-açık ise, A∩B kümesi pre-açıktır.

İspat. Eğer U⊂ X alt kümesi açık bir küme ise her A⊂X için U∩A¯⊂ (U∩A)¯ olduğu açıktır. Dolayısıyla A∩B ⊂ A°¯°∩B¯° ⊂ (A¯°∩B¯°)° ⊂ (A∩B)¯° olur. O halde A∩B ∈ PO(X) dir.

1.1.12. Lemma[5,16]. (X, τ) topolojik uzayında A,B ⊂ X kümesi verilsin. Eğer A kümesi semi-açık veya B kümesi semi-açık ise, (A∩B)¯° = A¯°∩B¯° dir.

İspat. Genel olarak, (A∩B)¯° ⊂ A¯°∩B¯° olduğu açıktır. A∈SO(X) olsun. Bu takdirde A⊂A°¯ dır. Dolayısıyla A¯⊂A°¯ olur. Diğer taraftan A°⊂ A olduğundan, A°¯⊂A¯ olur. Böylece A¯ = A°¯ elde edilir. Dolayısıyla A¯°∩B¯° = (A¯°∩B¯°)¯° ⊂ (A¯∩B¯°)¯° = (A°¯∩B¯°)¯°⊂ (A°∩B¯)¯° ⊂ (A°∩B)¯° ⊂ (A∩B)¯° olur. Böylece (A∩B)¯° = A¯°∩B¯° olur.

1. 2. D(c,β) -, D(c,s.p) -, D(c,s) -, D(c,p) -, D(c,α) - Küme

Dontchev Przemski[6], Beceren[5] ve Przemski[20] tarafından tanımlanan kümelerin ifadelerini ve sağladığı bazı özellikleri inceledik.

1.2.1. Tanım. (X, τ) topolojik uzayında A ⊂ X kümesi verilsin; a) D(c,β) = {A ⊂ X : (A)o= (A)o_β} küme ([6]), b) D(c,s.p) = {A ⊂ X : (A)o= o ∩ } küme ([6]), s A) ( o P A) ( c) D(c,s) = {A ⊂ X : (A)o= o} küme ([5]), s A) ( d) D(c,p) = {A ⊂ X : (A)o= o } küme ([20]), P A) (

e) D(c,α) = {A ⊂ X : (A)o= (A)_αo } küme ([20]) olarak tanımlanır.

Bu kümelerin birbiri ile olan irtibatlarının incelenip, yorumlanması çeşitli yazarlar tarafından şöyle verilmiştir:

1.2.1. Lemma[6]. Her açık-küme, D(c,β)-kümedir.

İspat. açık-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan, = bulunur. O halde , D(c,β)-kümedir. A A (A)o o A) ( o A)_β ( A (A)o (A)o (A)o_β A

1.2.1. Uyarı[6]. D(c,β)-kümenin açık-küme olması gerekmez.

1.2.1. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {d} kümesi, D(c,β)-küme olup açık-küme değildir.

1.2.2. Uyarı. D(c,β)-küme kavramı; α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık kavramlarından bağımsızdır.

1.2.2. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b},

{a, b}, {a, c}, {a, b, c}} şeklinde olsun. Bu takdirde A = {c, d} kümesi D(c,β)-küme olup, α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Aynı

zamanda B = {a, b, d} kümesi α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(c,β)-küme değildir.

1.2.2. Lemma[6]. Her D(c,β)-küme, D(c,p)-kümedir.

İspat. D(c,β)-küme ise, = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan, = bulunur. O halde , D(c,p)-kümedir. A (A)o (A)o_β o A) ( o P A) ( o A)_β ( o A) ( o A) ( o P A) ( A

1.2.3. Uyarı[6]. D(c,p)-kümenin D(c,β)-küme olması gerekmez.

1.2.3. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, d} kümesi D(c, p)-küme olup, D(c,β)-küme değildir.

1.2.4. Uyarı[20]. D(c,p)-küme ; α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.2.4. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, c, d} kümesi D(c,p)-küme olduğu halde α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Aynı zamanda B = {a, b, d} kümesi α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(c,p)-küme değildir.

İspat. D(c,β)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan = bulunur. O halde , D(c,s)-kümedir. A (A)o (A)o_β o A) ( o S A) ( o A)_β ( o A) ( o A) ( o S A) ( A

1.2.5. Uyarı[6]. D(c, s)-kümenin D(c, β)-küme olması gerekmez.

1.2.5. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ = {X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, c} kümesi D(c,s)-küme olup, D(c,β)-küme değildir.

1.2.6. Uyarı . D(c,s)-küme; α-açık, pre-açık, semi-açık ([5]), b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.2.6. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, c} kümesi D(c,s)-küme olduğu halde α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Aynı zamanda B = {a, b, d} kümesi α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(c,s)-küme değildir.

1.2.7.Uyarı[5]. D(c,s)-küme ve D(c,p)-küme kavramları birbirinden bağımsızdır.

1.2.7. Örnek[5]. (X,

τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a},

{b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b} kümesi D(c,s)-küme olduğu halde D(c,p)-küme değildir. Aynı şekilde B = {a, d} kümesi D(c,p)-küme olup, D(c,s)-küme değildir.

( =

İspat. D(c, p)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ olduğundan , ⊂ bulunur. Bu da ∩ =

demektir. O halde , D(c,s.p)-kümedir.

A (A)o (A)o_P o A) ( o P A) ( o P A) ( o S A) ( o P A) ( o S A) ( o P A) ( = o A) ( A

1.2.8. Uyarı[6]. D(c,s.p)-kümenin D(c,p)-küme olması gerekmez.

1.2.8. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {b, d} kümesi D(c,s.p)-küme olup, D(c,p)-küme değildir.

1.2.5. Lemma[6]. Her D(c,s)-küme, D(c,s.p)-kümedir.

İspat. D(c,s)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ = olduğundan, ⊂ demektir. Bu da ∩ = O halde , D(c,s.p)-kümedir. A (A)o o S A) ( o A) ( o S A) ( o A) ( o S A) ( o P A) ( o P A) ( o S A) ( o P A) (A)o A

1.2.9. Uyarı[6]. D(c,s.p)-kümenin D(c,s)-küme olması gerekmez.

1.2.9. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, d} kümesi D(c,s.p)-küme olup, D(c,s)-küme değildir.

1.2.10. Uyarı. D(c,s.p)-küme; α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.2.10. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {c, d} kümesi D(c,s.p)-küme olduğu halde α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Aynı zamanda B = {a, b, d} kümesi α-açık, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(c,s.p)-küme değildir.

1.2.6. Lemma[6]. Her D(c,s.p)-küme, D(c,α)-kümedir.

İspat. D(c,s.p)-küme ise , = ∩ dir. Bu da =

veya = demektir. 1.1.10. Lemma gereğince, ⊂ ⊂

ve ⊂ ⊂ = olduğundan , = bulunur. O halde , D(c,α)-kümedir. A (A)o (A)o_P o S A) ( o A) ( o P A) ( o A) ( o S A) ( o A) ( o A)_α ( o P A) ( = o A) ( o A) ( o A)_α ( o S A) ( o A) ( o A) ( o A)_α ( A

1.2.11. Uyarı[6]. D(c,α)-kümenin D(c,s.p)-küme olması gerekmez.

1.2.11. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c},

{a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, c, d} kümesi D(c,α)-küme olup, D(c,s.p)-küme değildir.

Çeşitli yazarlar sürekli ve α-sürekli fonksiyonların dağılımlarını veren, A-küme[21], B-küme[22], C-küme[9] tanımlarını verdiler. Bu çalışmada, bu kümelerle elde edilen dağılımları kısaca inceledik.

1.2.2.Tanım. (X, τ) topolojik uzayında ⊂ X kümesi verilsin. U açık küme ve V = V°¯ (regüler kapalı) olmak üzere = U ∩ V ise kümesine, A-küme ([21]) denir.

A

A A

1.2.1.Teorem[21]. (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve A-küme

olmasıdır.

A

A A

1.2.3.Tanım. (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. V° = V¯° (t-küme) ve U açık olmak üzere = U ∩ V ise kümesine B-küme ([22]) denir.

A

1.2.2.Teorem.[22] (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve B-küme olmasıdır.

A A

A

1.2.4.Tanım. (X, τ) topolojik uzayı ve ⊂ X kümesi verilsin. U açık küme ve V° = V°¯° (α küme) olmak üzere = U ∩ V ise kümesine, C-küme ([9]) denir.

A

∗

A A

1.2.3.Teorem[9]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin α-açık ve C-küme olmasıdır.

A A

A

1.2.12. Uyarı 1)[22]. Her açık A-Kümedir fakat, A-kümenin açık olması gerekmez. Her A-küme B-kümedir fakat, B-kümenin A-küme olması gerekmez.

2) [9]. Her B-küme, D(c,p) ve C-kümedir. Fakat C-küme ve D(c,p)-kümenin, B-küme olması gerekmez.

3) [9]. Her C-küme D(c,α)-kümedir. Fakat D(c,α)-kümenin C-küme olması gerekmez.

Buraya kadar incelenen kümelerin birbiri ile olan irtibatları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir ([9]).

açık A-küme (n) (d)

(a) B-küme C-küme (g)

(c) (k) D(c,β)-küme D(c,p)-küme

(b)

(e) (f)

D(c,s)-küme D(c,s.p)-küme D(c,α)-küme (h) (m)

Şekil 1.2.1.

1.2.1.NOT. (a) 1.2.1.Lemma, (b) 1.2.2. Lemma, (c) 1.2.12. Uyarı(2), (d) 1.2.12. Uyarı(1), (e) 1.2.3. Lemma, (f)1.2.4. Lemma, (g) 1.2.12. Uyarı (2), (h) 1.2.5. Lemma (k) 1.2.12. Uyarı(3) (m) 1.2.6. Lemma (n) 1.2.12. Uyarı (1) gereğince görülür. Bu lemma ve uyarıların ters gerektirmelerinin doğru olmadığı sırasıyla (a)1.2.1.Uyarı, (b)1.2.3. Uyarı, (c) 1.2.12. Uyarı (2), (d) 1.2.12. Uyarı (1), (e)1.2.5. Uyarı, (f)1.2.8. Uyarı, (g) 1.2.12. Uyarı (2), (h) 1.2.9. Uyarı (k) 1.2.12. Uyarı (3) (m) 1.2.11. Uyarı (n) 1.2.12. Uyarı (1) gereğince görülür.

Açık kümenin literatürde yer alan dağılımları aşağıdaki beş teoremle ele alınmıştır.

1.2.4. Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin.

kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin β-açık ve D(c,β)-küme olmasıdır.

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve açık küme ise = dir.

1.1.10.Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = bulunur. O halde kümesi D(c,β)-küme ve β-açıktır.

A A (A)o

A (A)o (A)o_β A

A (A)o (A)o_β A

⇐ A , D(c,β)-küme ve β-açık küme ise; (A)o= (A)o_β ve A= dir.

Dolayısıyla, = elde edilir. Bu da , açık-kümedir.

o

A)_β

(

A (A)o A

1.2.5. Teorem[20]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin pre-açık ve D(c,p)-küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve açık küme ise = dir. 1.1.10.Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = bulunur. O halde , D(c,p)-küme ve pre-açık kümedir.

A A (A)o

A (A)o (A)o_P A A (A)o (A)o_P

A

⇐ A D(c,p)-küme ve pre-açık küme ise; (A)o= (A)o_p ve A = dir.

Dolayısıyla , = bulunur. O halde , açık-kümedir.

o p

A)

(

A (A)o A

1.2.6. Teorem[5]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin semi-açık ve D(c,s)-küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve açık küme ise, = dir. 1.1.10.Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan, = = bulunur. O halde , D(c,s)-küme ve semi-açık kümedir.

A A (A)o A (A)o o S A) ( A A (A)o o S A) ( A

⇐ A D(c,s)-küme ve semi-açık küme ise; (A)o= o ve S

A)

( A= dir.

Dolayısıyla, = bulunur. O halde , açık-kümedir.

o S

A)

(

1.2.7. Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin semi-açık, pre-açık ve D(c,s.p)-küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve açık küme ise = dir.

1.1.10.Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ ve = ⊂ ⊂

olur. Buradan = = = demektir. Buradan = = ∩

bulunur. O halde , D(c,s.p)-küme, semi-açık ve pre-açık kümedir.

A A (A)o A (A)o (A)o_S A A (A)o (A)o_p A A (A)o o S A) ( o p A) ( A (A)o o S A) ( o p A) ( A

⇐ D(c,s.p)-küme, semi-açık ve pre açık küme ise; = ∩ ve = ve = dir. Dolayısıyla, = = = bulunur. O halde açık-kümedir. A (A)o o S A) ( o p A) ( A (A)o_S A (A)o_p A (A)o (A)o_S (A)o_p A

1.2.8. Teorem[20]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin D(c,α)-küme ve α-açık olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve açık küme ise = dir.

1.1.10.Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = =

bulunur. O halde , D(c,α)-küme ve α-açık kümedir.

A A (A)o

A (A)o (A)_αo A A (A)o (A)_αo

A

⇐ D(c,α)-küme ve α-açık küme ise; = ve = dir. Dolayısıyla, = bulunur. O halde açık-kümedir.

A (A)o o A)_α ( A o A)_α ( A (A)o A

1. 3. D(α,β) -, D(α,s.p) -, D(α,p) -, D(α,s) - Küme

Dontchev Przemski [6] , Przemski [20] ve Beceren [5] tarafından tanımlanan kümeleri ve sağladığı bazı özellikleri aşağıda inceledik.

1.3.1. Tanım. (X, τ) topolojik uzayında A ⊂ X kümesi verilsin; a) D(α,β) = {A ⊂ X : (A)_αo= (A)o_β} küme ([6]) , b) D(α,s.p) = {A ⊂ X : o = ∩ } küme ([6]) , A)α ( o s A) ( o P A) ( c) D(α,p) = {A ⊂ X : (A)_αo = (A)oP} küme ([20]) , d) D(α,s) = {A ⊂ X : o = } kümedir ([5]) . A)α ( o s A) (

Bu kümelerin birbiri ile olan irtibatlarını aşağıdaki kısımda inceledik .

1.3.1. Lemma[6]. Her D(c,β)-küme, D(α,β)-kümedir.

İspat. D(c,β)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan, = bulunur. O halde , D(α,β)-kümedir. A (A)o (A)o_β o A) ( o A)α ( o A)_β ( o A) ( o A)α ( o A)_β ( A

1.3.1. Uyarı[6]. D(α,β)-kümenin D(c,β)-küme olması gerekmez.

1.3.1. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(α,β)-küme olup, D(c,β)-küme değildir.

1.3.2. Uyarı. D(α,β)-küme; D(c,p)-küme, D(c,s)-küme ve D(c,α)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.2. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(α,β)-küme olduğu halde D(c,p)-küme; D(c,s)-küme ve D(c,α)-küme değildir.

1.3.3. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X={a, b, c, d} ve τ = {X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisinde ise A = {a, b} kümesi D(c,s)-küme ve D(c,α)-küme olduğu halde D(α,β)-küme değildir. B = {a, d} kümesi D(c,p)-küme olup, D(α,β)-küme değildir.

1.3.3. Uyarı. D(α,β)-küme; pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.4. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X={a, b, c, d} ve τ = {X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(α,β)-küme olup, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Ayrıca B = {a, d} kümesi semi-açık, b-açık ve β-açık küme olduğu halde D(α,β)-küme değildir. C = {a, c} kümesi pre-açık küme olup, D(α,β)-küme değildir.

1.3.2. Lemma[6]. Her D(α,β)-küme, D(α,p)-kümedir.

İspat. D(α,β)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince, ⊂ ⊂ = olduğundan , = bulunur. O halde , D(α,p)-kümedir. A (A)_αo (A)o_β o A)α ( o P A) ( o A)_β ( o A)α ( o A)α ( o P A) ( A

1.3.4. Uyarı[6]. D(α,p)-kümenin D(α,β)-küme olması gerekmez.

1.3.5. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, d} kümesi D(α,p)-küme olup, D(α,β)-küme değildir.

( =

İspat. α-açık küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince

= ⊂ ⊂ olduğundan, = bulunur. O halde , D(α,β)-kümedir. A A o A)α ( A o A)α ( o A)_β ( A o A)α ( o A)_β ( A

1.3.5. Uyarı[6]. D(α,β)-kümenin α-açık küme olması gerekmez.

1.3.6. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {c} kümesi D(α,β)-küme olup, α-açık küme değildir.

1.3.4. Lemma[20]. Her D(c,p)-küme, D(α,p)-kümedir.

İspat. D(c,p)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ olduğundan, = bulunur. O halde

, D(α,p)-kümedir. A (A)o o P A) ( o A) ( o A)α ( o P A) (A)o o A)α ( o P A) ( A

1.3.6. Uyarı[20]. D(α,p)-kümenin D(c,p)-küme olması gerekmez.

1.3.7. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, b, d} kümesi D(α,p)-küme olup, D(c,p)-küme değildir.

1.3.7. Uyarı[5]. D(α,p)-küme; D(c,α)-küme ve D(c,s)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.8. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, b, d} kümesi D(α,p)-küme olduğu halde D(c,α)-küme ve D(c,s)-küme değildir.

1.3.9. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {c, d} kümesi D(c,α)-küme ve D(c,s)-küme olup, D(α,p)-küme değildir.

1.3.8. Uyarı. D(α,p)-küme; pre-açık, b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.10.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(α,p)-küme olduğu halde pre-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Ayrıca B = {b} kümesi pre-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(α,p)-küme değildir.

1.3.5. Lemma[6]. Her D(α,β)-küme, D(α,s)-kümedir.

İspat. D(α, β)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan, = bulunur. O halde , D(α,s)-kümedir. A (A)o_α (A)o_β o A)α ( o s A) ( o A)_β ( o A)α ( o A)α ( o s A) ( A

1.3.9. Uyarı[6]. D(α,s)-kümenin D(α,β)-küme olması gerekmez.

1.3.11.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(c,s)-küme olup, D(α,β)-küme değildir.

1.3.6. Lemma[5]. Her D(c,s)-küme, D(α,s)-kümedir.

İspat. D(c,s)-küme ise = dir. 1.1.10. Lemma gereğince, ⊂ ⊂ = olduğundan , = bulunur. O halde , D(α,s)-kümedir. A (A)o o s A) ( o A) ( o A)_α ( o s A) ( o A) ( o A)_α ( o s A) ( A

1.3.12. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b},

{a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(α,s)-küme olup, D(c,s)-küme değildir.

1.3.7. Lemma[20]. Her semi-açık küme, D(α,p)-kümedir.

İspat. semi-açık ise, ⊂ dır. Buradan °⎯ ⊂ ⎯ (1) sağlanır. kümesi semi-açık olduğundan, ⊂ °⎯ olup ⎯ ⊂ °⎯ elde edilir (2). (1) ve (2) den ⎯ = °⎯ ve ⎯° = °⎯° dir. Buradan

∩ ⎯° = ∩ °⎯° bulunur. Bu da = demektir. O halde , D(α,p)-kümedir. A (A)o A A A A A A A A A A A A A A A A o A)α ( o P A) ( A

1.3.11. Uyarı[20]. D(α,p)-kümenin semi-açık küme olması gerekmez.

1.3.13. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, c} kümesi D(α,p)-küme olup, semi-açık küme değildir.

1.3.12. Uyarı[5] . D(α,s)-küme; D(α,p)-küme , D(c,α)-küme ve D(c,p)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.14. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {d}, {a, d}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(α,s)-küme olduğu halde D(c,α)-küme ve D(c,p)-küme değildir.

1.3.15.Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = { a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(α,s)-küme olduğu halde D(α,p)-küme değildir. Diğer taraftan B = {a, d} kümesi D(α,p)-küme , D(c,α)-küme ve D(c,p)-küme olup, D(α,s)-küme değildir.

1.3.13. Uyarı[5]. D(α,s)-küme; pre-açık, semi-açık b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.3.16. Örnek[5]. (X, τ) topolojik uzayı X = { a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(α, s)-küme olup, pre-açık, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Diğer taraftan B = {a, d} kümesi semi-açık, b-açık ve β-açık küme olduğu halde D(α,s)-küme değil ve C = {a, b, d} kümesi pre-açık olup, D(α,s)-küme değildir.

1.3.8. Lemma[6]. Her D(α,p)-küme, D(α,s.p)-kümedir.

İspat. D(α,p)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ olduğundan, = ∩ bulunur. O halde , D(α,s.p)-kümedir. A o A)_α ( o P A) ( o A)_α ( o s A) ( o A)_α ( o s A) ( o P A) ( A

1.3.14. Uyarı[6]. D(α,s.p)-kümenin D(α,p)-küme olması gerekmez.

1.3.17. Örnek. (X,

τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a},

{b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, b} kümesi D(α,s.p)-küme olup, D(α,p)-küme değildir.

1.3.9. Lemma[6]. Her D(α,s)-küme, D(α,s.p)-kümedir.

İspat. D(α,s)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ olduğundan , = ∩ bulunur. O halde , D(α,s.p)-kümedir. A o A)α ( o s A) ( o A)α ( o P A) ( o A)α ( o s A) ( o P A) ( A

( =

1.3.18. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, d} kümesi D(α,s.p)-küme olup, D(α,s)-küme değildir.

1.3.10. Lemma[6]. Her D(c,s.p)-küme, D(α,s.p)-kümedir.

İspat. D(c,s.p)-küme ise , = ∩ dir. 1.1.10. Lemma

gereğince, ∩ ⊂ ve ⊂ ∩ olduğundan,

= ∩ bulunur. O halde , D(α,s.p)-kümedir.

A (A)o o s A) ( o P A) ( o s A) ( o P A) (A)o (A)o_α (A)_αo (A)o_s (A)oP o A)α ( o s A) ( o P A) ( A

1.3.16. Uyarı[6]. D(α,s.p)-kümenin D(c,s.p)-küme olması gerekmez.

1.3.19. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(α,s.p)-küme olup, D(c,s.p)-küme değildir.

Buraya kadar incelediğimiz kümeler arasındaki irtibatlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir([6]).

(g) (h) Semi-açık D(α,p) D(α,s.p) (c) (e) (k) (m) α-açık D(α,β) D(α,s) (f) (b) (a) (d) D(c,p) D(c,s.p) D(c,α) açık D(c,β) D(c,s) Şekil 1.3.1.

1.3.1.NOT. (a) 1.3.1.Lemma, (b) 1.3.5. Lemma, (c) 1.3.2. Lemma, (d) 1.3.6. Lemma, (e) 1.3.4. Lemma, (f) 1.3.3. Lemma, (g) 1.3.7. Lemma

(h) 1.3.8. Lemma, (k) 1.3.9. Lemma, (m) 1.3.10. Lemma gereğince görülür. Lemmaların ters gerektirmelerinin doğru olmadığı sırasıyla (a) 1.3.1.Uyarı, (b) 1.3.9. Uyarı, (c) 1.3.4. Uyarı, (d) 1.3.10. Uyarı, (e) 1.3.6. Uyarı, (f) 1.3.5. Uyarı (g)1.3.11. Uyarı, (h) 1.3.14. Uyarı, (k) 1.3.15. Uyarı (m) 1.3.16. Uyarı gereğince görülür.

α-açık kümenin dağılımlarını 1.3.1. , 1.3.2. ve 1.3.3. Teorem olarak aşağıda inceledik.

1.3.1. Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin D(α,β)-küme

ve β-açık küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay olsun. α-açık küme ise = dir. 1.1.10.

Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = =

bulunur. O halde D(α,β)-küme ve β-açık kümedir.

A A o

A)α

(

A (A)_αo (A)o_β A A (A)o (A)_αo (A)o_β

A

⇐ A , D(α,β)-küme ve β-açık küme ise; (A)o_α= (A)o_β ve A= dir.

Dolayısıyla = bulunur. O halde α-açık kümedir.

o A)_β ( A o A)α ( A

1.3.2. Teorem[20]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin D(α,p)-küme ve pre-açık olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X,

τ) topolojik uzay olsun.

α-açık küme ise = dir. 1.1.10. Lemma gereğince = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = bulunur. O halde , D(α,p)-küme ve pre-açık kümedir.

A A o A)α ( A o A)α ( o P A) ( A A o A)α ( o P A) ( A

⇐ A , D(α,p)-küme ve pre-açık küme ise; o = ve

A)α

( o

P

A)

( A =

dir. Dolayısıyla, = bulunur. O halde , α-açık kümedir.

o P

A)

(

A (A)_αo A

1.3.3. Teorem[5]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin α-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin D(α,s)-küme ve semi-açık olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X,

τ) topolojik uzay olsun.

α-açık küme ise = dir.

1.1.10. Lemma gereğince = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = bulunur. O halde , D(α,s)-küme ve semi-açık kümedir.

A A o A)α ( A o A)_α ( o s A) ( A A (A)o_α (A)o_s A

⇐ A , D(α,s)-küme ve semi-açık küme ise; o= ve

A)α

( o

s

A)

( A= dir.

dolayısıyla = bulunur. O halde α-açık kümedir.

o s A) ( A (A)_αo A 1. 4. D(p,β) -, D(p,b) -, D(b,β) - Küme

Dontchev Przemski [6] nin tanımladığı aşağıdaki kümeler yardımıyla elde edilen, pre-açık ve b-açık kümenin dağılımlarını 1.4.2. , 1.4.3. ve 1.4.4. Teorem olarak inceledik.

1.4.1. Tanım. (X, τ) topolojik uzayında A ⊂ X kümesi verilsin; a) D(p,β) = {A ⊂ X : o } küme ([6]), P A) ( = o A)_β ( b) D(p,b) = {A ⊂ X : (A)o_P= o} küme ([6]), b A) ( c) D(b,β) = {A ⊂ X : o= } kümedir ([6]). b A) ( o A)_β (

Tanımı verilen bu kümelerin birbirleriyle olan irtibatını aşağıdaki kısımda inceledik.

1.4.1. Lemma[6]. Her D(α,β)-küme, D(p,β)-kümedir.

İspat. D(α,β)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ ⊂ = olduğundan , bulunur. O halde

, D(p,β)-kümedir. A o A)α ( o A)_β ( o A)_α ( o P A) ( o A)_β ( o A)_α ( o P A) ( = o A)_β ( A

1.4.1. Uyarı[6]. D(p,β)-kümenin D(α,β)-küme olması gerekmez.

1.4.1. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c},

{a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(p,β)-küme olup, D(α,β)-küme değildir.

1.4.2. Uyarı. D(p,β)-küme; D(α,s)-, D(c,α)-, D(c,s)-, D(c,p)-, D(α,p)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.4.2. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(p,β)-küme olup, D(c,α)-, D(c,s)- ve D(c,p)-küme değildir.

1.4.3. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X={a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {d}, {a, c}, {a, c, d}} topolojisi verilsin. A = {b, c, d} kümesi D(p,β)-küme olup, D(α,s)- ve D(α,p)-küme değildir. B = {b, d} kümesi, D(c,α)-, D(c,p)-, D(α,p)-küme ve C = {b, c} kümesi de D(c,s)- ve D(α,s)-küme olup, D(p,β)-küme değildir.

( =

( =

( =

1.4.3. Uyarı. D(p,β)-küme; semi-açık b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.4.4. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d, e} ve τ = { X, ∅, {a}, {e}, {a, e}, {c, d}, {a, c, d}, {c, d, e}, {a, c, d, e}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b} kümesi, D(p,β)-küme olup, semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. B = {b, e} kümesi; semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(p,β)-küme değildir.

1.4.2. Lemma[6]. Her D(p,β)-küme, D(p,b)-kümedir.

İspat. D(p,β)-küme ise , dir. 1.1.10. Lemma gereğince, ⊂ ⊂ = olduğundan , bulunur. O halde , D(p,b)-kümedir. A o P A) (A)o_β o P A) ( o b A) ( o A)_β ( o P A) ( o P A) (A)o_b A

1.4.4. Uyarı[6]. D(p,b)-kümenin D(p,β)-küme olması gerekmez.

1.4.5. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c},

{a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, d} kümesi D(p,b)-küme olup, D(p,β)-küme değildir.

1.4.3. Lemma[6]. Her D(α,s)-küme, D(p,b)-kümedir.

İspat. D(α,s)-küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

⊂ olduğundan, ⊂ bulunur. ∪

olduğundan bulunur. O halde , D(p,b)-kümedir.

A o A)α ( o s A) ( o A)α ( o P A) ( o s A) ( o P A) ( o s A) ( o P A) o b A) ( o P A) ( = o b A) ( A

( =

1.4.6. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {a}, {b, c},

{a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, b, d} kümesi D(p,b)-küme olup, D(α,s)- küme değildir.

1.4.6.Uyarı. D(p,b)-küme; D(c,α)-, D(c,p)- ve D(α,p)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.4.7. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {d}, {a, d}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(p,b)-küme olup, D(c,α)- ve D(c,p)-küme değildir.

1.4.8. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X= {a, b, c, d} ve τ ={ X, ∅, {d}, {a, c}, {a, c, d}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, c, d} kümesi D(p,b)-küme olup, D(α,p)-küme değildir. B = {b, d} kümesi, D(c,α)- , D(c,p)- ve D(α,p)-küme olup, D(p,b)-küme değildir.

1.4.7. Uyarı. D(p,b)-küme; semi-açık, b-açık ve β-açık küme kavramlarından bağımsızdır.

1.4.9. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {c, d} kümesi D(p,b)-küme olduğu halde semi-açık, b-açık ve β-açık küme değildir. Aynı zamanda A ={a, c, d} kümesi semi-açık, b-açık ve β-açık küme olup, D(p,b)-küme değildir.

1.4.4. Lemma[6]. Her D(p,β)-küme, D(b,β)-kümedir.

İspat. D(p,β)-küme ise , dir. 1.1.10. Lemma gereğince, ⊂ ⊂ = olduğundan , = bulunur. O halde , D(b,β)-kümedir. A A)o_P (A)o_β o P A) ( o b A) ( o A)_β ( o P A) ( o b A) ( o A)_β ( A

( =

( =

1.4.10.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, d} kümesi D(b,β)-küme olup, D(p,β)-küme değildir.

1.4.5. Lemma[6]. Her D(α,p)-küme, D(b,β)-kümedir.

İspat. D(α,p)-küme ise, = dir. 1.1.10. Lemma gereğince ⊂ olduğu görülür. O halde ∩ ¯°⊂ ∩ °¯ bulunur. O zaman ∩ °¯ = ∩ ¯°¯ bulunur ki = (1) demektir. Yine

∪ olduğundan, ⊂ ise; = (2) olur. (1) ve (2) den = = elde edilir. O halde kümesi, D(b,β)-kümedir. A o A)α ( o P A) ( o P A) ( = o A)_α ( o s A) ( A A A A A A A A o s A) ( o A)_β ( o s A) ( o P A) o b A) ( o P A) ( o s A) ( o s A) ( o b A) ( o s A) ( o b A) ( o A)_β ( A

1.4.9. Uyarı[6]. D(b,β)-kümenin D(α,p)-küme olması gerekmez.

1.4.11.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b, c},

{a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {a, c} kümesi D(b,β)-küme olup, D(α,p)-küme değildir.

1.4.6. Lemma[6]. Her pre-açık küme, D(p,β)-kümedir.

İspat. pre-açık küme ise , = dir. 1.1.10. Lemma gereğince,

= ⊂ ⊂ olduğundan, bulunur. O halde , D(p,β)-kümedir

A A (A)o_P

A (A)o_P (A)_βo A A)o_P (A)o_β

A

1.4.12.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ ={X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(p,β)-küme olup, pre-açık küme değildir.

1.4.7. Lemma[6]. Her b-açık küme, D(b,β)-kümedir.

İspat. b-açık küme ise , = dir. 1.1.10.Lemma gereğince,

= ⊂ ⊂ olduğundan, = bulunur. O halde ,

D(b,β)-kümedir. A A o b A) ( A (A)_bo (A)o_β A (A)o_b (A)o_β A

1.4.11. Uyarı[6]. D(b,β)-kümenin b-açık küme olması gerekmez.

1.4.13.Örnek. (X,

τ) topolojik uzayı X ={a, b, c, d} ve τ

= { X, ∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(b,β)-küme olup, b-açık küme değildir.

1.4.12. Uyarı. D(b,β)-küme; D(c,α)-, D(c,s)-, D(α,s )- ve D(p,b)-küme kavramlarından bağımsızdır.

1.4.14. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. A = {a, b, d} kümesi, D(b,β)-küme olup, D(c,α)- ve D(c,s)-küme değildir. B = (a, c, d) kümesi D(b,β)-küme olup, D(α,s )- ve D(p,b)-küme değildir.

1.4.15.Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {d},

{a,c}, {a, c, d}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {b, c} kümesi D(c,α)-, D(c,s)-, D(α,s )- ve D(p,b)-küme olup, D(b,β)-küme değildir.

1.4.16. Örnek. (X, τ) topolojik uzayı X = {a, b, c, d} ve τ = { X, ∅, {a}, {b,c}, {a, b, c}} topolojisi verilsin. Bu takdirde, A = {d} kümesi D(b,β)-küme olduğu halde β-açık küme değildir. B = {b, d} kümesi β-açık küme olup, D(b,β)-küme değildir.

1.4.1. Teorem. (X, τ) topolojik uzay ve ⊂ X kümesi verlsin. kümesinin D(p,β)-küme olması için gerek ve yeter şart kümesinin D(p,b)-küme ve D(b,β)-küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ D(p,β)-küme ise , 1.4.2. Lemma gereğince D(p,b)-küme ve 1.4.4. Lemma gereğince D(b,β)-kümedir.

A

⇐ , D(p,b)-küme ve D(b,β)-küme ise; ve = olur. O halde ( = dir. O halde , D(p,β)-kümedir.

A (A)oP = o b A) ( o b A) ( o A)_β ( o P A) (A)o_β A

Çalışma boyunca incelediğimiz kümelerin birbiri ile olan irtibatı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir ([6]). β-açık b-açık D(b,β) (g) (c) (e) Pre-açık D(p,β) D(p,b) (f) (b) (a) (d) Semi-açık D(α,p) D(α,s.p) α-açık D(α,β) D(α,s) D(c,p) D(c,s.p) D(c,α) açık D(c,β) D(c,s) Şekil 1.4.1.

1.4.1.NOT. (a) 1.4.1.Lemma, (b) 1.4.2. Lemma, (c) 1.4.4. Lemma, (d)1.4.3. Lemma, (e) 1.4.5. Lemma, (f)1.4.6. Lemma, (g) 1.4.7. Lemma gereğince görülür. Lemmaların ters gerektirmelerinin doğru olmadığı sırasıyla (a)1.4.1.Uyarı, (b)1.4.4. Uyarı, (c)1.4.8. Uyarı, (d)1.4.5. Uyarı, (e)1.4.9. Uyarı, (f) 1.4.10. Uyarı (g)1.4.11. Uyarı gereğince görülür.

( =

( =

Pre-açık ve b-açık kümelerin dağılımını 1.4.2. , 1.4.3. ve 1.4.4. Teorem olarak aşağıda inceledik. İspatsız olarak ([6]) da verilen teoremleri ispatlarıyla verdik.

1.4.2.Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin pre-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin, D(p,β)-küme ve β-açık olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve kümesi pre-açık ise = dir.

1.1.10. Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = bulunur. O halde , D(p,β)-küme ve β-açık kümedir.

A A o P A) ( A (A)o_P (A)o_β A A A)o_P (A)o_β A

⇐ A , D(p,β)-küme ve β-açık küme ise; o ve P

A) (A)o_β A = dir.

Dolayısıyla , = bulunur. O halde , pre-açık kümedir.

o

A)_β

(

A (A)o_P A

1.4.3. Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin pre-açık olması için gerek ve yeter şart kümesinin,

D(p,b)-küme ve b-açık D(p,b)-küme olmasıdır.

A

A A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve pre-açık küme ise, = dir.

1.1.10. Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = bulunur. O halde , D(p,b)-küme ve b-açık kümedir.

A A (A)o_P A o P A) ( o b A) ( A A (A)o_P = (A)o_b A

⇐ A , D(p,b)-küme ve b-açık küme ise; o ve P A) ( = o b A) ( A = dir.

Dolayısıyla , = bulunur. O halde , pre-açık kümedir.

o b

A)

(

A (A)o_P A

1.4.4. Teorem[6]. (X,

τ) topolojik uzayı ve

⊂ X kümesi verilsin. kümesinin b-açık küme olması için gerek ve yeter şart kümesinin

A

İspat. ⇒ (X, τ) topolojik uzay ve b-açık küme ise = dir.

1.1.10. Lemma gereğince, = ⊂ ⊂ olur. Buradan = = bulunur. O halde , D(b,β)-küme ve β-açık kümedir.

A A o b A) ( A o b A) ( o A)_β ( A A o b A) ( o A)_β ( A

⇐ A , D(b,β)-küme ve β-açık küme ise; o = ve b

A)

( o

A)_β

( A = dir.

Dolayısıyla , = bulunur. O halde , b-açık kümedir.

o

A)_β

(

A (A)o_b A

2. BÖLÜM

1. Bölümde incelediğimiz kümeler yardımıyla, genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar elde etmek tabiidir. Önce çalışmamız için gerekli olan sürekli, α-sürekli [14], Pre- sürekli[13], Semi-sürekli[12], b-sürekli [4,6,7] ve β-sürekli[1]

fonksiyonları inceledik.

2.1.1. Tanım. f : (X,τ) →(Y,

υ

) fonksiyonu verilsin. Y uzayındaki her açık kümenin ters görüntüsü X uzayında;

a) Açık ise, f fonksiyonuna sürekli ,

b) α-açık ise, f fonksiyonuna α-sürekli ([14]) , c) pre-açık ise, f fonksiyonuna pre-sürekli ([13]) , d) semi-açık ise, f fonksiyonuna semi-sürekli ([12]) , e) b-açık ise, f fonksiyonuna b-sürekli ([4,6,7]) , f) β-açık ise, f fonksiyonuna β-sürekli ([1]) denir.

Bu sürekli fonksiyonların birbiri ile olan irtibatlarının incelenip, yorumlanması çeşitli yazarlar tarafından şöyle verilmiştir:

2.1.1. Örnek. X = { a, b, c} kümesi üzerinde τ= { X, ∅, {a}, { a, b}} ve

υ

= { X, ∅, {a}, {b}} topolojileri verilsin. f : (X,τ) →(X,

υ

) fonksiyonu

f (a) = b , f (b) = a , f (c) = c şeklinde tanımlansın. Fonksiyonun X kümesinin her elemanı için sürekli olduğu görülür.

2.1.1. Lemma [5,14]. Her sürekli fonksiyon, α-süreklidir. İspat. 1.1.1. Lemma gereğince bulunur.