Bazı rasyonel fark denklem sistemlerinin çözümleri üzerine

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

BAZI RASYONEL FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMLERĠ ÜZERĠNE

Durhasan Turgut TOLLU DOKTORA TEZĠ

Matematik Anabilim Dalı

Ekim-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır

iv ÖZET DOKTORA TEZĠ

BAZI RASYONEL FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMLERĠ ÜZERĠNE

Durhasan Turgut TOLLU

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Doç. Dr. Necati TAġKARA

2014, 72 Sayfa Jüri

Doç. Dr. Necati TAġKARA Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Doç. Dr. Ġbrahim YALÇINKAYA

Doç. Dr. Yıldıray KESKĠN Yrd. Doç. Dr. Yasin YAZLIK

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konunun önemi ve çalışmanın amacı hakkında bilgiler verildi. Devamında ise tezin sonraki bölümleri özetlendi.

İkinci bölümde, ilk olarak, bazı denklemlerin ve sistemlerin çözülebilirliği üzerine yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgiler verildi. İkinci olarak, rasyonel fark denklemlerinin ve sistemlerinin global kararlılık karakteri, çözümlerinin sınırlılığı, periyodikliği ve salınımlılığı ile ilgili yapılmış çalışmalar hakkında bilgiler verildi.

Üçüncü bölümde, fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremler verildi.

Dördüncü bölümde, x₀ ve y₀ sıfırdan farklı başlangıç şartları ve p_n, q_n, r_n, s_n dizilerinin herbiri ise x_n ve y_n dizilerinden biri olmak üzere, ₁ 1 n , ₁ 1 n, N ,₀

n n n n p r x y n q s        fark denklem

sistemlerinin on altı olası durumundan on dört tanesinin çözülebilir olduğu gösterildi. Ayrıca, elde edilen genel çözümler vasıtasıyla çözümlerin asimptotik davranışları incelendi.

Beşinci bölümde; a , b , c , d parametreleri pozitif ve x₂, x1, x0 başlangıç şartları negatif

olmayan reel sayılar olmak üzere 1 1 1 1 2 n n n n n n ax x bx x cx x d      

  , nN0, fark denkleminin global

kararlılık karakteri incelendi. Ayrıca, denklemin çözümlerinin periyodikliği, sınırlılığı, sınırsızlığı ve salınımlılığı parametrelere ve başlangıç şartlarına bağlı olarak incelendi.

Altıncı bölümde, dördüncü ve beşinci bölümlerde elde edilen teorik sonuçlar için bazı sayısal uygulamalar verildi.

Yedinci bölümde ise bu çalışmaya dair sonuçlara ve önerilere yer verildi.

Anahtar Kelimeler:Fark denklemleri, fark denklem sistemleri, genel çözüm, global asimptotik kararlılık, periyodiklik, salınım, Riccati fark denklemi, sınırlılık.

iv ABSTRACT Ph.D THESIS

ON THE SOLUTIONS OF SOME RATIONAL DĠFFERENCE EQUATION SYSTEMS

Durhasan Turgut TOLLU

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATĠCS

Advisor: Assoc. Prof. Dr. Necati TAġKARA 2014, 72 Pages

Jury

Assoc. Prof. Dr. Necati TAġKARA Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Assoc. Prof. Dr. Ġbrahim YALÇINKAYA

Assoc. Prof. Dr. Yıldıray KESKĠN Asst. Prof. Dr. Yasin YAZLIK

This study consists of five sections. In the first section, information about the importance of the topic and the aim of the study were given. In the sequel, the next sections of the thesis were summarized.

In the second section, firstly, information about some studies related to solubility of some difference equations were given. Secondly, information about some studies related to character of globally stability, boundedness, periodicity and oscillation of the solutions of some difference equations and systems were given.

In the third section, general definitions and theorems for the difference equations were given. In the fourth section, it was shown that the systems of difference equations ₁ 1 n,

n n p x q    1 1 , n n n r y s  

 nN ,₀ where each of the sequences p_n, q_n, r_n, s_n represents one of the sequences x_n

and y_n with nonzero real initial values x₀ and y₀, are solvable in fourteen out of sixteen possible cases. Also, the asymptotic behavior of the solutions were investigated via general solutions found.

In the fifth section, the global stability character of the difference equation

1 1 1 1 2 n n n n n n ax x bx x cx x d      

  , nN0, where the coefficients a, b, c, d are positive real numbers and

the initial conditions x₂, x1, x0 are nonnegative real numbers, was studied. Also, periodicity,

boundedness, unboundedness and oscillation of the positive solutions of the equation were investigated depending on the parameters and the initial conditions.

In the sixth section, some numerical applications of the theoretical results found in the fourth and the fifth sections were given.

In the seventh section, some conclusions and suggestions were given.

Keywords: Boundedness, difference equations, general solution, globally asymptotically stability, oscillation, periodicity, Riccati difference equation, systems of difference equations.

v ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Necati TAŞKARA danışmanlığında hazırlanarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü‟ne Doktora Tezi olarak sunulmuştur.

Bu tez çalışması, birçok alanda uygulamaya sahip olan Fark Denklemleri üzerine hazırlanmış olup, bazı kısımları orijinal bir içeriğe sahiptir.

Bu çalışmanın ortaya çıkması sürecinde, maddi ve manevi desteklerinden dolayı danışmanım Doç. Dr. Necati TAŞKARA‟ya, teknik desteklerinden dolayı Yrd. Doç. Dr. Yasin YAZLIK‟a, daimi ve en büyük destekçim olan aileme teşekkürlerimi sunarım.

Durhasan Turgut TOLLU KONYA-2014

vi ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... iv ÖNSÖZ ... v ĠÇĠNDEKĠLER ... vi 1. GĠRĠġ ... 1 2. KAYNAK ARAġTIRMASI ... 3

2.1. Çözülebilen Fark Denklemleri ve Sistemleri ... 3

2.2. Rasyonel Fark Denklemlerinin Kararlılık Analizi ... 8

3. ÖN BĠLGĠLER ... 11

3.1. Fark Operatörleri ... 11

3.1.1. E operatörü (Kaydırma operatörü) ... 11

3.1.2.  operatörü (İleri fark operatörü) ... 11

3.1.3. Alt indis notasyonu ... 11

3.1.4. 1 invers operatörünün işlevi ... 12

3.2. Fark Denklemleri ... 12

3.3. Lineer Fark Denklemlerinin Sınıflandırılması ... 13

3.4. Birinci Mertebeden Lineer Fark Denklemlerinin Çözümü ... 14

3.4.1. x_n1ax_n denkleminin çözümü ... 15

3.4.2. x_n1ax_nb denkleminin çözümü ... 16

3.4.3. x_n1a x_{n n} denkleminin çözümü ... 17

3.4.4. x_n1ax_nb_n denkleminin çözümü ... 17

3.4.5. x_n1a x_{n n}b_n denkleminin çözümü ... 18

3.5. İkinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Fark Denklemleri ... 19

3.6. Riccati Fark Denklemi ... 24

3.7. Lineerleştirilmiş Kararlılık ... 28

4. BAZI RASYONEL FARK DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMLERĠ ... 31

4.1. pn xn, qn xn, rn  yn, sn  yn Durumu ... 31 4.2. pn xn, qn xn, rn xn, sn xn Durumu ... 32 4.3. pn yn, qn  yn, rn  yn, sn yn Durumu ... 32 4.4. pn xn, qn xn, rn  yn, sn xn Durumu ... 33 4.5. pn xn, qn yn, rn  yn, sn yn Durumu ... 34 4.6. pn xn, qn xn, rn xn, sn  yn Durumu ... 35 4.7. pn yn, qn xn, rn  yn, sn yn Durumu ... 36 4.8. pn yn, qn  yn, rn xn, sn xn Durumu ... 37

vii 4.9. p_n y_n, q_n  y_n, r_n x_n, s_n y_n Durumu ... 40 4.10. p_n y_n, q_n x_n, r_n x_n, s_n x_n Durumu ... 42 4.11. p_n y_n, q_n x_n, r_n  y_n, s_n x_n Durumu ... 43 4.12. p_n x_n, q_n y_n, r_n x_n, s_n  y_n Durumu ... 44 4.13. p_n y_n, q_n  y_n, r_n  y_n, s_n x_n Durumu ... 44 4.14. p_n x_n, q_n y_n, r_n x_n, s_n x_n Durumu ... 48 4.15. p_n y_n, q_n x_n, r_n x_n, s_n  y_n Durumu ... 49 4.16. p_n x_n, q_n y_n, r_n  y_n, s_n x_n Durumu ... 49

5. RASYONEL BĠR FARK DENKLEMĠNĠN POZĠTĠF ÇÖZÜMLERĠNĠN DAVRANIġI ... 50 5.1. 1 1 1 1 2 1 n n n n n n x x x x x x           Fark Denkleminin Kararlılık Analizi ... 50

5.2. 1 1 1 1 2 1 n n n n n n x x x x x x           Fark Denkleminin Pozitif Sınırsız Çözümleri ... 54

5.3. 1 1 1 1 2 1 n n n n n n x x x x x x           Fark Denkleminin Pozitif Periyodik Çözümleri ... 55

6. SAYISAL UYGULAMALAR ... 61 7. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 67 7.1. Sonuçlar ... 67 7.2. Öneriler ... 67 KAYNAKLAR ... 68 ÖZGEÇMĠġ ... 72

1. GĠRĠġ

Evreni keşfetmek, insanoğlu için daima ilgi çeken bir konu olmuştur. İnsanoğlu, bu merakı gidermek için birçok keşifler yapmıştır. Motorlu taşıtlar, radyo, televizyon, bilgisayar, uçak ve uzay araçları gibi teknolojik araçlar bunlardan bazılarıdır. Bu keşiflerin sonucu olarak, dünyamız şimdiki modern çehresine kavuşmuştur. Sözkonusu keşifleri yapma sürecinin vazgeçilmez bir aracı şüphesiz Matematik‟tir. Nitekim, Galilei‟nin (1564-1642) dediği gibi; “Matematik, tanrının evreni yazdığı dildir”. Eğer öyleyse, “Matematiği bilmeyen evrenin sırlarını bilemez.” denilebilir. Bu bağlamda evrenin sırlarını açığa çıkarmaya yarayan bir dil olan Matematik, teknolojinin ilerlemesi ve insanoğlunun yüksek bir medeniyete sahip olması için hayati öneme sahip bir bilimdir.

Matematiğin bilim ve teknolojiye yaptığı katkı, teorisinin yanısıra baş döndürücü bir şekilde artan uygulamalarıdır. Bütün mühendislik dalları başta olmak üzere, Fizik, Kimya, Biyoloji gibi temel bilimlerin yanısıra İktisat, İşletme, Ekonomi gibi bazı sosyal bilimler de matematiğin bitmez tükenmez hazinesinden nasibini almıştır.

Matematiğin başka bir alana uygulaması, sözkonusu alanda iyi tanımlanmış bir problemin matematik modelinin oluşturulmasıyla başlar. Böylece problem, matematik ortamına aktarılmış olur. Geriye kalan sadece, elde edilen matematik modeli matematiksel yöntemlerle incelemek ve elde edilen sonuçları yorumlamaktır. Bu yönüyle matematik ve dolayısıyla matematiğin temel konularından olan Diferansiyel Denklemler ve Kısmi Türevli Denklemler gibi bazı konular uygulamada çok önemli bir yere sahip olmuştur.

Yukarıda ifade edilen faydalarından dolayı, Diferansiyel Denklemler ve Kısmi Türevli Denklemler gibi revaç bulan bir teori de Fark Denklemleridir. Fark denklemleri, bazen üreteç fonksiyonlarından, bazen diferansiyel denklemlerin nümerik yaklaştırmalarından doğabildiği gibi bazen de fiziksel bir olayın matematik modeli olarak ortaya çıkar. Buna bağlı olarak, gün geçtikçe artan bir ilgiye sahip olan Fark denklemleri teorisi, matematik alanındaki yerinin yanısıra, diğer bilim dallarının da ilgi odağı olma yolundadır.

Fark denklemlerinin uygulamalarının gelişimi herşeyden önce teorisinin gelişimine bağlıdır. Bu doğrultuda hazırlanan bu çalışmanın ikinci bölümünde, fark denklemleri ile ilgili yapılmış çalışmalar hakkında bir literatür taraması verildi.

Üçüncü bölümde, lineer ve lineer olmayan bazı fark denklemlerinin çözülebilirliğine dair bazı bilgiler verildi. Ayrıca, bir fark denkleminin kararlılık analizi ile ilgili temel tanım ve teoremler verildi.

Dördüncü bölümde, bazı rasyonel fark denklem sistemleri çözülerek, elde edilen genel çözümler yardımıyla bu çözümlerin asimptotik davranışları incelendi.

Beşinci bölümde, rasyonel bir fark denkleminin pozitif çözümlerinin global davranışı araştırıldı.

Altıncı bölümde, dördüncü ve beşinci bölümlerde çalışılan denklem ve sistemler için sayısal uygulamalar verildi.

Yedinci bölümde ise dördüncü ve beşinci bölümlerde yapılan çalışmaların sonuçları ve konuya dair bazı öneriler verildi.

2. KAYNAK ARAġTIRMASI

Bu bölüm, „Çözülebilen Fark Denklemleri ve Sistemleri‟ ve „Fark Denklemlerinin Kararlılık Analizi‟ olmak üzere iki kısımdan oluşmaktadır.

2.1. Çözülebilen Fark Denklemleri ve Sistemleri

Brand (1955), x reel başlangıç şartı ile verilen ₀

1 , 0, 0, 0 n n n a b ax b x c n cx d c d   _    (2.1)

Riccati fark denkleminin açık genel çözümünü elde ederek, çözümlerinin davranışını tam olarak belirledi.

Popenda (1987), ikinci mertebeden homojen ve homojen olmayan lineer değişken katsayılı fark denklemlerinin açık çözümlerini elde etti.

Hussein (1994), yayınladığı makalesinde üçüncü mertebeden homojen ve homojen olmayan lineer fark denklemlerinin çözümlerini elde etti.

Hussein ve El-Fiky (1999), k 0,1, 2 ve y t

   

 1 2 yt1yt1



olmak üzere,

 

t





0, 0

y t a y tk  t

 (2.2)

lineer fark denkleminin açık çözümlerini elde ettiler.

Papaschinopoulos ve Papadopoulos (2002), A B, Fuzzy sayıları ve x , Fuzzy _n

sayılarının bir dizisi olmak üzere,

1 , 0 n n B x A n x     (2.3)

denkleminin pozitif çözümlerinin asimptotik davranışını, sınırlılığını ve salınımlı çözümlerinin varlığını incelediler.

Çınar (2004), yaptığı çalışmada

1 1 0 1 , 1 n n n n x x n x x       (2.4)

fark denklemini ilk defa ortaya koydu ve başlangıç şartlarını pozitif reel sayılar kabul ederek denklemin poizitif çözümlerini formülüze etti.

Stević (2004), Çınar‟ın çalışması üzerine, (2.4) denkleminin nasıl çözüldüğünü gösterdi. Ayrıca, başlangıç şartlarını herhangi reel sayılar kabul ederek elde edilen formüller vasıtasıyla çözümlerin asimptotik davranışını inceledi.

Andruch-Sobilo ve Migda (2006), a ve c pozitif, b ise negatif bir reel sayı olmak üzere, (2.4) denklemini

1 1 0 1 , n n n n ax x n b cx x       (2.5)

denklemine genelleştirerek, negatif olmayan başlangıç şartlarıyla çözümlerinin davranışını incelediler. Daha sonra yazarlar (2009), pozitif parametreler ve negatif olmayan başlangıç şartlarıyla (2.5) denklemini tekrar ele alarak çözümlerinin davranışını incelediler.

Bajo ve Liz (2011), x_1, x başlangıç şartları ve ₀ a , b parametrelerinin bütün reel değerleri için,

1 1 0 1 , n n n n x x n a bx x       (2.6)

denkleminin çözümlerinin davranışını araştırdılar. Stević (2011),

 

0 n _n b _ ve   0 n n

c _ , iki periyodlu reel terimli diziler olmak üzere, 2 0 1 2 , n n n n n n x x n b c x x       (2.7)

denkleminin açık olarak çözülebilir olduğunu gösterdi ve elde ettiği açık çözümleri kullanarak çözümlerin asimptotik davranışına dair bazı uygulamalar sundu.

Shojaei ve arkadaĢları (2009),   , , parametreleri ve x_2,x_1,x₀ başlangıç şartları reel sayılar olmak üzere,

2 1 0 2 1 , n n n n n x x n x x x           (2.8)

denkleminin genel çözümünü, üç periyodlu çözümlerini ve denge noktalarının lokal ve global asimptotik kararlılık özelliklerini araştırdılar.

Stević (2012), (2.4) denklemi için elde ettiği sonuçları genelleştirerek, ,b c

parametreleri ve x_k, ,x_1 başlangıç şartları reel sayılar olmak üzere, 0 1 , n k n n n k x x n b cx x     _  (2.9)

denkleminin açık çözümlerini elde etti ve bu açık çözümleri kullanarak (2.9) denkleminin iyi tanımlı çözümlerinin asimptotik davranışını inceledi.

Stević ve arkadaĢları (2012), k sabit bir sayı, x_k, ,x_1 başlangıç şartları reel sayılar,   0 n n a _ ,

 

0 n _n b _ ve   0 n n

c _ dizileri ise



b c_n, _n

  

 0, 0 olacak şekilde reel terimli diziler olmak üzere,

0 1 , n n n n k n n n k a x x n b c x x       (2.10)

denkleminin açık çözümlerini buldu. Çalışmasının devamında ise  

0 n n a _ ,

 

0 n _n b _ ,   0 n n

c _ reel terimli dizilerine özel değerler vererek (2.10) denkleminin iyi tanımlı çözümlerinin davranışını belirledi.

El-Metwally ve Elsayed (2012), x_2,x_1,x₀ başlangıç şartları reel sayılar olmak üzere,



3



1 0 2 3 , 1 n n n n n n x x x n x x x         (2.11)

fark denklemlerinin açık çözümlerini vererek bu çözümlerin davranışını incelediler. Ayrıca, denklemlerin denge noktalarını bularak global kararlılığını, periyodik çözümlerini ve çözümlerin sınırlılığını çalıştılar.

Tollu ve arkadaĢları (2013), (2.1) Riccati fark denkleminin iki özel hali olan

1 , 1 , 0 1 1 1 1 n n n n x y n x y   _  _{ }  (2.12)

denklemlerinin çözümlerini Fibonacci sayılarıyla ilişkilendirerek çalıştılar.

Stević ve arkadaĢları (2013), k l m s, , , sabit doğal sayılar ve a b,  

 

0 ve





1 , : max , , ,

i    k l m s olacak şekilde x_i başlangıç şartları reel sayılar olmak

üzere, 0 , n k n l n n m n s x x x n ax bx      _  (2.13)

yüksek mertebeli rasyonel fark denkleminin i. km l, s,

ii. ks l, m, iii. l  m k s

Yazlık (2014), başlangıç şartlarını, çözümleri iyi tanımlı yapan sıfırdan farklı keyfi reel sayılar olarak kabul edip,



2 3 4



1 0 1 2 3 4 , 1 n n n n n n n n n x x x x n x x x x x             (2.14)

denklemlerinin açık çözümlerini vererek, bu çözümlerin davranışlarını inceledi.

Magnucka-Blandzi ve Popenda (1999), a ve breel parametreler olmak üzere, başlangıç şartlarının i) x₁

 

0 0, x₂

 

0 0, ii) x₁

 

0 0, x₂

 

0 0 durumları için





_{ }

_{ }





_{ }

1 2 0 1 2 1 1 a b , 1 a , x n x n n x n x n x n       (2.15)

çözülebilir fark denklem sisteminin çözümlerinin asimptotik davranışını ve çekimliliğini inceleyerek faz uzayını tasvir ettiler.

Berg ve Stević (2011), u ve 0 v kompleks başlangıç şartları olmak üzere, 0

1 ₁ n , 1 ₁ n , 0 n n n n v u u v n v u   _   _  (2.16) 1 ₁ n , 1 ₁ n , 0 n n n n v u u v n u v   _   _  (2.17) 1 ₁ , 1 ₁ , 0 n n n n n n u v u v n v u   _   _  (2.18)

fark denklem sistemlerinin bir riccati fark denkleminin genel çözümü yardımıyla açık olarak çözülebileceğini gösterdiler ve (2.16)-(2.18) sistemlerinin genel çözümlerinin asimptotik davranışlarını incelediler.

Stević (2011), a b c, , , , ,   parametreleri ve x_1,x y₀, _1,y₀ başlangıç şartları reel sayılar olmak üzere,

1 1 1 1 0 1 1 , , n n n n n n n n ax y x y n by x c x y               (2.19)

fark denklem sisteminin çözülebilir olduğunu gösterdi. Daha sonra da,

 

0 n _n a _ ,

 

0 n n b _ ,

 

0 n n c _ ,

 

0 n n  _

 

0 n n  _ ,

 

0 n n

 _ iki periyodlu reel terimli diziler ve

1, 0, 1, 0

x_ x y_ y başlangıç şartları reel sayılar olmak üzere,

1 1 1 1 0 1 1 , , n n n n n n n n n n n n n n a x x x x n b y x c y x               (2.20)

sisteminin çözülebileceğini gösterdi.

Stević (2012), x ve 0 y reel başlangıç şartları, 0 u , n v , n wn ve s dizilerinin n

herbiri ise x ve _n y dizilerinden biri olmak üzere, _n

1 ₁ n , 1 ₁ n , 0 n n n n u w x y n v s   _   _  (2.21)

sisteminin on altı muhtemel durumundan on dört tanesinde çözülebilir olduğunu gösterdi.

Yazlık ve arkadaĢları (2013), çalışmalarında

1 1 1 1 0 1 1 1 1 , , n n n n n n n n x y x y n y x x y            (2.22)

fark denklem sistemlerinin çözümlerini Padovan sayıları ile ilişkilendirerek formülüze edip, bu formülleri kullanarak her bir sistem için bütün çözümlerin asimptotik olarak tek bir noktaya yakınsadığını gösterdiler. Ayrıca, sistemler için tanımlanamaz çözümleri veren başlangıç şartlarının kümelerini belirlediler.

El-Metwally (2013), x_2,x_1,x y₀, _2,y_1,y₀ başlangıç şartları sıfırdan farklı olmak üzere, 1 1 0 1 2 1 2 , , n n n n n n n n n n x y x y x y n x y y x              (2.23)

fark denklem sistemlerinin çözüm formlarını bularak bu çözümlerin bazı özelliklerini inceledi.

Stević ve arkadaĢları (2013), k l,  , i1 kl için x_i,y_i 

 

0 başlangıç şartları reel sayılar ve

 

0 n _n a _ ,

 

0 n _n b _ ,

 

0 n _n c _ ,

 

0 n _n d _ dizileri reel terimli diziler olmak üzere

0 , , n k n l n k n l n n n n k n n l k n n k n n l k x y y x x y n b x a y d y c x                (2.24)

sisteminin kapalı formda çözülebileceğini gösterdiler. Ayrıca, çalışmalarında elde ettikleri çözümleri kullanarak iyi tanımlı çözümlerin asimptotik davranışını incelediler ve (2.24) sistemi için tanımlanamaz çözümleri veren başlangıç şartlarının kümesini belirlediler.

Yazlık ve arkadaĢları (2014), başlangıç şartları çözümleri iyi tanımlı yapan keyfi reel sayılar olmak üzere,

5 5 1 1 0 5 5 1 3 1 3 , , 1 1 n n n n n n n n n n y x x y n y x y x y x                  (2.25)

sistemlerinin açık çözümlerini elde ettiler ve bu çözümlerin davranışlarını incelediler.

2.2. Rasyonel Fark Denklemlerinin Kararlılık Analizi

Abu-Saris ve arkadaĢları (2008), k ₀, a0 ve x_k,x_{ k 1}, ,x₀ başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere,

1 , 0 n n k n n n k a x x x n x x        (2.26)

denkleminin denge noktasının global asimptotik kararlı olduğunu gösterdiler.

Chatterjee ve arkadaĢları (2003), çalışmalarında; tüm parametreler ve başlangıç şartları negatif olmayan reel sayılar olmak üzere

1 1 0 2 , n n n n x x n A Bx x   _        (2.27)

fark denkleminin çözümlerinin global kararlılığı, sınırlılığı ve periyodikliğini araştırdılar.

Kalabusic ve Kulenović (2003), yaptıkları çalışmada; pozitif parametreler ve pozitif başlangıç şartları ile

1 2 1 0 1 2 , n n n n n x x x n Cx Dx  _  _        (2.28)

fark denkleminin global davranışını incelediler.

El-Owaidy ve arkadaĢları (2005), negatif olmayan parametreler ve negatif olmayan başlangıç şartlarıyla,

1 1 0 2 , n n p n x x n x         (2.29)

denkleminin pozitif çözümlerinin global davranışını incelediler.

Yalçınkaya (2008), , k parametreleri ve xm,x m₁, ,x₀ başlangıç şartları

pozitif reel sayılar olmak üzere,

0 1 n m, n k n n x x x



     (2.30)

yüksek mertebeli fark denkleminin pozitif çözümlerinin global davranışını araştırdı. Yalçınkaya ve arkadaĢları (2008), k ve x₀ 1,x₀ 2 , ,x₀ k reel başlangıç şartları 0 ve 1‟den farklı olmak üzere,

                  2 3 1 1 2 1 ₂ , 1 ₃ , , 1 ₁ 0 1 1 1

,

k n n n n n n n n n x x x x x x n x x x           (2.31) ve                   1 1 1 2 1 , 1 ₁ , , 1 ₁ , 0 1 1 1 k k k n n n n _k n n _k n n n x x x x x x n x x x        _     (2.32)

fark denklem sistemlerinin her çözümünün, k 0 mod 2





olması durumunda 2k -periyodlu ve k0 mod 2





olması durumunda ise k-periyodlu olduğunu gösterdiler.

Yalçınkaya (2010), pozitif başlangıç şartları kullanarak,

1 1 1 1 1 1 , 0 1, 1 n n n n n n n n n n x y y x x y n x y y x              (2.33)

fark denklem sisteminin



x y,

  

 1,1 denge noktasının global asimptotik kararlılığı için bir yeter şart elde etti.

KarataĢ (2010), A B C, , parametreleri ve başlangıç şartları negatif olmayan reel sayılar ve k m, tam sayıları ise m2k1 şartını sağlayan negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, 1 2 1 0 0 , n m n k n i i Ax x n B C x        



(2.34)

Erdoğan ve arkadaĢları (2011), pozitif parametreler ve negatif olmayan başlangıç şartlarıyla, 1 1 2 2 0 2 4 2 4 , n n n n n n x x n x x x x              (2.35)

denkleminin pozitif çözümlerinin global davranışını incelediler.

TaĢkara ve arkadaĢları (2011), yaptıkları çalışmada k ve

1, , , 0

k k

x_{ } x_ x  olmak üzere, önce p q_n, _n reel dizileri



k2



-periyodlu olduğunda,

1 1 0 1 , n k n k n n n k p x x x n q x           (2.36)

denkleminin



k2



-periyodlu çözümleri için gerek ve yeter şartları elde ettiler. Aynı çalışmanın devamında, p q_n, _n reel dizileri



k1



-periyodlu olduğunda, k‟nın tek ya da çift değerler alması durumlarına göre (2.36) denkleminin



k1



-periyodlu çözümleri için genel formüller elde ettiler.

Obaid ve arkadaĢları (2012), a b c d, , , , , ,   parametreleri ve x_3,x_2,x_1,x₀

başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere,

1 2 3 1 0 1 2 3 , n n n n n n n n bx cx dx x ax n x x x                  (2.37)

denkleminin çözümlerinin yakınsaklık özelliklerini, sınırlılığını ve periyodikliğini incelediler.

3. ÖN BĠLGĠLER

3.1. Fark Operatörleri

Burada sıkça kullanılan iki fark operatörü tanıtılıp, bu operatörlerin bazı özellikleri verilecektir [Levy ve Lessman, 1961].

3.1.1. E operatörü (Kaydırma operatörü)

Tanım 3.1. f , verilen bir fonksiyon ve h bir reel sayı olsun. f fonksiyonun f x

 

değerini f x h







değerine kaydıran kurala, yani;

 





Ef x  f x h

işlemini gerçekleştiren E kuralına Kaydırma operatörü denir. Burada, i olmak üzere, xi1 xi h şeklinde tanımlanan h reel sayısına ise adım genişliği denir.

3.1.2.  operatörü (Ġleri fark operatörü)

Tanım 3.2. f , verilen bir fonksiyon ve h bir reel sayı olsun. f fonksiyonun f x

 

değerini f x h



 



f x

 

değerine dönüştüren kurala, yani;

 





 

f x f x h f x

   

işlemini gerçekleştiren  kuralına İleri fark operatörü denir. Kolayca görülür ki; I birim operatör olmak üzere,  ve E operatörleri arasında   E I bağıntısı vardır.

3.1.3. Alt indis notasyonu

Alt indis notasyonunun kullanımı işlemlerde oldukça kolaylık sağlamakla birlikte kolay bir yazılışa sahip olduğundan sıkça tercih edilir.

A olmak üzere, f A: A tanımlı ve y f x

 

kuralıyla verilen bir fonksiyon olsun. a bir reel sayı, k bir tam sayı ve h reel adım genişliği olmak üzere,

x a kh bağımsız değişken değiştirmesini kullanarak, f a



kh



notasyonu yerine

k

k değişkeninin sadece tam sayı olmak zorunda olmadığını gösterir. Yani, k değişkeni, x değişkeni gibi ayrık ya da sürekli bir değişken olabilir. Fakat bu çalışmanın

devamında özel olarak, k değişkeni ayrık bir değişken olarak kabul edilecektir.

3.1.4. 1 invers operatörünün iĢlevi

A olsun. Ayrıca, f A: A tanımlı ve y f x

 

kuralıyla verilen bir fonksiyon olsun. Burada,



1



 

 

f x f x



  

eşitliğini sağlayan 1

operatörünün işlevi verilecektir.





k f akh  y olmak üzere, 1 k k y z    (3.1)

olsun. Bu durumda, yk   zk zk1zk olup,

0 1 0 1 2 1 2 3 2 1 1 k k k y z z y z z y z z y _ z z _         (3.2)

eşitlikleri yazılabilir. (3.2) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa

1 0 0 k i k i y z z    



(3.3)

eşitliği elde edilir. Burada z keyfi reel bir sabittir. (3.1) ve (3.3) eşitliklerinden ₀ 1 1 0 0 k k i i y z y      



(3.4) olduğu görülür. Böylece, 1

operatörü, (3.4) eşitliğinde görüldüğü gibi, bilinen  toplam operatörüne bir keyfi sabit farkıyla eşittir. Sonuç olarak;  ve  birbirinin tersi olan operatörlerdir. Yani, I birim operatör olmak üzere   I veya   1 ‟dır.

3.2. Fark Denklemleri

Diferansiyel denklemlerde fiziksel olayların matematiksel modeli, sürekli değişim oranları arasındaki denklemler ile ifade ediliyordu. Fakat 20. yüzyılın

başlarında radyasyondaki quanta ile biyolojide görülen genetik olaylardaki gelişmeler, tüm doğa olaylarının süreklilik terimleri ile ifade edilemeyeceğini göstermiştir. Dolayısıyla, fark denklemleri kullanılarak diferansiyel denklemlerde görülen süreksizlik halleri kaldırılmak istenmiştir. Böylece son zamanlarda, sürekli bir x bağımsız değişkenine bağlı bir y x bağımlı değişkenindeki değişimi ifade eden

 

 1

_{ }

 2

_{ }

 

_{ }

, , , k

y x y x y x , k , türevlerine bir analog olarak, kesikli bir n bağımsız

değişkenine bağlı bir y n bağımlı değişkenindeki değişimi ifade eden

 

1, 2, ,

n n n k

y _ y _ y _ farklarını içeren denklemler ele alınmaya başlanmıştır.

Tanım 3.3. [Tollu, 2009] Bağımsız değişken n ve bağımlı değişken y olmak üzere, bağımlı ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin 2 ( )

( ), ( ),..., n ( ),...

E y E y E y gibi

farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi denir.

Bir fark denkleminin mertebesi, denklemdeki en büyük indisli terimin indisi ile en küçük indisli terimin indisi arasındaki farka eşittir. Örneğin;

 

1 , 0, 0 , 0

n n

x_ ax  f n a x  n

denklemi birinci mertebeden,

 

1 1 , , 0, 1, 0 , 0

n n n

y _ ay by _ g n a b y_ y  n

denklemi ikinci mertebeden ve

 

2 1 2 1 0 0 1 2 , , , 0 , n n n n n z z z z z n z z z            

denklemi ise üçüncü mertebeden bir fark denklemidir.

3.3. Lineer Fark Denklemlerinin Sınıflandırılması

Fark denklemleri çeşitli özelliklerine göre sınıflandırılabilirler. Burada sadece bu denklemlerin lineer olup olmadıklarına göre bir sınıflandırma yapılacaktır.

Tanım 3.4. [Tollu, 2009] Eğer bir fark denklemi bağımlı değişken ve bağımlı değişkenin var olan ileri farklarına göre birinci dereceden ise bu denkleme lineer fark

denklemi denir. Aksi halde fark denklemi lineer olmayan denklemdir.

Örnek olarak,

1 1, 0, 0 , 0

n n

x_ ax  a x  n

1 1, , 0, 1, 0 , 0

n n n

x_ ax bx_ a b x_ x  n

denklemi ise ikinci mertebeden lineer bir fark denklemidir. Ayrıca,

 

1 sin , 0 , 0

n n

x_  x x  n

denklemi birinci mertebeden lineer olmayan,

1 1, , , 1, 0 0 , 0 n n n a x bx a b x x n x        

denklemi ikinci mertebeden lineer olmayan ve

 

2 1 , 2, 1, 0 0 , 0 n n n x x x x x n x        

denklemi ise üçüncü mertebeden lineer olmayan fark denklemidir. Genel olarak n mertebeden lineer fark denklemleri; .

 

1 1 0

n k n n k n k

a y _ a_ y _{ }  a y  f k (3.5)

şeklinde gösterilir.

Lineer fark denklemleri, (3.5) denklemindeki f k fonksiyonu ve

 

a , _i

(0,1, 2,... )n , katsayılarının durumlarına göre aşağıdaki gibi sınıflandırılırlar: i) Eğer ( ) 0f k  ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

ii) a , (0,1, 2,... )_i n , katsayıları sabit ise denkleme Sabit Katsayılı Lineer Fark

Denklemi denir.

iii) a , (0,1, 2,... )_i n , katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları ise denkleme Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir.

3.4. Birinci Mertebeden Lineer Fark Denklemlerinin Çözümü

Eğer a0 ise

1 , 0 , 0

n n

x_ ax x  n (3.6)

denklemi birinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen bir fark denklemidir. Eğer

0

ab ise

1 , 0 , 0

n n

x_ ax b x  n (3.7)

denklemi birinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen olmayan bir fark denklemidir. Eğer

 

an n₀ bir sıfır dizisi değilse,

1 , 0 , 0

n n n

denklemi birinci mertebeden değişken katsayılı lineer homojen bir fark denklemidir. Eğer a0 ve

 

b_{n n0} bir sıfır dizisi değilse,

1 , 0 , 0

n n n

x_ ax b x  n (3.9)

birinci mertebeden denklemi hem sabit katsayılı hem de değişken katsayılı lineer homojen olmayan bir fark denklemidir. Eğer

 

0 n _n a _ ve

 

0 n _n b _ birer sıfır dizisi değillerse, 1 , 0 , 0 n n n n x_ a x b x  n (3.10)

denklemi birinci mertebeden değişken katsayılı lineer homojen olmayan bir fark denklemidir.

Bu kısımda, yukarıda tanıtılan (3.6)-(3.10) birinci mertebeden lineer fark denklemlerinin genel çözümleri için çözüm metodları ele alınacaktır [Levy ve Lessman, 1961].

3.4.1. x_n1ax_n denkleminin çözümü

(3.6) denkleminin çözümü için, a1 ve a1 olmak üzere iki durum vardır. Eğer a1 ise bu durumda (3.6) denklemi

1 , 0 , 0 n n x_ x x  n (3.11) olup, 0 0 0, , n x x n    

şeklinde yazılabilir. Bu demektir ki, (3.6) denkleminin ardışık herhangi iki teriminin farkı sıfır olup çözüm

0, 0

n

x x n (3.12)

olacak şekilde sabittir. Eğer a1 ise bu durumda basit bir işlemle (3.6) denklemi a1

durumuna indirgenebilir. Yani; (3.6) denkleminin her iki tarafı an1 ile bölünerek,

1 0 1 , n n n n x x n a a     (3.13)

denklemi elde edilir. Böylece, (3.13) denklemi

0 0, n n x n a   _{ }    (3.14)

şeklinde yazılabilir. (3.14) denklemindeki farkın sıfır olması gösterir ki; n ₀ için

n n

x a oranı sabittir. Yani, c keyfi bir sabit olmak üzere,

0

,

n n

x ca n (3.15)

genel çözümü bulunur. Sonuç olarak, (3.15) çözümünde n0 için cx₀ olduğundan (3.6) denkleminin genel çözümü, 0 , 0 n n x x a n (3.16) olarak bulunur. 3.4.2. x_n1ax_nb denkleminin çözümü

Homojen olmayan (3.7) denklemin genel çözümü de benzer şekilde bulunabilir. Dikkat edilirse, a1 için (3.7) denklemi

1 , 0

n n n

x_ x   x b n (3.17)

veya denk olarak

1

0

,

n

x  b n (3.18)

şeklinde yazılabilir. c keyfi bir sabit olmak üzere,

1 0 0 , n n i x c b c bn n    



   (3.19)

genel çözümü bulunur. Sonuç olarak, (3.19) çözümünde n0 için cx₀ olduğundan (3.7) denkleminin genel çözümü,

0 , 0

n

x x bn n (3.20)

olarak bulunur. Eğer a1 ise (3.7) denklemi

1 , 0 1 1 n n b b x a x n a a   _ _  _  _  _   _      (3.21)

şeklinde yazılabilir. Aslında (3.21) denklemi, (3.6) denkleminin formundadır ve genel çözüm doğrudan 0 , 0 1 1 n n b b x a x n a a  _ _  _  _  _   _      (3.22)

şeklinde veya denk olarak

0 , 0 1 1 n n b b x x a n a a   _  _       (3.23)

şeklinde yazılabilir.

3.4.3. x_n1a x_{n n} denkleminin çözümü

(3.8) denklemi, değişken katsayılı olmasına rağmen sabit katsayılı (3.11) denklemi formuna indirgenebilen bir denklemdir. (3.8) denkleminin her iki tarafı

0 n k k a 



ile bölünürse, 1 1 0 0 n n n n k k k k x x a a     





(3.24)

denklemi elde edilir. Dolayısıyla denklemin genel çözümü, (3.12) genel çözümünden aşağıdaki gibi doğrudan yazılabilir:

1 0 0 n n k k x x a   



(3.25) 3.4.4. x_n1ax_nb_n denkleminin çözümü

(3.9) denklemi değişken katsayılı homojen olmayan bir denklemdir. Fakat x _n

teriminin katsayısı sabit olduğundan çözüm metodu (3.7) denkleminin çözüm metoduyla aynıdır. Eğer a1 ise denklem

0

,

n n

x b n

   (3.26)

formunda yazılabilir. Bu durumda, (3.26) denkleminden

1 1 0 0 0 , n n n i i x b x b n       



 (3.27)

genel çözümü bulunur. Eğer a1 ise (3.9) denkleminin her iki tarafı an1 ile bölünerek, 1 0 1 1, n n n n n n x x b n a a a       (3.28)

denklemi elde edilir. (3.28) denklemi

0 1, n n n n x b n a a    _{ }    (3.29)

1 1 0 0 1 1 0 , n n n i n n i i x b b x n a a a          _{ }    



(3.30)

elde edilir. Bazı düzenlemelerden sonra

1 1 0 0 0 , n n n i n i i x x a a b n      



 (3.31) genel çözümü bulunur. 3.4.5. x_n1a x_{n n}b_n denkleminin çözümü

(3.10) denklemi değişken katsayılı homojen olmayan bir denklemdir. Burada, x _n

teriminin katsayısı da değişken olduğundan, bu defa denklemi çözmek için, denklemin her iki tarafı

0 n k k a 



ile bölünerek, 1 1 0 0 0 n n n n n n k k k k k k x x b a a a       







(3.32)

denklemi elde edilir. Dikkat edilirse, bu denklem de (3.28) denkleminin formundadır ve böylece, 1 1 0 0 n n n n k k k k x b a a                  





(3.33)

elde edilir. Sonuç olarak, (3.33) denkleminden gerekli işlemler yapılarak, (3.10) denkleminin genel çözümü 1 1 1 0 0 0 1 n n n n k i k i k k i x x a b a        









(3.34) olarak bulunur.

Aşağıda, örnek olarak (3.7) denkleminin bir uygulaması sunulmuştur.

Örnek 3.1. [Elaydi, 1999] Bir ilaç, bir hasta tarafından dört saatte bir alınmaktadır. İlacın .n saat aralığında kan dolaşımı sistemindeki miktarı x olsun. Hastanın vücudu _n

ilacın p oranını her bir aralık boyunca dolaşım sisteminden çekmektedir. Eğer ilacın her dört saatte alınan miktarı q ise lim _n

Çözüm. Önce problemin matematik modeli bulunmalıdır. Bu model ise sabit katsayılı lineer bir fark denklemdir. Çünkü



n1 .



zaman diliminde hastanın vücudunda bulunan ilaç miktarı .n zaman dilimindeki ilaç miktarından p katının çıkarılması ve q

yeni dozajının eklenmesiyle elde edilir. Böylece,

1 (1 )

n n

x_  p x q (3.35)

denklemi istenen model denklemdir. Bu denklemin çözümü ise (3.23) formülü kullanılarak, 0 (1 ) n n q q x x p p p   _  _     (3.36)

şeklinde olur. Şimdi lim _n

nx hesaplanabilir ve sonuç lim _n n q x p   (3.37)

olarak bulunur. Burada 3

2 , 0.25

q cm p alınırsa, (3.35) denklemi

1 0.75 2, 0 2

n n

x_  x  x  (3.38)

olur. Dikkat edilirse, lim 2 8 3 0.25 n n q x cm p

    olup, bu değer aslında ilacın kandaki

denge değeridir. Zaten q

p ifadesi, bu fark denkleminin bu bölümün devamında tanımı

verilecek olan denge noktasıdır. Aşağıdaki tablo çözümün ve dolayısıyla ilacın kandaki miktarının nasıl dengeye geldiğini gösterir.

Tablo 3.1. Kandaki ilaç miktarının dengeye gelmesi

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

x 2 3.5 4.62 5.47 6.1 6.58 6.93 7.2 7.4 7.55 7.66

3.5. Ġkinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Fark Denklemleri

(3.5) denkleminin özel bir hali,

2 1 0, 0, 1 , 0, 0

n n n

x_ ax _ bx  x x  b n (3.39)

ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer homojen fark denklemidir [Kulenovic ve Merino, 2002]. Acaba (3.39) denklemi, birinci mertebeden lineer denklemler gibi

çözülebilir mi? Bu durumda cevap olumludur. Çünkü, _ ve _ herhangi reel ya da kompleks sayılar olmak üzere (3.39) denklemi,



E



E



xn 0, x x0, 1 , n 0 (3.40)

şeklinde yazılabilir ve birinci mertebeden lineer denklemlere indirgenebilir. Bu durumda (3.39) denkleminin, c, 

 

0 (veya  

 

0 ) için xn cn olacak

şekilde bir çözümünün var olduğu kabul edilsin. Açıktır ki; bu çözüm (3.39) denklemini sağlar. Yani; 2 1 0 0, n n n c  ac  bc  n (3.41)

olur. (3.41) denkleminden, (3.39) denkleminin karakteristik denklemi olarak adlandırılan

2

0

a b

    (3.42)

kuadratik denklemi bulunur. Dikkat edilirse, (3.42) denklemi iki reel ya da iki kompleks köke sahiptir. O halde (3.40) denklemindeki yazılış uygundur. (3.42) denkleminin kökleri

2

4 2

a a b

_     ‟dir. Bu kökler için üç durum vardır ve bu üç duruma göre genel çözüm farklı formdadır.

Durum 1: Eğer a2 4b ise

2

a

_ _  olacak şekilde çakışık iki kök vardır. Bu durumda, (3.39) denklemi, 2 2 1 0, 0 4 n n n a x_ ax _  x  n (3.43) formundadır. (3.41) denklemi, 2 1 1 , 0 2 2 2 n n n n a a a x _ x _ x _ x n  _ _{ }  _  _         (3.44) olarak yazılabilir ve 1 1 0 , 0 2 2 2 n n n a a a x _ x x x n  _  _{ }   _  _             (3.45)

şeklinde bir çözüm elde edilir. (3.45), aslında (3.9) formunda bir denklemdir ve

1 1 0 1 0 0 0 , 2 2 2 2 n _n n i i n i a a a a x x x x n              _ _  _ _{ } _{ }  _   



      (3.46)





1 1 0 1 , 0 2 2 n n n a a x x n x n n       _ _   _ _      (3.47)

olarak elde edilir.

Durum 2: Eğer a2 4b ise reel ve ayrık iki kök vardır. Bu durumda, (3.39) denklemi,



xn2xn1







xn1xn



, n 0 (3.48)

olarak yazılabilir ve benzer işlemlerden sonra, (3.39) denkleminin çözümü

1 1 1 0 n n n n n x   x   x                     (3.49) şeklinde yazılabilir.

Durum 3: Eğer a2 4b ise kökler kompleks eşlenik köklerdir. Yani,

2

4 2

a i b a

_    olur. Bilindiği gibi herhangi kompleks eşlenik z ve ₁ z sayıları ₂

için,





1 cos sin r i r z e  e i  (3.50) ve





2 cos sin r i r z e  e i  (3.51) gösterimleri vardır.

Bu durumda, (3.39) denkleminin çözümü yine (3.49) olarak verilir. Fakat (3.50) ve (3.51) gösterimleri kullanılacak olursa, _  _   _{ } b ve

2 4 arctan b a a  _  _   

olmak üzere genel çözüm

 

 





 





1 2 2 2 1 0 sin 1 sin sin sin n n n n n x b  x b  x     _   (3.52) olarak bulunur.

Örnek 3.2. [Koshy, 2001] İkinci mertebeden lineer fark denklemlerinin en güzel örneklerinden birisi,

2 1 0, 0 0, 1 1

n n n

F_ F_ F  F  F  (3.53)

denklemiyle verilen Fibonacci Sayılarının rekürans bağıntısıdır. (3.53) denkleminin tek çözümü,

 

_{n 0}



0,1,1, 2,3,5,8, ,



n

Fibonacci dizisidir. (3.53) denkleminin karakteristik denklemi, 1 5

2

_   ve

1 5 2

_   karakteristik köklerine sahip olan

2

1 0

    (3.55)

kuadratik denklemidir. (3.49) genel çözümüne (3.53) denkleminin başlangıç şartları ve (3.55) karakteristik denkleminin kökleri uygulanırsa, Fibonacci sayılarının Binet formülü olarak bilinen

n n n F    _ _    (3.56)

eşitliği elde edilir. Burada F , _n n -inci Fibonacci sayısıdır.

Fibonacci sayılarının çok çeşitli özellikleri vardır. Mesela,

 

1 1n n n F    F , (3.57) 2 1 1 n i n i F F_     , (3.58) 1 1 5 lim 2 n n n F F        (3.59)

eşitlikleri bunlardan yalnızca ikisidir.

Örnek 3.3. z ve 0 z reel başlangıç şartları olmak üzere, (3.39) ikinci mertebeden lineer 1

fark denkleminin özel bir hali,

2 1 0, 0,

n n n

z _ z _ z  n (3.60)

denklemidir. (3.60) denkleminin karakteristik denklemi, yine (3.55) denklemidir. (3.49) genel çözümü ve (3.56) eşitliğinden denklemin genel çözümü,

1 1 0, 0,

n n n

z F z F z_ n (3.61)

olarak yazılabilir. Burada F , n n -inci Fibonacci sayısıdır.

Örnek 3.4. t₀ ve t reel başlangıç şartları olmak üzere, (3.39) fark denkleminin başka ₁

bir özel hali,

2 1 0, 0

n n n

t _ t _  t n (3.62)

2

1 0

    (3.63)

denklemidir. (3.63) dekleminin kökleri ise 5 1

2

_   ve 1 5

2

_    dir. Dikkat edilirse, (3.55) ve (3.63) denklemlerinin kökleri arasında _   bağıntısı vardır. Bu bağıntı ve (3.56) dikkate alındğında, (3.62) denkleminin genel çözümü

  

1



1 1 0 0 1 n , n n n t    F t F t_ n (3.64) olarak bulunur.

Lineer fark denklemleri gibi bazı lineer olmayan fark denklemleri de çözülebilme özelliğine sahiptirler. Mesela, ab0 ve b1 olmak üzere, birinci mertebeden lineer olmayan

1 , 0 , 0

b

n n

x_ ax x  n (3.65)

denklemi ve ikinci mertebeden lineer olmayan

 

1 1 , 1, 0 \ 0 , 0 n n n x x x x n x       (3.66)

denklemi xn lnun değişken değiştirmesi yapılarak lineer hale getirilip çözülebilir.

Yine, birinci mertebeden lineer olmayan

1 n , 0 , 0 n n x x x n a bx   _   (3.67)

denklemi de x_n 1v_n değişken değiştirmesi yapılarak lineer hale getirilip çözülebilir. Ayrıca, çözülebilen lineer olmayan fark denklemlerinin bir sınıfı olarak, lineer olmayan periyodik denklemler de vardır. Mesela,

 

1 0 0 1 , \ 0 , n n x x n x     (3.68)

denkleminin her çözümü 2 -peryodludur. (3.68) denkleminin bir genişlemesi olan ve Lyness denklemi [Lyness, 1942] olarak bilinen

 

1 1 0 0 1 1 , , \ 0 , n n n x x x x n x        (3.69)

denkleminin her çözümü 5-periyodludur. (3.69) Lyness denkleminin bir genişlemesi olan ve Todd denklemi [Kulenovic ve Merino, 2002] olarak bilinen

 

1 1 2 1 0 0 2 1 , , , \ 0 , n n n n x x x x x x n x           (3.70)

denkleminin her çözümü ise 8-periyodludur.

3.6. Riccati Fark Denklemi

Çözülebilen lineer olmayan fark denklemlerinin en ilginç örneklerinden birisi,

Riccati fark denklemi [Camouzis ve Ladas, 2008] olarak bilinen

1 , 0, 0, 0, n n n a b a bx x d n c d c dx        (3.71)

denklemidir. Burada, d 

 

0 ve a b c x, , , ₀ ‟dir. Eğer d 0 ise (3.71) denklemi birinci mertebeden homojen olmayan lineer bir denklemdir. Eğer a b 0

c d ise bu durumda denklem 1 , 0 n n n bc d bx b x n c dx d       (3.72)

olacak şekilde sabitir. Eğer d 0 ve a b 0

c d  ise bu durumda n n b c c x y d d    _{ }    (3.73)

değişken değiştirmesi yapılarak (3.71) denklemi, bir parametreli

1 , 0 n n n R y y n y      (3.74)

denklemine dönüştürülür. Burada, y başlangıç şartı sıfırdan farklı bir reel sayıdır ve ₀





2 bc ad R b c  

 sayısı Riccati Sayısı olarak adlandırılır.

1 n n n z y z   değişken değiştirmesi

(3.74) denklemini, (3.60) lineer ikinci mertebe fark denkleminin özel bir hali olan

2 1 0, 0, 1 , 0

n n n

denklemine dönüştürür. Burada, z z₀, ₁ \ 0

 

. (3.75) denkleminin karakteristik denklemi, 2 0 R     (3.76) olup, 1 1 4 2 R

_    karakteristik köklerine sahiptir. Bu durumda, (3.75) denkleminin çözümü, 1 1 1 1 0 n n n n n z   z   z                      (3.77) olur. (3.77) çözümü, n 1 n n z y z 

 değişken değiştirmesinde yerine yazılırsa,

n n n R    _ _    olmak üzere, 1 0 0 1 n n n n n R y R y R y R      (3.78)

çözümü bulunur. Son olarak (3.78) çözümü de (3.73) değişken değiştirmesinde yerine yazılırsa, (3.71) Riccati denkleminin genel çözümü

1 0 0 1 n n n n n d c R x R b c b c d c x d c d d R x R b c d    _ _         _{ }      _{ }      (3.79)

olarak elde edilir.

Örnek 3.5. (3.71) denkleminde    a b d 1 ve c0 için R 1 olur ve (3.71) denklemi 1 0 1 , n n n x x n x     (3.80)

denklemine indirgenir. Bu durumda (3.76) denkleminin kökleri 1 5

2 _  olup, (3.56) eşitliği ve (3.79) çözümünden 1 0 0 1 n n n n n F x F x F x F      (3.81)