Doğrusal olmayan zaman serisi verilerinin modellenmesinde kullanılan değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırmalı analizi üzerine bir araştırma

(1)

T.C.

DOKUZ EYLÜL ÜNøVERSøTESø SOSYAL BøLøMLER ENSTøTÜSÜ EKONOMETRø ANABøLøM DALI

øSTATøSTøK PROGRAMI DOKTORA TEZø

DOöRUSAL OLMAYAN ZAMAN SERøSø VERøLERøNøN MODELLENMESøNDE KULLANILAN

DEöøùEN VARYANSLILIK TESTLERøNøN KARùILAùTIRMALI ANALøZø ÜZERøNE

BøR ARAùTIRMA

Sakine BABAùOVA

DanÕúman

Prof. Dr. Levent ùENYAY

(2)

(3)

iii

Yemin Metni

Doktora Tezi olarak sundu÷um “Do÷rusal Olmayan Zaman Serisi

Verilerinin Modellenmesinde KullanÕlan De÷iúen VaryanslÕlÕk Testlerinin KarúÕlaútÕrmalÕ Analizi Üzerine Bir AraútÕrma” adlÕ çalÕúmanÕn, tarafÕmdan,

bilimsel ahlak ve geleneklere aykÕrÕ düúecek bir yardÕma baúvurmaksÕzÕn yazÕldÕ÷ÕnÕ ve yararlandÕ÷Õm eserlerin kaynakçada gösterilenlerden oluútu÷unu, bunlara atÕf yapÕlarak yararlanÕlmÕú oldu÷unu belirtir ve bunu onurumla do÷rularÕm.

.../.../... Sakine BABAùOVA ømza

(4)

iv

ÖZET Doktora Tezi

Do÷rusal Olmayan Zaman Serisi Verilerinin Modellenmesinde KullanÕlan De÷iúen VaryanslÕlÕk Testlerinin

KarúÕlaútÕrmalÕ Analizi Üzerine bir AraútÕrma Sakine BABAùOVA

Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Ekonometri Anabilim DalÕ

Bu çalÕúma finansal zaman serilerindeki do÷rusal olmayan davranÕúlarÕn belirlenmesinde, özellikle oynaklÕ÷Õn tesbitinde kullanÕlan de÷iúen varyanslÕlÕk testleri üç farklÕ grupta; do÷rusallÕk testleri, otokorelasyonun belirlenmesine yönelik testler, ve ARCH ve GARCH etkilerinin belirlenmesine yönelik testler úeklinde, ele alarak, bu gruplardan Park, Glejser, Breusch-Godfrey LM, White ve ARCH LM testlerinin karúÕlaútÕrÕlmasÕ amacÕyla simülasyon verilerine dayandÕrÕlarak hazÕrlanmÕútÕr. ÇalÕúmada farklÕ modellerin farklÕ parametre de÷erlerinin kombinasyonlarÕ, farklÕ büyüklükteki örnek setleri için test istatistikleri ve test güçleri karúÕlaútÕrÕlmÕútÕr. KarúÕlaútÕrma sonuçlarÕ testlerin kullanÕm amaçlarÕ açÕsÕndan yorumlanmÕútÕr.

Simülasyon sonuçlarÕnÕn do÷rulanmasÕ, oynaklÕ÷a sahip oldu÷u bilinen 11 ayrÕ do÷rusal olmayan gerçek veriler üzerinde uygulanan de÷iúen varyanslÕlÕk testleri p de÷eri bakÕmÕndan karúÕlaútÕrÕlmaktadÕr.

ÇalÕúmanÕn sonucunda test gücü açÕsÕndan en güçlü testler olarak yer alan testlerin, gerçek verilerle üzerine yapÕlan uygulama bölümünde en düúük p de÷erlere sahip çÕkmasÕ, çalÕúmanÕn sonuçlarÕnÕn do÷rulandÕ÷ÕnÕ göstermektedir.

Anahtar Kelimeler: ARCH, GARCH, OynaklÕk, De÷iúen VaryanslÕlÕk

(5)

v

ABSTRACT Doctoral Thesis Doctor of Philosophy (PhD)

A Study on Comparative Analysis of Heteroscedasticity Tests Used in Nonlinear Time Series Modelling

Sakina BABASHOVA

Dokuz Eylul University Institute of Social Sciences Department of Econometrics

This study describes the methods to determine the non-linear behavior in financial time series and specifically to test for volatility using heteroscedastisity tests classified into three different groups - linearity tests, tests for autocorrelation and tests for the presence of ARCH or GARCH effects. The simulation study has been conducted in order to compare Park, Glejser, Breusch-Godfrey LM, White and ARCH LM test results by virtue of power of test. In accordance with the non-linear models with different combinations of parameter values, different number of data sets with different size was generated with the use of simulation methodology. Each of heteroscedastisity tests was applied to each of simulated non-linear time series data resulting in test statistics calculation. To make comparison, the power of tests was calculated and the advantages and disadvantages of tests were shown.

Simulation results were verified using comparison of the heteroscedastisity tests applied on 11 real different non-linear data incorporating volatility by virtue of P - Value Method.

As a result, simulation study showed the most powerful tests, whereas data study showed them to be with low p-value. This illustrates that real-data study have proved correctness of conclusions of simulation study.

Key Words: ARCH, GARCH, Volatility, Test for Heteroskedasticity,

(6)

vi

DOöRUSAL OLMAYAN ZAMAN SERøSø VERøLERøNøN MODELLENMESøNDE KULLANILAN DEöøùEN VARYANSLILIK

TESTLERøNøN KARùILAùTIRMALI ANALøZø ÜZERøNE BøR ARAùTIRMA

øÇøNDEKøLER

TEZ ONAY SAYFASI... ii

YEMøN METNø... iii

ÖZET... iv

ABSTRACT... v

øÇøNDEKøLER... vi

KISALTMALAR... xi

TABLOLAR LøSTESø... xiv

ùEKøLLER LøSTESø... xv

EKLER LøSTESø... xviii

GøRøù... 1

BøRøNCø BÖLÜM TEK DEöøùKENLø OTOREGRESøF KOùULLU DEöøùEN VARYANS MODELLERø 1.1. OTOREGRESøF KOùULLU DEöøùEN VARYANS (ARCH) MODELø... 11

1.1.1. ARCH Modelinin KÕsÕtlarÕ... 16

1.1.2. ARCH Süreci øzleyen Bir De÷iúkenin Olabilirlik Fonksiyonu... 17

1.1.3. ARCH Sürecinin Dura÷anlÕk KoúullarÕ... 20

1.1.4. ARCH Sürecinin Simetrik ve Düzenli Olma KoúullarÕ... 21

1.1.5. ARCH(q) Modeli... 22

1.1.6. ARCH Modelinin Fonksiyon Tipleri... 24

(7)

vii 1.1.8. ARCH Modelinin Tahmini... 26 1.1.9. ARCH Modelinin ZayÕflÕklarÕ... 28 1.2. GENELLEùTøRøLMøù OTOREGRESøF KOùULLU

DEöøùEN VARYANS (GARCH) MODELø... 29 1.2.1. GARCH Modelinin Özellikleri ve VarsayÕmlarÕ... 30 1.2.2. GARCH Modelinin KÕsÕtlarÕ... 34 1.2.3. GARCH Süreci øzleyen Bir De÷iúkenin Olabilirlik Fonksiyonu.... 35 1.2.4. GARCH (1,1) Süreci... 37 1.2.5. GARCH Etkilerinin Belirlenmesine Yönelik Test... 39 1.3. DøöER OTOREGRESøF KOùULLU DEöøùEN VARYANS

MODELLERø... 41 1.3.1. Bütünleúik Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (IGARCH) Modeli... 41 1.3.2. Üssel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(EGARCH) Modeli... 43 1.3.3. Ortalama Eúitli÷inde Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(ARCH-M) Modeli... 47 1.3.4. Ortalamada Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(GARCH-M) Modeli... 49 1.3.5. Ortalamada Üssel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen

Varyans (EGARCH-M) Modeli... 50 1.3.6. Eúiksel Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (TARCH)

Modeli... 51 1.3.7. Eúiksel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(TGARCH) Modeli... 52 1.3.8. Üslü Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (PARCH) Modeli... 53

øKøNCø BÖLÜM DEöøùEN VARYANSLILIK

(8)

viii 2.2. DEöøùEN VARYANSLILIöIN ORTAYA ÇIKARDIöI

SONUÇLAR... 58

2.3. DEöøùEN VARYANSLILIöIN TESPøTø... 58

2.4. DEöøùEN VARYANSLILIöIN TESPøTøNDE KULLANILAN BøÇøMSEL OLMAYAN YÖNTEMLER... 59

2.4.1. Grafik Yöntemi... 59

2.5. DEöøùEN VARYANSLILIöIN TESPøTøNDE KULLANILAN BøÇøMSEL YÖNTEMLER... 61

2.5.1. Do÷rusallÕk Testleri ... 61

2.5.1.1. Park Do÷rusallÕk Testi... 61

2.5.1.2. Glejser De÷iúen VaryanslÕlÕk Testi... 64

2.5.1.3. Bartlett Eúit Varyans Testi... 65

2.5.1.4. White Testi... 67

2.5.1.5. Ramsey’in RESET Testi... 70

2.5.2. Otokorelasyonun Belirlenmesine Yönelik Testler... 73

2.5.2.1. Spearman SÕra Korelasyonu FarklÕ VaryanslÕlÕk Testi... 73

2.5.2.2. Breusch – Godfrey LM Testi (BG)... 75

2.5.3. ARCH ve GARCH Etkilerinin Belirlenmesine Yönelik Testler.... 78

2.5.3.1. ARCH LM Testi... 79

2.5.3.2. GARCH LM Testi... 80

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM DEöøùEN VARYANSLILIK TESTLERøN KARùILAùTIRILMASI 3.1. ARCH(1) MODELøNE AøT SøMÜLASYON VERøLERø VE TESTLERøN KARùILAùTIRILMASI (BøRøNCø SøMÜLASYON) ... 82

3.1.1. ARCH(1) Modeline Uygun Simülasyon Verilerin Türetilme Prosedürü... 82

3.1.2. Park, Glejser, Breusch-Godfrey LM, White ve ARCH LM Testlerinin UygulanmasÕ ve Test østatistiklerin HesaplanmasÕ... 85

(9)

ix 3.1.3. Testlerin Güç FonksiyonlarÕnÕn KarúÕlaútÕrmasÕ... 86 3.1.4. Park ve Glejser Test Güçlerin HesaplanmasÕ... 89 3.1.5. Breusch-Godfrey LM, White ve ARCH-LM Test

Güçlerin HesaplanmasÕ... 90 3.1.6. Testin Gücü BakÕmÕndan Testlerin FarklÕ ùekillerde

KarúÕlaútÕrÕlmasÕ... 91 3.1.7. Testlerin Birbirlerine Göre Üstünlük ve ZayÕflÕklarÕ... 96 3.2. ARCH(2) MODELøNE AøT SøMÜLASYON VERøLERø VE

TESTLERøN KARùILAùTIRILMASI (BøRøNCø

SøMÜLASYON)... 98 3.2.1. ARCH(2) Modeline Uygun Simülasyon Verilerin Türetilmesi... 98 3.2.2. Park, Glejser, Breusch-Godfrey LM, White ve ARCH-LM

Testlerinin UygulanmasÕ ve Test østatistiklerin HesaplanmasÕ... 102 3.2.3. Testin Gücü BakÕmÕndan Testlerin FarklÕ ùekillerde

KarúÕlaútÕrÕlmasÕ (ARCH(2) Durumu)... 104 3.2.4. Testlerin Birbirlerine Göre Üstünlük ve ZayÕflÕklarÕ... 110

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

ULUSLARARASI PøYASALARDAN SEÇøLMøù HøSSE SENEDø YATIRIM FONLARA AøT GETøRø SERøLERøNE DAYALI DEöøùEN VARYANSLILIK

TESTLERøNøN KARùILAùTIRILMASI

4.1. ULUSLARARASI A TøPø HøSSE SENEDø YATIRIM

FON KATEGORøLERø... 112 4.2. YATIRIM FONLARININ TANIMLAYICI øSTATøSTøKLERø

VE DURAöANLIK TESTLERø... 113 4.3. ULUSLARARASI YATIRIM FON VERøLERø ÜZERøNE

PARK, GLEJSER, BREUSCH-GODFREY LM, WHøTE VE ARCH LM TESTLERøNøN UYGULANMASI VE

(10)

x SONUÇ... 120 KAYNAKÇA... 128 EKLER... 143

(11)

xi

KISALTMALAR

ACF : Otokorelasyon Fonksiyonu (Autocorrelation Function) AIC : Akaike Bilgi Kriteri (Akaike Informational Criteria) AR : Otoregresif (Autoregressive)

ARCH : Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (Autoregressive

Conditional Heteroskedasticity)

ARCH-M : Ortalama Eúitli÷inde Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity in Mean)

ARIMA : Otoregresif Bütünleúik Hareketli Ortalama (Autoregressive

Integrated Moving Average)

ARMA : Otoregresif Hareketli Ortalama (Autoregressive Moving

Average)

BEKK : Baba, Engle, Kraft, Kroner (Parametrization) BDS : Brock, Dechert and Scheinkman (Test) BG LM : Breusch-Godfrey LM

CCC : Sabit Koúullu Korelasyonlar (Constant Conditional

Correlations)

DPCAX : Dreyfus Greater China A

DCC : Dinamik Koúullu Korelasyonlar (Dinamic Conditional

Correlations)

EGARCH : Üssel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

EGARCH-M : Ortalamada Üssel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen

Varyans (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity in Mean)

EKK : En Küçük Kareler

FAF : Finansbank A.ù. A Tipi Hisse Senedi Fonu FLATX : Fidelity Latin America

(12)

xii

FLTAX : Fidelity Advisor Latin America A

GARCH : Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

GARCH-M : Ortalamada Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen

Varyans (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity in Mean)

GTDDX : Invesco Developing Markets A

ICSS : øteratif Kümülatif Kareler ToplamÕnÕ (Iterative Cumulative

Sum Of Squares)

IGARCH : Bütünleúik Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen

Varyans (Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

IID : Ba÷ÕmsÕz Benzer ùekilde Da÷Õlan (Independent Identically

Distributed)

LETRX : ING Russia A

LM : Lagrange ÇarpanÕ (Lagrange Multiplier) MDLTX : BlackRock Latin America A

PACF : KÕsmi Otokorelasyon Fonksiyonu (Partial Autocorrelation

Function)

PARCH : Üslü Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (Power ARCH) PRLAX : T.Rowe Price Latin America

PTEMX : Forward Emerging Markets Instl QFFOX : Quant Emerging Markets Ord

SIC : Schwartz Bilgi Kriteri (Schwartz Informational Criteria) SLAFX : DWS Latin Amerika Equity S

S.S. : Standart Sapma

SSR : Hata Terimlerinin Kareleri ToplamÕ (Sum of Squared

(13)

xiii

TAR : Eúik Otoregressif (Treshold Autoregressive)

TARCH : Eúiksel Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans (Threshold

Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

TGARCH : Eúiksel Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

VEC-GARCH : VEC Genelleútirilmiú Otoregresif Koúullu De÷iúen Varyans

(VEC Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

(14)

xiv

TABLOLAR LøSTESø

Tablo 1: ARCH(1) Modeline Uygun Model Parametresinin FarklÕ

De÷erleri ve FarklÕ Örnek Hacimleri için Beú Testin

østatistikleri... s.86

Tablo 2: H0 Hipotezi HakkÕnda Karar Vermede YapÕlan Hatalar

ve Testin Gücü... s.87

Tablo 3: Park, Glejser, BG LM, White ve ARCH LM Testlerinin

KarúÕlaútÕrÕlmasÕndan Elde Edilen Sonuçlar

(ARCH(1) Durumu)... s.98

Tablo 4: ARCH(2) Modeline Uygun Model Parametresinin FarklÕ

De÷erleri ve FarklÕ Örnek Hacimleri için Beú Testin

østatistikleri... s.103

Tablo 5: Park, Glejser, BG LM, White ve ARCH LM Testlerinin

KarúÕlaútÕrÕlmasÕndan Elde Edilen Sonuçlar

Tablo 6: UluslararasÕ A Tipi YatÕrÕm FonlarÕ... s.113 Tablo 7: UluslararasÕ A Tipi Hisse Senedi YatÕrÕm FonlarÕnÕn

TanÕmlayÕcÕ østatistikleri ve Dura÷anlÕk Testi SonuçlarÕ... s.114

Tablo 8: UluslararasÕ Fonlar Üzerine De÷iúen VaryanslÕlÕk Test

(15)

xv

ùEKøLLER LøSTESø

ùekil 1: Hata Terimi ui’nin Sabit VaryanslÕ OlmasÕ Durumu... s.56

ùekil 2: Hata Terimi ui’nin De÷iúen VaryanslÕ OlmasÕ Durumu... s.57

ùekil 3: Eúit ve De÷iúen VaryanslÕlÕk DurumlarÕ... s.60

ùekil 4: FarklÕ Parametre De÷erleri için FarklÕ SayÕda Örnek

Hacimli Simülasyon Veri Setleri... s.83

ùekil 5: H₀:µ 5 vs H₁:µ!5 Testin Güç Fonksiyonu

Į 0,05

... s.88

ùekil 6: Örnek Büyüklü÷ü N=1000 iken Model Parametresi ȕ1’in FarklÕ

De÷erleri için Testlerin Gücü... s.92

ùekil 7: Örnek Büyüklü÷ü N = 10 000 iken Model Parametresi ȕ1’in

FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü... s.92

ùekil 8: Örnek Büyüklü÷ü N = 50 000 iken Model Parametresi ȕ₁’in

ùekil 9: Örnek Büyüklü÷ü N = 100 000 iken Model Parametresi ȕ1’in

ùekil 10: Model Parametresi ȕ₁ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ

ùekil 13: Model Parametresi ȕ1’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ

De÷erleri için Park Testin Gücü... s.95

De÷erleri için Glejser Testin Gücü... s.95

ùekil 15: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ

De÷erleri için BG LM Testin Gücü... s.95

(16)

xvi

De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü... s.96

ùekil 18: FarklÕ Parametre De÷erleri için FarklÕ SayÕda Örnek Hacimli

Simülasyon Veri Setleri (ARCH(2) Durumu)... s.100

ùekil 19: Örnek Büyüklü÷ü N = 1000 iken Model Parametreleri 1

ȕ ve ȕ ’in FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü 2

ùekil 20: Örnek Büyüklü÷ü N = 10 000 iken Model Parametreleri 1

ùekil 23: Model Parametreleri ȕ₁ 0,1 ve ȕ₂ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü

ùekil 27: Model Parametreleri ȕ₁ 0,9 ve ȕ₁ 0,9 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü

(17)

xvii

ùekil 28: Model Parametreleri ȕ₁ve ȕ₂’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Park Testin Gücü (ARCH(2)

Durumu)... s.108

ùekil 29: Model Parametreleri ȕ1ve ȕ2’in ve N Örnek Hacminin

FarklÕ De÷erleri için Glejser Testin Gücü (ARCH(2)

Durumu)... s.108

FarklÕ De÷erleri için Breusch–Godfrey LM (BG LM)

Testin Gücü (ARCH(2) Durumu)... s.109

ùekil 31: Model Parametreleri ȕ₁ve ȕ2’in ve N Örnek Hacminin

FarklÕ De÷erleri için White Testin Gücü (ARCH(2)

Durumu)... s.109

FarklÕ De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü (ARCH(2)

Durumu)... s.109

ùekil 33: UluslararasÕ Fonlara ait Seriler (2004-2009)... s.114

(18)

xviii

EKLER LøSTESø

EK 1: EK TABLOLAR LøSTESø

Ek Tablo 1: Örnek Büyüklü÷ü N = 1000 iken Model Parametresi

1

ȕ ’in FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü

(ARCH(1): Birinci Simülasyon)... s.144

1

Ek Tablo 4: Örnek Büyüklü÷ü N = 100 000 iken Model Parametresi

1

Ek Tablo 5: Model Parametresi ȕ₁ 0,1 iken N Örnek Hacminin

FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü (ARCH(1):

Birinci Simülasyon)... s.152

Ek Tablo 8: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin

FarklÕ De÷erleri için Park Testin Gücü (ARCH(1):

Ek Tablo 9: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Glejser Testin Gücü (ARCH(1):

Ek Tablo 10: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için BG LM Testin Gücü

(19)

xix

FarklÕ De÷erleri için White Testin Gücü (ARCH(1):

FarklÕ De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü

Ek Tablo 13: Örnek Büyüklü÷ü N = 1000 iken Model Parametreleri

1

ȕ ve ȕ₂’in FarklÕ De÷erleri için Testlerin Gücü

1

Ek Tablo 17: Model Parametreleri ȕ₁ 0,1 ve ȕ₂ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Gücü (ARCH(2): Birinci Simülasyon)... s.175

Ek Tablo 18: Model Parametreleri ȕ₁ 0,1 ve ȕ₂ 0,9 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek Tablo 19: Model Parametreleri ȕ₁ 0,5 ve ȕ₁ 0,5 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek Tablo 20: Model Parametreleri ȕ₂ 0,9 ve ȕ₁ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek Tablo 21: Model Parametreleri ȕ₂ 0,9 ve ȕ₂ 0,9 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

(20)

xx

Ek Tablo 22: Model Parametrelerin ve N Örnek Hacminin

FarklÕ De÷erleri için Glejser Testin Gücü (ARCH(2):

FarklÕ De÷erleri için BG LM Testin Gücü (ARCH(2):

FarklÕ De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü (ARCH(2):

Ek Tablo 27: ARCH(1) Modeline Uygun Model Parametresinin

FarklÕ De÷erleri ve FarklÕ Örnek Hacimleri için Beú

Testin østatistikleri (økinci Simülasyon)... s.195

Ek Tablo 28: ARCH(2) Modeline Uygun Model Parametresinin

FarklÕ De÷erleri ve FarklÕ Örnek Hacimleri için Beú

(21)

xxi

EK 2: EK ùEKøLLER LøSTESø

Ek ùekil 1: Örnek Büyüklü÷ü N = 1000 iken Model Parametresi

1

(ARCH(1): økinci Simülasyon)... s.197

1

Ek ùekil 4: Örnek Büyüklü÷ü N = 100 000 iken Model Parametresi

1

Ek ùekil 5: Model Parametresi ȕ₁ 0,1 iken N Örnek Hacminin

økinci Simülasyon)... s.198

Ek ùekil 8: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin

Ek ùekil 9: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Glejser Testin Gücü (ARCH(1):

Ek ùekil 10: Model Parametresi ȕ₁’in ve N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için BG LM Testin Gücü

(22)

xxii

FarklÕ De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü

Ek ùekil 13: Örnek Büyüklü÷ü N = 1000 iken Model Parametreleri

1

Ek ùekil 17: Model Parametreleri ȕ₁ 0,1 ve ȕ₂ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Gücü (ARCH(2): økinci Simülasyon)... s.202

Ek ùekil 18: Model Parametreleri ȕ₁ 0,1 ve ȕ₂ 0,9 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek ùekil 19: Model Parametreleri ȕ₁ 0,5 ve ȕ₁ 0,5 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek ùekil 20: Model Parametreleri ȕ₂ 0,9 ve ȕ₁ 0,1 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

Ek ùekil 21: Model Parametreleri ȕ₂ 0,9 ve ȕ₂ 0,9 iken N Örnek Hacminin FarklÕ De÷erleri için Testlerin

(23)

xxiii

Ek ùekil 22: Model Parametrelerin ve N Örnek Hacminin

økinci Simülasyon)...

s.204

FarklÕ De÷erleri için Glejser Testin Gücü (ARCH(2):

FarklÕ De÷erleri için BG LM Testin Gücü (ARCH(2):

FarklÕ De÷erleri için ARCH LM Testin Gücü (ARCH(2):

(24)

1

GİRİŞ

Klasik doğrusal zaman serileri analizinde kestirim hatalarının varyansının sabit olduğu varsayılmakta, ancak çoğu durumda ekonomik zaman serilerin dalgalanma dönemlerine sahip olduğu görülmektedir. Son dönemde yapılan çalışmalar doğrusal olmayan zaman serileri modelleriyle tahmininin gerçek hayatı açıklamada daha başarılı olduğunu göstermektedir. Her geçen gün doğrusal olmayan modeller konusundaki gelişmeler iktisat literatüründe de uygulama alanlarının genişlemesine katkıda bulunmaktadır.

Ekonomik konjonktürde inişler ve çıkışlar yer almakta, ve bu inişler, küçülme veya durgunluk olup, “resesyon rejimi” olarak tanımlanmaktadır, çıkışlar ise büyüme süreci olup, “büyüme rejimi” olarak ifade edilmektedir. Burada önemli olan nokta ekonominin büyüme ve küçülme süreçlerinde hangi noktada olduğudur. Klasik doğrusal zaman serisi teknikleri bu konuda yeterli olmadığından söz konusu süreçlerin analizinde doğrusal olmayan zaman serisi teknikleri kullanılmaktadır. Analiz aracı fizikteki kaos teorisindeki gelişmelerin istatistiğe ve iktisat bilimine yansımasıdır. Burada stokastik bir sürece sahip olan zaman serisi deterministik bir biçime getirilmektedir.

Ekonomik değişkenlerin çoğu zaman serisi şeklinde verilerden oluşmaktadır. Zaman serisi analizi ise birçok varsayımın gerçekleşmesi durumunda güvenilir sonuçlar vermektedir. Bu varsayımlardan birisi de sabit varyans varsayımıdır. Bu nedenle, hata terimlerinin sabit varyansa sahip olup olmadıklarının belirlenmesi ve doğrulanması önemlidir. Eğer bu problem çözülmüyorsa, katsayılar gerekenden büyük standart hatalara sahip olmaktadır, zaman serilerinin çoğunda ise sabit varyans varsayımının geçerli olmadığı görülmektedir.

Çalışmanın konusu olarak doğrusal olmayan zaman serisi verilerinin modellenmesinde kullanılan değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırılmalı analizinin seçilmesi, güncelliği açısından önem taşımaktadır. Çalışmayı literatürde var olanlardan ayıran temel farklılık değişen varyanslılık testlerinin

(25)

2

sınıflandırılmasının yapılması; farklı sınıflardan seçilmiş olan ve farklı dağılımlara dayanan beş testin önce testin gücü bakımından simülasyon verilerine dayanarak sonra p değeri bakımından gerçek verilerine dayanarak karşılaştırılmasının yapılmasıdır.

Çalışmanın amacı, doğrusal olmayan zaman serileri modellerinin teorik yapısını irdelemek, ve bu modellerde kullanılan değişen varyanslılık testleri sınıflandırmaktır. Simülasyon verileri üzerinde çalışarak değişen varyanslılık testlerini uygulamak ve performanslarını karşılaştırmak; karşılaştırma sırasında testlerin birbirlerine göre üstünlük ve zayıflıkları belirlemek, ve grafiksel ve sayısal değerlendirmelerden elde edilen sonuçlara dayanarak testlerin kullanım yerleri üzerine yorumlamalar yapmaktır. Ayrıca özel bir uygulama olarak değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırılmasını gerçek veriler üzerinden çalışarak yapmak ve elde edilen sonuçlarla simülasyon çalışmasından elde edilen sonuçları doğrulamaktır.

Çalışmada kullanılan yöntem, ARCH(p) modeli yöntemi, simülasyon yöntemi ve hipotez testi yöntemleridir. Öncelikle değişen varyanslılık testlerinin uygulanması için ARCH(1) ve ARCH(2) modelleri kullanılarak simülasyon yöntemiyle simülasyon verileri elde edilmiş. Simülasyon yoluyla elde edilmiş olan veriler üzerinde çalışarak farklı testlere ait hipotezler kurulmuş ve test istatistikleri hesaplanmıştır. Değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırılması testin gücü ve p değeri bakımından yapılmıştır.

Otoregresif koşullu değisen varyans (ARCH) modellerinin tarihi göreli olarak kısa olmasına karşın, ilgili literatür bu kısa tarih içinde gözalıcı bir hızda gelişmiştir. Engle’in orijinal ARCH modeli (1982) ve bu modelin çeşitli uzantıları birçok ülkenin ekonomik ve finansal zaman serilerine uygulanmıştır. ARCH modellerinin bulunmasından önce de değişen varyans sorununun farkında olunmasına karşın, belirli bir modele dayanmayan süreçler kullanılarak sorunun üstesinden gelinmeye çalışılmıştır. Mandelbrot (1963) varyansın zaman içinde tekrarlanan tahminlerini,

(26)

3

Klien (1977) ise on dönemlik hareketli örnek ortalamasının beş dönemlik hareketli varyanslarını kullanarak değişen varyans sorunuyla bahsetmek istemişlerdi.

Finansal zaman serileri birtakım genel özellikler taşımaktadır. Finansal varlık fiyatlarının genel olarak durağan olmadığı, varlık getirilerinin ise durağan olduğu ve otokorelasyon özelliği göstermediği görülmüştür. Finansal varlık getirileri leptokurtik olma eğilimindedir. Söz konusu getiri dağılımları normal dağılıma göre daha basıktır ve daha geniş kuyruklara sahiptir. Bu durum finansal zaman serilerinin büyük değişimler göstermesi olasılığının normal dağılıma göre daha yüksek olmasına işaret etmektedir. Finansal varlık getirilerinde sıklıkla görülen bir diğer olgu da oynaklık kümelenmesidir. Getiri serilerinde büyük değişimlerin büyük değişimleri, küçük değişimlerin ise küçük değişimleri takip ettiği görülmektedir. Esas itibarıyla, kalın kuyruk ve oynaklık kümelenmesi olguları birbirleriyle ilişkilidir. Son olarak, finansal piyasalarda piyasa katılımcıları iyi ve kötü haberler karşısında farklı hareket etmektedirler. Kötü haberler iyi haberlere göre daha fazla oynaklık yaratmaktadır. Dolayısıyla, finansal varlık fiyatlarındaki değişimin yönü oynaklık üzerinde asimetrik bir etki yapmaktadır.

Engle (1982) tarafından öne sürülen ARCH modeli finansal varlık getirilerindeki ampirik bulguları hesaba katan ilk şekilsel model olarak tarihteki yerini almıştır. ARCH modeli sadece finansal varlık getirilerindeki ampirik bulguların bir kısmını hesaba kattığı için değil, aynı zamanda farklı ve çok sayıda alanda kendisine uygulama alanı bulduğu için de değer taşımaktadır. Örneğin, varlık fiyatlaması alanında kullanıldığı gibi, faiz oranlarının vade yapısını ölçmede, opsiyonları fiyatlandırmada ve risk primini modellemede de kullanılmıştır. Makroekonomi alanında, ARCH modeli, gelişmekte olan ülkelerin borç portföylerini oluşturmada, enflasyon belirsizliğin ölçülmesinde, döviz kuru belirsizliği ile ticaret arasındaki ilişkinin incelenmesinde, merkez bankası müdahelelerinin etkilerinin araştırılmasında ve makroekonomi ile hisse senedi piyasası arasındaki ilişkinin tanımlanmasında başarılı bir şekilde uygulanmıştır.

(27)

4

Bollerslev (1986), koşullu varyansı ARCH modelinden farklı olarak otoregresif hareketli ortalama (ARMA) süreci olarak modelleyerek Genelleştirilmiş Otoregresif Koşullu Değişen Varyans (GARCH) modelini ortaya koymuştur. GARCH modeli parametre tutumluluğu açısından ARCH modeline tercih edilmektedir. ARCH ve GARCH modelleriyle finansal ve ekonomik zaman serileri verilerini analiz etmek, çok yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. ARCH ve GARCH modelleriyle ilgili çalışmalardan bazıları Bollerslev, Chai ve Kroner (1992), Bollerslev, Engle ve Nelson (1994), Bera ve Hings (1993), Fountas, Karanasos and Mendoza (2004) tarafından yapılmıştır.

Engle ve diğerleri (1987) koşullu varyansı, ortalama denklemine açıklayıcı bir değişken olarak dahil ederek Ortalamada Otoregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH-M) modelini geliştirmişlerdir. ARCH-M modeli finans teorisinde önemli bir yer tutan belirsizlik ile getiri arasındaki ilişkiyi sınamak açısından önem taşımaktadır.

Andersen (1996), Dağılım Karışımı Hipotezini, (Mixture of Distribution Hypothesis) geliştirerek, bir stokastik volatilite süreci ile GARCH yöntemini birleştirerek bir model oluşturmuştur. Oluşturduğu modelin finansal getirilerde gözlemlenen oynaklık kümelenmesinin ardındaki iktisadi faktörlerin analiz edilmesinde yararlı olduğunu ifade etmektedir.

Nelson (1991) finansal piyasalarda gözlemlenen asimetrik oynaklık yapısını açıklamak üzere Üssel GARCH (EGARCH) modelini geliştirmiştir. Bu modelde, koşullu varyans maruz kalınan şokun sadece büyüklüğüne değil, aynı zamanda işaretine bağlı olarak değişebilmektedir. Asimetrik oynaklık yapısını dikkate alan bir başka önemli model Zakoian (1994) tarafından öne sürülen Eşik ARCH (TARCH) modelidir.

Tek değiskenli ARCH/GARCH yaklaşımı çesitli piyasalar ve varlıklar arasındaki koşullu varyans ve kovaryanslar arasındaki zaman bağımlılığını dikkate almadığından eleştirilmektedir. Söz konusu zaman bağımlılığını açıklamak üzere,

(28)

5

Bollerslev ve diğerleri (1988) tek değişkenli ARCH/GARCH modellerini Vec parametrizasyonu adı altında çok değişkenli modellere genişletmişlerdir. VEC-GARCH modeli, çok fazla sayıda parametre tahmini gerektirdiğinden ve kovaryans matrisinin pozitif tanımlılığı her zaman sağlanamadığından uygulanabilirlik açısından sorunlar taşımaktadır.

VEC-GARCH modeli, yapısı itibarıyla kovaryans matrisinin pozitif tanımlılığının sağlandığı bir modele dönüştürülebilmektedir. Bu dönüştürülmüş model, Engle ve Kroner (1995)’de tanımlandığı şekliyle BEKK-GARCH modeli olarak bilinmektedir.

Engle ve diğerleri (1990), koşullu korelasyon matrisinin temel faktörler tarafından üretildiği Faktör GARCH (F-GARCH) modelini ortaya koymulardı. Bollerslev (1990), koşullu korelasyonların sabit olduğu durumlarda, tahmin edilecek parametre sayısının oldukça azaldığı ve tahmin sürecinin oldukça sadeleştiği Sabit Koşullu Korelasyon GARCH (CCC-GARCH) modelini önermiştir.

Koşullu korelasyonların sabit olup olmaması tamamen ampirik bir sorun olduğundan her zaman sağlanabilen bir koşul değildir. Koşullu korelasyonların sabit olmadığı durumlar için Tse ve Tsui (2000) ve Engle (2001) iki ayrı dinamik koşullu korelasyonlar (DCC) parametrizasyonu oluşturmuşlardır. Ayrıca, koşullu korelasyonların sabit olup olmadığını test etmek için Tse (2000) ve Engle ve Sheppard (2001) iki ayrı sabit koşullu korelasyonlar testi geliştirmişlerdir.

Son yirmi yıl içinde Eşik Otoregressif (treshold autoregressive (TAR)) modeller ekonometri literatüründe yaygın hale gelmiştir. TAR modelleri ilk olarak Tong (1978), Tong ve Lim (1980) ve Tong (1983) çalışmalarında sunulmuştur. Modellerin popülarite kazanmasındaki önemli neden bu tekniklerin uygulanması ve sonuçlarının yorumlanmasındaki kolaylıktır ve tahmininin nispeten daha basit olmasıdır. TAR modellerinin önemli bir diğer özelliği, az sayıda rejimin olması durumunda bile, doğrusal olmayan bir ardışık bağımlı yapının eşik ardışık bağımlılık tarafından açıklanabileceğidir.

(29)

6

Zaman serilerindeki oynaklığın ölçülmesinde GARCH modeli ve onun çeşitli varyasyonları oldukça faydalı olmuştur. Fakat serinin varyansında bir ya da daha fazla sayıda kırılma mevcut olduğunda ARCH-GARCH modelleri ile ölçülen oynaklığın olduğundan daha yüksek çıktığı ortaya çıkmıştır. Lamoureux ve Lastrapes (1990) serideki deterministik yapısal kırılmalar nedeniyle hesaplanan oynaklığın daha büyük çıkıp çıkmayacağı sorusunu ortaya atmışlardır. Bu amaçla 30 döviz kuru serisini ele alarak rejim kaymaları direkt olarak ARCH/GARCH modeline dahil edildiği zaman GARCH modelinde elde edilen varyans kalıcılığının belirgin bir şekilde azaldığını ortaya koymuşlardır. Varyanstaki kırılma noktalarını bulabilecek bir metot olmaması nedeniyle çözüm olarak örneklem periyodunu eşit aralıklı, üst üste gelmeyen aralıklarda bölmüş ve varyanstaki ani değişimlerin tahmin edilen modellerin parametrelerini nasıl etkilediğini test etmişlerdir.

Aggarwal (1999) hisse senedi getirilerindeki oynaklık değişimlerini tespit etmek için ICSS (Iterative Cumulative Sum of Squares) algoritmasını kullanmış ve eğer bu kırılmalar göz ardı edilirse oynaklık kalıcılığının olduğundan yüksek çıkacağını bulmuştur. Fernandez (2005), Asya krizi ve 11 Eylül saldırılarının uluslar arası finansal piyasalara olan etkisini ortaya koymak amacıyla ICSS algoritmasını kullanarak varyans kırılmalarını tespit etmiş ve sonuçlarını Dalgacıklar yöntemi ile karşılaştırmıştır. Her iki yöntemle de bulduğu kırılmaların dikkate alındığında oynaklıkta azalmalara neden olduğunu ortaya koymuştur.

ARCH(GARCH) modelleri iteratif bir tahmin sürecleri olduğu için, modelin otoregresif koşullu değişen varyans (ARCH) etkisini içerip içermediği tahminden önce test edilerek karar verilebilir. Zaman serilerinde ARCH etkilerinin bulunup bulunmadığının belirlenmesine yönelik olarak geliştirilen özel test Engle (1982) tarafından geliştirilmiştir. ARCH LM testi olarak da bilinen bu test, modelin hata terimlerinde ARCH etkilerinin bulunup bulunmadığını araştıran bir Lagrange Çarpanı (LM) testidir. Değişen varyansın özel bir şekli olan ARCH etkilerinin araştırılmasının nedeni, birçok finansal zaman serilerinde gözlemlenen ve ihmal edilmesi halinde tahminlerin etkinliğinin azalmasına neden olan cari hata terimi ile

(30)

7

yakın geçmişe ait hata terimlerinin daha önceki dönemlere ait hata terimlerinden daha çok birbiri ile ilişkili olması durumunun dikkate alınması gereğidir.

Literatürde değişen varyanslılık probleminin tespitinde kullanılan başka birçok istatistik yöntem bulunmaktadır: White genel değişen varyans testi (1995), Park testi (1964), Glejser testi (1969), Goldfeld-Quandt testi (1972), Spearman sıra korelasyon testi (1904), Breusch-Pagan-Godfrey testi (1979), Ramsey’in Reset testi (1969), Brock, Dechert and Scheinkman’ın (1987) geliştirilmiş olan BDS doğrusallık testi, Bartlett Eşit Varyans testi (1937).

Doğrusal olmayan zaman serisi verilerinin modellenmesinde kullanılan değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırmalı analizini amaçlayan bu tez, dört ana bölümünden oluşmaktadır.

Çalışmanın birinci bölümünde önce doğrusal olmayan zaman serisi verileri için kullanılan tek değişkenli otoregresif koşullu değişen varyans modellerinden ARCH ve GARCH modelleri tanımlanmaktadır. Bu modellerin özellikleri, varsayımları, kısıtları, olabilirlik fonksiyonları, zayıflıkları ve modellerin etkisinin varlığının belirlenmesine yönelik kullanılan testlere değinilmektedir. Bu bölümde ayrıca, otoregresif koşullu değişen varyans modellerinin diğer önemli uzantıları olan IGARCH, EGARCH, ARCH-M, GARCH-M, EGARCH-M, TARCH, TGARCH, PARCH modelleri incelenmekte ve onların uygulama alanları belirtilmektedir.

Çalışmanın ikinci bölümünde değişen varyanslılık probleminin tanımı, grafik yöntemle saptanması ve bu durumun ortaya çıkardığı sonuçlar gösterilmektedir. Daha sonra çalışmanın asıl konusunu oluşturan doğrusal olmayan davranışların belirlenmesinde kullanılan üç değişen varyanslılık test grubu incelenmektedir: Doğrusallık Testler Grubu (Park Doğrusallık Testi, Glejser Değişen Varyanslılık Testi, Bartlett Eşit Varyans Testi, White Testi, Ramsey’in RESET Testi); Otokorelasyonun Belirlenmesine Yönelik Testler Grubu (Spearman Sıra Korelasyonu Farklı Varyanslılık Testi, Breusch-Godfrey LM Testi); ve ARCH ve

(31)

8

GARCH Etkilerinin Belirlenmesine Yönelik Testler (ARCH LM Testi, GARCH LM Testi).

Çalışmanın üçüncü bölümünde üç farklı değişen varyanslılık testler gruplarında yer alan, Park doğrusallık testi, Glejser değişen varyanslılık testi, Breusch-Godfrey LM testi, White testi ve ARCH-LM testlerinin karşılaştırılması amacıyla çok sayıdasimülasyon verilerine dayalı bir istatistiksel çalışma yapılmıştır. Öncelikle doğrusal olmayan zaman serisi ARCH(1), daha sonra doğrusal olmayan zaman serisi ARCH(2) modellerine uygun olarak farklı parametre değerlerin farklı kombinasyonların herbiri için ayrı ayrı 1000, 10 000, 50 000 ve 100 000 hacimli veri setlerinin türetilme prosedürü gösterilmektedir. Simülasyon yoluyla elde edilen her doğrusal olmayan zaman serisi verileri üzerinde çalışarak testlerin uygulanmasına ve test istatistiklerin hesaplanmasına yer verilmektedir. Park, Glejser, BG LM, White ve ARCH LM testlerinin karşılaştırılması yapılması amacıyla çok sayıda simülasyon verileri kullanılarak söz konusu testlerin gücü hesaplanmış ve testin gücü bakımından testler farklı şekillerde karşılaştırılmalı olarak analiz edilmiştir. Karşılaştırmalar sırasında model parametrelerine göre ve örnek büyüklüklerine göre ayrı grafik ve sayısal değerlendirmeler yapılıp sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlara dayalı testlerin birbirlerine göre üstünlük ve zayıflıkları belirlenmiş ve kullanım yerleri üzerine de yorumlamalar yapılmıştır.

Çalışmanın dördüncü bölümünde değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırılmalı analizi gerçek veriler üzerinden yapılmaktadır. Uygulama bölümü önceki bölümde çok sayıda simülasyon verilerine dayanan değişen varyanslılık testlerinin karşılaştırılmasından elde edilen sonuçların gerçek verilerle doğrulaması açısından hazırlanmıştır. Karşılaştırılmalı analiz için on bir adet uluslararası A tipi yatırım fonu seçilmiştir. Öncelikle uluslararası fonların 2004-2009 dönemi ilan ettikleri performans ölçütlerine göre geriye dönük getiri hesaplamaları yapılmıştır. 01.01.2004-31.12.2009 dönemini kapsayan 1510 gözlem kullanılarak tüm fonların tanımlayıcı istatistikleri hesaplanmış ve finansal zaman serilerinin normal dağılıma sahip olmadıkları araştırılmıştır. Daha sonra herbir seri için kurulmuş olan ana modellerinden elde edilen hatalar üzerinde çalışarak önceki bölümlerde incelenmiş

(32)

9

olan Park, Glejser, Breusch-Godfrey LM, White ve ARCH LM testleri ayrı ayrı uygulanmış ve test istatistikleri hesaplanmıştır. Değişen varyanslılık test sonuçları p değeri bakımından karşılaştırılmalı olarak analiz edilmiştir.

(33)

10

BİRİNCİ BÖLÜM

TEK DEĞİŞKENLİ OTOREGRESİF KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANS MODELLERİ

Değişen varyans sorunu genel olarak yatay-kesit verilerinde ortaya çıkan bir sorun olarak bilinmekle birlikte, döviz kuru, faiz oranı ve hisse senedi fiyatı gibi finansal zaman serilerinin tahmin edilmesini amaçlayan ekonometrik modellerde hata varyansının zaman içinde değişebildiği gözlemlenmiştir. Genel olarak zaman serisi modellerinde hata varyansının zaman içinde değişmediği varsayılmaktadır. Bu nedenle, hata terimlerinin sabit varyansa sahip olup olmadığının belirlenmesi ve doğrulanması önemlidir. Eğer bu problem varsa ve çözülemezse, katsayılar gerekenden büyük standart hatalara sahip olacaklardır (Enders, 2004:82-84).

Ekonometrik yaklaşım, otokorelasyonun bir zaman serisi, değişen varyansın ise bir yatay-kesit verisi sorunu olduğunu varsaymaktadır. Bu durumda geleneksel tekniklere göre hata teriminin varyansının sabit olduğu, yani zaman içinde değişmediği kabul edilmektedir. Bununla beraber birçok makroekonomik ve finansal değişkenlere ait zaman serilerinin genellikle geniş bir değişkenlik sergilediği görülmektedir ve bu gibi makroekonomik büyüklüklere ait zaman serilerinde, hataların varyansının zaman periyodları içinde değişmez olduğu varsayımı uygun olmamaktadır. Aslında bu gibi durumlarda, öngörü varyanslarında bir tür otokorelasyonla karşılaşılmış olmaktadır. Oysa geleneksel ekonometrik yaklaşımda, değişen varyansın daha çok yatay-kesit verilerinin kullanıldığı modellerde ortaya çıkacağından söz edilirken, zaman serisi verileri ise sabit varyans içeren modellerde kullanılmaktadır (Brockwell, Davis, 1991:103).

Engle’nin 1982 yılında İngiltere enflasyon verilerini kullanarak yayımladığı makalesi ile birlikte, koşullu değişen varyans modellerinin tahmini için önemli bir adım atılmıştır. Engle, koşulsuz varyans sabit iken koşullu varyansın zamana bağımlı olduğu durumlarda, bu koşullu varyansı hata terimlerinin karelerinin bir fonksiyonu olarak belirlemiştir (Engle, 1982:994). Varyansın sabit olmadığı serilerin

(34)

11

durağanlaştırılması amacıyla, Box-Cox dönüştürmesi gibi üstel dönüştürme teknikleriyle dönüştürülmesine gerek kalmadan uygulanabilecek doğrusal olmayan modellerden en popüler olanı ARCH (Otoregresif Koşullu Değişen Varyans) modelleri olarak literatürde yer almıştır.

1.1. OTOREGRESİF KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANS (ARCH) MODELİ

Literatürdeki yaygın varsayımın aksine zaman serisi modellerindeki hata terimlerinin varyansının sabit olmadığını bazı makroekonomik verileri analiz ederek Engle tarafından kanıtlanmıştır. Engle, enflasyon modellerinde büyük ve küçük tahmin hatalarının kümeler halinde ortaya çıktığını tespit ederek, bunun sonucu olarak da tahmin hatalarının varyansının önceki dönem hata terimlerinin büyüklüğüne bağlı olduğunu göstermiştir. Zaman serisi verilerinde karşılaşılan ve özellikle öngörülerde kendisini gösteren otokorelasyonun ARCH olarak isimlendirilen bir teknikle modellenmesi gerektiğine işaret etmiştir (Engle, 1982:987-1006).

ARCH modeli geleneksel zaman serisi modellerindeki sabit varyans varsayımını terkederek, hata terimi varyansının önceki dönem hata terimlerinin karelerinin bir fonksiyonu olarak değişmesine imkan tanımaktadır. Zaman serilerinde gözlemlenen oynaklığı modellemenin yollarından biri olarak, oynaklıkla ilişkili bir bağımsız değişken tanımlamak ve bu değişken aracılığıyla oynaklığı tahmin etmek ön plana çıkmaktadır. Oynaklığın bağımsız bir değişken olarak tanımlanması yoluyla modellendiği durumu yansıtan basit bir örnek olarak,

y_t₊₁ =

ε

_t₊₁x_t (1.1) denklemi ele alınmıştır. Bu denklemde, ε_t₊₁ varyansı σ2 olan saf hata terimi iken, xt bağımsız bir değişken olarak tanımlanmaktadır. Eğer, x zamandan bağımsız olarak sabit bir değer alırsa, {yt} serisi sabit varyansa sahip bir beyaz gürültü süreci olmaktadır. Bununla birlikte, yt+1’in koşullu varyansı,

(35)

12

Var

(

yt+1xt

)

=xt2σ2 (1.2)

xt’nin gerçekleşen değerinden bağımsız değildir. Bu durumda, xt ne kadar büyükse

yt+1’in koşullu varyansı o kadar büyük olacaktır. Eğer {xt} serisinin ardışık değerleri pozitif içsel bağıntılı ise, {yt} serisi de pozitif içsel bağıntılı olacaktır. Bu şekilde, {xt} serisi {yt} serisindeki oynaklığın açıklanmasına yardımcı olacaktır. Ancak, bu yaklaşımın bir sakıncası değişen varyans için spesifik bir sebep varsaymış olmasıdır. Makul görünen birçok aday arasından birini tercih edip, ilgili değişkendeki oynaklığı sadece tercih edilen bağımsız değişkenle ilişkilendirmek her zaman mümkün olmamaktadır.

Engle (1982) bu sakıncayı gidermek üzere, herhangi bir serinin ortalamasını ve varyansını eşanlı olarak modellemenin olanaklı olduğunu göstermiştir. ARCH modeline ulaşmak için,

yt =

α

o +

α

1yt−1+

ε

t (1.3)

şeklindeki durağan bir otoregresif model tahmin edilmektedir. Bu durumda, yt+1’in koşullu tahmini,

Et(yt+1)=α0+α1yt (1.4)

olmaktadır. Eğer bu koşullu ortalamayı yt+1’i tahmin etmek için kullanırsak, tahmin hatası varyansı,

Et

[

(

yt+1−α0−α1yt

)

2

]

=Et

( )

εt2+1 =σ2 (1.5)

olarak ifade edilmektedir.

(36)

13 E

(

y_t₊₁

)

=α₀

(

1−α₁

)

(1.6)

(

)

[

]

{

} (

)

( )

2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 0 1−α 1−α = ⎡⎢⎣ε + α ε +α ε − +... ⎥⎦⎤=σ 1−α + t t t t E y E _(1.7) şeklinde gösterilmektedir.

Görüldüğü gibi, koşulsuz tahmin koşullu tahmine göre daha büyük bir varyansa sahiptir. Dolayısıyla, şu anki dönem ile bilinen geçmis dönem gerçekleşmelerini hesaba kattığı için koşullu tahmin daha küçük varyansa sahip olmakta ve bu bağlamda tercih edilir hale gelmektedir.

Benzer şekilde, {εt} serisinin varyansı sabit değilse, varyanstaki belirli bir yöndeki sürekli hareketliliği tahmin etmek için ARMA modeli kullanılabilmektedir. Bu duruma örnek olarak,

{ }

ε)t ’nin,

y_t =α₀ +α₁y_t₋₁+ε_t (1.8) modelinin artık serisi olduğunu varsayılırsa, yt+1’in koşullu varyansı,

Var

(

yt+1yt

)

= Et

[

(

yt+1−α0−α1yt

)

2

]

=Etεt2+1 (1.9)

olmaktadır.

Bu noktada, denklem (1.9)’daki koşullu varyansın sabit olmayıp zaman içinde değiştiği bir yapı kurmak gerekmektedir. Koşullu varyansı tahmin edilmiş artıkların karelerini kullanarak bir AR(q) süreci olarak modellenmesi aşağıda gösterilmektedir. Tahmin edilmiş artıkların karesi, νt bir beyaz gürültü süreci olmak üzere model,

(37)

14

ε

)t2 =

α

0+

α

1

ε

)t2−1+

α

2

ε

)t2−2+...+

α

q

ε

)t2−q +vt (1.10)

şeklinde bir AR(q) süreci olarak ifade edilmektedir. Modeldeki sabit değer dışındaki parametreler sıfır olsaydı, tahmin edilen varyans α0 sabit değerine eşit olurdu. Diğer durumlarda ise, yt’nin koşullu varyansı denklem (1.10)’daki otoregresif süreç çerçevesinde belirlenecektir. Bu çerçevede, bir dönem sonraki koşullu varyans,

E

t

ε

)

t2+1

=

α

0

+

α

1

ε

)

t2

+

α

2

ε

)

t2−1

+

...

+

α

q

ε

)

t2+1−q (1.11) olarak otoregresif süreci kullanılarak tahmin edilmektedir. Bu sebeple, denklem (1.10), ARCH(q) modeli olarak adlandırılmaktadır.

Denklem (1.10)’daki doğrusal tanımlama yerine vt’yi çarpımsal bir hata terimi olarak tanımlamak daha kolay incelenebilir bir yapı ortaya çıkarmaktadır. Engle (1982) çarpımsal koşullu değişen varyans tipindeki modellere örnek olarak,

εt =vt α0 +α1εt2−1 (1.12)

şeklindeki basit modeli önermiştir. Burada, vt varyansı bire esit olan bir beyaz gürültü süreci olarak tanımlanmakta olup, vt ve εt−1 birbirlerinden bağımsızdır.

Ayrıca, α0 > 0 ve 0 < α1 < 1 kısıtlamaları altında α0 ve α1 sabit değerler almaktadırlar.

{ }

ε serisinin özellikleri incelendiğinde, vt t bir saf hata terimi ve εt−1’den

bağımsız olduğu için,

{ }

ε serisindeki elemanların herbirinin sıfır ortalamaya sahip t

ve içsel bağıntısız olduklarını göstermek zor olmamaktadır.

0 =

t

Ev olduğu için, ε_t’nin koşulsuz beklentisi,

(

₀ ₁ 2₁

)

1/2 =

(

₀ + ₁ 2₁

)

1/2 =0 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = _t _t₋ _t _t₋ t E v Ev E Eε α α ε α α ε _(1.13)

(38)

15

olmaktadır.

Benzer şekilde

ε

t’nin koşulsuz varyansı,

Eεt =E

[

vt2

(

α0 +α1εt2−1

)

]

=Evt2E

(

α0+α1εt2−1

)

(1.14)

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada, vt’nin varyansı bire eşit ve

ε

_t’nin koşulsuz varyansı ile εt−1’in koşulsuz varyansı aynı olduğu için, koşulsuz varyans,

Eε_t2 =α₀ (1−α₁) (1.15) olarak hesaplanmaktadır. Dolayısıyla, koşulsuz ortalama ve varyans hata sürecinden etkilenmemekte ve sabit değerler almaktadırlar.

t

ε ’nin koşullu beklentisi, vt ve

ε

t−1 birbirlerinden bağımsız ve vt’nin beklenen değeri sıfır olduğu için, koşullu beklenen değer gibi sıfır değerini almaktadır:

E

(

ε_tε_t₋₁,ε_t₋₂,...

)

=Ev_tE

(

α₀+α₁ε_t2₋₁

)

1/2 =0 (1.16) Bununla birlikte, ε_t ’nin koşullu varyansı sabit bir değer olmaktan çıkıp, kendisinin bir dönem önce gerçekleşmis olan değerine bağlı hale gelmektedir. vt’nin varyansı bire eşit olduğu için, εt ’nin koşullu varyansı

h(t)=E

(

εt2εt−1,εt−2,...

)

=α0 +α1εt2−1 (1.17)

şeklinde hesaplanmaktadır. Denklem (1.17)’daki koşullu varyans birinci dereceden bir otoregresif süreçtir. Koşullu varyansın negatif değerler almasını engellemek için α0 ve α1 katsayılarını kısıtlamak gerekmektedir. Bu doğrultuda, α0 ve α1 katsayıları

(39)

16

pozitif olmak zorundadır. Ayrıca, otoregresif sürecin durağanlığını sağlayabilmek için α1 katsayısını 0<α1<1 eşitsizliğini sağlayacak şekilde sınırlandırmak

gerekmektedir.

Sonuç olarak, ARCH modelinde koşullu ve koşulsuz ortalamanın sıfıra eşit olduğu bir hata yapısı söz konusudur. Ayrıca,

{ }

εt serisi içsel bağıntılı olmamasına

karşın hata terimleri ikinci momentleri aracılığıyla ilişkili oldukları için birbirlerinden bağımsız değildirler. Koşullu varyansın kendisi koşullu heteroskedastik hatalardan meydana gelen otoregresif bir süreçtir. Bir dönem önce gerçekleşen hata terimi mutlak değer olarak sıfırdan ne kadar büyükse,

ε

t’nin

koşullu varyansı da o kadar büyük olmaktadır.

1.1.1. ARCH Modelinin Kısıtları

ARCH modellerinde otoregresyon parametrelerine (α0 ve αi’lere) ilişkin bazı kısıtlamalar söz konusudur. Koşullu varyans (ht), ε ’nin gerçekleşen bütün t

değerleri için pozitif olmak zorundadır. Bu koşulun sağlanabilmesi için ARCH(q) (1.10) denkleminde α₀ ve α_i parametrelerinin negatif olamayacakları belirlenmektedir. Böylece, q i ve _i 0, 1,2,... 0 0 >

α

> =

α

kısıtları yazılabilir (Bera, Hinggins, 1993:184). εt2,εt2−1,...,εt2−q değerleri negatif

olamayacağından bütün

ε

t değerleri için koşullu varyans denklemi negatif değerler

almamalıdır. α₀ <0 ise,

ε

_t₋₁’deki küçük değişme koşullu varyansı negatif yapacaktır. α₁ yeterli oranda negatif olduğunda ise, koşullu varyans yine negatif olur (Kıran, 2006:63). ARCH(q) süreci için fark denklemi kurallarını uygulayarak, sürecin karakteristik denklemi oluşturulabilir:

(40)

17

0 ...

1−

α

₁

λ

−

α

₂

λ

2 + +

α

_q

λ

q =

Burada kovaryans durağanlığının sağlanabilmesi için, denklemin karakteristik kökleri (λ₁,λ₂,...,λ_q) mutlak değer olarak birden büyük olmalıdır (Higgins, 1992:142). Denklemin dinamik istikrarının sağlanabilmesi için gerekli koşul,

i

α ’lerin toplamının birden küçük olmasıdır,

∑

= < q i i 1 1

α _{(Bollerslev, Engle, Nelson,} 1994:326). ARCH(q) denkleminin parametrelerine getirilen bu kısıtlama ihmal edildiğinde, yani α_i’ lerin toplamının birden büyük olduğu durumlarda, süreç sonsuz varyansa sahip olacaktır.

1.1.2 ARCH Süreci İzleyen Bir Değişkenin Olabilirlik Fonksiyonu

ARCH modelinde kullanılan koşullu varyans (h_t), ψ gerçekleşmiş bilgi _t₋₁ setine bağlıdır. Normallik varsayımı altında, koşullu yoğunlukları kullanarak ARCH süreci

yt

ψ

t−1~ N(0,ht)

ve

h_t =h(ε_t₋₁,ε_t₋₂,...,ε_t₋_q,α) (1.18) olarak ifade edilir. Burada h koşullu varyansı; q, ARCH sürecinin sırasını; t α ise

bilinmeyen parametreler vektörünü temsil etmektedir.

Yukarıdaki (1.18) eşitliğinde tanımlanan ARCH sürecinde ε_t-nin ortalaması ve tüm otokovaryansları sıfırdır. Koşulsuz varyansı σt2 =Eεt2 =Eht şeklindedir ve

çoğu h fonksiyonuyla α değeri için varyans t’den bağımsızdır.Bu koşullar altında

ε

t

(41)

18

(1.18) ile tanımlanan sürecin her gözlemi koşullu olarak normal dağılmaktadır ancak

ε

vektörü ortak olarak normal dağılmamaktadır. Bu durumda ortak yoğunluk, tüm koşullu dağılımların çarpımı olduğundan log olabilirlik (1.18)’un koşullu normal log olabilirliklerinin toplamıdır. Burada, T örneklem büyüklüğünü, lt’ inci gözlemin olabilirliğini, lnlt t’inci gözlemin log olabilirliğini ve ln l ortalama log olabilirliğini ifade etmktedir (Engle, 1982:991). O zaman

1 2 2 2 1 ln 2 1 ) 2 ln( 2 1 ln 2 exp 2 1 − − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = t t t t t t t t h h l h h l ε π ε π (1.19)

İlk terim herhangi bir parametre içermediğinden

2 1 2 1 ln 2 1 lnl_t =− h_t − ε_t h_t− _(1.20)

bu olabilirlik fonksiyonu maksimize edilerek bilinmeyen α parametreleri tahmin edilir. 1.sıra koşulu:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t h h h h h h h h h h l ε α α ε α α ε α α (1.21) ve Hessianı ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ ∂ ∂ ∂ α α ε ε α α α α ε α α ε α α t t t t t t t t t t t t t t t t t t t h h h h h h h h h h h h h h l 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (1.22)

(42)

19

olarak ifade edilir (Engle, 1982:993).

) 1 ( 1 m q m t− − < <

ψ veri iken, birinci terimin son çarpanının koşullu bekleneni 1 ve ikinci terimin koşullu bekleneni sıfırdır. Böylece, Hessianın ortalamasının beklenen değerinin negatifi olan bilgi matrisi,

∑

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ = t t t t h h h E T I α α αα ₂1 1₂ (1.23) şeklinde olur ve

∑

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ = t t t t h h h T I α α αα ₂ 2 1 1 ) (1.24)

onun tutarlı tahmin edicisidir (Engle, 1982:994). h karesel ifadelerin q. dereceden doğrusal fonksiyonu olduğuna göre

ht =α0 +α1εt2−1+...+αqεt2−q (1.25)

şeklinde ifade edilir. s_t =(1,ε_t2₋₁,...,ε_t2₋_q) ve α′=(α₀,α₁,...,α_q) olarak tanımlanırsa (1.25) eşitliği

ht =st

α

(1.26)

şeklinde yeniden yazılabilir. Bu durumda (1.20)’nin kısmi türevi,

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∂ ∂ ₁ 2 1 ln 2 t t t t h s h l ε α (1.27)

(43)

20

ve bilgi matrisinin tahmini

=

∑

(

′

)

t t t ts h s T I 2 2 1 αα ) (1.28)

şeklinde olur (Engle, 1982:46).

1.1.3. ARCH Sürecinin Durağanlık Koşulları

0

0 >

α ve α₁,...,α_q ≥0 için q. dereceden bir doğrusal ARCH süreci ancak ve ancak birleşik karakteristik denkleminin tüm kökleri birim çemberin dışında ise zayıf durağandır (Engle, 1982:47). Bu şartlar altında koşulsuz varyans,

_⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

= q j j t E 1 0 2₎ _/ ₁ (ε α α _(1.29) Şöyle ki w_t′ =

(

ε_t2,ε_t2₋₁,...,ε_t2₋_q

)

,b′=

(

α₀,0,...,0

)

ve ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 ... 2 1 q A α α α ise E

(

wt

ψ

t−1

)

=b+ Awt−1 (1.30)