SAYISAL UYGULAMALAR

Bu bölümde, dördüncü ve beşinci bölümlerde çalışılan denklem ve sistemler için sayısal uygulamalar verildi.

Örnek 6.1: Aşağıda, Teorem 4.6.‟nın bir uygulaması olarak (4.21) sisteminin x0  0.7

ve y0  5 başlangıç şartlarına karşılık gelen çözümünün grafiği verilmiştir. Dikkat

edilirse; n ‟nin büyüyen değerleri için x_n _ iken ₂ 5 0.7 n y  _ ve _{2 1} 0.7 5 n y _  _ olur. Grafik 6.1

Örnek 6.2: Aşağıda, Teorem 4.9.‟un bir uygulaması olan, (4.55) sisteminin x₀ 13,

0 27

y   başlangıç şartlarına karşılık gelen çözümünün grafiği verilmiştir. Burada ise çözüm tek bir noktaya yakınsar. Yani; n ‟nin yeterince büyük değerleri için

Grafik 6.1

Örnek 6.3: Grafik 6.3‟te, (4.78) sisteminin x0  1, y0 3 başlangıç şartlarına karşılık

gelen 6periyodlu çözümü verilmiştir.

Grafik 6.2

Örnek 6.4: Grafik 6.4‟te, (4.78) sisteminin x₀  7, y₀ 12 başlangıç şartlarına karşılık gelen ve 2_{de yoğun olan çözümü verilmiştir.}

Grafik 6.3

Örnek 6.5: Grafik 6.5‟te, (4.78) sisteminin x0 0.3, y0  1.2 başlangıç şartlarına

karşılık gelen ve



1/ 2, 2



ye yakınsayan çözümü verilmiştir. Yani, burada

0 0 1 4 x y   ‟tür. Grafik 6.4

Örnek 6.6: Grafik 6.6‟da ise (4.78) sisteminin x₀ 13, y₀ 1.2 başlangıç şartlarına karşılık gelen ve





0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 1 4 , 3.829164058, 0.3534612978 2 2 x y y x y x  _{   }        

noktasına yakınsayan çözümü verilmiştir. Burada ise 0 0 1 4 x y   ‟tür. Grafik 6.5

Aşağıdaki Grafik 6.7, Grafik 6.8 ve Grafik 6.9 (5.2) denkleminin  ve  parametrelerinin özel değerlerine göre çözümlerin davranışlarını resmeder.

Örnek 6.7. Grafik 6.7, (5.2) denkleminin  2.1,  3 parametre değerlerine ve

2 0.5

x_  , x1 17, x0 0.7 başlangıç şartlarına karşılık gelen çözümü verilmiştir.

Dikkat edilirse, bu durumda (5.2) denkleminin çözümü, denklemin iki periyodlu bir çözümüne yakınsar. Ayrıca çözüm sınırlıdır ve x  11 400.524404 pozitif denge noktası civarında 1 uzunluklu bir yarı döngü ile salınır.

Grafik 6.6

Örnek 6.8. Grafik 6.8‟de, (5.2) denkleminin  0.9,  0.5 parametre değerlerine ve

2 0.5

x_  , x1 17, x0 0.7 başlangıç şartlarına karşılık gelen çözümü verilmiştir.

Dikkat edilirse, bu durumda (5.2) denkleminin çözümü, tek denge noktası olan x₁ 0‟a yakınsar.

Örnek 6.9. Grafik 6.9‟da, (5.2) denkleminin  1,  3 parametre değerlerine ve

2 5

x_  , x_10.2, x₀ 7 başlangıç şartlarına karşılık gelen çözümü verilmiştir. Dikkat edilirse, bu durumda (5.2) denkleminin çözümü, denklemin iki periyodlu bir çözümüne yakınsar.

7. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER

7.1. Sonuçlar

Bu çalışmada, x ve ₀ y sıfırdan farklı başlangıç şartları ve ₀ p_n, q , _n r_n, s_n

dizilerinin herbiri ise x ve n y dizilerinden biri olmak üzere, (4.1) sistemin on altı n

muhtemel durumu ele alınarak, on dört durum için sistemlerin çözülebilir olduğu gösterildi. Ayrıca bulunan genel çözümler, iyi bilinen Fibonacci sayılarıyla ilişkilendirilerek verildi. Araştırılan durumların on tanesinde, çözümler sistemlerin pozitif denge noktaları olan



 _, _



noktasına yakınsamaktadır. Diğer dört sistemin asimptotik karakterleri ise başlangıç şartlarının 0

0

x

y oranına göre değişiklik göstermektedir.

(5.2) denkleminin pozitif çözümleri ile ilgili elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Tablo 7.1. (5.2) denkleminin sonuçları

Durum Sonuç

1 0 0

x_ x  nN0için xn 0 aşikar çözümü vardır. 1

  ve x x_{1 0}0 x₁0 denge noktası global asimptotik kararlıdır.

1

  ve x x x₂ _{1 0} 0 Denklem iki periyodlu çözümlere sahiptir. 1

  ve x x_{1 0}0 Denklemin denge olmayan her çözümü iki periyodlu bir çözüme

yakınsar.

1

  ve x_10, x₀ 0 x2n10 ve lim 2n

nx   olacak şekilde sınırsız bir çözüm vardır. 1

  ve x₁0, x0 0 x2n 0 ve lim 2n1

nx    olacak şekilde sınırsız bir çözüm vardır.

7.2. Öneriler

(4.98) ve (4.100) sistemlerinin açık ya da kapalı formda genel çözümleri bulunabilir. Ayrıca; eğer genel çözümler bulunabilirse, bu genel çözümler kullanılarak bu sistemlerin çözümlerinin davranışı incelenebilir.

KAYNAKLAR

Abu-Saris, R., Cinar, C., Yalcinkaya, I., 2008, On the asymptotic stability of



 



1 /

n n n k n n k

x _  ax x_ x x _ , Computers & Mathematics with Applications, 56(5), 1172-1175.

Agarwal, R. P., 2000, Difference equations and inequalities: theory, methods, and applications, CRC Press.

Andruch-Sobilo, A., Migda, M., 2006, Further properties of the rational recursive sequence x_n1 ax_n1/



b cx x _{n n1}



, Opuscula Mathematica 26(3), 387-394. Andruch-Sobilo, A., Migda, M., 2009, On The Rational Recursive Sequence





1 1/ 1

n n n n

x _ ax _ b cx x _ , Tatra Mountains Mathematical Publications 43, 1-9.

Bajo, I., Liz, E., 2011, Global behaviour of a second-order nonlinear difference equation, Journal of Difference Equations and Applications, 17 (10), 1471-1486. Berg, L., Stević S., 2011, On some systems of difference equations, Applied

Mathematics and Computation, 218, 1713-1718.

Brand, L., 1955, A sequence defined by a difference equation. Am. Math. Mon. 62, 489- 492.

Camouzis, E., Ladas, G., 2008, Dynamics of Third-order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, Volume 5 of Advances in Discrete Mathematics and Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL.

Chatterjee, E., Grove, E. A., Kostrov, Y., Ladas, G., 2003, On the trichotomy character of x_n1 



  x_n1

 

A Bx _n x_n2



, Journal of Difference Equations and

Applications, 9(12), 1113-1128.

Çinar, C., 2004, On the positive solutions of the difference equation





1 1/ 1 1

n n n n

x _ x _ x x _ , Applied Mathematics and Computation, 150, 21-24. Elaydi, S., 1999, An Introduction to Difference Equations, Undergraduate Texts in

Mathematics, Springer, New York, USA, second edition.

El-Owaidy, H. M., Ahmet, A. M., Youssef, A. M., 2005, On the dynamics of the recursive sequence x_n1x_n1/



  x_np_2



, Applied Mathematics Letters, 18 (9), 1013-1018.

El-Metwally, H., Elsayed, E. M., 2012, Qualitative study of solutions of some difference equations, Abstract and Applied Analysis, Article ID 248291, 16 pages.

El-Metwally, H., 2013, Solutions Form for Some Rational Systems of Difference Equations, Discrete Dynamics in Nature and Society, Article ID 903593, 10 pages.

Erdoğan, M. E., Çinar, C., Yalcinkaya, I., 2011, On the dynamics of the recursive

sequence



2 2



1 1/ 2 4 2 4

n n n n n n

x_ x_   x _ x _ x _ x _ , Computers & Mathematics

with Applications, 61, 533-537.

Grove, E. A., Kostrov, Y., Ladas, G., Schultz, S. W., 2007, Riccati difference equations with real period-2 coeficients, Commun. Appl. Nonlinear Anal., 14, 33-56.

Hussein, H. A., 1994, An explicit solution of third-order difference equations, Journal

of Computational and Applied Mathematics 54, 307-311.

Hussein, H. A., El-Fiky, A. S., 1999, An Explicit Solution of The Difference Equation

 

_t





0

y t a y t k

    , Journal of Difference Equations and Applications, Vol. 5, pp. 541-547.

Ibrahim, T. F., 2009, On the third order rational difference equation





1 2 / 1 2

n n n n n n

x _ x x _ _x _ a bx x _ _, Int. J. Contemp. Math. Sciences 4(27), 1321-

1334.

Kalabusic, S., Kulenović, M. R. S., 2003, On the recursive sequence



 



1 1 2 / 1 2

n n n n n

x _  x_ x _ Cx _ Dx_ , Journal of difference equations and

Applications, 9(8),701-720.

Karataş, R., 2010, Global behaviour of a higher order difference equation, Computers &

Mathematics with Applications, 60, 830-839.

Koshy, T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley, New York.

Kulenovic, M. R. S., Merino, O., 2002, Discrete dynamical systems and difference equations with Mathematica, CRC Press.

Levy, H., Lessman, F., 1961, Finite Difference Equations, Macmillan, New York. Lyness, R. C., 1942, Note 1581, Math. Gaz., 26, 62.

Magnucka-Blandzi, E., Popenda, J., 1999, On the Asymptotic Behavior of a Rational System of Difference Equations, Journal of Difference Equations and

Applications, Vol. 5, pp. 271-286.

Obaid, M. A., Elsayed, E. M., El-Dessoky, M. M., 2012, Global Attractivity and Periodic Character of Difference Equation of Order Four, Discrete Dynamics in

Papaschinopoulos, G., Papadopoulos, B. K., 2002, On the Fuzzy Difference Equation

1 /

n n

x _  A B x , Soft Computing, 6, 456-461.

Popenda, J., 1987, One expression for the solutions of second order difference equations, Proceedings of the American Mathematical Society, 100, 87-93.

Shojaei, M., Saadati, R., Adibi, H., 2009, Stability and periodic character of a rational third order difference equation, Chaos, Solitons and Fractals, 39, 1203-1209. Simsek, D., Cinar, C., Yalcinkaya, I., 2008, On the recursive sequence

 



 



1 5 9 / 1 4 9 5 4

n n k n n n k

x _ x _{ } x _ x _ x_{ } , Taiwanese Journal of Mathematics 12(5), 1087-1099.

Stević, S., 2004, More on a rational recurrence relation, Appl. Math. E-Notes 4, 80-85. Stević S., 2011, On a system of difference equations, Applied Mathematics and

Computation. 218, 3372-3378.

Stević S., 2011, On a system of difference equations with period two coefficients,

Applied Mathematics and Computation, 218, 4317-4324.

Stević S., 2011, On the difference equation x_n x_n2/



b_nc x_{n n1}x_n2



, Applied

Mathematics and Computation, 218, 4507-4513.

Stević S., 2012, On some solvable systems of difference equations, Applied

Mathematics and Computation, 218, 5010-5018.

Stević S., 2012, On the difference equation xn xn k /



b cx n1 xn k



, Applied

Mathematics and Computation, 218, 6291-6296.

Stević S., 2012, On a solvable rational system of difference equations, Applied

Mathematics and Computation, 219, 2896-2908.

Stević S., Diblík, J., Iričanin, B., Šmarda, Z., 2012, On the difference equation



1



/

n n n k n n n n k

x a x _ b c x _ x _ , Abstract and Applied Analysis, Vol. 2012, Article ID 409237, 20 pages.

Taskara, N., Uslu, K., Tollu, D. T., 2011, The periodicity and solutions of the rational difference equation with periodic coefficients, Computers & Mathematics with

Applications, 62, 1807-1813.

Tollu, D. T., 2009, Bazı Fark Denklemlerinin Kararlılığı, Selçuk Üniversitesi Fen

Bilimleri Enstitüsü, Konya, 1-69.

Tollu, D. T., Yazlik, Y., Taskara, N., 2013, On the Solutions of two special types of Riccati Difference Equation via Fibonacci Numbers, Advances in Difference

Tollu, D. T., Yazlik, Y., Taskara, N., 2014, The Solutions of Four Riccati Difference Equations Associated with Fibonacci Numbers, Balkan Journal of Mathematics, 2, 163-172.

Tollu, D. T., Yazlik, Y., Taskara, N., 2014. On fourteen solvable systems of difference equations, Applied Mathematics and Computation, 233, 310-319.

Yalçınkaya, İ., 2008, On the Difference Equation ₁ k

n n m n

x _   x_ x , Discrete

Dynamics in Nature and Society, Article ID 805460.

Yalçınkaya, İ., Çinar, C., Atalay, M., 2008, On the Solutions of Systems of Difference Equations, Advances in Difference Equations, Vol. 2008, Article ID 143943. Yalçınkaya, İ., 2010, On the global asymptotic behavior of a system of two nonlinear

diffrence equations, Ars Combinatoria, 95, 151-159.

Yang, X., Su, W., Chen, B., Megson, G. M. Evans, D. J., 2005, On the recursive sequence x_n1



ax_n1bx_n2

 

/ c dx _n1x_n2



, Applied Mathematics and Computation, 162, 1485-1497.

Yazlik, Y., Tollu, D. T., Taskara, N., 2013, On the Solutions of Difference Equation Systems with Padovan Numbers, Applied Mathematics, 4, 15-20.

Yazlik, Y., 2014, On the solutions and behavior of rational difference equations,

Journal of Computational Analysis and Applications, 17(3), 584-594.

Yazlik, Y., Elsayed, E. M., Taskara, N., 2014, On the Behaviour of the Solutions of Difference Equation Systems, Journal of Computational Analysis and

Applications, 16(5), 932-941.

Yazlik, Y., Tollu, D. T., Taskara, N., 2014, On the Behaviour of Solutions for Some Systems of Difference Equations, Journal of Computational Analysis and

Applications, (Accepted).

Zayed, E. M. E., El-Moneam, M. A., 2005, On the rational recursive sequence



 



1 1 / 1

n n n n n

x _    x x _ A Bx Cx _ , Communications on Applied

ÖZGEÇMĠġ

KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : Durhasan Turgut TOLLU

Uyruğu : TC

Doğum Yeri ve Tarihi : ERDEMLİ, 28.03.1982 Telefon : 0 505 517 8949

e-mail : dttollu@konya.edu.tr EĞĠTĠM

Derece Adı, Ġlçe, Ġl Bitirme Yılı

Lise : Erdemli İmam-Hatip Lisesi, Erdemli, Mersin 1999 Üniversite : Gazi Üniversitesi, Kırşehir Fen-Edebiyat Fakültesi, _{Matematik Bölümü, Kırşehir} 2006 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

Matematik Anabilim Dalı, Selçuklu, Konya 2009 Doktora : Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

Matematik Anabilim Dalı, Selçuklu, Konya 2014 Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi

2006-2007 bahar

dönemi Saraçoğlu Ahmet Haşhaş İlköğretim Okulu

Matematik Öğretmeni (ücretli)

2007-2008 bahar

dönemi Saraçoğlu Ahmet Haşhaş İlköğretim Okulu

Matematik Öğretmeni (ücretli)

2009-2010 Selçuk Üniversitesi Teknik Bilimler M.Y.O. Ücretli öğretim elemanı 2010-2011 Selçuk Üniversitesi Sarayönü M.Y.O. _{Ücretli öğretim elemanı} UZMANLIK ALANI

Fark Denklemleri YABANCI DĠLLER İngilizce

YAYINLAR

Tollu, D. T., Yazlik, Y., Taskara, N., 2014. On fourteen solvable systems of difference equations, Applied Mathematics and Computation, 233, 310-319. (Doktora tezinden yapılmıştır.)

Taskara, N., Uslu, K., Tollu, D. T., 2011, The periodicity and solutions of the rational difference equation with periodic coefficients, Computers & Mathematics with

Belgede Bazı rasyonel fark denklem sistemlerinin çözümleri üzerine (sayfa 69-80)