Tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılımları / Joint distributions of order statistics of random variables

(1)

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Fahrettin ÖZBEY

Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR OCAK–2011

(2)

T.C.

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

DOKTORA TEZĠ Fahrettin ÖZBEY

(08121205)

Anabilim Dalı: Matematik

Programı: Uygulamalı Matematik

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 OCAK–2011

(3)

T.C.

TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI

ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

DOKTORA TEZĠ Fahrettin ÖZBEY

(08121205)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih: 11 Ocak 2011 Tezin Savunulduğu Tarih: 26 Ocak 2011

Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR (F.Ü) Diğer Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Murat KARAGÖZ (Fatih Ü)

Prof. Dr. Necdet ÇATALBAġ (F.Ü)

Prof. Dr. Mikail ET (F.Ü)

Yrd. Doç. Dr. Mahmut IġIK (F.Ü)

(4)

II ÖNSÖZ

Sıralı istatistiklerin dağılımları birçok çalışmaya konu olmuştur. Ancak, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları literatürde bulunmamaktadır. Bu tez, söz konusu olan eksiği giderme ümidiyle hazırlandı.

Öğrencisi olduğum ilk günden itibaren bilgi ve tecrübesiyle bana yol gösteren, beni yönlendiren ve akademik hayatın dışında da her konuda manevi desteğini esirgemeyen değerli hocam ve tez danışmanım Doç. Dr. Mehmet GÜNGÖR’e teşekkür eder, saygılarımı sunarım.

Ayrıca, tez dönemi boyunca yardım ve ilgisini hep yanımda hissettiğim değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Gökhan GÖKDERE’ye teşekkür ederim.

Her ne yapsam da borçlu kalacağım, nasıl teşekkür edeceğimi bilmediğim, hayatımda hep ilk sırada olmalarına rağmen bu son satıra yerleşen aileme yürekten teşekkür ederim.

Fahrettin ÖZBEY ELAZIĞ – 2011

(5)

III ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa No ÖNSÖZ...II ĠÇĠNDEKĠLER...III ÖZET...IV SUMMARY...V SEMBOLLER LĠSTESĠ...VI 1. GĠRĠġ...1 1.1. Temel Tanımlar...3 2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI...8 3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI...12 4. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI...18 5. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ

DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI...21 6. SONUÇLAR...31 KAYNAKLAR...49 ÖZGEÇMĠġ...

(6)

IV ÖZET

Bu tez, altı bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, temel tanımlar verilmiştir.

İkinci bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları verilmiştir.

Üçüncü bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık ve dağılım fonksiyonları ifade edilmiştir.

Dördüncü bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları incelenmiştir.

Beşinci bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık ve dağılım fonksiyonları elde edilmiştir.

Son bölümde, tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Sıralı İstatistikler, Tesadüfi Değişkenler, Bağımsız Tesadüfi Değişkenler, Aynı Dağılımlı Tesadüfi Değişkenler, Aynı Dağılımlı Olmayan Tesadüfi Değişkenler, Sürekli Tesadüfi Değişkenler, Kesikli Tesadüfi Değişkenler, Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu, Bileşik Olasılık Fonksiyonu, Bileşik Dağılım Fonksiyonu.

(7)

V SUMMARY

Joint Distributions of Order Statistics of Random Variables

This thesis consists of six chapters.

In the first chapter, the fundamental definitions are given.

In the second chapter, the joint probability density and distribution functions of order statistics of independent and identically distributed continuous random variables are given.

In the third chapter, the joint probability and distribution functions of order statistics of independent and identically distributed discrete random variables are expressed.

In the fourth chapter, the joint probability density and distribution functions of order statistics of independent and nonidentically distributed continuous random variables are examined.

In the fifth chapter, the joint probability and distribution functions of order statistics of independent and nonidentically distributed discrete random variables are obtained.

In the last chapter, the some results related to the distributions of order statistics of random variables are given.

Key Words: Order statistics, Random Variables, Independent Random Variables, Identically Distributed Random Variables, Nonidentically Distributed Random Variables, Continuous Random Variables, Discrete Random Variables, Joint Probability Density Function, Joint Probability Function, Joint Distribution Function.

(8)

VI SEMBOLLER LĠSTESĠ



1 1, , ... , ,k m k mp p :

 

                 ₂ ₁ 1 1 1 2 3 2 1 2 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ... r r m r k r r m r r k r n m r r k p p p p p



P

(9)

1. GĠRĠġ

İstatistik bilimi, esasen uygulamalı matematiğin bir dalı olup gözlemsel verilere matematiğin uygulanması olarak ifade edilebilir [1]. Matematiksel istatistiğin temel problemlerinden biri tesadüfi değişkenlerin deneysel değerleri kullanılarak, dağılım fonksiyonlarının tahmin edilmesidir. İstatistik teorisinde; normal, poisson, binom, çok değişkenli veya diğer özel dağılımlara sahip örnekler için bir veya iki bilinmeyen parametreye bağlı dağılımlarının fonksiyonları geliştirildi. Fakat birçok örneğin dağılımlarının fonksiyonları elde edilemedi. Bu problem, çalışmaların bu yönde ilerlemesine, tüm örnekler için sağlanan ve herhangi bir parametreye bağlı olmayan dağılımlarının fonksiyonlarının elde edilmesiyle sonuçlandı [2].

Sıralı istatistikler, istatistik teorisinin önemli kavramlarından biri olup parametrik olmayan istatistikte kullanılmaktadır.

Reiss [3], bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılım ve yoğunluk fonksiyonlarını elde etmiştir. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar, Arnold vd. [4], David [5] ve Reiss [3] tarafından elde edilmiştir. Corley [6], sürekli çok değişkenli tesadüfi değişkenlerin farklı anlamlarda sıralı istatistiklerini tanımlamıştır. Balakrishnan [7], bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistikler için sağlanan bazı bağıntılar elde etmiştir. Bu bağıntıların bazıları, aynı zamanda bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri için de sağlanmaktadır.

Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları, Khatri [8] tarafından incelenmiştir. Nagaraja [9,10], bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin temel yapılarını incelemiştir. David [5], Arnold vd. [4] ve Gan ve Bain [11], bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Cao ve West [12], bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli bir anakütleden gelen sıralı istatistiklerin dağılımları için bazı bağıntılar vermişlerdir. Vaughan ve Venables [13], permanent yardımıyla bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını ifade etmişlerdir. Balakrishnan [14]

(10)

2

ve Bapat ve Beg [15], permanent yardımıyla bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarını elde etmişlerdir.

Bu çalışmada, esas olarak bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık ve dağılım fonksiyonları elde edilmiştir.

(11)

3 1.1. Temel Tanımlar

Tanım 1.1.1. Örnek uzaydaki her bir elemanı bir reel sayıya eşleyen fonksiyona

tesadüfi değişken denir [16].

Tanım 1.1.2. Bir tesadüfi değişken, herhangi bir aralıktaki bütün reel değerleri alabiliyorsa bu tesadüfi değişkene sürekli tesadüfi değişken denir [17].

Tanım 1.1.3. X, sürekli bir tesadüfi değişken olsun.

i. f(x)0, xR ii.



   1. ) ( dxx f

koşullarını sağlayan f(x)’e X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu denir [17].

Tanım 1.1.4. X, olasılık yoğunluk fonksiyonu f olan sürekli tesadüfi değişken olsun.

X’in dağılım fonksiyonu,

R x du u f x X P x F x    

_

  , ) ( ) ( ) ( şeklinde tanımlanır [17].

(12)

4

Tanım 1.1.5. X ve Y, sürekli tesadüfi değişkenler olsun.

i. f(x,y)0, x,yR ii.

 

      1 ) , (x y dydx f

koşullarını sağlayan f(x,y)’ye X ve Y’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu denir [17].

Tanım 1.1.6. X ve Y, bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) olan sürekli tesadüfi değişkenler olsun. X ve Y’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

R y x dv du v u f y Y x X P y x F x y     



    , , ) , ( ) , ( ) , ( şeklinde tanımlanır [18].

Tanım 1.1.7. Bir tesadüfi değişken, sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta değerler alabiliyorsa bu tesadüfi değişkene kesikli tesadüfi değişken denir [17].

Tanım 1.1.8. X, kesikli bir tesadüfi değişken olsun.

(13)

5

ii.



( )1

x

f .

koşullarını sağlayan f(x)’e X’in olasılık fonksiyonu denir [17].

Tanım 1.1.9. X, olasılık fonksiyonu f olan kesikli tesadüfi değişken olsun. X’in dağılım

fonksiyonu,



    x u u f x X P x F( ) ( ) ( ) şeklinde tanımlanır [17].

Tanım 1.1.10. X ve Y, kesikli tesadüfi değişkenler olsun.

i. f(x,y)0 ii.



( , )1 x y y x f

koşullarını sağlayan f(x,y)’ye X ve Y’nin bileşik olasılık fonksiyonu denir [17].

Tanım 1.1.11. X ve Y, bileşik olasılık fonksiyonu f(x,y) olan kesikli tesadüfi değişkenler olsun. X ve Y’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

(14)

6 ) , ( ) , ( ) , (x y P X x Y y f u v F y v x u



      şeklinde tanımlanır [18].

Tanım 1.1.12. X, olasılık fonksiyonu f(x) olan bir tesadüfi değişken ve Y’de olasılık fonksiyonu f( y) olan bir tesadüfi değişken olsun. Ayrıca, X ve Y’nin bileşik olasılık

fonksiyonu f(x,y) olsun. Eğer,

) ( ) ( ) , (x y f x f y f 

eşitliği sağlanıyorsa X ve Y’ye bağımsız tesadüfi değişkenler denir [17].

Tanım 1.1.13. X₁,X₂, ... ,X_n tesadüfi değişkenlerinin meydana gelme sırası değil büyüklüklerinin sırası göz önüne alınırsa bu tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistikleri,

n n n

n X X

X1:  2:  ...  :

olarak ifade edilir.

n r

X : , r-inci sıralı istatistik denir.

Buradan, ) , . . . , , ( min ₁ ₂ : 1n X X Xn X 

(15)

7 ve ) , . . . , , ( max ₁ ₂ :n n n X X X X  yazılabilir [3].

Tanım 1.1.14. a,b,cR ve i jn olmak üzere,

j i n j i n j n i n c b a j i n j i n c b a        



! ) ( ! ! ! ) ( 0 0

(16)

2. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n

X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu F olsun. Bu tesadüfi değişkenlerin büyüklüklerine göre sıralanmasıyla elde edilen sıralı istatistikler, X₁_:_nX₂_:_n...X_n_:_n

olsun. p x x x1 2... , xwR(w1,2,..., p), 1r1r2...rp n ve p1,2,...,n olmak üzere _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,



            _p t t p p n r p n r n r x x x p n r r r x x x X x x x X x x x X x P x x x f p p p 1 : 2 2 : 2 1 1 : 1 0 , . . . , , 2 1 : , ... , , } ,..., , { lim ) , ... , , ( 2 1 2 1 2 1                     



       p t t p w r r w w F x f x x F C n w w 1 1 1 1 1)] ( ) ( ) ( [ ! 1 _(2.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; F(x₀)0, F(x_p_₁)1, r₀ 0, r_p_₁n1 ve

(17)

9 1 1 1 1)!] 1 ( [    



   p w w w r r C

(2.1)’de p2 alınırsa Xr:n ve Xs:n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

n s r   1 olmak üzere s n r s r n s r x F x f x F x F x f x F s n r s r n x x f             )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( )] ( [ ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 : , (2.2)

şeklinde elde edilir.

(2.1)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

r n r n r F x f x F x r n r n x f       [ ( )] ( )[1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 : (2.3)

olarak elde edilir.

n r n r n r X X p X _: , _: ,..., _: 2

(18)

10 } ,..., , { ) , ... , , ( ₁ ₂ _: ₁ _: ₂ _: : , ... , ,2 1 2 1r r n p r n r n r n p r x x x P X x X x X x F p p            



 



        1 1 1 1 3 2 2 2 1 1 )] ( ) ( [ ! ... p w j j w w j r j j r j n r j w w p p x F x F D n (2.4)

olarak ifade edilir. Burada; j₀ 0, jp1 n ve

1 1 1 1)!] ( [    



  p w w w j j D

(2.4)’de p2 alınırsa X_r_:_n ve X_s:_n’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

2 1 2 1 2 2 1 )] ( 1 [ )] ( ) ( [ )] ( [ ! ) ( ! ) ( ! ! ) , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 : , j n j j j n s j j r j n s r x F x F x F x F j n j j j n x x F          

 

(2.5)

(2.4)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

(19)

11 j n j n r j n r F x F x j n j n x F     



[ ( )] [1 ( )] ! ) ( ! ! ) ( : (2.6)

(20)

3. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n

X X

X₁, ₂,..., olasılık fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu F’ye sahip bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenler olsun. Bu tesadüfi değişkenlerden elde edilen sıralı istatistikler, X₁_:_n X₂_:_n...X_n_:_n olsun.

p x x x1 2... , xw0,1,2,... (w1,2,..., p), 1r1r2...rp n ve p1,2,...,n olmak üzere _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık fonksiyonu,

} ,..., , { ) , ... , , ( ₁ ₂ _: ₁ _: ₂ _: : , ... , ,2 1 2 1r r n p r n r n r n p r x x x P X x X x X x f p p                    





            p t m k t p w r m k r w w k m k m t t w w w w p p x f x F x F C n 1 1 1 1 1 1 1 , , ... , , )] ( [ )] ( ) ( [ ! 1 1 1 1 (3.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; r₀ 0, rp1 n1, m0 0, kp1 0, mw1kw rw1rw1, 0

) (x₀ 

(21)

13                   



       p t t t p w w w w w k m r k m r C 1 1 1 1 1 1 1 1 [( 1 )!] [( 1 )!]

(3.1)’de p2 alınırsa Xr:n ve Xs:n’nin bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn olmak üzere ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ )] ( [ ! ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 : , 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 s m n m k r m k s m k k r x F x f x F x F x f x F n x x f s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k n s r                                       

   

(3.2)

(3.1)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu,

! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( [ ! ) ( 1 1 0 1 0 : r m n m k k r x F x f x F n x f r m n m k k r r n m r k n r _ _ _ _ _ _           

 

(3.3)

olarak elde edilir.

(22)

14 1 ) 1 ( ! ! ! ) 1 ( 1 1 0          



_p



t t m t k t t t t t dy y y k m m k _t _t eşitliği kullanılırsa



_





                             p t t t m t t k t t t t t t p w r m k r w w k m k m p n r r r dy x f x f y x f y k m m k x F x F C n x x x f t t w w w w p p p 1 1 0 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , ) ( )] ( ) 1 [( )] ( [ ! ! ! ) 1 ( )] ( ) ( [ ! ) , ... , , ( 1 1 1 1 2 1

ifadesi elde edilir. Burada; vt  ytf(xt)F(xt) değişkeni ve üç terimli açılım kullanılırsa

n r n r n r X X p X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık fonksiyonunun integral formu,





                   1 0 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ... , , 1 1 1 2 2 2 1 ( , ,..., ) ... ! ( ) p p p w r r w w x F x F x F x F x F x F p n r r r x x x n C v v dv f w w p p p   (3.4)

olarak elde edilir. Burada; v₀ 0, v_p_₁ 1 ve



       1 1 1 1)!] 1 [( p w w w r r C

(23)

15 1 2 2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 1 1 2 2 dv dv v v v v s n r s r n x x f s n r s r x F x F x F x F n s r              

_

(3.5)

(3.4)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu,

dv v v r n r n x f r n r x F x F n r       

_

(1 ) ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 ) ( ) ( : (3.6)

olarak elde edilir.

n r n r n r X X p X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

} ,..., , { ) , ... , , ( ₁ ₂ _: ₁ _: ₂ _: : , ... , ,2 1 2 1r r n p rn r n r n p r x x x P X x X x X x F p p     ) , ... , , ( ... _, _,_..._, _: ₁ ₂ 0 2 1 1 1 1 2 1 2 p n r r r x x x x x x x x x x x f p p p p



 

     (3.7)

şeklinde ifade edilir. (3.1), (3,7)’de kullanılırsa _r _n _r _n _r _n

p

X X

X _: , _: ,..., _:

2

(24)

16                       





 

                p t m k t p w r m k r w w k m k m x x x x x x x x p n r r r t t w w w w p p p p p p x f x F x F C n x x x F 1 1 1 1 1 1 1 , , ... , , 0 2 1 : , ... , , )] ( [ )] ( ) ( [ ! ... ) , ... , , ( 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 (3.8)

(3.8)’de p2 alınırsa Xr:n ve Xs:n’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

                                              

   

 

! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( )] ( 1 [ )] ( [ )] ( ) ( [ )] ( [ )] ( [ ! ) , ( 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 : , 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 s m n m k r m k s m k k r x F x f x F x F x f x F n x x F s m n m k r m k s m k k r s n m r s k r s m r k x x x x x n s r (3.9)

(3.8)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

                       

 



![₍ ( ₁)] ₎_!₍[ (₁)] ₎_![₍1 ( )]₎_! ) ( 1 1 0 1 0 0 : r m n m k k r x F x f x F n x F r m n m k k r r n m r k x x n r (3.10)

(25)

17 (3.4), (3.7)’de kullanılırsa _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik dağılım fonksiyonunun integral formu,





 

_                 1 0 1 1 1 1 ) ( ) ( 0 ) ( 2 1 : , ... , , 1 1 1 2 1 2 1 ( , ,..., ) ... ! ( ) p p p w r r w w x F v x F F x v p n r r r x x x n C v v dv F w w p p p   (3.11)

1 2 2 1 1 2 1 1 ) ( 0 ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) , ( 1 2 1 dv dv v v v v s n r s r n x x F s n r s r x F F x v n s r            

 

(3.12)

(3.11)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

dv v v r n r n x F r n r x F n r   _   

_

(1 ) ! ) ( ! ) 1 ( ! ) ( 1 ) ( 0 : (3.13)

(26)

4. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN SÜREKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n

X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım _i

fonksiyonu F olsun. Bu tesadüfi değişkenlerin büyüklüklerine göre sıralanmasıyla elde _i

edilen sıralı istatistikler, X1:n X2:n... Xn:n olsun.

p x x x1 2... , xwR(w1,2,..., p), 1r1r2...rp n ve p1,2,...,n olmak üzere _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

               



 



        p t t i p w r r w i w i P p n r r r x x x C F x F x f x f t r w w p 1 1 1 1 1 1 2 1 : , ... , , ( , ,..., ) [ ( ) ( )] ( ) 1 2 1    (4.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; r₀ 0, rp1 n1, Fi(x0)0, Fi(xp1)1 ve

1 1 1 1)!] 1 ( [    



   p w w w r r C

(27)

19

(4.1)’de p2 alınırsa X_r_:_n ve X_s:_n’nin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

n s r   1 olmak üzere       _       _            





       n s i i s r i i i r i P n s r x F x f x F x F x f x F s n r s r x x f s r 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 : , )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , (        (4.2)

(4.1)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

      _         





    n r i i r i P n r F x f x F x r n r x f r 1 1 1 : ( ) ( ) [1 ( )] ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) (     (4.3)

olarak elde edilir.

n r n r n r X X p X _: , _: ,..., _: 2

     

                           n r j j r j j r j P p w w i w i j j p n r r r p p w w p x x x D F x F x F 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 : , ... , , ( , ,..., ) ... [ _( ) _( )]  (4.4)

(28)

20 olarak ifade edilir. Burada; j₀ 0, j_p_₁ n ve

1 1 1 1)!] ( [    



  p w w w j j D

şeklinde ifade edilir.

                              





 

       )] ( 1 [ )] ( ) ( [ ) ( ! ) ( ! ) ( ! 1 ) , ( 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 : , 2 2 1 1 2 2 1 x F x F x F x F j n j j j x x F i n j i i j j i j P n s j j r j n s r        (4.5)

(4.4)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

                     





    )] ( 1 [ ) ( ! ) ( ! 1 ) ( 1 1 : F x F x j n j x F _i n j i j P n r j n r _ _   (4.6)

(29)

5. BAĞIMSIZ VE AYNI DAĞILIMLI OLMAYAN KESĠKLĠ TESADÜFĠ DEĞĠġKENLERĠN SIRALI ĠSTATĠSTĠKLERĠNĠN BĠLEġĠK DAĞILIMLARI

Bu bölümde, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık ve dağılım fonksiyonları verilecektir.

n

X X

X₁, ₂,..., bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenler olsun.

i

X (i1,2,...,n) tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu _i F _i

olsun. Bu tesadüfi değişkenlerden elde edilen sıralı istatistikler, X₁_:_nX₂_:_n...X_n_:_n

olsun. p x x x₁ ₂... , x_w0,1,2,... (w1,2,..., p), 1r1r2...rp n ve p1,2,...,n olmak üzere _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

1 ’nin bileşik olasılık fonksiyonu,

                          

 



              p t t i m r k r p w w i w i k r m r P k m k m p n r r r x f x F x F C x x x f t t t t w w w w p p p 1 1 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , ) ( )] ( ) ( [ ) , ... , , ( 1 1 1 1 2 1      (5.1)

şeklinde ifade edilir. Burada; r₀ 0, rp1n1, m0 0, kp1 0, mw1kwrw1rw1,

0 ) (x0  Fi , Fi(xp1)1, Fi(xw)P(Xi xw) ve                   



       p t t t p w w w w w k m r k m r C 1 1 1 1 1 1 1 1 [( 1 )!] [( 1 )!]

(30)

22 olarak ifade edilir.

(5.1)’de p2 alınırsa X_r:_n ve Xs:n’nin bileşik olasılık fonksiyonu, 1rsn olmak üzere                                                        





   

                           )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 : , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 x F x f x F x F x f x F s m n m k r m k s m k k r x x f i n m s i m s k s i i k s m r i m r k r i k r P s n m r s k r s m r k n s r            (5.2)

(5.1)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu,

         _             _           





 

             )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 : x F x f x F r m n m k k r x f i n m r i m r k r i k r P r n m r k n r       (5.3)

(31)

23 olarak elde edilir.

Teorem 5.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik olasılık fonksiyonunun integral formu,



 



  

                        1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 2 1 : , ... , , 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 ( , ,..., ) ... ( ) p p i P x F x F x F x F x F x F p w r r l w i w i p n r r r r_p r i r i r i r i p p r i p p r i w w l l p x x x C v v dv f    (5.4) şeklindedir. Burada; r₀ 0, rp1n1, 0 ) 0 (  l i v , _i(p1)1 l v ,



       1 1 1 1)!] 1 [( p w w w r r C ve ) ( ) ( ) ( )] ( [ ( ) ) (      w i w i w i w i w i w i F x x f x f x F v v l w r l w r w r l

olarak ifade edilir. Ġspat. (5.1),                                           



 



                 p t t i m r r t i t i r k r p w w i w i k r m r P k m k m p n r r r x f x f x f x F x F C x x x f t t t t r t t t w w w w p p p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) , ... , , ( 1 1 1 1 2 1       

(32)

24 şeklinde yazılabilir. Bu eşitlikte,

1 ) 1 ( ! ! ! ) 1 ( 1 1 0          



_p



t t m t k t t t t t dy y y k m m k _t _t eşitliği kullanılırsa                                              







 



                 p t t i t t i t m r r t i t r k r t t t t p w w i w i k r m r P k m k m p n r r r x f dy x f y x f y k m m k x F x F C x x x f t r t t t t t t w w w w p p p 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ! ! ! ) 1 ( )] ( ) ( [ ) , ... , , ( 1 1 1 1 2 1       

ifadesi elde edilir. Bu ifade,

... )... ( ) ( )... ( ) ( ] ) ( ) ( ]...[ ) ( ) ( [ ) ( ) 1 )...( ( ) 1 )( ( ) 1 ( ! ! )! 1 ( 1 ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( ! )! 1 ( 1 ... ) ,..., , ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 , ..., , 2 1 : ,..., , 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 x f dy x f y x f y x f y x F x F x F x F x f y x f y x f y k m r m k r x f dy x f y x f y x f y x F x F x F k k r x x x f r r k r k r k r k r m r m r m r r r r r k r k r k r p p p i r i i i i i i i i i i i i i i i i i P k m k m p n r r r                                          



 

(33)

25 ] ) ( 1 ]...[ ) ( 1 )[ ( ) 1 )...( ( ) 1 ( ! )! ( 1 ) ( ) ( )... ( ) ( ] ) ( ) ( ]...[ ) ( ) ( [ ) ( ) 1 )...( ( ) 1 )( ( ) 1 ( ! ! )! 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p i p i p i p p i p p p p p i p p i p p i p p i p p i p i p i p i p i p p i p p i p p p p p p p x F x F x f y x f y m r m n x f dy x f y x f y x f y x F x F x F x F x f y x f y x f y k m r m k r n p m p r p m p r p r p r p r p k p r p k p r p k p r p k p r p m p r p m p r p m p r p r p r                                                           

şeklinde de yazılabilir. Son eşitlik,

                                                             











                           p t t t i w i w r k r p w w i w i k r m r w i w m r r P p w w w w w w w k m k m p n r r r dy x f x f y x F x F x f y k m r m k r x x x f t r w w w w w w w w w w p p p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) 1 ( ... ! ! ! ) 1 ( 1 ) , ... , , ( 1 1 1 1 1 1 1 2 1       

şeklinde ifade edilebilir. Burada,

) ( ) ( ) ( _ _ _ w i w i w w i y f x F x v    ifadesi kullanılırsa

(34)

26                                                               



 









                                 1 0 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 , , ... , , 2 1 : , ... , , )] ( [ )] ( ) ( [ ] ) ( [ ... ! ! ! ) 1 ( 1 ) , ... , , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 p p i w i w r k r w i w i k r m r p w w w i m r r x F x F x F x F x F x F P p w w w w w w w k m k m p n r r r p r i w w w w w w w i w w w p p r i p p r i r i r i r i r i p p p dv x F v x F x F v x F k m r m k r x x x f            

ifadesi elde edilir. Bu eşitlikte,   n olmak üzere







                                 P i i n l i n n i n i i P n n x G x G x G n x G x G x G n l l l ( ) ( ) ( )] [ ! 1 ) ( ) ( ) ( ! ! )! ( 1 ) 3 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 0 0                

eşitliği göz önüne alınırsa



 







                                           1 0 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 2 1 : , ... , , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 )] ( ) ( ) ( ) ( [ ... ! ) 1 ( 1 ) , ... , , ( p p i p w r r l w i w i w i w i w i w i P x F x F x F x F x F x F p w w w p n r r r p r w w l l l l l l p p r i p p r i r i r i r i r i p dv x F v x F x F v x F r r x x x f   

(35)

27 ifadesi elde edilir. Böylece, ispat tamamlanmış olur.

(5.4)’de p2 alınırsa X_r:_n ve Xs:n’nin bileşik olasılık fonksiyonu,

) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 1 1 2 2 r s l l l l r i r i s i s i i i n s l i s r l i i P r l i x F x F x F x F n s r dv dv v v v v s n r s r x x f       _                   









         (5.5)

(5.4)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin olasılık fonksiyonu,

r l l r i r i i n r l i P r l i x F x F n r v v dv r n r x f _               







     1 1 1 ) ( ) ( : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( (5.6)

olarak elde edilir.

(5.1), (3.7)’de kullanılırsa _r _n _r _n _r _n p X X X _: , _: ,..., _: 2

(36)

28                                   

 



 

                  p t t i m r k r p w w i w i k r m r P k m k m x x x x x x x x p n r r r x f x F x F C x x x F t t t t w w w w p p p p p p 1 1 1 1 1 1 1 , , ... , , 0 2 1 : , ... , , ) ( )] ( ) ( [ ... ) , ... , , ( 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1      _(5.7)

                                                              





   

 

                             )] ( 1 [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 : , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x F x f x F x F x f x F s m n m k r m k s m k k r x x F i n m s i m s k s i i k s m r i m r k r i k r P s n m r s k r s m r k x x x x x n s r            (5.8)

(5.7)’de p1 alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

(37)

29              _             _              





 



              )] ( 1 [ ) ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 1 1 0 1 0 0 : x F x f x F r m n m k k r x F i n m r i m r k r i k r P r n m r k x x n r       (5.9)

olarak elde edilir.

(5.4), (3.7)’de kullanılırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin bileşik dağılım fonksiyonunun integral formu,



  

  

                       1 0 ) ( ) ( 0 ) ( ( ) 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 2 1 : , ... , , 1 1 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 2 1 ( , ,..., ) ... ( ) p p i P x F F x v x F v p w r r l w i w i p n r r r p r r i ir r i p p r i p p r i w w l l p x x x C v v dv F    (5.10)

(5.10)’da p2_alınırsaXr:n ve Xs:n’nin bileşik dağılım fonksiyonu,

) 1 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 ( ) ( 0 ) ( 2 1 : , ) 1 ( ) ( ! ) ( ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) , ( 1 2 ) 1 ( r s l l l l r i is r i i i n s l i s r l i i P r l i x F F x v n s r dv dv v v v v s n r s r x x F       _        _           









       (5.11)

(38)

30

(5.10)’da p1_{alınırsa bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi}

değişkenlerin r-inci sıralı istatistiğinin dağılım fonksiyonu,

r l l r i i n r l i P r l i x F n r v v dv r n r x F _               







    1 1 1 ) ( 0 : (1 ) ! ) ( ! ) 1 ( 1 ) ( (5.12)

(39)

6. SONUÇLAR

Bu bölümde, sırasıyla bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin, bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan sürekli tesadüfi değişkenlerin, bağımsız ve aynı dağılımlı olmayan kesikli tesadüfi değişkenlerin sıralı istatistiklerinin dağılımları ile ilgili sonuçlar verilecektir.

Sonuç 6.1. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimumunun olasılık yoğunluk fonksiyonu,

1 : 1 ( ) ( )[1 ( )]    n n x n f x F x f (6.1)

Ġspat. (2.3)’de r1 alınırsa, (6.1) elde edilir.

Sonuç 6.2. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimumunun dağılım fonksiyonu,

n

n x F x

(40)

32 olarak ifade edilir.

Ġspat. (2.6)’da r1 alınırsa, (6.2) elde edilir.

Sonuç 6.3. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin maksimumunun olasılık yoğunluk fonksiyonu,

) ( )] ( [ ) ( 1 : x n F x f x f_n_n  n (6.3)

Ġspat. (2.3)’de rn alınırsa, (6.3) elde edilir.

Sonuç 6.4. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin maksimumunun dağılım fonksiyonu,

n n

n x F x

F_: ( )[ ( )] (6.4)

(41)

33

Sonuç 6.5. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimum ve maksimumunun bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

) ( )] ( ) ( [ ) ( ) 1 ( ) , ( ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ 2 ₂ : , 1 x x n n f x F x F x f x f _n_n    n (6.5)

şeklinde ifade edilir.

Ġspat. (2.2)’de r1 ve sn alınırsa, (6.5) elde edilir.

Sonuç 6.6. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin minimum ve maksimumunun bileşik dağılım fonksiyonu,

1 1 1 )] ( ) ( [ )] ( [ ! ) ( ! ! ) , ( ₁ ₂ ₁ 1 1 1 2 1 : , 1 j n j n j n n F x F x F x j n j n x x F     



(6.6)

Ġspat. (2.5)’de r1 ve sn alınırsa, (6.6) elde edilir.

Sonuç 6.7. Bağımsız ve aynı dağılımlı sürekli tesadüfi değişkenlerin sıralı ilk p tanesinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu,

(42)

34         



  p t t p n p p n p F x f x p n n x x x f 1 2 1 : , ... , 2 , 1 [1 ( )] ( ) ! ) ( ! ) , ... , , ( (6.7)

Ġspat. (2.1)’de r₁ 1, r₂ 2, … , rp  p alınırsa, (6.7) elde edilir.

Sonuç 6.8. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin minimumunun olasılık fonksiyonu, 1 1 1 0 : 1 [ ( )] [1 ( )] ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) (          



m n m n m n f x F x m n m n x f (6.8) veya dv v n x f n x F x F n 1 ) ( ) ( : 1 ( ) (1 )    



(6.9)

(43)

35

Sonuç 6.9. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin minimumunun dağılım fonksiyonu,                 



1 1 1 0 0 : 1 [ ( )] [1 ( )] ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) ( m n m n m x x n f x F x m n m n x F (6.10) veya dv v n x F n x F n 1 ) ( 0 : 1 ( ) (1 )   

_

(6.11)

Ġspat. (3.10) ve (3.13)’de r1 alınırsa, sırasıyla (6.10) ve (6.11) elde edilir.

Sonuç 6.10. Bağımsız ve aynı dağılımlı kesikli tesadüfi değişkenlerin maksimumunun olasılık fonksiyonu, 1 1 1 0 : [ ( )] [ ( )] ! ) 1 ( ! ) 1 ( ! ) (         



n k k n k n n F x f x k k n n x f (6.12) veya